2024年新高考數(shù)學(xué)題型全歸納講義第二十三講圓錐曲線離心率歸類(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc21801" 題型01離心率基礎(chǔ) PAGEREF _Tc21801 \h 1
\l "_Tc5991" 題型02第一定義求離心率 PAGEREF _Tc5991 \h 2
\l "_Tc7802" 題型03中點(diǎn)型求離心率 PAGEREF _Tc7802 \h 3
\l "_Tc8399" 題型04點(diǎn)差法型求離心率（第三定義型） PAGEREF _Tc8399 \h 4
\l "_Tc4181" 題型05漸近線型離心率 PAGEREF _Tc4181 \h 5
\l "_Tc26270" 題型06漸近線中點(diǎn)型求離心率 PAGEREF _Tc26270 \h 6
\l "_Tc7142" 題型07構(gòu)造a、b、c齊次式型 PAGEREF _Tc7142 \h 7
\l "_Tc8088" 題型08焦半徑型離心率 PAGEREF _Tc8088 \h 7
\l "_Tc1558" 題型09焦點(diǎn)三角形求離心率 PAGEREF _Tc1558 \h 8
\l "_Tc10573" 題型10雙焦點(diǎn)三角形余弦定理型 PAGEREF _Tc10573 \h 9
\l "_Tc31037" 題型11焦點(diǎn)三角形雙角度型 PAGEREF _Tc31037 \h 10
\l "_Tc25503" 題型12共焦點(diǎn)型橢圓雙曲線離心率 PAGEREF _Tc25503 \h 11
\l "_Tc16663" 題型13借助均值不等式求共焦點(diǎn)型 PAGEREF _Tc16663 \h 12
\l "_Tc4423" 題型14焦點(diǎn)三角形內(nèi)心型求離心率 PAGEREF _Tc4423 \h 13
\l "_Tc27548" 題型15焦點(diǎn)三角形重心型求離心率 PAGEREF _Tc27548 \h 14
\l "_Tc11746" 題型16小題大做型求離心率 PAGEREF _Tc11746 \h 15
\l "_Tc7538" 高考練場(chǎng) PAGEREF _Tc7538 \h 16

題型01離心率基礎(chǔ)
【解題攻略】
【典例1-1】.P是橢圓上的一點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，軸，過點(diǎn)P作斜率為的直線恰好經(jīng)過左頂點(diǎn)，則橢圓的離心率為（）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2021秋·山西晉城·高三晉城市第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）雙曲線的離心率用來表示，則（）
A．在上是增函數(shù)B．在上是減函數(shù)
C．在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)D．是常數(shù)
【變式1-1】（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)相等的雙曲線稱為等軸雙曲線，則等軸雙曲線的離心率為（）
A．B．2C．D．3
【變式1-2】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，若，且，則橢圓C的離心率為（）
A．B．C．D．
【變式1-3】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為橢圓C上一點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為18，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為5，則橢圓C的離心率為（）．
A．B．C．D．
題型02第一定義求離心率
【解題攻略】
【典例1-1】已知橢圓的右焦點(diǎn)為F（5，0），點(diǎn)A，B為C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，，則C的離心率為___________.
【典例1-2】設(shè)橢圓 ()的一個(gè)焦點(diǎn)點(diǎn)為橢圓內(nèi)一點(diǎn),若橢圓上存在一點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍是（）
A.B.C.D.
【變式1-1】.橢圓的左右焦點(diǎn)分別為?，直線與交于A?兩點(diǎn)，若，，當(dāng)時(shí)，的離心率的最小值為（）
A．B．C．D．
【變式1-2】.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F（5，0），點(diǎn)A，B為C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，，則C的離心率為___________.
【變式1-3】.設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且恒成立，則橢圓的離心率的取值范圍為（）
A．B．C．D．
題型03中點(diǎn)型求離心率
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知雙曲線：的左，右焦點(diǎn)分別為，，正六邊形的一邊的中點(diǎn)恰好在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2021秋·福建廈門·高三福建省廈門集美中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交雙曲線的右支于，兩點(diǎn).點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且.若，則雙曲線的離心率是（）
A．2B．C．D．
【變式1-1】（2022春·陜西安康·高三統(tǒng)考）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)作傾斜角為的直線l交雙曲線C的右支于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，若，且雙曲線C的離心率為2．則（）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2021春·河北唐山·高三唐山市第十一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，分別在其左、右兩支上，且，為線段的中點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2022春·新疆·高三八一中學(xué)?？迹┰O(shè)，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)．若為右支上的一點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，，，則雙曲線的離心率為（）
A．B．C．D．
題型04點(diǎn)差法型求離心率（第三定義型）
【解題攻略】
【典例1-1】已知點(diǎn)是橢圓上的兩點(diǎn)，且線段恰好為圓的一條直徑，為橢圓上與不重合的一點(diǎn)，且直線的斜率之積為，則橢圓的離心率為____________．
【典例1-2】已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在直線上，則此橢圓的離心率為_______
【變式1-1】（2023·四川雅安·統(tǒng)考三模）已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于，點(diǎn)在雙曲線C上，橢圓E的焦點(diǎn)與雙曲線C的焦點(diǎn)相同，斜率為的直線與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)．若線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓E的方程為（）
A．B．
C．D．
【變式1-2】（2021秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知斜率為的直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為P，若直線OP的斜率為，則雙曲線C的離心率為（）
A．B．2C．D．3
【變式1-3】（2022秋·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第一中學(xué)?？迹┮阎p曲線的離心率為2，過點(diǎn)的直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P恰好是弦的中點(diǎn)，則直線的方程為（）
A．B．C．D．
題型05漸近線型離心率
【典例1-1】（2021秋·重慶南岸·高三重慶市南坪中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，若與雙曲線的左支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的離心率的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023春·黑龍江大慶·高三大慶中學(xué)校考開學(xué)考試）已知點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，則雙曲線的離心率為（）
A．B．2C．D．
【變式1-1】（2023秋·甘肅天水·高三?？迹┮阎p曲線：的漸近線方程為：，則該雙曲線的離心率為（）
A．B．C．2D．
【變式1-2】（2023·內(nèi)蒙古通遼·?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為（）
A．B．C．D．2
【變式1-3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線（，）與直線無公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的最大值是（）
A．B．2C．D．
.
