2024年新高考數(shù)學(xué)題型全歸納講義第六講函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸小題歸類(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc440" 題型01 整數(shù)解型 PAGEREF _Tc440 \h 1
\l "_Tc11059" 題型02 函數(shù)零點構(gòu)造型 PAGEREF _Tc11059 \h 2
\l "_Tc23680" 題型03 同構(gòu): 方程零點型同構(gòu) PAGEREF _Tc23680 \h 3
\l "_Tc26892" 題型04 同構(gòu): 不等式型同構(gòu)求參 PAGEREF _Tc26892 \h 4
\l "_Tc9467" 題型05 恒成立求參：移項討論型 PAGEREF _Tc9467 \h 5
\l "_Tc17314" 題型06 恒成立求參：虛設(shè)零點型 PAGEREF _Tc17314 \h 5
\l "_Tc19138" 題型07 “倍縮”型函數(shù)求參數(shù) PAGEREF _Tc19138 \h 6
\l "_Tc15574" 題型08 恒成立求參：“等式”型 PAGEREF _Tc15574 \h 7
\l "_Tc32305" 題型09 雙變量型不等式范圍最值 PAGEREF _Tc32305 \h 8
\l "_Tc10635" 題型10 雙變量型：凸凹反轉(zhuǎn)型 PAGEREF _Tc10635 \h 9
\l "_Tc30386" 題型11多參型：代換型 PAGEREF _Tc30386 \h 10
\l "_Tc2377" 題型12 多參型：二次構(gòu)造放縮型 PAGEREF _Tc2377 \h 10
\l "_Tc27726" 題型13 多參型：韋達定理求參型 PAGEREF _Tc27726 \h 11
\l "_Tc6167" 題型14 多參型：單峰函數(shù)絕對值型 PAGEREF _Tc6167 \h 12
\l "_Tc26271" 題型15 導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù) PAGEREF _Tc26271 \h 12
\l "_Tc21516" 高考練場 PAGEREF _Tc21516 \h 13
熱點題型歸納
題型01 整數(shù)解型
【解題攻略】
【典例1-1】（2021·湖南懷化·二模（理））已知函數(shù)，，若對任意的，存在實數(shù)滿足，使得，則的最大值是
A．3B．2C．4D．5
【典例1-2】.（2020·黑龍江實驗中學(xué)三模（理））已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在極值點，且恰好有唯一整數(shù)解，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【變式1-1】在關(guān)于的不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集中，有且僅有兩個大于2的整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（）
A． B． C． D．
【變式1-2】（黑龍江省佳木斯市第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第四次調(diào)研考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題）已知偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，若關(guān)于x的不等式在上有且只有150個整數(shù)解，則實數(shù)t的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【變式1-3】（四川省成都石室中學(xué)高三下學(xué)期考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恰有兩個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是
A．B．
C．D．
題型02 函數(shù)零點構(gòu)造型
【解題攻略】
【典例1-1】（2020·黑龍江實驗中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，若實數(shù)互不相等，且，則的取值范圍為______．
【典例1-2】.（2020·吉林吉林·三模）已知函數(shù)，若實數(shù)滿足，，則的取值范圍為___________ .
【變式1-1】（2022·云南省玉溪第一中學(xué)高三）已知函數(shù)，，若，其中，則的取值范圍是______.
