2024年新高考數(shù)學(xué)題型全歸納講義第二十講立體幾何大題綜合歸類(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc31183" 題型01平行：無交線型 PAGEREF _Tc31183 \h 1
\l "_Tc15411" 題型02平行：線面平行探索性3
\l "_Tc19920" 題型03平行：面面平行探索性 PAGEREF _Tc19920 \h 4
\l "_Tc30670" 題型04 垂直：線面垂直探索性 PAGEREF _Tc30670 \h 5
\l "_Tc25026" 題型05垂直：面面垂直翻折探索性7
\l "_Tc7885" 題型06證明與建系：斜棱柱垂面法建系8
\l "_Tc7905" 題型07證明與建系：斜棱柱垂線法建系10
\l "_Tc16696" 題型08 證明與建系：三棱柱投影法建系12
\l "_Tc23017" 題型09 證明與建系：角平分線法建系 PAGEREF _Tc23017 \h 13
\l "_Tc6755" 題型10二面角延長(zhǎng)線法 PAGEREF _Tc6755 \h 15
\l "_Tc23619" 題型11翻折型 PAGEREF _Tc23619 \h 16
\l "_Tc25583" 題型12臺(tái)體型 PAGEREF _Tc25583 \h 18
\l "_Tc8054" 高考練場(chǎng)19
熱點(diǎn)題型歸納
題型01平行：無交線型
【解題攻略】
【典例1-1】如圖，在平行四邊形中，，，為的中點(diǎn)，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且，，分別為，的中點(diǎn).
(1)證明：平面.
(2)若平面與平面的交線為，求直線與平面所成角的正弦值.
【變式1-1】如圖所示，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，,,側(cè)棱⊥底面且．
(1)指出棱與平面的交點(diǎn)的位置（無需證明）；
(2)求點(diǎn)到平面的距離．
【變式1-2】如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，為圓錐底面的圓心，圓錐的底面直徑，母線，是的中點(diǎn)，四邊形為正方形．設(shè)平面平面，證明：；
.
題型02平行：線面平行探索性
【解題攻略】
【典例1-1】如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，，，且，為中點(diǎn).
求證平面
在上是否存在一點(diǎn)，使得平面，若不存在，說明理由；若存在，確定點(diǎn)E的位置.
【變式1-1】如圖，四邊形中，，，，，，分別在，上，，現(xiàn)將四邊形沿折起，使．
(1)若，在折疊后的線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
(2)求三棱錐的體積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)到平面的距離.
【變式1-2】如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝2，DC＝3，點(diǎn)E在CD上，且DE＝2，將△ADE沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE，G為AE中點(diǎn).
(1)求證：DG⊥平面ABCE；
(2)求四棱錐D-ABCE的體積；
(3)在線段BD上是否存在點(diǎn)P，使得CP∥平面ADE？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
題型03平行：面面平行探索性
【解題攻略】
【典例1-1】在三棱柱中，
(1)若分別是的中點(diǎn)，求證：平面平面.
(2)若點(diǎn)分別是上的點(diǎn)，且平面平面，試求的值．
【變式1-1】.在長(zhǎng)方體中，，P為的中點(diǎn)．已知過點(diǎn)的平面與平面平行，平面與直線分別相交于點(diǎn)M，N，請(qǐng)確定點(diǎn)M，N的位置；
【變式1-2】已知正方體中，?分別為對(duì)角線?上的點(diǎn)，且．
（1）求證：平面；
（2）若是上的點(diǎn)，的值為多少時(shí)，能使平面平面？請(qǐng)給出證明．
題型04 垂直：線面垂直探索性
【解題攻略】
【典例1-1】已知正方體的棱長(zhǎng)為，、、分別是、、的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
(3)求到平面的距離．
【變式1-1】如圖，在四棱錐S－ABCD中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD為正三角形．側(cè)面SAD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為棱AD，SB的中點(diǎn)．
(1)求證：AF∥平面SEC；
(2)求證：平面ASB⊥平面CSB；
(3)在棱SB上是否存在一點(diǎn)M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【變式1-2】如圖，在直三棱柱中，，，，為棱上靠近的三等分點(diǎn)，為棱上靠近的三等分點(diǎn).
(1)證明：平面；
(2)在棱上是否存在點(diǎn)D，使得面?若存在，求出的大小并證明；若不存在，說明理由.
題型05垂直：面面垂直翻折探索性
【解題攻略】
【典例1-1】
如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，點(diǎn)M是AC與BD的交點(diǎn)，點(diǎn)N在線段PB上，且PN＝PB.
(1)證明：MN平面PDC；
(2)在線段BC上是否存在一點(diǎn)Q，使得平面MNQ⊥平面PAD，若存在，求出點(diǎn)Q的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【變式1-1】如圖，在三棱臺(tái)ABC-DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.
(1)設(shè)平面ACE∩平面DEF＝a，求證：DF∥a；
(2)若EF＝CF＝2BC，試問在線段BE上是否存在點(diǎn)G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，請(qǐng)確定G點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【變式1-2】如圖（1），點(diǎn)E是直角梯形ABCD底邊CD上的一點(diǎn)，∠ABC＝90°，BC＝CE＝1，AB＝DE＝2，將沿AE折起，使得D－AE－B成直二面角，連接CD和BD，如圖（2）．
(1)求證：平面平面BCD；
(2)在線段BD上確定一點(diǎn)F，使得平面ADE.
題型06證明與建系：斜棱柱垂面法建系
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，平面平面ABC，，，，，，．