題型06漸近線中點(diǎn)型求離心率
【典例1-1】（2021秋·陜西渭南·高三統(tǒng)考）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，過的直線分別交雙曲線C的兩條漸近線于點(diǎn)M、N.若點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，且，則雙曲線C的離心率為（）
A．B．C．2D．4
【典例1-2】（2023秋·河南安陽(yáng)·高三?？迹┮阎p曲線的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為A，兩條漸近線為.設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，且線段的中點(diǎn)恰好在上，則的離心率為（）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線與橢圓．過橢圓上一點(diǎn)作橢圓的切線l，l與x軸交于M點(diǎn)，l與雙曲線C的兩條漸近線分別交于N、Q，且N為MQ的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為（）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2022春·廣西南寧·高三南寧二中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，M為C的一條漸近線上一點(diǎn)，延長(zhǎng)FM交y軸于點(diǎn)N，直線AM經(jīng)過ON（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的中點(diǎn)B，且，則雙曲線C的離心率為（）．
A．2B．C．3D．4
【變式1-3】（2022·河北滄州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)為A，M為OA的中點(diǎn)，P為雙曲線C右支上一點(diǎn)且，且，則說法錯(cuò)誤的是（）
A．C的離心率為2B．C的漸近線方程為
C．PM平分D．
題型07構(gòu)造a、b、c齊次式型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023春·湖北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知雙曲線為雙曲線的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作漸近線的垂線，垂足為，交另一條漸近線于，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【典例1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過雙曲線的右焦點(diǎn)F作一條直線，當(dāng)直線斜率為1時(shí)，直線與雙曲線左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線斜率為3時(shí)，直線與雙曲線右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍為( )
A．B．C．D．
【變式1-1】（2023秋·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線C：的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，以線段AF為直徑的圓M與雙曲線的一條漸近線相交于B，D兩點(diǎn)，且滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若圓M的面積S滿足，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別是，若雙曲線C上存在點(diǎn)P使得，，則其離心率的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2008·湖南·高考真題）若雙曲線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離大于它到左準(zhǔn)線的距離，則雙曲線離心率的取值范圍是（）
A．B．C．D．
題型08焦半徑型離心率
【解題攻略】
【典例1-1】（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線左，右焦點(diǎn)分別為，若雙曲線右支上存在點(diǎn)使得，則離心率的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【典例1-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線（，）左、右焦點(diǎn)分別為，，若雙曲線右支上存在點(diǎn)使得，則離心率的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【變式1-1】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離為3，最小距離為1，則橢圓的離心率為（）
A．B．C．D．
【變式1-2】設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，是橢圓的左頂點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，是底角為的等腰三角形，則橢圓的離心率為
A．B．C．D．
【變式1-3】設(shè)，分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)，使，則橢圓離心率的取值范圍為______.
題型09焦點(diǎn)三角形求離心率
【典例1-1】已知分別是橢圓的上下兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在四個(gè)不同點(diǎn),使得的面積為，則橢圓的離心率的取值范圍是
A．B．C．D．
【典例1-2】已知是橢圓E的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是E上的一點(diǎn)，若，且，則E的離心率為（）
A．B．C．D．
【變式1-1】.已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且，則橢圓離心率的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【變式1-2】如圖，橢圓的左右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)、是上的兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為（）
A．B．C．D．
【變式1-3】已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，直線與C交于點(diǎn)M，N，若四邊形的面積為且，則C的離心率為（）
A．B．C．D．
題型10雙焦點(diǎn)三角形余弦定理型
【解題攻略】
【典例1-1】橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，，，則橢圓的離心率為___________.
