TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc4934" 題型01 不等式證明方法 PAGEREF _Tc4934 \h 1
\l "_Tc13723" 題型02 單變量構(gòu)造：利用第一問結(jié)論3
\l "_Tc32511" 題型03 單變量構(gòu)造：數(shù)列型5
\l "_Tc32667" 題型04 數(shù)列不等式：無限和裂項(xiàng)型7
\l "_Tc23969" 題型05 數(shù)列不等式：累積相消型9
\l "_Tc373" 題型06 數(shù)列不等式：取對(duì)數(shù)型11
\l "_Tc1014" 題型07 虛設(shè)根型證不等式13
\l "_Tc31593" 題型08 利用函數(shù)“凸凹反轉(zhuǎn)性”證明不等式14
\l "_Tc32089" 題型09 同構(gòu)型不等式證明16
\l "_Tc20255" 題型10 雙變量型構(gòu)造18
\l "_Tc25024" 題型11 極值點(diǎn)偏移型：和型證明19
\l "_Tc9714" 題型12 極值點(diǎn)偏移型：積型證明 PAGEREF _Tc9714 \h 21
\l "_Tc26962" 題型13 極值點(diǎn)偏移型：平方型證明22
\l "_Tc8895" 題型14 三角函數(shù)型不等式證明23
\l "_Tc4479" 題型15 韋達(dá)定理代換型25
\l "_Tc17176" 題型16 切線放縮型證明26
\l "_Tc2029" 高考練場(chǎng)28
熱點(diǎn)題型歸納
題型01 不等式證明方法
【解題攻略】
【典例1-1】（陜西省澄城縣20121-2022學(xué)年高三試數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，．
【典例1-2】已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ)求證：當(dāng)時(shí)，.
【變式1-1】（湖南省三湘名校教育聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
(1)求a，b的值；
(2)證明：．
【變式1-2】（湖北省華中師范大學(xué)潛江附屬中學(xué)2021-2022學(xué)年高三4月數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)f（x）＝ax3﹣3lnx.
(1)若a＝1，證明：f（x）≥1；
(2)討論f（x）的單調(diào)性.
【變式1-3】（2022·云南昆明·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)證明：．
題型02 單變量構(gòu)造：利用第一問結(jié)論
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)求的最小值；
(2)證明：.
【典例1-2】（2021下·北京豐臺(tái)·高三統(tǒng)考）已知函數(shù)在處有極值2．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）證明：．
【變式1-1】（2021·四川·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，曲線在處切線的傾斜角的正切值為．
（1）求的值；
（2）證明：．
【變式1-2】（2022下·山東聊城·高三練習(xí)）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性并求極值；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，.
【變式1-3】（20122安徽馬鞍山·統(tǒng)考模擬）已知函數(shù).
(1)若在定義域內(nèi)無極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)求證：當(dāng)時(shí)，恒成立.
題型03 單變量構(gòu)造：數(shù)列型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)證明：；
(2)討論的單調(diào)性，并證明：當(dāng)時(shí)，．
【典例1-2】2012·河北衡水·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù),其中．
(1)當(dāng)時(shí)，在時(shí)取得極值，求；
(2)當(dāng)時(shí)，若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
(3)證明對(duì)任意的正整數(shù),不等式都成立．
【變式1-1】2023·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，其中和是實(shí)數(shù)，曲線恒與軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)．
求常數(shù)的值；
當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
求證：．
【變式1-2】（2023上·河南南陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）（1）已知函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；
設(shè)為大于1的整數(shù)，證明：.
【變式1-3】（2017下·黑龍江大慶·高三大慶中學(xué)校已知函數(shù)；
(1)若函數(shù)在上為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最值；
(3)當(dāng)時(shí)，對(duì)大于1的任意正整數(shù)，試比較與的大小關(guān)系．
題型04 數(shù)列不等式：無限和裂項(xiàng)型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·呼市二中校考一模）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的極值；
(2)求證：．
【典例1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)證明: ．
【變式1-1】（2023上·浙江·高三浙江省富陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)）.
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)對(duì)任意，證明：.
【變式1-2】（2023上·福建廈門·高三廈門市湖濱中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù).
(1)若不等式在區(qū)間內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)求證：（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
【變式1-3】（2023上·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，．
(1)若函數(shù)在R上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；
(2)已知，，，，求證：；
(3)證明：．
題型05 數(shù)列不等式：累積相消型
【解題攻略】
【典例1-1】（2022貴州銅仁·高三貴州省銅仁第一中學(xué)階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)若a＝－1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)(2，f(2))處的切線的傾斜角為45°，對(duì)于任意的t∈[1,2]，函數(shù)g(x)＝x3＋x2 (是f(x)的導(dǎo)函數(shù))在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；
(3)求證：×…×< (n≥2，n∈N*)
【典例1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若，求的值；
(2)證明：當(dāng)且時(shí)，．
【變式1-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，
(1)若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)求證： .
【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)整數(shù)，，且，函數(shù)．
(1)求證：；
(2)求證：．
【變式1-3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.
(1)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)求證：.
題型06 數(shù)列不等式：取對(duì)數(shù)型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求證：當(dāng)時(shí)，；
(2)已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，求證：，．
【典例1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的圖象在處的切線方程；
(2)若任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)設(shè)，證明：．
【變式1-1】（2023上·江蘇淮安·高三金湖中學(xué)校聯(lián)考）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，；
(3)設(shè)為整數(shù)，若對(duì)于成立，求的最小值．
【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的函數(shù)
（1）討論的單調(diào)性；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，
【變式1-3】（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)
(1)若單調(diào)遞增，求a的值；
(2)判斷（且）與的大小，并說明理由.
題型07 虛設(shè)根型證不等式
【解題攻略】
【典例1-1】已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意的，．
【變式1-1】（2023上·福建福州·高三校聯(lián)考）設(shè)函數(shù)．
(1)求時(shí)，的單調(diào)區(qū)間；
(2)求證：當(dāng)時(shí)，．
【變式1-2】（2024上·陜西安康·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，令，若為的極大值點(diǎn)，證明：.
【變式1-3】（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù),.
(1)判斷的單調(diào)性;
(2)若, 求證:,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
題型08 利用函數(shù)“凸凹反轉(zhuǎn)性”證明不等式
【解題攻略】
【典例1-1】（2023上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第十三中學(xué)校?？迹┮阎瘮?shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，.
【典例1-2】已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：．
【變式1-1】（2021上·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，．
（Ⅰ）討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）若，證明：．
【變式1-2】已知，
（1）對(duì)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）證明：對(duì)一切，都有．
【變式1-3】已知函數(shù)f（x）＝ax2﹣xlnx．
（I）若f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若a＝e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），證明：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜xex+．
題型09 同構(gòu)型不等式證明
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
(2)當(dāng)時(shí)，求證：．
【典例1-2】（2023上·安徽馬鞍山·高三馬鞍山二中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并說明理由；
(2)證明：.
【變式1-1】（2023·四川遂寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，，
試討論的單調(diào)性；
當(dāng)時(shí)，證明恒成立.
