TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc8924" 題型01 “馬爾科夫鏈”模型 PAGEREF _Tc8924 \h 1
\l "_Tc21416" 題型02基礎(chǔ)分布：兩點(diǎn)分布 PAGEREF _Tc21416 \h 2
\l "_Tc11597" 題型03基礎(chǔ)分布：超幾何分布 PAGEREF _Tc11597 \h 4
\l "_Tc3761" 題型04基礎(chǔ)分布：二項(xiàng)分布 PAGEREF _Tc3761 \h 6
\l "_Tc18493" 題型05基礎(chǔ)分布：正態(tài)分布 PAGEREF _Tc18493 \h 7
\l "_Tc18527" 題型06基礎(chǔ)比賽型分布列 PAGEREF _Tc18527 \h 9
\l "_Tc12248" 題型07復(fù)雜條件比賽型分布列 PAGEREF _Tc12248 \h 10
\l "_Tc14145" 題型08三人、多人比賽型分布列 PAGEREF _Tc14145 \h 12
\l "_Tc18234" 題型09 傳球模式 PAGEREF _Tc18234 \h 13
\l "_Tc17827" 題型10 藥物檢驗(yàn)方案比較 PAGEREF _Tc17827 \h 14
\l "_Tc7320" 題型11 證明或者求數(shù)列型分布列 PAGEREF _Tc7320 \h 15
\l "_Tc18842" 高考練場 PAGEREF _Tc18842 \h 17

題型01 “馬爾科夫鏈”模型
【解題攻略】
【典例1-1】乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
（1）求第2次投籃的人是乙的概率；
（2）求第次投籃的人是甲的概率；
（3）已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．
【典例1-2】（2023下·遼寧高三校聯(lián)考 ）馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，為狀態(tài)空間中經(jīng)過從一個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)換的隨機(jī)過程.該過程要求具備“無記憶”的性質(zhì)：下一狀態(tài)的概率分布只能由當(dāng)前狀態(tài)決定，在時(shí)間序列中它前面的事件均與之無關(guān).甲乙兩個(gè)口袋中各裝有1個(gè)黑球和2個(gè)白球，現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)進(jìn)行次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為，恰有1個(gè)黑球的概率為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列D．的數(shù)學(xué)期望
【變式1-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，為狀態(tài)空間中經(jīng)過從一個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)換的隨機(jī)過程．該過程要求具備“無記憶”的性質(zhì)：下一狀態(tài)的概率分布只能由當(dāng)前狀態(tài)決定，在時(shí)間序列中它前面的事件均與之無關(guān)．甲、乙兩口袋中各裝有1個(gè)黑球和2個(gè)白球，現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)進(jìn)行次這樣的操作，記口袋甲中黑球的個(gè)數(shù)為，恰有1個(gè)黑球的概率為．
(1)求的值；
(2)求的值（用表示）；
(3)求證：的數(shù)學(xué)期望為定值．
【變式1-2】（2023上·貴州黔西·高三興義第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，因俄國數(shù)學(xué)家安德烈·馬爾科夫得名，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關(guān)，與第，，，…次狀態(tài)無關(guān)，即.已知甲盒子中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙盒子中裝有2個(gè)白球，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)球交換放入另一個(gè)盒子中，重復(fù)次這樣的操作.記甲盒子中黑球個(gè)數(shù)為，恰有2個(gè)黑球的概率為，恰有1個(gè)黑球的概率為.
(1)求，和，；
(2)證明：為等比數(shù)列（且）；
(3)求的期望（用表示，且）.
.
題型02基礎(chǔ)分布：兩點(diǎn)分布
【解題攻略】
【典例1-1】（2023下·河北唐山高三開灤第一中學(xué)校考階段練習(xí)）甲乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對(duì)方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃命中率均為0.6，乙每次投籃命中率均為0.8，由抽簽確定第1次投籃的人選，第一次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.
(1)求第2次投籃的人是乙的概率.
(2)求第次投籃的人是甲的概率.
(3)設(shè)隨機(jī)事件Y為甲投籃的次數(shù)，，1，2，……，n，求.
【典例1-2】（2023下·北京高三校考階段練習(xí)）地區(qū) 進(jìn)行了統(tǒng)一考試，為做好本次考試的評(píng)價(jià)工作，將本次成績轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批學(xué)生的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求頻率分布直方圖中的值；
(2)在這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績?cè)诘娜M中抽取了11人，再從這11人中隨機(jī)抽取3人，記為3人中成績?cè)诘娜藬?shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)轉(zhuǎn)化為百分制后，規(guī)定成績?cè)诘臑锳等級(jí)，成績?cè)诘臑锽等級(jí)，其它為C等級(jí)．以樣本估計(jì)總體，用頻率代替概率．從所有參加考試的同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，求獲得等級(jí)的人數(shù)不少于2人的概率.
【變式1-1】（2023·北京石景山·統(tǒng)考一模）某高?！爸参餇I養(yǎng)學(xué)專業(yè)”學(xué)生將雞冠花的株高增量作為研究對(duì)象，觀察長效肥和緩釋肥對(duì)農(nóng)作物影響情況.其中長效肥、緩釋肥、未施肥三種處理下的雞冠花分別對(duì)應(yīng)1,2,3三組.觀察一段時(shí)間后，分別從1,2,3三組隨機(jī)抽取40株雞冠花作為樣本，得到相應(yīng)的株高增量數(shù)據(jù)整理如下表.
假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且所有雞冠花生長情況相互獨(dú)立.
(1)從第1組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，估計(jì)株高增量為厘米的概率；
(2)分別從第1組，第2組，第3組的所有雞冠花中各隨機(jī)選取1株，記這3株雞冠花中恰有株的株高增量為厘米，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)用“”表示第組雞冠花的株高增量為，“”表示第組雞冠花的株高增量為厘米，，直接寫出方差，，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）
【變式1-2】（2022高三課時(shí)練習(xí)）一個(gè)袋中有除顏色外其余完全相同的3個(gè)白球和4個(gè)紅球．
(1)從袋中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出紅球，則有求X的分布列；
(2)從袋中任意摸出兩個(gè)球，用“0”表示兩個(gè)球全是白球，用“”表示兩個(gè)球不全是白球，求Y的分布列．
題型03基礎(chǔ)分布：超幾何分布
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·陜西西安·一模）為探究某藥物對(duì)小鼠的生長抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對(duì)照組（不加藥物）和實(shí)驗(yàn)組（加藥物）.
(1)設(shè)其中兩只小鼠中在對(duì)照組中小鼠數(shù)目為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)測得40只小鼠體重如下（單位：）：（已按從小到大排好）
對(duì)照組：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4
26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3
實(shí)驗(yàn)組：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2
14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0
（i）求40只小鼠體重的中位數(shù)，并完成下面列聯(lián)表：
（ii）根據(jù)列聯(lián)表，能否有的把握認(rèn)為藥物對(duì)小鼠生長有抑制作用.
附：，其中.
【典例1-2】（23·24高三上·北京西城· ）生活中人們喜愛用跑步軟件記錄分享自己的運(yùn)動(dòng)軌跡.為了解某地中學(xué)生和大學(xué)生對(duì)跑步軟件的使用情況，從該地隨機(jī)抽取了200名中學(xué)生和80名大學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們最喜愛使用的一款跑步軟件，結(jié)果如下：
假設(shè)大學(xué)生和中學(xué)生對(duì)跑步軟件的喜愛互不影響.
(1)從該地區(qū)的中學(xué)生和大學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，用頻率估計(jì)概率，試估計(jì)這2人都最喜愛使用跑步軟件一的概率；
(2)采用分層抽樣的方式先從樣本中的大學(xué)生中隨機(jī)抽取人，再從這人中隨機(jī)抽取人.記為這人中最喜愛使用跑步軟件二的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)記樣本中的中學(xué)生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為，，，，其方差為；樣本中的大學(xué)生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為，，，，其方差為；，，，，，，，的方差為.寫出，，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）
【變式1-1】（2023·四川雅安·一模）某工廠注重生產(chǎn)工藝創(chuàng)新，設(shè)計(jì)并試運(yùn)行了甲、乙兩條生產(chǎn)線．現(xiàn)對(duì)這兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行評(píng)估，在這兩條生產(chǎn)線所生產(chǎn)的產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取了300件進(jìn)行測評(píng)，并將測評(píng)結(jié)果（“優(yōu)”或“良”）制成如下所示列聯(lián)表：
(1)通過計(jì)算判斷，是否有的把握認(rèn)為產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)線有關(guān)系？
(2)現(xiàn)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行進(jìn)一步分析，在測評(píng)結(jié)果為“良”的產(chǎn)品中按生產(chǎn)線用分層抽樣的方法抽取了6件產(chǎn)品．若在這6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，求這3件產(chǎn)品中產(chǎn)自于甲生產(chǎn)線的件數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附表及公式：
其中．
【變式1-2】（2023·全國·模擬預(yù)測）課堂上，老師為了講解“利用組合數(shù)計(jì)算古典概型的問題”，準(zhǔn)備了x（）個(gè)不同的盒子，上面標(biāo)有數(shù)字1，2，3，…，每個(gè)盒子準(zhǔn)備裝x張形狀相同的卡片，其中一部分卡片寫有“巨額獎(jiǎng)勵(lì)”的字樣，另一部分卡片寫有“謝謝惠顧”的字樣．第1個(gè)盒子放有1張“巨額獎(jiǎng)勵(lì)”，張“謝謝惠顧”，第2個(gè)盒子放有2張“巨額獎(jiǎng)勵(lì)”，張“謝謝惠顧”，…，以此類推．游戲時(shí)，老師在所有盒子中隨機(jī)選取1個(gè)盒子后，再讓一個(gè)同學(xué)上臺(tái)每次從中隨機(jī)抽取1張卡片，抽取的卡片不再放回，連續(xù)抽取3次．
(1)若老師選擇了第3個(gè)盒子，，記摸到“謝謝惠顧”卡片的張數(shù)為X，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望；
(2)若，求該同學(xué)第3次抽到“謝謝惠顧”的概率．
.
題型04基礎(chǔ)分布：二項(xiàng)分布
【解題攻略】
【典例1-1】（2024·遼寧·一模）某植物園種植一種觀賞花卉，這種觀賞花卉的高度(單位：cm)介于之間，現(xiàn)對(duì)植物園部分該種觀賞花卉的高度進(jìn)行測量，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示.
(1)求的值;
(2)以頻率估計(jì)概率，完成下列問題.
(i)若從所有花卉中隨機(jī)抽株，記高度在內(nèi)的株數(shù)為，求 的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(ii)若在所有花卉中隨機(jī)抽取3株，求至少有2株高度在的條件下，至多 1株高度低于的概率.
【典例1-2】（2022高三上·河南·專題練習(xí)）為了調(diào)查某地區(qū)程序員的工資情況，研究人員隨機(jī)抽取了該地區(qū)20名程序員作調(diào)查，所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如下所示（單位：元），其中，經(jīng)計(jì)算得，
(1)求被調(diào)查的這20名程序員的平均工資；
(2)在（1）的條件下，可以算得，求“，，，”的方差；
(3)以被調(diào)查的這20名程序員的工資情況估計(jì)該地區(qū)所有程序員的工資情況，若在該地區(qū)所有程序員中隨機(jī)抽取4人，記工資在8000元以上的人數(shù)為，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望．
【變式1-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）“男男女女向前沖”是一項(xiàng)熱播的闖關(guān)類電視節(jié)目．該節(jié)目一共設(shè)置了四關(guān)，由以往的數(shù)據(jù)得，男生闖過一至四關(guān)的概率依次是，女生闖過一至四關(guān)的概率依次是．男生甲、乙，女生丙、丁四人小組前往參加闖關(guān)挑戰(zhàn)（個(gè)人賽）．
(1)求甲闖過四關(guān)的概率；
(2)設(shè)隨機(jī)變量為該四人小組闖過四關(guān)的人數(shù)，求．
【變式1-2】（2024·山東日照·一模）隨著科技的不斷發(fā)展，人工智能技術(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域也將會(huì)更加廣泛，它將會(huì)成為改變?nèi)祟惿鐣?huì)發(fā)展的重要力量．某科技公司發(fā)明了一套人機(jī)交互軟件，它會(huì)從數(shù)據(jù)庫中檢索最貼切的結(jié)果進(jìn)行應(yīng)答．在對(duì)該交互軟件進(jìn)行測試時(shí)，如果輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤，則軟件正確應(yīng)答的概率為；若出現(xiàn)語法錯(cuò)誤，則軟件正確應(yīng)答的概率為．假設(shè)每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯(cuò)誤的概率為．
(1)求一個(gè)問題能被軟件正確應(yīng)答的概率；
(2)在某次測試中，輸入了個(gè)問題，每個(gè)問題能否被軟件正確應(yīng)答相互獨(dú)立，記軟件正確應(yīng)答的個(gè)數(shù)為X，的概率記為，則n為何值時(shí)，的值最大？
題型05基礎(chǔ)分布：正態(tài)分布
【解題攻略】
【典例1-1】（2024·陜西西安·一模）某市為提升中學(xué)生的環(huán)境保護(hù)意識(shí)，舉辦了一次“環(huán)境保護(hù)知識(shí)競賽”，分預(yù)賽和復(fù)賽兩個(gè)環(huán)節(jié)，預(yù)賽成績排名前三百名的學(xué)生參加復(fù)賽．已知共有12000名學(xué)生參加了預(yù)賽，現(xiàn)從參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機(jī)地抽取100人的預(yù)賽成績作為樣本，得到頻率分布直方圖如圖：

(1)規(guī)定預(yù)賽成績不低于80分為優(yōu)良，若從上述樣本中預(yù)賽成績不低于60分的學(xué)生中隨機(jī)地抽取2人，求至少有1人預(yù)賽成績優(yōu)良的概率，并求預(yù)賽成績優(yōu)良的人數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(2)由頻率分布直方圖可認(rèn)為該市全體參加預(yù)賽學(xué)生的預(yù)賽成績Z服從正態(tài)分布，其中可近似為樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替），且，已知小明的預(yù)賽成績?yōu)?1分，利用該正態(tài)分布，估計(jì)小明是否有資格參加復(fù)賽？
附：若，則，，；．
【典例1-2】（23·24高三上·江西· ）面試是求職者進(jìn)入職場的一個(gè)重要關(guān)口，也是機(jī)構(gòu)招聘員工的重要環(huán)節(jié).某科技企業(yè)招聘員工，首先要進(jìn)行筆試，筆試達(dá)標(biāo)者進(jìn)入面試，面試環(huán)節(jié)要求應(yīng)聘者回答3個(gè)問題，第一題考查對(duì)公司的了解，答對(duì)得2分，答錯(cuò)不得分，第二題和第三題均考查專業(yè)知識(shí)，每道題答對(duì)得4分，答錯(cuò)不得分.
(1)若一共有100人應(yīng)聘，他們的筆試得分X服從正態(tài)分布，規(guī)定為達(dá)標(biāo)，求進(jìn)入面試環(huán)節(jié)的人數(shù)大約為多少（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；
(2)某進(jìn)入面試的應(yīng)聘者第一題答對(duì)的概率為，后兩題答對(duì)的概率均為，每道題是否答對(duì)互不影響，求該應(yīng)聘者的面試成績Y的數(shù)學(xué)期望.
附：若（），則，，.
【變式1-1】（2022·全國·模擬預(yù)測）某校隨機(jī)抽取了100名本校高一男生進(jìn)行立定跳遠(yuǎn)測試，根據(jù)測試成績得到如下的頻率分布直方圖.
(1)若該校高一男生的立定跳遠(yuǎn)成績X（單位：厘米）服從正態(tài)分布，其中為上面樣本數(shù)據(jù)的平均值（每組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中間值代替）.在該校所有高一男生中任意選取4人，記立定跳遠(yuǎn)成績?cè)诶迕滓陨希ò┑娜藬?shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)已知該校高二男生有800名，男生立定跳遠(yuǎn)成績?cè)?50厘米以上得滿分.若認(rèn)為高二男生立定跳遠(yuǎn)成績也服從（1）中所求的正態(tài)分布，請(qǐng)估計(jì)該校高二男生立定跳遠(yuǎn)得滿分的人數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）.
附：若，則，
，.
【變式1-2】（2024·全國·一模）正態(tài)分布與指數(shù)分布均是用于描述連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布．對(duì)于一個(gè)給定的連續(xù)型隨機(jī)變量，定義其累積分布函數(shù)為．已知某系統(tǒng)由一個(gè)電源和并聯(lián)的，，三個(gè)元件組成，在電源電壓正常的情況下，至少一個(gè)元件正常工作才可保證系統(tǒng)正常運(yùn)行，電源及各元件之間工作相互獨(dú)立．
(1)已知電源電壓（單位：）服從正態(tài)分布，且的累積分布函數(shù)為，求；
(2)在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，指數(shù)分布常用于描述事件發(fā)生的時(shí)間間隔或等待時(shí)間．已知隨機(jī)變量（單位：天）表示某高穩(wěn)定性元件的使用壽命，且服從指數(shù)分布，其累積分布函數(shù)為.
（ⅰ）設(shè)，證明：；
（ⅱ）若第天元件發(fā)生故障，求第天系統(tǒng)正常運(yùn)行的概率．
附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．
題型06基礎(chǔ)比賽型分布列
【解題攻略】
【典例1-1】（23·24高二上·陜西漢中· ）某校舉行圍棋友誼賽，甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行冠亞軍決賽，每局比賽甲獲勝的概率是，乙獲勝的概率是，規(guī)定：每一局比賽中勝方記1分，負(fù)方記0分，先得3分者獲勝，比賽結(jié)束．
(1)求進(jìn)行3局比賽決出冠亞軍的概率；
(2)若甲以領(lǐng)先乙時(shí)，記表示比賽結(jié)束時(shí)還需要進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【典例1-2】（2022·河南·模擬預(yù)測）羽毛球看似小巧，但羽毛球運(yùn)動(dòng)卻有著豐富的文化內(nèi)涵，簡潔的場地?幾個(gè)人的組合，就可以帶來一場充滿樂趣?斗智斗勇?健身休閑的競技比賽，參與者可以根據(jù)自己的年齡?性別?身體條件?技術(shù)水平，選擇適合自己的運(yùn)動(dòng)強(qiáng)度和競技難度.小胡和小李兩名員工經(jīng)常利用業(yè)余時(shí)間進(jìn)行羽毛球比賽，規(guī)定每一局比賽中獲勝方記1分，失敗方記0分，沒有平局，誰先獲得5分就獲勝，比賽結(jié)束，假設(shè)每局比賽小胡獲勝的概率都是，各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.
(1)求比賽結(jié)束時(shí)恰好打了6局的概率；
(2)若現(xiàn)在是小胡的比分落后，記表示結(jié)束比賽還需打的局?jǐn)?shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【變式1-1】（21·22高三上·廣西玉林·階段練習(xí)）甲乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球比賽，約定賽制如下：誰先贏四場則最終獲勝，已知每場比賽甲贏的概率為，輸?shù)母怕蕿椋?br>(1)求甲最終獲勝的概率；
(2)記最終比賽場次為X，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【變式1-2】（20·21高二下·重慶北碚·階段練習(xí)）某校在高二下學(xué)期的5月份舉辦了全年級(jí)的排球比賽，共21支隊(duì)伍，其中包括20支學(xué)生隊(duì)伍，以及一支教師隊(duì)伍，其比賽規(guī)則為：20支學(xué)生隊(duì)伍，進(jìn)行兩輪淘汰賽，選出5支學(xué)生隊(duì)伍直接進(jìn)入八強(qiáng)，再從被淘汰的15支學(xué)生隊(duì)伍中，用隨機(jī)抽樣的抽簽方法選出2支學(xué)生隊(duì)伍，這7學(xué)生支隊(duì)伍與教師隊(duì)伍一起參加后面的八強(qiáng)淘汰賽，經(jīng)過三輪淘汰賽產(chǎn)生最后的冠軍.若學(xué)生隊(duì)伍間的比賽雙方獲勝的概率均為，教師隊(duì)伍與學(xué)生隊(duì)伍之間的比賽，教師隊(duì)伍獲勝的概率為.
（1）求A班在前兩輪淘汰賽直接晉級(jí)（不通過抽簽）八強(qiáng)的概率；
（2）設(shè)教師隊(duì)伍參加比賽的輪次為X，求X的分布列和期望.