【典例1-2】已知橢圓以為左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P、Q在橢圓上，且過右焦點(diǎn)，，若，則該橢圓離心率是（）
A．B．C．D．
【變式1-1】如圖所示，為橢圓的左右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于B．D兩點(diǎn)且，E為線段上靠近的四等分點(diǎn)．若對(duì)于線段上的任意點(diǎn)P，都有成立，則橢圓的離心率為________．
【變式1-2】已知橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，上頂點(diǎn)為，的中垂線交橢圓于點(diǎn)，若左焦點(diǎn)在線段上，則橢圓離心率為____．
【變式1-3】.已知橢圓的焦點(diǎn)為，，過的直線與交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為（）
A．B．C．D．
題型11焦點(diǎn)三角形雙角度型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023秋·河北保定·高三?？迹┮阎獧E圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為．
【典例1-2】（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若橢圓上存在一點(diǎn)使，且，則．
【變式1-1】（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，，，則橢圓離心率的取值范圍為．
【變式1-2】已知，分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓E上的點(diǎn)，，且，則橢圓E的離心率為（）
A．B．C．D．
【變式1-3】設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且，其中為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓的離心率e的值等于（）
A．B．
C．D．
題型12共焦點(diǎn)型橢圓雙曲線離心率
【解題攻略】
【典例1-1】（2023春·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓和雙曲線的焦點(diǎn)相同，記左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓和雙曲線的離心率分別為，，設(shè)點(diǎn)為與在第一象限內(nèi)的公共點(diǎn)，且滿足，若，則的值為（）
A．3B．4C．5D．6
【典例1-2】（2022秋·江西南昌·高三南昌縣蓮塘第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓，雙曲線，，為的焦點(diǎn)，為和的交點(diǎn)，若△的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)為1，和的離心率之積為，則實(shí)數(shù)的值為（）
A．3B．4C．5D．6
【變式1-1】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知橢圓（）與雙曲線（，）有公共焦點(diǎn)，，且兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為P．若是以為底邊的等腰三角形，曲線，的離心率分別為和，則（）
A．1B．2C．3D．4
【變式1-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓和雙曲線有相同的左、右焦點(diǎn)，，若，在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P，且滿足，設(shè)，分別是，的離心率，則，的關(guān)系是（）
A．B．
C．D．
【變式1-3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知分別是橢圓和雙曲線的公共的左右焦點(diǎn)，是的離心率，若在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，且滿足，則的關(guān)系是（）
A．B．C．D．
題型13借助均值不等式求共焦點(diǎn)型
【典例1-1】、已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們一個(gè)公共點(diǎn)，且，橢圓、雙曲線的離心率分別為，則的最小值__________．
【典例1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)，，是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則當(dāng)取最大值時(shí)，，的值分別是（）
A．，B．，C．，D．，
【變式1-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是橢圓和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，分別為橢圓和雙曲線的離心率，若，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【變式1-2】．（2022秋·四川宜賓·高三四川省宜賓市第四中學(xué)校?？迹┮阎獧E圓和雙曲線有相同焦點(diǎn)與，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的最小值為（）
A．B．10C．D．15
【變式1-3】（2022·高三課時(shí)練習(xí)）已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是曲線與的一個(gè)公共點(diǎn)，分別是和的離心率，若，則的最小值為（）
A．B．C．D．
題型14焦點(diǎn)三角形內(nèi)心型求離心率
【解題攻略】
【典例1-1】（2022秋·黑龍江鶴崗·高三鶴崗一中校考）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M在C的右支上運(yùn)動(dòng)，的內(nèi)心為I，若，則C的離心率為（）
A．2B．C．3D．
【典例1-2】．（2023春·四川綿陽(yáng)·高三綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）已知雙曲線()的左?右焦點(diǎn)分別為為雙曲線上的一點(diǎn)，為的內(nèi)心，且，則的離心率為（）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)P是雙曲線C：右支上一點(diǎn)，，分別是雙曲線C的左，右焦點(diǎn)，M為的內(nèi)心，若雙曲線C的離心率，且，則（）
A．B．C．1D．
【變式1-2】（2022秋·四川宜賓·高三宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校校考）已知、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且，點(diǎn)為雙曲線右支一點(diǎn)，為的內(nèi)心，若成立，給出下列結(jié)論：
①當(dāng)軸時(shí)，
②離心率
③
④點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值
上述結(jié)論正確的是（）
A．①②B．②③C．①③④D．②③④
【變式1-3】（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）已知、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且，點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，為內(nèi)心，若，則的值為（）
A．B．C．D．
題型15焦點(diǎn)三角形重心型求離心率
【典例1-1】（2020·黑龍江大慶·鐵人中學(xué)校考二模）設(shè)，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線右支上一點(diǎn)，若的內(nèi)切圓的半徑為，且的重心滿足，則雙曲線的離心率為（）
A．B．C．2D．
【典例1-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在雙曲線：的右支上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)與雙曲線的左、右焦點(diǎn)，形成的三角形的內(nèi)切圓的半徑為，若的重心滿足，則雙曲線的離心率為
A．B．C．D．
【變式1-1】（2022春·四川內(nèi)江·高三威遠(yuǎn)中學(xué)校校考階段練習(xí)）設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為若在曲線的右支上存在點(diǎn)，使得的內(nèi)切圓半徑為，圓心記為，又的重心為，滿足,則雙曲線的離心率為．
A．B．C．D．
【變式1-2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為A，若在雙曲線的右支上存在兩點(diǎn)M，N，使△AMN為等邊三角形，且右焦點(diǎn)為△AMN的重心，則該雙曲線的離心率為（）