【變式1-2】已知，，．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
(2)當(dāng)時(shí)，求證：．
題型10 雙變量型構(gòu)造
【典例1-1】（2022貴州黔東南·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).
(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)對(duì)，且，證明：.
【典例1-2】（2023上·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)已知m，n是正整數(shù)，且，證明．
【變式1-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，試證明．
【變式1-2】（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
（1）求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增；
（2）設(shè)，求證：．
【變式1-3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
（1）若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍；
（2）設(shè)，且，求證.
題型11 極值點(diǎn)偏移型：和型證明
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，．
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)證明：．
【典例1-2】（2023·山西·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)若，求的取值范圍；
(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的正實(shí)根，證明：.
【變式1-1】（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，且，證明：，且．
【變式1-2】（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．若函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)．
(1)求a的取值范圍；
(2)證明：．
題型12 極值點(diǎn)偏移型：積型證明
【解題攻略】
【典例1-1】（2023上·河南·高三南陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若有唯一極值，求的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，若，，求證：.
【典例1-2】（2023上·陜西漢中·高三西鄉(xiāng)縣第一中學(xué)校聯(lián)考）已知函數(shù)，.
(1)求函數(shù)的極值；
(2)若，求函數(shù)的最小值；
(3)若有兩個(gè)零點(diǎn)，，證明：.
【變式1-1】（2023上·重慶渝中·高三統(tǒng)考）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)是減函數(shù)，求的取值范圍；
(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，且，證明：．
【變式1-2】（2023上·江蘇連云港·高三江蘇省海州高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍并證明.
題型13 極值點(diǎn)偏移型：平方型證明
【典例1-1】（2023下·遼寧·高三統(tǒng)考）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且，，，證明：.
【典例1-2】（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性：
(2)若是方程的兩不等實(shí)根，求證：；
【變式1-1】（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若有2個(gè)不同的零點(diǎn)（），求證：.
【變式1-2】（2023上·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，．
(1)若，求的取值范圍；
(2)證明：若存在，，使得，則．
題型14 三角函數(shù)型不等式證明
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)證明：；
(2)當(dāng)時(shí)，證明不等式，在上恒成立.
【典例1-2】（2023·四川資陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作曲線的切線l，求l的方程；
(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意，證明：．
【變式1-1】（2022·新疆·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，
(1)若在處的切線為，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)當(dāng)，時(shí)，求證：
【變式1-2】設(shè)函數(shù)，，.
(1)求的最小值，并證明：；
(2)若不等式：成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
題型15 韋達(dá)定理代換型
【解題攻略】
【典例1-1】已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，若，求證：.
【典例1-2】已知函數(shù)f（x）＝ln x＋ax2－x.
（1）若a＝－1，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）設(shè)f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若x1，x2是函數(shù)f′（x）的兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，求證：f（x1）＋f（x2）1; 由f′(x)g(2)＝4-2ln2-6+4>0，∴當(dāng)x>2時(shí)， x2-2lnx>3x-4,即當(dāng)x>2時(shí)..
【變式1-1】（湖南省三湘名校教育聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
(1)求a，b的值；
(2)證明：．
【答案】(1)，；(2)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合，，解方程組即可；
（2）根據(jù)（1）中所求，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求得最小值，即可證明.
(1)
∵，∴，
∵曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
∴，解得，．
(2)
由（1）知，，
∴當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，
∴的最小值為，∴，即證.
【變式1-2】（湖北省華中師范大學(xué)潛江附屬中學(xué)2021-2022學(xué)年高三4月數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)f（x）＝ax3﹣3lnx.
(1)若a＝1，證明：f（x）≥1；
(2)討論f（x）的單調(diào)性.
【答案】(1)證明見解析(2)答案見解析
【分析】（1）對(duì)f（x）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）的最小值，即可得證；
（2）對(duì)f（x）求導(dǎo)，對(duì)a分類討論，由導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可解出.
(1)
若a＝1，則f（x）＝x3﹣3lnx，x＞0，，
令f′（x）＝0，可得x＝1，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，所以f（x）在x＝1處取得極小值，也是最小值，最小值為f（1）＝1，故f（x）≥1.
(2)
f（x）＝ax3﹣3lnx，x＞0，（x＞0），
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0，則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，得x，令f′（x）＜0，得0＜x，
所以f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增.
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增.
【變式1-3】（2022·云南昆明·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)證明：．
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)切點(diǎn)和斜率求得切線方程.
（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，從而證得不等式成立.
【詳解】（1），，，
故曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
即．
（2）設(shè)，
則
．
由（1）知，又，
所以，所以在上單調(diào)遞增，故，
所以，，．
題型02 單變量構(gòu)造：利用第一問結(jié)論
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)求的最小值；
(2)證明：.
【答案】(1)(2)證明過程見解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；
（2）利用（1）的結(jié)果，取特殊值代入進(jìn)行證明即可.
【詳解】（1）顯然該函數(shù)的定義域?yàn)槿w正實(shí)數(shù)，
由，
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，因此；
（2）由（1）可知：，即，
即，當(dāng)時(shí)，.
【典例1-2】（2021下·北京豐臺(tái)·高三統(tǒng)考）已知函數(shù)在處有極值2．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）證明：．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析.
【分析】（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，由且求得，并檢驗(yàn)0是極值點(diǎn)；
（Ⅱ）不等式化為，引入函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)求得的最小值，最小值大于0，從而證得不等式成立．
【詳解】（Ⅰ）解：由已知，，則 解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知，．要證，
只需證．即．
令，則． 令，解得．
，的變化情況如下表所示．
所以，時(shí)，有最小值．故成立
【變式1-1】（2021·四川·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，曲線在處切線的傾斜角的正切值為．
（1）求的值；
（2）證明：．
【答案】（1）；（2）證明見解析．
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再代入計(jì)算可得；
（2）依題意即證，即，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)說明其單調(diào)性與最值，即可得到，從而得證；
【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以?br>，解得．
（2）由（1）可得
即證．
令，，于是在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以（取等號(hào)）．
又令，則，于是在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以（時(shí)取等號(hào)）．所以，即．
【變式1-2】（2022下·山東聊城·高三練習(xí)）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性并求極值；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，.
【答案】(1)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.極小值為,無極大值；(2)見解析
【分析】(1)求出，明確單調(diào)性，從而得到函數(shù)的極值；
(2)要證當(dāng)時(shí)，即證當(dāng)時(shí)，，構(gòu)造新函數(shù)，研究其單調(diào)性即可.
【詳解】（1），，令，解得，令，解得，
所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)函數(shù)取得極小值為，無極大值.
（2）令, ,
由（1）可知在遞增，所以，
所以，因此在遞減，
當(dāng)時(shí)，即，
所以得證.
【變式1-3】（20122安徽馬鞍山·統(tǒng)考模擬）已知函數(shù).
(1)若在定義域內(nèi)無極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)求證：當(dāng)時(shí)，恒成立.
【答案】(1)(2)見解析
【分析】（1）由題意知，令，利用導(dǎo)數(shù)求得有最小值，結(jié)合在定義域內(nèi)無極值點(diǎn)，得，再驗(yàn)證時(shí)，即可得結(jié)論；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論可得在上單調(diào)遞增，根據(jù)可得存在唯一的零點(diǎn)，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,故可得結(jié)論.
