TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc869" 題型01基礎(chǔ)模型：人與座位 PAGEREF _Tc869 \h 1
\l "_Tc3098" 題型02基礎(chǔ)模型：先分組后排列 PAGEREF _Tc3098 \h 2
\l "_Tc19729" 題型03 基礎(chǔ)模型：保序型 PAGEREF _Tc19729 \h 3
\l "_Tc20056" 題型04基礎(chǔ)模型：數(shù)字化法 PAGEREF _Tc20056 \h 3
\l "_Tc15789" 題型05 基礎(chǔ)模型：空車(chē)位等相同元素型 PAGEREF _Tc15789 \h 5
\l "_Tc5916" 題型06基礎(chǔ)模型：多重受限條件型 PAGEREF _Tc5916 \h 6
\l "_Tc20920" 題型07地圖染色型 PAGEREF _Tc20920 \h 6
\l "_Tc21918" 題型08立體幾何型 PAGEREF _Tc21918 \h 8
\l "_Tc21870" 題型09 醫(yī)生、護(hù)士等平均分配型 PAGEREF _Tc21870 \h 8
\l "_Tc32616" 題型10走樓梯模型 PAGEREF _Tc32616 \h 9
\l "_Tc24942" 題型11擋板法模型 PAGEREF _Tc24942 \h 9
\l "_Tc18158" 題型12 相同元素型 PAGEREF _Tc18158 \h 10
\l "_Tc12643" 題型13不定方程模型 PAGEREF _Tc12643 \h 11
\l "_Tc10260" 題型14球放盒子型：公交車(chē)模型 PAGEREF _Tc10260 \h 11
\l "_Tc19710" 題型15球放盒子型：電梯模型 PAGEREF _Tc19710 \h 12
\l "_Tc442" 題型16球放盒子型： PAGEREF _Tc442 \h 13
\l "_Tc32202" 題型17 配對(duì)模型 PAGEREF _Tc32202 \h 13
\l "_Tc27839" 題型18 機(jī)器人跳棋模型 PAGEREF _Tc27839 \h 14
\l "_Tc8354" 高考練場(chǎng) PAGEREF _Tc8354 \h 14

題型01基礎(chǔ)模型：人與座位
【解題攻略】
【典例1-1】（2024上·江蘇南通·高三統(tǒng)考）第三屆“一帶一路”國(guó)際高峰論壇于年月在北京召開(kāi)，某記者與參會(huì)的名代表一起合影留念（人站成一排）.若記者不站兩端，且代表甲與代表乙相鄰的不同排法方式有 種.
【典例1-2】（2024·云南昆明·統(tǒng)考一模）春節(jié)前夕，某社區(qū)安排小王、小李等5名志愿者到三個(gè)敬老院做義工，每個(gè)敬老院至少安排1人，至多安排2人.若小王、小李安排在同一個(gè)敬老院，且這5名志愿者全部安排完，則所有不同的安排方式種數(shù)為 .（用數(shù)字作答）
【變式1-1】（2024上·廣東廣州·高三華南師大附中?？迹┈F(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊等共7人排成一列，位置排列要求甲要站在首位或者末位，乙和丙要站在一起，丁和戊不能相鄰，共有 種排法．
【變式1-2】（2024上·河南南陽(yáng)·高三校聯(lián)考）某觀(guān)光旅游團(tuán)計(jì)劃在春節(jié)期間，安排游人去某地的甲、乙、丙、丁等六個(gè)小鎮(zhèn)游覽，每個(gè)小鎮(zhèn)游覽一天，連續(xù)游覽六天.若小鎮(zhèn)甲不排在首末兩天，乙、丙、丁三個(gè)小鎮(zhèn)排在相鄰的三天，則不同的游覽順序方案共有 種.
【變式1-3】（2023上·廣東東莞·高三?？茧A段練習(xí)）某中學(xué)為慶祝建校130周年，高三年級(jí)派出甲?乙?丙?丁?戊5名老師參加“130周年辦學(xué)成果展”活動(dòng)，活動(dòng)結(jié)束后5名老師排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，則排法共有 種(用數(shù)字作答)．
題型02基礎(chǔ)模型：先分組后排列
【解題攻略】
【典例1-1】某校有5名大學(xué)生打算前往觀(guān)看冰球，速滑，花滑三場(chǎng)比賽，每場(chǎng)比賽至少有1名學(xué)生且至多2名學(xué)生前往，則甲同學(xué)不去觀(guān)看冰球比賽的方案種數(shù)有（ ）
A．48B．54C．60D．72
【典例1-2】某地一重點(diǎn)高中為讓學(xué)生提高遵守交通的意識(shí)，每天都派出多名學(xué)生參加與交通相關(guān)的各類(lèi)活動(dòng).現(xiàn)有包括甲、乙兩人在內(nèi)的6名中學(xué)生，自愿參加交通志愿者的服務(wù)工作這6名中學(xué)生中2人被分配到學(xué)校附近路口執(zhí)勤，2人被分配到醫(yī)院附近路口執(zhí)勤，2人被分配到中心市場(chǎng)附近路口執(zhí)勤，如果分配去向是隨機(jī)的，則甲、乙兩人被分配到同一路口的概率是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】從人中選派人承擔(dān)甲，乙，丙三項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少有一人承擔(dān)，則不同的選派方法的個(gè)數(shù)為
A．B．C．D．
【變式1-2】4名學(xué)生參加3個(gè)興趣小組活動(dòng)，每人參加一個(gè)或兩個(gè)小組，那么3個(gè)興趣小組都恰有2人參加的不同的分組共有_________種.
【變式1-3】.甲、乙、丙、丁4名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動(dòng)，現(xiàn)有A，B，C三個(gè)小區(qū)可供選擇，每個(gè)志愿者只能選其中一個(gè)小區(qū)去服務(wù)．則甲不在A(yíng)小區(qū)、乙不在B小區(qū)服務(wù)的概率為（ ）
A．B．C．D．
題型03 基礎(chǔ)模型：保序型
【解題攻略】
【典例1-1】從“”（我愛(ài)實(shí)驗(yàn)）中取6個(gè)不同的字母排成一排，含有“”字母組合（順序不變）的不同排列共有（ ）
A．360種B．480種C．600種D．720種
【典例1-2】某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目．如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（ ）
A．6B．12C．15D．30
【變式1-1】書(shū)架上某一層有5本不同的書(shū)，新買(mǎi)了3本不同的書(shū)插進(jìn)去，要保持原來(lái)5本書(shū)的順序不變，則不同的插法種數(shù)為（ ）.
A．60B．120C．336D．504
【變式1-2】10名同學(xué)進(jìn)行隊(duì)列訓(xùn)練，站成前排3人后排7人，現(xiàn)體育教師要從后排7人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】班會(huì)課上原定有3位同學(xué)依次發(fā)言，現(xiàn)臨時(shí)加入甲，乙2位同學(xué)也發(fā)言，若保持原來(lái)3位同學(xué)發(fā)言的相對(duì)順序不變，且甲，乙的發(fā)言順序不能相鄰，則不同的發(fā)言順序種數(shù)為（ ）
A．6B．12C．18D．24
題型04基礎(chǔ)模型：數(shù)字化法
【解題攻略】
【典例1-1】.2021年高考結(jié)束后小明與小華兩位同學(xué)計(jì)劃去老年公寓參加志愿者活動(dòng)．小明在如圖的街道E處，小華在如圖的街道F處，老年公寓位于如圖的G處，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①小華到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為4條
②小明到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為35條
③小明到老年公寓在選擇的最短路徑中，與到F處和小華會(huì)合一起到老年公寓的概率為
④小明與小華到老年公寓在選擇的最短路徑中，兩人并約定在老年公寓門(mén)口匯合，事件A：小明經(jīng)過(guò)F事件B；從F到老年公寓兩人的路徑?jīng)]有重疊部分（路口除外），則
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【典例1-2】．如圖，在某城市中，M?N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中???是道路網(wǎng)中位于一條對(duì)角線(xiàn)上的4個(gè)交匯處，今在道路網(wǎng)M?N處的甲?乙兩人分別要到N?M處，他們分別隨機(jī)地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時(shí)出發(fā)，直到到達(dá)N?M處為止，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．甲從M必須經(jīng)過(guò)到達(dá)N處的方法有9種
B．甲?乙兩人相遇的概率為
C．甲乙兩人在處相遇的概率為
D．甲從M到達(dá)N處的方法有20種

【變式1-1】如圖，一次移動(dòng)是指：從某一格開(kāi)始只能移動(dòng)到鄰近的一格，并且總是向右或右上或右下移動(dòng)，而一條移動(dòng)路線(xiàn)由若干次移動(dòng)構(gòu)成，如1→3→4→5→6→7就是一條移動(dòng)路線(xiàn)，則從數(shù)字“1”到“7”，漏掉兩個(gè)數(shù)字的移動(dòng)路線(xiàn)條數(shù)為（ ）
A．5B．6C．7D．8
【變式1-2】夏老師從家到學(xué)校，可以選擇走錦繡路、楊高路、張楊路或者浦東大道，由于夏老師不知道楊高路有一段在修路導(dǎo)致第一天上班就遲到了，所以夏老師決定以后要繞開(kāi)那段維修的路，如圖，假設(shè)夏老師家在處，學(xué)校在處，段正在修路要繞開(kāi)，則夏老師從家到學(xué)校的最短路徑有（ ）條．
A．23B．24C．25D．26

【變式1-3】如圖，小明從街道的處出發(fā)，選擇最短路徑到達(dá)處參加志愿者活動(dòng)，在小明從處到達(dá)處的過(guò)程中，途徑處的概率為（ ）
A．B．C．D．
題型05 基礎(chǔ)模型：空車(chē)位等相同元素型
【解題攻略】
【典例1-1】（巴彥淖爾·階段練習(xí)）某電影院第一排共有9個(gè)座位，現(xiàn)有3名觀(guān)眾前來(lái)就座，若他們每?jī)扇硕疾荒芟噜?，且要求每人左右至多兩個(gè)空位，則不同的坐法共有
A．36種B．42種C．48種D．96種
【典例1-2】（·東城·）一個(gè)停車(chē)場(chǎng)有5個(gè)排成一排的空車(chē)位，現(xiàn)有2輛不同的車(chē)停進(jìn)這個(gè)停車(chē)場(chǎng)，若停好后恰有2個(gè)相鄰的停車(chē)位空著，則不同的停車(chē)方法共有
A．6種B．12種C．36種D．72種
【變式1-1】（22·23下·河北·）一條長(zhǎng)椅上有6個(gè)座位，3個(gè)人坐．要求3個(gè)空位中恰有2個(gè)空位相鄰，則坐法的種數(shù)為（ ）
A．36B．48C．72D．96
【變式1-2】（·成都·階段練習(xí)）有6個(gè)座位連成一排，三人就座，恰有兩個(gè)空位相鄰的概率是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】（19·20·浙江·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有一排10個(gè)位置的空停車(chē)場(chǎng)，甲、乙、丙三輛不同的車(chē)去停放，要求每輛車(chē)左右兩邊都有空車(chē)位且甲車(chē)在乙、丙兩車(chē)之間的停放方式共有 種.
題型06基礎(chǔ)模型：多重受限條件型
【解題攻略】
【典例1-1】現(xiàn)有2名學(xué)生代表2名教師代表和3名家長(zhǎng)代表合影，則同類(lèi)代表互不相鄰的排法共有___________種．
【典例1-2】現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名學(xué)生分別擔(dān)任語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)學(xué)科的科代表，要求甲不當(dāng)語(yǔ)文科代表，乙不當(dāng)數(shù)學(xué)科代表，若丙當(dāng)物理科代表則丁必須當(dāng)化學(xué)科代表，則不同的選法共有_____種
【變式1-1】現(xiàn)有7位同學(xué)（分別編號(hào)為）排成一排拍照，若其中三人互不相鄰，兩人也不相鄰，而兩人必須相鄰，則不同的排法總數(shù)為_(kāi)_______．（用數(shù)字作答）
【變式1-2】某班班會(huì)準(zhǔn)備從含甲、乙、丙的7名學(xué)生中選取4人發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一個(gè)發(fā)言，且甲、乙都發(fā)言時(shí)丙不能發(fā)言，則甲、乙兩人都發(fā)言且發(fā)言順序不相鄰的概率為
A．B．C．D．
【變式1-3】，亞非領(lǐng)導(dǎo)人會(huì)議在印尼雅加達(dá)舉行，某五國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人、、、，除與、與不單獨(dú)會(huì)晤外，其他領(lǐng)導(dǎo)人兩兩之間都要單獨(dú)會(huì)晤．現(xiàn)安排他們?cè)趦商斓纳衔?、下午單?dú)會(huì)晤（每人每個(gè)半天最多進(jìn)行一次會(huì)晤），那么安排他們單獨(dú)會(huì)晤的不同方法共有
A．48種B．36種C．24種D．8種
題型07地圖染色型
【解題攻略】
【典例1-1】如圖，這是第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)的大致圖案，它是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的.現(xiàn)給這5個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，且每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色.若有5種顏色可供選擇，則恰用4種顏色的概率是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】網(wǎng)課期間，小王同學(xué)趁課余時(shí)間研究起了七巧板，有一次他將七巧板拼成如下圖形狀，現(xiàn)需要給下圖七巧板右下方的五個(gè)塊涂色（圖中的1，2，3，4，5），有4種不同顏色可供選擇，要求有公共邊的兩塊區(qū)域不能同色，有______種不同的涂色方案.
【變式1-1】如圖，要給①、②、③、④四塊區(qū)域分別涂上五種顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，則不同的涂色方案種數(shù)為（ ）．
A．180B．160C．96D．60
【變式1-2】．對(duì)如下編號(hào)為1，2，3，4的格子涂色，有紅，黑，白，灰四種顏色可供選擇，要求相鄰格子不同色，則在1號(hào)格子涂灰色的條件下，4號(hào)格子也涂灰色的概率是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】如圖，提供4種不同的顏色給圖中，，，四塊區(qū)域涂色，若相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（ ）種．
A．12B．36C．48D．72
題型08立體幾何型
【解題攻略】
【典例1-1】已知三棱錐的6條棱代表6種不同的化工產(chǎn)品，有公共頂點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是安全的，沒(méi)有公共頂點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是危險(xiǎn)的現(xiàn)用編號(hào)為1，2，3的三個(gè)倉(cāng)庫(kù)存放這6種化工產(chǎn)品，每個(gè)倉(cāng)庫(kù)放2種，那么安全存放的不同方法種數(shù)為
A．12B．24C．36D．48
【典例1-2】用4種顏色給正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)涂色，同一條棱的兩個(gè)頂點(diǎn)涂不同的顏色，則符合條件的所有涂法共有
A．24種B．48種C．64種D．72種
【變式1-1】從正方體的頂點(diǎn)及其中心共9個(gè)點(diǎn)中任選4個(gè)點(diǎn)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為_(kāi)_____．
【變式1-2】給正方體的八個(gè)頂點(diǎn)涂色，要求同一條棱的兩個(gè)端點(diǎn)不同色，現(xiàn)有三種顏色可供選擇，不同的涂色方法有________種．
【變式1-3】.以平行六面體的任意三個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，從中隨機(jī)取出兩個(gè)三角形，則這兩個(gè)三角形不共面的概率為（ ）
A．B．C．D．
題型09 醫(yī)生、護(hù)士等平均分配型
【解題攻略】
【典例1-1】（2022下·四川成都·高三成都七中?？奸_(kāi)學(xué)考試）某醫(yī)院分配3名醫(yī)生6名護(hù)士緊急前往三個(gè)小區(qū)協(xié)助社區(qū)做核酸檢測(cè).要求每個(gè)小區(qū)至少一名醫(yī)生和至少一名護(hù)士.問(wèn)共有多少種分配方案？（ ）
A．3180B．3240C．3600D．3660
【典例1-2】（2021·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè)）已知有5個(gè)不同的小球，現(xiàn)將這5個(gè)球全部放入到標(biāo)有編號(hào)1、2、3、4、5的五個(gè)盒子中，若裝有小球的盒子的編號(hào)之和恰為11，則不同的放球方法種數(shù)為（ ）
A．150B．240C．390D．1440
【變式1-1】（2022下·山西晉中·高三?？迹┠掣咝４笠恍律械?名同學(xué)打算參加學(xué)校組織的“雅荷文學(xué)社”、“青春風(fēng)街舞社”、“羽乒協(xié)會(huì)”、“演講團(tuán)”、“吉他協(xié)會(huì)”五個(gè)社團(tuán)，若每名同學(xué)必須參加且只能參加1個(gè)社團(tuán)且每個(gè)社團(tuán)至多兩人參加，則這6個(gè)人中至多有1人參加“演講團(tuán)”的不同參加方法數(shù)為
A．4680B．4770C．5040D．5200
【變式1-2】（2024·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）將3個(gè)相同的紅球和3個(gè)相同的黑球裝入三個(gè)不同的袋中，每袋均裝2個(gè)球，則不同的裝法種數(shù)為（ ）
A．7B．8C．9D．10
【變式1-3】（2024全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）《數(shù)術(shù)記遺》是東漢時(shí)期徐岳編撰的一部數(shù)學(xué)專(zhuān)著，該書(shū)記述了我國(guó)古代14種算法，分別是：積算（即算籌）?太乙算?兩儀算?三才算?五行算?八卦算?九宮算?運(yùn)籌算?了之算?成數(shù)算?把頭算?龜算?珠算?和計(jì)數(shù).某學(xué)習(xí)小組有甲?乙?丙3人，該小組要收集九宮算?運(yùn)籌算?了之算?成數(shù)算?把頭算?珠算6種算法相關(guān)資料，要求每種算法只能一人收集，每人至少收集其中一種，則不同的分配方案種數(shù)為（ ）
A．240B．300C．420D．540
題型10走樓梯模型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某教學(xué)樓從二樓到三樓的樓梯共10級(jí)，上樓可以一步上一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，某同學(xué)從二樓到三樓準(zhǔn)備用7步走完，則第二步走兩級(jí)臺(tái)階的概率為（ ）．
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023下·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）一個(gè)樓梯共有11級(jí)臺(tái)階，甲同學(xué)正好站在第11級(jí)臺(tái)階上，現(xiàn)在他每步可邁1級(jí)、2級(jí)或3級(jí)臺(tái)階，甲從第11級(jí)臺(tái)階走到第6級(jí)臺(tái)階（只能向前走），一共有多少種不同的走法？（ ）
A．11種B．12種C．13種D．14種
【變式1-1】（2021·高三單元測(cè)試）某人在上樓梯時(shí)，一步上一個(gè)臺(tái)階或兩個(gè)臺(tái)階，設(shè)他從平地上到第一級(jí)臺(tái)階時(shí)有f（1）種走法，從平地上到第二級(jí)臺(tái)階時(shí)有f（2）種走法……則他從平地上到第n級(jí)(n≥3)臺(tái)階時(shí)的走法f(n)等于（ ）
A．f(n-1)+1B．f(n-2)+2
C．f(n-2)+1D．f(n-1)+f(n-2)
【變式1-2】有一道樓梯共10階，小王同學(xué)要登上這道樓梯，登樓梯時(shí)每步隨機(jī)選擇一步一階或一步兩階，小王同學(xué)7步登完樓梯的概率為_(kāi)__________.