A．B．2C．D．
【變式1-3】（2023春·山東濟(jì)南·高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作一條漸近線的垂線，垂足為，若的重心在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）
A．B．C．D．
題型16小題大做型求離心率
【典例1-1】已知橢圓，若存在過點(diǎn)且互相垂直的直線，，使得，與橢圓C均無公共點(diǎn)，則該橢圓離心率的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【典例1-2】如圖，橢圓的離心率為e，F(xiàn)是的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn).且，，，若，則離心率e的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【變式1-1】存在過橢圓左焦點(diǎn)的弦，使得，則橢圓C的離心率的最小值是（）
A．B．C．D．
【變式1-2】已知橢圓內(nèi)有一定點(diǎn)，過點(diǎn)P的兩條直線，分別與橢圓交于A、C和B、D兩點(diǎn)，且滿足，，若變化時(shí)，直線CD的斜率總為，則橢圓的離心率為
A．B．C．D．
【變式1-3】過原點(diǎn)的一條直線與橢圓=1（a＞b＞0）交于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓過該橢圓的右焦點(diǎn)F2，若∠ABF2∈[]，則該橢圓離心率的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【市級(jí)聯(lián)考】河南省洛陽(yáng)市2018-2019學(xué)年高三第一學(xué)期考試數(shù)學(xué)試題（文）
高考練場(chǎng)
1..已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別，左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，且，若，則橢圓的離心率為（）
A．B．C．D．
2.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，為橢圓上一點(diǎn)，且，若關(guān)于平分線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上，則該橢圓的離心率為______．
3.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線：的左?右焦點(diǎn)分別為，，過作以為圓心?為半徑的圓的切線切點(diǎn)為.延長(zhǎng)交的左支于點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，且，則的離心率為（）
A．2B．C．D．
4.（2021秋·江蘇揚(yáng)州·高三揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)校考）已知直線y=x-1與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為M（2，1），則雙曲線的離心率等于（）
A．B．2C．D．
5.（2022春·新疆博爾塔拉·高三階段練習(xí)）若雙曲線的兩條漸近線與直線y＝2圍成了一個(gè)等邊三角形，則C的離心率為（）
A．B．C．D．2
6.（2023·黑龍江大慶·大慶中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，若A為線段的中點(diǎn)，且，則C的離心率為（）
A．B．2C．D．3
7.（2022·陜西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線左頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，以為直徑的圓交雙曲線一條漸近線于兩點(diǎn)，若，則該雙曲線離心率的取值范圍是（）
A．B．C．D．
8.（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上任意一點(diǎn)，若的最小值為，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）
A．B．C．D．
9.已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，，則的離心率為（）
A．B．C．D．
10..已知橢圓的上頂點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別為，連接，并延長(zhǎng)交橢圓于另一點(diǎn)P，若，則橢圓C的離心率為（）
A．B．C．D．
11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)，頂點(diǎn)在橢圓上，___
12.（2021秋·安徽亳州·高三安徽省亳州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)，，點(diǎn)是與的一個(gè)交點(diǎn)，滿足.設(shè)橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則（）
A．1B．2C．3D．4
13.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)，它們的離心率分別為，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且.若，則（）
A．B．C．D．
14.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，且，點(diǎn)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，M為的內(nèi)心，若成立，則λ的值為（）
A．B．C．2D．
15.（2023·甘肅蘭州·蘭化一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別是，，是雙曲線右支上一點(diǎn)，且，和分別是的內(nèi)心和重心，若與軸平行，則雙曲線的離心率為（）
A．B．2C．3D．4
16.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上任意一點(diǎn)，直線垂直于且交線段于點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率的取值范圍是______.
求解圓錐曲線的離心率的常見方法：
1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；
2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程或不等式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程或不等式，結(jié)合離心率的定義求解；
3、特殊值法：根據(jù)特殊點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系，利用取特殊值或特殊位置，求出離心率問題.
解題時(shí)要把所給的幾何特征轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式．求離心率的常用方法有：
（1）根據(jù)條件求得，利用或求解；
（2）根據(jù)條件得到關(guān)于的方程或不等式，利用將其化為關(guān)于的方程或不等式，然后解方程或不等式即可得到離心率或其范圍．
直線與曲線相交，涉及到交線中點(diǎn)的題型，多數(shù)用點(diǎn)差法。按下面方法整理出式子，然后根據(jù)實(shí)際情況處理該式子。
主要有以下幾種問題：
（1）求中點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求中點(diǎn)軌跡方程；（3）求直線方程；（4）求曲線；
中點(diǎn)，，
設(shè)直線和曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，，代入橢圓方程，得；；
將兩式相減，可得；；
最后整理得：
同理，雙曲線用點(diǎn)差法，式子可以整理成：
設(shè)直線和曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，，代入拋物線方程，得；；
將兩式相減，可得；整理得：
只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．
圓錐曲線焦半徑統(tǒng)一結(jié)論，其中p為交點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，對(duì)橢圓和雙曲線而言
對(duì)于拋物線，則
圓錐曲線具有中心對(duì)稱性質(zhì)，內(nèi)接焦點(diǎn)四邊形性質(zhì)：
焦點(diǎn)四邊形具有中心對(duì)稱性質(zhì)。
焦點(diǎn)四邊形可分割為兩個(gè)焦點(diǎn)三角形，具有焦點(diǎn)三角形性質(zhì)。
焦點(diǎn)四邊形可分割為兩個(gè)余弦定理形雙三角形，可以用雙余弦定理求解
設(shè)橢圓（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為橢圓上任意一點(diǎn)，在△PF1F2中，記, ,，則有.