(1)求證：B，D，E，四點(diǎn)共面；
(2)求二面角的余弦值．
【變式1-1】（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在斜三棱柱中，，，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為.

(1)證明：OD∥平面；
(2)若，，，求平面與平面所成角的大小.
【變式1-2】（2023·安徽滁州·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？级＃┤鐖D，在三棱柱中，四邊形是邊長(zhǎng)為4的菱形．，點(diǎn)D為棱AC上動(dòng)點(diǎn)(不與A，C重合)，平面B1BD與棱A1C1交于點(diǎn)E．
(1)求證：；
(2)若，平面ABC⊥平面，，求直線BC與平面B1BDE所成角的正弦值．
題型07證明與建系：斜棱柱垂線法建系
【典例1-1】（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，為的中點(diǎn)，，，，點(diǎn)在底面上的射影為點(diǎn).

(1)求證：平面；
(2)若，求平面與平面所成角的正弦值.
【變式1-1】（2023·四川成都·川大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示多面體ABCDEF中，平面平面ABCD，平面ABCD，是正三角形，四邊形ABCD是菱形，，，
(1)求證：平面ABCD；
(2)求二面角的正弦值.
【變式1-2】（2023·福建福州·福州三中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，，側(cè)面為菱形，為等邊三角形．
(1)求證：；
(2)若，點(diǎn)E是側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，且平面與平面的夾角的余弦值為，求點(diǎn)B到平面的距離．
題型08 證明與建系：三棱錐投影法建系
【典例1-1】（2023春·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）如圖，在三棱錐中，，D是AC的中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，平面PDE.
(1)證明：平面PBC；
(2)若，，求二面角的正弦值．
【變式1-1】（2023·貴州貴陽(yáng)·高三貴陽(yáng)一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，是點(diǎn)在平面ABC上的投影，，，是BD的中點(diǎn).
(1)證明：平面DAC；
(2)若O點(diǎn)正好落在的內(nèi)角平分線上，，，，求二面角的正弦值.
【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，D，E，P分別在棱AC，AB，BC上，且D為AC中點(diǎn)，，于F.
(1)證明：平面平面；
(2)當(dāng)，，二面角的余弦值為時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.
題型09 證明與建系：角平分線法建系
【解題攻略】
【典例1-1】（2024年九省聯(lián)考）如圖，平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，為與的交點(diǎn)，．
（1）證明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
【變式1-1】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知三棱柱中，是的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn).

(1)求證：；
(2)設(shè)是棱上的動(dòng)點(diǎn)（不包括邊界），當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.
【變式1-2】(2024鄭州一質(zhì)檢）如圖，在多面體中，底面為平行四邊形，平面BC，為等邊三角形，．
(1)求證：平面平面；
(2)求平面與平面夾角的余弦值．
題型10二面角延長(zhǎng)線法
【典例1-1】.（2023春·安徽蕪湖·高三統(tǒng)考）在三棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且直線與平面所成角為為中點(diǎn).

(1)求證：平面平面；
(2)求二面角的正弦值.
【變式1-1】（2023·廣東佛山·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，
，設(shè)點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求面積的最小值；
(2)求平面與平面的夾角的余弦值.
【變式1-2】（2023秋·河南鄭州·高三鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，，，二面角為鈍角，三棱錐的體積為.

(1)求二面角的大??；
(2)求直線AP與平面PBC所成角的正弦值.
.
題型11翻折型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）如圖，平面五邊形由等邊三角形與直角梯形組成，其中，，，，將沿折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.