【變式1-3】某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10級(jí)，上樓可以一步上一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，若規(guī)定從二樓到三樓用8步走完，則方法有（ ）
A．45種B．36種C．28種D．25種
題型11擋板法模型
【解題攻略】
【典例1-1】（2024上·遼寧沈陽(yáng)·高三校聯(lián)考）將20個(gè)無(wú)任何區(qū)別的小球放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子內(nèi)的小球個(gè)數(shù)不小于它的編號(hào)數(shù)，則不同的放法有（ ）
A．90種B．120種C．160種D．190種
【典例1-2（2023上·浙江·高三浙江省春暉中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）某市抽調(diào)5位老師分赴3所山區(qū)學(xué)校支教，要求每位老師只能去一所學(xué)校，每所學(xué)校至少安排一位老師．由于工作需要，甲、乙兩位老師必須安排在不同的學(xué)校，則不同的分派方法的種數(shù)是（ ）
A．124B．246C．114D．108
【變式1-1】（2023下·安徽合肥·高三合肥市第五中學(xué)校考）將7個(gè)相同的球放入4個(gè)不同的盒子中，則每個(gè)盒子都有球的放法種數(shù)為（ ）
A．840B．35C．20D．15
【變式1-2】（2022上·高三課時(shí)練習(xí)）現(xiàn)有15個(gè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽參賽名額分給五個(gè)班，其中一、二班每班至少3個(gè)名額，三、四、五班每班至少2個(gè)名額，則名額分配方式共有（ ）
A．15種B．35種C．70種D．125種
【變式1-3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）把1995個(gè)不加區(qū)別的小球分別放在10個(gè)不同的盒子里，使得第個(gè)盒子中至少有個(gè)球（），則不同放法的總數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
題型12 相同元素型
【典例1-1】學(xué)校決定把12個(gè)參觀(guān)航天航空博物館的名額給二（1）、二（2）、二（3）、二（4）四個(gè)班級(jí). 要求每個(gè)班分得的名額不比班級(jí)序號(hào)少；即二(1)班至少1個(gè)名額, 二(2)班至少2個(gè)名額，…… ，則分配方案有( )
A．10種B．6種C．165種D．495種
【典例1-2】記為一個(gè)位正整數(shù)，其中都是正整數(shù)，．若對(duì)任意的正整數(shù)，至少存在另一個(gè)正整數(shù)，使得，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“位重復(fù)數(shù)”．根據(jù)上述定義，“四位重復(fù)數(shù)”的個(gè)數(shù)為
A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)
【變式1-1】．已知一袋中有標(biāo)有號(hào)碼1、2、3、4的卡片各一張，每次從中取出一張，記下號(hào)碼后放回，當(dāng)四種號(hào)碼的卡片全部取出時(shí)即停止，則恰好取6次卡片時(shí)停止的概率為_(kāi)_____.
【變式1-2】甲?乙?丙三人相約去看電影，他們的座位恰好是同一排10個(gè)位置中的3個(gè)，因疫情防控的需要（這一排沒(méi)有其他人就座），則每人左右兩邊都有空位的坐法（ ）
A．120種B．80種C．64種D．20種
【變式1-3】電影院一排10個(gè)位置，甲、乙、丙三人去看電影，要求他們坐在同一排，且每人左右兩邊都有空位的坐法種數(shù)為（ ）
A．120B．80C．64D．20
題型13不定方程模型
【典例1-1】（2023上·北京大興·高三北京市大興區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，且，記為，，中的最大值，（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023下·江蘇常州·高三校聯(lián)考）在空間直角坐標(biāo)系中，，則三棱錐內(nèi)部整點(diǎn)(所有坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，不包括邊界上的點(diǎn))的個(gè)數(shù)為（ ）
A．35B．36C．84D．21
【變式1-1】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在空間直角坐標(biāo)系中，，則三棱錐內(nèi)部整點(diǎn)（所有坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，不包括邊界上的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2018·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）滿(mǎn)足不等式的有序整數(shù)組的數(shù)目為（ ）
A．228B．229C．230D．231
【變式1-3】（2022·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)集合，其中為自然數(shù)且，則符合條件的集合A的個(gè)數(shù)為（ ）
A．833B．884C．5050D．5151
題型14球放盒子型：公交車(chē)模型
【典例1-1】某奧運(yùn)村有，，三個(gè)運(yùn)動(dòng)員生活區(qū)，其中區(qū)住有人，區(qū)住有人，區(qū)住有人已知三個(gè)區(qū)在一條直線(xiàn)上，位置如圖所示奧運(yùn)村公交車(chē)擬在此間設(shè)一個(gè)停靠點(diǎn)，為使所有運(yùn)動(dòng)員步行到?？奎c(diǎn)路程總和最小，那么停靠點(diǎn)位置應(yīng)在（ ）
A．區(qū)B．區(qū)C．區(qū)D．，兩區(qū)之間
【典例1-2】通蘇嘉甬高速鐵路起自南通西站， 經(jīng)蘇州市、嘉興市后跨越杭州灣進(jìn)入寧波市， 全線(xiàn)正線(xiàn)運(yùn)營(yíng)長(zhǎng)度， 其中新建線(xiàn)路長(zhǎng)度， 是《中長(zhǎng)期鐵路網(wǎng)規(guī)劃》中 “八縱八橫”高速鐵路主通道之一的沿海通道的重要組成部分， 是長(zhǎng)江三角洲城市群的重要城際通道， 沿途共設(shè)南通西、張家港、常熟西、 蘇州北、汾湖、嘉興北、嘉興南、海鹽西、慈溪、莊橋等 10 座車(chē)站.假設(shè)甲、乙兩人從首發(fā)站（南通西） 同時(shí)上車(chē)， 在沿途剩余9站中隨機(jī)下車(chē)， 兩人互不影響， 則甲、乙兩人在同一站下車(chē)的概率為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】車(chē)上有6名乘客，沿途有3個(gè)車(chē)站，每名乘客可任選1個(gè)車(chē)站下車(chē)，則乘客不同的下車(chē)方法數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】長(zhǎng)春54路有軌電車(chē)建成于上個(gè)世紀(jì)30年代，大概是現(xiàn)存最美的電車(chē)路線(xiàn)了，見(jiàn)證著這座城市的歷史與發(fā)展.學(xué)生甲和學(xué)生乙同時(shí)在長(zhǎng)影站上了開(kāi)往西安大路方向的電車(chē)，甲將在創(chuàng)業(yè)大街站之前任何一站下車(chē)，乙將在景陽(yáng)大路站之前任何一站下車(chē)，他們都至少坐一站再下車(chē)，則甲比乙后下車(chē)的概率為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】某公交車(chē)上有6位乘客，沿途4個(gè)車(chē)站，乘客下車(chē)的可能方式有（ ）
A．64種B．46種C．24種D．360種
題型15球放盒子型：電梯模型
【典例1-1】（2024·浙江紹興·高三統(tǒng)考）有一座6層大樓，3人從大樓第一層進(jìn)入電梯，假設(shè)每個(gè)人自第二層開(kāi)始在每一層離開(kāi)電梯是等可能的，則這3人離開(kāi)電梯的層數(shù)之和為10的概率是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2020上·黑龍江大慶·高三大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）電梯有位乘客，在層樓房的每一層停留，如果有兩位乘客從同一層出去，另兩位在同一層出去，最后兩人各從不同的樓層出去，則不同的下樓方法的種類(lèi)數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2023下·湖北武漢·高三華中師大一附中?？迹┯?個(gè)人在一座8層大樓的底層進(jìn)入電梯，假設(shè)每一個(gè)人從第二層開(kāi)始在每一層離開(kāi)電梯是等可能的，則這兩人在不同層離開(kāi)電梯的概率為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2020·四川達(dá)州·統(tǒng)考三模）有3人同時(shí)從底樓進(jìn)入同一電梯，他們各自隨機(jī)在第2至第7樓的任一樓走出電梯．如果電梯正常運(yùn)行，那么恰有兩人在第4樓走出電梯的概率是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2020·廣東珠?！そy(tǒng)考三模）甲、乙、丙人從樓乘電梯去商場(chǎng)的到樓，每層樓最多下人，則下電梯的方法有
A．種B．種C．種D．種
題型16球放盒子型：
【解題攻略】
【典例1-1】已知有5個(gè)不同的小球，現(xiàn)將這5個(gè)球全部放入到標(biāo)有編號(hào)1、2、3、4、5的五個(gè)盒子中，若裝有小球的盒子的編號(hào)之和恰為11，則不同的放球方法種數(shù)為（ ）
A．150B．240C．390D．1440
【典例1-2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）將編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)小球放入A，B，C三個(gè)盒子中，若每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，且1號(hào)球和2號(hào)球不能放在同一個(gè)盒子，則不同的放法種數(shù)為（ ）
A．30B．24C．48D．72
【變式1-1】（2018下·福建廈門(mén)·高三廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？迹⒕幪?hào)為1,2,3,4的四個(gè)小球放入A,B,C三個(gè)盒子中，若每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，且1號(hào)球和2號(hào)球不能放在同一個(gè)盒子，則不同的放法種數(shù)為（ ）
A．30B．24C．48D．72
【變式1-2】（2022·廣西南寧·統(tǒng)考一模）將紅、黑、藍(lán)、黃個(gè)不同的小球放入個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，且紅球和藍(lán)球不能放在同一個(gè)盒子，則不同的放法的種數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）將編號(hào)的小球放入編號(hào)為盒子中，要求不允許有空盒子，且球與盒子的編號(hào)不能相同，則不同的放球方法有（ ）
A．種B．種C．種D．種
題型17 配對(duì)模型
【典例1-1】（2022上·浙江杭州·高三統(tǒng)考）柜子里有3雙不同的鞋子，如果從中隨機(jī)地取出2只，那么取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙的概率為（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）從5對(duì)夫妻中任選4人，這4人恰好是2對(duì)夫妻的概率為（ ）．
A．B．C．D．
【變式1-1】.新冠疫情期間，網(wǎng)上購(gòu)物成為主流．因保管不善，五個(gè)快遞ABCDE上送貨地址模糊不清，但快遞小哥記得這五個(gè)快遞應(yīng)分別送去甲乙丙丁戊五個(gè)地方，全部送錯(cuò)的概率是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2021下·浙江金華·高三校聯(lián)考）現(xiàn)有3雙不同的鞋子，從中隨機(jī)取出2只，則取出的鞋都是左腳的概率是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2021上·河南·高三校聯(lián)考）從4雙不同尺碼的鞋子中隨機(jī)抽取3只，則這3只鞋子中任意兩只都不成雙的概率為（ ）
A．B．C．D．
題型18 機(jī)器人跳棋模型
【典例1-1】（2024上·河南漯河·高三統(tǒng)考）一只小蜜蜂位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飛行一個(gè)單位或者兩個(gè)單位距離的能力，且每次飛行至少一個(gè)單位.若小蜜蜂經(jīng)過(guò)4次飛行后，停在位于數(shù)軸上實(shí)數(shù)3的點(diǎn)處，則小蜜蜂不同的飛行方式有（ ）
A．22B．24C．26D．28
【典例1-2】（2020上·北京大興·高三統(tǒng)考）動(dòng)點(diǎn)M位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，M每一次可以沿?cái)?shù)軸向左或者向右跳動(dòng)，每次可跳動(dòng)1個(gè)單位或者2個(gè)單位的距離，且每次至少跳動(dòng)1個(gè)單位的距離.經(jīng)過(guò)3次跳動(dòng)后，M在數(shù)軸上可能位置的個(gè)數(shù)為（ ）
A．7B．9C．11D．13
【變式1-1】（2023·福建龍巖·高三校聯(lián)考）一只小青蛙位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳動(dòng)一個(gè)單位或者兩個(gè)單位距離的能力，且每次跳動(dòng)至少一個(gè)單位.若小青蛙經(jīng)過(guò)5次跳動(dòng)后，停在數(shù)軸上實(shí)數(shù)2位于的點(diǎn)處，則小青蛙不同的跳動(dòng)方式共有種.
A．105B．95C．85D．75
【變式1-2】.如圖，由個(gè)邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的小正方形組成一個(gè)大正方形．某機(jī)器人從C點(diǎn)出發(fā)，沿若小正方形的邊走到D點(diǎn)，每次可以向右走一個(gè)單位或者向上走一個(gè)單位．如果要求機(jī)器人不能接觸到線(xiàn)段，那么不同的走法共有______種．
【變式1-3】一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，每秒末必須向右，或向左，或向上，或向下跳一個(gè)單位長(zhǎng)度，則此質(zhì)點(diǎn)在第秒末到達(dá)點(diǎn)的跳法共有______種．
.

高考練場(chǎng)
1.（2023上·廣東廣州·高三執(zhí)信中學(xué)?？茧A段練習(xí)）將A，B，C，D，E這5名同學(xué)從左至右排成一排，則A與B相鄰且A與C之間恰好有1名同學(xué)的排法有 種．
2遂寧主城區(qū)突發(fā)“920疫情”，23日凌晨2時(shí)，射洪組織五支“最美逆行醫(yī)療隊(duì)”去支援遂寧主城區(qū)，將分派到遂寧船山區(qū)、遂寧經(jīng)開(kāi)區(qū)、遂寧高新區(qū)進(jìn)行核酸采樣服務(wù)，每支醫(yī)療隊(duì)只能去一個(gè)區(qū)，每區(qū)至少有一支醫(yī)療隊(duì)，若恰有兩支醫(yī)療隊(duì)者被分派到高新區(qū)，則不同的安排方法共有（ ）
A．30種B．40種C．50種D．60種
3.某同學(xué)計(jì)劃用他姓名的首字母，身份證的后4位數(shù)字（4位數(shù)字都不同）以及3個(gè)符號(hào)設(shè)置一個(gè)六位的密碼．若必選，且符號(hào)不能超過(guò)兩個(gè)，數(shù)字不能放在首位和末位，字母和數(shù)字的相對(duì)順序不變，則他可設(shè)置的密碼的種數(shù)為（ ）
A．864B．1009C．1225D．1441
4.如圖所示，甲?乙兩人同時(shí)出發(fā)，甲從點(diǎn)到，乙從點(diǎn)到，且每人每次都只能向上或向右走一格.則甲?乙的行走路線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)的概率為（ ）.
A．B．C．D．
5.（20·21·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）地面上有并排的七個(gè)汽車(chē)位，現(xiàn)有紅、白、黃、黑四輛不同的汽車(chē)同時(shí)倒車(chē)入庫(kù).當(dāng)停車(chē)完畢后，恰有兩個(gè)連續(xù)的空車(chē)位，且紅、白兩車(chē)互不相鄰的情況有 種.
6.如圖，矩形的對(duì)角線(xiàn)把矩形分成A、B、C、D四部分，現(xiàn)用五種不同色彩給四部分涂色，每部分涂1種顏色，要求共邊的兩部分顏色互異，共有（ ）種不同的涂色方法？
A．260B．180C．240D．120
7.以一個(gè)正三棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有（ ）
A．6個(gè)B．12個(gè)C．18個(gè)D．30個(gè)
8.（2023·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）有甲、乙等五人到三家企業(yè)去應(yīng)聘，若每人至多被一家企業(yè)錄用，每家企業(yè)至少錄用其中一人且甲、乙兩人不能被同一家企業(yè)錄用，則不同的錄用情況種數(shù)是（ ）
A．60B．114C．278D．336
9.共有10級(jí)臺(tái)階，某人一步可跨一級(jí)臺(tái)階，也可跨兩級(jí)臺(tái)階或三級(jí)臺(tái)階，則他恰好6步上完臺(tái)階的方法種數(shù)是（ ）
A．30B．90C．75D．60
10.（2023上·江蘇南京·高三）20個(gè)不加區(qū)別的小球放入編號(hào)為1、2、3的三個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒內(nèi)的球數(shù)不小于它的編號(hào)數(shù)，則不同的放法種數(shù)共有（ ）
A．120種B．240種C．360種D．720種
11.某幢樓房從2樓到3樓共10個(gè)臺(tái)階，上樓可以一步上1個(gè)臺(tái)階，也可以一步上2個(gè)臺(tái)階.若規(guī)定從2樓到3樓用8步走完，則上樓的方法有（ ）.
A．14種B．16種C．21種D．28種
12.（2022·湖北·高三華中師大一附中?？迹┤舴匠蹋渲?，則方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為（ ）
A．10B．15C．20D．30
13.由于疫情防控需要，電影院觀(guān)影實(shí)行隔空位就座．甲、乙、丙、丁四個(gè)人結(jié)伴前往觀(guān)影，已知目前只剩同一排的8個(gè)空位，甲、乙必須在丁的同側(cè)，則不同的坐法種數(shù)是（ ）
A．16B．40C．80D．120
14.廈門(mén)地鐵1號(hào)線(xiàn)從鎮(zhèn)海路站到文灶站有4個(gè)站點(diǎn).甲、乙同時(shí)從鎮(zhèn)海路站上車(chē)，假設(shè)每一個(gè)人自第二站開(kāi)始在每個(gè)站點(diǎn)下車(chē)是等可能的，則甲乙在不同站點(diǎn)下車(chē)的概率為（ ）
A．B．C．D．
15.電梯有位乘客，在層樓房的每一層停留，如果有兩位乘客從同一層出去，另兩位在同一層出去，最后兩人各從不同的樓層出去，則不同的下樓方法的種類(lèi)數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
16.（2005·吉林·高三競(jìng)賽）從6雙不同鞋子中任取4只，使其中至少有2只鞋配成一雙的概率是（ ）.