設(shè)雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為雙曲線上任意一點(diǎn)，在△PF1F2中，記, ,，則有.
橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)、，它們的交點(diǎn)對(duì)兩公共焦點(diǎn)、的張角為，橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則．
雙曲線中，焦點(diǎn)三角形的內(nèi)心的軌跡方程為.
證明：設(shè)內(nèi)切圓與的切點(diǎn)分別為，則由切線長(zhǎng)定理可得,因?yàn)?，，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值a.
第二十三講圓錐曲線離心率歸類
目錄
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc21801" 題型01離心率基礎(chǔ) PAGEREF _Tc21801 \h 1
\l "_Tc5991" 題型02第一定義求離心率 PAGEREF _Tc5991 \h 3
\l "_Tc7802" 題型03中點(diǎn)型求離心率 PAGEREF _Tc7802 \h 6
\l "_Tc8399" 題型04點(diǎn)差法型求離心率（第三定義型） PAGEREF _Tc8399 \h 9
\l "_Tc4181" 題型05漸近線型離心率 PAGEREF _Tc4181 \h 12
\l "_Tc26270" 題型06漸近線中點(diǎn)型求離心率 PAGEREF _Tc26270 \h 13
\l "_Tc7142" 題型07構(gòu)造a、b、c齊次式型 PAGEREF _Tc7142 \h 17
\l "_Tc8088" 題型08焦半徑型離心率 PAGEREF _Tc8088 \h 19
\l "_Tc1558" 題型09焦點(diǎn)三角形求離心率 PAGEREF _Tc1558 \h 21
\l "_Tc10573" 題型10雙焦點(diǎn)三角形余弦定理型 PAGEREF _Tc10573 \h 23
\l "_Tc31037" 題型11焦點(diǎn)三角形雙角度型 PAGEREF _Tc31037 \h 27
\l "_Tc25503" 題型12共焦點(diǎn)型橢圓雙曲線離心率 PAGEREF _Tc25503 \h 30
\l "_Tc16663" 題型13借助均值不等式求共焦點(diǎn)型 PAGEREF _Tc16663 \h 32
\l "_Tc4423" 題型14焦點(diǎn)三角形內(nèi)心型求離心率 PAGEREF _Tc4423 \h 35
\l "_Tc27548" 題型15焦點(diǎn)三角形重心型求離心率 PAGEREF _Tc27548 \h 39
\l "_Tc11746" 題型16小題大做型求離心率 PAGEREF _Tc11746 \h 41
\l "_Tc7538" 高考練場(chǎng) PAGEREF _Tc7538 \h 45

題型01離心率基礎(chǔ)
【解題攻略】
【典例1-1】.P是橢圓上的一點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，軸，過點(diǎn)P作斜率為的直線恰好經(jīng)過左頂點(diǎn)，則橢圓的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如圖所示，求出，化簡(jiǎn)方程即得解.
【詳解】
如圖所示，，
由題得
所以.
故選：C
【典例1-2】（2021秋·山西晉城·高三晉城市第一中學(xué)校校考階段練習(xí)）雙曲線的離心率用來表示，則（）
A．在上是增函數(shù)B．在上是減函數(shù)
C．在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)D．是常數(shù)
【答案】D
【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線為坐標(biāo)軸，結(jié)合等軸雙曲線的離心率為定值，即可求解.
【詳解】由題意，雙曲線的漸近線為軸和軸，即坐標(biāo)軸，
其中坐標(biāo)軸互相垂直，即該雙曲線為等軸雙曲線，
所以雙曲線的離心率為，即（常數(shù)）.
故選：D.
【變式1-1】（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)相等的雙曲線稱為等軸雙曲線，則等軸雙曲線的離心率為（）
A．B．2C．D．3
【答案】A
【分析】依題意可得，即可得到，從而求出離心率.
【詳解】依題意可得等軸雙曲線中，則，
所以離心率.
故選：A
【變式1-2】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，若，且，則橢圓C的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根據(jù)，且求得，再根據(jù)勾股定理列出關(guān)于的方程，解出即可
【詳解】點(diǎn)橢圓上的點(diǎn)，

，且
在中，即，整理得：
即故選：D
【變式1-3】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為橢圓C上一點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為18，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為5，則橢圓C的離心率為（）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為18，所以，結(jié)合題意可得，代入離心率公式運(yùn)算求解．
【詳解】設(shè)焦距為．
因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為18，所以，所以．
因?yàn)殚L(zhǎng)半軸長(zhǎng)為5，即
所以橢圓C的離心率為故選：B．
題型02第一定義求離心率
【解題攻略】
【典例1-1】已知橢圓的右焦點(diǎn)為F（5，0），點(diǎn)A，B為C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，，則C的離心率為___________.