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題型07復(fù)雜條件比賽型分布列
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·廣東·二模）甲、乙兩名圍棋學(xué)員進(jìn)行圍棋比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負(fù)者得0分，平局雙方均得0分，比賽一直進(jìn)行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽．已知每局比賽中，甲獲勝的概率為α，乙獲勝的概率為β，兩人平局的概率為，且每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
(1)若，，，求進(jìn)行4局比賽后甲學(xué)員贏得比賽的概率；
(2)當(dāng)時(shí)，
（i）若比賽最多進(jìn)行5局，求比賽結(jié)束時(shí)比賽局?jǐn)?shù)X的分布列及期望E（X）的最大值；
（ii）若比賽不限制局?jǐn)?shù)，寫出“甲學(xué)員贏得比賽”的概率（用α，β表示），無需寫出過程．
【典例1-2】（2023·全國·三模）國學(xué)小組有編號(hào)為1，2，3，…，的位同學(xué)，現(xiàn)在有兩個(gè)選擇題，每人答對(duì)第一題的概率為、答對(duì)第二題的概率為，每個(gè)同學(xué)的答題過程都是相互獨(dú)立的，比賽規(guī)則如下：①按編號(hào)由小到大的順序依次進(jìn)行，第1號(hào)同學(xué)開始第1輪出賽，先答第一題；②若第號(hào)同學(xué)未答對(duì)第一題，則第輪比賽失敗，由第號(hào)同學(xué)繼繼續(xù)比賽；③若第號(hào)同學(xué)答對(duì)第一題，則再答第二題，若該生答對(duì)第二題，則比賽在第輪結(jié)束；若該生未答對(duì)第二題，則第輪比賽失敗，由第號(hào)同學(xué)繼續(xù)答第二題，且以后比賽的同學(xué)不答第一題；④若比賽進(jìn)行到了第輪，則不管第號(hào)同學(xué)答題情況，比賽結(jié)束．
(1)令隨機(jī)變量表示名同學(xué)在第輪比賽結(jié)束，當(dāng)時(shí)，求隨機(jī)變量的分布列；
(2)若把比賽規(guī)則③改為：若第號(hào)同學(xué)未答對(duì)第二題，則第輪比賽失敗，第號(hào)同學(xué)重新從第一題開始作答．令隨機(jī)變量表示名挑戰(zhàn)者在第輪比賽結(jié)束．
①求隨機(jī)變量的分布列；
②證明：單調(diào)遞增，且小于3．
【變式1-1】（22·23高三上·廣東廣州· ）甲、乙兩隊(duì)同學(xué)利用課余時(shí)間進(jìn)行籃球比賽，規(guī)定每一局比賽中獲勝方記為2分，失敗方記為0分，沒有平局.誰先獲得8分就獲勝，比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率為.
(1)求比賽結(jié)束時(shí)恰好打了6局的概率；
(2)若現(xiàn)在是甲隊(duì)以的比分領(lǐng)先，記表示結(jié)束比賽所需打的局?jǐn)?shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【變式1-2】（20·21高三下·重慶北碚·階段練習(xí)）甲、乙兩人進(jìn)行對(duì)抗比賽，每場比賽均能分出勝負(fù)．已知本次比賽的主辦方提供8000元獎(jiǎng)金并規(guī)定：①若有人先贏4場，則先贏4場者獲得全部獎(jiǎng)金同時(shí)比賽終止；②若無人先贏4場且比賽意外終止，則甲、乙便按照比賽繼續(xù)進(jìn)行各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比分配獎(jiǎng)金．已知每場比賽甲贏的概率為p（0＜p＜1），乙贏的概率為1-p，且每場比賽相互獨(dú)立．
（1）當(dāng)時(shí)，假設(shè)比賽不會(huì)意外終止，記比賽場次為隨機(jī)變量Y，求Y的分布列；
（2）當(dāng)時(shí)，若已進(jìn)行了5場比賽，其中甲贏了3場，乙贏了2場，此時(shí)比賽因意外終止，主辦方?jīng)Q定頒發(fā)獎(jiǎng)金，求甲獲得的獎(jiǎng)金金額；
（3）規(guī)定：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于0.05，則稱該隨機(jī)事件為小概率事件，我們可以認(rèn)為該事件不可能發(fā)生，否則認(rèn)為該事件有可能發(fā)生．若本次比賽，且在已進(jìn)行的3場比賽中甲贏2場、乙贏1場，請(qǐng)判斷：比賽繼續(xù)進(jìn)行乙贏得全部獎(jiǎng)金是否有可能發(fā)生，并說明理由．
【變式1-3】（2022·山東濟(jì)南·一模）第56屆世界乒乓球錦標(biāo)賽將于2022年在中國成都舉辦，國球運(yùn)動(dòng)又一次掀起熱潮.現(xiàn)有甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽采用7局4勝制，每局為11分制，每贏一球得1分.
(1)已知某局比賽中雙方比分為8：8，此時(shí)甲先連續(xù)發(fā)球2次，然后乙連續(xù)發(fā)球2次，甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，乙發(fā)球時(shí)乙得分的概率為，各球的結(jié)果相互獨(dú)立，求該局比賽甲以11：9獲勝的概率；
(2)已知在本場比賽中，前兩局甲獲勝，在后續(xù)比賽中，每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.兩人又進(jìn)行了X局后比賽結(jié)束，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
題型08三人、多人比賽型分布列
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）某單位開展職工文體活動(dòng)，其中跳棋項(xiàng)目比賽分為初賽和決賽，經(jīng)過初賽后，甲、乙、丙三人進(jìn)入決賽．決賽采用以下規(guī)則：①抽簽確定先比賽的兩人，另一人輪空，后面每局比賽由前一局勝者與輪空者進(jìn)行，前一局負(fù)者輪空；②甲、乙進(jìn)行比賽，甲每局獲勝的概率為，甲、丙進(jìn)行比賽，甲每局獲勝的概率為，乙、丙進(jìn)行比賽，乙每局獲勝的概率為；③先取得兩局勝者為比賽的冠軍，比賽結(jié)束．假定每局比賽無平局且每局比賽互相獨(dú)立．通過抽簽，第一局由甲、乙進(jìn)行比賽．
(1)求甲獲得冠軍的概率．
(2)記比賽結(jié)束時(shí)乙參加比賽的局?jǐn)?shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【典例1-2】（22·23高二下·江蘇連云港· ）甲、乙、丙三人進(jìn)行乒乓球單打比賽，約定：隨機(jī)選擇兩人打第一局，獲勝者與第三人進(jìn)行下一局的比賽，先獲勝兩局者為優(yōu)勝者，比賽結(jié)束．已知每局比賽均無平局，且甲贏乙的概率為，甲贏丙的概率為，乙贏丙的概率為．
(1)若甲、乙兩人打第一局，求比賽局?jǐn)?shù)的概率分布列；
(2)求甲成為優(yōu)勝者的概率；
(3)為保護(hù)甲的比賽熱情，由甲確定第一局的比賽雙方，請(qǐng)你以甲成為優(yōu)勝者的概率大為依據(jù)，幫助甲進(jìn)行決策．
【變式1-1】（23·24高三下·浙江·開學(xué)考試）甲?乙?丙三位同學(xué)進(jìn)行乒乓球比賽，約定賽制如下：每場比賽勝者積2分，負(fù)者積0分；比賽前根據(jù)相關(guān)規(guī)則決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空；積分首先累計(jì)到4分者獲得比賽勝利，比賽結(jié)束.已知甲與乙比賽時(shí)，甲獲勝的概率為，甲與丙比賽時(shí)，甲獲勝的概率為，乙與丙比賽時(shí)，乙獲勝的概率為.
(1)若，求比賽結(jié)束時(shí)，三人總積分的分布列與期望；
(2)若，假設(shè)乙獲得了指定首次比賽選手的權(quán)利，為獲得比賽的勝利，試分析乙的最優(yōu)指定策略.
【變式1-2】（21·22高二下·陜西咸陽·階段練習(xí)）為了豐富業(yè)余生活，甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球比賽．比賽規(guī)則如下：①每場比賽有兩人參加，并決出勝負(fù)；②每場比賽獲勝的人與未參加此場比賽的人進(jìn)行下一場的比賽；③依次循環(huán)，直到有一個(gè)人首先獲得兩場勝利，則本次比賽結(jié)束，此人為本次比賽的冠軍．已知在每場比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為．假設(shè)甲和乙進(jìn)行第一場比賽．
(1)若甲、乙、丙三人共進(jìn)行了3場比賽，求丙獲得冠軍的概率；
(2)若甲、乙、丙三人共進(jìn)行了4場比賽，求甲獲得冠軍的概率
【變式1-3】（2023·河北滄州·三模）甲、乙、丙三人進(jìn)行臺(tái)球比賽，比賽規(guī)則如下：先由兩人上場比賽，第三人旁觀，一局結(jié)束后，敗者下場作為旁觀者，原旁觀者上場與勝者比賽，按此規(guī)則循環(huán)下去.若比賽中有人累計(jì)獲勝3局，則該人獲得最終勝利，比賽結(jié)束，三人經(jīng)過抽簽決定由甲、乙先上場比賽，丙作為旁觀者.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，每局比賽中，甲、乙比賽甲勝概率為，乙、丙比賽乙勝概率為，丙、甲比賽丙勝概率為，每局比賽相互獨(dú)立且每局比賽沒有平局.
(1)比賽完3局時(shí)，求甲、乙、丙各旁觀1局的概率；
(2)已知比賽進(jìn)行5局后結(jié)束，求甲獲得最終勝利的概率.
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題型09 傳球模式
【典例1-1】（23·24高三上·山東威?！?）甲、乙、丙人做傳球練習(xí)，球首先由甲傳出，每個(gè)人得到球后都等可能地傳給其余人之一，設(shè)表示經(jīng)過次傳遞后球傳到乙手中的概率.
(1)求，；
(2)證明：是等比數(shù)列，并求；
(3)已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第次到第次傳球）中球傳到乙手中的次數(shù)為，求．
【典例1-2】（2023·河北·模擬預(yù)測）某排球教練帶領(lǐng)甲、乙兩名排球主力運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練排球的接球與傳球，首先由教練第一次傳球給甲、乙中的某位運(yùn)動(dòng)員，然后該運(yùn)動(dòng)員再傳回教練.每次教練接球后按下列規(guī)律傳球：若教練上一次是傳給某運(yùn)動(dòng)員，則這次有的概率再傳給該運(yùn)動(dòng)員，有的概率傳給另一位運(yùn)動(dòng)員.已知教練第一次傳給了甲運(yùn)動(dòng)員，且教練第次傳球傳給甲運(yùn)動(dòng)員的概率為.
(1)求，；
(2)求的表達(dá)式；
(3)設(shè)，證明：.
【變式1-1】（2023·云南昆明·模擬預(yù)測）從甲、乙、丙、丁、戊5人中隨機(jī)地抽取三個(gè)人去做傳球訓(xùn)練.訓(xùn)練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，每次必須將球傳出.
(1)記甲、乙、丙三人中被抽到的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)若剛好抽到甲、乙、丙三個(gè)人相互做傳球訓(xùn)練，且第1次由甲將球傳出，記次傳球后球在甲手中的概率為.
①直接寫出，，的值；
②求與的關(guān)系式，并求出.
【變式1-2】（23·24高三上·山東青島·開學(xué)考試）某籃球賽事采取四人制形式.在一次戰(zhàn)術(shù)訓(xùn)練中，甲、乙、丙、丁四名隊(duì)員進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外三人中的任何一人.次傳球后，記事件“乙、丙、丁三人均接過傳出來的球”發(fā)生的概率為.
(1)求；
(2)當(dāng)時(shí)，記乙、丙、丁三人中接過傳出來的球的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(3)當(dāng)時(shí)，證明：.
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題型10 藥物檢驗(yàn)方案比較
【典例1-1】（21·22高二下·浙江紹興· ）某市為篩查新冠病毒，需要檢驗(yàn)核酸樣本是否為陽性，現(xiàn)有且份核酸樣本，可采用以下兩種檢驗(yàn)方式：①逐份檢驗(yàn)：對(duì)k份樣本逐份檢驗(yàn)，需要檢驗(yàn)k次；②混合檢驗(yàn)：將k份樣本混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，則k份樣本全為陰性，因而這k份樣本只需檢驗(yàn)1次；若檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了確定其中的陽性樣本，就需重新采集核酸樣本后再對(duì)這k份新樣本進(jìn)行逐份檢驗(yàn)，此時(shí)檢驗(yàn)總次數(shù)為k+1次.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的核酸樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是相互獨(dú)立的，且每份樣本結(jié)果為陽性的概率是.
(1)若對(duì)k份樣本采用逐份檢驗(yàn)的方式，求恰好經(jīng)過4次檢驗(yàn)就檢驗(yàn)出2份陽性的概率（結(jié)果用p表示）；
(2)若k=20，設(shè)采用逐份檢驗(yàn)的方式所需的檢驗(yàn)次數(shù)為X，采用混合檢驗(yàn)的方式所需的檢驗(yàn)次數(shù)為Y，試比較與的大小.
【典例1-2】（22·23高三上·河北·階段練習(xí)）新型冠狀病毒肺炎（CrnaVirusDisease2019，COVID-19），簡稱“新冠肺炎”，是指2019新型冠狀病毒感染導(dǎo)致的肺炎.2019年12月以來，部分醫(yī)院陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了多例不明原因肺炎病例，證實(shí)為2019新型冠狀病毒感染引起的急性呼吸道傳染病，為防止該病癥的擴(kuò)散與傳染，某檢測機(jī)構(gòu)在某地區(qū)進(jìn)行新冠病毒疾病調(diào)查，需要對(duì)其居民血液進(jìn)行抽樣化驗(yàn)，若結(jié)果呈陽性，則患有該疾?。蝗艚Y(jié)果為陰性，則未患有該疾病.現(xiàn)有個(gè)人，每人一份血液待檢驗(yàn)，有如下兩種方案：方案一：逐份檢驗(yàn)，需要檢驗(yàn)n次；方案二：混合檢驗(yàn)，將n份血液分別取樣，混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果呈陰性，則n個(gè)人都未患有該疾病；若檢驗(yàn)結(jié)果呈陽性，再對(duì)n份血液逐份檢驗(yàn)，此時(shí)共需要檢驗(yàn)次.
(1)若，且其中兩人患有該疾病，
①采用方案一，求恰好檢驗(yàn)3次就能確定患病兩人的概率；
②將這10人平均分成兩組，則這兩患者分在同一組的概率；
(2)已知每個(gè)人患該疾病的概率為.
（i）采用方案二，記檢驗(yàn)次數(shù)為X，求檢驗(yàn)次數(shù)X的期望；
（ii）若，判斷方案一與方案二哪種方案檢查的次數(shù)更少？并說明理由.
【變式1-1】（21·22高二下·山西太原·階段練習(xí)）為加強(qiáng)進(jìn)口冷鏈?zhǔn)称繁O(jiān)管，某省于2020年底在全省建立進(jìn)口冷鏈?zhǔn)称芳斜O(jiān)管專倉制度，在口岸、目的地市或縣（區(qū)、市）等進(jìn)口冷鏈?zhǔn)称返谝蝗刖滁c(diǎn)，設(shè)立進(jìn)口冷鏈?zhǔn)称芳斜O(jiān)管專倉，集中開展核酸檢測和預(yù)防性全面消毒工作，為了進(jìn)一步確定某批進(jìn)口冷凍食品是否感染病毒，在入關(guān)檢疫時(shí)需要對(duì)其采樣進(jìn)行化驗(yàn)，若結(jié)果呈陽性，則有該病毒；若結(jié)果呈陰性，則沒有該病毒，對(duì)于份樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：一是逐份檢驗(yàn)，則需檢驗(yàn)n次：二是混合檢驗(yàn)，將k份樣本分別取樣混合在一起，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，那么這k份全為陰性，因而檢驗(yàn)一次就夠了；如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這k份究竟哪些為陽性，就需要對(duì)它們?cè)俅稳又鸱輽z驗(yàn)，則k份檢驗(yàn)的次數(shù)共為次若每份樣本沒有該病毒的概率為，而且樣本之間是否有該病毒是相互獨(dú)立的．
(1)若，求2份樣本混合的結(jié)果為陽性的概率．
(2)若，取得4份樣本，考慮以下兩種檢驗(yàn)方案：
方案一：采用混合檢驗(yàn)：
方案二：平均分成兩組，每組2份樣本采用混合檢驗(yàn)．
若檢驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”，試問方案一、二哪個(gè)更“優(yōu)”？請(qǐng)說明理由．
【變式1-2】（2022·山東菏澤·一模）新冠疫情在西方國家大流行，國際衛(wèi)生組織對(duì)某國家進(jìn)行新型冠狀病毒感染率抽樣調(diào)查．在某地抽取n人，每人一份血樣，共份，為快速有效地檢驗(yàn)出感染過新型冠狀病毒者，下面給出兩種方案：
方案甲：逐份檢驗(yàn)，需要檢驗(yàn)n次；
方案乙：混合檢驗(yàn)，把受檢驗(yàn)者的血樣分組，假設(shè)某組有份，分別從k份血樣中取出一部分血液混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，則說明這k個(gè)人全部為陰性，因而這k個(gè)人的血樣只要檢驗(yàn)這一次就夠了；若檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這k個(gè)人中究竟哪些人感染過新型冠狀病毒，就要對(duì)這k個(gè)人的血樣再逐份檢驗(yàn)，因此這k個(gè)人的總檢驗(yàn)次數(shù)就為．
假設(shè)在接受檢驗(yàn)的人中，每個(gè)人血樣檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性是相互獨(dú)立的，且每個(gè)人血樣的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性的概率為．
(1)若，，用甲方案進(jìn)行檢驗(yàn)，求5人中恰有2人感染過新型冠狀病毒的概率；
(2)記為用方案乙對(duì)k個(gè)人的血樣總共需要檢驗(yàn)的次數(shù)．
①當(dāng)，時(shí)，求；
②從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度分析，p在什么范圍內(nèi)取值，用方案乙能減少總檢驗(yàn)次數(shù)？（參考數(shù)據(jù)：）
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題型11 證明或者求數(shù)列型分布列
【典例1-1】（19·20高二·全國·單元測試）冠狀病毒是一個(gè)大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征（）和嚴(yán)重急性呼吸綜合征（）等較嚴(yán)重疾病.而今年出現(xiàn)在湖北武漢的新型冠狀病毒（）是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等.在較嚴(yán)重病例中，感染可導(dǎo)致肺炎、嚴(yán)重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗(yàn)血液是否為陽性，現(xiàn)有n（）份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：方式一：逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)n次.方式二：混合檢驗(yàn)，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn).若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對(duì)這k份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為p（）.現(xiàn)取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為.
（1）若，試求p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若p與干擾素計(jì)量相關(guān)，其中（）是不同的正實(shí)數(shù)，滿足且（）都有成立.
（i）求證：數(shù)列等比數(shù)列；
（ii）當(dāng)時(shí)，采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值更少，求k的最大值
【典例1-2】（2020·湖北襄陽·模擬預(yù)測）在孟德爾遺傳理論中，稱遺傳性狀依賴的特定攜帶者為遺傳因子，遺傳因子總是成對(duì)出現(xiàn)，例如，豌豆攜帶這樣一對(duì)遺傳因子：使之開紅花，使之開白花，兩個(gè)因子的相互組合可以構(gòu)成三種不同的遺傳性狀：為開紅花，和一樣不加區(qū)分為開粉色花，為開白色花，生物在繁衍后代的過程中，后代的每一對(duì)遺傳因子都包含一個(gè)父本的遺傳因子和一個(gè)母本的遺傳因子，而因?yàn)樯臣?xì)胞是由分裂過程產(chǎn)生的，每一個(gè)上一代的遺傳因子以的概率傳給下一代，而且各代的遺傳過程都是相互獨(dú)立的，可以把第代的遺傳設(shè)想為第次試驗(yàn)的結(jié)果，每一次試驗(yàn)就如同拋一枚均勻的硬幣，比如對(duì)具有性狀的父本來說，如果拋出正面就選擇因子，如果拋出反面就選擇因子，概率都是，對(duì)母本也一樣，父本、母本各自隨機(jī)選擇得到的遺傳因子再配對(duì)形成子代的遺傳性狀，假設(shè)三種遺傳性狀，（或），在父本和母本中以同樣的比例出現(xiàn)，則在隨機(jī)雜交試驗(yàn)中，遺傳因子被選中的概率是，遺傳因子被選中的概率是，稱、分別為父本和母本中遺傳因子和的頻率，實(shí)際上是父本和母本中兩個(gè)遺傳因子的個(gè)數(shù)之比，基于以上常識(shí)回答以下問題：
（1）如果植物的上代父本、母本的遺傳性狀都是，后代遺傳性狀為，（或），的概率分別是多少？
（2）對(duì)某一植物，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)觀察發(fā)現(xiàn)遺傳性狀具有重大缺陷，可人工剔除，從而使得父本和母本中僅有遺傳性狀為，（或）的個(gè)體，在進(jìn)行第一代雜交實(shí)驗(yàn)時(shí)，假設(shè)遺傳因子被選中的概率為，被選中的概率為，其中、為定值且，求雜交所得子代的三種遺傳性狀，（或），所占的比例，，；
（3）繼續(xù)對(duì)（2）中的植物進(jìn)行雜交實(shí)驗(yàn)，每次雜交前都需要剔除的個(gè)體.假設(shè)得到的第代總體中3種遺傳性狀，（或），所占的比例分別為：，，，設(shè)第代遺傳因子和的頻率分別為和，已知有以下公式，，
（?。┳C明是等差數(shù)列；
（ⅱ）求，，的通項(xiàng)公式，如果這種剔除某種遺傳性狀的隨機(jī)雜交實(shí)驗(yàn)長期進(jìn)行下去，會(huì)有什么現(xiàn)象發(fā)生？
【變式1-1】（2020·江西宜春·模擬預(yù)測）超級(jí)細(xì)菌是一種耐藥性細(xì)菌，產(chǎn)生超級(jí)細(xì)菌的主要原因是用于抵抗細(xì)菌侵蝕的藥物越來越多，但是由于濫用抗生素的現(xiàn)象不斷的發(fā)生，很多致病菌也對(duì)相應(yīng)的抗生素產(chǎn)生了耐藥性，更可怕的是，抗生素藥物對(duì)它起不到什么作用，病人會(huì)因?yàn)楦腥径鹂膳碌难装Y，高燒，痙攣，昏迷甚至死亡.某藥物研究所為篩查某種超級(jí)細(xì)菌，需要檢驗(yàn)血液是否為陽性，現(xiàn)有n（）份血液樣本，每個(gè)樣本取到的可能性相等，有以下兩種檢驗(yàn)方式：（1）逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)n次；（2）混合檢驗(yàn)，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，則這份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了；如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對(duì)這k份血液再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為p（）.現(xiàn)取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為.