【詳解】（1）由題意知，令，則，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
又，∵在定義域內(nèi)無極值點(diǎn)，∴
又當(dāng)時(shí)，在和上都單調(diào)遞增也滿足題意，所以.
（2），令，
由（1）可知在上單調(diào)遞增，又，所以存在唯一的零點(diǎn)，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴
由知即當(dāng)時(shí)，恒成立.
題型03 單變量構(gòu)造：數(shù)列型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)證明：；
(2)討論的單調(diào)性，并證明：當(dāng)時(shí)，．
【答案】(1)證明見解析(2)答案見解析
【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明，可得，變形即可得證；
（2）構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)證明其單調(diào)性，再結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可判定的單調(diào)性，利用的單調(diào)性可得，同時(shí)取對(duì)數(shù)變形即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）證明：令，則，
所以在上單調(diào)遞減，所以，即．
令，則有，
所以，所以，即．
（2）由可得，令，則，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，．令，則有，
所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
所以對(duì)于，有，
所以，所以，
即，整理得：．
【典例1-2】2012·河北衡水·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù),其中．
(1)當(dāng)時(shí)，在時(shí)取得極值，求；
(2)當(dāng)時(shí)，若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；
(3)證明對(duì)任意的正整數(shù),不等式都成立．
【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析.
【分析】(1)先由得到，再由在處取極值得到，進(jìn)而可得出結(jié)果；
(2)先由得，根據(jù)在上單調(diào)遞增，可得在上恒成立，令，可得，求解即可得出結(jié)果；
(3)先設(shè)，將原不等式化為證明當(dāng)時(shí)，恒成立即可，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，確定其單調(diào)性，即可得出結(jié)論成立.
【詳解】解：(1) 當(dāng)時(shí)，，依題意有,故，此時(shí)，取得極大值，所以；
(2)當(dāng)時(shí),，若在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，
設(shè)，只需，即；
(3) 若證不等式，設(shè)，可證當(dāng)時(shí)，恒成立，
在上恒正,
在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),恒有
即當(dāng)時(shí),有
故對(duì)任意正整數(shù)，不等式成立．
【變式1-1】2023·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，其中和是實(shí)數(shù)，曲線恒與軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)．
求常數(shù)的值；
當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
求證：．
【答案】(1) ；(2) ；(3) 詳見解析【詳解】. 試題解析：
(1) 對(duì)求導(dǎo)得：，根據(jù)條件知，所以.
(2) 由(1)得，
.
①當(dāng)時(shí)，由于，有，于是在上單調(diào)遞增，從而，因此在上單調(diào)遞增，即而且僅有；
②當(dāng)時(shí)，由于，有，于是在上單調(diào)遞減，從而，因此在上單調(diào)遞減，即而且僅有；
③當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，，于是在上單調(diào)遞減，從而，因此在上單調(diào)遞減，即而且僅有；綜上
(3) 對(duì)要證明的不等式等價(jià)變形如下：
所以可以考慮證明：對(duì)于任意的正整數(shù)，不等式恒成立. 并且繼續(xù)作如下等價(jià)變形
對(duì)于相當(dāng)于（2）中，情形，有在上單調(diào)遞減，即而且僅有.
取，當(dāng)時(shí)，成立；
當(dāng)時(shí)，.
從而對(duì)于任意正整數(shù)都有成立.
對(duì)于相當(dāng)于（2）中情形，對(duì)于任意，恒有而且僅有. 取，得：對(duì)于任意正整數(shù)都有成立.
因此對(duì)于任意正整數(shù)，不等式恒成立.
這樣依據(jù)不等式，再令利用左邊，令 利用右邊，即可得到成立.
【變式1-2】（2023上·河南南陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）（1）已知函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；
（2）設(shè)為大于1的整數(shù)，證明：.
【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，證明見解析；
（2）證明見解析
【分析】（1）求得函數(shù)的定義域后，判定出函數(shù)為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可證明其單調(diào)性；（2）把不等式變形為，兩邊取對(duì)數(shù)后，根據(jù)的單調(diào)性即可證明；也可以兩邊取對(duì)數(shù)后把不等式變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?br>函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
證明：，∴則為上的偶函數(shù).
，，故，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）（證法一）要證明，需證明即證明，
即，由（1）可知即證.
∵且在單調(diào)遞增，∴
所以對(duì)，成立.
（證法二）要證明,即證明，
即證，即證，
設(shè)函數(shù)，，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增又，∴，
即成立，故原不等式成立.
【變式1-3】（2017下·黑龍江大慶·高三大慶中學(xué)校已知函數(shù)；
(1)若函數(shù)在上為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最值；
(3)當(dāng)時(shí)，對(duì)大于1的任意正整數(shù)，試比較與的大小關(guān)系．
【答案】(1)(2)函數(shù)在區(qū)間上的最大值是，最小值是0(3)
【分析】（1）求導(dǎo)，由題意可得對(duì)恒成立，再利用參變分離運(yùn)算求解；（2）將代入，求導(dǎo)，得到的單調(diào)區(qū)間，從而求的最值；（3）由（1）得的單調(diào)性，令，可得，運(yùn)算整理證出結(jié)論．
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以對(duì)恒成立，
所以對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，所以.
（2）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)，，故在上單調(diào)遞增，
所以在區(qū)間上有唯一極小值點(diǎn)，故，
又∵，，
因?yàn)?，所以，?br>所以在區(qū)間上的最大值是
綜上可知：函數(shù)在區(qū)間上的最大值是，最小值是0.
（3）由（1）可知：當(dāng)時(shí)， 在上為增函數(shù).
當(dāng)時(shí)，，則
即，即
當(dāng)時(shí)，對(duì)大于1的任意正整數(shù)，有
題型04 數(shù)列不等式：無限和裂項(xiàng)型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·呼市二中校考一模）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的極值；
(2)求證：．
【答案】(1)①當(dāng)時(shí)，沒有極值；②當(dāng)時(shí)，有極大值，無極小值.
(2)證明見解析
【分析】（1）求定義域后求，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)分類討論與時(shí)單調(diào)性進(jìn)而分析的極值.
（2）運(yùn)用對(duì)進(jìn)行放縮及對(duì)數(shù)運(yùn)算公式即可證明.
【詳解】（1），則定義域?yàn)椋?br>.
①當(dāng)時(shí)，恒成立，則為上的增函數(shù)，所以沒有極值.
②當(dāng)時(shí)，由，得；由，得.
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
故當(dāng)時(shí)，有極大值，無極小值.
綜述：①當(dāng)時(shí)，沒有極值；
②當(dāng)時(shí)，有極大值，無極小值.
（2）證明：取m＝1，由（1）知在上單調(diào)遞減，所以.
即,.
令，得，即，
分別取k＝n＋1，n＋2，…，n＋（n＋1），，
可得．
即成立．
【典例1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)證明: ．
【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析
【分析】（1）求得，分和，兩種情況討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1），根據(jù)題意，得到，即，當(dāng)時(shí)，結(jié)合，，，，將不等式累加后，即可求解.