【答案】
【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合，求得，，繼而可求出，求得答案.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)A，B為C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，故連接AB，則AB過原點(diǎn)O，
又因?yàn)椋?，故，
又，所以，，取C的左焦點(diǎn)為，連接，則，
所以，所以，所以C的離心率為，故答案為：
【典例1-2】設(shè)橢圓 ()的一個(gè)焦點(diǎn)點(diǎn)為橢圓內(nèi)一點(diǎn),若橢圓上存在一點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍是（）
A.B.C.D.
【答案】A【解析】記橢圓的左焦點(diǎn)為，則，即，，，即，即，橢圓的離心率的取值范圍是，故選A.
【變式1-1】.橢圓的左右焦點(diǎn)分別為?，直線與交于A?兩點(diǎn)，若，，當(dāng)時(shí)，的離心率的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】結(jié)合題干條件得到，表達(dá)出，，利用橢圓定義得到關(guān)系，結(jié)合的范圍求出離心率的最小值.
【詳解】連接，由題知點(diǎn)A?關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，，，則，，又，即，，由得，所以，D正確.
故選：D
【變式1-2】.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F（5，0），點(diǎn)A，B為C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，，則C的離心率為___________.
【答案】
【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合，求得，，繼而可求出，求得答案.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)A，B為C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，故連接AB，則AB過原點(diǎn)O，
又因?yàn)椋?，故，
又，所以，，取C的左焦點(diǎn)為，連接，則，
所以，所以，所以C的離心率為，故答案為：
【變式1-3】.設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且恒成立，則橢圓的離心率的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，以及列不等式，化簡(jiǎn)后求得橢圓的離心率的取值范圍.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，所以①，而②，，由①②得，即.所以.
因?yàn)?，而，所以，即，由三角形的性質(zhì)可得，因?yàn)槭菣E圓上的動(dòng)點(diǎn)，且恒成立，所以，所以，即，所以橢圓離心率的取值范圍是.
故選：A
.
題型03中點(diǎn)型求離心率
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知雙曲線：的左，右焦點(diǎn)分別為，，正六邊形的一邊的中點(diǎn)恰好在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)的中點(diǎn)為P，連接OP，，求出，，即得解.
【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為P，連接OP，，得，，所以，，在中，
由余弦定理得，
所以，所以，所以雙曲線的離心率.故選：B.
【典例1-2】（2021秋·福建廈門·高三福建省廈門集美中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，過的直線交雙曲線的右支于，兩點(diǎn).點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且.若，則雙曲線的離心率是（）
A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義得出，從而求出，在中利用余弦定理以及離心率的定義即可求解.
【詳解】點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且，則, 設(shè)，則，
又為直角三角形，，即，
，，由雙曲線的定義可得，，，，
，又，在中，由余弦定理可得
，，離心率.故選：A
【變式1-1】（2022春·陜西安康·高三統(tǒng)考）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)作傾斜角為的直線l交雙曲線C的右支于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，若，且雙曲線C的離心率為2．則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】結(jié)合雙曲線的性質(zhì)和余弦定理,即可求解.
【詳解】由雙曲線的定義知，，∵，
∴，即，
∴，
在中，由余弦定理知，，∵，故選A．
【變式1-2】（2021春·河北唐山·高三唐山市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，分別在其左、右兩支上，且，為線段的中點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】若，，，由求得，進(jìn)而可求、，在中有得到關(guān)于a、c的齊次方程，即可求離心率.
【詳解】
由題意，若，，，
∴，即，得，
∵，得，
∴在中，，即，
∴.故選：A
【變式1-3】（2022春·新疆·高三八一中學(xué)?？迹┰O(shè)，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)．若為右支上的一點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，，，則雙曲線的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題意可得，再由雙曲線定義可得，在中，利用勾股定理可得，同除解方程即可求解.
【詳解】由題意可得，由雙曲線定義可得，
則，．在中，，又，，
整理可得，即，
解得或（舍去）．故選：B
題型04點(diǎn)差法型求離心率（第三定義型）
【解題攻略】
【典例1-1】已知點(diǎn)是橢圓上的兩點(diǎn)，且線段恰好為圓的一條直徑，為橢圓上與不重合的一點(diǎn)，且直線的斜率之積為，則橢圓的離心率為____________．
湖南省株洲市第二中學(xué)2021-2022學(xué)年高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試題
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出點(diǎn)A，M的坐標(biāo)，表示出點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用斜率坐標(biāo)公式結(jié)合橢圓方程即可計(jì)算作答.
【詳解】設(shè)，，依題意，，兩式相減得，
因線段恰好為圓的一條直徑，則，
于是得直線的斜率之積為，解得，
所以橢圓的離心率為.
故答案為：
【典例1-2】已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在直線上，則此橢圓的離心率為_______
【答案】試題分析：直線與的交點(diǎn)為，點(diǎn)即為中點(diǎn)，設(shè)與的交點(diǎn)分別為，所以。將點(diǎn)代入橢圓方程，兩式相減整理可得，即，由直線方程可知，所以，即。因?yàn)椋?，即?。
【變式1-1】（2023·四川雅安·統(tǒng)考三模）已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于，點(diǎn)在雙曲線C上，橢圓E的焦點(diǎn)與雙曲線C的焦點(diǎn)相同，斜率為的直線與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)．若線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓E的方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由離心率和點(diǎn)求出雙曲線的方程，進(jìn)而求出焦點(diǎn)，設(shè)出橢圓的方程及的坐標(biāo)，由點(diǎn)差法得到，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)及斜率求得，
再利用焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解.