A．B．C．D．
17.（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）把分別標(biāo)有號(hào)、號(hào)、號(hào)、號(hào)的個(gè)不同的小球放入分別標(biāo)有號(hào)、號(hào)、號(hào)的個(gè)盒子中，沒(méi)有空盒子且任意一個(gè)小球都不能放入標(biāo)有相同標(biāo)號(hào)的盒子中，則不同的放球方法種數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
18.一只小蜜蜂位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飛行一個(gè)單位或者兩個(gè)單位距離的能力，且每次飛行至少一個(gè)單位.若小蜜蜂經(jīng)過(guò)5次飛行后，停在數(shù)軸上實(shí)數(shù)3位于的點(diǎn)處，則小蜜蜂不同的飛行方式有多少種？
A．5B．25C．55D．75
模型：人坐座位
特征：
一人一位；
2有順序；
座位可能空；
人是否都來(lái)；
要時(shí)，座位拆遷，剩余座位隨人排列
難題特征：
相鄰：捆綁法------捆綁的新的“大人”內(nèi)部有排列（小排列）
不相鄰：插空法
限制條件較多。特多的限制條件，稱(chēng)為“多重限制型題”，屬于超難題
先分組后排列模型：又稱(chēng)“球放盒子”
基礎(chǔ)型：冪指數(shù)型
如四個(gè)不同的球放三個(gè)不同的盒子，有多少種方法？
特征：
1.先分組再排列（盡量遵循這個(gè)，否則容易出現(xiàn)重復(fù)）
2.分組時(shí)候要注意是否存在“平均分配”的情況
基礎(chǔ)模型：保序型，又稱(chēng)為“書(shū)架插書(shū)”模型
書(shū)架插書(shū)法：
、書(shū)架上原有書(shū)的順序不變；
（2）、新書(shū)要一本一本插；
（3）、也可以把有順序的“書(shū)”最后放，先放沒(méi)順序得，但是得從“總座位”中選（百分比法）
數(shù)字化法：
標(biāo)記元素為數(shù)字或字母，重新組合。
特別適用于“相同元素”
空座位型，
1.單獨(dú)空座位，可以看成相同元素?zé)o排列，字母化法處理。
2.如果2個(gè)或者3個(gè)或者更多空座位相連型，與單獨(dú)空座位則屬于不同元素
3.空座位，屬于相同元素，則符合“直選不排”原理
相鄰不相鄰
1.相鄰元素捆綁法，要注意捆綁在一起的元素，是否還需要排列
2.不相鄰元素排列，一般是插空法， 不相鄰者最后插孔排
染色問(wèn)題，要從“顏色用了幾種”，“地圖有沒(méi)有公用區(qū)域”方向考慮：
1.用了幾種顏色。如果顏色沒(méi)有全部用完，就要有選色的步驟
2.盡量先從公共相鄰區(qū)域開(kāi)始。所以要觀(guān)察“地圖”是否可以“拓?fù)洹鞭D(zhuǎn)化
染色的地圖，還要從“拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)”來(lái)轉(zhuǎn)化
以下這倆圖，就是“拓?fù)洹币恢碌慕Y(jié)構(gòu)
立體型結(jié)構(gòu)，可以“拍扁了”，“拓?fù)洹睘槠矫嫘腿旧@是幾何體染色的一個(gè)小技巧
所以注意這類(lèi)圖形之間的互相轉(zhuǎn)化
平均分成幾組，就除以幾組數(shù)的階乘，如果既有平均分組又有不平均分組的，也要除以相同組的組數(shù)的階乘
走樓梯模型，可以轉(zhuǎn)化為“數(shù)字化”模型：
一步一階設(shè)為數(shù)字1，一步兩階設(shè)為數(shù)字2，一步n階，記為數(shù)字n，則把嗎、
階臺(tái)階，變?yōu)閿?shù)字“和”形式。
要注意數(shù)字的奇偶時(shí)是否能取到
擋板法，適用于“相同元素”分配。如三好學(xué)生指標(biāo)，相同小球，各種指標(biāo)名額等等
球放盒子，要考慮以下情況是否存在：
類(lèi)型一：球不同，盒子不同（主要的）
類(lèi)型二：球相同，盒子不同
方法技巧：不受限制，則指數(shù)冪形式，受限制，則“先分組再排列”
第二十五講 排列組合歸類(lèi)
目錄
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc869" 題型01基礎(chǔ)模型：人與座位 PAGEREF _Tc869 \h 1
\l "_Tc3098" 題型02基礎(chǔ)模型：先分組后排列 PAGEREF _Tc3098 \h 3
\l "_Tc19729" 題型03 基礎(chǔ)模型：保序型 PAGEREF _Tc19729 \h 4
\l "_Tc20056" 題型04基礎(chǔ)模型：數(shù)字化法 PAGEREF _Tc20056 \h 5
\l "_Tc15789" 題型05 基礎(chǔ)模型：空車(chē)位等相同元素型 PAGEREF _Tc15789 \h 8
\l "_Tc5916" 題型06基礎(chǔ)模型：多重受限條件型 PAGEREF _Tc5916 \h 10
\l "_Tc20920" 題型07地圖染色型 PAGEREF _Tc20920 \h 11
\l "_Tc21918" 題型08立體幾何型 PAGEREF _Tc21918 \h 14
\l "_Tc21870" 題型09 醫(yī)生、護(hù)士等平均分配型 PAGEREF _Tc21870 \h 16
\l "_Tc32616" 題型10走樓梯模型 PAGEREF _Tc32616 \h 18
\l "_Tc24942" 題型11擋板法模型 PAGEREF _Tc24942 \h 20
\l "_Tc18158" 題型12 相同元素型 PAGEREF _Tc18158 \h 21
\l "_Tc12643" 題型13不定方程模型 PAGEREF _Tc12643 \h 22
\l "_Tc10260" 題型14球放盒子型：公交車(chē)模型 PAGEREF _Tc10260 \h 24
\l "_Tc19710" 題型15球放盒子型：電梯模型 PAGEREF _Tc19710 \h 26
\l "_Tc442" 題型16球放盒子型： PAGEREF _Tc442 \h 27
\l "_Tc32202" 題型17 配對(duì)模型 PAGEREF _Tc32202 \h 29
\l "_Tc27839" 題型18 機(jī)器人跳棋模型 PAGEREF _Tc27839 \h 30
\l "_Tc8354" 高考練場(chǎng) PAGEREF _Tc8354 \h 32

題型01基礎(chǔ)模型：人與座位
【解題攻略】
【典例1-1】（2024上·江蘇南通·高三統(tǒng)考）第三屆“一帶一路”國(guó)際高峰論壇于年月在北京召開(kāi)，某記者與參會(huì)的名代表一起合影留念（人站成一排）.若記者不站兩端，且代表甲與代表乙相鄰的不同排法方式有 種.
【答案】
【分析】先考慮代表甲與代表乙相鄰，利用捆綁法求出排法種數(shù)；然后考慮記者站兩端中的某個(gè)位置，且代表甲與代表乙相鄰，求出此時(shí)的排法種數(shù).再利用間接法可求得結(jié)果.
【詳解】只考慮代表甲與代表乙相鄰，只需將這兩人捆綁，與剩余人進(jìn)行排序，
共有種不同的排法，
若記者站兩端中的某個(gè)位置，且代表甲與代表乙相鄰，則記者有種站法，
然后將代表甲與代表乙捆綁，與剩余人進(jìn)行排序，此時(shí)不同的站法種數(shù)為種，
因此，若記者不站兩端，且代表甲與代表乙相鄰的不同排法方式有種.
故答案為：.
【典例1-2】（2024·云南昆明·統(tǒng)考一模）春節(jié)前夕，某社區(qū)安排小王、小李等5名志愿者到三個(gè)敬老院做義工，每個(gè)敬老院至少安排1人，至多安排2人.若小王、小李安排在同一個(gè)敬老院，且這5名志愿者全部安排完，則所有不同的安排方式種數(shù)為 .（用數(shù)字作答）
【答案】18
【分析】先把小王、小李視為1組，再把剩下的3人分成2組，把這3組全排列即可.
【詳解】把小王、小李視為1組，
剩下的3個(gè)人先分成2組，分組的方式是： 1，2；
則有，
把這3組人再分配給3個(gè)敬老院，則.
故答案為：18
【變式1-1】（2024上·廣東廣州·高三華南師大附中?？迹┈F(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊等共7人排成一列，位置排列要求甲要站在首位或者末位，乙和丙要站在一起，丁和戊不能相鄰，共有 種排法．
【答案】288
【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合相鄰問(wèn)題、不相鄰問(wèn)題及特殊元素站位列式計(jì)算即得.
【詳解】先把乙丙捆綁在一起與除甲丁戊外的另兩人作全排列，并把乙丙排列，有種，
再把丁戊插入前面排列形成的4個(gè)空隙（除乙丙間的外）中，有種，
最后讓甲站首末兩位之一有種，
由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同排法種數(shù)是.
故答案為：288
【變式1-2】（2024上·河南南陽(yáng)·高三校聯(lián)考）某觀(guān)光旅游團(tuán)計(jì)劃在春節(jié)期間，安排游人去某地的甲、乙、丙、丁等六個(gè)小鎮(zhèn)游覽，每個(gè)小鎮(zhèn)游覽一天，連續(xù)游覽六天.若小鎮(zhèn)甲不排在首末兩天，乙、丙、丁三個(gè)小鎮(zhèn)排在相鄰的三天，則不同的游覽順序方案共有 種.
【答案】72
【分析】現(xiàn)將乙、丙、丁三個(gè)小鎮(zhèn)捆綁，然后從中間2個(gè)位置選出一個(gè)安排甲小鎮(zhèn)，剩余全排列.求出各步的方案，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，相乘即可得出答案.
【詳解】分步：
第一步，把乙、丙、丁三個(gè)小鎮(zhèn)捆綁，看成一個(gè)元素，三個(gè)小鎮(zhèn)的游覽順序有種方案；
第二步，將該整體與其他三個(gè)小鎮(zhèn)作為4個(gè)元素，依次對(duì)應(yīng)4個(gè)游覽位置進(jìn)行安排，中間2個(gè)位置選一個(gè)作為小鎮(zhèn)甲的游覽有種方案；
第三步，剩余三個(gè)元素進(jìn)行全排有種方案.
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的游覽順序方案共有種.
故答案為：72.
【變式1-3】（2023上·廣東東莞·高三?？茧A段練習(xí)）某中學(xué)為慶祝建校130周年，高三年級(jí)派出甲?乙?丙?丁?戊5名老師參加“130周年辦學(xué)成果展”活動(dòng)，活動(dòng)結(jié)束后5名老師排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，則排法共有 種(用數(shù)字作答)．
【答案】24
【分析】應(yīng)用捆綁、插空法，結(jié)合分步計(jì)數(shù)及排列數(shù)求不同的排法數(shù).
【詳解】將丙、丁捆綁排列有種，再把他們作為整體與戊排成一排有種，
排完后其中有3個(gè)空，最后將甲、乙插入其中的兩個(gè)空有種，
綜上，共有種排法.
故答案為：
題型02基礎(chǔ)模型：先分組后排列
【解題攻略】
【典例1-1】某校有5名大學(xué)生打算前往觀(guān)看冰球，速滑，花滑三場(chǎng)比賽，每場(chǎng)比賽至少有1名學(xué)生且至多2名學(xué)生前往，則甲同學(xué)不去觀(guān)看冰球比賽的方案種數(shù)有（ ）
A．48B．54C．60D．72
【答案】C
【分析】先分組，再考慮甲的特殊情況.
【詳解】將5名大學(xué)生分為1-2-2三組，即第一組1個(gè)人，第二組2個(gè)人，第三組2個(gè)人，
共有 種方法；
由于甲不去看冰球比賽，故甲所在的組只有2種選擇，剩下的2組任意選，
所以由 種方法；
按照分步乘法原理，共有 種方法；
故選：C.
【典例1-2】某地一重點(diǎn)高中為讓學(xué)生提高遵守交通的意識(shí)，每天都派出多名學(xué)生參加與交通相關(guān)的各類(lèi)活動(dòng).現(xiàn)有包括甲、乙兩人在內(nèi)的6名中學(xué)生，自愿參加交通志愿者的服務(wù)工作這6名中學(xué)生中2人被分配到學(xué)校附近路口執(zhí)勤，2人被分配到醫(yī)院附近路口執(zhí)勤，2人被分配到中心市場(chǎng)附近路口執(zhí)勤，如果分配去向是隨機(jī)的，則甲、乙兩人被分配到同一路口的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】結(jié)合排列、組合求得把6名同學(xué)平均分配到三個(gè)不同的路口分配種數(shù)，再求得甲、乙兩人被分配到同一路口種數(shù)，利用古典概型及其概率的計(jì)算公式，即可求解.
【詳解】由題意，把6名同學(xué)平均分配到三個(gè)不同的路口，共有種分配方案，
其中甲、乙兩人被分配到同一路口有種可能，
所以甲、乙兩人被分配到同一路口的概率為.
故選：A.
【變式1-1】從人中選派人承擔(dān)甲，乙，丙三項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少有一人承擔(dān)，則不同的選派方法的個(gè)數(shù)為
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先從6人中選派4人，再將選取的4人分成三組，分別從事甲、乙、丙三項(xiàng)工作，進(jìn)而可得不同的選派方法的種數(shù).
【詳解】先從6人中選派4人，共有種方法，
再將選取的4個(gè)人分成三組共有種方法，
再將三組分配從事甲、乙、丙三項(xiàng)工作共有種方法，
所以不同的選派方法共有種，
故選B.
【變式1-2】4名學(xué)生參加3個(gè)興趣小組活動(dòng)，每人參加一個(gè)或兩個(gè)小組，那么3個(gè)興趣小組都恰有2人參加的不同的分組共有_________種.
【答案】90
【分析】由題意得4名學(xué)生中，恰有2名學(xué)生參加2個(gè)興趣小組，，其余2 名學(xué)生參加一個(gè)興趣小組，然后分情況討論可得參加的不同的分組的種數(shù).
【詳解】由題意得4名學(xué)生中，恰有2名學(xué)生參加2個(gè)興趣小組，，其余2 名學(xué)生參加一個(gè)興趣小組，首先4名學(xué)生中抽出參加2個(gè)興趣小組的學(xué)生共有種.
下面對(duì)參加興趣小組的情況進(jìn)行討論：
參加兩個(gè)興趣小組的同學(xué)參加的興趣小組完全相同，共種；
2、參加兩個(gè)興趣小組的同學(xué)參加的興趣小組有一個(gè)相同，共種.
故共有種.即答案為90.
【變式1-3】.甲、乙、丙、丁4名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動(dòng)，現(xiàn)有A，B，C三個(gè)小區(qū)可供選擇，每個(gè)志愿者只能選其中一個(gè)小區(qū)去服務(wù)．則甲不在A(yíng)小區(qū)、乙不在B小區(qū)服務(wù)的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，求出4名志愿者到三個(gè)小區(qū)服務(wù)的基本事件種數(shù)，再求出甲不在A(yíng)小區(qū)、乙不在B小區(qū)服務(wù)的事件所含基本事件數(shù)即可求解作答.
【詳解】依題意，4名志愿者到三個(gè)小區(qū)服務(wù)的試驗(yàn)的基本事件有種，它們等可能，
甲不在A(yíng)小區(qū)、乙不在B小區(qū)服務(wù)，甲、乙各有2種選法，丙、丁各有3種選法，
甲不在A(yíng)小區(qū)、乙不在B小區(qū)服務(wù)的事件含有的基本事件有種，
所以甲不在A(yíng)小區(qū)、乙不在B小區(qū)服務(wù)的概率.故選：B
題型03 基礎(chǔ)模型：保序型
【解題攻略】
【典例1-1】從“”（我愛(ài)實(shí)驗(yàn)）中取6個(gè)不同的字母排成一排，含有“”字母組合（順序不變）的不同排列共有（ ）
A．360種B．480種C．600種D．720種
【答案】C
【分析】從另外5個(gè)字母中任意取4個(gè)字母，再把“sy”看成一個(gè)整體和選出的4個(gè)字母全排列，列式計(jì)算即得解.
【詳解】從另外5個(gè)字母中任意取4個(gè)字母，有種取法；再把“sy”看成一個(gè)整體和選出的4個(gè)字母全排列，共有種排法，所以一共有種.
故選：C
【典例1-2】某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目．如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（ ）
A．6B．12C．15D．30
【答案】D
【分析】由已知，根據(jù)題意可使用插空法，將2個(gè)新節(jié)目有順序插入5個(gè)節(jié)目形成的6個(gè)空中，直接列式求解即可.
【詳解】因?yàn)樵黾恿藘蓚€(gè)新節(jié)目．將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，
所以原來(lái)5個(gè)節(jié)目形成6個(gè)空，新增的2個(gè)節(jié)目插入到6個(gè)空中，
共有種插法.
故選：D.
【變式1-1】書(shū)架上某一層有5本不同的書(shū)，新買(mǎi)了3本不同的書(shū)插進(jìn)去，要保持原來(lái)5本書(shū)的順序不變，則不同的插法種數(shù)為（ ）.
A．60B．120C．336D．504
【答案】C
【分析】依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理即可求得不同的插法種數(shù).
【詳解】將新買(mǎi)的3本書(shū)逐一插進(jìn)去：
第1本書(shū)插入5本書(shū)形成的6個(gè)空隙中的1個(gè)，有6種插法；
第2本書(shū)插入6本書(shū)形成的7個(gè)空隙中的1個(gè)，有7種插法；
最后1本書(shū)插入7本書(shū)形成的8個(gè)空隙中的1個(gè)，有8種插法.
由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知不同的插法種數(shù)為6×7×8=336.
故選：C
【變式1-2】10名同學(xué)進(jìn)行隊(duì)列訓(xùn)練，站成前排3人后排7人，現(xiàn)體育教師要從后排7人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先從7個(gè)人中選2人調(diào)整到前排，再把兩個(gè)人在5個(gè)位子中選2個(gè)進(jìn)行排列即可求解.
【詳解】先從7個(gè)人中選2人調(diào)整到前排有種，調(diào)整后前排有5個(gè)人，再把兩個(gè)人在5個(gè)位子中選2個(gè)進(jìn)行排列，
原來(lái)的3人按照原順序站在剩下的3個(gè)位子，有種，按照乘法計(jì)數(shù)原理可得總共有種.
故選：B.
【變式1-3】班會(huì)課上原定有3位同學(xué)依次發(fā)言，現(xiàn)臨時(shí)加入甲，乙2位同學(xué)也發(fā)言，若保持原來(lái)3位同學(xué)發(fā)言的相對(duì)順序不變，且甲，乙的發(fā)言順序不能相鄰，則不同的發(fā)言順序種數(shù)為（ ）
A．6B．12C．18D．24
【答案】B
【分析】根據(jù)題意可知在原來(lái)三位同學(xué)的發(fā)言順序一定時(shí)，他們之間會(huì)形成個(gè)空位，插入甲，乙2位同學(xué)，由此即可求出結(jié)果.
【詳解】在原來(lái)三位同學(xué)的發(fā)言順序一定時(shí)，他們之間會(huì)形成個(gè)空位，插入甲，乙2位同學(xué)有種.
故選：B.
.
題型04基礎(chǔ)模型：數(shù)字化法
【解題攻略】
【典例1-1】.2021年高考結(jié)束后小明與小華兩位同學(xué)計(jì)劃去老年公寓參加志愿者活動(dòng)．小明在如圖的街道E處，小華在如圖的街道F處，老年公寓位于如圖的G處，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①小華到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為4條
②小明到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為35條
③小明到老年公寓在選擇的最短路徑中，與到F處和小華會(huì)合一起到老年公寓的概率為
④小明與小華到老年公寓在選擇的最短路徑中，兩人并約定在老年公寓門(mén)口匯合，事件A：小明經(jīng)過(guò)F事件B；從F到老年公寓兩人的路徑?jīng)]有重疊部分（路口除外），則
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】B
【分析】根據(jù)起點(diǎn)走向終點(diǎn)所需要向上、向右走的總步數(shù)，并確定向上或向右各走的步數(shù)，則最短路徑的走法有，再利用古典概率及條件概率求法，求小明到F處和小華會(huì)合一起到老年公寓的概率、小明經(jīng)過(guò)F且從F到老年公寓兩人的路徑?jīng)]有重疊的概率即可.
【詳解】由圖知，要使小華、小明到老年公寓的路徑最短，則只能向上、向右移動(dòng)，而不能向下、向左移動(dòng)，
對(duì)于①，小華到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小華共走3步其中1步向上，
所以最短路徑條數(shù)為條，錯(cuò)誤；
對(duì)于②，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路徑條數(shù)為條，正確；
對(duì)于③，小明到的最短路徑走法有條，再?gòu)腇處和小華一起到老年公寓的路徑最短有3條，而小明到老年公寓共有條，
所以到F處和小華會(huì)合一起到老年公寓的概率為，正確；
對(duì)于④，由題意知：事件的走法有18條即，事件的概率，
所以，錯(cuò)誤.
故說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是2.故選：B.