【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得的定義域?yàn)椋?br>且
若，可得，在上單調(diào)遞減；
若，令，因?yàn)?，可得?br>當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
綜上可得：當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.
（2）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，
所以，所以，即，
當(dāng)時(shí)，可得：，將不等式累加后，
可得
，即.
【變式1-1】（2023上·浙江·高三浙江省富陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)）.
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)對(duì)任意，證明：.
【答案】(1)答案見解析(2)(3)證明見解析
【分析】（1）討論，由的正負(fù)確定單調(diào)性；
（2）記，由得，討論與1大小關(guān)系，驗(yàn)證是否成立；
（3）由（2）知，，令得，累加得證.
【詳解】（1）
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）記，由題知時(shí)恒成立，
由得，
，由（1）知：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
若，則，故在上單調(diào)遞增，所以恒成立；
若，則，故，
由于，
因此，故不能恒成立.
綜上得.
（3）證明：由知，令，
所以，即
所以，
故，
即.
【變式1-2】（2023上·福建廈門·高三廈門市湖濱中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù).
(1)若不等式在區(qū)間內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)求證：（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求定函數(shù)的最值問題；
（2）根據(jù)第一問，合理構(gòu)造，利用不等式的性質(zhì)合理變形達(dá)到證明的目的.
【詳解】（1）因?yàn)?，，所以?br>令，又，令解得，
時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，
所以當(dāng)時(shí)函數(shù)有最大值，且最大值為，所以.
（2）由（1）知，所以，
所以
，
又
，
所以，
即.
【變式1-3】（2023上·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，．
(1)若函數(shù)在R上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；
(2)已知，，，，求證：；
(3)證明：．
【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析
【分析】（1）由函數(shù)單調(diào)遞減得恒成立，分離參數(shù)法可得；
（2）利用導(dǎo)數(shù)得函數(shù)單調(diào)性，由單調(diào)性證明不等式即可；
（3）利用（2）結(jié)論，逐個(gè)賦值后累加法可證.
【詳解】（1）對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立．
因?yàn)?，則．
（2），只需證明．
令，，
則在單調(diào)遞減，則，
又，則，即成立，得證．
（3）由（2）知，令，則有，
即，，
，…，，
累加可得，
故，從而命題得證．
題型05 數(shù)列不等式：累積相消型
【解題攻略】
【典例1-1】（2022貴州銅仁·高三貴州省銅仁第一中學(xué)階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)若a＝－1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(diǎn)(2，f(2))處的切線的傾斜角為45°，對(duì)于任意的t∈[1,2]，函數(shù)g(x)＝x3＋x2 (是f(x)的導(dǎo)函數(shù))在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；
(3)求證：×…×< (n≥2，n∈N*)
【答案】（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，不是單調(diào)函數(shù)；（2）；（3）證明見解析.
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，解不等式得增區(qū)間，解得減區(qū)間；
（2）由切線斜率求得參數(shù)，的不單調(diào)轉(zhuǎn)化為在上有解，然后根據(jù)零點(diǎn)存在定理得條件結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解；
（3）由（1）單調(diào)性得，可得出（），個(gè)式子相乘可證結(jié)論．
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，()，
解得；解得，的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為 ；
（2） ∵，∴得，，，∴
∵在區(qū)間上總不是單調(diào)函數(shù)，且，∴，
由題意知：對(duì)于任意的，恒成立，
所以，，∴.
（3）證明如下： 由（1）可知
當(dāng)時(shí)，即，
∴對(duì)一切成立．
∵，則有，∴.
.
【典例1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)若，求的值；
(2)證明：當(dāng)且時(shí)，．
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用成立，求出；
（2）由（1），當(dāng)時(shí)，即，令，則有，可得，累乘可證得結(jié)果.
【詳解】（1）由題意知，，，
①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)時(shí)，，不合題意；
②當(dāng)時(shí)，由得，，則在上單調(diào)遞增，
由得，，則在上單調(diào)遞減，
所以，，不合題意；
③當(dāng)時(shí)，由得，，則在上單調(diào)遞增，
由得，，則在上單調(diào)遞減，
所以，對(duì)于任意的，，符合題意；
④當(dāng)時(shí)，由得，，則在上單調(diào)遞增，
由得，，則在上單調(diào)遞減，
所以，，不合題意．
綜上所述，．
（2）由（1）知，時(shí)，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
令，其中且，則有，
又，所以，，即
所以．所以，原不等式得證．
【變式1-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，
(1)若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)求證： .
【答案】(1)(2)見解析
【分析】(1)求出的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定的具體范圍即可；
(2)得到，令，得， 取不同的值，相乘即可．
【詳解】（1）
因?yàn)閷?duì)任意的恒成立，
設(shè) ，所以在恒成立，
設(shè)，
在恒成立，所以在上為增函數(shù)，
所以在恒成立，所以函數(shù)為增函數(shù)；
所以，所以的取值范圍為.
（2）（2）由（1）知，令，，
∴當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)
令，則
即，， ，，，
將上述個(gè)式子相乘得：，∴原命題得證
【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)整數(shù)，，且，函數(shù)．
(1)求證：；
(2)求證：．
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而求證結(jié)論；
（2）由（1）結(jié)論（伯努利不等式）有，令，放縮，累乘即可證結(jié)論.
【詳解】（1）由，
∵，，∴單調(diào)遞增．
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．
∴．
（2）由（1）知，，令，，
得，
∴．
【變式1-3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.
(1)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)求證：.
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）等價(jià)于，即，記，只要證明即可，分，和三種情況討論函數(shù)的最值，從而可得出答案；
（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，在上成立，即，令，則，由此即可證得結(jié)論.
【詳解】（1）解：等價(jià)于，即，
記，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
由，，所以，即不恒成立；
當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
則，所以不恒成立；
當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞減，所以，
所以，即恒成立，
所以在上恒成立，實(shí)數(shù)的取值范圍是；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，在上成立，即，
令，則，
所以
，所以.
題型06 數(shù)列不等式：取對(duì)數(shù)型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求證：當(dāng)時(shí)，；
(2)已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，求證：，．
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析
【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)和，求導(dǎo)即可求解，
（2）由（1）可知：當(dāng)時(shí)，，．取，可得，利用“累加求和”即可證明不等式的右邊部分．由（1）可知：當(dāng)時(shí)，，．取，則，利用“累加求和”即可證明不等式的左邊部分．
【詳解】（1）令，則，
故在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，，
即成立．令，則，
∴在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，，
即成立．綜上所述，當(dāng)時(shí)，成立．
（2）由（1）可知：，．取，，，．
，，
，．
由（1）可知：當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立．
取，，，．則，，，
，
，．
綜上可得：，．
【典例1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的圖象在處的切線方程；
(2)若任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)設(shè)，證明：．
【答案】(1)(2)(3)證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；
（2）將問題轉(zhuǎn)化為，令，用導(dǎo)數(shù)法求其最大值即可.
（3）易知，易知在上恒成立，令得到證明.