【詳解】設(shè)雙曲線方程為，則，解得，故雙曲線方程為，焦點(diǎn)為；
設(shè)橢圓方程為，則橢圓焦點(diǎn)為焦點(diǎn)為，故，設(shè)，則，
兩式相減得，整理得，即，解得，故，橢圓方程為.故選：D.
【變式1-2】（2021秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知斜率為的直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為P，若直線OP的斜率為，則雙曲線C的離心率為（）
A．B．2C．D．3
【答案】C
【分析】利用點(diǎn)差法，結(jié)合直線斜率公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、雙曲線離心率公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】設(shè)，，，則，
兩式相減得，所以.
因?yàn)?，，所?
因?yàn)?，?br>所以，，故.故選：C
【變式1-3】（2022秋·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第一中學(xué)校考）已知雙曲線的離心率為2，過點(diǎn)的直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P恰好是弦的中點(diǎn)，則直線的方程為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】運(yùn)用點(diǎn)差法即可求解
【詳解】由已知得，又，，可得.
則雙曲線C的方程為.設(shè)，，
則兩式相減得，
即.
又因?yàn)辄c(diǎn)P恰好是弦的中點(diǎn)，所以，，
所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，即.
經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意故選：C
題型05漸近線型離心率
【典例1-1】（2021秋·重慶南岸·高三重慶市南坪中學(xué)校校考階段練習(xí)）經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)作傾斜角為的直線，若與雙曲線的左支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的離心率的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】只需使雙曲線的其中一漸近線方程的斜率小于直線的斜率，再利用雙曲線中關(guān)系以及離心率的范圍即得.
【詳解】要使直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，需使雙曲線的其中一漸近線方程的斜率小于直線的斜率即，
即，整理得，
即，
又雙曲線故的范圍是故選：B
【典例1-2】（2023春·黑龍江大慶·高三大慶中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，則雙曲線的離心率為（）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】將P點(diǎn)坐標(biāo)代入漸近線方程，求出a與b的關(guān)系，再根據(jù) 求出離心率.
【詳解】漸近線方程為：，由于P點(diǎn)坐標(biāo)在第二象限，選用，
將P點(diǎn)坐標(biāo)代入得：，又；
故選：D.
【變式1-1】（2023秋·甘肅天水·高三?？迹┮阎p曲線：的漸近線方程為：，則該雙曲線的離心率為（）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】根據(jù)漸近線方程求出，從而根據(jù)求出離心率.
【詳解】的漸近線方程為，
故，故雙曲線的離心率為.
故選：A
【變式1-2】（2023·內(nèi)蒙古通遼·校考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為（）
A．B．C．D．2
【答案】D
【分析】求出雙曲線一條漸近線斜率，即，從而求出離心率.
【詳解】由題意得：雙曲線的一條漸近線方程的斜率，
所以雙曲線離心率.
故選：D
【變式1-3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線（，）與直線無公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的最大值是（）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可知：雙曲線與沒有公共點(diǎn)，則，即可求解.
【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，若雙曲線（，）與直線無公共點(diǎn)，則應(yīng)有，所以離心率，
故選：D
.
題型06漸近線中點(diǎn)型求離心率
【典例1-1】（2021秋·陜西渭南·高三統(tǒng)考）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，過的直線分別交雙曲線C的兩條漸近線于點(diǎn)M、N.若點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，且，則雙曲線C的離心率為（）
A．B．C．2D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)三角形中位線得，又M是線段的中點(diǎn)，又可得，則可得漸近線的傾斜角為，從而求得的值，即可得雙曲線離心率.
【詳解】雙曲線C：的漸近線方程為，

因?yàn)镺是線段的中點(diǎn)，M是線段的中點(diǎn)，所以
又，所以，所以，
所以
所以漸近線的傾斜角為，則，又，
所以，則離心率.故選：C.
【典例1-2】（2023秋·河南安陽(yáng)·高三校考）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為A，兩條漸近線為.設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，且線段的中點(diǎn)恰好在上，則的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】方法1：根據(jù)幾何性質(zhì)分析可得：，運(yùn)算求解；方法2：根據(jù)點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱求點(diǎn)，再求線段的中點(diǎn)，代入漸近線方程運(yùn)算求解.
【詳解】方法1：
如圖，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，直線與交于點(diǎn)，則，且為線段的中點(diǎn)，設(shè)線段中點(diǎn)為，則在上，∵，則，
設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，則為線段的中點(diǎn)，且軸，則，
∵，則，∴，即，整理得
設(shè)雙曲線的離心率為，則，解得或（舍去）.
方法2：由題意可得：，不妨設(shè)直線，，則，解得，即，設(shè)線段中點(diǎn)為，點(diǎn)，則，
將點(diǎn)坐標(biāo)代入方程得，整理得，
設(shè)雙曲線的離心率為，則，解得或（舍去）.故選：C.