【典例1-2】．如圖，在某城市中，M?N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中???是道路網(wǎng)中位于一條對(duì)角線(xiàn)上的4個(gè)交匯處，今在道路網(wǎng)M?N處的甲?乙兩人分別要到N?M處，他們分別隨機(jī)地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時(shí)出發(fā)，直到到達(dá)N?M處為止，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．甲從M必須經(jīng)過(guò)到達(dá)N處的方法有9種
B．甲?乙兩人相遇的概率為
C．甲乙兩人在處相遇的概率為
D．甲從M到達(dá)N處的方法有20種
【答案】B
【分析】分別計(jì)算兩人經(jīng)過(guò)的走法種數(shù)，由排列組合與古典概型對(duì)選項(xiàng)逐一判斷
【詳解】對(duì)于甲，經(jīng)過(guò)到達(dá)有1種，經(jīng)過(guò)到達(dá)有種，
經(jīng)過(guò)到達(dá)有種，經(jīng)過(guò)到達(dá)有1種，甲從M到達(dá)N處的方法共有20種，
同理對(duì)于乙，經(jīng)過(guò)到達(dá)分別有種．
對(duì)于A(yíng)，甲從M必須經(jīng)過(guò)到達(dá)N處的方法有9種，A正確，
對(duì)于B，甲乙兩人相遇的概率，B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，甲乙兩人在處相遇的概率，C正確，
對(duì)于D，甲從M到達(dá)N處的方法共有20種，D正確
故選：B
【變式1-1】如圖，一次移動(dòng)是指：從某一格開(kāi)始只能移動(dòng)到鄰近的一格，并且總是向右或右上或右下移動(dòng)，而一條移動(dòng)路線(xiàn)由若干次移動(dòng)構(gòu)成，如1→3→4→5→6→7就是一條移動(dòng)路線(xiàn)，則從數(shù)字“1”到“7”，漏掉兩個(gè)數(shù)字的移動(dòng)路線(xiàn)條數(shù)為（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】分類(lèi)分步排列即可.
【詳解】由題意1和7是不能漏掉的，所以由以下路線(xiàn)：
（1,3,5,6,7），（1,3,4,6,7），（1,3,4,5,7），（1,2,4,6,7），（1,2,4,5,7），（1,2,3,5,7）共6條，
故選：B.
【變式1-2】夏老師從家到學(xué)校，可以選擇走錦繡路、楊高路、張楊路或者浦東大道，由于夏老師不知道楊高路有一段在修路導(dǎo)致第一天上班就遲到了，所以夏老師決定以后要繞開(kāi)那段維修的路，如圖，假設(shè)夏老師家在處，學(xué)校在處，段正在修路要繞開(kāi)，則夏老師從家到學(xué)校的最短路徑有（ ）條．
A．23B．24C．25D．26
【答案】D
【分析】先求出由到的最短路徑的條數(shù)，然后求出由到且經(jīng)過(guò)的最短路徑的條數(shù)，最后相減即可.
【詳解】由到的最短路徑需要向右走四段路，向上走三段路，所以有條路，
由到的最短路徑需要向右走兩段路，向上走一段路，所以有條路，
由到的最短路徑需要向右走一段路，向上走兩段路，所以有條路，
所以由到不經(jīng)過(guò)的最短路徑有.
故選：D.
【變式1-3】如圖，小明從街道的處出發(fā)，選擇最短路徑到達(dá)處參加志愿者活動(dòng)，在小明從處到達(dá)處的過(guò)程中，途徑處的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用組合數(shù)與分步乘法計(jì)數(shù)原理，計(jì)算出從處出發(fā)到達(dá)處的最短路徑數(shù)，并計(jì)算出小明從處到達(dá)處的過(guò)程中，途徑處的最短路徑數(shù)，然后利用古典概型的概率公式，即可得到結(jié)果.
【詳解】解：由題意，小明從處出發(fā)到達(dá)處，最短需要走四橫三縱共七段路，共有條不同的路；小明從處到處，最短需要走兩橫兩縱共四段路，共有條不同的路，從處到處，最短需要走兩橫一縱共三段路，共有條不同的路.
所以小明從處到達(dá)處的過(guò)程中，途徑處的概率.
故選：.
題型05 基礎(chǔ)模型：空車(chē)位等相同元素型
【解題攻略】
【典例1-1】（巴彥淖爾·階段練習(xí)）某電影院第一排共有9個(gè)座位，現(xiàn)有3名觀(guān)眾前來(lái)就座，若他們每?jī)扇硕疾荒芟噜?，且要求每人左右至多兩個(gè)空位，則不同的坐法共有
A．36種B．42種C．48種D．96種
【答案】C
【詳解】試題分析：共有6個(gè)空位，如果3人旁邊有三個(gè)位置時(shí)空位，那就是222的空位組合，共有種情況，當(dāng)3人旁邊有4個(gè)位置有空位，那空位組合就是1122的組合，采用插空法，共有種情況，所以不同的做法就是12+36=48種情況，故選C.
【典例1-2】（·東城·）一個(gè)停車(chē)場(chǎng)有5個(gè)排成一排的空車(chē)位，現(xiàn)有2輛不同的車(chē)停進(jìn)這個(gè)停車(chē)場(chǎng)，若停好后恰有2個(gè)相鄰的停車(chē)位空著，則不同的停車(chē)方法共有
A．6種B．12種C．36種D．72種
【答案】B
【分析】分類(lèi)討論,利用捆綁法、插空法,即可得出結(jié)論.
【詳解】把空著的2個(gè)相鄰的停車(chē)位看成一個(gè)整體，即2輛不同的車(chē)可以停進(jìn)4個(gè)停車(chē)場(chǎng)，
由題意,若2輛不同的車(chē)相鄰,則有種方法
若2輛不同的車(chē)不相鄰,則利用插空法,2個(gè)相鄰的停車(chē)位空著,利用捆綁法,
所以有種方法，不同的停車(chē)方法共有：種，
綜上,共有12種方法，
所以B選項(xiàng)是正確的.
【變式1-1】（22·23下·河北·）一條長(zhǎng)椅上有6個(gè)座位，3個(gè)人坐．要求3個(gè)空位中恰有2個(gè)空位相鄰，則坐法的種數(shù)為（ ）
A．36B．48C．72D．96
【答案】C
【分析】分兩個(gè)相鄰空位包括最左端或最右端時(shí)和不含最左端或最右端時(shí)，兩種情況求出坐法后相加即可.
【詳解】先考慮相鄰的2個(gè)空位，
當(dāng)兩個(gè)相鄰空位包括最左端或最右端時(shí)，有2種情況，與空位相鄰的座位需要安排一個(gè)人，有3種選擇，剩余的3個(gè)座位，安排2個(gè)人，有種選擇，
則有種選擇，
當(dāng)兩個(gè)相鄰空位不含最左端或最右端時(shí)，此時(shí)有3種情況，與空位相鄰的左右座位需要安排兩個(gè)人，有種選擇，最后一個(gè)人有2種選擇，
則有種選擇，
綜上：坐法的種數(shù)共有個(gè).
故選：C
【變式1-2】（·成都·階段練習(xí)）有6個(gè)座位連成一排，三人就座，恰有兩個(gè)空位相鄰的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】把三個(gè)空位分成兩組，2個(gè)相鄰，1個(gè)單獨(dú)放置，利用插空法結(jié)合分步計(jì)數(shù)乘法原理求得符合條件的排法數(shù)，再求總排法數(shù)，根據(jù)古典概型可得結(jié)果.
【詳解】第一步，把三個(gè)空位分成兩組，2個(gè)相鄰，1個(gè)單獨(dú)放置，3個(gè)人共有種排法，
第二步，把兩組不同的空位插入3個(gè)人產(chǎn)生的4個(gè)空檔里，共有種排法，
共有排法種，而所有排法為，
所以所求概率為
故答案為，故答案為:.
【變式1-3】（19·20·浙江·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有一排10個(gè)位置的空停車(chē)場(chǎng)，甲、乙、丙三輛不同的車(chē)去停放，要求每輛車(chē)左右兩邊都有空車(chē)位且甲車(chē)在乙、丙兩車(chē)之間的停放方式共有 種.
【答案】40
【分析】根據(jù)題意，先將甲、乙、丙三輛不同的車(chē)排列，使得甲車(chē)在乙、丙兩車(chē)之間，有2種排法，再將剩余的7個(gè)空車(chē)位分為4組，分別排在甲、乙、丙三輛車(chē)形成的四個(gè)空上，然后，求出不同的分組方法，最后利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解
【詳解】先將甲、乙、丙三輛不同的車(chē)排列，使得甲車(chē)在乙、丙兩車(chē)之間，有2種排法，再將剩余的7個(gè)空車(chē)位分為4組，分別排在甲、乙、丙三輛車(chē)形成的四個(gè)空上，有1，1，1，4；1，1，2，3；1，2，2，2三種分組方法，則不同的分組方法共有種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的停放方式共有種.
題型06基礎(chǔ)模型：多重受限條件型
【解題攻略】
【典例1-1】現(xiàn)有2名學(xué)生代表2名教師代表和3名家長(zhǎng)代表合影，則同類(lèi)代表互不相鄰的排法共有___________種．
【答案】
【分析】設(shè)表示兩名學(xué)生位置，表示兩名教師位置，表示三名家長(zhǎng)位置.第一步先排學(xué)生；第二步再排兩名教師，有①與，②與，③與三種情況，分類(lèi)討論①②③種情況時(shí)教師和家長(zhǎng)的排法，最后由分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理即可求解．
【詳解】由題意，設(shè)表示兩名學(xué)生位置，表示兩名教師位置，表示三名家長(zhǎng)位置，
第一步：先排學(xué)生有種方法；
第二步：再排兩名教師，有①與，②與，③與三種情況，
對(duì)于①，教師有種排法，然后再將三名家長(zhǎng)排入五個(gè)空中，共有種方法；
對(duì)于②，教師有種排法，然后家長(zhǎng)先在A(yíng)與A之間和與之間各選一個(gè)家長(zhǎng)排入，剩余一個(gè)家長(zhǎng)插入剩余三個(gè)空中的一個(gè)空中，有種；
對(duì)于③，教師有種排法，然后選一個(gè)家長(zhǎng)排在最中間一個(gè)空中，再將剩余兩個(gè)家長(zhǎng)排在剩余的四個(gè)空中，有種排法，
綜上，共有．
故答案為：912.
【典例1-2】現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名學(xué)生分別擔(dān)任語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)學(xué)科的科代表，要求甲不當(dāng)語(yǔ)文科代表，乙不當(dāng)數(shù)學(xué)科代表，若丙當(dāng)物理科代表則丁必須當(dāng)化學(xué)科代表，則不同的選法共有_____種
【答案】67
【分析】根據(jù)特殊元素特殊處理的原則，以丙進(jìn)行分類(lèi)，排完丙后，由甲不當(dāng)語(yǔ)文科代表，乙不當(dāng)數(shù)學(xué)科代表，還要進(jìn)行分類(lèi)，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可得.
【詳解】因?yàn)楸?dāng)物理課代表則丁必須當(dāng)化學(xué)課代表，以丙進(jìn)行分類(lèi)：
第一類(lèi)，當(dāng)丙當(dāng)物理課代表時(shí)，丁必須當(dāng)化學(xué)課代表，再根據(jù)甲當(dāng)數(shù)學(xué)課代表，乙戊可以當(dāng)英語(yǔ)和語(yǔ)文中的任一課，有種，當(dāng)甲不當(dāng)數(shù)學(xué)課代表，甲只能當(dāng)英語(yǔ)課代表，乙只能當(dāng)語(yǔ)文課代表，戊當(dāng)數(shù)學(xué)課代表，有種，
共計(jì)種；
第二類(lèi)，當(dāng)丙不當(dāng)物理課代表時(shí)，分四類(lèi)：
①丙為語(yǔ)文課代表時(shí)，乙只能從英語(yǔ)、物理和化學(xué)中選擇一課，剩下的甲丁戊任意排給剩下的三課，有種種，
②丙為數(shù)學(xué)課代表時(shí)，甲只能從英語(yǔ)、物理和化學(xué)中選擇一課，剩下的乙丁戊任意排給剩下的三課，有種，
③丙為英語(yǔ)課代表時(shí)，繼續(xù)分類(lèi)，甲當(dāng)數(shù)學(xué)課代表時(shí)，其他三位同學(xué)任意當(dāng)有種，當(dāng)甲不當(dāng)數(shù)學(xué)課代表，甲只能從物理和化學(xué)課中選一課,乙只能從語(yǔ)文和甲選完后的剰下的一課中選一課，丁和戊做剰下的兩課，有種，共計(jì)種，
④丙為化學(xué)課代表時(shí)，同③的選法一樣有種，
根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理得，不同的選法共有種.
故答案為：67.
【變式1-1】現(xiàn)有7位同學(xué)（分別編號(hào)為）排成一排拍照，若其中三人互不相鄰，兩人也不相鄰，而兩人必須相鄰，則不同的排法總數(shù)為_(kāi)_______．（用數(shù)字作答）
【答案】240
【分析】把排列，產(chǎn)生4個(gè)空位，然后將看作一個(gè)整體與插入到中可求解.
【詳解】解：因兩人必須相鄰，所以把看作一個(gè)整體有種排法.
又三人互不相鄰，兩人也不相鄰，所以把排列，有種排法，產(chǎn)生了4個(gè)空位，再用插空法.
（1）當(dāng)分別插入到中間的兩個(gè)空位時(shí)，有種排法，再把整體插入到此時(shí)產(chǎn)生的6個(gè)空位中，有6種排法.
（2）當(dāng)分別插入到中間的兩個(gè)空位其中一個(gè)和兩端空位其中一個(gè)時(shí)，有種排法，此時(shí)必須排在中間的兩個(gè)空位的另一個(gè)空位，有1種排法.
所以共有.
【變式1-2】某班班會(huì)準(zhǔn)備從含甲、乙、丙的7名學(xué)生中選取4人發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一個(gè)發(fā)言，且甲、乙都發(fā)言時(shí)丙不能發(fā)言，則甲、乙兩人都發(fā)言且發(fā)言順序不相鄰的概率為
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】根據(jù)題意，分種情況討論，若甲乙其中一人參加，有 種情況，若甲乙兩人都參加，則丙不能參加，有 種情況，其中甲乙相鄰的有 種情況，則甲、乙兩人都發(fā)言順序不相鄰的概率為 ，故選C.
【變式1-3】，亞非領(lǐng)導(dǎo)人會(huì)議在印尼雅加達(dá)舉行，某五國(guó)領(lǐng)導(dǎo)人、、、，除與、與不單獨(dú)會(huì)晤外，其他領(lǐng)導(dǎo)人兩兩之間都要單獨(dú)會(huì)晤．現(xiàn)安排他們?cè)趦商斓纳衔?、下午單?dú)會(huì)晤（每人每個(gè)半天最多進(jìn)行一次會(huì)晤），那么安排他們單獨(dú)會(huì)晤的不同方法共有
A．48種B．36種C．24種D．8種
【答案】A
【分析】由題設(shè)可得他們的會(huì)晤方法有兩類(lèi)：第一類(lèi)是含，其會(huì)晤方法有是偶數(shù)，可分兩類(lèi)：一是取出的三個(gè)數(shù)都是偶數(shù)，只能從中選取，共有種；第二類(lèi)取出的三個(gè)數(shù)是兩奇一偶，偶數(shù)從中選取，共有4種，兩個(gè)奇數(shù)從中選取，有，然后再全排，共有種；由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可得函數(shù)的個(gè)數(shù)為，應(yīng)選答案A
題型07地圖染色型
【解題攻略】
【典例1-1】如圖，這是第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)的大致圖案，它是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的.現(xiàn)給這5個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，且每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色.若有5種顏色可供選擇，則恰用4種顏色的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求用5種顏色任意涂色的方法總數(shù)，再求恰好用完4種顏色涂色的方法總數(shù)，最后按照古典概型求概率即可.
【詳解】若按要求用5種顏色任意涂色：
先涂中間塊，有5種選擇，再涂上塊，有4種選擇.
再涂下塊，若下塊與上塊涂相同顏色，則左塊和右塊均有3種選擇；
若下塊與上塊涂不同顏色，則下塊有3種選擇，左塊和右塊均有2種選擇.
則共有種方法.
若恰只用其中4種顏色涂色：
先在5種顏色中任選4種顏色，有種選擇.
先涂中間塊，有4種選擇，再涂上塊，有3種選擇.
再涂下塊，若下塊與上塊涂相同顏色，則左塊有2種選擇，
為恰好用盡4種顏色，則右塊只有1種選擇；
若下塊與上塊涂不同顏色，則下塊有2種選擇，左塊和右塊均只有1種選擇.
則共有種方法，
故恰用4種顏色的概率是.
故選：C.
【典例1-2】網(wǎng)課期間，小王同學(xué)趁課余時(shí)間研究起了七巧板，有一次他將七巧板拼成如下圖形狀，現(xiàn)需要給下圖七巧板右下方的五個(gè)塊涂色（圖中的1，2，3，4，5），有4種不同顏色可供選擇，要求有公共邊的兩塊區(qū)域不能同色，有______種不同的涂色方案.
【答案】252
【分析】先給2涂色，再涂5，再涂3、4，這一步要分3與5同色和3和5不同色兩種情況，最后涂1，按分步計(jì)數(shù)乘法原理計(jì)算.
【詳解】第一步：涂2，有4種顏色；
第二步：涂5，有3種顏色
第三步：涂3、4，當(dāng)3與5同色時(shí)，4有3種顏色；當(dāng)3和5不同色時(shí)，3有2種顏色，4有2種顏色，第三步共7種.
第四步：涂1，有3種顏色.
共計(jì)種.
故答案為：252
【變式1-1】如圖，要給①、②、③、④四塊區(qū)域分別涂上五種顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，則不同的涂色方案種數(shù)為（ ）．
A．180B．160C．96D．60
【答案】A
【分析】按照①②③④的順序，結(jié)合乘法計(jì)數(shù)原理即可得到結(jié)果.
【詳解】首先對(duì)①進(jìn)行涂色，有5種方法，
然后對(duì)②進(jìn)行涂色，有4種方法，
然后對(duì)③進(jìn)行涂色，有3種方法，
然后對(duì)④進(jìn)行涂色，有3種方法，
由乘法計(jì)數(shù)原理可得涂色方法種數(shù)為
種
故選:A
【變式1-2】．對(duì)如下編號(hào)為1，2，3，4的格子涂色，有紅，黑，白，灰四種顏色可供選擇，要求相鄰格子不同色，則在1號(hào)格子涂灰色的條件下，4號(hào)格子也涂灰色的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可計(jì)算出1號(hào)格子涂灰色的方案總數(shù)，再計(jì)算1號(hào)格子和4號(hào)格子同時(shí)涂灰色的方案數(shù)，即可算出其概率.
【詳解】由題意可知，整個(gè)事件需要分四步，按照格子標(biāo)號(hào)依次涂色即可；
若在1號(hào)格子涂灰色，則2號(hào)格子還有3種選色方案，同時(shí)3號(hào)格子也有3種選色方案，4號(hào)格子還剩2種選色方案，
即1號(hào)格子涂灰色的方案總數(shù)為種；
若1號(hào)格子和4號(hào)格子同時(shí)涂灰色，則2號(hào)格子還有3種選色方案，3號(hào)格子還有2種選色方案，
即1號(hào)和4號(hào)格子同時(shí)涂灰色的方案總數(shù)為種；
所以，在1號(hào)格子涂灰色的條件下，4號(hào)格子也涂灰色的概率是.
故選：A.
【變式1-3】如圖，提供4種不同的顏色給圖中，，，四塊區(qū)域涂色，若相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（ ）種．
A．12B．36C．48D．72
【答案】C
【分析】根據(jù)使用顏色的數(shù)量進(jìn)行分類(lèi)計(jì)算即可.
【詳解】如果只用了3種顏色，則ABD三塊區(qū)域顏色必兩兩不同，C區(qū)域必與A相同，
則涂法有種；
如果用了全部4種顏色，則涂法有種；
所以總共有種涂法.
故選：C..