（1）運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，若，試求P關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若P與抗生素計(jì)量相關(guān)，其中，，…，（）是不同的正實(shí)數(shù)，滿足，對(duì)任意的（），都有.
（i）證明：為等比數(shù)列；
（ii）當(dāng)時(shí)，采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值更少，求k的最大值.
參考數(shù)據(jù)：，，，，，
，，，
【變式1-2】（19·20高三上·河南·階段練習(xí)）超級(jí)細(xì)菌是一種耐藥性細(xì)菌，產(chǎn)生超級(jí)細(xì)菌的主要原因是用于抵抗細(xì)菌侵蝕的藥物越來越多，但是由于濫用抗生素的現(xiàn)象不斷的發(fā)生，很多致病菌也對(duì)相應(yīng)的抗生素產(chǎn)生了耐藥性，更可怕的是，抗生素藥物對(duì)它起不到什么作用，病人會(huì)因?yàn)楦腥径鹂膳碌难装Y，高燒，痙攣，昏迷，甚至死亡.
某藥物研究所為篩查某種超級(jí)細(xì)菌，需要檢驗(yàn)血液是否為陽性，現(xiàn)有份血液樣本，每個(gè)樣本取到的可能性相等，有以下兩種檢驗(yàn)方式：（1）逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)次；（2）混合檢驗(yàn)，將其中（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，則這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了；如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對(duì)這k份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為
現(xiàn)取其中（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為
（1）運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，若，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若與抗生素計(jì)量相關(guān)，其中是不同的正實(shí)數(shù)，滿足，對(duì)任意的，都有
（i）證明：為等比數(shù)列；
（ii）當(dāng)時(shí)，采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值更少，求的最大值.
參考數(shù)據(jù)：，，，，，
高考練場
1.（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，在強(qiáng)化學(xué)習(xí)、自然語言處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用．其數(shù)學(xué)定義為：假設(shè)我們的序列狀態(tài)是…，，，，，…，那么時(shí)刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)，即．
現(xiàn)實(shí)生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如著名的賭徒模型．
假如一名賭徒進(jìn)入賭場參與一個(gè)賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為，且每局賭贏可以贏得1元，每一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿?，且賭輸就要輸?shù)?元．賭徒會(huì)一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會(huì)結(jié)束賭博游戲：一種是手中賭金為0元，即賭徒輸光；一種是賭金達(dá)到預(yù)期的B元，賭徒停止賭博．記賭徒的本金為，賭博過程如下圖的數(shù)軸所示．
當(dāng)賭徒手中有n元（，）時(shí)，最終輸光的概率為，請(qǐng)回答下列問題：
(1)請(qǐng)直接寫出與的數(shù)值．
(2)證明是一個(gè)等差數(shù)列，并寫出公差d．
(3)當(dāng)時(shí)，分別計(jì)算，時(shí)，的數(shù)值，并結(jié)合實(shí)際，解釋當(dāng)時(shí)，的統(tǒng)計(jì)含義．
2.（2019下·遼寧葫蘆島高三統(tǒng)考 ）隨著網(wǎng)絡(luò)和智能手機(jī)的普及與快速發(fā)展，許多可以解答各學(xué)科問題的搜題軟件走紅.有教育工作者認(rèn)為：網(wǎng)搜答案可以起到拓展思路的作用，但是對(duì)多數(shù)學(xué)生來講，容易產(chǎn)生依賴心理，對(duì)學(xué)習(xí)能力造成損害.為了了解網(wǎng)絡(luò)搜題在學(xué)生中的使用情況，某校對(duì)學(xué)生在一周時(shí)間內(nèi)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)搜題的頻數(shù)進(jìn)行了問卷調(diào)查，并從參與調(diào)查的學(xué)生中抽取了男、女學(xué)生各50人進(jìn)行抽樣分析，得到如下樣本頻數(shù)分布表：
將學(xué)生在一周時(shí)間內(nèi)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)搜題頻數(shù)超過20次的行為視為“經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)搜題”，不超過20次的視為“偶爾或不用網(wǎng)絡(luò)搜題”.
（1）根據(jù)已有數(shù)據(jù)，完成下列列聯(lián)表（單位：人）中數(shù)據(jù)的填寫，并判斷是否在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下有把握認(rèn)為使用網(wǎng)絡(luò)搜題與性別有關(guān)？
（2）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率，從該校所有參與調(diào)查的學(xué)生中，采用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取一個(gè)人，抽取4人，記經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)搜題的人數(shù)為，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考公式：，其中.
參考數(shù)據(jù)：
3.（2023·四川成都·二模）某貧困縣在政府“精準(zhǔn)扶貧”的政策指引下，充分利用自身資源，大力發(fā)展茶葉種植.該縣農(nóng)科所為了對(duì)比兩種不同品種茶葉的產(chǎn)量，在試驗(yàn)田上分別種植了兩種茶葉各20畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)（單位：千克）都在內(nèi)，根據(jù)畝產(chǎn)數(shù)據(jù)得到頻率分布直方圖如下：
(1)從種茶葉畝產(chǎn)的20個(gè)數(shù)據(jù)中任取兩個(gè)，記這兩個(gè)數(shù)據(jù)中不低于56千克的個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(2)在頻率分布直方圖中，若平均數(shù)大于中位數(shù)，則稱為“右拖尾分布”，若平均數(shù)小于中位數(shù)，則稱為“左拖尾分布”，試通過計(jì)算判斷種茶葉的畝產(chǎn)量屬于上述哪種類型.
4.（2024·福建龍巖·一模）2023年秋季，支原體肺炎在我國各地流行，該疾病的主要感染群體為青少年和老年人.某市醫(yī)院傳染病科從該市各醫(yī)院某段時(shí)間就醫(yī)且年齡在70歲以上的老年人中隨機(jī)抽查了200人，并調(diào)查其患病情況，將調(diào)查結(jié)果整理如下：
(1)試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析70歲以上老年人感染支原體肺炎與自身慢性疾病是否有關(guān)？
(2)用樣本估計(jì)總體，并用本次抽查中樣本的頻率代替概率，從本市各醫(yī)院某段時(shí)間就醫(yī)且年齡在70歲以上的老年人中隨機(jī)抽取3人，設(shè)抽取的3人中感染支原體肺炎的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附：.
5.（2023·全國·模擬預(yù)測）某公司為了解市場對(duì)其開發(fā)的新產(chǎn)品的需求情況，共調(diào)查了250名顧客，采取100分制對(duì)產(chǎn)品功能滿意程度、產(chǎn)品外觀滿意程度分別進(jìn)行評(píng)分，其中對(duì)產(chǎn)品功能滿意程度的評(píng)分服從正態(tài)分布，對(duì)產(chǎn)品外觀滿意程度評(píng)分的頻率分布直方圖如圖所示，規(guī)定評(píng)分90分以上（不含90分）視為非常滿意.
(1)本次調(diào)查對(duì)產(chǎn)品功能非常滿意和對(duì)產(chǎn)品外觀非常滿意的各有多少人？（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）
(2)若這250人中對(duì)兩項(xiàng)都非常滿意的有2人，現(xiàn)從對(duì)產(chǎn)品功能非常滿意和對(duì)產(chǎn)品外觀非常滿意的人中隨機(jī)抽取3人，設(shè)3人中兩項(xiàng)都非常滿意的有X人，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
（附：若，則，）
6.（2021·山東濱州·二模）為落實(shí)中央“堅(jiān)持五育并舉，全面發(fā)展素質(zhì)教育，強(qiáng)化體育鍛煉”的精神，某高中學(xué)校鼓勵(lì)學(xué)生自發(fā)組織各項(xiàng)體育比賽活動(dòng)，甲?乙兩名同學(xué)利用課余時(shí)間進(jìn)行乒乓球比賽，規(guī)定：每一局比賽中獲勝方記1分，失敗方記0分，沒有平局，首先獲得5分者獲勝，比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率都是.
（1）求比賽結(jié)束時(shí)恰好打了6局的概率；
（2）若甲以3：1的比分領(lǐng)先時(shí)，記X表示到結(jié)束比賽時(shí)還需要比賽的局?jǐn)?shù)，求X的分布列及期望.
7.（2022·江蘇·二模）某地舉行象棋比賽，淘汰賽階段的比賽規(guī)則是：兩人一組，先勝一局者進(jìn)入復(fù)賽，敗者淘汰.比賽雙方首先進(jìn)行一局慢棋比賽，若和棋，則加賽快棋；若連續(xù)兩局快棋都是和棋，則再加賽一局超快棋，超快棋只有勝與負(fù)兩種結(jié)果.在甲與乙的比賽中，甲慢棋比賽勝與和的概率分別為，，快棋比賽勝與和的概率均為，超快棋比賽勝的概率為，且各局比賽相互獨(dú)立.
(1)求甲恰好經(jīng)過三局進(jìn)入復(fù)賽的概率；
(2)記淘汰賽階段甲與乙比賽的局?jǐn)?shù)為X，求X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.
8.（21·22高三上·安徽安慶· ）1971年“乒乓外交”翻開了中美關(guān)系的新篇章，2021年休斯敦世乒賽中美兩國選手又一次踐行了“乒乓外交”所蘊(yùn)含的友誼?尊重?合作的精神，使“乒乓外交”的內(nèi)涵和外延得到了進(jìn)一步的豐富和創(chuàng)新，幾十年來，乒乓球運(yùn)動(dòng)也成為國內(nèi)民眾喜愛的運(yùn)動(dòng)之一，今有小王?小張?小馬三人進(jìn)行乒乓球比賽，規(guī)則為：先由兩人上場比賽，另一人做裁判，敗者下場做裁判，另兩人上場比賽，依次規(guī)則循環(huán)進(jìn)行比賽.由抽簽決定小王?小張先上場比賽，小馬做裁判.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)比賽：小王與小張比賽小王獲勝的概率為，小馬與小張比賽小張獲勝的概率為，小馬與小王比賽小馬獲勝的概率為.
(1)比賽完3局時(shí)，求三人各勝1局的概率；
(2)比賽完4局時(shí)，設(shè)小馬做裁判的次數(shù)為X，求X的分布列和期望.
9.（22·23高二下·江蘇常州· ）從甲?乙?丙等5人中隨機(jī)地抽取三個(gè)人去做傳球訓(xùn)練.訓(xùn)練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，每次必須將球傳出.
(1)記甲乙丙三人中被抽到的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列；
(2)若剛好抽到甲乙丙三個(gè)人相互做傳球訓(xùn)練，且第1次由甲將球傳出，記次傳球后球在甲手中的概率為，
①直接寫出的值；
②求與的關(guān)系式，并求.
10.（21·22高二上·山東德州· ）在實(shí)驗(yàn)室中，研究某種動(dòng)物是否患有某種傳染疾病，需要對(duì)其血液進(jìn)行檢驗(yàn)．現(xiàn)有份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：一是逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)n次；二是混合檢驗(yàn)，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了；如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這k份究竟哪些為陽性，就需要對(duì)它們?cè)俅稳又鸱輽z驗(yàn)，那么這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)共為次．假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的．且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為．
(1)假設(shè)有5份血液樣本，其中只有2份血液樣本為陽性，若采用逐份檢驗(yàn)方式，求恰好經(jīng)過3次檢驗(yàn)就能把陽性樣本全部檢測出來的概率；
(2)假設(shè)有4份血液樣本，現(xiàn)有以下兩種方案：
方案一：4個(gè)樣本混合在一起檢驗(yàn)；
方案二：4個(gè)樣本平均分為兩組，分別混合在一起檢驗(yàn)．
若檢驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越優(yōu)．
現(xiàn)將該4份血液樣本進(jìn)行檢驗(yàn)，試比較以上兩個(gè)方案中哪個(gè)更優(yōu)？
11.（2019·全國·高考真題）為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X．
（1）求的分布列；
（2）若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，表示“甲藥的累計(jì)得分為時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設(shè)，．
(i)證明：為等比數(shù)列；
(ii)求，并根據(jù)的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性．
馬爾可夫鏈：若，即未來狀態(tài)只受當(dāng)前狀態(tài)
馬爾科夫不等式
設(shè)為一個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為，則對(duì)任意，均有，
馬爾科夫不等式給出了隨機(jī)變量取值不小于某正數(shù)的概率上界，闡釋了隨機(jī)變量尾部取值概率與其數(shù)學(xué)期望間的關(guān)系．
證明：當(dāng)為非負(fù)離散型隨機(jī)變量時(shí)，馬爾科夫不等式的證明如下：
設(shè)的分布列為其中，則對(duì)任意，，其中符號(hào)表示對(duì)所有滿足的指標(biāo)所對(duì)應(yīng)的求和．的影響，與之前的無關(guān).
兩點(diǎn)分布，又稱0,1分布：
0
1
1-
= ，= .
株高增量（單位：厘米）
第1組雞冠花株數(shù)
9
20
9
2
第2組雞冠花株數(shù)
4
16
16
4
第3組雞冠花株數(shù)
13
12
13
2
超幾何分布：
若在一次實(shí)驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為 ，則在次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，在第次首次發(fā)生的概率為 ，， 。
（4）超幾何分布：總數(shù)為的兩類物品，其中一類為件，從中取件恰含中的件， ，其中為與的較小者，，稱 服從參數(shù)為的超幾何分布，記作 ，此時(shí)有公式
合計(jì)
對(duì)照組
實(shí)驗(yàn)組
合計(jì)
0.10
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
跑步軟件一
跑步軟件二
跑步軟件三
跑步軟件四
中學(xué)生
80
60
40
20
大學(xué)生
30
20
20
10
良
優(yōu)
合計(jì)
甲生產(chǎn)線
40
80
120
乙生產(chǎn)線
80
100
180
合計(jì)
120
180
300
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
二項(xiàng)分布
若在一次實(shí)驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，則在次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生次概率 ，稱服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，記作 ，=，.
正態(tài)分布
（1）若是正態(tài)隨機(jī)變量，其概率密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為 ， （其中是參數(shù)，且，）。
其圖像如圖13-7所示，有以下性質(zhì)：
= 1 \* GB3 ①曲線在軸上方，并且關(guān)于直線對(duì)稱；
= 2 \* GB3 ②曲線在處處于最高點(diǎn)，并且此處向左右兩邊延伸時(shí)，逐漸降低，呈現(xiàn)“中間高，兩邊低”的形狀；
= 3 \* GB3 ③曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”，越小，曲線越“高瘦”；
= 4 \* GB3 ④圖像與軸之間的面積為1.
（2）= ，= ，記作 .
當(dāng)時(shí)， 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作 .
（3） ，則在， ，上取值的概率分別為68.3%，95.4%，99.7%，這叫做正態(tài)分布的原則。
比賽模式，要考慮：
比賽幾局？
“誰贏了”；
有沒有平局
贏了的必贏最后一局；
比賽為啥結(jié)束？
有沒有“抽簽
復(fù)雜條件比賽模式， 以及多線程，多圖分類，多重條件分流型，采用分類討論。注意討論時(shí)要按照統(tǒng)一的
標(biāo)準(zhǔn)，不多討論，也不遺漏討論
多人比賽或者傳球模型，一般情況下涉及到獨(dú)立事件與互斥事件的識(shí)別，及概率運(yùn)算，離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，如果符合常見的二項(xiàng)分布，超幾何分布等等分布，直接用概率公式進(jìn)行運(yùn)算。如果限制條件較多，可以進(jìn)行羅列方式進(jìn)行分類討論計(jì)算
一周時(shí)間內(nèi)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)搜題的頻數(shù)區(qū)間
男生頻數(shù)
女生頻數(shù)
[0,10]
18
4
(10,20]
10
8
(20,30]
12
13
(30,40]
6
15
(40,50]
4
10
經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)搜題
偶爾或不用網(wǎng)絡(luò)搜題
合計(jì)
男生
女生
合計(jì)
P(x2≥m)
0.050
0.010
0.001
m
3.841
6.635
10.828
有慢性疾病
沒有慢性疾病
未感染支原體肺炎
60
80
感染支原體肺炎
40
20
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
第二十六講 分布列綜合歸類
目錄
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27860" 題型01 “馬爾科夫鏈”模型 PAGEREF _Tc27860 \h 1
\l "_Tc20777" 題型02基礎(chǔ)分布：兩點(diǎn)分布 PAGEREF _Tc20777 \h 6
\l "_Tc31763" 題型03基礎(chǔ)分布：超幾何分布 PAGEREF _Tc31763 \h 10
\l "_Tc16395" 題型04基礎(chǔ)分布：二項(xiàng)分布 PAGEREF _Tc16395 \h 14
\l "_Tc172" 題型05基礎(chǔ)分布：正態(tài)分布 PAGEREF _Tc172 \h 18
\l "_Tc18712" 題型06基礎(chǔ)比賽型分布列 PAGEREF _Tc18712 \h 23
\l "_Tc281" 題型07復(fù)雜條件比賽型分布列 PAGEREF _Tc281 \h 25
\l "_Tc21686" 題型08三人、多人比賽型分布列 PAGEREF _Tc21686 \h 30
\l "_Tc6317" 題型09 傳球模式 PAGEREF _Tc6317 \h 34
\l "_Tc15182" 題型10 藥物檢驗(yàn)方案比較 PAGEREF _Tc15182 \h 38
\l "_Tc18185" 題型11 證明或者求數(shù)列型分布列 PAGEREF _Tc18185 \h 41
\l "_Tc19312" 高考練場 PAGEREF _Tc19312 \h 47

題型01 “馬爾科夫鏈”模型
【解題攻略】
【典例1-1】乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對(duì)方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
（1）求第2次投籃的人是乙的概率；
（2）求第次投籃的人是甲的概率；
（3）已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．
【解析】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，
所以，
.
（2）設(shè)，依題可知，，則
，
即，構(gòu)造等比數(shù)列，
設(shè)，解得，則，
又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
即．
（3）因?yàn)?，?br>所以當(dāng)時(shí)，，
故．
【典例1-2】（2023下·遼寧高三校聯(lián)考 ）馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，為狀態(tài)空間中經(jīng)過從一個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)換的隨機(jī)過程.該過程要求具備“無記憶”的性質(zhì)：下一狀態(tài)的概率分布只能由當(dāng)前狀態(tài)決定，在時(shí)間序列中它前面的事件均與之無關(guān).甲乙兩個(gè)口袋中各裝有1個(gè)黑球和2個(gè)白球，現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)進(jìn)行次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為，恰有1個(gè)黑球的概率為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列D．的數(shù)學(xué)期望
【答案】ACD
【分析】利用已知條件求出，，即可判斷A，B；
利用推出，可判斷C；
利用可判斷D.
【詳解】由題意，，故A正確；
，，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，
整理得，，
故可知是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故C正確；
，，
，
因，所以，
，
故D正確，
故選：ACD.
【變式1-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，為狀態(tài)空間中經(jīng)過從一個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)換的隨機(jī)過程．該過程要求具備“無記憶”的性質(zhì)：下一狀態(tài)的概率分布只能由當(dāng)前狀態(tài)決定，在時(shí)間序列中它前面的事件均與之無關(guān)．甲、乙兩口袋中各裝有1個(gè)黑球和2個(gè)白球，現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)進(jìn)行次這樣的操作，記口袋甲中黑球的個(gè)數(shù)為，恰有1個(gè)黑球的概率為．
(1)求的值；
(2)求的值（用表示）；
(3)求證：的數(shù)學(xué)期望為定值．
【答案】(1)，
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）由題意根據(jù)組合數(shù)公式、古典概型概率計(jì)算公式先求得，再結(jié)合全概率公式可得.
（2）由全概率公式得遞推公式，構(gòu)造等比數(shù)列即可求解.