【變式1-2】．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)已知，且，若的最小值為，則a的值為___________．
【變式1-3】.（2021·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，若方程有4個不同的實根，，，，則的取值范圍是______．
題型03 同構(gòu): 方程零點型同構(gòu)
【解題攻略】
【典例1-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知m是方程的一個根，則（）
A．1B．2C．3D．5
【典例1-2】（2023·全國·模擬預(yù)測）若方程在上有實根，則a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知是方程的一個根，則（）
A．B．C．2D．3
【變式1-2】（2023上·四川綿陽·高三四川省綿陽實驗高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知且則一定有（）
A．B．
C．D．
【變式1-3】（2023上·山東日照·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知正實數(shù)，滿足，則的最大值為（）
A．0B．1C．2D．3
題型04 同構(gòu): 不等式型同構(gòu)求參
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國·安陽市第二中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的不等式在上恒成立，則正數(shù)m的最大值為（）
A．B．0C．eD．1
【典例1-2】（2020上·北京·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知不等式對恒成立，則實數(shù)a的最小值為（）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2022下·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2022上·浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的不等式恒成立，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，，則（）
A．既有最小值，也有最大值B．有最小值，沒有最大值
C．有最大值，沒有最小值D．既沒有最小值，也沒有最大值
【變式1-3】（2022上·安徽亳州·高三統(tǒng)考期末）已知，若時，恒成立，則的最小值為（）
A．B．C．D．
題型05 恒成立求參：移項討論型
【解題攻略】
【典例1-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有唯一零點，則（）
A．B．C．D．
【典例1-2】.（2022·全國·高三專題練習(xí)）若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)a的最大值為（）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2020·福建省福州第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知，且時，恒成立，則的最小值是（）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，若有最小值，則實數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
【變式1-3】（2022上·江蘇揚州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）當(dāng)時，不等式有解，則實數(shù)m的范圍為（）
A．B．C．D．
題型06 恒成立求參：虛設(shè)零點型
【解題攻略】
【典例1-1】（四川省內(nèi)江市威遠中學(xué)校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)（理）試題）已知不等式對恒成立，則取值范圍為（）
A．B．C．D．
【典例1-2】（黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題）若關(guān)于的不等式對一切正實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【變式1-1】設(shè)實數(shù)，若對任意，不等式恒成立，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【變式1-2】已知函數(shù)有唯一零點，則（）
A．B．C．D．
【變式1-3】若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)a的最大值為（）
A．B．C．D．
題型07 “倍縮”型函數(shù)求參數(shù)
【解題攻略】
【典例1-1】（陜西省漢中中學(xué)2019屆高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)（理）試卷）設(shè)函數(shù)的定義域為D，若滿足條件：存在，使在上的值域為，則稱為“倍縮函數(shù)”.若函數(shù)為“倍縮函數(shù)”，則實數(shù)t的取值范圍是
A．B．
C．D．
【典例1-2】（浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)西溪校區(qū)2020-2021學(xué)年高三3月數(shù)學(xué)試題）設(shè)函數(shù)的定義域為，若函數(shù)滿足條件：存在，使在上的值域是，則稱為“倍縮函數(shù)”，若函數(shù)為“倍縮函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是________.
【變式1-1】（2020年浙江省新高考考前原創(chuàng)沖刺卷（二））設(shè)函數(shù)的定義域為D，若滿足條件：存在，使在上的值域為，則稱為“倍脹函數(shù)”.若函數(shù)為“倍脹函數(shù)”，則實數(shù)t的取值范圍是________.
【變式1-2】（河北省邢臺一中2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期模擬數(shù)學(xué)（理)試題）.設(shè)函數(shù)的定義域為，若存在，使得在區(qū)間上的值域為，則稱為“倍函數(shù)”.已知函數(shù)為“3倍函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2022吉林吉林·高三階段練習(xí)（理））設(shè)函數(shù)的定義域為，若滿足條件：存在，使在上的值域為（且），則稱為“倍函數(shù)”，若函數(shù)為“3倍函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
題型08 恒成立求參：“等式”型
【解題攻略】
【典例1-1】（2021·四川·綿陽中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)，，若，使得，則實數(shù)的取值范圍是
A．B．
C．D．
【典例1-2】．（2022·福建·泉州市城東中學(xué)高三）已知，是函數(shù)的兩個極值點，且，當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍（）
A．B．
C．D．
【變式1-1】（2022·四川成都·高三階段練習(xí)（文））設(shè)函數(shù)，，其中．若對任意的正實數(shù)，，不等式恒成立，則a的最小值為（）
A．0B．1C．D．e