題型08立體幾何型
【解題攻略】
【典例1-1】已知三棱錐的6條棱代表6種不同的化工產(chǎn)品，有公共頂點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是安全的，沒(méi)有公共頂點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是危險(xiǎn)的現(xiàn)用編號(hào)為1，2，3的三個(gè)倉(cāng)庫(kù)存放這6種化工產(chǎn)品，每個(gè)倉(cāng)庫(kù)放2種，那么安全存放的不同方法種數(shù)為
A．12B．24C．36D．48
【答案】D
【分析】先將種產(chǎn)品分成三組，然后存放在三個(gè)倉(cāng)庫(kù)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理求得安全存放的方法種數(shù).
【詳解】設(shè)種產(chǎn)品分別為，畫(huà)出圖像如下圖所示，根據(jù)題意，安全的分組方法有，，，，共種，每一種分組方法安排到個(gè)倉(cāng)庫(kù)，有種方法，故總的方法種數(shù)有種，故選D.
【典例1-2】用4種顏色給正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)涂色，同一條棱的兩個(gè)頂點(diǎn)涂不同的顏色，則符合條件的所有涂法共有
A．24種B．48種C．64種D．72種
【答案】D
【詳解】解法一：假設(shè)四種顏色為紅、黑、白、黃，先考慮三點(diǎn)的涂色方法，有種，若與不同色，則、點(diǎn)只有種涂色的方法，有種涂法；若與同色，則點(diǎn)有種涂色的方法，共種涂法，所以不同的涂法共有種．
解法二：用種顏色涂色時(shí)，即與，與都同色，共有種涂色的方法，用種顏色時(shí)，有與，與中一組同色，有種情況，共有種，故共有種，故選D．
【變式1-1】從正方體的頂點(diǎn)及其中心共9個(gè)點(diǎn)中任選4個(gè)點(diǎn)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】由正方體性質(zhì)，結(jié)合組合數(shù)求出所有共面的4個(gè)點(diǎn)的選法，而所有可能情況有種，應(yīng)用古典概型的概率求法求概率.
【詳解】如下圖，選正方體6個(gè)側(cè)面上的頂點(diǎn)，共有6種共面的情況；
過(guò)中心的平面共有6個(gè)平面，每個(gè)平面含9個(gè)點(diǎn)中的5個(gè)，則共有種；
所有可能情況有種，
所以這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為.
故答案為：
【變式1-2】給正方體的八個(gè)頂點(diǎn)涂色，要求同一條棱的兩個(gè)端點(diǎn)不同色，現(xiàn)有三種顏色可供選擇，不同的涂色方法有________種．
【答案】114
【分析】先考慮兩種顏色的情況，易得有6種方法；再考慮三種顏色的情況，分同色、同色不同色，同色不同色，及不同色四種情況，對(duì)每個(gè)點(diǎn)的著色情況進(jìn)行考慮，最終可得答案.
【詳解】如下圖所示的正方體，
①用兩種顏色，和同色，則有種；
②用三種顏色，
若同色，則各有兩種選色方法，故共有種；
若同色，與之不同色，注意又與不同色，故只有一種涂色，同理也只有一種涂色，而各有兩種涂色方法，故共有種；
若同色，與之不同色，同理，共有種；
注意到顏色互不相同是不可能事件，否則無(wú)色可涂，故同色的情況討論完畢.
若不同色，則各只有一種涂色方法，另外要么與同色，要么與同色，否則無(wú)色可涂，
若與同色，則有兩種涂色，一種是與同色，則有兩種涂色方法，只有一種涂色方法，共有種，一種是與不同色，則必與同色，否則無(wú)色可涂，此時(shí)，都只有一種涂色方法，共有種；
若與同色，與上述討論的情況等價(jià)，同理可得共有種；
至此，所有情況討論完畢，故共有種.
故答案為：114.
.
【變式1-3】.以平行六面體的任意三個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，從中隨機(jī)取出兩個(gè)三角形，則這兩個(gè)三角形不共面的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先計(jì)算能構(gòu)成多少個(gè)三角形，再將共面的情況剔除，即通過(guò)對(duì)立事件就可以計(jì)算不共面的概率．
【詳解】解：平行六面體有個(gè)頂點(diǎn)，
任意取構(gòu)成的三角形個(gè)數(shù)為，
即從56個(gè)三角形中任取兩個(gè)三角形，
現(xiàn)共面的情況為表面?zhèn)€面與個(gè)對(duì)角面，每個(gè)面構(gòu)成個(gè)三角形，
設(shè)任取兩個(gè)三角形不共面為事件“”，
，故選：A．
.
題型09 醫(yī)生、護(hù)士等平均分配型
【解題攻略】
【典例1-1】（2022下·四川成都·高三成都七中校考開(kāi)學(xué)考試）某醫(yī)院分配3名醫(yī)生6名護(hù)士緊急前往三個(gè)小區(qū)協(xié)助社區(qū)做核酸檢測(cè).要求每個(gè)小區(qū)至少一名醫(yī)生和至少一名護(hù)士.問(wèn)共有多少種分配方案？（ ）
A．3180B．3240C．3600D．3660
【答案】B
【分析】分三種情況進(jìn)行分類(lèi)討論，依據(jù)先分組再分配原則解決“至少”問(wèn)題.
【詳解】每個(gè)小區(qū)至少一名護(hù)士，則把護(hù)士分為3組，共有3種情況：1,1,4；1,2,3；2,2,2
把護(hù)士分為3組，3組人數(shù)分別為1,1,4，共有種分法，再分配給3個(gè)小區(qū)，有
種分法.每個(gè)小區(qū)1名醫(yī)生有種分法，則分配方案數(shù)為；
把護(hù)士分為3組，3組人數(shù)分別為1,2,3，共有種分法，再分配給3個(gè)小區(qū)，有
種分法.每個(gè)小區(qū)1名醫(yī)生有種分法，則分配方案數(shù)為；
把護(hù)士分為3組，3組人數(shù)分別為2,2,2，共有種分法，再分配給3個(gè)小區(qū)，有
種分法.每個(gè)小區(qū)1名醫(yī)生有種分法，則分配方案數(shù)為
綜上，分配方案總數(shù)為
故選：B
【典例1-2】（2021·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè)）已知有5個(gè)不同的小球，現(xiàn)將這5個(gè)球全部放入到標(biāo)有編號(hào)1、2、3、4、5的五個(gè)盒子中，若裝有小球的盒子的編號(hào)之和恰為11，則不同的放球方法種數(shù)為（ ）
A．150B．240C．390D．1440
【答案】C
【分析】分析可得可以將5個(gè)球放到編號(hào)2、4、5的三個(gè)盒子中或者放到編號(hào)1、2、3、5的四個(gè)盒子中，分別計(jì)算每種放球方法種數(shù)，再利用分類(lèi)相加計(jì)數(shù)原理可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)榛?br>所以5個(gè)球放到編號(hào)2、4、5的三個(gè)盒子中或者放到編號(hào)1、2、3、5的四個(gè)盒子中
（1）5個(gè)球放到編號(hào)2、4、5的三個(gè)盒子中，因?yàn)槊總€(gè)盒子中至少放一個(gè)小球，所以在三個(gè)盒子中有兩種方法：
各放1個(gè)，2個(gè)，2個(gè)的方法有種.
各放3個(gè)，1個(gè)，1個(gè)的方法有種.
（2）5個(gè)球放到編號(hào)1、2、3、5的四個(gè)盒子中，則各放2個(gè)，1個(gè)，1個(gè)，1個(gè)的方法有
種.
綜上，總的放球方法數(shù)為種.
故選：C
【變式1-1】（2022下·山西晉中·高三?？迹┠掣咝４笠恍律械?名同學(xué)打算參加學(xué)校組織的“雅荷文學(xué)社”、“青春風(fēng)街舞社”、“羽乒協(xié)會(huì)”、“演講團(tuán)”、“吉他協(xié)會(huì)”五個(gè)社團(tuán)，若每名同學(xué)必須參加且只能參加1個(gè)社團(tuán)且每個(gè)社團(tuán)至多兩人參加，則這6個(gè)人中至多有1人參加“演講團(tuán)”的不同參加方法數(shù)為
A．4680B．4770C．5040D．5200
【答案】C
【詳解】若有人參加“演講團(tuán)”，則從 人選人參加該社團(tuán)，其余 人去剩下 個(gè)社團(tuán)，人數(shù)安排有 種情況： 和 ，故人參加“演講團(tuán)”的不同參加方法數(shù)為 ，若無(wú)人參加“演講團(tuán)”，則 人參加剩下 個(gè)社團(tuán)，人數(shù)安排安排有 種情況： 和 ，故無(wú)人參加“演講團(tuán)”的不同參加方法數(shù)為 ，故滿(mǎn)足條件的方法數(shù)為 ，故選C.
【變式1-2】（2024·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）將3個(gè)相同的紅球和3個(gè)相同的黑球裝入三個(gè)不同的袋中，每袋均裝2個(gè)球，則不同的裝法種數(shù)為（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】A
【分析】先將紅球從數(shù)量分成，兩種類(lèi)型的分組，在分兩類(lèi)研究以上不同形式下紅球放入三個(gè)不同的袋中的方法數(shù)，最后袋中不重上黑球，使每個(gè)袋子中球的總個(gè)數(shù)為個(gè)，將兩類(lèi)情況的方法總數(shù)相加即可.
【詳解】將個(gè)紅球分成組，每組球的數(shù)量最多個(gè)最少個(gè)，則有，兩種組合形式，
當(dāng)紅球分組形式為時(shí)，將紅球放入三個(gè)不同的袋中有放法，
此時(shí)三個(gè)不同的袋中依次補(bǔ)充上黑球，使每個(gè)袋子中球的總個(gè)數(shù)為個(gè)即可.
當(dāng)紅球分組形式為時(shí)，將紅球放入三個(gè)不同的袋中有種放法，
此時(shí)三個(gè)不同的袋中依次補(bǔ)充上黑球，使每個(gè)袋子中球的總個(gè)數(shù)為個(gè)即可.
綜上所述：將3個(gè)相同的紅球和3個(gè)相同的黑球裝入三個(gè)不同的袋中，每袋均裝2個(gè)球，
不同的裝法種數(shù)為種.
故選：A .
【變式1-3】（2024全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）《數(shù)術(shù)記遺》是東漢時(shí)期徐岳編撰的一部數(shù)學(xué)專(zhuān)著，該書(shū)記述了我國(guó)古代14種算法，分別是：積算（即算籌）?太乙算?兩儀算?三才算?五行算?八卦算?九宮算?運(yùn)籌算?了之算?成數(shù)算?把頭算?龜算?珠算?和計(jì)數(shù).某學(xué)習(xí)小組有甲?乙?丙3人，該小組要收集九宮算?運(yùn)籌算?了之算?成數(shù)算?把頭算?珠算6種算法相關(guān)資料，要求每種算法只能一人收集，每人至少收集其中一種，則不同的分配方案種數(shù)為（ ）
A．240B．300C．420D．540
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分組分配問(wèn)題，結(jié)合排列組合，即可求解.
【詳解】根據(jù)題意，將6種算法分成3組，有1，1，4一組，有1，2，3一組，以及2，2，2一組，
然后將這3組分配給甲乙丙三個(gè)人，
所以不同的分配方案有.
故選：D
題型10走樓梯模型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某教學(xué)樓從二樓到三樓的樓梯共10級(jí)，上樓可以一步上一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，某同學(xué)從二樓到三樓準(zhǔn)備用7步走完，則第二步走兩級(jí)臺(tái)階的概率為（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用古典概型概率公式結(jié)合組合數(shù)計(jì)算可得.
【詳解】10級(jí)臺(tái)階要用7步走完，則4步是上一級(jí)，三步是上兩級(jí)，
共種走法，
若第二步走兩級(jí)臺(tái)階，則其余6步中有兩步是上兩級(jí)，
共，所以第二步走兩級(jí)臺(tái)階的概率為.故選：C
【典例1-2】（2023下·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）一個(gè)樓梯共有11級(jí)臺(tái)階，甲同學(xué)正好站在第11級(jí)臺(tái)階上，現(xiàn)在他每步可邁1級(jí)、2級(jí)或3級(jí)臺(tái)階，甲從第11級(jí)臺(tái)階走到第6級(jí)臺(tái)階（只能向前走），一共有多少種不同的走法？（ ）
A．11種B．12種C．13種D．14種
【答案】C
【分析】根據(jù)邁步的級(jí)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)求解，然后利用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理的計(jì)算公式即可求解.
【詳解】從10級(jí)臺(tái)階至6級(jí)臺(tái)階分別用至表示，表示甲走到第級(jí)臺(tái)階時(shí)，所有可能不同的走法，則①?gòu)牡?1級(jí)臺(tái)階邁步到第10級(jí)臺(tái)階需要1步，即當(dāng)時(shí)，；②從第11級(jí)臺(tái)階邁步到第9級(jí)臺(tái)階可以一步一級(jí)跨，也可以一步跨2級(jí)臺(tái)階，即當(dāng)時(shí)，；③從第11級(jí)臺(tái)階邁步到第8級(jí)臺(tái)階可以一步一級(jí)跨，也可以一步跨3級(jí)臺(tái)階，還可以第一步跨1級(jí)臺(tái)階，第二步跨2級(jí)或第一步跨2級(jí)，第二步跨1級(jí)，即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，分三種情況討論，如果第一步跨一級(jí)臺(tái)階，那么還剩下三級(jí)臺(tái)階，由③可知有（種）跨法.如果第一步跨二級(jí)臺(tái)階，那么還剩下二級(jí)臺(tái)階，由②可知有（種）跨法.如果第一步跨三級(jí)臺(tái)階，那么還剩下一級(jí)臺(tái)階，由①可知有（種）跨法.根據(jù)加法原理，有，類(lèi)推，當(dāng)時(shí)，甲只能從2，3，4跨到5，則，
故選：C.
【變式1-1】（2021·高三單元測(cè)試）某人在上樓梯時(shí)，一步上一個(gè)臺(tái)階或兩個(gè)臺(tái)階，設(shè)他從平地上到第一級(jí)臺(tái)階時(shí)有f（1）種走法，從平地上到第二級(jí)臺(tái)階時(shí)有f（2）種走法……則他從平地上到第n級(jí)(n≥3)臺(tái)階時(shí)的走法f(n)等于（ ）
A．f(n-1)+1B．f(n-2)+2
C．f(n-2)+1D．f(n-1)+f(n-2)
【答案】D
【分析】確定他如何到達(dá)第級(jí)臺(tái)階即可：有兩種走法，在第級(jí)臺(tái)階跨兩步到達(dá)，或者在第級(jí)臺(tái)階跨一步到達(dá)，由此可得所求關(guān)系式．
【詳解】解：要到達(dá)第n級(jí)臺(tái)階有兩種走法：（1）在第n-2級(jí)的基礎(chǔ)上到達(dá)；（2）在第n-1級(jí)的基礎(chǔ)上到達(dá)．
因此有．
故選：D
【變式1-2】有一道樓梯共10階，小王同學(xué)要登上這道樓梯，登樓梯時(shí)每步隨機(jī)選擇一步一階或一步兩階，小王同學(xué)7步登完樓梯的概率為_(kāi)__________.
【答案】
【分析】由題意可分為步、步、步、步、步、步共6種情況，分別求出每種的基本事件數(shù)，再利用古典概型的概率公式計(jì)算可得；
【詳解】解：由題意可分為步、步、步、步、步、步共6種情況，
①步：即步兩階，有種；
②步：即步兩階與步一階，有種；
③步：即步兩階與步一階，有種；
④步：即步兩階與步一階，有種；
⑤步：即步兩階與步一階，有種；
⑥步：即步一階，有種；
綜上可得一共有種情況，滿(mǎn)足7步登完樓梯的有種；
故7步登完樓梯的概率為故答案為：
【變式1-3】某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10級(jí)，上樓可以一步上一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，若規(guī)定從二樓到三樓用8步走完，則方法有（ ）
A．45種B．36種C．28種D．25種
【答案】C
【解析】由題意可知，10 級(jí)樓梯要8 步走完，這8步中有6步是一步上一級(jí)，2步是一步上兩級(jí)，所以此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為從8步中選2步即為答案.
【詳解】由題意，這8步中有6步是一步上一級(jí)，2步是一步上兩級(jí)，只需確定這8步中，哪2步是一步上兩級(jí)即得答案為，
故選：C.
題型11擋板法模型
【解題攻略】
【典例1-1】（2024上·遼寧沈陽(yáng)·高三校聯(lián)考）將20個(gè)無(wú)任何區(qū)別的小球放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子內(nèi)的小球個(gè)數(shù)不小于它的編號(hào)數(shù)，則不同的放法有（ ）
A．90種B．120種C．160種D．190種
【答案】B
【分析】應(yīng)用“隔板法”求解即可.
【詳解】先在編號(hào)為2，3的盒子內(nèi)分別放入1個(gè)，2個(gè)球，還剩17個(gè)小球，
則三個(gè)盒子內(nèi)每個(gè)至少再放入1個(gè)球，
將17個(gè)球排成一排，有16個(gè)空隙，插入2塊擋板分為三堆放入三個(gè)盒子中，
不同的放法共有（種）.
故選：B.
【典例1-2（2023上·浙江·高三浙江省春暉中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）某市抽調(diào)5位老師分赴3所山區(qū)學(xué)校支教，要求每位老師只能去一所學(xué)校，每所學(xué)校至少安排一位老師．由于工作需要，甲、乙兩位老師必須安排在不同的學(xué)校，則不同的分派方法的種數(shù)是（ ）
A．124B．246C．114D．108
【答案】C
【分析】利用分布乘法計(jì)數(shù)原理，根據(jù)排列及間接法計(jì)算.
【詳解】設(shè)學(xué)校為，先把甲乙兩人安排到不同學(xué)校，有種，
不妨設(shè)甲在A(yíng)，乙在B，只需剩余3人至少有1人去C即可，
利用間接法計(jì)算，有種不同安排方法，
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有種不同安排方法.
故選：C
【變式1-1】（2023下·安徽合肥·高三合肥市第五中學(xué)?？迹?個(gè)相同的球放入4個(gè)不同的盒子中，則每個(gè)盒子都有球的放法種數(shù)為（ ）
A．840B．35C．20D．15
【答案】C
【分析】利用“隔板法”即可得解．
【詳解】將7個(gè)相同的球放入4個(gè)不同的盒子中，即把7個(gè)相同的球分成4組，
因?yàn)槊總€(gè)盒子都有球，所以每個(gè)盒子至少有一個(gè)球，
不妨將7個(gè)球擺成一排，中間形成6個(gè)空，只需在這6個(gè)空插入3個(gè)隔板將它們隔開(kāi)，即分成4組，不同插入方法共有種，
所以每個(gè)盒子都有球的放法種數(shù)為20．
故選：C．
【變式1-2】（2022上·高三課時(shí)練習(xí)）現(xiàn)有15個(gè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽參賽名額分給五個(gè)班，其中一、二班每班至少3個(gè)名額，三、四、五班每班至少2個(gè)名額，則名額分配方式共有（ ）
A．15種B．35種C．70種D．125種
【答案】B
【分析】利用隔板法求解.
【詳解】根據(jù)題意，先將15個(gè)名額分配給一班、二班每班2個(gè)，三、四、五班每班1個(gè)，還剩下8個(gè)名額，將剩下的8個(gè)名額進(jìn)行分組，每組至少一人，
利用“隔板法”求解，8個(gè)有7個(gè)間隔，要分成組，7個(gè)間隔選4個(gè)即可，則有種分配方法.
故選：.