（3）由題意得，結(jié)合，由此可得、分布列以及數(shù)學(xué)期望.
【詳解】（1）設(shè)恰有2個(gè)黑球的概率為，則恰有0個(gè)黑球的概率為．
由題意知，，
所以．
（2）因?yàn)椋?br>所以．
又因?yàn)?，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
所以，．
（3）因?yàn)棰伲?br>②．
所以①②，得．
又因?yàn)?，所以．所以?br>所以的概率分布列為：
所以．
所以的數(shù)學(xué)期望為定值1．
【變式1-2】（2023上·貴州黔西·高三興義第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，因俄國數(shù)學(xué)家安德烈·馬爾科夫得名，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關(guān)，與第，，，…次狀態(tài)無關(guān)，即.已知甲盒子中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙盒子中裝有2個(gè)白球，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)球交換放入另一個(gè)盒子中，重復(fù)次這樣的操作.記甲盒子中黑球個(gè)數(shù)為，恰有2個(gè)黑球的概率為，恰有1個(gè)黑球的概率為.
(1)求，和，；
(2)證明：為等比數(shù)列（且）；
(3)求的期望（用表示，且）.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）列舉出所有交換的情況，分別求出概率即可求解，
（2）由根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式，分類逐一討論，即可求解，，由等比數(shù)列的定義即可求證；
（3）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)求解，進(jìn)而根據(jù)期望的計(jì)算公式即可求解．
【詳解】（1）若甲盒取黑，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，乙盒為1黑1白，概率為，
若甲盒取白，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，乙盒為2白，概率為，
所以，
①當(dāng)甲盒1黑2白，乙盒為1黑1白，概率為，此時(shí)：
若甲盒取黑，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?白，概率為，
若甲盒取黑，乙盒取黑，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，
若甲盒取白，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，
若甲盒取白，乙盒取黑，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，概率為，
②當(dāng)甲盒2黑1白，乙盒為2白，概率為，此時(shí)：
若甲盒取黑，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，
若甲盒取白，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，概率為，
綜上可知：，.
（2）經(jīng)過次這樣的操作.記甲盒子恰有2個(gè)黑1白的概率為，恰有1黑2白的概率為，3白的概率為，
①當(dāng)甲盒1黑2白，乙盒為1黑1白，概率為，此時(shí)：
若甲盒取黑，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?白，概率為，
若甲盒取黑，乙盒取黑，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，
若甲盒取白，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，
若甲盒取白，乙盒取黑，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，概率為，
②當(dāng)甲盒2黑1白，乙盒為2白，概率為，此時(shí)：
若甲盒取黑，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，
若甲盒取白，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，概率為，
③當(dāng)甲盒中3白，乙盒2黑，概率為，此時(shí)：
若甲盒取白，乙盒取黑，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，
故.
，
因此，
因此為等比數(shù)列，且公比為.
（3）由（2）知為等比數(shù)列，且公比為，首項(xiàng)為，
故，所以，
.
.
題型02基礎(chǔ)分布：兩點(diǎn)分布
【解題攻略】
【典例1-1】（2023下·河北唐山高三開灤第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）甲乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對(duì)方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃命中率均為0.6，乙每次投籃命中率均為0.8，由抽簽確定第1次投籃的人選，第一次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.
(1)求第2次投籃的人是乙的概率.
(2)求第次投籃的人是甲的概率.
(3)設(shè)隨機(jī)事件Y為甲投籃的次數(shù)，，1，2，……，n，求.
【答案】(1)
(2)
(3)，．
【分析】（1）設(shè)第2次投籃的人是乙的概率為，結(jié)合題意，即可得出答案；
（2）由題意設(shè)為第次投籃的是甲，則，構(gòu)造得，結(jié)合等比數(shù)列的定義可得是首項(xiàng)為，公比為0.4的等比數(shù)列，即可得出答案；
（3）由（2）得，結(jié)合題意可得甲第次投籃次數(shù)服從兩點(diǎn)分布，且，即，分類討論，，即可得出答案．
【詳解】（1）設(shè)第2次投籃的人是乙的概率為，
由題意得；
（2）由題意設(shè)為第次投籃的是甲，
則，
，
又，則是首項(xiàng)為，公比為0.4的等比數(shù)列，
，即，
第次投籃的人是甲的概率為；
（3）由（2）得，
由題意得甲第次投籃次數(shù)服從兩點(diǎn)分布，且，
，
當(dāng)時(shí)，，
綜上所述，，．
【典例1-2】（2023下·北京高三?？茧A段練習(xí)）地區(qū) 進(jìn)行了統(tǒng)一考試，為做好本次考試的評(píng)價(jià)工作，將本次成績轉(zhuǎn)化為百分制，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批學(xué)生的成績?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求頻率分布直方圖中的值；
(2)在這50名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績?cè)诘娜M中抽取了11人，再從這11人中隨機(jī)抽取3人，記為3人中成績?cè)诘娜藬?shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)轉(zhuǎn)化為百分制后，規(guī)定成績?cè)诘臑锳等級(jí)，成績?cè)诘臑锽等級(jí)，其它為C等級(jí)．以樣本估計(jì)總體，用頻率代替概率．從所有參加考試的同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，求獲得等級(jí)的人數(shù)不少于2人的概率.
【答案】(1)；
(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為；
(3).
【分析】（1）根據(jù)頻率和為列方程計(jì)算求解；（2）由分層抽樣判斷得抽取的成績?cè)诘娜M人數(shù)為，根據(jù)超幾何分布計(jì)算取對(duì)應(yīng)的概率，從而寫出分布列并計(jì)算期望；（3）根據(jù)頻率分布直方圖判斷出成績?yōu)锳,B,C等級(jí)的頻率分別為，可判斷出從所有參加考試的同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，獲得B等級(jí)的人數(shù)服從二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布計(jì)算獲得B等級(jí)的人數(shù)不少于2人的概率.
【詳解】（1）由頻率和為可得，
解得.
（2）由頻率分布直方圖可得，成績?cè)诘娜M人數(shù)比為，
根據(jù)分層抽樣抽取的成績?cè)诘娜M人數(shù)為，
所以的可能取值為.
，，
，
所以的分布列為
（3）由題意，成績?yōu)锳,B,C等級(jí)的頻率分別為，
設(shè)從所有參加考試的同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，獲得B等級(jí)的人數(shù)為，
則服從二項(xiàng)分布，
所以獲得B等級(jí)的人數(shù)不少于2人的概率為
【變式1-1】（2023·北京石景山·統(tǒng)考一模）某高?！爸参餇I養(yǎng)學(xué)專業(yè)”學(xué)生將雞冠花的株高增量作為研究對(duì)象，觀察長效肥和緩釋肥對(duì)農(nóng)作物影響情況.其中長效肥、緩釋肥、未施肥三種處理下的雞冠花分別對(duì)應(yīng)1,2,3三組.觀察一段時(shí)間后，分別從1,2,3三組隨機(jī)抽取40株雞冠花作為樣本，得到相應(yīng)的株高增量數(shù)據(jù)整理如下表.
假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且所有雞冠花生長情況相互獨(dú)立.
(1)從第1組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，估計(jì)株高增量為厘米的概率；
(2)分別從第1組，第2組，第3組的所有雞冠花中各隨機(jī)選取1株，記這3株雞冠花中恰有株的株高增量為厘米，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)用“”表示第組雞冠花的株高增量為，“”表示第組雞冠花的株高增量為厘米，，直接寫出方差，，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
(3)
【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，第1組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，得厘米的總數(shù)，由古典概型概率公式可得結(jié)果；
（2）首先估計(jì)各組雞冠花增量為厘米的概率，然后可確定所有可能的取值，根據(jù)獨(dú)立事件概率公式可求得每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，由此可得分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式可求得期望；
（3）由兩點(diǎn)分布方差計(jì)算公式可求得，，的值，由此可得大小關(guān)系．
【詳解】（1）設(shè)事件為“從第1組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，株高增量為厘米”，
根據(jù)題中數(shù)據(jù)，第1組所有雞冠花中，有20株雞冠花增量為厘米,
所以估計(jì)為；
（2）設(shè)事件為“從第2組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，株高增量為厘米”，
設(shè)事件為“從第3組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，株高增量為厘米”，
根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計(jì)為， 估計(jì)為，
根據(jù)題意，隨機(jī)變量的所有可能取值為0,1,2.3，且
；
；
；
，
則的分布列為：
所以.
（3）
理由如下：
，所以；
，所以；
，所以；
所以.
【變式1-2】（2022高三課時(shí)練習(xí)）一個(gè)袋中有除顏色外其余完全相同的3個(gè)白球和4個(gè)紅球．
(1)從袋中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出紅球，則有求X的分布列；
(2)從袋中任意摸出兩個(gè)球，用“0”表示兩個(gè)球全是白球，用“”表示兩個(gè)球不全是白球，求Y的分布列．
【答案】(1)分布列見解析
(2)分布列見解析
【分析】（1）由已知得符合兩點(diǎn)分布，且，，由此能求出的分布列．
（2）由已知Y符合兩點(diǎn)分布，利用古典概型概率公式分別求出，，由此能求出的Y分布列．
【詳解】（1）由題意符合兩點(diǎn)分布，且，，
的分布列如下：
（2）從中任意摸出兩個(gè)球，用“”表示兩個(gè)球全是白球，用“”兩個(gè)球不全是白球，
符合兩點(diǎn)分布，
，
．
的分布列為：
題型03基礎(chǔ)分布：超幾何分布
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·陜西西安·一模）為探究某藥物對(duì)小鼠的生長抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對(duì)照組（不加藥物）和實(shí)驗(yàn)組（加藥物）.
(1)設(shè)其中兩只小鼠中在對(duì)照組中小鼠數(shù)目為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)測得40只小鼠體重如下（單位：）：（已按從小到大排好）
對(duì)照組：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4
26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3
實(shí)驗(yàn)組：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2
14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0
（i）求40只小鼠體重的中位數(shù)，并完成下面列聯(lián)表：
（ii）根據(jù)列聯(lián)表，能否有的把握認(rèn)為藥物對(duì)小鼠生長有抑制作用.
附：，其中.
【答案】(1)分布列見解析，期望為1
(2)（i），列聯(lián)表見解析；（ⅱ）有的把握認(rèn)為藥物對(duì)小鼠生長有抑制作用
【分析】（1）根據(jù)超幾何分布求分布列，進(jìn)而可得期望；
（2）（i）直接根據(jù)已知數(shù)據(jù)計(jì)算中位數(shù)及填寫二聯(lián)表即可；（ⅱ）利用卡方公式及對(duì)照表計(jì)算即可.
【詳解】（1）依題意，的可能取值為，
則，，，
所以的分布列為：
故.
（2）（i）由所給數(shù)據(jù)可知40只小鼠體重的中位數(shù)為，
填二聯(lián)表如下：
（ⅱ）由上表及卡方公式可知:
，
所以有的把握認(rèn)為藥物對(duì)小鼠生長有抑制作用.
【典例1-2】（23·24高三上·北京西城· ）生活中人們喜愛用跑步軟件記錄分享自己的運(yùn)動(dòng)軌跡.為了解某地中學(xué)生和大學(xué)生對(duì)跑步軟件的使用情況，從該地隨機(jī)抽取了200名中學(xué)生和80名大學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們最喜愛使用的一款跑步軟件，結(jié)果如下：
假設(shè)大學(xué)生和中學(xué)生對(duì)跑步軟件的喜愛互不影響.
(1)從該地區(qū)的中學(xué)生和大學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，用頻率估計(jì)概率，試估計(jì)這2人都最喜愛使用跑步軟件一的概率；
(2)采用分層抽樣的方式先從樣本中的大學(xué)生中隨機(jī)抽取人，再從這人中隨機(jī)抽取人.記為這人中最喜愛使用跑步軟件二的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)記樣本中的中學(xué)生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為，，，，其方差為；樣本中的大學(xué)生最喜愛使用這四款跑步軟件的頻率依次為，，，，其方差為；，，，，，，，的方差為.寫出，，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）
【答案】(1)
(2)分布列詳見解析，
(3)
【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件乘法公式求得正確答案.
（2）根據(jù)分層抽樣以及超幾何分布的知識(shí)求得分布列并計(jì)算出數(shù)學(xué)期望.
（3）通過計(jì)算，，來確定正確答案.
【詳解】（1）從該地區(qū)的中學(xué)生和大學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，
這人都最喜愛使用跑步軟件一的概率為.
（2）因?yàn)槌槿〉娜酥凶钕矏叟懿杰浖娜藬?shù)為，
所以的所有可能取值為，
，
所以的分布列為：
所以.
（3），證明如下：
，
，
所以.
，
，
所以.
數(shù)據(jù)：，，，，，，，，
對(duì)應(yīng)的平均數(shù)為
所以
所以.
【變式1-1】（2023·四川雅安·一模）某工廠注重生產(chǎn)工藝創(chuàng)新，設(shè)計(jì)并試運(yùn)行了甲、乙兩條生產(chǎn)線．現(xiàn)對(duì)這兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行評(píng)估，在這兩條生產(chǎn)線所生產(chǎn)的產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取了300件進(jìn)行測評(píng)，并將測評(píng)結(jié)果（“優(yōu)”或“良”）制成如下所示列聯(lián)表：
(1)通過計(jì)算判斷，是否有的把握認(rèn)為產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)線有關(guān)系？
(2)現(xiàn)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行進(jìn)一步分析，在測評(píng)結(jié)果為“良”的產(chǎn)品中按生產(chǎn)線用分層抽樣的方法抽取了6件產(chǎn)品．若在這6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，求這3件產(chǎn)品中產(chǎn)自于甲生產(chǎn)線的件數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附表及公式：
其中．
【答案】(1)有的把握認(rèn)為產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)線有關(guān)系
(2)的分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為1
【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表,求得,即可判斷；
（2）用分層抽樣的方法抽取6件產(chǎn)品，從甲、乙生產(chǎn)線分別抽取2,4件，結(jié)合超幾何分布求分布列和期望.
【詳解】（1），
所以有的把握認(rèn)為產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)線有關(guān)系.
（2）在測評(píng)結(jié)果為“良”的產(chǎn)品中按生產(chǎn)線用分層抽樣的方法抽取6件產(chǎn)品，
則應(yīng)在甲生產(chǎn)線抽取件產(chǎn)品，在乙生產(chǎn)線抽取件產(chǎn)品，
由題意可知：，則：
，
可得的分布列為
所以的數(shù)學(xué)期望.
【變式1-2】（2023·全國·模擬預(yù)測）課堂上，老師為了講解“利用組合數(shù)計(jì)算古典概型的問題”，準(zhǔn)備了x（）個(gè)不同的盒子，上面標(biāo)有數(shù)字1，2，3，…，每個(gè)盒子準(zhǔn)備裝x張形狀相同的卡片，其中一部分卡片寫有“巨額獎(jiǎng)勵(lì)”的字樣，另一部分卡片寫有“謝謝惠顧”的字樣．第1個(gè)盒子放有1張“巨額獎(jiǎng)勵(lì)”，張“謝謝惠顧”，第2個(gè)盒子放有2張“巨額獎(jiǎng)勵(lì)”，張“謝謝惠顧”，…，以此類推．游戲時(shí)，老師在所有盒子中隨機(jī)選取1個(gè)盒子后，再讓一個(gè)同學(xué)上臺(tái)每次從中隨機(jī)抽取1張卡片，抽取的卡片不再放回，連續(xù)抽取3次．
(1)若老師選擇了第3個(gè)盒子，，記摸到“謝謝惠顧”卡片的張數(shù)為X，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望；
(2)若，求該同學(xué)第3次抽到“謝謝惠顧”的概率．
【答案】(1)分布列見解析，
(2)
【分析】（1）利用超幾何分布的知識(shí)表示出分布列，計(jì)算期望即可;
（2）當(dāng)時(shí)，記從第k個(gè)盒子中第3次抽到“謝謝惠顧”為事件，結(jié)合古典概型，分別計(jì)算其對(duì)應(yīng)的概率，即可得到答案，
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，老師選擇第3個(gè)盒子，則有3張“巨額獎(jiǎng)勵(lì)”的卡片和4張“謝謝惠顧”的卡片，則X的所有可能取值為，
則，，
，．
X的分布列為
數(shù)學(xué)期望．
（2）當(dāng)時(shí)，記從第k個(gè)盒子中第3次抽到“謝謝惠顧”為事件．
，，，，．
故該同學(xué)第3次抽到“謝謝惠顧”的概率．
.
題型04基礎(chǔ)分布：二項(xiàng)分布
【解題攻略】
【典例1-1】（2024·遼寧·一模）某植物園種植一種觀賞花卉，這種觀賞花卉的高度(單位：cm)介于之間，現(xiàn)對(duì)植物園部分該種觀賞花卉的高度進(jìn)行測量，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示.
(1)求的值;
(2)以頻率估計(jì)概率，完成下列問題.
(i)若從所有花卉中隨機(jī)抽株，記高度在內(nèi)的株數(shù)為，求 的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(ii)若在所有花卉中隨機(jī)抽取3株，求至少有2株高度在的條件下，至多 1株高度低于的概率.
【答案】(1)
(2)(i)分布列見解析，；(ii)
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為得到方程，解得即可；
（2）(i)依題意可得，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求出分布列與數(shù)學(xué)期望；(ii)利用條件概率的概率公式計(jì)算可得.
【詳解】（1）依題意可得，解得；
（2）(i)由（1）可得高度在的頻率為，
所以，
所以，，
，，
，
所以的分布列為：
所以；
(ii)在歐陽花卉中隨機(jī)抽取株，記至少有株高度在為事件，
至多株高度低于為事件，
則，
，
所以.
【典例1-2】（2022高三上·河南·專題練習(xí)）為了調(diào)查某地區(qū)程序員的工資情況，研究人員隨機(jī)抽取了該地區(qū)20名程序員作調(diào)查，所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如下所示（單位：元），其中，經(jīng)計(jì)算得，
(1)求被調(diào)查的這20名程序員的平均工資；
(2)在（1）的條件下，可以算得，求“，，，”的方差；
(3)以被調(diào)查的這20名程序員的工資情況估計(jì)該地區(qū)所有程序員的工資情況，若在該地區(qū)所有程序員中隨機(jī)抽取4人，記工資在8000元以上的人數(shù)為，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)7200
(2)443.6
(3)分布列見解析，
【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的定義和條件即可求解；
（2）先根據(jù)題意得出的方差，然后即可得出“，，，”方差；
（3）依題意，，然后根據(jù)二項(xiàng)分布的定義和公式即可得出答案.
【詳解】（1）依題意，，
.
（2）這20名程序員的工資的方差為

故．
（3）依題意，，
則，，
，

故的分布列為：
則．
【變式1-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）“男男女女向前沖”是一項(xiàng)熱播的闖關(guān)類電視節(jié)目．該節(jié)目一共設(shè)置了四關(guān)，由以往的數(shù)據(jù)得，男生闖過一至四關(guān)的概率依次是，女生闖過一至四關(guān)的概率依次是．男生甲、乙，女生丙、丁四人小組前往參加闖關(guān)挑戰(zhàn)（個(gè)人賽）．
(1)求甲闖過四關(guān)的概率；
(2)設(shè)隨機(jī)變量為該四人小組闖過四關(guān)的人數(shù)，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由獨(dú)立乘法公式即可求解；
（2）首先算出進(jìn)一步結(jié)合二項(xiàng)分布的概率運(yùn)算可得分布列以及數(shù)學(xué)期望.
【詳解】（1）記事件A為“男生闖過四關(guān)”，則，
故甲闖過四關(guān)的概率為．
（2）的所有可能取值為0，1，2，3，4，
記事件B為“女生闖過四關(guān)”，則，
，
，
，
，
，
所以的分布列為
，
故的值為．
【變式1-2】（2024·山東日照·一模）隨著科技的不斷發(fā)展，人工智能技術(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域也將會(huì)更加廣泛，它將會(huì)成為改變?nèi)祟惿鐣?huì)發(fā)展的重要力量．某科技公司發(fā)明了一套人機(jī)交互軟件，它會(huì)從數(shù)據(jù)庫中檢索最貼切的結(jié)果進(jìn)行應(yīng)答．在對(duì)該交互軟件進(jìn)行測試時(shí)，如果輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤，則軟件正確應(yīng)答的概率為；若出現(xiàn)語法錯(cuò)誤，則軟件正確應(yīng)答的概率為．假設(shè)每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯(cuò)誤的概率為．
(1)求一個(gè)問題能被軟件正確應(yīng)答的概率；
(2)在某次測試中，輸入了個(gè)問題，每個(gè)問題能否被軟件正確應(yīng)答相互獨(dú)立，記軟件正確應(yīng)答的個(gè)數(shù)為X，的概率記為，則n為何值時(shí)，的值最大？
【答案】(1)0.75
(2)7或8
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合全概率公式運(yùn)算求解；
（2）由題意可知：且，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性分析求解.
【詳解】（1）記“輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤”為事件A，“回答正確”為事件B，
由題意可知：，則，
所以.