【詳解】（1）解：，∴，∴切線方程為．
（2），
令，則．
令，則．
①當(dāng)，即時(shí)，恒成立，∴單調(diào)遞增．
∴，∴，∴單調(diào)遞增，
從而，不符合題意．
②當(dāng)，即時(shí)，恒成立，∴單調(diào)遞減．
∴，∴，∴單調(diào)遞減，從而，符合題意．
③當(dāng)，即時(shí)，由，，
∴在上存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，
∴單調(diào)遞增，∴，不符合題意．
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，，∴．
又令，求導(dǎo)，得，
∴單調(diào)遞減，
從而，即在上恒成立．
令，得．
∴．
即，
∴，于是得證．
【變式1-1】（2023上·江蘇淮安·高三金湖中學(xué)校聯(lián)考）已知函數(shù)．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，；
(3)設(shè)為整數(shù)，若對(duì)于成立，求的最小值．
【答案】(1)(2)證明見解析(3)3
【分析】（1）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義運(yùn)算求解；
（2）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性和最值；
（3）結(jié)合（2）可得：，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可得，結(jié)合恒成立問題分析求解.
【詳解】（1）由題意可得：，則，，
即切點(diǎn)坐標(biāo)為，斜率，
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．
（2）當(dāng)時(shí)，，可知的定義域?yàn)椋遥?br>令，解得．列表如下：
可知當(dāng)時(shí)，取最小值，
所以．
（3）由（2）可知：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
令，則，
可得，
即，
所以．
當(dāng)時(shí)，,
所以對(duì)于任意，成立時(shí)，整數(shù)的最小值為3．
【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的函數(shù)
（1）討論的單調(diào)性；
（2）證明：當(dāng)時(shí)，
【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.
【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分和兩類分別討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由（1）知，即，利用累加法可證得命題成立．
【詳解】（1）由得
知當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減.
（2）由（1）知時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，即有，，
以上各式相加得，
【變式1-3】（2023·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)
(1)若單調(diào)遞增，求a的值；
(2)判斷（且）與的大小，并說明理由.
【答案】(1)(2)，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，由單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為恒成立，然后分，，討論，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由（1）可得時(shí)，，然后再由放縮，裂項(xiàng)即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）由可得，，
由于函數(shù)單調(diào)遞增，則恒成立，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，可知時(shí)，，不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
又因?yàn)?，即，不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，
由可得，，令，則，
可知時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
則，由于恒成立，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
故函數(shù)單調(diào)遞增時(shí)，實(shí)數(shù)的值為.
（2）.理由如下：由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，即有，
則時(shí)，，故當(dāng)且時(shí)，
，
因?yàn)闀r(shí)，，
所以，
則，所以
題型07 虛設(shè)根型證不等式
【解題攻略】
【典例1-1】已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意的，．
【答案】(1)見解析(2)見解析
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間；（2）將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)討論最值即可求解.
【詳解】（1）由題可知函數(shù)的定義域?yàn)?，
，即，
(i)若，則在定義域上恒成立，
此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；
(ii) 若，令，即，解得,令，即，解得,
所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.綜上，時(shí)，在上單調(diào)遞增；
時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時(shí)，，
要證明，只用證明，令，，
令，即，可得方程有唯一解設(shè)為，且，所以，
當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下，
所以，因?yàn)椋驗(yàn)?，所以不取等?hào)，
即，即恒成立，所以，恒成立，得證.
【變式1-1】（2023上·福建福州·高三校聯(lián)考）設(shè)函數(shù)．
(1)求時(shí)，的單調(diào)區(qū)間；
(2)求證：當(dāng)時(shí)，．
【答案】(1)單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，即可得到其單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，結(jié)合隱零點(diǎn)的處理方法，即可得證.
【詳解】（1）時(shí)，的定義域?yàn)椋?br>∴，令，則，
∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．
（2）證明：的定義域?yàn)榍遥?br>當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，
又，假設(shè)存在滿足 時(shí)，且，
當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)該零點(diǎn)為，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)取得最小值，
由于，即，兩邊取對(duì)數(shù)得，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取等號(hào)，
故時(shí)，．
【變式1-2】（2024上·陜西安康·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，令，若為的極大值點(diǎn)，證明：.
【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.
【分析】（1）對(duì)參數(shù)分類討論，根據(jù)不同情況下導(dǎo)函數(shù)函數(shù)值的正負(fù)，即可判斷單調(diào)性；
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，求得的范圍，滿足的條件，以及，根據(jù)的范圍夾逼的范圍即可.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
又，所以存在，使得，
且當(dāng)；
又當(dāng)；
故當(dāng)6.，；當(dāng)，；當(dāng)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，故，且，所以，
，
又在單調(diào)遞減，所以.
【變式1-3】（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù),.
(1)判斷的單調(diào)性;
(2)若, 求證:,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．(2)證明見詳解
【分析】（1）求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可求解函數(shù)的單調(diào)性，
（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，即可求解最值，進(jìn)而可證明.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，；
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）證明：令，則，
令，則，顯然在上單調(diào)遞增．
又，，故存在唯一的，使得．
從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
又，兩邊取對(duì)數(shù)得，故，
，
故在上單調(diào)遞增，所以，得證．
題型08 利用函數(shù)“凸凹反轉(zhuǎn)性”證明不等式
【解題攻略】
【典例1-1】（2023上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第十三中學(xué)校?？迹┮阎瘮?shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當(dāng)時(shí)，.
【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)進(jìn)行分類討論，判斷的正負(fù)作答即可；
（2）把代入不等式，化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)求導(dǎo)，并求出其最小值為，即可判斷原不等式成立.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域是，可得.
當(dāng)時(shí)，可知，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，由得，
可得時(shí)，有，時(shí)，有，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）證明：當(dāng)時(shí)，要證成立，
只需證成立，只需證即可.因?yàn)椋桑?）知，.
令，則，
可得時(shí)，有；時(shí)，有，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
可知，則有，所以有，
所以當(dāng)時(shí)，成立.
【典例1-2】已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：．
【解析】解：（1）由題意得，恒成立對(duì)恒成立，令，
則，當(dāng)時(shí)，，故在上是增函數(shù)，
故當(dāng)時(shí)，；故若使恒成立對(duì)恒成立，
則只需使；
（2）證明：；令，；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；
即在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，（1）①．
令，，故在上是減函數(shù)，在上為增函數(shù)；
故（2）②．故由①②可得，．
【變式1-1】（2021上·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，．
（Ⅰ）討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）若，證明：．
【答案】（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ）證明見解析.