【變式1-3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）把1995個(gè)不加區(qū)別的小球分別放在10個(gè)不同的盒子里，使得第個(gè)盒子中至少有個(gè)球（），則不同放法的總數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】先在第個(gè)盒里放入個(gè)球，，即第1個(gè)盒里放1個(gè)球，第2個(gè)盒里放2個(gè)球，…，這時(shí)共放了個(gè)球，還余下個(gè)球．故轉(zhuǎn)化為把1940個(gè)球任意放入10個(gè)盒子里（允許有的盒子里不放球）．把這1940個(gè)球用9塊隔板隔開(kāi)，每一種隔法就是一種球的放法，1940個(gè)球連同9塊隔板共占有1949個(gè)位置，相當(dāng)于從1949個(gè)位置中選9個(gè)位置放隔板，有種放法．選D．
題型12 相同元素型
【典例1-1】學(xué)校決定把12個(gè)參觀(guān)航天航空博物館的名額給二（1）、二（2）、二（3）、二（4）四個(gè)班級(jí). 要求每個(gè)班分得的名額不比班級(jí)序號(hào)少；即二(1)班至少1個(gè)名額, 二(2)班至少2個(gè)名額，…… ，則分配方案有( )
A．10種B．6種C．165種D．495種
【答案】A
【詳解】根據(jù)題意，先在編號(hào)為2、3、4的3個(gè)班級(jí)中分別分配1、2、3個(gè)名額，編號(hào)為1的班級(jí)里不分配；再將剩下的6個(gè)名額分配4個(gè)班級(jí)里，每個(gè)班級(jí)里至少一個(gè)，
分析可得，共 種放法，即可得符合題目要求的放法共10種，
故答案為A
【典例1-2】記為一個(gè)位正整數(shù)，其中都是正整數(shù)，．若對(duì)任意的正整數(shù)，至少存在另一個(gè)正整數(shù)，使得，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“位重復(fù)數(shù)”．根據(jù)上述定義，“四位重復(fù)數(shù)”的個(gè)數(shù)為
A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)
【答案】B
【分析】由題意，對(duì)于“位重復(fù)數(shù)”，任意數(shù)位上的數(shù)字都必然至少有另外一個(gè)數(shù)位上也是相同的數(shù)字.“四位重復(fù)數(shù)”分兩種情況分別計(jì)數(shù)即可，即“四個(gè)數(shù)位上的數(shù)字相同”“兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字相同，另兩個(gè)數(shù)位上同為另外一個(gè)數(shù)字”.
【詳解】由題意，對(duì)于“位重復(fù)數(shù)”，任意數(shù)位上的數(shù)字都必然至少有另外一個(gè)數(shù)位上也是相同的數(shù)字.
所以“四位重復(fù)數(shù)”包含兩種情況.
(1)四個(gè)數(shù)位上的數(shù)字相同，有共個(gè).
(2)兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字相同，另兩個(gè)數(shù)位上同為另外一個(gè)數(shù)字.
若千位、百位相同(不能為)，十位、個(gè)位相同，故有個(gè).
同理，若千位、十位相同(不能為)，百位、個(gè)位相同，也有個(gè).
若千位、個(gè)位相同(不能為)，百位、十位相同，也有個(gè).
綜上，“四位重復(fù)數(shù)”的個(gè)數(shù)為.
故選B.
【變式1-1】．已知一袋中有標(biāo)有號(hào)碼1、2、3、4的卡片各一張，每次從中取出一張，記下號(hào)碼后放回，當(dāng)四種號(hào)碼的卡片全部取出時(shí)即停止，則恰好取6次卡片時(shí)停止的概率為_(kāi)_____.
【答案】
【分析】恰好取6次卡片時(shí)停止，說(shuō)明前5次出現(xiàn)了3種號(hào)碼且第6次出現(xiàn)第4種號(hào)碼.分兩類(lèi)，三種號(hào)碼出現(xiàn)的次數(shù)分別為3, 1, 1或者2, 2, 1.每類(lèi)中可以分步完成，先確定三種號(hào)碼卡片出現(xiàn)順序有種，再分別確定這三種號(hào)碼卡片出現(xiàn)的位置(注意平均分組問(wèn)題)，最后讓第四種顏色出現(xiàn)有一種方法,相乘可得，最后根據(jù)古典概型求概率即可.
【詳解】由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，每次從中取出一張，記下號(hào)碼后放回，進(jìn)行6次一共有種不同的取法.
恰好取6次卡片時(shí)停止，說(shuō)明前5次出現(xiàn)了3種號(hào)碼且第6次出現(xiàn)第4種號(hào)碼，三種號(hào)碼出現(xiàn)的次數(shù)分別為3, 1, 1或者2, 2, 1,
三種號(hào)碼分別出現(xiàn)3，1，1且6次時(shí)停止的取法有 種，
三種號(hào)碼分別出現(xiàn)2，2，1 且6次時(shí)停止的取法有 種，
由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知恰好取6次卡片時(shí)停止，共有種取法，
所以恰好取6次卡片時(shí)停止的概率為: ，
故答案為：
【變式1-2】甲?乙?丙三人相約去看電影，他們的座位恰好是同一排10個(gè)位置中的3個(gè)，因疫情防控的需要（這一排沒(méi)有其他人就座），則每人左右兩邊都有空位的坐法（ ）
A．120種B．80種C．64種D．20種
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，先排7個(gè)空座位，由于空座位是相同的，則只有1種情況，其中有6個(gè)空檔，將3人連同座一起安排在空檔上，計(jì)算可得答案.
【詳解】根據(jù)題意，一并排座位有10個(gè)，3人就坐，有7個(gè)空座位，將7個(gè)空座位排成一排，中間有6個(gè)空檔，將3人連同座位一起安排空檔上，有種安排方法，
故答案為：A.
【變式1-3】電影院一排10個(gè)位置，甲、乙、丙三人去看電影，要求他們坐在同一排，且每人左右兩邊都有空位的坐法種數(shù)為（ ）
A．120B．80C．64D．20
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，先排好7個(gè)空座位，注意空座位是相同的，其中6個(gè)空位符合條件，將3人插入6個(gè)空位中，再對(duì)甲、乙、丙三個(gè)人進(jìn)行排列，最后用分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行求解即可.
【詳解】解：除甲、乙、丙三人的座位外，還有7個(gè)座位，它們之間共可形成六個(gè)空，
三人從6個(gè)空中選三位置坐上去有種坐法，
而甲、乙、丙三個(gè)人進(jìn)行排列，有種坐法，
所以每人左右兩邊都有空位的坐法種數(shù)為：.
故選：A.
題型13不定方程模型
【典例1-1】（2023上·北京大興·高三北京市大興區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，且，記為，，中的最大值，（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)隔板法得到的解有組，然后列舉得到有6組解，最后求概率即可.
【詳解】根據(jù)隔板法，將10看做10和完全相同的小球排成一排，中間形成9個(gè)空，放入兩個(gè)隔板，可求得的解有組，
時(shí)，或或或或或，
所以.
故選：A.
【典例1-2】（2023下·江蘇常州·高三校聯(lián)考）在空間直角坐標(biāo)系中，，則三棱錐內(nèi)部整點(diǎn)(所有坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，不包括邊界上的點(diǎn))的個(gè)數(shù)為（ ）
A．35B．36C．84D．21
【答案】A
【分析】首先求平面的一個(gè)法向量，并根據(jù)法向量確定三棱錐內(nèi)部的點(diǎn)滿(mǎn)足的條件，
并結(jié)合隔板法，求方法種數(shù).
【詳解】由條件可知，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，則
，令，則，故，
設(shè)是平面上的點(diǎn)，則，
故，則，
不妨設(shè)三棱錐內(nèi)部整數(shù)點(diǎn)為，則，且，，，則
若時(shí)，則在平面上，
若，則在三棱錐的外部，
所以，
當(dāng)，且時(shí)，
將寫(xiě)成個(gè)1排成一列，利用隔板法將其隔成三部分，則結(jié)果的個(gè)數(shù)為的取值的方法個(gè)數(shù)，顯然有個(gè)方法，
所有整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.
故選：A
【變式1-1】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在空間直角坐標(biāo)系中，，則三棱錐內(nèi)部整點(diǎn)（所有坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，不包括邊界上的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用空間向量法求得面的一個(gè)法向量為，從而求得面上的點(diǎn)滿(mǎn)足，進(jìn)而得到棱錐內(nèi)部整點(diǎn)為滿(mǎn)足，再利用隔板法與組合數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】根據(jù)題意，作出圖形如下，
因?yàn)?，所以?br>設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，
令，則，故，
設(shè)是面上的點(diǎn)，則，
故，則，
不妨設(shè)三棱錐內(nèi)部整點(diǎn)為，則，故，則，
易知若，則在面上，若，則在三棱錐外部，
所以，
當(dāng)且時(shí)，
將寫(xiě)成個(gè)排成一列，利用隔板法將其隔成三部分，則結(jié)果的個(gè)數(shù)為的取值的方法個(gè)數(shù)，顯然有個(gè)方法，
所有整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，
因?yàn)椋?br>所以.
故選：B.
【變式1-2】（2018·北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）滿(mǎn)足不等式的有序整數(shù)組的數(shù)目為（ ）
A．228B．229C．230D．231
【答案】D
【分析】根據(jù)隔板法可求方程不同的整數(shù)解的個(gè)數(shù).
【詳解】先考慮的有序整數(shù)解的個(gè)數(shù)，
由引理可得該個(gè)數(shù)為.
若有一個(gè)為零，則有序整數(shù)解的個(gè)數(shù)為，
若有兩個(gè)為零，則有序整數(shù)解的個(gè)數(shù)為，
若全為零，則有序整數(shù)解的個(gè)數(shù)為個(gè)，
故共有不同組數(shù)231.
故選：D.
【變式1-3】（2022·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)集合，其中為自然數(shù)且，則符合條件的集合A的個(gè)數(shù)為（ ）
A．833B．884C．5050D．5151
【答案】A
【分析】利用隔板法，然后排除有兩個(gè)數(shù)相同的結(jié)果，再結(jié)合集合元素的無(wú)序性可得.
【詳解】將100個(gè)小球排成一列，在101個(gè)空位（包括兩段的空位）中插入第一個(gè)擋板，再在產(chǎn)生的102個(gè)空位中插入第二個(gè)擋板，將小球分成三段，分別記每段中的小球個(gè)數(shù)為a、b、c，共有種結(jié)果，
因?yàn)?，所以a、b、c中含有兩個(gè)0,1,2，…，50各有3種結(jié)果，
所以a、b、c三個(gè)數(shù)各不相等的結(jié)果共有個(gè)
因?yàn)槿齻€(gè)元素的每種取值有6種不同順序，
所以，由集合元素的無(wú)序性可知符合條件的集合A的個(gè)數(shù)為個(gè).
故選：A
題型14球放盒子型：公交車(chē)模型
【典例1-1】某奧運(yùn)村有，，三個(gè)運(yùn)動(dòng)員生活區(qū)，其中區(qū)住有人，區(qū)住有人，區(qū)住有人已知三個(gè)區(qū)在一條直線(xiàn)上，位置如圖所示奧運(yùn)村公交車(chē)擬在此間設(shè)一個(gè)?？奎c(diǎn)，為使所有運(yùn)動(dòng)員步行到?？奎c(diǎn)路程總和最小，那么停靠點(diǎn)位置應(yīng)在（ ）
A．區(qū)B．區(qū)C．區(qū)D．，兩區(qū)之間
【答案】A
【分析】分類(lèi)討論，分別研究?？奎c(diǎn)為區(qū)、區(qū)、區(qū)和，兩區(qū)之間時(shí)的總路程，即可得出答案．
【詳解】若停靠點(diǎn)為區(qū)時(shí)，所有運(yùn)動(dòng)員步行到?？奎c(diǎn)的路程和為：米；
若停靠點(diǎn)為區(qū)時(shí)，所有運(yùn)動(dòng)員步行到停靠點(diǎn)的路程和為：米；
若?？奎c(diǎn)為區(qū)時(shí)，所有運(yùn)動(dòng)員步行到?？奎c(diǎn)的路程和為：米；
若?？奎c(diǎn)為區(qū)和區(qū)之間時(shí)，設(shè)距離區(qū)為米，所有運(yùn)動(dòng)員步行到停靠點(diǎn)的路程和為：
，
當(dāng)取最小值，故?？奎c(diǎn)為區(qū)．
故選：A
【典例1-2】通蘇嘉甬高速鐵路起自南通西站， 經(jīng)蘇州市、嘉興市后跨越杭州灣進(jìn)入寧波市， 全線(xiàn)正線(xiàn)運(yùn)營(yíng)長(zhǎng)度， 其中新建線(xiàn)路長(zhǎng)度， 是《中長(zhǎng)期鐵路網(wǎng)規(guī)劃》中 “八縱八橫”高速鐵路主通道之一的沿海通道的重要組成部分， 是長(zhǎng)江三角洲城市群的重要城際通道， 沿途共設(shè)南通西、張家港、常熟西、 蘇州北、汾湖、嘉興北、嘉興南、海鹽西、慈溪、莊橋等 10 座車(chē)站.假設(shè)甲、乙兩人從首發(fā)站（南通西） 同時(shí)上車(chē)， 在沿途剩余9站中隨機(jī)下車(chē)， 兩人互不影響， 則甲、乙兩人在同一站下車(chē)的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】甲、乙兩人下車(chē)包含的基本事件個(gè)數(shù)為，甲、乙兩人在同一車(chē)站下車(chē)包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此算出甲、乙兩人在同一站下車(chē)的概率.
【詳解】解：甲、乙兩人從首發(fā)站（南通西） 同時(shí)上車(chē)，沿途經(jīng)過(guò)剩余9個(gè)車(chē)站，甲、乙兩人隨機(jī)下車(chē)，互不影響，故甲、乙兩人下車(chē)包含的基本事件個(gè)數(shù)為：
設(shè)“甲、乙兩人在同一車(chē)站下車(chē)為事件M”，則事件M包含的基本事件個(gè)數(shù)為：
.故選：D.
【變式1-1】車(chē)上有6名乘客，沿途有3個(gè)車(chē)站，每名乘客可任選1個(gè)車(chē)站下車(chē)，則乘客不同的下車(chē)方法數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用每名乘客都有3種下車(chē)方式，總共有6名乘客，相乘直接計(jì)算得到答案
【詳解】根據(jù)題意，汽車(chē)上有6名乘客，沿途有3個(gè)車(chē)站，每名乘客可以在任意一個(gè)車(chē)站下車(chē)，即每名乘客都有3種下車(chē)方式，則6名乘客有種可能的下車(chē)方式．
故選：B
【變式1-2】長(zhǎng)春54路有軌電車(chē)建成于上個(gè)世紀(jì)30年代，大概是現(xiàn)存最美的電車(chē)路線(xiàn)了，見(jiàn)證著這座城市的歷史與發(fā)展.學(xué)生甲和學(xué)生乙同時(shí)在長(zhǎng)影站上了開(kāi)往西安大路方向的電車(chē)，甲將在創(chuàng)業(yè)大街站之前任何一站下車(chē)，乙將在景陽(yáng)大路站之前任何一站下車(chē)，他們都至少坐一站再下車(chē)，則甲比乙后下車(chē)的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出甲、乙下車(chē)的情況共有種可能，再求出甲比乙后下車(chē)共有15種可能，最后利用幾何概型公式求解即可.
【詳解】甲將在長(zhǎng)影站上車(chē)，將在創(chuàng)業(yè)大街站之前任何一站下車(chē),可能在6個(gè)站下車(chē)，
乙在長(zhǎng)影站上車(chē)，將在景陽(yáng)大路站之前任何一站下車(chē)，可能在9個(gè)站下車(chē)，則甲、乙下車(chē)的情況共有種可能；
他們都至少坐一站再下車(chē)，若乙在湖西路先下車(chē)，甲后下車(chē)的情況有5種可能，若乙在長(zhǎng)久路先下車(chē)，甲后下車(chē)的情況有4種可能，若乙在寬平大路先下車(chē)，甲后下車(chē)的情況有3種可能，若乙在寬平大橋先下車(chē)，甲后下車(chē)的情況有2種可能，若乙在迎春路先下車(chē)，甲后下車(chē)的情況有1種可能，則甲比乙后下車(chē)共有15種可能，
故他們都至少坐一站再下車(chē)，則甲比乙后下車(chē)的概率為.
故選：.
【變式1-3】某公交車(chē)上有6位乘客，沿途4個(gè)車(chē)站，乘客下車(chē)的可能方式有（ ）
A．64種B．46種C．24種D．360種
【答案】B
【分析】對(duì)于每一位乘客都有4種下車(chē)可能，即可求6位乘客的可能下車(chē)情況數(shù).
【詳解】由題意，每一位乘客都有4種選擇，故乘客下車(chē)的可能方式有4×4×4×4×4×4＝46種，
故選：B．
題型15球放盒子型：電梯模型
【典例1-1】（2024·浙江紹興·高三統(tǒng)考）有一座6層大樓，3人從大樓第一層進(jìn)入電梯，假設(shè)每個(gè)人自第二層開(kāi)始在每一層離開(kāi)電梯是等可能的，則這3人離開(kāi)電梯的層數(shù)之和為10的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用古典概型，根據(jù)這人離開(kāi)電梯的層數(shù)之和為的情況進(jìn)行分類(lèi)求解.
【詳解】假設(shè)每個(gè)人自第二層開(kāi)始在每一層離開(kāi)電梯是等可能的,
則基本事件的總數(shù)，
這人離開(kāi)電梯的層數(shù)之和為有4種情況：
①三個(gè)人下電梯的層數(shù)分別為，有種情況，
②三個(gè)人下電梯的層數(shù)分別為，有種情況，
③三個(gè)人下電梯的層數(shù)分別為，有種情況，
④三個(gè)人下電梯的層數(shù)分別為，有種情況，
所以這3人離開(kāi)電梯的層數(shù)之和為10的概率是.
故選：B.
【典例1-2】（2020上·黑龍江大慶·高三大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）電梯有位乘客，在層樓房的每一層停留，如果有兩位乘客從同一層出去，另兩位在同一層出去，最后兩人各從不同的樓層出去，則不同的下樓方法的種類(lèi)數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】先把6人按分面四組，然后選擇4個(gè)樓層讓這四組的人分別下去即可得．
【詳解】由題意所有種類(lèi)數(shù)為．
故選：C．
【變式1-1】（2023下·湖北武漢·高三華中師大一附中?？迹┯?個(gè)人在一座8層大樓的底層進(jìn)入電梯，假設(shè)每一個(gè)人從第二層開(kāi)始在每一層離開(kāi)電梯是等可能的，則這兩人在不同層離開(kāi)電梯的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由古典概型的概率公式與對(duì)立事件的概率公式求解即可.
【詳解】由題意得，由于每一個(gè)人自第二層開(kāi)始在每一層電梯是等可能的，
故兩人離開(kāi)電梯的所有可能情況有種，
而兩人在同一層電梯的可能情況有，
所以?xún)扇嗽谕粚与x開(kāi)電梯的概率為，
所以?xún)扇嗽诓煌瑢与x開(kāi)電梯的概率為，
故選：B.
【變式1-2】（2020·四川達(dá)州·統(tǒng)考三模）有3人同時(shí)從底樓進(jìn)入同一電梯，他們各自隨機(jī)在第2至第7樓的任一樓走出電梯．如果電梯正常運(yùn)行，那么恰有兩人在第4樓走出電梯的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題意結(jié)合分步乘法、排列組合的知識(shí)可得所有基本情況數(shù)及滿(mǎn)足要求的情況數(shù)，再由古典概型概率公式即可得解.
