一、新課導入
1.課題導入
情景：如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80 n mile的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東34°方向上的B處，這時，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠？
問題：怎樣由方向角確定三角形的內角？
2.學習目標
（1）能根據(jù)方向角畫出相應的圖形，會用解直角三角形的知識解決方位問題.
（2）知道坡度與坡角的含義，能利用解直角三角形的知識解決與坡度有關的實際問題.
3.學習重、難點
重點：會用解直角三角形的知識解決方向角、坡度的相關問題.
難點：將實際問題轉化為數(shù)學問題（即數(shù)學建模）.
二、分層學習
1.自學指導
（1）自學內容：教材P76例5.
（2）自學時間：10分鐘.
（3）自學方法：獨立探索解題思路，然后同桌之間討論，寫出規(guī)范的解題過程.
（4）自學參考提綱：
①如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東34°方向上的B處，這時，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠？(結果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：cs25°≈0.91，sin25°≈0.42，tan25°≈0.47，sin34°≈0.56，cs34°≈0.83，tan34°≈0.67）
a.根據(jù)已知在圖中標出方向角：如圖所示.
b.根據(jù)方向角得到三角形的內角：在△PAB中，∵海輪沿正南方向航行，∴∠A= 65° ，∠B= 34° ，PA= 80 .
c.作高構造直角三角形：如圖所示.
d.寫出解答過程：
在Rt△APC中，PC=PA·cs(90°-65°)=80×cs25°≈72.505（n mile）.
在Rt△BPC中，∠B=34°,PB=≈130（n mile）.
②如圖，海中有一個小島A，它周圍8海里內有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在B點測得小島A在北偏東60°的方向上，航行12海里到達D點，這時測得小島A在北偏東30°的方向上，如果漁船不改變航向繼續(xù)向東航行，有沒有觸礁的危險？
解：過A作AE⊥BD于E.由題意知：∠ABE=30°,∠ADE=60°.
∴∠BAD=60°-30°=30°=∠ABD.∴AD=BD=12.
∴AE=AD·sin60°=12×= (海里)＞8海里.
∴無觸礁的危險.
2.自學：
結合自學指導進行自學.
3.助學
（1）師助生：
①明了學情：觀察學生自學提綱的答題情況.
②差異指導：根據(jù)學情對學習有困難的學生進行個別或分類指導.
（2）生助生：小組內互相交流、研討.
4.強化：利用解直角三角形的知識解方向角問題的一般思路.
1.自學指導
（1）自學內容：教材P77.
（2）自學時間：5分鐘.
（3）自學方法：先獨立歸納利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般思路，然后對照課本P77的內容歸納，進行反思總結.
（4）自學參考提綱：
①利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般思路：
a.將實際問題抽象為數(shù)學問題；b.根據(jù)問題中的條件，適當選用銳角三角函數(shù)等解直角三角形；
c.得到數(shù)學問題的答案；d.得到實際問題的答案.
②練習：如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，斜面坡度i=1∶1.5是指坡面的鉛直高度AF與水平寬度BF的比，斜面坡度i=1∶3是指DE與CE的比，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求：
a.坡角α和β的度數(shù)；
b.斜坡AB的長(結果保留小數(shù)點后一位).
2.自學：
學生可參考自學指導進行自學.
3.助學
（1）師助生：
①明了學情：明了學生解答問題的情況.
②差異指導：根據(jù)學情進行相應指導.
（2）生助生：小組內互相交流、研討.
4.強化
（1）坡度、坡角的含義及其關系，梯形問題的解題方法.
（2）在自學參考提綱第②題中，若補充條件“壩頂寬AD=4 m”，你能求出壩底BC的長嗎？
（3）利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般思路：
三、評價
1.學生自我評價：在這節(jié)課的學習中你有哪些收獲？掌握了哪些解題技巧和方法？
2.教師對學生的評價：
（1）表現(xiàn)性評價：點評學生學習的主動性、小組交流協(xié)作情況、解題方法的掌握情況等.
（2）紙筆評價：課堂評價檢測.
3.教師的自我評價（教學反思）.
本課時應先認知“方向角”“坡度”及其所代表的實際意義，添作適當?shù)妮o助線，構建直角三角形.然后結合解直角三角形的有關知識加以解答，層層展開，步步深入.
一、基礎鞏固（70分）
1.(10分)已知外婆家在小明家的正東方，學校在外婆家的北偏西40°，外婆家到學校與小明家到學校的距離相等，則學校在小明家的（D）
A.南偏東50°B.南偏東40°C.北偏東50°D.北偏東40°
2.(10分)如圖，某村準備在坡度為i=1∶1.5的斜坡上栽樹，要求相鄰兩棵樹之間的水平距離為5 m，則這兩棵樹在坡面上的距離AB為m．（結果保留根號）
3.（10分）在菱形ABCD中，AB=13，銳角B的正弦值sinB=，則這個菱形的面積為 65 .
4.(20分)為方便行人橫過馬路，打算修建一座高5 m的過街天橋.已知天橋的斜面坡度為1∶1.5，計算斜坡AB的長度(結果取整數(shù)).
解：∵i=,AC=5,∴BC=1.5×5=7.5.
∴AB=≈9(m).
5.(20分)一輪船原在A處，它的北偏東45°方向上有一燈塔P，輪船沿著北偏西30°方向航行4 h到達B處，這時燈塔P正好在輪船的正東方向上.已知輪船的航速為25 n mile/h，求輪船在B處時與燈塔的距離（結果可保留根號）.
解：過點A作AC⊥BP于點C.由題意知：∠BAC=30°,∠CAP=45°,
AB=25×4=100.
在Rt△ABC中，BC=AB=50，AC=AB=50.
在Rt△ACP中，CP=AC=50.
∴BP=BC+CP=50(+1)(n mile).
二、綜合應用（20分）
6.(20分)某型號飛機的機翼形狀如圖所示.根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算AC,BD和AB的長度（結果保留小數(shù)點后兩位）.
解：如圖所示，在Rt△BDE中，BE=5.00，∠DBE=30°,
∴DE=BE·tan30°=,BD=≈5.77(m).
在Rt△ACF中，CF=BE=5.00,∠FCA=°,
∴AF=CF=5.00,∴AC=CF=5≈7.07(m).
∴AB=BF-AF=DE+CD-AF=+3.40-5.00≈1.29(m).
三、拓展延伸（10分）
7.(10分)海中有一小島P，在以P為圓心、半徑為162 n mile的圓形海域內有暗礁，一艘船自西向東航行，它在A處時測得小島P位于北偏東60°方向上,且A，P之間的距離為32 n mile.若輪船繼續(xù)向正東方向航行,輪船有無觸礁危險?請通過計算加以說明.若有危險,輪船自A處開始至少沿東偏南多少度的方向航行,才能安全通過這一海域?
解：如圖，∠PAB=30°,AP=32.∴PB=AP=16(n mile).
∴PB＜16n mile.∴輪船有觸礁危險.
假設輪船沿東偏南α恰好能安全通過，此時航線AC與⊙P相切，即PC⊥AC.
又∵AP=32，PC=16,∴∠PAC=45°,∴α=15°.
∴輪船自A處開始至少沿東偏南15度方向航行,才能安全通過這一海域.

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28.2 解直角三角形及其應用

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