【分析】（Ⅰ）分，進(jìn)行討論，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可求解；
（Ⅱ）由結(jié)合（Ⅰ）可得，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得證．
【詳解】（Ⅰ）由題可知，．
當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，解得．
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減．
綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）證明：若，則由（Ⅰ）可知，在處取得極大值，
．
令．，，
函數(shù)在上單調(diào)遞減．
又，，
．
【變式1-2】已知，
（1）對(duì)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）證明：對(duì)一切，都有．
【解析】解：（1），則，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
（1），
對(duì)一切，恒成立，
．
證明：（2）問題等價(jià)于證明，
由（1）可知，的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得．
設(shè)，則，
由題意得（1），
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，從而對(duì)一切，都有成立．
【變式1-3】已知函數(shù)f（x）＝ax2﹣xlnx．
（I）若f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若a＝e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），證明：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜xex+．
【分析】（Ⅰ）先求導(dǎo)，再分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用到導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可得到a的取值范圍，
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜xex+．不等式等價(jià)于lnx+＞ex﹣ex，分別構(gòu)造函數(shù)h（x）＝lnx+，φ（x）＝ex﹣ex，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可證明
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
∴f′（x）＝2ax﹣1﹣lnx≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴2a≥在（0，+∞）上恒成立，設(shè)g（x）＝，∴g′（x）＝﹣，
令g′（x）＝0，解得x＝1，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
∴g（x）max＝g（1）＝1，∴2a≥1，∴a≥，故a的取值范圍為[，+∞），
證明（Ⅱ）當(dāng)a＝e時(shí)，要證f（x）＜xex+，即證ex2﹣xlnx＜xex+，
∵x＞0，則需要證ex﹣lnx＜ex+，即證lnx+＞ex﹣ex，設(shè)h（x）＝lnx+，
∴h′（x）＝﹣＝，x＞0，當(dāng)x∈（0，）時(shí)，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增，∴h（x）min＝h（）＝0，∴h（x）≥0，
即lnx+≥0，
再設(shè)φ（x）＝ex﹣ex，∴φ′（x）＝e﹣ex，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，φ′（x）＞0，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，φ′（x）＜0，函數(shù)φ（x）單調(diào)遞減，
∴φ（x）max＝φ（1）＝0，∴φ（x）≤0，即ex﹣ex≤0，∵h(yuǎn)（x）和φ（x）不同時(shí)為0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，lnx+＞ex﹣ex，故原不等式得以證明．
題型09 同構(gòu)型不等式證明
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
(2)當(dāng)時(shí)，求證：．
【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析
【分析】（1）分類討論求解函數(shù)的極值即可.
（2）首先將題意轉(zhuǎn)化為．令，即證：，再構(gòu)造函數(shù)，求其最小值即可證明.
【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，
故函數(shù)不存在極值；
當(dāng)時(shí)，令，得，
故，無極小值.
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)不存在極值；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，，不存在極小值．
（2）顯然，要證：，
即證：，即證：，
即證：．
令，故只須證：．
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
即，所以，從而有．
故，即．
【典例1-2】（2023上·安徽馬鞍山·高三馬鞍山二中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)試判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并說明理由；
(2)證明：.
【答案】(1)兩個(gè)，理由見解析(2)證明見解析
【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，討論其單調(diào)性后結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）方法一，令，則等價(jià)于，令，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過函數(shù)的最值判斷證明即可；
方法二：令，則等價(jià)于，令，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過函數(shù)的最值判斷證明即可.
【詳解】（1）的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，恒有，故在內(nèi)沒有零點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，由得，令得，令得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，
故存在，，使得，，所以在兩個(gè)零點(diǎn).
綜上，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).
（2）方法一：令，則時(shí)，，且.于是等價(jià)于，
令，可得，令，可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是減函數(shù)，
所以時(shí)，函數(shù)取得最大值：，所以，即.
方法二：令，則，于是等價(jià)于，
即，令，則有.令，即，解得；
令，即，解得，所以在單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
所以，即.所以，即.
【變式1-1】（2023·四川遂寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，，
(1)試討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，證明恒成立.
【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，利用分類討論思想，可得答案；
（2）利用放縮法，整理不等式，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合換元法與導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，可得答案.
【詳解】（1）∵，∴.
（i）當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；
（ii）當(dāng)時(shí)，令，得，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時(shí)，，
要證，只需證，即證，即證，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以因此，
所以從而，所以當(dāng)時(shí)恒成立.
【變式1-2】已知，，．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
(2)當(dāng)時(shí)，求證：．
【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析
【分析】（1）分類討論求解函數(shù)的極值即可.
（2）首先將題意轉(zhuǎn)化為．令，即證：，再構(gòu)造函數(shù)，求其最小值即可證明.
【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，
故函數(shù)不存在極值；
當(dāng)時(shí)，令，得，
故，無極小值.
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)不存在極值；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，，不存在極小值．
（2）顯然，要證：，
即證：，即證：，
即證：．
令，故只須證：．
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
即，所以，從而有．
故，即．
題型10 雙變量型構(gòu)造
【典例1-1】（2022貴州黔東南·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).
(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)對(duì)，且，證明：.
【答案】(1)見解析；(2)見解析.
【分析】（1）的定義域?yàn)?，且，?duì)分類討論，明確函數(shù)的單調(diào)性；
（2）要證：只需證： 即證：. 設(shè)，研究函數(shù)的單調(diào)性即可.
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋遥?br>①當(dāng)時(shí)，對(duì)，有，故函數(shù)在單調(diào)遞增；
對(duì)，有，故函數(shù)在單調(diào)遞減．
②當(dāng)時(shí)，對(duì)，有，函數(shù)在單調(diào)遞減；
對(duì)，有，函數(shù)在單調(diào)遞增．
（2）對(duì)且，要證：只需證： 即證：.
設(shè)，則當(dāng)時(shí)，有，
故函數(shù)在單調(diào)遞減．又，且，
所以，即． 成立故原不等式成立．
【典例1-2】（2023上·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)已知m，n是正整數(shù)，且，證明．
【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)為0，結(jié)合定義域?qū)M(jìn)行討論即可；
（2）兩邊取對(duì)數(shù)，整理后，構(gòu)造函數(shù)，證明為上的減函數(shù)，即可求解.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，的減區(qū)間為，無增區(qū)間；
②當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，
所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為．
綜上，當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，無增區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為．
（2）兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，證明不等式成立等價(jià)于證明，
即證明，
構(gòu)造函數(shù)，
令，由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，故，
所以，所以為上的減函數(shù)，
因?yàn)椋?，即，即?br>【變式1-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，試證明．
【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）證明見解析.
【分析】（1）由題可求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)可求；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性可證.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以．
令，得；令，得．
所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．
（2）由（1）知在上單調(diào)遞減，
所以時(shí)，，
即，
所以，即．
【變式1-2】（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
（1）求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增；
（2）設(shè)，求證：．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)法，證明時(shí)，即可；
（2）不妨設(shè)，利用作差法得到，然后令，轉(zhuǎn)化為，利用其在上單調(diào)性證明.
【詳解】（1）由題意知，，，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增．
（2）不妨設(shè)，
則，
令，則．由（1）知在上單調(diào)遞增，，
∵，∴．又，∴．
【變式1-3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
（1）若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍；
（2）設(shè)，且，求證.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)并解不等式，轉(zhuǎn)化為二次不等式在上恒成立問題；
（2）將所證不等式轉(zhuǎn)化為構(gòu)造為主元的不等式，再構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明；
【詳解】解：（1），
因?yàn)樵谏蠟閱握{(diào)增函數(shù)，所以在上恒成立
即在上恒成立，
當(dāng)時(shí)，由，
得：，設(shè)，
則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，有最小值2，
所以，解得，所以的取值范圍是；
（2）設(shè)，要證，只需證，即，即，
設(shè)，由（1）知在上是單調(diào)增函數(shù)，又，
所以，即成立，得到.
