類型一、倍長中線模型
中線倍長法：將中點(diǎn)處的線段延長一倍。
目的： = 1 \* GB3 ①構(gòu)造出一組全等三角形； = 2 \* GB3 ②構(gòu)造出一組平行線。將分散的條件集中到一個(gè)三角形中去。
例1．某數(shù)學(xué)興趣小組在一次活動中進(jìn)行了探究試驗(yàn)活動，請你來加入．
【探究與發(fā)現(xiàn)】
如圖1，延長△ABC的邊BC到D，使DC＝BC，過D作DE∥AB交AC延長線于點(diǎn)E，求證：△ABC≌△EDC．
【理解與應(yīng)用】
如圖2，已知在△ABC中，點(diǎn)E在邊BC上且∠CAE＝∠B，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，若AD平分∠BAE．
(1)求證：AC＝BD；
(2)若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范圍．
【變式訓(xùn)練1】如圖1，在中，是邊的中線，交延長線于點(diǎn)，．

(1)求證；
(2)如圖2，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，求的值．
【變式訓(xùn)練2】(1)如圖1，已知中，AD是中線，求證：；
(2)如圖2，在中，D，E是BC的三等分點(diǎn)，求證：；
(3)如圖3，在中，D，E在邊BC上，且．求證：．
【變式訓(xùn)練3】在中，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，直線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，直線于點(diǎn)．直線于點(diǎn)，連接，．
(1)如圖1，若點(diǎn)，在直線的異側(cè)，延長交于點(diǎn)．求證：．
(2)若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，點(diǎn)，在直線的同側(cè)，其它條件不變，此時(shí)，，，求的長度．
(3)若過點(diǎn)作直線于點(diǎn)．試探究線段、和的關(guān)系．
類型二、截長補(bǔ)短模型
截長補(bǔ)短法使用范圍：線段和差的證明(往往需證2次全等)
例．在等邊三角形ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，P為△ABC外一點(diǎn)，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：當(dāng)點(diǎn)M、N分別在直線AB、AC上移動時(shí)，BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系．
(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且PM＝PN時(shí)，試說明MN＝BM+CN．
(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且PM≠PN時(shí)，MN＝BM+CN還成立嗎？
答： ．(請?jiān)诳崭駜?nèi)填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”)．
(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)M、N分別在邊AB、CA的延長線上時(shí)，請直接寫出BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系．
【變式訓(xùn)練1】如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E、F分別在直線、上，且．
(1)當(dāng)點(diǎn)E、F分別在邊、上時(shí)(如圖1)，請說明的理由．
(2)當(dāng)點(diǎn)E、F分別在邊、延長線上時(shí)(如圖2)，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【變式訓(xùn)練2】(1)閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形中，對角線平分，．求證：．
思考：“角平分線+對角互補(bǔ)”可以通過“截長、補(bǔ)短”等構(gòu)造全等去解決問題．
方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題；
方法2：延長到點(diǎn)，使得，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題．
結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．
(2)問題解決：如圖2，在(1)的條件下，連接，當(dāng)時(shí)，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(3)問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，請直接寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．
【變式訓(xùn)練3】在中，BE，CD為的角平分線，BE，CD交于點(diǎn)F．
(1)求證：；
(2)已知．
①如圖1，若，，求CE的長；
②如圖2，若，求的大?。?br>類型三、做平行線證明全等
例1．如圖所示：是等邊三角形，、分別是及延長線上的一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)．
求讓：
【變式訓(xùn)練1】 P為等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)，Q為BC延長線上一點(diǎn)，且PA＝CQ，連PQ交AC邊于D．
(1)證明：PD＝DQ．
(2)如圖2，過P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的長．
【變式訓(xùn)練2】已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射線CA上截取線段CE，在射線AB上截取線段BD，連接DE，DE所在直線交直線BC與點(diǎn)M．請?zhí)骄浚?br>(1)如圖(1)，當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上，點(diǎn)D在AB延長線上時(shí)，若BD=CE，請判斷線段MD和線段ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
(2)如圖(2)，當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長線上，點(diǎn)D在AB的延長線上時(shí)，若BD=CE，則(1)中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由；
類型四、旋轉(zhuǎn)模型