【變式1-2】（2022·河南安陽·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【變式1-3】（江蘇省南京航空航天大學(xué)附屬高級中學(xué)2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，，對任意的，總存在使得成立，則a的范圍為_________．
題型09 雙變量型不等式范圍最值
【解題攻略】
【典例1-1】（2023下·四川眉山·高三眉山市彭山區(qū)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個零點，且，則下列說法不正確的是（）
A．B．
C．D．有極小值點
【典例1-2】（2023下·福建福州·高三福建省福州第一中學(xué)?？迹┮阎瘮?shù)，若，且，，則（）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2019下·河南鶴壁·高三鶴壁高中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，，曲線上總存在兩點，，使曲線在兩點處的切線互相平行，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2019下·山西長治·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若方程x﹣2lnx+a＝0存在兩個不相等的實數(shù)根x1和x2，則（）
A．B．
C．D．
【變式1-3】（2021上·高三單元測試）已知直線分別與函數(shù)和的圖象交于點，，則下列結(jié)論錯誤的是（）
A．B．C．D．
題型10 雙變量型：凸凹反轉(zhuǎn)型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)大于1的兩個實數(shù)a，b滿足，則正整數(shù)n的最大值為（）．
A．7B．9C．11D．12
【典例1-2】（2023上·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知正數(shù)滿足，則（）
A．B．C．1D．
【變式1-1】.已知實數(shù)，滿足，則的值為
A．B．C．D．
【變式1-2】（安徽省六安市第一中學(xué)、合肥八中、阜陽一中三校2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)有兩個零點，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
題型11多參型：代換型
【解題攻略】
【典例1-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，對于正實數(shù)a，若關(guān)于t的方程恰有三個不同的正實數(shù)根，則a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2020·江蘇·高三專題練習(xí)）若對任意正實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_________
【變式1-1】（2020·全國·高三專題練習(xí)（文））設(shè)三次函數(shù)，（a,b,c為實數(shù)且）的導(dǎo)數(shù)為，記，若對任意，不等式恒成立，則的最大值為____________
【變式1-2】已知存在，若要使等式成立（e=2.71828…），則實數(shù)的可能的取值是（）
A．B．C．D．0
【變式1-3】（江蘇省揚州中學(xué)2022-2023學(xué)年高三考試數(shù)學(xué)）若正實數(shù)滿足，則函數(shù)的零點的最大值為______.
題型12 多參型：二次構(gòu)造放縮型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式恒成立，則的最小值為（）
B．C．D．
【典例1-2】（2021·高三單元測試）已知為自然對數(shù)的底數(shù)，為實數(shù)，且不等式對任意的恒成立.則當(dāng)取最大值時，的值為（）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2021·四川成都·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)，，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最小值是（）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2022·四川南充·高三四川省南充高級中學(xué)?？迹┮阎瘮?shù)，若時，恒有，則的最大值為
A．B．C．D．
【變式1-3】（2023·浙江·高三路橋中學(xué)校聯(lián)考）已知，，關(guān)于的不等式無實數(shù)解，則的最小值為（）
A．B．C．D．
題型13 多參型：韋達定理求參型
【典例1-1】（2023上·北京順義·高三北京市順義區(qū)第一中學(xué)校考）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則錯誤的是（）
A．B．
C．D．
【典例1-2】（2023上·江蘇蘇州·高三蘇州中學(xué)校考開學(xué)考試）若函數(shù) 既有極大值也有極小值，則（）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2023·山東煙臺·統(tǒng)考二模）若函數(shù)有兩個極值點，且，則（）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2021·浙江·模擬預(yù)測）已知在上恰有兩個極值點，，且，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2023·河南開封·高三統(tǒng)考）已知函數(shù)的兩個極值點分別是，則下列結(jié)論正確的是（）
A．或B．
C．存在實數(shù)a，使得D．
題型14 多參型：單峰函數(shù)絕對值型
【典例1-1】（安徽省阜陽市太和第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）若存在實數(shù)，對任意實數(shù)，使不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為________.
【典例1-2】（中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測試2019-2020學(xué)年高三1月（一卷）數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)函數(shù)，若對任意的實數(shù)和，總存在，使得，則實數(shù)的最大值為__________．
【變式1-1】設(shè)函數(shù)，若對任意的實數(shù)，總存在使得成立，則實數(shù)的取值范圍是________．
【變式1-2】若，，，對任意，總存在唯一的，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍____________．
【變式1-3】（浙江省溫州市2021-2022學(xué)年高三適應(yīng)性測試一模數(shù)學(xué)試題）設(shè)函數(shù).若在上的最大值為2，則實數(shù)a所有可能的取值組成的集合是________.
題型15 導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)
【典例1-1】函數(shù)的最大值為（）
A．B．C．D．
【典例1-2】已知函數(shù)，若對于任意的，均有成立，則實數(shù)a的最小值為
A．B．1C．D．3
【變式1-1】函數(shù)的圖象與函數(shù)圖象的所有交點的橫坐標(biāo)之和為___.