【詳解】3人同時(shí)從底樓進(jìn)入同一電梯，他們各自隨機(jī)在第2至第7樓的任一樓走出電梯,共有種不同情況；
恰有兩人在第4樓走出電梯，共有種不同情況；
故所求概率.
故選：C.
【變式1-3】（2020·廣東珠?！そy(tǒng)考三模）甲、乙、丙人從樓乘電梯去商場(chǎng)的到樓，每層樓最多下人，則下電梯的方法有
A．種B．種C．種D．種
【答案】D
【解析】分兩種情況討論：①每個(gè)樓層下人；②人中有人從一個(gè)樓層下，另人從其它樓層選一個(gè)樓層下，利用排列組合思想結(jié)合分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果.
【詳解】分兩種情況討論：
①每個(gè)樓層下人，則人下電梯的方法種數(shù)為；
②人中有人從一個(gè)樓層下，另人從其它樓層選一個(gè)樓層下，此時(shí)，人下電梯的方法種數(shù)為.
由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可知，人下電梯的方法種數(shù)為種.
故選：D.
題型16球放盒子型：
【解題攻略】
【典例1-1】已知有5個(gè)不同的小球，現(xiàn)將這5個(gè)球全部放入到標(biāo)有編號(hào)1、2、3、4、5的五個(gè)盒子中，若裝有小球的盒子的編號(hào)之和恰為11，則不同的放球方法種數(shù)為（ ）
A．150B．240C．390D．1440
【答案】C
【分析】
分析可得可以將5個(gè)球放到編號(hào)2、4、5的三個(gè)盒子中或者放到編號(hào)1、2、3、5的四個(gè)盒子中，分別計(jì)算每種放球方法種數(shù)，再利用分類(lèi)相加計(jì)數(shù)原理可求得結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)榛?br>所以5個(gè)球放到編號(hào)2、4、5的三個(gè)盒子中或者放到編號(hào)1、2、3、5的四個(gè)盒子中
（1）5個(gè)球放到編號(hào)2、4、5的三個(gè)盒子中，因?yàn)槊總€(gè)盒子中至少放一個(gè)小球，所以在三個(gè)盒子中有兩種方法：
各放1個(gè)，2個(gè)，2個(gè)的方法有種.
各放3個(gè)，1個(gè)，1個(gè)的方法有種.
（2）5個(gè)球放到編號(hào)1、2、3、5的四個(gè)盒子中，則各放2個(gè)，1個(gè)，1個(gè)，1個(gè)的方法有
種.
綜上，總的放球方法數(shù)為種.
故選：C
【典例1-2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）將編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)小球放入A，B，C三個(gè)盒子中，若每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，且1號(hào)球和2號(hào)球不能放在同一個(gè)盒子，則不同的放法種數(shù)為（ ）
A．30B．24C．48D．72
【答案】A
【詳解】分析：由題意知4個(gè)小球有2個(gè)放在一個(gè)盒子里的種數(shù)是C42，把這兩個(gè)作為一個(gè)元素同另外兩個(gè)元素在三個(gè)位置排列，有A33種結(jié)果，而①②好小球放在同一個(gè)盒子里有A33種結(jié)果，用所有的排列數(shù)減去不合題意的，得到結(jié)果．
詳由題意知4個(gè)小球有2個(gè)放在一個(gè)盒子里的種數(shù)是C42，
把這兩個(gè)作為一個(gè)元素同另外兩個(gè)元素在三個(gè)位置排列，有A33種結(jié)果，
而①②好小球放在同一個(gè)盒子里有A33=6種結(jié)果，
∴編號(hào)為①②的小球不放到同一個(gè)盒子里的種數(shù)是C42A33-6=30，
故選A．
【變式1-1】（2018下·福建廈門(mén)·高三廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？迹⒕幪?hào)為1,2,3,4的四個(gè)小球放入A,B,C三個(gè)盒子中，若每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，且1號(hào)球和2號(hào)球不能放在同一個(gè)盒子，則不同的放法種數(shù)為（ ）
A．30B．24C．48D．72
【答案】A
【分析】由題意知4個(gè)小球有2個(gè)放在一個(gè)盒子里，把這兩個(gè)作為一個(gè)元素同另外兩個(gè)元素在三個(gè)位置排列，求所有的排列數(shù)，再減去1、2號(hào)小球放在同一個(gè)盒子里有種，得到結(jié)果．
【詳解】由題意知：4個(gè)小球選出2個(gè)放在一個(gè)盒子里，種數(shù)是，
把這兩個(gè)作為一個(gè)元素同另外兩個(gè)元素在三個(gè)位置排列，有種結(jié)果，
而1、2號(hào)小球放在同一個(gè)盒子里有種結(jié)果，
∴編號(hào)為1，2的小球不放到同一個(gè)盒子里的種數(shù)是.
故選：A
【變式1-2】（2022·廣西南寧·統(tǒng)考一模）將紅、黑、藍(lán)、黃個(gè)不同的小球放入個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，且紅球和藍(lán)球不能放在同一個(gè)盒子，則不同的放法的種數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】將4個(gè)小球分成三組，一組2個(gè)球，另外兩組分別為1個(gè)球，然后將三組球分配到個(gè)不同的盒子，有種放法，而紅球和藍(lán)球恰好放在同一個(gè)盒子里有種放法，利用間接法即可求解.
【詳解】解：由題意，將4個(gè)小球分成三組，一組2個(gè)球，另外兩組分別為1個(gè)球，有種分組方法，再將三組球分配到個(gè)不同的盒子，有種分法，所以將紅、黑、藍(lán)、黃個(gè)不同的小球放入個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，有種放法，而紅球和藍(lán)球恰好放在同一個(gè)盒子里有種放法，
所以紅球和藍(lán)球不能放到同一個(gè)盒子里的不同放法種數(shù)為，
故選：C.
【變式1-3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）將編號(hào)的小球放入編號(hào)為盒子中，要求不允許有空盒子，且球與盒子的編號(hào)不能相同，則不同的放球方法有（ ）
A．種B．種C．種D．種
【答案】C
【詳解】由題意可知，這四個(gè)小球有兩個(gè)小球放在一個(gè)盒子中，當(dāng)四個(gè)小球分組為如下情況時(shí)，放球方法有：當(dāng)與號(hào)球放在同一盒子中時(shí)，有種不同的放法；當(dāng)與號(hào)球放在同一盒子中時(shí)，有種不同的放法；當(dāng)與號(hào)球放在同一盒子中時(shí)，有種不同的放法；當(dāng)與號(hào)球放在同一盒子中時(shí)，有種不同的放法；當(dāng)與號(hào)球放在同一盒子中時(shí)，有種不同的放法；當(dāng)與號(hào)球放在同一盒子中時(shí)，有種不同的放法；因此，不同的放球方法有種，故選C
題型17 配對(duì)模型
【典例1-1】（2022上·浙江杭州·高三統(tǒng)考）柜子里有3雙不同的鞋子，如果從中隨機(jī)地取出2只，那么取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】用列舉法列出所有可能情況，再找出符合題意的基本事件數(shù)，最后利用古典概型的概率公式計(jì)算可得.
【詳解】解：分別用，，，，，表示6只鞋，則可能發(fā)生的情況有種，
如下所示：，，，，，，，，
，，，，，，
取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙的事件有6種，即，，，，，，
故選：C
【典例1-2】（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）從5對(duì)夫妻中任選4人，這4人恰好是2對(duì)夫妻的概率為（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出所有的基本事件，再求出恰好是2對(duì)夫妻的基本事件，可得概率.
【詳解】從5對(duì)夫妻中任選4人，則不同的選法有種，這4人恰好是2對(duì)夫妻的選法有種，
故所求概率為．
故選：C.
【變式1-1】.新冠疫情期間，網(wǎng)上購(gòu)物成為主流．因保管不善，五個(gè)快遞ABCDE上送貨地址模糊不清，但快遞小哥記得這五個(gè)快遞應(yīng)分別送去甲乙丙丁戊五個(gè)地方，全部送錯(cuò)的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】5個(gè)快遞送到5個(gè)地方有種方法，
全送錯(cuò)的方法：第一步A送錯(cuò)有4種可能，然后第二步是關(guān)鍵，考慮A送錯(cuò)的地方對(duì)應(yīng)的快遞，如送到丙地，第二步考慮快遞，而送錯(cuò)位置分兩類(lèi)，一類(lèi)是送到甲，一類(lèi)是送其他三個(gè)地方，再對(duì)剩下的3個(gè)快遞分別考慮即可完成．
【詳解】5個(gè)快遞送到5個(gè)地方有種方法，
全送錯(cuò)的方法數(shù)：
先分步：第一步快遞送錯(cuò)有4種方法，第二步考慮所送位置對(duì)應(yīng)的快遞，假設(shè)送到丙地，第二步考慮快遞，對(duì)分類(lèi)，第一類(lèi)送到甲地，則剩下要均送錯(cuò)有2種可能（丁戊乙，戊乙?。?，第二類(lèi)送到乙丁戊中的一個(gè)地方，有3種可能，如送到丁地，剩下的只有甲乙戊三地可送，全送錯(cuò)有3種可能（甲戊乙，戊甲乙，戊乙甲），∴總的方法數(shù)為，所求概率為．
故選：C．
【變式1-2】（2021下·浙江金華·高三校聯(lián)考）現(xiàn)有3雙不同的鞋子，從中隨機(jī)取出2只，則取出的鞋都是左腳的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】基本事件總數(shù)，取出的鞋都是左腳包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出取出的鞋都是左腳的概率．
【詳解】解：現(xiàn)有3雙不同的鞋子，從中隨機(jī)取出2只，
基本事件總數(shù)，
取出的鞋都是左腳包含的基本事件個(gè)數(shù)，
則取出的鞋都是左腳的概率是．
故選：．
【變式1-3】（2021上·河南·高三校聯(lián)考）從4雙不同尺碼的鞋子中隨機(jī)抽取3只，則這3只鞋子中任意兩只都不成雙的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】任意兩只都不成雙，說(shuō)明3只鞋子是從3雙鞋子中各取1只得到的，這樣計(jì)數(shù)后可計(jì)算出概率．
【詳解】從4雙不同尺碼的鞋子中隨機(jī)抽取3只的方法為，這3只鞋子中任意兩只都不成雙，選取的方法為，
所以所求概率為．故選：C
題型18 機(jī)器人跳棋模型
【典例1-1】（2024上·河南漯河·高三統(tǒng)考）一只小蜜蜂位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飛行一個(gè)單位或者兩個(gè)單位距離的能力，且每次飛行至少一個(gè)單位.若小蜜蜂經(jīng)過(guò)4次飛行后，停在位于數(shù)軸上實(shí)數(shù)3的點(diǎn)處，則小蜜蜂不同的飛行方式有（ ）
A．22B．24C．26D．28
【答案】B
【分析】設(shè)出事件，分兩種情況，結(jié)合排列知識(shí)進(jìn)行求解，相加得到答案.
【詳解】經(jīng)過(guò)4次飛行，停在位于數(shù)軸上實(shí)數(shù)3的點(diǎn)處，
設(shè)向右飛行1個(gè)單位為事件，向右飛行2個(gè)單位為事件，
情況一，滿(mǎn)足要求，此時(shí)只需安排好，故不同的飛行方式為種，
情況二，滿(mǎn)足要求，此時(shí)只需安排好，故不同的飛行方式為種，
綜上，小蜜蜂不同的飛行方式有種.
故選：B
【典例1-2】（2020上·北京大興·高三統(tǒng)考）動(dòng)點(diǎn)M位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，M每一次可以沿?cái)?shù)軸向左或者向右跳動(dòng)，每次可跳動(dòng)1個(gè)單位或者2個(gè)單位的距離，且每次至少跳動(dòng)1個(gè)單位的距離.經(jīng)過(guò)3次跳動(dòng)后，M在數(shù)軸上可能位置的個(gè)數(shù)為（ ）
A．7B．9C．11D．13
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，分為動(dòng)點(diǎn)M①向左跳三次，②向右跳三次，③向左跳2次，向右跳1次，④向左跳1次，向右跳2次，四種情況進(jìn)行討論，得到相應(yīng)的位置，從而得到答案.
【詳解】根據(jù)題意，分4種情況討論：
①，動(dòng)點(diǎn)M向左跳三次，3次均為1個(gè)單位，3次均為2個(gè)單位，2次一個(gè)單位，2次2個(gè)單位，故有﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，
②，動(dòng)點(diǎn)M向右跳三次，3次均為1個(gè)單位，3次均為2個(gè)單位，2次一個(gè)單位，2次2個(gè)單位，故有6，5，4，3，
③，動(dòng)點(diǎn)M向左跳2次，向右跳1次，故有﹣3，﹣2，﹣1，0，
④，動(dòng)點(diǎn)M向左跳1次，向右跳2次，故有0，1，2，3，
故M在數(shù)軸上可能位置的個(gè)數(shù)為﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6共有13個(gè)，
故選：D.
【變式1-1】（2023·福建龍巖·高三校聯(lián)考）一只小青蛙位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳動(dòng)一個(gè)單位或者兩個(gè)單位距離的能力，且每次跳動(dòng)至少一個(gè)單位.若小青蛙經(jīng)過(guò)5次跳動(dòng)后，停在數(shù)軸上實(shí)數(shù)2位于的點(diǎn)處，則小青蛙不同的跳動(dòng)方式共有種.
A．105B．95C．85D．75
【答案】A
【詳解】分析：根據(jù)題意，分4種情況討論：①，小青蛙向左跳一次2個(gè)單位，向右跳4次，每次1個(gè)單位，②，小青蛙向左跳2次，每次2個(gè)單位，向右跳3次，每次2個(gè)單位，③，小青蛙向左跳2次，一次2個(gè)單位，一次1個(gè)單位，向右跳3次，2次2個(gè)單位，1次1個(gè)單位，④，小青蛙向左跳2次，每次1個(gè)單位，向右跳3次，1次2個(gè)單位，2次1個(gè)單位，由加法原理計(jì)算可得答案．
詳解：根據(jù)題意，分4種情況討論：
①，小青蛙向左跳一次2個(gè)單位，向右跳4次，每次1個(gè)單位，有C51=5種情況，
②，小青蛙向左跳2次，每次2個(gè)單位，向右跳3次，每次2個(gè)單位，有C52=10種情況，
③，小青蛙向左跳2次，一次2個(gè)單位，一次1個(gè)單位，向右跳3次，2次2個(gè)單位，1次1個(gè)單位，
有C52A33=60種情況，
④，小青蛙向左跳2次，每次1個(gè)單位，向右跳3次，1次2個(gè)單位，2次1個(gè)單位，有C52C32=30種情況，
則一共有5+10+60+30=105種情況，即有105種不同的跳動(dòng)方式．
故選A．
【變式1-2】.如圖，由個(gè)邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的小正方形組成一個(gè)大正方形．某機(jī)器人從C點(diǎn)出發(fā)，沿若小正方形的邊走到D點(diǎn)，每次可以向右走一個(gè)單位或者向上走一個(gè)單位．如果要求機(jī)器人不能接觸到線(xiàn)段，那么不同的走法共有______種．
【答案】28
【分析】根據(jù)題意畫(huà)出機(jī)器人能走的方格區(qū)域，然后分類(lèi)討論路線(xiàn)的可能性，即可得答案.
【詳解】由題意可知，機(jī)器人所成走動(dòng)的路線(xiàn)如圖所示的方格：
圖中小寫(xiě)字母表示機(jī)器人所能走的那一步路線(xiàn)，
那么第一步是固定的只有一種走法，
從第二步開(kāi)始如果走a，第三步走c,第四步如果走h(yuǎn),那么這時(shí)共有3種走法，
第四步如果走f，那么后面四步走的一個(gè)長(zhǎng)方形的邊，這時(shí)共有 種走法；
第二步如果走b,第三步如果走d,第四步走e,第五步只能走h(yuǎn)，此時(shí)共有3種走法，
第四步如果走f，此時(shí)共有種走法，
第三步若果走g，后面五步是沿著一個(gè)長(zhǎng)方形的邊走，此時(shí)共有 種走法，
故共有的走法為 種，
故答案為：28
【變式1-3】一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，每秒末必須向右，或向左，或向上，或向下跳一個(gè)單位長(zhǎng)度，則此質(zhì)點(diǎn)在第秒末到達(dá)點(diǎn)的跳法共有______種．
【答案】
要使質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)末到達(dá)點(diǎn)，則可能是向上跳次，向右跳次，向左跳次，或者向上跳次，向下跳次，向右跳次，然后利用組合數(shù)進(jìn)行計(jì)算.
【詳解】
分兩類(lèi)情況討論：
第一類(lèi)，向上跳次，向右跳次，向左跳次，有種；
第二類(lèi)，向上跳次，向下跳次，向右跳次，有種，
根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理得，共有種方法．
故答案為：.
.

高考練場(chǎng)
1.（2023上·廣東廣州·高三執(zhí)信中學(xué)?？茧A段練習(xí)）將A，B，C，D，E這5名同學(xué)從左至右排成一排，則A與B相鄰且A與C之間恰好有1名同學(xué)的排法有 種．
【答案】20
【分析】由A與B相鄰且A與C之間恰好有1名同學(xué)，分類(lèi)討論B在A(yíng)與C之間，B在A(yíng)的一側(cè)，A與C之間為D、E中任一人兩種情形，分類(lèi)計(jì)數(shù)后相加即可.
【詳解】根據(jù)題意，分2種情況討論：
1、若A與C之間為B，即B在A(yíng)、C中間且三人相鄰，
考慮A、C的順序，有種情況，將三人看成一個(gè)整體，
與D、E2人全排列，有種情況，
則此時(shí)有種排法，
2、若A與C之間不是B，
先D、E中選取1人，安排A、C之間，有種選法，
此時(shí)B在A(yíng)的另一側(cè)，將4人看成一共整體，考慮之間的順序，有種情況，
將這個(gè)整體與剩余的1人全排列，有種情況，
則此時(shí)有種排法，
則一共有種符合題意的排法．
故答案為：20．
2遂寧主城區(qū)突發(fā)“920疫情”，23日凌晨2時(shí)，射洪組織五支“最美逆行醫(yī)療隊(duì)”去支援遂寧主城區(qū)，將分派到遂寧船山區(qū)、遂寧經(jīng)開(kāi)區(qū)、遂寧高新區(qū)進(jìn)行核酸采樣服務(wù)，每支醫(yī)療隊(duì)只能去一個(gè)區(qū)，每區(qū)至少有一支醫(yī)療隊(duì)，若恰有兩支醫(yī)療隊(duì)者被分派到高新區(qū)，則不同的安排方法共有（ ）
A．30種B．40種C．50種D．60種
【答案】D
【分析】先從5支醫(yī)療隊(duì)中選取2支醫(yī)療隊(duì)去高新區(qū)，再將剩下的3支醫(yī)療隊(duì)分配到船山區(qū)與經(jīng)開(kāi)區(qū)，最后根據(jù)分步乘法原理求解即可.
【詳解】解：先從5支醫(yī)療隊(duì)中選取2支醫(yī)療隊(duì)去高新區(qū)，有種不同的選派方案，
再將剩下的3對(duì)醫(yī)療隊(duì)分配到船山區(qū)與經(jīng)開(kāi)區(qū)，有種不同的選派方案，
所以，根據(jù)分步乘法原理，不同的安排方案有種.