（2）由（1）可知：，
則，可得，
令，則，
令，解得，可知當(dāng)，可得；
令，解得，可知當(dāng)，可得；
令，解得，可得；
所以當(dāng)或時(shí)，最大，即n為7或8時(shí)，的值最大.
.
題型05基礎(chǔ)分布：正態(tài)分布
【解題攻略】
【典例1-1】（2024·陜西西安·一模）某市為提升中學(xué)生的環(huán)境保護(hù)意識(shí)，舉辦了一次“環(huán)境保護(hù)知識(shí)競賽”，分預(yù)賽和復(fù)賽兩個(gè)環(huán)節(jié)，預(yù)賽成績排名前三百名的學(xué)生參加復(fù)賽．已知共有12000名學(xué)生參加了預(yù)賽，現(xiàn)從參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機(jī)地抽取100人的預(yù)賽成績作為樣本，得到頻率分布直方圖如圖：

(1)規(guī)定預(yù)賽成績不低于80分為優(yōu)良，若從上述樣本中預(yù)賽成績不低于60分的學(xué)生中隨機(jī)地抽取2人，求至少有1人預(yù)賽成績優(yōu)良的概率，并求預(yù)賽成績優(yōu)良的人數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(2)由頻率分布直方圖可認(rèn)為該市全體參加預(yù)賽學(xué)生的預(yù)賽成績Z服從正態(tài)分布，其中可近似為樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替），且，已知小明的預(yù)賽成績?yōu)?1分，利用該正態(tài)分布，估計(jì)小明是否有資格參加復(fù)賽？
附：若，則，，；．
【答案】(1)，分布列見解析，
(2)有資格參加復(fù)賽
【分析】（1）根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算即可求解分布列，
（2）根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可求解.
【詳解】（1）預(yù)賽成績?cè)诜秶鷥?nèi)的樣本量為：，
預(yù)賽成績?cè)诜秶鷥?nèi)的樣本量為：，
設(shè)抽取的2人中預(yù)賽成績優(yōu)良的人數(shù)為X，可能取值為0,1,2，則，
又，
則X的分布列為：
故．
（2），
，則，又，
故，
故全市參加預(yù)賽學(xué)生中，成績不低于91分的有人，
因?yàn)?，故小明有資格參加復(fù)賽，
【典例1-2】（23·24高三上·江西· ）面試是求職者進(jìn)入職場的一個(gè)重要關(guān)口，也是機(jī)構(gòu)招聘員工的重要環(huán)節(jié).某科技企業(yè)招聘員工，首先要進(jìn)行筆試，筆試達(dá)標(biāo)者進(jìn)入面試，面試環(huán)節(jié)要求應(yīng)聘者回答3個(gè)問題，第一題考查對(duì)公司的了解，答對(duì)得2分，答錯(cuò)不得分，第二題和第三題均考查專業(yè)知識(shí)，每道題答對(duì)得4分，答錯(cuò)不得分.
(1)若一共有100人應(yīng)聘，他們的筆試得分X服從正態(tài)分布，規(guī)定為達(dá)標(biāo)，求進(jìn)入面試環(huán)節(jié)的人數(shù)大約為多少（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；
(2)某進(jìn)入面試的應(yīng)聘者第一題答對(duì)的概率為，后兩題答對(duì)的概率均為，每道題是否答對(duì)互不影響，求該應(yīng)聘者的面試成績Y的數(shù)學(xué)期望.
附：若（），則，，.
【答案】(1)16
(2)
【分析】（1）由正態(tài)分布的性質(zhì)可求得，由此可估計(jì)進(jìn)入面試的人數(shù)．
（2）由已知得的可能取值為0，2，4，6，8，10，分別求得取每一個(gè)可能的值的概率，得的分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式可求得答案.
【詳解】（1）因?yàn)榉恼龖B(tài)分布，所以，，，
所以.
進(jìn)入面試的人數(shù)，.
因此，進(jìn)入面試的人數(shù)大約為16.
（2）由題意可知，的可能取值為0，2，4，6，8，10，
則；
；
；
；
；
.
所以.
【變式1-1】（2022·全國·模擬預(yù)測）某校隨機(jī)抽取了100名本校高一男生進(jìn)行立定跳遠(yuǎn)測試，根據(jù)測試成績得到如下的頻率分布直方圖.
(1)若該校高一男生的立定跳遠(yuǎn)成績X（單位：厘米）服從正態(tài)分布，其中為上面樣本數(shù)據(jù)的平均值（每組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中間值代替）.在該校所有高一男生中任意選取4人，記立定跳遠(yuǎn)成績?cè)诶迕滓陨希ò┑娜藬?shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)已知該校高二男生有800名，男生立定跳遠(yuǎn)成績?cè)?50厘米以上得滿分.若認(rèn)為高二男生立定跳遠(yuǎn)成績也服從（1）中所求的正態(tài)分布，請(qǐng)估計(jì)該校高二男生立定跳遠(yuǎn)得滿分的人數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）.
附：若，則，
，.
【答案】(1)分布列見解析，
(2)127
【分析】（1）由頻率分布直方圖求得，進(jìn)一步有，所以有二項(xiàng)分布，由此即可求出對(duì)應(yīng)的概率、分布列以及數(shù)學(xué)期望；
（2）由題意，結(jié)合題中所給參考數(shù)據(jù)求得即可進(jìn)一步得解.
【詳解】（1），
∴，∴，
∴，，
，，
∴的分布列為：
∴.
（2）記該校高二男生立定跳遠(yuǎn)成績?yōu)閅厘米，則，
∴
，
∴估計(jì)該校高二男生立定跳遠(yuǎn)得滿分的人數(shù)為.
【變式1-2】（2024·全國·一模）正態(tài)分布與指數(shù)分布均是用于描述連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布．對(duì)于一個(gè)給定的連續(xù)型隨機(jī)變量，定義其累積分布函數(shù)為．已知某系統(tǒng)由一個(gè)電源和并聯(lián)的，，三個(gè)元件組成，在電源電壓正常的情況下，至少一個(gè)元件正常工作才可保證系統(tǒng)正常運(yùn)行，電源及各元件之間工作相互獨(dú)立．
(1)已知電源電壓（單位：）服從正態(tài)分布，且的累積分布函數(shù)為，求；
(2)在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，指數(shù)分布常用于描述事件發(fā)生的時(shí)間間隔或等待時(shí)間．已知隨機(jī)變量（單位：天）表示某高穩(wěn)定性元件的使用壽命，且服從指數(shù)分布，其累積分布函數(shù)為.
（ⅰ）設(shè)，證明：；
（ⅱ）若第天元件發(fā)生故障，求第天系統(tǒng)正常運(yùn)行的概率．
附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．
【答案】(1)0.8186
(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）．
【分析】（1）根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可結(jié)合的定義求解，
（2）（ⅰ）根據(jù)條件概率的計(jì)算公式集合的定義以及的定義域即可求解，（ⅱ）根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式求解即可.
【詳解】（1）由題設(shè)得，，
所以
（2）（?。┯深}設(shè)得：
，
,
所以．
（ⅱ）由（?。┑?，
所以第天元件，正常工作的概率均為．
為使第天系統(tǒng)仍正常工作，元件，必須至少有一個(gè)正常工作，
因此所求概率為．
題型06基礎(chǔ)比賽型分布列
【解題攻略】
【典例1-1】（23·24高二上·陜西漢中· ）某校舉行圍棋友誼賽，甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行冠亞軍決賽，每局比賽甲獲勝的概率是，乙獲勝的概率是，規(guī)定：每一局比賽中勝方記1分，負(fù)方記0分，先得3分者獲勝，比賽結(jié)束．
(1)求進(jìn)行3局比賽決出冠亞軍的概率；
(2)若甲以領(lǐng)先乙時(shí)，記表示比賽結(jié)束時(shí)還需要進(jìn)行的局?jǐn)?shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為
【分析】（1）分甲乙全勝兩種情況相加得結(jié)果；
（2）利用分布列步驟求解并求得期望.
【詳解】（1）甲3局全勝的概率為,
乙3局全勝的概率為，
進(jìn)行3局比賽決出冠亞軍的概率為
（2）的可能取值為1，2，，，
故的分布列為：
故．
【典例1-2】（2022·河南·模擬預(yù)測）羽毛球看似小巧，但羽毛球運(yùn)動(dòng)卻有著豐富的文化內(nèi)涵，簡潔的場地?幾個(gè)人的組合，就可以帶來一場充滿樂趣?斗智斗勇?健身休閑的競技比賽，參與者可以根據(jù)自己的年齡?性別?身體條件?技術(shù)水平，選擇適合自己的運(yùn)動(dòng)強(qiáng)度和競技難度.小胡和小李兩名員工經(jīng)常利用業(yè)余時(shí)間進(jìn)行羽毛球比賽，規(guī)定每一局比賽中獲勝方記1分，失敗方記0分，沒有平局，誰先獲得5分就獲勝，比賽結(jié)束，假設(shè)每局比賽小胡獲勝的概率都是，各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.
(1)求比賽結(jié)束時(shí)恰好打了6局的概率；
(2)若現(xiàn)在是小胡的比分落后，記表示結(jié)束比賽還需打的局?jǐn)?shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)(2)
期望
【分析】（1）先求出小李獲勝的概率，再分別求出恰好打6局時(shí)小胡獲勝概率和小李獲勝概率相加即可；
（2）列出所有取值，求解概率即可.
【詳解】（1）恰好打了6局小胡獲勝的概率是，
恰好打了6局小李獲勝的概率為，
所以結(jié)束時(shí)恰好打了6局的概率為.
（2）的所有可能取值為，
則，，，
所以的分布列如下：
所以.
【變式1-1】（21·22高三上·廣西玉林·階段練習(xí)）甲乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球比賽，約定賽制如下：誰先贏四場則最終獲勝，已知每場比賽甲贏的概率為，輸?shù)母怕蕿椋?br>(1)求甲最終獲勝的概率；
(2)記最終比賽場次為X，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)(2)分布列見解析，
【分析】（1）設(shè)甲最終獲勝的概率為P，分四局比賽獲勝、五局比賽獲勝、六局比賽獲勝、七局比賽獲勝這幾種情況討論，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式及互斥事件的概率公式計(jì)算可得．
（2）依題意X的所有可能取值為4，5，6，7，求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望．
【詳解】（1）解：設(shè)甲最終獲勝的概率為P．
∵甲四局比賽獲得勝利的概率為；
甲五局比賽獲得勝利的概率為；
甲六局比賽獲得勝利的概率為；
甲七局比賽獲得勝利的概率為．
∴．∴甲最終獲勝的概率為．
（2）解：X的所有可能取值為4，5，6，7．
；；
；．
隨機(jī)變量X的分布列為：
∴．∴X的數(shù)學(xué)期望為
【變式1-2】（20·21高二下·重慶北碚·階段練習(xí)）某校在高二下學(xué)期的5月份舉辦了全年級(jí)的排球比賽，共21支隊(duì)伍，其中包括20支學(xué)生隊(duì)伍，以及一支教師隊(duì)伍，其比賽規(guī)則為：20支學(xué)生隊(duì)伍，進(jìn)行兩輪淘汰賽，選出5支學(xué)生隊(duì)伍直接進(jìn)入八強(qiáng)，再從被淘汰的15支學(xué)生隊(duì)伍中，用隨機(jī)抽樣的抽簽方法選出2支學(xué)生隊(duì)伍，這7學(xué)生支隊(duì)伍與教師隊(duì)伍一起參加后面的八強(qiáng)淘汰賽，經(jīng)過三輪淘汰賽產(chǎn)生最后的冠軍.若學(xué)生隊(duì)伍間的比賽雙方獲勝的概率均為，教師隊(duì)伍與學(xué)生隊(duì)伍之間的比賽，教師隊(duì)伍獲勝的概率為.
（1）求A班在前兩輪淘汰賽直接晉級(jí)（不通過抽簽）八強(qiáng)的概率；
（2）設(shè)教師隊(duì)伍參加比賽的輪次為X，求X的分布列和期望.
【答案】（1）；（2）分布列見解析，.
【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件得乘法運(yùn)算即可得出答案；
（2）寫出隨機(jī)變量X所有可能得取值，分別求出對(duì)應(yīng)概率，即可得出分布列，利用期望公式即可得解.
【詳解】解：（1）A班在前兩輪淘汰賽直接晉級(jí)（不通過抽簽）八強(qiáng)，則A班連勝兩局，
則A班在前兩輪淘汰賽直接晉級(jí)（不通過抽簽）八強(qiáng)的概率為；
（2）X可取1，2，3，
，，，
.
.
題型07復(fù)雜條件比賽型分布列
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·廣東·二模）甲、乙兩名圍棋學(xué)員進(jìn)行圍棋比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負(fù)者得0分，平局雙方均得0分，比賽一直進(jìn)行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽．已知每局比賽中，甲獲勝的概率為α，乙獲勝的概率為β，兩人平局的概率為，且每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
(1)若，，，求進(jìn)行4局比賽后甲學(xué)員贏得比賽的概率；
(2)當(dāng)時(shí)，
（i）若比賽最多進(jìn)行5局，求比賽結(jié)束時(shí)比賽局?jǐn)?shù)X的分布列及期望E（X）的最大值；
（ii）若比賽不限制局?jǐn)?shù)，寫出“甲學(xué)員贏得比賽”的概率（用α，β表示），無需寫出過程．
【答案】(1)
(2)（i）分布列見解析，期望最大值為；（ii）.
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式分析運(yùn)算；
（2）（i）根據(jù)題意求分布列，進(jìn)而可得期望；（ii）根據(jù)題意結(jié)合條件概率分析運(yùn)算.
【詳解】（1）用事件A，B，C分別表示每局比賽“甲獲勝”“乙獲勝”或“平局”，則
，，，
記“進(jìn)行4局比賽后甲學(xué)員贏得比賽”為事件N，則事件N包括事件ABAA，BAAA， ACCA，CACA，CCAA共5種，
所以
．
（2）（i）因?yàn)?，所以每局比賽結(jié)果僅有“甲獲勝”和“乙獲勝”，即，
由題意得X的所有可能取值為2，4，5，則
，
，
．
所以X的分布列為
所以X的期望
，
因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，
所以，
故的最大值為．
（ii）記“甲學(xué)員贏得比賽”為事件M，則．
由（1）得前兩局比賽結(jié)果可能有AA，BB，AB，BA，其中事件AA表示“甲學(xué)員贏得比賽”，事件BB表示“乙學(xué)員贏得比賽”，事件AB，BA表示“甲、乙兩名學(xué)員各得1分”，當(dāng)甲、乙兩名學(xué)員得分總數(shù)相同時(shí)，甲學(xué)員贏得比賽的概率與比賽一開始甲學(xué)員贏得比賽的概率相同．
所以
所以，即，
因?yàn)?，所以?br>【典例1-2】（2023·全國·三模）國學(xué)小組有編號(hào)為1，2，3，…，的位同學(xué)，現(xiàn)在有兩個(gè)選擇題，每人答對(duì)第一題的概率為、答對(duì)第二題的概率為，每個(gè)同學(xué)的答題過程都是相互獨(dú)立的，比賽規(guī)則如下：①按編號(hào)由小到大的順序依次進(jìn)行，第1號(hào)同學(xué)開始第1輪出賽，先答第一題；②若第號(hào)同學(xué)未答對(duì)第一題，則第輪比賽失敗，由第號(hào)同學(xué)繼繼續(xù)比賽；③若第號(hào)同學(xué)答對(duì)第一題，則再答第二題，若該生答對(duì)第二題，則比賽在第輪結(jié)束；若該生未答對(duì)第二題，則第輪比賽失敗，由第號(hào)同學(xué)繼續(xù)答第二題，且以后比賽的同學(xué)不答第一題；④若比賽進(jìn)行到了第輪，則不管第號(hào)同學(xué)答題情況，比賽結(jié)束．
(1)令隨機(jī)變量表示名同學(xué)在第輪比賽結(jié)束，當(dāng)時(shí)，求隨機(jī)變量的分布列；
(2)若把比賽規(guī)則③改為：若第號(hào)同學(xué)未答對(duì)第二題，則第輪比賽失敗，第號(hào)同學(xué)重新從第一題開始作答．令隨機(jī)變量表示名挑戰(zhàn)者在第輪比賽結(jié)束．
①求隨機(jī)變量的分布列；
②證明：單調(diào)遞增，且小于3．
【答案】(1)分布列見解析
(2)①分布列見解析 ；②證明見解析
【分析】（1）由題設(shè)有，可取值為1，2，3，應(yīng)用獨(dú)立事件乘法公式、互斥事件概率求法求各值對(duì)應(yīng)的概率，即可得分布列；
（2）①應(yīng)用二項(xiàng)分布概率公式求取值1，2，…，對(duì)應(yīng)概率，即可得分布列；
②由①分布列得（，），定義法判斷單調(diào)性，累加法、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求通項(xiàng)公式，即可證結(jié)論.
【詳解】（1）由題設(shè)，可取值為1，2，3，
，，，
因此的分布列為
（2）①可取值為1，2，…，，
每位同學(xué)兩題都答對(duì)的概率為，則答題失敗的概率均為：，
所以時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
故的分布列為：
②由①知：（，）．
，故單調(diào)遞增；
由上得，故，
∴，
故．
【變式1-1】（22·23高三上·廣東廣州· ）甲、乙兩隊(duì)同學(xué)利用課余時(shí)間進(jìn)行籃球比賽，規(guī)定每一局比賽中獲勝方記為2分，失敗方記為0分，沒有平局.誰先獲得8分就獲勝，比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率為.
(1)求比賽結(jié)束時(shí)恰好打了6局的概率；
(2)若現(xiàn)在是甲隊(duì)以的比分領(lǐng)先，記表示結(jié)束比賽所需打的局?jǐn)?shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)
(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為
【分析】（1）分類討論打完六局后甲勝與乙勝兩種情況，利用獨(dú)立事件的概率乘法公式即可得解；
（2）根據(jù)題意，分析接下去的對(duì)局?jǐn)?shù)量，從而得到的可能取值，再利用獨(dú)立事件的概率乘法公式求得各取值的概率，由此求得的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【詳解】（1）設(shè)恰好打了六局甲隊(duì)獲勝的概率為，恰好打了6局乙隊(duì)獲勝的概率為，
因?yàn)榧钻?duì)打六局比賽獲得勝利，等價(jià)于前五局甲三勝兩負(fù)，第六局甲勝，
所以其概率為；
同理：乙隊(duì)打六局比賽獲得勝利的概率為；
所以，
所以比賽結(jié)束時(shí)恰好打了六局的概率為.
（2）因?yàn)榧钻?duì)以的比分領(lǐng)先，所以甲隊(duì)目前的戰(zhàn)績兩勝一負(fù)，
所以接下去的比賽局?jǐn)?shù)最少的情況是甲隊(duì)取得兩勝結(jié)束比賽，局?jǐn)?shù)最多的情況是接下來的前三局甲隊(duì)一勝兩負(fù)，必須進(jìn)行第四局才能結(jié)束比賽，
所以的可能取值為2，3，4，
則，
，
，
所以隨機(jī)變量X的分布列為：
所以，即X的數(shù)學(xué)期望為.
【變式1-2】（20·21高三下·重慶北碚·階段練習(xí)）甲、乙兩人進(jìn)行對(duì)抗比賽，每場比賽均能分出勝負(fù)．已知本次比賽的主辦方提供8000元獎(jiǎng)金并規(guī)定：①若有人先贏4場，則先贏4場者獲得全部獎(jiǎng)金同時(shí)比賽終止；②若無人先贏4場且比賽意外終止，則甲、乙便按照比賽繼續(xù)進(jìn)行各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比分配獎(jiǎng)金．已知每場比賽甲贏的概率為p（0＜p＜1），乙贏的概率為1-p，且每場比賽相互獨(dú)立．
（1）當(dāng)時(shí)，假設(shè)比賽不會(huì)意外終止，記比賽場次為隨機(jī)變量Y，求Y的分布列；
（2）當(dāng)時(shí)，若已進(jìn)行了5場比賽，其中甲贏了3場，乙贏了2場，此時(shí)比賽因意外終止，主辦方?jīng)Q定頒發(fā)獎(jiǎng)金，求甲獲得的獎(jiǎng)金金額；
（3）規(guī)定：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于0.05，則稱該隨機(jī)事件為小概率事件，我們可以認(rèn)為該事件不可能發(fā)生，否則認(rèn)為該事件有可能發(fā)生．若本次比賽，且在已進(jìn)行的3場比賽中甲贏2場、乙贏1場，請(qǐng)判斷：比賽繼續(xù)進(jìn)行乙贏得全部獎(jiǎng)金是否有可能發(fā)生，并說明理由．
【答案】（1）分布列見解析；（2）6000元；（3）不可能發(fā)生，理由見解析.