【變式1-2】已知，且，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列選項中一定成立的是（）
A．B．
C．D．
【變式1-3】已知函數(shù)，若f(x)在R上單調(diào)，則a的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
高考練場場
1.（黑龍江省實驗校2020屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在極值點，且恰好有唯一整數(shù)解，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
2.（2021·江蘇·高三開學(xué)考試）已知函數(shù)，，若，，則的最小值為___________.
3.（2023·廣東梅州·統(tǒng)考三模）已知實數(shù)，滿足，，則（）
A．1B．2C．4D．8
4.（2021·廣東深圳·高三練習(xí)）設(shè)，若存在正實數(shù)，使得不等式成立，則的最大值為（）
A．B．C．D．
5.（2021下·四川眉山··高三練習(xí)）若，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
6.（江蘇省揚州市高郵市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期10月學(xué)情調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題）當(dāng)時，不等式有解，則實數(shù)m的范圍為（）
A．B．C．D．
7.（陜西省漢中中學(xué)2022高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試卷）設(shè)函數(shù)的定義域為D，若滿足條件：存在，使在上的值域為，則稱為“倍縮函數(shù)”.若函數(shù)為“倍縮函數(shù)”，則實數(shù)t的取值范圍是
A．B．
C．D．
8.（湖北省十堰市東風(fēng)高級中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）已知，，若存在，，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是______.
9.（2021·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考三模）若，令，則的最小值屬于（）
A．B．C．D．
10.（2022·安徽合肥·高三合肥一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若有兩個零點，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
11.（四川省瀘縣第五中學(xué)2021-2022學(xué)年高三模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題）若存在兩個正實數(shù)x，y使等式成立，（其中）則實數(shù)m的取值范圍是________.
12.（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，對于，恒成立，則的最小值為（）
A．B．－1C．D．－2
13.（2022下·福建泉州·高三泉州市城東中學(xué)校考）已知，是函數(shù)的兩個極值點，且，當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍（）
A．B．
C．D．
14.（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，，若對任意的實數(shù)，，總存在實數(shù)，使得不等式成立，則的最大值是_______．
15.已知函數(shù)．若關(guān)于x的不等式的解集為，則實數(shù)a的取值范圍為___________．
整數(shù)解，屬于導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意求得整數(shù)型參數(shù)的取值范圍，或者整數(shù)解求參數(shù)范圍等，涉及函數(shù)的零點問題、方程解的個數(shù)問題、函數(shù)圖像交點個數(shù)問題，一般先通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，再借助函數(shù)的大致圖象判斷零點、方程根、交點的情況，歸根到底還是研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值，然后通過數(shù)形結(jié)合的思想找到解題的思路.
函數(shù)零點構(gòu)造型，涉及到函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用：
與對稱有關(guān)的常用結(jié)論：
①若點，關(guān)于直線對稱，則；
②若的圖象關(guān)于直線對稱，則；
③若，則的圖象關(guān)于直線對稱；
④若，則的圖象關(guān)于點對稱．
數(shù)形結(jié)合法解決零點問題：
①零點個數(shù)：幾個零點
②幾個零點的和
③幾個零點的積 .
對于既含有指數(shù)式又含有對數(shù)式的等式或不等式，直接求導(dǎo)會出現(xiàn)越求導(dǎo)式子越復(fù)雜的情況，此時可通過
同構(gòu)函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性，把問題轉(zhuǎn)化為較為簡單的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題．
導(dǎo)函數(shù)求解參數(shù)取值范圍，當(dāng)函數(shù)中同時出現(xiàn)與，通常使用同構(gòu)來進行求解，難點是尋找構(gòu)造突破口。
如變形得到，從而構(gòu)造進行求解.