例．如圖1，，，，、相交于點(diǎn)，連接．
(1)求證：，并用含的式子表示的度數(shù)；
(2)當(dāng)時(shí)，取，的中點(diǎn)分別為點(diǎn)、，連接，，，如圖2，判斷的形狀，并加以證明．
【變式訓(xùn)練1】四邊形是由等邊和頂角為的等腰排成，將一個(gè)角頂點(diǎn)放在處，將角繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，該交兩邊分別交直線、于、，交直線于、兩點(diǎn)．
(1)當(dāng)、都在線段上時(shí)(如圖1)，請證明：；
(2)當(dāng)點(diǎn)在邊的延長線上時(shí)(如圖2)，請你寫出線段，和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(3)在(1)的條件下，若，，請直接寫出的長為 ．
【變式訓(xùn)練2】(1)問題發(fā)現(xiàn)：
如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，當(dāng)△DCE旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．則：
①∠AEB的度數(shù)為 °；
②線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是 ．
(2)拓展研究：
如圖2，△ACB和△DCE均為等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn) A、D、E在同一直線上，若AD＝a，AE＝b，AB＝c，求a、b、c之間的數(shù)量關(guān)系．
(3)探究發(fā)現(xiàn)：
圖1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)A，D，E不在同一直線上時(shí)，設(shè)直線AD與BE相交于點(diǎn)O，試在備用圖中探索∠AOE的度數(shù)，直接寫出結(jié)果，不必說明理由．
【變式訓(xùn)練3】如圖1，在中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，，連接，點(diǎn)，，分別為，，的中點(diǎn)．
(1)觀察猜想：圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______．
(2)探究證明：把繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，，判斷的形狀，并說明理由；
(3)拓展延伸：把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請直接寫出面積的最大值．
類型五、手拉手模型
例．在等邊中，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在BC上，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段DF，連接CF．
(1)如圖(1)，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，連接AF．若，求AF的長；
(2)如圖(2)，點(diǎn)G在AC上且，求證：；
(3)如圖(3)，，，連接AF．過點(diǎn)F作AF的垂線交AC于點(diǎn)P，連接BP、DP．將沿著BP翻折得到，連接QC．當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，直接寫出的面積．
【變式訓(xùn)練1】△ACB和△DCE是共頂點(diǎn)C的兩個(gè)大小不一樣的等邊三角形．
(1)問題發(fā)現(xiàn)：
如圖1，若點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接AE，BE．
①求證：△ACD≌△BCE；②求∠AEB的度數(shù)．
(2)類比探究：如圖2，點(diǎn)B、D、E在同一直線上，連接AE，AD，BE，CM為△DCE中DE邊上的高，請求∠ADB的度數(shù)及線段DB，AD，DM之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
(3)拓展延伸：如圖3，若設(shè)AD(或其延長線)與BE的所夾銳角為α，則你認(rèn)為α為多少度，并證明．
【變式訓(xùn)練2】(1)如圖1，銳角△ABC中，分別以AB、AC為邊向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關(guān)系，不需要證明．
【深入探究】(2)如圖2，四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD2的值；甲同學(xué)受到第一問的啟發(fā)構(gòu)造了如圖所示的一個(gè)和△ABD全等的三角形，將BD進(jìn)行轉(zhuǎn)化再計(jì)算，請你準(zhǔn)確的敘述輔助線的作法，再計(jì)算；
【變式思考】(3)如圖3，四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，則CD＝ ．
【變式訓(xùn)練3】(1)問題發(fā)現(xiàn)：
如圖1，和均為等腰直角三角形，，連接，，點(diǎn)、、在同一條直線上，則的度數(shù)為__________，線段、之間的數(shù)量關(guān)系__________；
(2)拓展探究：
如圖2，和均為等腰直角三角形，，連接，，點(diǎn)、、不在一條直線上，請判斷線段、之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．
(3)解決問題：
如圖3，和均為等腰三角形，，則直線和的夾角為__________．(請用含的式子表示)
類型六、一線三角模型
例.在中，，，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C且于D，于E．
(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：
①≌；
②；
(2)當(dāng)直線MN燒點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：；
(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．
【變式訓(xùn)練1】【問題解決】
(1)已知△ABC中，AB=AC，D，A，E三點(diǎn)都在直線l上，且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．如圖①，當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，線段DE，BD，CE的數(shù)量關(guān)系為：______________；
【類比探究】
(2)如圖②，在(1)的條件下，當(dāng)0°

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