【分析】（1）由題意可得，的可能取值為4，5，6，7，分別求出對(duì)應(yīng)的概率，即可求得分布列．
（2）分別求出5場比賽甲勝3局，則繼續(xù)比賽甲勝的概率和繼續(xù)比賽乙勝的概率，根據(jù)二者的比值，確定獎(jiǎng)金的占比．
（3）設(shè)繼續(xù)進(jìn)行場比賽乙贏得全部獎(jiǎng)金，可能取值為3，4，，，設(shè)乙贏得全部獎(jiǎng)金為事件，則（A），設(shè)，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，即可求解．
【詳解】（1）的可能取值為4，5，6，7
的分布列為
（2）5場比賽甲勝3局，則繼續(xù)比賽甲勝的概率為；繼續(xù)比賽乙勝的概率為，
甲獲得獎(jiǎng)金金額為（元）
（3）設(shè)繼續(xù)進(jìn)行場比賽乙贏得全部獎(jiǎng)金，可能取值為3，4.
;
設(shè)乙贏得全部獎(jiǎng)金為事件，則
設(shè)，則，由
在單調(diào)遞減，
認(rèn)為比賽繼續(xù)進(jìn)行乙贏得全部獎(jiǎng)金不可能發(fā)生.
【變式1-3】（2022·山東濟(jì)南·一模）第56屆世界乒乓球錦標(biāo)賽將于2022年在中國成都舉辦，國球運(yùn)動(dòng)又一次掀起熱潮.現(xiàn)有甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽采用7局4勝制，每局為11分制，每贏一球得1分.
(1)已知某局比賽中雙方比分為8：8，此時(shí)甲先連續(xù)發(fā)球2次，然后乙連續(xù)發(fā)球2次，甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，乙發(fā)球時(shí)乙得分的概率為，各球的結(jié)果相互獨(dú)立，求該局比賽甲以11：9獲勝的概率；
(2)已知在本場比賽中，前兩局甲獲勝，在后續(xù)比賽中，每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.兩人又進(jìn)行了X局后比賽結(jié)束，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)
(2)見解析，
【分析】（1）利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式、互斥事件的概率公式公式進(jìn)行求解即可；
（2）寫出隨機(jī)變量的所有可能取值，利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式求出各自概率，列表得到分布列，再利用期望公式進(jìn)行求解..
【詳解】（1）解：設(shè)事件“在比分為8：8的條件下甲以11：9獲勝”，
則.
（2）解：隨機(jī)變量X的所有可能取值為：2，3，4，5，
，，
，，
所以隨機(jī)變量X的分布列為：
所以.
.
題型08三人、多人比賽型分布列
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）某單位開展職工文體活動(dòng)，其中跳棋項(xiàng)目比賽分為初賽和決賽，經(jīng)過初賽后，甲、乙、丙三人進(jìn)入決賽．決賽采用以下規(guī)則：①抽簽確定先比賽的兩人，另一人輪空，后面每局比賽由前一局勝者與輪空者進(jìn)行，前一局負(fù)者輪空；②甲、乙進(jìn)行比賽，甲每局獲勝的概率為，甲、丙進(jìn)行比賽，甲每局獲勝的概率為，乙、丙進(jìn)行比賽，乙每局獲勝的概率為；③先取得兩局勝者為比賽的冠軍，比賽結(jié)束．假定每局比賽無平局且每局比賽互相獨(dú)立．通過抽簽，第一局由甲、乙進(jìn)行比賽．
(1)求甲獲得冠軍的概率．
(2)記比賽結(jié)束時(shí)乙參加比賽的局?jǐn)?shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)
(2)分布列見解析，．
【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件求概率的公式和概率的加法公式即可求出答案；
（2）由題意可得到的所有可能取值，然后根據(jù)獨(dú)立事件和概率的加法公式進(jìn)行求概率，列出分布列以及求出期望即可
【詳解】（1）設(shè)甲與乙比賽，甲獲勝為事件，丙與甲比賽，甲獲勝為事件，丙與乙比賽，乙獲勝為事件，且相互獨(dú)立，
則，
記“甲獲得冠軍”為事件A，則
（2）由題意知的所有可能取值為1，2，3．
，
，
．
所以的分布列為
則數(shù)學(xué)期望．
【典例1-2】（22·23高二下·江蘇連云港· ）甲、乙、丙三人進(jìn)行乒乓球單打比賽，約定：隨機(jī)選擇兩人打第一局，獲勝者與第三人進(jìn)行下一局的比賽，先獲勝兩局者為優(yōu)勝者，比賽結(jié)束．已知每局比賽均無平局，且甲贏乙的概率為，甲贏丙的概率為，乙贏丙的概率為．
(1)若甲、乙兩人打第一局，求比賽局?jǐn)?shù)的概率分布列；
(2)求甲成為優(yōu)勝者的概率；
(3)為保護(hù)甲的比賽熱情，由甲確定第一局的比賽雙方，請(qǐng)你以甲成為優(yōu)勝者的概率大為依據(jù)，幫助甲進(jìn)行決策．
【答案】(1)答案見解析
(2)
(3)甲參加第一局比賽成為優(yōu)勝者的概率大
【分析】（1）分兩局結(jié)束，三局結(jié)束，四局結(jié)束分別求概率，再按步驟寫出隨機(jī)變量的分布列；
（2）分甲乙第一局，甲丙第一局，乙丙第一局，并分別求出條件概率，應(yīng)用全概率公式計(jì)算即可；
（3）根據(jù)概率大小比較判斷即可.
【詳解】（1）比賽局?jǐn)?shù)的可能取值為2，3，4．
比賽兩局結(jié)束，則甲連勝兩局或乙連勝兩局，所以．
比賽三局結(jié)束，則第二局、第三局丙連勝，所以．
比賽四局結(jié)束，所以．
所以的分布列為
（2）記甲、乙比賽第一局為事件，甲、丙比賽第一局為事件，乙、丙比賽第一局為事件，甲成為優(yōu)勝者為事件．
第一局比賽雙方可能是甲乙、甲丙、乙丙共三種情況，則．
所以．
．
．
所以
．
所以甲成為優(yōu)勝者的概率為．
（3）由（2）知，，
所以甲參加第一局比賽成為優(yōu)勝者的概率大．
【變式1-1】（23·24高三下·浙江·開學(xué)考試）甲?乙?丙三位同學(xué)進(jìn)行乒乓球比賽，約定賽制如下：每場比賽勝者積2分，負(fù)者積0分；比賽前根據(jù)相關(guān)規(guī)則決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空；積分首先累計(jì)到4分者獲得比賽勝利，比賽結(jié)束.已知甲與乙比賽時(shí)，甲獲勝的概率為，甲與丙比賽時(shí)，甲獲勝的概率為，乙與丙比賽時(shí)，乙獲勝的概率為.
(1)若，求比賽結(jié)束時(shí)，三人總積分的分布列與期望；
(2)若，假設(shè)乙獲得了指定首次比賽選手的權(quán)利，為獲得比賽的勝利，試分析乙的最優(yōu)指定策略.
【答案】(1)分布列見詳解，.(2)讓乙和丙打第一局
【分析】（1）求出的取值及對(duì)應(yīng)的概率，得到分布列，求出數(shù)學(xué)期望；
（2）分別計(jì)算出“第一局乙對(duì)丙最終乙獲勝”，“第一局乙對(duì)甲最終乙獲勝”，“第一局甲對(duì)丙而最終乙獲勝”三種策略下的概率，作差法比較出大小，得到答案.
【詳解】（1）由題意可知，兩場比賽后結(jié)束，也即第一局的其中1人連續(xù)獲得兩場勝利，有兩種情況，
此時(shí)，，
當(dāng)三場比賽后結(jié)束，即第一局比賽的2人均未獲勝，輪空者獲勝，共有兩種情況，
此時(shí)，；
當(dāng)四場比賽后結(jié)束，前三局比賽，甲乙丙三人各贏1場，進(jìn)行第四場比賽，共有2種情況，
此時(shí)，；
所以三人總積分的分布列為
所以.
（2）設(shè)事件為“第一局乙對(duì)丙最終乙獲勝”，為“第一局乙對(duì)甲最終乙獲勝”，為“第一局甲對(duì)丙而最終乙獲勝”，則有：
已知甲與乙比賽時(shí)，甲獲勝的概率為，甲與丙比賽時(shí)，甲獲勝的概率為，乙與丙比賽時(shí)，乙獲勝的概率為.
其中包含三種情況，第一，第一局乙獲勝，第二局乙獲勝；
第二，第一局乙獲勝，第二局甲獲勝，第三局丙獲勝，第四局乙獲勝；
第三，第一局丙獲勝，第二局甲獲勝，第三局乙獲勝，第四局乙獲勝，
故；
同理可得；；
顯然，故，
，由于，
故，所以；
故乙的最優(yōu)指定策略是讓乙和丙打第一局.
【變式1-2】（21·22高二下·陜西咸陽·階段練習(xí)）為了豐富業(yè)余生活，甲、乙、丙三人進(jìn)行羽毛球比賽．比賽規(guī)則如下：①每場比賽有兩人參加，并決出勝負(fù)；②每場比賽獲勝的人與未參加此場比賽的人進(jìn)行下一場的比賽；③依次循環(huán)，直到有一個(gè)人首先獲得兩場勝利，則本次比賽結(jié)束，此人為本次比賽的冠軍．已知在每場比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為．假設(shè)甲和乙進(jìn)行第一場比賽．
(1)若甲、乙、丙三人共進(jìn)行了3場比賽，求丙獲得冠軍的概率；
(2)若甲、乙、丙三人共進(jìn)行了4場比賽，求甲獲得冠軍的概率
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）（2）根據(jù)給定條件，把所求概率的事件分拆成互斥事件的和，再結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即得.
【詳解】（1）甲、乙、丙三人共進(jìn)行了3場比賽，且丙獲得冠軍的情況有2種：
①首先甲乙比賽，甲勝，然后甲丙比賽，丙勝，再由乙丙比賽，丙勝，
概率為：；
②首先甲乙比賽，乙勝，然后乙丙比賽，丙勝，再由甲丙比賽，丙勝，
概率為：，
所以丙獲得冠軍的概率．
（2）甲、乙、丙三人共進(jìn)行了4場比賽，且甲獲得冠軍的情況有2種：
①乙勝甲，丙勝乙，甲勝丙，甲勝乙，概率為：；
②甲勝乙，丙勝甲，乙勝丙，甲勝乙，概率為：，
所以甲獲得冠軍的概率．
【變式1-3】（2023·河北滄州·三模）甲、乙、丙三人進(jìn)行臺(tái)球比賽，比賽規(guī)則如下：先由兩人上場比賽，第三人旁觀，一局結(jié)束后，敗者下場作為旁觀者，原旁觀者上場與勝者比賽，按此規(guī)則循環(huán)下去.若比賽中有人累計(jì)獲勝3局，則該人獲得最終勝利，比賽結(jié)束，三人經(jīng)過抽簽決定由甲、乙先上場比賽，丙作為旁觀者.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，每局比賽中，甲、乙比賽甲勝概率為，乙、丙比賽乙勝概率為，丙、甲比賽丙勝概率為，每局比賽相互獨(dú)立且每局比賽沒有平局.
(1)比賽完3局時(shí)，求甲、乙、丙各旁觀1局的概率；
(2)已知比賽進(jìn)行5局后結(jié)束，求甲獲得最終勝利的概率.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式進(jìn)行求解即可；
（2）分析比賽情況，根據(jù)和事件的概率公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）由題可知，甲、乙、丙各旁觀1局只需討論前兩局的勝負(fù)情況，可分為：
甲勝乙、丙勝甲；乙勝甲，丙勝乙.
設(shè)甲、乙比賽甲勝，乙、丙比賽乙勝，丙、甲比賽丙勝分別為事件，，，則，，相互獨(dú)立，
設(shè)比賽完3局時(shí)，甲、乙、丙各旁觀1局為事件，則，
則，
所以甲、乙、丙各旁觀1局的概率為.
（2）設(shè)甲、乙、丙第局比賽獲勝分別為事件，，，，
設(shè)比賽完5局甲獲得最終勝利為事件，則
，
，
，
，
，
，
所以.
所以，已知比賽進(jìn)行5局后結(jié)束，甲獲得最終勝利的概率為 .
.
題型09 傳球模式
【典例1-1】（23·24高三上·山東威?！?）甲、乙、丙人做傳球練習(xí)，球首先由甲傳出，每個(gè)人得到球后都等可能地傳給其余人之一，設(shè)表示經(jīng)過次傳遞后球傳到乙手中的概率.
(1)求，；
(2)證明：是等比數(shù)列，并求；
(3)已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第次到第次傳球）中球傳到乙手中的次數(shù)為，求．
【答案】(1)，(2)證明見解析，(3)
【分析】（1）分析已知計(jì)算即可得出結(jié)果；
（2）記表示事件“經(jīng)過次傳遞后球傳到乙手中”，若發(fā)生，則一定不發(fā)生，則，變形可得，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；
（3）結(jié)合第（2）問結(jié)論和題設(shè)條件，運(yùn)用等比數(shù)列求和公式分組求和即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)楸硎窘?jīng)過次傳遞后球傳到乙手中的概率，
所以，第一次傳到乙手中的概率為：，第二次傳到乙手中的概率為：.
（2）記表示事件“經(jīng)過次傳遞后球傳到乙手中”，若發(fā)生，則一定不發(fā)生，
所以，即，即，又，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，即.
（3）由題意，次傳球后球在乙手中的次數(shù)，服從兩點(diǎn)分布，且,所以由（2）可知，，
則.
【典例1-2】（2023·河北·模擬預(yù)測）某排球教練帶領(lǐng)甲、乙兩名排球主力運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練排球的接球與傳球，首先由教練第一次傳球給甲、乙中的某位運(yùn)動(dòng)員，然后該運(yùn)動(dòng)員再傳回教練.每次教練接球后按下列規(guī)律傳球：若教練上一次是傳給某運(yùn)動(dòng)員，則這次有的概率再傳給該運(yùn)動(dòng)員，有的概率傳給另一位運(yùn)動(dòng)員.已知教練第一次傳給了甲運(yùn)動(dòng)員，且教練第次傳球傳給甲運(yùn)動(dòng)員的概率為.
(1)求，；
(2)求的表達(dá)式；
(3)設(shè)，證明：.
【答案】(1)，(2)(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合互斥事件和獨(dú)立事件概率公式進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)互斥事件和獨(dú)立事件概率公式，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；
（3）利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系、等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式進(jìn)行證明即可.
【詳解】（1），，；
（2）由已知，∴，即，
∴是以為公比的等比數(shù)列，∴，∴.
（3）.設(shè)，，∴，∴在上單調(diào)遞增，
顯然，則，∴，則，
即，
∴.
【變式1-1】（2023·云南昆明·模擬預(yù)測）從甲、乙、丙、丁、戊5人中隨機(jī)地抽取三個(gè)人去做傳球訓(xùn)練.訓(xùn)練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，每次必須將球傳出.
(1)記甲、乙、丙三人中被抽到的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)若剛好抽到甲、乙、丙三個(gè)人相互做傳球訓(xùn)練，且第1次由甲將球傳出，記次傳球后球在甲手中的概率為.
①直接寫出，，的值；
②求與的關(guān)系式，并求出.
【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為(2)①，，；②，
【分析】1）由離散型隨機(jī)變量的分布列可解；
（2）記表示事件“經(jīng)過次傳球后，球在甲手中”，由全概率公式可求，再由數(shù)列知識(shí)，由遞推公式求得通項(xiàng)公式.
【詳解】（1）的所有可能取值為1，2，3.則
；；.
所以隨機(jī)變量的分布列為：
數(shù)學(xué)期望.
（2）若剛好抽到甲、乙、丙三個(gè)人相互做傳球訓(xùn)練，且次傳球后球在甲手中的概率為.
則有.
記表示事件“經(jīng)過次傳球后，球在甲手中”.
所以
.即.
所以，且.
所以數(shù)列表示以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
所以，.
即次傳球后球在甲手中的概率是.
【變式1-2】（23·24高三上·山東青島·開學(xué)考試）某籃球賽事采取四人制形式.在一次戰(zhàn)術(shù)訓(xùn)練中，甲、乙、丙、丁四名隊(duì)員進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外三人中的任何一人.次傳球后，記事件“乙、丙、丁三人均接過傳出來的球”發(fā)生的概率為.
(1)求；
(2)當(dāng)時(shí)，記乙、丙、丁三人中接過傳出來的球的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(3)當(dāng)時(shí)，證明：.
【答案】(1)(2)分布列見解析，(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計(jì)算求得.
（2）的可能取值為，根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計(jì)算求得分布列并求得數(shù)學(xué)期望.
（3）根據(jù)第次傳球后，接過他人傳球的人數(shù)進(jìn)行分類討論，由此證得結(jié)論成立.
【詳解】（1）乙、丙、丁三人每次接到傳球的概率均為，3次傳球后，
事件“乙、兩、丁三人均接過傳出來的球”發(fā)生的概率為.
（2）由題意知，的可能取值為1，2，3，
，，，
的分布列如下：
.
（3）次傳球后乙、丙、丁三人均接過他人傳球，有兩種情況，
其一為：次傳球后乙、丙、丁三人均接過他人傳球，這種情況的概率為；
其二是為：次傳球后乙、兩、丁中只有兩人接過他人傳球，
第次傳球時(shí)將球傳給剩余一人，這種情況的概率為.
所以，當(dāng)時(shí)，所以.
.
題型10 藥物檢驗(yàn)方案比較
【典例1-1】（21·22高二下·浙江紹興· ）某市為篩查新冠病毒，需要檢驗(yàn)核酸樣本是否為陽性，現(xiàn)有且份核酸樣本，可采用以下兩種檢驗(yàn)方式：①逐份檢驗(yàn)：對(duì)k份樣本逐份檢驗(yàn)，需要檢驗(yàn)k次；②混合檢驗(yàn)：將k份樣本混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，則k份樣本全為陰性，因而這k份樣本只需檢驗(yàn)1次；若檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了確定其中的陽性樣本，就需重新采集核酸樣本后再對(duì)這k份新樣本進(jìn)行逐份檢驗(yàn)，此時(shí)檢驗(yàn)總次數(shù)為k+1次.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的核酸樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是相互獨(dú)立的，且每份樣本結(jié)果為陽性的概率是.
(1)若對(duì)k份樣本采用逐份檢驗(yàn)的方式，求恰好經(jīng)過4次檢驗(yàn)就檢驗(yàn)出2份陽性的概率（結(jié)果用p表示）；
(2)若k=20，設(shè)采用逐份檢驗(yàn)的方式所需的檢驗(yàn)次數(shù)為X，采用混合檢驗(yàn)的方式所需的檢驗(yàn)次數(shù)為Y，試比較與的大小.
【答案】(1)(2)答案見解析
【分析】（1）由獨(dú)立事件的乘法公式即可求出恰好經(jīng)過4次檢驗(yàn)就檢驗(yàn)出2份陽性的概率.
（2）由題意知，.Y的可能取值為，求出每個(gè)變量對(duì)應(yīng)的概率即可求出，比較與0大小，即可求出答案.
【詳解】（1）記恰好經(jīng)過4次檢驗(yàn)就檢驗(yàn)出2份陽性為事件，
所以.
（2）由題意知，.
Y的可能取值為，
所以，
所以.
所以，令，
解得.
所以當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
【典例1-2】（22·23高三上·河北·階段練習(xí)）新型冠狀病毒肺炎（CrnaVirusDisease2019，COVID-19），簡稱“新冠肺炎”，是指2019新型冠狀病毒感染導(dǎo)致的肺炎.2019年12月以來，部分醫(yī)院陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了多例不明原因肺炎病例，證實(shí)為2019新型冠狀病毒感染引起的急性呼吸道傳染病，為防止該病癥的擴(kuò)散與傳染，某檢測機(jī)構(gòu)在某地區(qū)進(jìn)行新冠病毒疾病調(diào)查，需要對(duì)其居民血液進(jìn)行抽樣化驗(yàn)，若結(jié)果呈陽性，則患有該疾?。蝗艚Y(jié)果為陰性，則未患有該疾病.現(xiàn)有個(gè)人，每人一份血液待檢驗(yàn)，有如下兩種方案：方案一：逐份檢驗(yàn)，需要檢驗(yàn)n次；方案二：混合檢驗(yàn)，將n份血液分別取樣，混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果呈陰性，則n個(gè)人都未患有該疾??；若檢驗(yàn)結(jié)果呈陽性，再對(duì)n份血液逐份檢驗(yàn)，此時(shí)共需要檢驗(yàn)次.
(1)若，且其中兩人患有該疾病，
①采用方案一，求恰好檢驗(yàn)3次就能確定患病兩人的概率；
②將這10人平均分成兩組，則這兩患者分在同一組的概率；
(2)已知每個(gè)人患該疾病的概率為.
（i）采用方案二，記檢驗(yàn)次數(shù)為X，求檢驗(yàn)次數(shù)X的期望；
（ii）若，判斷方案一與方案二哪種方案檢查的次數(shù)更少？并說明理由.