故選：D
3.某同學(xué)計(jì)劃用他姓名的首字母，身份證的后4位數(shù)字（4位數(shù)字都不同）以及3個(gè)符號(hào)設(shè)置一個(gè)六位的密碼．若必選，且符號(hào)不能超過(guò)兩個(gè)，數(shù)字不能放在首位和末位，字母和數(shù)字的相對(duì)順序不變，則他可設(shè)置的密碼的種數(shù)為（ ）
A．864B．1009C．1225D．1441
【答案】D
【分析】先按照符號(hào)的個(gè)數(shù)分類(lèi)，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理分別計(jì)算每類(lèi)的情況種數(shù)，再利用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理求解即可.
【詳解】①當(dāng)符號(hào)的個(gè)數(shù)為0時(shí)，六位密碼由字母及身份證的后4位數(shù)字組成，此時(shí)只有1種情況；
②當(dāng)符號(hào)的個(gè)數(shù)為1時(shí)，六位密碼由母，3個(gè)數(shù)字及1個(gè)符號(hào)組成.
若末位是符號(hào)，則首位是字母，可能的種數(shù)為；
若末位是字母，則可能的種數(shù)為；
③當(dāng)符號(hào)的個(gè)數(shù)為2時(shí)，六位密碼由字母，2個(gè)數(shù)字及2個(gè)符號(hào)組成.
若首位和末位均為符號(hào)，則可能的種數(shù)為；
若首位和末位均為字母，則可能的種數(shù)為；
若首位和末位一個(gè)是字母、一個(gè)是符號(hào)，則可能的種數(shù)為.
故他可設(shè)置的密碼的種數(shù)為.
故選：D.
4.如圖所示，甲?乙兩人同時(shí)出發(fā)，甲從點(diǎn)到，乙從點(diǎn)到，且每人每次都只能向上或向右走一格.則甲?乙的行走路線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)的概率為（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
先求出甲從點(diǎn)到，乙從點(diǎn)到總的路徑的對(duì)數(shù)，再計(jì)算甲從點(diǎn)到，乙從點(diǎn)到的相交路徑的對(duì)數(shù)，其等于甲從點(diǎn)到，乙從點(diǎn)到相交路徑的對(duì)數(shù)，進(jìn)而可得甲?乙的行走路線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)的路徑的對(duì)數(shù)，再由古典概率公式即可求解.
【詳解】
首先考慮甲從點(diǎn)到，乙從點(diǎn)到總的路徑的對(duì)數(shù)，
甲從點(diǎn)到，需要向上走步，向右走步，共步，所以甲從點(diǎn)到有種方法；
乙從點(diǎn)到，需要向上走步，向右走步，共步，所以乙從點(diǎn)到有種方法；
由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知：甲從點(diǎn)到，乙從點(diǎn)到，有種方法；
下面計(jì)算甲從點(diǎn)到，乙從點(diǎn)到的相交路徑的對(duì)數(shù)，
證明：甲從點(diǎn)到，乙從點(diǎn)到相交路徑的對(duì)數(shù)等于甲從點(diǎn)到，乙從點(diǎn)到相交路徑的對(duì)數(shù)，
事實(shí)上，對(duì)于甲從點(diǎn)到，乙從點(diǎn)到的每一組相交路徑，他們至少有一個(gè)交點(diǎn)，如圖，設(shè)從左到右，從下到上的第一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，如圖，實(shí)線(xiàn)路徑表示甲從到的路徑，虛線(xiàn)路徑表示乙從點(diǎn)到的路徑，將點(diǎn)以后的實(shí)線(xiàn)路徑改為虛線(xiàn)，虛線(xiàn)路徑改為實(shí)線(xiàn)，就得到一組甲從點(diǎn)到，乙從點(diǎn)到相關(guān)路徑，如圖，
反之，對(duì)于甲從點(diǎn)到，乙從點(diǎn)到的任意一組相交路徑，也都可以用同樣的方法將之變換成甲從到，乙從點(diǎn)到的一組相交路徑，即這兩者之間的相交路徑是一一對(duì)應(yīng)的，又因?yàn)榧讖狞c(diǎn)到，乙從點(diǎn)到的任意一組路徑都是相交路徑，所以甲從點(diǎn)到，乙從點(diǎn)到共有種方法；
所以甲?乙的行走路線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)的有種方法；
甲?乙的行走路線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)的概率為，
故選：C

5.（20·21·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）地面上有并排的七個(gè)汽車(chē)位，現(xiàn)有紅、白、黃、黑四輛不同的汽車(chē)同時(shí)倒車(chē)入庫(kù).當(dāng)停車(chē)完畢后，恰有兩個(gè)連續(xù)的空車(chē)位，且紅、白兩車(chē)互不相鄰的情況有 種.
【答案】336
【解析】根據(jù)題意從反面考慮，恰有兩個(gè)連續(xù)空車(chē)位的排法，再算出恰有兩個(gè)連續(xù)空車(chē)位，且紅、白兩車(chē)相鄰時(shí)的排法，兩數(shù)作差即可求解.
【詳解】從反面考慮，恰有兩個(gè)連續(xù)空車(chē)位時(shí)有（種）情況；
恰有兩個(gè)連續(xù)空車(chē)位，且紅、白兩車(chē)相鄰時(shí)有（種）情況，
故所求情況有（種）
故答案為：336
6.如圖，矩形的對(duì)角線(xiàn)把矩形分成A、B、C、D四部分，現(xiàn)用五種不同色彩給四部分涂色，每部分涂1種顏色，要求共邊的兩部分顏色互異，共有（ ）種不同的涂色方法？
A．260B．180C．240D．120
【答案】A
【分析】由題意知給四部分涂色，至少要用兩種顏色，最多四種顏色，分類(lèi)討論，最后相加.
【詳解】由題意知給四部分涂色，至少要用兩種顏色，故可分成三類(lèi)涂色：
第一類(lèi)，用4種顏色涂色，有種方法．
第二類(lèi)，用3種顏色涂色，選3種顏色的方法有種．
在涂的過(guò)程中，選對(duì)頂?shù)膬刹糠郑ˋ、C或B、D）涂同色，另兩部分涂異色有種選法；3種顏色涂上去有種涂法，
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求得共種涂法．
第三類(lèi)，用兩種顏色涂色．選顏色有種選法，A、C用一種顏色，B、D涂一種顏色，有種涂法，故共種涂法．
∴共有涂色方法120+120+20＝260種，
故選：A．
7.以一個(gè)正三棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有（ ）
A．6個(gè)B．12個(gè)C．18個(gè)D．30個(gè)
【答案】B
【分析】從正三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)組成四面體，減去在同一個(gè)面上的情況，即可得答案.
【詳解】根據(jù)題意，先從六個(gè)頂點(diǎn)中任選四個(gè)，共種選法，
而其中包含了所取4點(diǎn)在同一個(gè)側(cè)面上的情況，這種情況有3種，
即符合條件的有 ；
故選∶B．
8.（2023·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）有甲、乙等五人到三家企業(yè)去應(yīng)聘，若每人至多被一家企業(yè)錄用，每家企業(yè)至少錄用其中一人且甲、乙兩人不能被同一家企業(yè)錄用，則不同的錄用情況種數(shù)是（ ）
A．60B．114C．278D．336
【答案】D
【分析】分三類(lèi)，第一類(lèi)，只有3人被錄用，第二類(lèi)，只有4人被錄用，第三類(lèi)，5人全部錄用，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理即可得到答案.
【詳解】分三類(lèi)情況，第一類(lèi)情況，只錄用3人，有種情況；第二類(lèi)情況，只錄用4人，有種情況；
第三類(lèi)情況，錄用5人有兩種情況：或，有種情況．
所以根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理共有種．
故選：D.
9.共有10級(jí)臺(tái)階，某人一步可跨一級(jí)臺(tái)階，也可跨兩級(jí)臺(tái)階或三級(jí)臺(tái)階，則他恰好6步上完臺(tái)階的方法種數(shù)是（ ）
A．30B．90C．75D．60
【答案】B
【分析】根據(jù)分類(lèi)和分步計(jì)數(shù)原理及組合即可求解.
【詳解】由題意可知，完成這件事情分三類(lèi)；
第一類(lèi)，按照的走法有種；
第二類(lèi)，按照的走法有種；
第三類(lèi)，按照的走法有種；
所以他恰好6步上完臺(tái)階的方法種數(shù)是.
故選：B.
10.（2023上·江蘇南京·高三）20個(gè)不加區(qū)別的小球放入編號(hào)為1、2、3的三個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒內(nèi)的球數(shù)不小于它的編號(hào)數(shù)，則不同的放法種數(shù)共有（ ）
A．120種B．240種C．360種D．720種
【答案】A
【分析】應(yīng)用“隔板法”即可求解.
【詳解】先在編2號(hào),3號(hào)的盒內(nèi)分別放入1個(gè)球和2個(gè)球，還剩17個(gè)小球，
三個(gè)盒內(nèi)每個(gè)至少再放入1個(gè)，將17個(gè)球排成一排，有16個(gè)空隙，
插入2塊隔板分為三堆放入三個(gè)盒中即可，共有（種）方法．
故選:A.
11.某幢樓房從2樓到3樓共10個(gè)臺(tái)階，上樓可以一步上1個(gè)臺(tái)階，也可以一步上2個(gè)臺(tái)階.若規(guī)定從2樓到3樓用8步走完，則上樓的方法有（ ）.
A．14種B．16種C．21種D．28種
【答案】D
【分析】轉(zhuǎn)化成組合問(wèn)題去解決即可.
【詳解】由于10÷8的余數(shù)為2，所以可以判定一步1個(gè)臺(tái)階共6次，一步2個(gè)臺(tái)階共2次.
選定在這8步中一步1個(gè)臺(tái)階的位置即可，則上樓的方法有種
故選：D
12.（2022·湖北·高三華中師大一附中校考）若方程，其中，則方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為（ ）
A．10B．15C．20D．30
【答案】A
【分析】將方程正整數(shù)解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為排列組合問(wèn)題，采用擋板法求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)榉匠?，其中?br>則，將其轉(zhuǎn)化為有6個(gè)完全相同的小球，排成一列，
利用擋板法將其分成3組，第一組小球數(shù)目為；第二組小球數(shù)目為；第三組小球數(shù)目為，
共有種方法，故方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為10，
故選：A.
13.由于疫情防控需要，電影院觀(guān)影實(shí)行隔空位就座．甲、乙、丙、丁四個(gè)人結(jié)伴前往觀(guān)影，已知目前只剩同一排的8個(gè)空位，甲、乙必須在丁的同側(cè)，則不同的坐法種數(shù)是（ ）
A．16B．40C．80D．120
【答案】C
【分析】利用排列、組合以及插空法即可求解.
【詳解】甲、乙兩人有，丁在甲、乙的左側(cè)或右側(cè)，丙在三人中的個(gè)空隙中任選一個(gè)位置，
所以甲乙必須在丁的同側(cè)，故種數(shù)為，
又必須隔空而坐，故采用插空法，，
故最終總數(shù)為.
故選：C.
14.廈門(mén)地鐵1號(hào)線(xiàn)從鎮(zhèn)海路站到文灶站有4個(gè)站點(diǎn).甲、乙同時(shí)從鎮(zhèn)海路站上車(chē)，假設(shè)每一個(gè)人自第二站開(kāi)始在每個(gè)站點(diǎn)下車(chē)是等可能的，則甲乙在不同站點(diǎn)下車(chē)的概率為（ ）
A．B．C．D．
河南省鄭州市2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試題
【答案】C
【分析】先求出甲乙在相同站點(diǎn)下車(chē)的概率，再求甲乙在不同站點(diǎn)下車(chē)的概率.
【詳解】令事件為甲乙在相同站點(diǎn)下車(chē)，則
則甲乙在不同站點(diǎn)下車(chē)的概率為
故選：C
15.電梯有位乘客，在層樓房的每一層停留，如果有兩位乘客從同一層出去，另兩位在同一層出去，最后兩人各從不同的樓層出去，則不同的下樓方法的種類(lèi)數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】先把6人按分面四組，然后選擇4個(gè)樓層讓這四組的人分別下去即可得．
【詳解】由題意所有種類(lèi)數(shù)為．
故選：C．
16.（2005·吉林·高三競(jìng)賽）從6雙不同鞋子中任取4只，使其中至少有2只鞋配成一雙的概率是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】從6雙不同鞋子中任取4只.沒(méi)有2只鞋子配成一雙的概率為.所以，其中至少有2只鞋子配成一雙的概率為.
故答案為B
17.（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）把分別標(biāo)有號(hào)、號(hào)、號(hào)、號(hào)的個(gè)不同的小球放入分別標(biāo)有號(hào)、號(hào)、號(hào)的個(gè)盒子中，沒(méi)有空盒子且任意一個(gè)小球都不能放入標(biāo)有相同標(biāo)號(hào)的盒子中，則不同的放球方法種數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】個(gè)小球放入個(gè)盒子，沒(méi)有空盒子，則有兩個(gè)小球放入同一個(gè)盒子，因此分為兩類(lèi)：
第一類(lèi)：號(hào)小球單獨(dú)放入一個(gè)盒子，分步：
第步，從號(hào)、號(hào)、號(hào)個(gè)小球中，選出個(gè)小球，放入與未被選中小球標(biāo)號(hào)相同的盒子中，有種方法；
第步，將未被選中的小球和號(hào)小球，分別放入另外個(gè)盒子中，有種方法.
∴號(hào)小球單獨(dú)放入一個(gè)盒子，有種方法.
例如：第步，選出號(hào)、號(hào)小球放入號(hào)盒；第步，號(hào)小球放入號(hào)盒，號(hào)小球放入號(hào)盒.
第二類(lèi)：號(hào)小球與另一小球共同放入一個(gè)盒子，分步：
第步，從號(hào)、號(hào)、號(hào)個(gè)小球中，選出個(gè)小球，有種方法；
第步，將號(hào)小球與第步選出的小球放入與選出小球標(biāo)號(hào)不同的盒子中，有種方法；
第步，剩余的個(gè)小球，其中個(gè)，與剩余的兩個(gè)空盒其中的個(gè)標(biāo)號(hào)相同，只有方法放置.
∴號(hào)小球與另一小球共同放入一個(gè)盒子，有種方法.
例如：第步，選出號(hào)球；第步，將號(hào)、號(hào)小球放入號(hào)盒；第步，號(hào)小球放入號(hào)盒，號(hào)小球放入號(hào)盒.
∴沒(méi)有空盒子且任意一個(gè)小球都不能放入標(biāo)有相同標(biāo)號(hào)的盒子中，則不同的放球方法種數(shù)為種.
故選：B.
18.一只小蜜蜂位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飛行一個(gè)單位或者兩個(gè)單位距離的能力，且每次飛行至少一個(gè)單位.若小蜜蜂經(jīng)過(guò)5次飛行后，停在數(shù)軸上實(shí)數(shù)3位于的點(diǎn)處，則小蜜蜂不同的飛行方式有多少種？
A．5B．25C．55D．75
【答案】D
【詳解】由題意知：小蜜蜂經(jīng)過(guò)5次飛行后，停在數(shù)軸上實(shí)數(shù)3位于的點(diǎn)處，共有以下四種情形：
一、小蜜蜂在5次飛行中，有4次向正方向飛行，1次向負(fù)方向飛行，且每次飛行一個(gè)單位，共有種情況；
二、小蜜蜂在5次飛行中，有3次向正方向飛行每次飛行一個(gè)單位，1次向正方向飛行，且每次飛行兩個(gè)單位，1次向負(fù)方向飛行，且每次飛行兩個(gè)單位，共有種情況；
三、小蜜蜂在5次飛行中，有1次向正方向飛行每次飛行一個(gè)單位，2次向正方向飛行，且每次飛行兩個(gè)單位，2次向負(fù)方向飛行，且每次飛行一個(gè)單位，共有種情況；
四、小蜜蜂在5次飛行中，有3次向正方向飛行每次飛行兩個(gè)單位，有1次向負(fù)方向飛行且飛行兩個(gè)單位，有1次向負(fù)方向飛行且飛行一個(gè)單位，共有種情況；
故而共有種情況，
故選：D．
模型：人坐座位
特征：
一人一位；
2有順序；
座位可能空；
人是否都來(lái)；
要時(shí)，座位拆遷，剩余座位隨人排列
難題特征：
相鄰：捆綁法------捆綁的新的“大人”內(nèi)部有排列（小排列）
不相鄰：插空法
限制條件較多。特多的限制條件，稱(chēng)為“多重限制型題”，屬于超難題
先分組后排列模型：又稱(chēng)“球放盒子”
基礎(chǔ)型：冪指數(shù)型
如四個(gè)不同的球放三個(gè)不同的盒子，有多少種方法？
特征：
1.先分組再排列（盡量遵循這個(gè)，否則容易出現(xiàn)重復(fù)）
2.分組時(shí)候要注意是否存在“平均分配”的情況
基礎(chǔ)模型：保序型，又稱(chēng)為“書(shū)架插書(shū)”模型
書(shū)架插書(shū)法：
、書(shū)架上原有書(shū)的順序不變；
（2）、新書(shū)要一本一本插；
（3）、也可以把有順序的“書(shū)”最后放，先放沒(méi)順序得，但是得從“總座位”中選（百分比法）
數(shù)字化法：
標(biāo)記元素為數(shù)字或字母，重新組合。
特別適用于“相同元素”
空座位型，
1.單獨(dú)空座位，可以看成相同元素?zé)o排列，字母化法處理。
2.如果2個(gè)或者3個(gè)或者更多空座位相連型，與單獨(dú)空座位則屬于不同元素
3.空座位，屬于相同元素，則符合“直選不排”原理
相鄰不相鄰
1.相鄰元素捆綁法，要注意捆綁在一起的元素，是否還需要排列
2.不相鄰元素排列，一般是插空法， 不相鄰者最后插孔排
染色問(wèn)題，要從“顏色用了幾種”，“地圖有沒(méi)有公用區(qū)域”方向考慮：
1.用了幾種顏色。如果顏色沒(méi)有全部用完，就要有選色的步驟
2.盡量先從公共相鄰區(qū)域開(kāi)始。所以要觀(guān)察“地圖”是否可以“拓?fù)洹鞭D(zhuǎn)化
染色的地圖，還要從“拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)”來(lái)轉(zhuǎn)化
以下這倆圖，就是“拓?fù)洹币恢碌慕Y(jié)構(gòu)
立體型結(jié)構(gòu)，可以“拍扁了”，“拓?fù)洹睘槠矫嫘腿旧?，這是幾何體染色的一個(gè)小技巧
所以注意這類(lèi)圖形之間的互相轉(zhuǎn)化
平均分成幾組，就除以幾組數(shù)的階乘，如果既有平均分組又有不平均分組的，也要除以相同組的組數(shù)的階乘
走樓梯模型，可以轉(zhuǎn)化為“數(shù)字化”模型：
一步一階設(shè)為數(shù)字1，一步兩階設(shè)為數(shù)字2，一步n階，記為數(shù)字n，則把嗎、
階臺(tái)階，變?yōu)閿?shù)字“和”形式。
要注意數(shù)字的奇偶時(shí)是否能取到
擋板法，適用于“相同元素”分配。如三好學(xué)生指標(biāo)，相同小球，各種指標(biāo)名額等等
球放盒子，要考慮以下情況是否存在：
類(lèi)型一：球不同，盒子不同（主要的）
類(lèi)型二：球相同，盒子不同
方法技巧：不受限制，則指數(shù)冪形式，受限制，則“先分組再排列”

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