常見同構(gòu)：
①；
②；
③
④；
（1）乘積模型：
（2）商式模型：
（3）和差模型：
一般地，已知函數(shù)，
（1）若，，有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有成立，故；
虛設(shè)零點法：
涉及到導(dǎo)函數(shù)有零點但是求解相對比較繁雜甚至無法求解的情形時，可以將這個零點只設(shè)出來而不必求出來，然后尋找一種整體的轉(zhuǎn)換和過度，再結(jié)合其他條件，進行代換變形，從而最重獲得問題的解決
（1）、整體代換：把超越式子（多為指數(shù)和對數(shù)式子）轉(zhuǎn)化為普通的（如二次函數(shù)一次哈數(shù)等）可解式子，如比值代換等等。
（2）、反代消參：反解參數(shù)代入，構(gòu)造單一變量的函數(shù)。如果要求解（或者要證明）的結(jié)論與參數(shù)無關(guān)，則可以通過反解參數(shù)，用變量（零點）表示參數(shù)，然后把函數(shù)變成關(guān)于零點的單一函數(shù)，再對單一變量求導(dǎo)就可以解決相應(yīng)的問題。
（3）留參降次（留參、消去指對等超越項）：如果要求解的與參數(shù)有關(guān)，則可以通過消去超越項，建立含參數(shù)的方程或者不等式。恒等變形或者化簡方向時保留參數(shù)，通過“降次”變換，一直降到不可再降為止，再結(jié)合條件，求解方程或者不等式，解的相應(yīng)的參數(shù)值或者參數(shù)范圍
如果函數(shù)在定義域的某個區(qū)間（）上的值域恰為（），則稱函數(shù)為上的k倍域函數(shù)，稱為函數(shù)的一個k倍域區(qū)間．
把函數(shù)存在區(qū)間，使得函數(shù)為上的倍域函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為是解答的關(guān)鍵.
一般地，已知函數(shù)，
若，，有，則的值域是值域的子集．
一般地，已知函數(shù)，
不等關(guān)系
(1)若，，總有成立，故；
(2)若，，有成立，故；
(3)若，，有成立，故；
(4) 若，，有成立，故．
凸凹翻轉(zhuǎn)型常見思路，如下圖

轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值問題是關(guān)鍵。
不等式中，可以借助對數(shù)均值不等式解決，完整的對數(shù)均值不等式為：，可用兩邊同除，
令整體換元的思想來構(gòu)造函數(shù)，證明不等式成立求解參數(shù)
多參數(shù)型求參數(shù)范圍，或者多參型最值，難點是能夠兩次構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求
出相應(yīng)函數(shù)的最值
第六講函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸小題歸類
目錄
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc440" 題型01 整數(shù)解型 PAGEREF _Tc440 \h 1
\l "_Tc11059" 題型02 函數(shù)零點構(gòu)造型 PAGEREF _Tc11059 \h 2
\l "_Tc23680" 題型03 同構(gòu): 方程零點型同構(gòu) PAGEREF _Tc23680 \h 3
\l "_Tc26892" 題型04 同構(gòu): 不等式型同構(gòu)求參 PAGEREF _Tc26892 \h 4
\l "_Tc9467" 題型05 恒成立求參：移項討論型 PAGEREF _Tc9467 \h 5
\l "_Tc17314" 題型06 恒成立求參：虛設(shè)零點型 PAGEREF _Tc17314 \h 5
\l "_Tc19138" 題型07 “倍縮”型函數(shù)求參數(shù) PAGEREF _Tc19138 \h 6
\l "_Tc15574" 題型08 恒成立求參：“等式”型 PAGEREF _Tc15574 \h 7
\l "_Tc32305" 題型09 雙變量型不等式范圍最值 PAGEREF _Tc32305 \h 8
\l "_Tc10635" 題型10 雙變量型：凸凹反轉(zhuǎn)型 PAGEREF _Tc10635 \h 9
\l "_Tc30386" 題型11多參型：代換型 PAGEREF _Tc30386 \h 10
\l "_Tc2377" 題型12 多參型：二次構(gòu)造放縮型 PAGEREF _Tc2377 \h 10
\l "_Tc27726" 題型13 多參型：韋達定理求參型 PAGEREF _Tc27726 \h 11
\l "_Tc6167" 題型14 多參型：單峰函數(shù)絕對值型 PAGEREF _Tc6167 \h 12
\l "_Tc26271" 題型15 導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù) PAGEREF _Tc26271 \h 12
\l "_Tc21516" 高考練場 PAGEREF _Tc21516 \h 13
熱點題型歸納
題型01 整數(shù)解型
【解題攻略】
【典例1-1】（2021·湖南懷化·二模（理））已知函數(shù)，，若對任意的，存在實數(shù)滿足，使得，則的最大值是
A．3B．2C．4D．5
【答案】A
【解析】根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為，對于恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，然后求出的范圍，進一步得到的最大值.