題型11 極值點(diǎn)偏移型：和型證明
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，．
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)證明：．
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）由，有，令，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，求的取值范圍得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）由，得，證明，得，從而．
【詳解】（1）有兩個(gè)兩側(cè)異號(hào)的零點(diǎn)，又，于是，
令，則，令，則.
當(dāng)時(shí)，，于是，
所以在單調(diào)遞減且，
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，
又，所以當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增.
又且，，所以.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
（2）因?yàn)椋?，于是，從而?br>下面證明，即證明，令，即證明，即證明，
令，.所以在單調(diào)遞增，所以.
從而.所以，于是，由(1)知，從而．
【典例1-2】（2023·山西·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)若，求的取值范圍；
(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的正實(shí)根，證明：.
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）對(duì)不等式參變分離，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求的最大值可解；
（2）將變形為，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性將方程轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論其性質(zhì)，結(jié)合圖象可得，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性，并令，可得，最后由作差整理可證.
【詳解】（1）的定義域?yàn)?，由，?
設(shè)，則.由，得，由，得，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而.
故，即的取值范圍是.
（2）證明：由，得，即，即.
設(shè)，則等價(jià)于.易證在上單調(diào)遞增，則，即.設(shè)，則.由，得，由，得，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
從而，且，
當(dāng)x趨于時(shí)，趨于0.
方程有兩個(gè)不同的正實(shí)根，不妨設(shè)，
由圖可知，.設(shè)
則在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，?
設(shè)，則，即，則.
因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不同的正實(shí)根，所以，作差得.
因?yàn)椋?，所以，則，故.
【變式1-1】（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，且，證明：，且．
【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析
【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，分和兩種情況，得到函數(shù)的單調(diào)性；
（2）變形為是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)，得到其單調(diào)性和極值最值情況，結(jié)合圖象得到，再構(gòu)造差函數(shù)，證明出.【詳解】（1）的定義域?yàn)镽，
由題意，得，，當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)，且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．
（2）證明：由，得，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
即是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．令，則，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，所以．
不妨設(shè)，因?yàn)?，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則．
要證，只需證．因?yàn)?，，所以只需證．
因?yàn)?，所以只需證．今，，
則在恒成立．
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即當(dāng)時(shí)，．
所以，即成立．
【變式1-2】（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．若函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)．
(1)求a的取值范圍；
(2)證明：．
【答案】(1)；(2)證明見詳解.
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理計(jì)算即可；
（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性與最值即可證明.
【詳解】（1）由題意可知：，
若，則恒成立，即單調(diào)遞增，不存在兩個(gè)不等零點(diǎn)，故，
顯然當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以若要符合題意，需，此時(shí)有，且，
令，而，即在上遞減，故，所以，又，
故在區(qū)間和上函數(shù)存在各一個(gè)零點(diǎn)，符合題意，綜上；
（2）結(jié)合（1），不妨令，構(gòu)造函數(shù)，
則，即單調(diào)遞減，所以，
即，因?yàn)椋裕?br>由（1）知在上單調(diào)遞增，所以由，故.
題型12 極值點(diǎn)偏移型：積型證明
【解題攻略】
【典例1-1】（2023上·河南·高三南陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)若有唯一極值，求的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，若，，求證：.
【答案】(1)；(2)證明見解析.
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分析極值點(diǎn)情況即可得解.
（2）由（1）的信息可設(shè)，再構(gòu)造函數(shù)，探討函數(shù)的單調(diào)性推理即得.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，若，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，不符合題意；
若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，不符合題意；
若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，2是函數(shù)的極大值點(diǎn)，且是唯一極值點(diǎn)，
所以的取值范圍是.
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
由，，不妨令，
要證，只證，即證，就證，
令，求導(dǎo)得
，于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，，
而，則，即，又，
因此，顯然，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，
所以.
【典例1-2】（2023上·陜西漢中·高三西鄉(xiāng)縣第一中學(xué)校聯(lián)考）已知函數(shù)，.
(1)求函數(shù)的極值；
(2)若，求函數(shù)的最小值；
(3)若有兩個(gè)零點(diǎn)，，證明：.
【答案】(1)極大值為，無極小值(2)(3)證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)后解不等式、即可求得極值.
（2）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，進(jìn)而可求得其最小值.
（3）由已知可得，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性可得，構(gòu)造函數(shù)并研究其單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)并研究其單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，依次結(jié)合函數(shù)、的單調(diào)性即可證得結(jié)果.
【詳解】（1）由題意知函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以在處取得極大值，極大值為，無極小值.
（2）由題意知函數(shù)的定義域?yàn)?，
則，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
所以.
（3）不妨設(shè)，則由（2）知，.設(shè)，由，得，即，
因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，所以成立.
構(gòu)造函數(shù)，則，
，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
構(gòu)造函數(shù)，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，
所以，又在上單調(diào)遞減，所以，即.
【變式1-1】（2023上·重慶渝中·高三統(tǒng)考）已知函數(shù)．
(1)若函數(shù)是減函數(shù)，求的取值范圍；
(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，且，證明：．
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）在上恒成立，參變分離在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)求出的最大值，從而求出的取值范圍；
（2）由零點(diǎn)得到，令，從而得到，，，構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，從而證明出結(jié)論.
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?br>，
函數(shù)是減函數(shù)，故在上恒成立，
即在上恒成立，令，，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
故在處取得極大值，也是最大值，且，故，解得，故的取值范圍是；
（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，則，得．
，令，則，故，
則，
，
令，則，
令，則，
在上單調(diào)遞增，
，
，則在上單調(diào)遞增，
，即，故.
【變式1-2】（2023上·江蘇連云港·高三江蘇省海州高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍并證明.
【答案】(1)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(2)，證明見解析
【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，以及零點(diǎn)的存在性定理求解；
（2）根據(jù)題意可得有兩個(gè)不同實(shí)根，進(jìn)而可得，兩式相加得，兩式相減得，從而有，進(jìn)而要證，只需證，即證，
構(gòu)造函數(shù)即可證明.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?br>所以函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
（2）方程有兩個(gè)不同實(shí)根，等價(jià)于有兩個(gè)不同實(shí)根，
得，令，則，令，解得；令，解得；
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，
由，得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)?shù)拇笾聢D象如圖所示，
所以當(dāng)，即時(shí)，有兩個(gè)不同實(shí)根；
證明：不妨設(shè)且兩式相加得，兩式相減得，
所以，要證，只需證，
即證，設(shè)，令，
則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
所以，即，所以，原命題得證.
題型13 極值點(diǎn)偏移型：平方型證明
【典例1-1】（2023下·遼寧·高三統(tǒng)考）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且，，，證明：.
【答案】(1)結(jié)論見解析；(2)證明見解析.
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再按分類探討的正負(fù)作答.