【答案】(1)①；②
(2)（i）；（ii）答案見解析
【分析】（1）①根據(jù)分步乘法公式計(jì)算即可得解；②根據(jù)固定點(diǎn)概型計(jì)算即可；
（2）（i）寫出隨機(jī)變量的所有可能取值，求出對(duì)于概率，再根據(jù)期望公式計(jì)算即可；
（ii）求出分別求出兩種方案的期望，再根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）解：①根據(jù)題意可得：；
②根據(jù)題意可得：；
（2）解：（i）根據(jù)題意：X的取值為1，，，，
所以；
（ii）當(dāng)時(shí)，方案一：檢驗(yàn)的次數(shù)為5次，
方案二：檢查的次數(shù)期望為，
，記，因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，則，
故當(dāng)時(shí)，選擇方案二；
當(dāng)時(shí)，選擇方案一；
當(dāng)時(shí)，選擇兩種方案檢查次數(shù)一樣.
【變式1-1】（21·22高二下·山西太原·階段練習(xí)）為加強(qiáng)進(jìn)口冷鏈?zhǔn)称繁O(jiān)管，某省于2020年底在全省建立進(jìn)口冷鏈?zhǔn)称芳斜O(jiān)管專倉制度，在口岸、目的地市或縣（區(qū)、市）等進(jìn)口冷鏈?zhǔn)称返谝蝗刖滁c(diǎn)，設(shè)立進(jìn)口冷鏈?zhǔn)称芳斜O(jiān)管專倉，集中開展核酸檢測和預(yù)防性全面消毒工作，為了進(jìn)一步確定某批進(jìn)口冷凍食品是否感染病毒，在入關(guān)檢疫時(shí)需要對(duì)其采樣進(jìn)行化驗(yàn)，若結(jié)果呈陽性，則有該病毒；若結(jié)果呈陰性，則沒有該病毒，對(duì)于份樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：一是逐份檢驗(yàn)，則需檢驗(yàn)n次：二是混合檢驗(yàn)，將k份樣本分別取樣混合在一起，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，那么這k份全為陰性，因而檢驗(yàn)一次就夠了；如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這k份究竟哪些為陽性，就需要對(duì)它們?cè)俅稳又鸱輽z驗(yàn)，則k份檢驗(yàn)的次數(shù)共為次若每份樣本沒有該病毒的概率為，而且樣本之間是否有該病毒是相互獨(dú)立的．
(1)若，求2份樣本混合的結(jié)果為陽性的概率．
(2)若，取得4份樣本，考慮以下兩種檢驗(yàn)方案：
方案一：采用混合檢驗(yàn)：
方案二：平均分成兩組，每組2份樣本采用混合檢驗(yàn)．
若檢驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”，試問方案一、二哪個(gè)更“優(yōu)”？請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)(2)方案一更“優(yōu)”，理由見解析.
【分析】（1）根據(jù)對(duì)立事件可得陽性的概率；（2）方案一的檢驗(yàn)次數(shù)記為，則的可能取值為，，求出各自的概率，得出分布列和期望；方案二檢驗(yàn)次數(shù)記為，則的可能取值為，，求出各自的概率，得出分布列和期望，比較可得結(jié)果．
【詳解】（1）該混合樣本陰性的概率是，根據(jù)對(duì)立事件可得，陽性的概率為．
（2）方案一：混在一起檢驗(yàn)，方案一的檢驗(yàn)次數(shù)記為，則的可能取值為，，
；，
其分布列為：
則，
方案二：由題意分析可知．每組份樣本混合檢驗(yàn)時(shí)，若陰性則檢測次數(shù)為，概率為，若陽性，則檢測次數(shù)為，概率為，方案二的檢驗(yàn)次數(shù)記為，則的可能取值為，，．
；；；
其分布列為：
則，
，
當(dāng)時(shí)，可得，所以方案一更“優(yōu)”
【變式1-2】（2022·山東菏澤·一模）新冠疫情在西方國家大流行，國際衛(wèi)生組織對(duì)某國家進(jìn)行新型冠狀病毒感染率抽樣調(diào)查．在某地抽取n人，每人一份血樣，共份，為快速有效地檢驗(yàn)出感染過新型冠狀病毒者，下面給出兩種方案：
方案甲：逐份檢驗(yàn)，需要檢驗(yàn)n次；
方案乙：混合檢驗(yàn)，把受檢驗(yàn)者的血樣分組，假設(shè)某組有份，分別從k份血樣中取出一部分血液混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，則說明這k個(gè)人全部為陰性，因而這k個(gè)人的血樣只要檢驗(yàn)這一次就夠了；若檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這k個(gè)人中究竟哪些人感染過新型冠狀病毒，就要對(duì)這k個(gè)人的血樣再逐份檢驗(yàn)，因此這k個(gè)人的總檢驗(yàn)次數(shù)就為．
假設(shè)在接受檢驗(yàn)的人中，每個(gè)人血樣檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性是相互獨(dú)立的，且每個(gè)人血樣的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性的概率為．
(1)若，，用甲方案進(jìn)行檢驗(yàn)，求5人中恰有2人感染過新型冠狀病毒的概率；
(2)記為用方案乙對(duì)k個(gè)人的血樣總共需要檢驗(yàn)的次數(shù)．
①當(dāng)，時(shí)，求；
②從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度分析，p在什么范圍內(nèi)取值，用方案乙能減少總檢驗(yàn)次數(shù)？（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】(1)(2)①②
【分析】（1）利用每個(gè)人的血樣檢驗(yàn)結(jié)果的獨(dú)立性解題.
（2）分別計(jì)算出總檢驗(yàn)次數(shù)為1與時(shí)的概率，即可列出分布列，進(jìn)而求得；如果用方案乙能減少總檢驗(yàn)次數(shù)，則，化簡后即可求解.
【詳解】（1）對(duì)5個(gè)人的血樣進(jìn)行檢驗(yàn)，且每個(gè)人的血樣是相互獨(dú)立的，設(shè)事件A為“5個(gè)人的血樣中恰有2個(gè)人的檢驗(yàn)結(jié)果為陽性”，則
（2）①當(dāng)，時(shí)，5個(gè)人的血樣分別取樣再混合檢驗(yàn)，結(jié)果為陰性的概率為，總共需要檢驗(yàn)的次數(shù)為1次；結(jié)果為陽性的概率為，總共需要檢驗(yàn)的次數(shù)為6次；所以的分布列為：
所以 ．
②當(dāng)采用混合檢驗(yàn)的方案時(shí)，
根據(jù)題意，要使混合檢驗(yàn)的總次數(shù)減少，則必須滿足，
即，化簡得，
所以當(dāng)P滿足，用混合檢驗(yàn)的方案能減少檢驗(yàn)次數(shù)．
.
題型11 證明或者求數(shù)列型分布列
【典例1-1】（19·20高二·全國·單元測試）冠狀病毒是一個(gè)大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征（）和嚴(yán)重急性呼吸綜合征（）等較嚴(yán)重疾病.而今年出現(xiàn)在湖北武漢的新型冠狀病毒（）是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等.在較嚴(yán)重病例中，感染可導(dǎo)致肺炎、嚴(yán)重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗(yàn)血液是否為陽性，現(xiàn)有n（）份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：方式一：逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)n次.方式二：混合檢驗(yàn)，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn).若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對(duì)這k份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為p（）.現(xiàn)取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為.
（1）若，試求p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若p與干擾素計(jì)量相關(guān)，其中（）是不同的正實(shí)數(shù)，滿足且（）都有成立.
（i）求證：數(shù)列等比數(shù)列；
（ii）當(dāng)時(shí)，采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值更少，求k的最大值
【答案】（1），（，且）；（2）（i）證明見解析；（ii）4.
【分析】（1）由已知，，；的所有可能取值為1，，，根據(jù)解得即可得解；
（2）（i）由已知可得，，得，可猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，再根據(jù)等比數(shù)列的定義可證結(jié)論；
（ii）求出，根據(jù)得到，再構(gòu)造函數(shù)（），利用導(dǎo)數(shù)可求得結(jié)果.
【詳解】（1）由已知，，，得，的所有可能取值為1，，
∴，.
∴.若，則，
所以，∴，∴.∴p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式為，（，且）.
（2）（i）∵證明：當(dāng)時(shí)，，∴，所以，令，則，
∵，∴下面證明對(duì)任意的正整數(shù)n，.
①當(dāng)，2時(shí)，顯然成立；
②假設(shè)對(duì)任意的時(shí)，，下面證明時(shí)，；
由題意，得，∴，
∴，，
∴，所以.∴或（負(fù)值舍去）.
∴成立.∴由①②可知，對(duì)任意的正整數(shù)n，，
所以，所以為等比數(shù)列.
（ii）解：由（i）知，，，
∴，得，∴.設(shè)（），，
∴當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減； 又，，所以，
，，所以，，，∴；
，.∴.∴k的最大值為4.
【典例1-2】（2020·湖北襄陽·模擬預(yù)測）在孟德爾遺傳理論中，稱遺傳性狀依賴的特定攜帶者為遺傳因子，遺傳因子總是成對(duì)出現(xiàn)，例如，豌豆攜帶這樣一對(duì)遺傳因子：使之開紅花，使之開白花，兩個(gè)因子的相互組合可以構(gòu)成三種不同的遺傳性狀：為開紅花，和一樣不加區(qū)分為開粉色花，為開白色花，生物在繁衍后代的過程中，后代的每一對(duì)遺傳因子都包含一個(gè)父本的遺傳因子和一個(gè)母本的遺傳因子，而因?yàn)樯臣?xì)胞是由分裂過程產(chǎn)生的，每一個(gè)上一代的遺傳因子以的概率傳給下一代，而且各代的遺傳過程都是相互獨(dú)立的，可以把第代的遺傳設(shè)想為第次試驗(yàn)的結(jié)果，每一次試驗(yàn)就如同拋一枚均勻的硬幣，比如對(duì)具有性狀的父本來說，如果拋出正面就選擇因子，如果拋出反面就選擇因子，概率都是，對(duì)母本也一樣，父本、母本各自隨機(jī)選擇得到的遺傳因子再配對(duì)形成子代的遺傳性狀，假設(shè)三種遺傳性狀，（或），在父本和母本中以同樣的比例出現(xiàn)，則在隨機(jī)雜交試驗(yàn)中，遺傳因子被選中的概率是，遺傳因子被選中的概率是，稱、分別為父本和母本中遺傳因子和的頻率，實(shí)際上是父本和母本中兩個(gè)遺傳因子的個(gè)數(shù)之比，基于以上常識(shí)回答以下問題：
（1）如果植物的上代父本、母本的遺傳性狀都是，后代遺傳性狀為，（或），的概率分別是多少？
（2）對(duì)某一植物，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)觀察發(fā)現(xiàn)遺傳性狀具有重大缺陷，可人工剔除，從而使得父本和母本中僅有遺傳性狀為，（或）的個(gè)體，在進(jìn)行第一代雜交實(shí)驗(yàn)時(shí)，假設(shè)遺傳因子被選中的概率為，被選中的概率為，其中、為定值且，求雜交所得子代的三種遺傳性狀，（或），所占的比例，，；
（3）繼續(xù)對(duì)（2）中的植物進(jìn)行雜交實(shí)驗(yàn)，每次雜交前都需要剔除的個(gè)體.假設(shè)得到的第代總體中3種遺傳性狀，（或），所占的比例分別為：，，，設(shè)第代遺傳因子和的頻率分別為和，已知有以下公式，，
（?。┳C明是等差數(shù)列；
（ⅱ）求，，的通項(xiàng)公式，如果這種剔除某種遺傳性狀的隨機(jī)雜交實(shí)驗(yàn)長期進(jìn)行下去，會(huì)有什么現(xiàn)象發(fā)生？
【答案】（1），（或），的概率分別是，，；（2），，；（3）（?。┳C明見解析；（ⅱ）；；；越來越小，而是子代中所占的比例，也即性狀會(huì)漸漸消失.
【分析】（1）根據(jù)上代父本、母本的遺傳性狀都是可得基本事件的總數(shù)，由古典概型的概率公式可得所求的概率.
（2）根據(jù)獨(dú)立事件的概率計(jì)算方法可求，，.
（3）根據(jù)，，的定義可得三者與的關(guān)系，結(jié)合給定的，可得，兩邊取倒數(shù)后利用等差數(shù)列的定義可判斷是等差數(shù)列由此求出的通項(xiàng)，從而可求，，的通項(xiàng)公式.
【詳解】解析：（1）因?yàn)樯洗副?、母本的遺傳性狀都是，故子代的遺傳性狀有：，，，，共4種，故，（或），的概率分別是，，.
（2）由題可得，，，；
（3）由（2）知，，，，
∴，
則，∴是公差為1的等差數(shù)列：
，其中，
∴，，于是，
，，，
對(duì)于，越大，越小，所以這種實(shí)驗(yàn)長期進(jìn)行下去，越來越小，而是子代中所占的比例，也即性狀會(huì)漸漸消失.
【變式1-1】（2020·江西宜春·模擬預(yù)測）超級(jí)細(xì)菌是一種耐藥性細(xì)菌，產(chǎn)生超級(jí)細(xì)菌的主要原因是用于抵抗細(xì)菌侵蝕的藥物越來越多，但是由于濫用抗生素的現(xiàn)象不斷的發(fā)生，很多致病菌也對(duì)相應(yīng)的抗生素產(chǎn)生了耐藥性，更可怕的是，抗生素藥物對(duì)它起不到什么作用，病人會(huì)因?yàn)楦腥径鹂膳碌难装Y，高燒，痙攣，昏迷甚至死亡.某藥物研究所為篩查某種超級(jí)細(xì)菌，需要檢驗(yàn)血液是否為陽性，現(xiàn)有n（）份血液樣本，每個(gè)樣本取到的可能性相等，有以下兩種檢驗(yàn)方式：（1）逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)n次；（2）混合檢驗(yàn)，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，則這份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了；如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對(duì)這k份血液再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為p（）.現(xiàn)取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為.
（1）運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，若，試求P關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若P與抗生素計(jì)量相關(guān)，其中，，…，（）是不同的正實(shí)數(shù)，滿足，對(duì)任意的（），都有.
（i）證明：為等比數(shù)列；
（ii）當(dāng)時(shí)，采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值更少，求k的最大值.
參考數(shù)據(jù)：，，，，，
，，，
【答案】（1）（且）；（2）（i）證明見解析；（ii）8.
【分析】（1）根據(jù)檢驗(yàn)方式可知，的取值只為，易求得，而的可能取值為，再分別求出對(duì)應(yīng)概率即可得到，列出等式即可解出；
（2）（i）先根據(jù)關(guān)系式賦值，，歸納猜出，再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明即可；
（ii）依題可知，，解不等式， ，構(gòu)造函數(shù)（），由其單調(diào)性即可求出的最大值．
【詳解】（1）當(dāng)進(jìn)行逐份檢驗(yàn)時(shí)，；當(dāng)進(jìn)行混合檢驗(yàn)時(shí)，，
則
∵，∴ 則，即（且）.
（2）（i）當(dāng)時(shí)，有 則猜想：
下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：
①當(dāng)時(shí)，滿足
②假設(shè)當(dāng)時(shí)，
則當(dāng)時(shí)，
設(shè)（且），則
∴ ∴
∴ 整理可得：
∴或（舍去）
由①②可得：對(duì)一切都成立.即為等比數(shù)列.
（ii）依題可知： 由（1）可知：
∴ 令（），則
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
∵， 則k的最大值為8.
【變式1-2】（19·20高三上·河南·階段練習(xí)）超級(jí)細(xì)菌是一種耐藥性細(xì)菌，產(chǎn)生超級(jí)細(xì)菌的主要原因是用于抵抗細(xì)菌侵蝕的藥物越來越多，但是由于濫用抗生素的現(xiàn)象不斷的發(fā)生，很多致病菌也對(duì)相應(yīng)的抗生素產(chǎn)生了耐藥性，更可怕的是，抗生素藥物對(duì)它起不到什么作用，病人會(huì)因?yàn)楦腥径鹂膳碌难装Y，高燒，痙攣，昏迷，甚至死亡.
某藥物研究所為篩查某種超級(jí)細(xì)菌，需要檢驗(yàn)血液是否為陽性，現(xiàn)有份血液樣本，每個(gè)樣本取到的可能性相等，有以下兩種檢驗(yàn)方式：（1）逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)次；（2）混合檢驗(yàn)，將其中（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，則這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了；如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對(duì)這k份再逐份檢驗(yàn)，此時(shí)這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為
現(xiàn)取其中（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為
（1）運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，若，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若與抗生素計(jì)量相關(guān)，其中是不同的正實(shí)數(shù)，滿足，對(duì)任意的，都有
（i）證明：為等比數(shù)列；
（ii）當(dāng)時(shí)，采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值更少，求的最大值.
參考數(shù)據(jù)：，，，，，
【答案】（1），（，且）；（2）（i）見解析，（ii）4
【分析】（1）易知若取份血液樣本則；的所有可能取值為1，，根據(jù)概率公式可表示出.結(jié)合，化簡即可關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
（2）（i）根據(jù)當(dāng)時(shí)成立，則由數(shù)學(xué)歸納法即可證明為等比數(shù)列.（ii）根據(jù)（i）可得，，化簡可得，構(gòu)造函數(shù)，求得導(dǎo)函數(shù)，可通過的符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合參考數(shù)據(jù)，即可求得的最大值.
【詳解】（1）由已知得；的所有可能取值為1，，
，..
若，則，，，.
關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式為，（，且）.
（2）（i）證明：當(dāng)時(shí)，，，令，則，
，下面證明對(duì)任意的正整數(shù)n，.
①當(dāng)，2時(shí)，顯然成立；
②假設(shè)對(duì)任意的時(shí)，，下面證明時(shí)，：
由題意，得，，
，，
，.或（負(fù)值舍去）.
成立.由①②可知，為等比數(shù)列，.
（ii）由（i）知，，，
，得，.
設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)減.
又，，；，，
.的最大值為4.
高考練場
1.（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，在強(qiáng)化學(xué)習(xí)、自然語言處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用．其數(shù)學(xué)定義為：假設(shè)我們的序列狀態(tài)是…，，，，，…，那么時(shí)刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)，即．
現(xiàn)實(shí)生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如著名的賭徒模型．
假如一名賭徒進(jìn)入賭場參與一個(gè)賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為，且每局賭贏可以贏得1元，每一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿?，且賭輸就要輸?shù)?元．賭徒會(huì)一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會(huì)結(jié)束賭博游戲：一種是手中賭金為0元，即賭徒輸光；一種是賭金達(dá)到預(yù)期的B元，賭徒停止賭博．記賭徒的本金為，賭博過程如下圖的數(shù)軸所示．
當(dāng)賭徒手中有n元（，）時(shí)，最終輸光的概率為，請(qǐng)回答下列問題：
(1)請(qǐng)直接寫出與的數(shù)值．
(2)證明是一個(gè)等差數(shù)列，并寫出公差d．
(3)當(dāng)時(shí)，分別計(jì)算，時(shí)，的數(shù)值，并結(jié)合實(shí)際，解釋當(dāng)時(shí)，的統(tǒng)計(jì)含義．
【答案】(1)，
(2)證明見解析；
(3)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，統(tǒng)計(jì)含義見解析
【分析】（1）明確和的含義，即可得答案；
（2）由全概率公式可得，整理為，即可證明結(jié)論；
（3）由（2）結(jié)論可得，即可求得，時(shí)，的數(shù)值，結(jié)合概率的變化趨勢，即可得統(tǒng)計(jì)含義.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，賭徒已經(jīng)輸光了，因此.
當(dāng)時(shí)，賭徒到了終止賭博的條件，不再賭了，因此輸光的概率.
（2）記M：賭徒有n元最后輸光的事件，N：賭徒有n元上一場贏的事件,
,
即，
所以，
所以是一個(gè)等差數(shù)列，
設(shè)，則，
累加得，故，得，
（3），由得,即,
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，因此可知久賭無贏家，
即便是一個(gè)這樣看似公平的游戲，
只要賭徒一直玩下去就會(huì)的概率輸光．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：此題很新穎，題目的背景設(shè)置的雖然較為陌生復(fù)雜，但解答并不困難，該題將概率和數(shù)列知識(shí)綜合到了一起，解答的關(guān)鍵是要弄明白題目的含義，即審清楚題意，明確，即可求解,
2.（2019下·遼寧葫蘆島高三統(tǒng)考 ）隨著網(wǎng)絡(luò)和智能手機(jī)的普及與快速發(fā)展，許多可以解答各學(xué)科問題的搜題軟件走紅.有教育工作者認(rèn)為：網(wǎng)搜答案可以起到拓展思路的作用，但是對(duì)多數(shù)學(xué)生來講，容易產(chǎn)生依賴心理，對(duì)學(xué)習(xí)能力造成損害.為了了解網(wǎng)絡(luò)搜題在學(xué)生中的使用情況，某校對(duì)學(xué)生在一周時(shí)間內(nèi)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)搜題的頻數(shù)進(jìn)行了問卷調(diào)查，并從參與調(diào)查的學(xué)生中抽取了男、女學(xué)生各50人進(jìn)行抽樣分析，得到如下樣本頻數(shù)分布表：
將學(xué)生在一周時(shí)間內(nèi)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)搜題頻數(shù)超過20次的行為視為“經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)搜題”，不超過20次的視為“偶爾或不用網(wǎng)絡(luò)搜題”.