(1)當(dāng)時(shí)，證明并求四棱錐的體積；
(2)已知點(diǎn)為棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.
【變式1-1】（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知直角梯形形狀如下，其中，，，．

(1)在線段CD上找出點(diǎn)F，將四邊形沿翻折，形成幾何體．若無論二面角多大，都能夠使得幾何體為棱臺(tái)，請(qǐng)指出點(diǎn)F的具體位置（無需給出證明過程）．
(2)在（1）的條件下，若二面角為直二面角，求棱臺(tái)的體積，并求出此時(shí)二面角的余弦值．
【變式1-2】（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）箏形是指有一條對(duì)角線所在直線為對(duì)稱軸的四邊形．如圖，四邊形為箏形，其對(duì)角線交點(diǎn)為，將沿折到的位置，形成三棱錐．

(1)求到平面的距離；
(2)當(dāng)時(shí)，在棱上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
題型12臺(tái)體型
【解題攻略】
【典例1-1】．（2019上·浙江·高三校聯(lián)考）在三棱臺(tái)中，是等邊三角形，二面角的平面角為，.
（I）求證：；
（II）求直線與平面所成角的正弦值.
【變式1-1】（2024上·山東德州·高三統(tǒng)考）如圖，在四棱臺(tái)中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．
(1)證明：直線面；
(2)求二面角的余弦值．
【變式1-2】（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正四棱臺(tái)中，，，，為棱，的中點(diǎn)，棱上存在一點(diǎn)，使得平面．

(1)求；
(2)當(dāng)正四棱臺(tái)的體積最大時(shí)，求與平面所成角的正弦值．
高考練場(chǎng) 高考練場(chǎng)
1.如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，設(shè)平面與平面的交線為直線．證明：平面.
2.如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面，若存在，請(qǐng)說明理由．
3..如圖，四棱錐中，，，為的中點(diǎn)．
(1)求證：平面.
(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面？若存在，證明你的結(jié)論，若不存在，請(qǐng)說明理由．
4..如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
5.圖1是由矩形，和菱形組成的一個(gè)平面圖形，其中，，，將其沿，折起使得與重合，連接，如圖2.
(1)證明：圖2中的，，，四點(diǎn)共面，且平面平面；
(2)求圖2中的直線與平面所成角的正弦值.
6.（2023·四川宜賓·宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，．