（2）等價(jià)變形給定等式，結(jié)合時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，由，，再構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)、均值不等式推理作答.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得則，由得，
若，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，
若，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）由，兩邊取對(duì)數(shù)得，即，
由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，而，時(shí)，恒成立，
因此當(dāng)時(shí)，存在且，滿足，
若，則成立；
若，則，記，，
則，
即有函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，
于是，
而，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，即，
又，則有，則，
所以.
【典例1-2】（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性：
(2)若是方程的兩不等實(shí)根，求證：；
【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析
【分析】（1）求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)和分類討論，即可得出函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由可得，是方程的兩不等實(shí)根，從而可將問題轉(zhuǎn)化為是方程的兩不等實(shí)根，即可得到和的范圍，原不等式等價(jià)于，即極值點(diǎn)偏移問題，根據(jù)對(duì)稱化構(gòu)造（解法1）或?qū)?shù)均值不等式（解法2）等方法即可證出．
【詳解】（1）由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)?
由得：，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，由得，由得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）因?yàn)槭欠匠痰膬刹坏葘?shí)根，，
即是方程的兩不等實(shí)根，
令，則，即是方程的兩不等實(shí)根.
令，則，所以在上遞增，在上遞減，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，且.所以0，即0.
令，要證，只需證，
解法1（對(duì)稱化構(gòu)造）：令，
則，令，
則，
所以在上遞增，，所以h，所以，
所以，所以，即，所以.
解法2（對(duì)數(shù)均值不等式）：先證，令，
只需證，只需證，
令，
所以在上單調(diào)遞減，所以.因?yàn)?，所以?br>所以，即，所以.
【變式1-1】（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).
(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若有2個(gè)不同的零點(diǎn)（），求證：.
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）求解函數(shù)定義域，參變分離得到，構(gòu)造，利用導(dǎo)函數(shù)得到其單調(diào)性，極值和最值情況，得到；
（2）轉(zhuǎn)化為有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，構(gòu)造，得到其單調(diào)性，得到，且，求出，換元后即證，構(gòu)造，求導(dǎo)后得到在上單調(diào)遞增，，得到證明.
【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以成立，等價(jià)于成立.
令，則，
令，則，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，
又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以在處取極大值也是最大值.因此，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（2）有2個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.
令，則，當(dāng)時(shí)，解得.所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在處取極大值為.
又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
且時(shí)，.所以，且.
因?yàn)槭欠匠痰?個(gè)不同實(shí)數(shù)根，即.將兩式相除得，
令，則，，變形得，.
又因?yàn)椋?，因此要證，只需證.
因?yàn)?，所以只需證，即證.
因?yàn)?，即證.令，則，
所以在上單調(diào)遞增，，
即當(dāng)時(shí)，成立，命題得證.
【變式1-2】（2023上·云南·高三云南師大附中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，．
(1)若，求的取值范圍；
(2)證明：若存在，，使得，則．
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)后可得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可求最大值，從而可求參數(shù)的取值范圍.
（2）利用極值點(diǎn)偏移可證，結(jié)合不等式放縮可證.
【詳解】（1），，令，解得，
所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，
所以，要使，則有，而，故，所以的取值范圍為．
（2）證明：當(dāng)時(shí)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，設(shè)，所以，，
①若，則，成立；
②若，先證，此時(shí)，
要證，即證，即，，令，，
，
所以在(1,2)上單調(diào)遞增，所以，即，，所以，
因?yàn)椋?，所以?br>即．
題型14 三角函數(shù)型不等式證明
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).
(1)證明：；
(2)當(dāng)時(shí)，證明不等式，在上恒成立.
【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析.
【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)分析的單調(diào)性，即可得到，即可證明；
（2）令，求導(dǎo)，根據(jù)放縮的思路得到，然后利用在上的單調(diào)性即可證明.
【詳解】（1）證明：，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴.
（2）令，則，
由（1）可得，即，
又，所以，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，則，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即，
所以當(dāng)時(shí)，不等式，在上恒成立.
【典例1-2】（2023·四川資陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作曲線的切線l，求l的方程；
(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意，證明：．
【答案】(1)或(2)證明見解析
【分析】（1）易知不在上，設(shè)切點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，將代入求出對(duì)應(yīng)，即可求解對(duì)應(yīng)切線方程；
（2）構(gòu)造，求得，再令，通過研究正負(fù)確定單調(diào)性，再由正負(fù)研究最值，進(jìn)而得證.
【詳解】（1）由題，時(shí)，，，
設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，
該切線過點(diǎn)，則，即，
所以或．又；；，．
所以，切線方程為或；
（2）設(shè)，則，
令，則，
可知，時(shí)，；時(shí)，，
故時(shí)均有，則即在上單調(diào)遞增，，
因?yàn)闀r(shí)，則，，故在上單調(diào)遞增，
此時(shí)，．
所以，當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意，均有．
【變式1-1】（2022·新疆·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，
(1)若在處的切線為，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)當(dāng)，時(shí)，求證：
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義有，求解即可；
（2）將變形成，故只需證，用導(dǎo)數(shù)法證明即可
【詳解】（1）∵，∴，∴
（2）要證，即證，只需證，因?yàn)?，也就是要證，令，
∵，∴
∴在為減函數(shù)，∴，
∴，得證
【變式1-2】設(shè)函數(shù)，，.
(1)求的最小值，并證明：；
(2)若不等式：成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)，證明見解析(2)
【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求最值，結(jié)合單調(diào)性，即可證明，
（2）根據(jù)和分類討論，結(jié)合第一問的結(jié)論和基本不等式即可求解.
【詳解】（1）由可得，令得，，
當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以，因?yàn)?，所以?br>因?yàn)闀r(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，化簡(jiǎn)得，；
（2）等價(jià)于，當(dāng)，因?yàn)?，所以，?br>所以，由（1）得，，
所以；當(dāng)時(shí)，，
即時(shí)，不成立，即不成立，
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
題型15 韋達(dá)定理代換型
【解題攻略】
【典例1-1】已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，若，求證：.
【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析
【分析】
（1）先把函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)并進(jìn)行化簡(jiǎn)，由題意知，，在對(duì)進(jìn)行討論即可得到答案.
（2）由（1）知在時(shí)，存在兩個(gè)極值點(diǎn)，利用韋達(dá)定理求出的關(guān)系式，并用分別表示出和，把代入中進(jìn)行化簡(jiǎn)，，所以可以求出最小值，即可證出.
（1）由題意可知，，
當(dāng)時(shí)，，則在是單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，若，即時(shí)，
若，即時(shí)，和時(shí)，時(shí)，，綜上，時(shí)，在是單調(diào)遞增；時(shí)，在和遞增，在遞減
（2）由題意可設(shè)，是的兩個(gè)根，則
（用分別表示出和），整理，得
，此時(shí)設(shè)，求導(dǎo)得
恒成立，
在上單調(diào)遞減，
【典例1-2】已知函數(shù)f（x）＝ln x＋ax2－x.
（1）若a＝－1，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）設(shè)f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若x1，x2是函數(shù)f′（x）的兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，求證：f（x1）＋f（x2）0，0，得到x1，x2是方程2ax2－x＋1＝0的兩個(gè)不相等正實(shí)根，利用根的分布，得到0

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