（1）根據(jù)已有數(shù)據(jù)，完成下列列聯(lián)表（單位：人）中數(shù)據(jù)的填寫，并判斷是否在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下有把握認(rèn)為使用網(wǎng)絡(luò)搜題與性別有關(guān)？
（2）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率，從該校所有參與調(diào)查的學(xué)生中，采用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取一個(gè)人，抽取4人，記經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)搜題的人數(shù)為，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考公式：，其中.
參考數(shù)據(jù)：
【答案】（1）列表見解析，在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下有把握認(rèn)為使用網(wǎng)絡(luò)搜題與性別有關(guān)；（2）分布列見解析，
【分析】（1）根據(jù)樣本頻數(shù)分布表的數(shù)據(jù)即可完成列聯(lián)表，再利用列聯(lián)表求出觀測值，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想解求解.
（2）根據(jù)二項(xiàng)分布求出隨機(jī)變量的概率，列出分布列即可求解.
【詳解】（1）由題意得：
∵
∴在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下有把握認(rèn)為使用網(wǎng)絡(luò)搜題與性別有關(guān).
（2）依題意，.
；
.
的分布列為：
3.（2023·四川成都·二模）某貧困縣在政府“精準(zhǔn)扶貧”的政策指引下，充分利用自身資源，大力發(fā)展茶葉種植.該縣農(nóng)科所為了對(duì)比兩種不同品種茶葉的產(chǎn)量，在試驗(yàn)田上分別種植了兩種茶葉各20畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)（單位：千克）都在內(nèi)，根據(jù)畝產(chǎn)數(shù)據(jù)得到頻率分布直方圖如下：
(1)從種茶葉畝產(chǎn)的20個(gè)數(shù)據(jù)中任取兩個(gè)，記這兩個(gè)數(shù)據(jù)中不低于56千克的個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(2)在頻率分布直方圖中，若平均數(shù)大于中位數(shù)，則稱為“右拖尾分布”，若平均數(shù)小于中位數(shù)，則稱為“左拖尾分布”，試通過計(jì)算判斷種茶葉的畝產(chǎn)量屬于上述哪種類型.
【答案】(1)分布列見解析，
(2)種茶的畝產(chǎn)屬于“左拖尾分布”.
【分析】（1）先計(jì)算畝產(chǎn)不低于56千克頻數(shù)，然后根據(jù)超幾何分布概率公式求出概率，可得分布列，再由期望公式可得；
（2）根據(jù)直方圖分別估算平均數(shù)和中位數(shù)，然后即可作出判定.
【詳解】（1）畝產(chǎn)不低于56千克頻率為，
所以，畝產(chǎn)不低于56千克的數(shù)據(jù)共有個(gè)，
故的所有可能取值為0，1，2，
，，，
的分布列為
的數(shù)學(xué)期望
（2）根據(jù)以上直方圖數(shù)據(jù)，茶葉畝產(chǎn)平均數(shù)為：
，
設(shè)中位數(shù)為由得，
因?yàn)?，所以種茶的畝產(chǎn)屬于“左拖尾分布”.
4.（2024·福建龍巖·一模）2023年秋季，支原體肺炎在我國各地流行，該疾病的主要感染群體為青少年和老年人.某市醫(yī)院傳染病科從該市各醫(yī)院某段時(shí)間就醫(yī)且年齡在70歲以上的老年人中隨機(jī)抽查了200人，并調(diào)查其患病情況，將調(diào)查結(jié)果整理如下：
(1)試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析70歲以上老年人感染支原體肺炎與自身慢性疾病是否有關(guān)？
(2)用樣本估計(jì)總體，并用本次抽查中樣本的頻率代替概率，從本市各醫(yī)院某段時(shí)間就醫(yī)且年齡在70歲以上的老年人中隨機(jī)抽取3人，設(shè)抽取的3人中感染支原體肺炎的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附：.
【答案】(1)有關(guān)
(2)分布列見解析；
【分析】（1）計(jì)算卡方值并與臨界值比較即可；
（2）根據(jù)二項(xiàng)分布特點(diǎn)寫出分布列，再計(jì)算其期望即可.
【詳解】（1）假設(shè)歲以上老人感染支原體肺炎與自身慢性疾病無關(guān).
則，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為70歲以上老人感染支原體肺炎與自身慢性疾病有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.
（2）由已知得，
，
，
所以隨機(jī)變量的分布列為：
所以.
5.（2023·全國·模擬預(yù)測）某公司為了解市場對(duì)其開發(fā)的新產(chǎn)品的需求情況，共調(diào)查了250名顧客，采取100分制對(duì)產(chǎn)品功能滿意程度、產(chǎn)品外觀滿意程度分別進(jìn)行評(píng)分，其中對(duì)產(chǎn)品功能滿意程度的評(píng)分服從正態(tài)分布，對(duì)產(chǎn)品外觀滿意程度評(píng)分的頻率分布直方圖如圖所示，規(guī)定評(píng)分90分以上（不含90分）視為非常滿意.
(1)本次調(diào)查對(duì)產(chǎn)品功能非常滿意和對(duì)產(chǎn)品外觀非常滿意的各有多少人？（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）
(2)若這250人中對(duì)兩項(xiàng)都非常滿意的有2人，現(xiàn)從對(duì)產(chǎn)品功能非常滿意和對(duì)產(chǎn)品外觀非常滿意的人中隨機(jī)抽取3人，設(shè)3人中兩項(xiàng)都非常滿意的有X人，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
（附：若，則，）
【答案】(1)6人，6人
(2)分布列見解析，
【分析】（1）根據(jù)頻率直方分布圖和正態(tài)分布計(jì)算；
（2）根據(jù)題意，只對(duì)產(chǎn)品功能非常滿意的有4人，只對(duì)產(chǎn)品外觀非常滿意的有4人，利用超幾何分布得出的分布列．
【詳解】（1）因?yàn)閷?duì)產(chǎn)品功能滿意程度的評(píng)分服從正態(tài)分布，
其中，
設(shè)對(duì)產(chǎn)品功能滿意程度的評(píng)分為，
所以，
所以本次調(diào)查對(duì)產(chǎn)品功能非常滿意的顧客約有（人）.
根據(jù)頻率分布直方圖得，對(duì)產(chǎn)品外觀非常滿意的頻率為，
則本次調(diào)查對(duì)產(chǎn)品外觀非常滿意的顧客約有（人）.
（2）根據(jù)題意，這人中對(duì)兩項(xiàng)都非常滿意的有人，則只對(duì)產(chǎn)品功能非常滿意的有人，只對(duì)產(chǎn)品外觀非常滿意的有人，的可能取值為
，，，
則的分布列為
數(shù)學(xué)期望.
6.（2021·山東濱州·二模）為落實(shí)中央“堅(jiān)持五育并舉，全面發(fā)展素質(zhì)教育，強(qiáng)化體育鍛煉”的精神，某高中學(xué)校鼓勵(lì)學(xué)生自發(fā)組織各項(xiàng)體育比賽活動(dòng)，甲?乙兩名同學(xué)利用課余時(shí)間進(jìn)行乒乓球比賽，規(guī)定：每一局比賽中獲勝方記1分，失敗方記0分，沒有平局，首先獲得5分者獲勝，比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率都是.
（1）求比賽結(jié)束時(shí)恰好打了6局的概率；
（2）若甲以3：1的比分領(lǐng)先時(shí)，記X表示到結(jié)束比賽時(shí)還需要比賽的局?jǐn)?shù)，求X的分布列及期望.
【答案】（1）；（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：.
【分析】（1）比賽恰好打了6局的情況有兩種：甲勝或乙勝，即可求解；
（2）分析可知X的可能取值為2，3，4，5，分別求出對(duì)應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和.
【詳解】解：（1）比賽結(jié)束時(shí)恰好打了6局，甲獲勝的概率為，
恰好打了6局，乙獲勝的概率為，
所以比賽結(jié)束時(shí)恰好打了6局的概率為.
（2）X的可能取值為2，3，4，5，，，
，.
所以X的分布列如下：
故.
7.（2022·江蘇·二模）某地舉行象棋比賽，淘汰賽階段的比賽規(guī)則是：兩人一組，先勝一局者進(jìn)入復(fù)賽，敗者淘汰.比賽雙方首先進(jìn)行一局慢棋比賽，若和棋，則加賽快棋；若連續(xù)兩局快棋都是和棋，則再加賽一局超快棋，超快棋只有勝與負(fù)兩種結(jié)果.在甲與乙的比賽中，甲慢棋比賽勝與和的概率分別為，，快棋比賽勝與和的概率均為，超快棋比賽勝的概率為，且各局比賽相互獨(dú)立.
(1)求甲恰好經(jīng)過三局進(jìn)入復(fù)賽的概率；
(2)記淘汰賽階段甲與乙比賽的局?jǐn)?shù)為X，求X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
【分析】（1）前兩局和棋最后一局甲勝，按照乘法公式計(jì)算概率即可；
（2）的所有可能取值為，依次計(jì)算出概率，列出分布列，再計(jì)算期望即可.
【詳解】（1）前兩局和棋最后一局甲勝，.
（2）的所有可能取值為，乙慢棋比賽勝概率，乙快棋比賽勝概率，
乙超快棋比賽勝概率.
，
的分布列為
.
8.（21·22高三上·安徽安慶· ）1971年“乒乓外交”翻開了中美關(guān)系的新篇章，2021年休斯敦世乒賽中美兩國選手又一次踐行了“乒乓外交”所蘊(yùn)含的友誼?尊重?合作的精神，使“乒乓外交”的內(nèi)涵和外延得到了進(jìn)一步的豐富和創(chuàng)新，幾十年來，乒乓球運(yùn)動(dòng)也成為國內(nèi)民眾喜愛的運(yùn)動(dòng)之一，今有小王?小張?小馬三人進(jìn)行乒乓球比賽，規(guī)則為：先由兩人上場比賽，另一人做裁判，敗者下場做裁判，另兩人上場比賽，依次規(guī)則循環(huán)進(jìn)行比賽.由抽簽決定小王?小張先上場比賽，小馬做裁判.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)比賽：小王與小張比賽小王獲勝的概率為，小馬與小張比賽小張獲勝的概率為，小馬與小王比賽小馬獲勝的概率為.
(1)比賽完3局時(shí)，求三人各勝1局的概率；
(2)比賽完4局時(shí)，設(shè)小馬做裁判的次數(shù)為X，求X的分布列和期望.
【答案】(1)(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：
【分析】（1）“比賽完3局時(shí)，求三人各勝1局”分為兩種情況，①小王勝小張，小王輸給小馬，小馬輸給小張；②小張勝小王，小張輸給小馬，小馬輸給小王.
（2）比賽完4局時(shí)，小馬做1次裁判分為兩種情況：①小王勝小張，小王輸給小馬，小馬勝小張；②小王輸給小張，小張輸給小馬，小馬勝小王. 比賽完4局時(shí)，小馬最多做2次裁判.
【詳解】（1）設(shè)小王與小張比賽小王獲勝記為事件A，小馬與小張比賽小張獲勝記為事件B，
小馬與小王比賽小馬獲勝記為事件C，且A，B，C相互獨(dú)立.
則
設(shè)“比賽完3局時(shí)，三人各勝1局”記為事件M，則
（2）X的可能取值為1，2
則X的分布列為
則
9.（22·23高二下·江蘇常州· ）從甲?乙?丙等5人中隨機(jī)地抽取三個(gè)人去做傳球訓(xùn)練.訓(xùn)練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，每次必須將球傳出.
(1)記甲乙丙三人中被抽到的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列；
(2)若剛好抽到甲乙丙三個(gè)人相互做傳球訓(xùn)練，且第1次由甲將球傳出，記次傳球后球在甲手中的概率為，
①直接寫出的值；
②求與的關(guān)系式，并求.
【答案】(1)分布列見解析(2)①，，；②；
【分析】（1）由離散型隨機(jī)變量的分布列可解；
（2）記表示事件“經(jīng)過次傳球后，球在甲手中”，由全概率公式可求
再由數(shù)列知識(shí)，由遞推公式求得通項(xiàng)公式.
【詳解】（1）可能取值為，
；；
所以隨機(jī)變量的分布列為
（2）若剛好抽到甲乙丙三個(gè)人相互做傳球訓(xùn)練，且次傳球后球在甲手中的概率為，
則有
記表示事件“經(jīng)過次傳球后，球在甲手中”，
所以
即，所以，且
所以數(shù)列表示以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以所以
即次傳球后球在甲手中的概率是.
10.（21·22高二上·山東德州· ）在實(shí)驗(yàn)室中，研究某種動(dòng)物是否患有某種傳染疾病，需要對(duì)其血液進(jìn)行檢驗(yàn)．現(xiàn)有份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：一是逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)n次；二是混合檢驗(yàn)，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了；如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這k份究竟哪些為陽性，就需要對(duì)它們?cè)俅稳又鸱輽z驗(yàn)，那么這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)共為次．假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的．且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為．
(1)假設(shè)有5份血液樣本，其中只有2份血液樣本為陽性，若采用逐份檢驗(yàn)方式，求恰好經(jīng)過3次檢驗(yàn)就能把陽性樣本全部檢測出來的概率；
(2)假設(shè)有4份血液樣本，現(xiàn)有以下兩種方案：
方案一：4個(gè)樣本混合在一起檢驗(yàn)；
方案二：4個(gè)樣本平均分為兩組，分別混合在一起檢驗(yàn)．
若檢驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越優(yōu)．
現(xiàn)將該4份血液樣本進(jìn)行檢驗(yàn)，試比較以上兩個(gè)方案中哪個(gè)更優(yōu)？
【答案】(1)(2)方案一更優(yōu)
【分析】（1）分兩類，由古典概型可得;
（2）分別求出兩種方案的數(shù)學(xué)期望，然后比較可知.
【詳解】（1）恰好經(jīng)過3次檢驗(yàn)就能把陽性樣本全部檢測出來分為兩種情況：
第一種：前兩次檢測中出現(xiàn)一次陽性一次陰性且第三次為陽性
第二種：前三次檢測均為陰性，所以概率為．
（2）方案一：混在一起檢驗(yàn)，記檢驗(yàn)次數(shù)為X，則X的取值范圍是，
，，．
方案二：每組的兩個(gè)樣本混合在一起檢驗(yàn)，
若結(jié)果呈陰性，則檢驗(yàn)次數(shù)為1，其概率為，
若結(jié)果呈陽性，則檢驗(yàn)次數(shù)為3，其概率為．
設(shè)檢驗(yàn)次數(shù)為隨機(jī)變量Y，則Y的取值范圍是，
，，
，，
所以，方案一更優(yōu)．
11.（2019·全國·高考真題）為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X．
（1）求的分布列；
（2）若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，表示“甲藥的累計(jì)得分為時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設(shè)，．
(i)證明：為等比數(shù)列；
(ii)求，并根據(jù)的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性．
【答案】（1）見解析；（2）（i）見解析；（ii）.
【分析】（1）首先確定所有可能的取值，再來計(jì)算出每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，從而可得分布列；（2）（i）求解出的取值，可得，從而整理出符合等比數(shù)列定義的形式，問題得證；（ii）列出證得的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，采用累加的方式，結(jié)合和的值可求得；再次利用累加法可求出.
【詳解】（1）由題意可知所有可能的取值為：，，
；；
則的分布列如下：
（2），
，，
（i）
即
整理可得：
是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列
（ii）由（i）知：
，，……，
作和可得：
表示最終認(rèn)為甲藥更有效的.由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為，此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，說明這種實(shí)驗(yàn)方案合理.
馬爾可夫鏈：若，即未來狀態(tài)只受當(dāng)前狀態(tài)
馬爾科夫不等式
設(shè)為一個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為，則對(duì)任意，均有，
馬爾科夫不等式給出了隨機(jī)變量取值不小于某正數(shù)的概率上界，闡釋了隨機(jī)變量尾部取值概率與其數(shù)學(xué)期望間的關(guān)系．
證明：當(dāng)為非負(fù)離散型隨機(jī)變量時(shí)，馬爾科夫不等式的證明如下：
設(shè)的分布列為其中，則對(duì)任意，，其中符號(hào)表示對(duì)所有滿足的指標(biāo)所對(duì)應(yīng)的求和．的影響，與之前的無關(guān).
0
1
2
p
兩點(diǎn)分布，又稱0,1分布：
0
1
1-
= ，= .
株高增量（單位：厘米）
第1組雞冠花株數(shù)
9
20
9
2
第2組雞冠花株數(shù)
4
16
16
4
第3組雞冠花株數(shù)
13
12
13
2
0
1
2
3
0
1
0
1
超幾何分布：
若在一次實(shí)驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為 ，則在次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，在第次首次發(fā)生的概率為 ，， 。
（4）超幾何分布：總數(shù)為的兩類物品，其中一類為件，從中取件恰含中的件， ，其中為與的較小者，，稱 服從參數(shù)為的超幾何分布，記作 ，此時(shí)有公式
合計(jì)
對(duì)照組
實(shí)驗(yàn)組
合計(jì)
0.10
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
合計(jì)
對(duì)照組
6
14
20
實(shí)驗(yàn)組
14
6
20
合計(jì)
20
20
40
跑步軟件一
跑步軟件二
跑步軟件三
跑步軟件四
中學(xué)生
80
60
40
20
大學(xué)生
30
20
20
10

良
優(yōu)
合計(jì)
甲生產(chǎn)線
40
80
120
乙生產(chǎn)線
80
100
180
合計(jì)
120
180
300
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
0
1
2
X
0
1
2
3
P
二項(xiàng)分布
若在一次實(shí)驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，則在次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中恰好發(fā)生次概率 ，稱服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，記作 ，=，.
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
正態(tài)分布
（1）若是正態(tài)隨機(jī)變量，其概率密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為 ， （其中是參數(shù)，且，）。
其圖像如圖13-7所示，有以下性質(zhì)：
= 1 \* GB3 ①曲線在軸上方，并且關(guān)于直線對(duì)稱；
= 2 \* GB3 ②曲線在處處于最高點(diǎn)，并且此處向左右兩邊延伸時(shí)，逐漸降低，呈現(xiàn)“中間高，兩邊低”的形狀；
= 3 \* GB3 ③曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”，越小，曲線越“高瘦”；
= 4 \* GB3 ④圖像與軸之間的面積為1.
（2）= ，= ，記作 .
當(dāng)時(shí)， 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作 .
（3） ，則在， ，上取值的概率分別為68.3%，95.4%，99.7%，這叫做正態(tài)分布的原則。
X
0
1
2
P
0
1
2
3
4
比賽模式，要考慮：
比賽幾局？
“誰贏了”；
有沒有平局
贏了的必贏最后一局；
比賽為啥結(jié)束？
有沒有“抽簽
1
2
2
3
4
2
3
4
X
4
5
6
7
P
1
2
3
復(fù)雜條件比賽模式， 以及多線程，多圖分類，多重條件分流型，采用分類討論。注意討論時(shí)要按照統(tǒng)一的
標(biāo)準(zhǔn)，不多討論，也不遺漏討論
X
2
4
5
P
1
2
3
1
2
3
…
…
X
2
3
4
P
4
5
6
7
X
2
3
4
5
P
多人比賽或者傳球模型，一般情況下涉及到獨(dú)立事件與互斥事件的識(shí)別，及概率運(yùn)算，離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，如果符合常見的二項(xiàng)分布，超幾何分布等等分布，直接用概率公式進(jìn)行運(yùn)算。如果限制條件較多，可以進(jìn)行羅列方式進(jìn)行分類討論計(jì)算
1
2
3
P
2
3
4
4
6
8
0.5
0.25
0.25
1
2
3
1
2
3
1
6
P
一周時(shí)間內(nèi)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)搜題的頻數(shù)區(qū)間
男生頻數(shù)
女生頻數(shù)
[0,10]
18
4
(10,20]
10
8
(20,30]
12
13
(30,40]
6
15
(40,50]
4
10
經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)搜題
偶爾或不用網(wǎng)絡(luò)搜題
合計(jì)
男生
女生
合計(jì)
P(x2≥m)
0.050
0.010
0.001
m
3.841
6.635
10.828
經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)搜題
偶爾或不用網(wǎng)絡(luò)搜題
合計(jì)
男生
22
28
50
女生
38
12
50
合計(jì)
60
40
100
0
1
2
3
4
0
1
2
有慢性疾病
沒有慢性疾病
未感染支原體肺炎
60
80
感染支原體肺炎
40
20
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
0
1
2
3
2
3
4
5
1
2
3
4
X
1
2
P
1
2
3

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