【詳解】，，對任意的，存在實數(shù)滿足，使得，
易得，即恒成立，，對于恒成立,
設(shè)，則，令，在恒成立，
，故存在，使得，即，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增.,將代入得：
，，且，故選：A
【典例1-2】.（2020·黑龍江實驗中學(xué)三模（理））已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在極值點，且恰好有唯一整數(shù)解，則的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求導(dǎo)，由得可求出的范圍，再考查與零的大小比較，在時，結(jié)合題意得出，以及當(dāng)時，，解出實數(shù)的范圍可得出答案．
【詳解】，則，
由于函數(shù)在區(qū)間上存在極值點，令，得，
所以，，解得，
由于，且不等式恰有一整數(shù)解．
①當(dāng)時，即當(dāng)時，，
當(dāng)時，；當(dāng)時，．
此時，函數(shù)在處取得最小值，則，不合乎題意；
②當(dāng)時，即當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，．
所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．
由題意可得，解得，此時，；
③當(dāng)時，即當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，．
所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．
由題意可得，解得，此時，．
因此，實數(shù)的取值范圍是，故選D．
【變式1-1】在關(guān)于的不等式（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集中，有且僅有兩個大于2的整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
將不等式轉(zhuǎn)化為，分別研究兩個函數(shù)的性質(zhì)，確定的取值范圍，構(gòu)造函數(shù)，利用放縮法進一步縮小的取值范圍，列出不等式組，求出結(jié)果.
【詳解】由，化簡得：，
設(shè)，，則原不等式即為.若，則當(dāng)時，，，
原不等式的解集中有無數(shù)個大于2的整數(shù)，∴.∵，，∴.
當(dāng)，即時，設(shè)，則.
設(shè)，則在單調(diào)遞減，所以，所以在單調(diào)遞減，∴，
∴當(dāng)時，，∴在上為減函數(shù)，即，
∴當(dāng)時，不等式恒成立，原不等式的解集中沒有大于2的整數(shù).
要使原不等式的解集中有且僅有兩個大于2的整數(shù)，則f3>g3f4>g4f5≤g5，即e2>2ae34e2>3ae49e2≤4ae5，解得.
則實數(shù)的取值范圍為.故選：D
【變式1-2】（黑龍江省佳木斯市第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第四次調(diào)研考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題
）已知偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，若關(guān)于x的不等式在上有且只有150個整數(shù)解，則實數(shù)t的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)偶函數(shù)滿足，得到函數(shù)是以6為周期的周期函數(shù)，由時，，用導(dǎo)數(shù)法結(jié)合偶函數(shù)，作出數(shù)在上的圖象，將不等式在上有且只有150個整數(shù)解，轉(zhuǎn)化為在一個周期上有3個整數(shù)解分別為-2，2，3求解.
【詳解】因為偶函數(shù)滿足，所以，即，
所以函數(shù)是以6為周期的周期函數(shù)，當(dāng)時，，所以，
當(dāng)時，，函數(shù)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)遞減；
當(dāng)當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，作出函數(shù)在上的圖象，如圖所示：
因為不等式在上有且只有150個整數(shù)解，
所以不等式在上有且只有3個整數(shù)解，
當(dāng)時，不符合題意，故不等式在上有且只有3個整數(shù)解，
因為，所以，即，
故不等式在上的3個整數(shù)解分別為-2，2，3，
所以，，即，故選：B
【變式1-3】（四川省成都石室中學(xué)高三下學(xué)期考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恰有兩個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】
∵，
∴f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減，
當(dāng)a>0時,f2(x)+af(x)>0?f(x)0,此時不等式f2(x)+af(x)>0有無數(shù)個整數(shù)解，不符合題意；
當(dāng)a=0時,f2(x)+af(x)>0?f(x)≠0,此時不等式f2(x)+af(x)>0有無數(shù)個整數(shù)解，不符合題意；
當(dāng)a0?f(x)?a,要使不等式f2(x)+af(x)>0恰有兩個整數(shù)解，必須滿足f(3)??a1,(m)

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