(1)證明：；
(2)若，且，求二面角的正弦值．
7.（2023·江西南昌·統(tǒng)考二模）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的菱形，，，點(diǎn)E在線段上，，平面平面．
(1)求；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
8.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)證明：AP⊥BC；
(2)若點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn)，且AM＝3，試證明AM⊥平面BMC.
9.（2022·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，，，．
(1)求證：；
(2)若為線段的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．
10.（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，是等邊三角形，，，M是AD的中點(diǎn).
(1)證明：平面ECD.
(2)當(dāng)二面角為時(shí)，求二面角的余弦值.
.
11.（2022下·浙江杭州·高三浙江大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱臺(tái)中，底面四邊形是菱形，面，且，E是棱的中點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)求多面體（四棱臺(tái)切掉三棱錐剩下的部分）的體積；
(3)求直線與平面所成線面角的正弦值．
12.（2022·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱臺(tái)中，底面為正方形，H在棱上，，．
(1)求證：平面；
(2)若M為的中點(diǎn)，且，求直線和平面所成角的正弦值．
兩個(gè)平面相交：
1.兩點(diǎn)確定一條直線，只需確定兩平面的兩個(gè)公共點(diǎn)即可
2.由于兩平面有一個(gè)公共點(diǎn)A，再找一個(gè)公共點(diǎn)即可確定交線
3.一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行，在平面內(nèi)，過兩平面的公共點(diǎn)作直線與已知直線平行，則此直線即為兩平面的交線
平行的常用構(gòu)造方法
①三角形中位線法；
②平行四邊形線法；
③比例線段法.
注意：平行構(gòu)造主要用于：①異面直線求夾角；②平行關(guān)系的判定.
證明平行
(1)線線平行：設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2(或l1與l2重合)?v1∥v2.
(2)線面平行：設(shè)直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l∥α或l?α?v⊥u.
(3)面面平行：設(shè)平面α和β的法向量分別為u1，u2，則α∥β?u1 ∥u2.
垂直的常見構(gòu)造：
①等腰三角形三線合一法；
②勾股定理法；
③投影法.
④菱形的對(duì)角線互相垂直
翻折
翻折前后，在同一平平面內(nèi)的點(diǎn)線關(guān)系不變
翻折過程中是否存在垂直或者平行等特殊位置關(guān)系
翻折過程中，角度是否為定值
翻折過程中，體積是否存在變化
斜棱柱垂線型建系
如果存在垂線（投影型）斜棱柱，則可以直接借助垂線作為z軸建系，下底面，可以尋找或者做出一對(duì)垂線作為xy軸。這類建系，主要難點(diǎn)是分析“空中”的點(diǎn)的坐標(biāo)?？罩悬c(diǎn)坐標(biāo)可以有以下思維：
讓空中點(diǎn)垂直砸下來（落下來，尋找投影），投影點(diǎn)坐標(biāo)以及下落的高度
借助向量相等，尋找空中點(diǎn)所在線段的向量對(duì)應(yīng)的底面相等向量，即可計(jì)算出空中點(diǎn)的坐標(biāo)
等角射影平分線型建系
如果一條線和一個(gè)角的兩邊所成角度相等，則該線在角度所在平面射影是角平分線。此時(shí)，這個(gè)模型也滿足“三面角余弦定理”：
大題解答時(shí)，需要簡(jiǎn)單的證明才能使用
翻折型建系
翻折型幾何體，尋找翻折前和翻折后的“變與不變”的點(diǎn)線面關(guān)系。
翻折前翻折后在同一平面內(nèi)的點(diǎn)線，數(shù)量關(guān)系不變。
翻折后，一般情況下是存在垂直的平面，可以利用垂面法建系計(jì)算
翻折后，可以構(gòu)造三棱錐，利用三棱錐斜面建系法來建系計(jì)算
臺(tái)體建系型
正棱臺(tái)型，建系較簡(jiǎn)單，一般是正多邊形中心作為原點(diǎn)，上下底面連線作為z軸。
非正棱臺(tái)型，如有垂面或者垂線，則可以垂面垂線型建系，無垂面垂線，則可參考三棱錐斜面建系思維。
第二十講立體幾何大題綜合歸類
目錄
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc31183" 題型01平行：無交線型 PAGEREF _Tc31183 \h 1
\l "_Tc15411" 題型02平行：線面平行探索性 PAGEREF _Tc15411 \h 5
\l "_Tc19920" 題型03平行：面面平行探索性 PAGEREF _Tc19920 \h 8
\l "_Tc30670" 題型04 垂直：線面垂直探索性 PAGEREF _Tc30670 \h 10
\l "_Tc25026" 題型05垂直：面面垂直翻折探索性 PAGEREF _Tc25026 \h 14
\l "_Tc7885" 題型06證明與建系：斜棱柱垂面法建系 PAGEREF _Tc7885 \h 17
\l "_Tc7905" 題型07證明與建系：斜棱柱垂線法建系 PAGEREF _Tc7905 \h 20
\l "_Tc16696" 題型08 證明與建系：三棱柱投影法建系 PAGEREF _Tc16696 \h 24
\l "_Tc23017" 題型09 證明與建系：角平分線法建系 PAGEREF _Tc23017 \h 27
\l "_Tc6755" 題型10二面角延長(zhǎng)線法 PAGEREF _Tc6755 \h 31
\l "_Tc23619" 題型11翻折型 PAGEREF _Tc23619 \h 34
\l "_Tc25583" 題型12臺(tái)體型 PAGEREF _Tc25583 \h 38
\l "_Tc8054" 高考練場(chǎng) PAGEREF _Tc8054 \h 42
熱點(diǎn)題型歸納
題型01平行：無交線型
【解題攻略】
【典例1-1】如圖，在平行四邊形中，，，為的中點(diǎn)，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且，，分別為，的中點(diǎn).
(1)證明：平面.
(2)若平面與平面的交線為，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析；(2).
【分析】（1）連接，交于，并連接，易得為正方形，進(jìn)而知為中位線，則，最后根據(jù)線面平行的判定證結(jié)論；
（2）若為中點(diǎn)，連接，由線面、面面垂直的判定可證面面，從而在面上的射影在直線上，過作直線則有直線為面與面的交線，故與面所成角即為所求角，再根據(jù)已知、等體積法求到面的距離，即可求角的正弦值.
（1）
連接，交于，并連接，
由、分別是、的中點(diǎn)，而，故為正方形，
所以為的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，
所以，而面，面，故面.
（2）
由題易知：且均為等腰三角形，且均為等邊三角形，
若為中點(diǎn)，連接，則，
而，面，則面，
又面，故面面，面面，
所以在面上的射影在直線上，
過作直線，而，則，故直線為面與面的交線，
所以直線與平面所成角，即為與面所成角，
由題設(shè)，，，令，則，，
因?yàn)槊?，面，故?br>所以，又，易知，
在△中，，整理得，
所以，故，，
若到面的距離為，且，即，
所以，，，，
綜上，，則.
【變式1-1】如圖所示，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，,,側(cè)棱⊥底面且．
(1)指出棱與平面的交點(diǎn)的位置（無需證明）；
(2)求點(diǎn)到平面的距離．
【答案】(1)點(diǎn)位于的中點(diǎn)位置，理由見解析；
(2).
【分析】（1）作出輔助線，得到四棱柱為長(zhǎng)方體，利用中位線得到線線平行，得到棱與平面的交點(diǎn)的位置為的中點(diǎn)；
（2）利用等體積法求解點(diǎn)到平面的距離.
（1）
延長(zhǎng)至點(diǎn)F，且DF=CD，延長(zhǎng)至點(diǎn)H，使得，連接FH，交于點(diǎn)Q，
因?yàn)樗睦庵校酌媸堑妊菪?，?br>所以四棱柱為長(zhǎng)方體，，且為的中點(diǎn)，
取的中點(diǎn)E，連接ED，則，
所以，
故棱與平面的交點(diǎn)的位置為的中點(diǎn)；
（2）
取AB的中點(diǎn)M，連接DM，
因?yàn)?,
故△ADM為等邊三角形，
所以，
因?yàn)閭?cè)棱⊥底面且，平面，
所以，
由勾股定理得：，
由余弦定理得：，
其中，
，
由余弦定理得：，
因?yàn)椋?br>所以，
由三角形面積公式可知：，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
因?yàn)椋矗?br>，解得：，
所以點(diǎn)到平面的距離為.
【變式1-2】如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，為圓錐底面的圓心，圓錐的底面直徑，母線，是的中點(diǎn)，四邊形為正方形．設(shè)平面平面，證明：；
【答案】證明見解析.
【分析】利用線面平行的判定定理可得平面，再利用線面平行的性質(zhì)定理即得.
【詳解】因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?br>∴，
∵平面，平面，
∴平面，
∵平面，平面平面，
∴．
.
題型02平行：線面平行探索性
【解題攻略】
【典例1-1】如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，，，且，為中點(diǎn).
(1)求證平面
(2)在上是否存在一點(diǎn)，使得平面，若不存在，說明理由；若存在，確定點(diǎn)E的位置.
【答案】(1)證明見解析。(2)存在，E為線段BC1的中點(diǎn)
【分析】（1）利用線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；
（2）連接，交于，連接，能夠判斷OM平面A1AB，BC1的中點(diǎn)M即為所求的E點(diǎn).
（1）證明：連接，，且為的中點(diǎn)，所以.
，且為的中點(diǎn)，∴A1O⊥AC.又，平面，平面，
∴平面．
（2）存在點(diǎn)E，且E為線段BC1的中點(diǎn).理由：連接，交于，連接，則OM是的一條中位線，OMAB1，
又平面，OM?平面A1AB，∴OM平面A1AB，故BC1的中點(diǎn)M即為所求的E點(diǎn).
【變式1-1】如圖，四邊形中，，，，，，分別在，上，，現(xiàn)將四邊形沿折起，使．
(1)若，在折疊后的線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
(2)求三棱錐的體積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)到平面的距離.
【答案】(1)存在，
(2)三棱錐A-CDF的體積的最大值為3，此時(shí)點(diǎn)F到平面ACD的距離為
【分析】(1)在AD上取一點(diǎn)P，使得，證明線面平行，則P點(diǎn)就是所求的點(diǎn)；
(2)先設(shè) ，運(yùn)用二次函數(shù)即可求出三棱錐的體積最大值，再運(yùn)用等體積法求出F到平面ACD的距離.
（1）
AD上存在一點(diǎn)P，使得CP 平面ABEF，此時(shí)，
理由如下：當(dāng)時(shí)，，如圖，過點(diǎn)P作M FD交AF于點(diǎn)M，連接ME，則，
∵BE＝1，∴FD＝5，∴MP＝3，又EC＝3，MP FD EC，∴MP EC，
故四邊形MPCE為平行四邊形，∴CP ME，又CP?平面ABEF，ME?平面ABEF，
∴CP 平面ABEF；
（2）設(shè)BE＝x，則AF＝x(0

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