【變式1-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線與橢圓．過橢圓上一點(diǎn)作橢圓的切線l，l與x軸交于M點(diǎn)，l與雙曲線C的兩條漸近線分別交于N、Q，且N為MQ的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)出切線方程，與橢圓方程聯(lián)立后利用根的判別式求出，求出切線方程，從而得到M點(diǎn)坐標(biāo)，再聯(lián)立漸近線得到N，Q的橫坐標(biāo)，利用中點(diǎn)得到方程，求出，從而求出離心率.
【詳解】由題意得：漸近線方程為，設(shè)切線方程為，聯(lián)立得：
，由得：，
解得：，所以切線方程為，令得：，所以，聯(lián)立與，解得：，聯(lián)立與，解得：，因?yàn)镹為MQ的中點(diǎn)，
所以，解得：，所以離心率為故選：A
【變式1-2】（2022春·廣西南寧·高三南寧二中校考階段練習(xí)）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，M為C的一條漸近線上一點(diǎn)，延長(zhǎng)FM交y軸于點(diǎn)N，直線AM經(jīng)過ON（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的中點(diǎn)B，且，則雙曲線C的離心率為（）．
A．2B．C．3D．4
【答案】A
【分析】因?yàn)?，且，可得，再結(jié)合雙曲線的知識(shí)可得，利用幾何知識(shí)可得為等邊三角形，，進(jìn)而求．
【詳解】記M為雙曲線的漸近線上的點(diǎn)，因?yàn)椋遥?br>所以，．所以．因?yàn)橛医裹c(diǎn)到漸近線的距離，所以．所以，所以，
所以≌，所以，又因?yàn)?，?br>所以為等邊三角形，所以，所以，即，
所以．故選：A．
【變式1-3】（2022·河北滄州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)為A，M為OA的中點(diǎn)，P為雙曲線C右支上一點(diǎn)且，且，則說法錯(cuò)誤的是（）
A．C的離心率為2B．C的漸近線方程為
C．PM平分D．
【答案】B
【分析】由題設(shè)及雙曲線性質(zhì)可得且，即可判斷A、B；根據(jù)角平分線性質(zhì)只需判斷、是否相等判斷C；利用向量線性運(yùn)算的幾何意義，用表示即可判斷D.
【詳解】由題設(shè)，且，又，所以，而，故，
由，則，，故，所以C的離心率為2，A正確；
由上可得，故C的漸近線方程為，B錯(cuò)誤；
由，則，故，
而M為OA的中點(diǎn)，則，，故，
由角平分線性質(zhì)易知：PM平分，C正確；
，D正確.故選：B
題型07構(gòu)造a、b、c齊次式型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023春·湖北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知雙曲線為雙曲線的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作漸近線的垂線，垂足為，交另一條漸近線于，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)，根據(jù)列式，根據(jù)的取值范圍求得的取值范圍，進(jìn)而求得離心率的取值范圍.
【詳解】依題意可知在第一象限，在第二象限，
到漸近線的距離為，
即，設(shè)，則，，
由得，
故，，
.
故選:C
【典例1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過雙曲線的右焦點(diǎn)F作一條直線，當(dāng)直線斜率為1時(shí)，直線與雙曲線左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線斜率為3時(shí)，直線與雙曲線右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍為( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先寫出直線的方程，聯(lián)立雙曲線的方程消去y，由k＝1得到，即．由k＝3得到，即，再求離心率的范圍．
【詳解】雙曲線右焦點(diǎn)為，設(shè)過右焦點(diǎn)的直線為，
與雙曲線方程聯(lián)立消去y可得到：，
由題意可知，當(dāng)k＝1時(shí)，此方程有兩個(gè)不相等的異號(hào)實(shí)根，
∴，得0＜a＜b，即；
當(dāng)k=3時(shí)，此方程有兩個(gè)不相等的同號(hào)實(shí)根，∴，得0＜b＜3a，；
又，∴離心率的取值范圍為．故選：C.
【變式1-1】（2023秋·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線C：的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，以線段AF為直徑的圓M與雙曲線的一條漸近線相交于B，D兩點(diǎn)，且滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若圓M的面積S滿足，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由結(jié)合圓的相交弦定理得，由圓M的面積S滿足，即可求出雙曲線C的離心率e的取值范圍.
【詳解】設(shè)雙曲線C的半焦距為c，∵，∴.
由圓的相交弦定理知，.
又圓M的半徑，∴，
∴，∴，∴，
∴.又，∴，∴.故選:B.
【變式1-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別是，若雙曲線C上存在點(diǎn)P使得，，則其離心率的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)平面向量加法的幾何意義，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、雙曲線的離心率公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】設(shè)，
利用向量加法法則知，則
即，
故①，
設(shè)，
則，
②，
由①②得，即，
又，所以，即，即
所以雙曲線離心率的值大于3，故選：D
【變式1-3】（2008·湖南·高考真題）若雙曲線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離大于它到左準(zhǔn)線的距離，則雙曲線離心率的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得基本量的關(guān)系，從而可求離心率.
【詳解】根據(jù)雙曲線的第二定義，雙曲線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為，而該點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離為．故由條件知．整理得．
綜合，解得．故選：B
題型08焦半徑型離心率
【解題攻略】
【典例1-1】（2023秋·高三課時(shí)練習(xí)）已知雙曲線左，右焦點(diǎn)分別為，若雙曲線右支上存在點(diǎn)使得，則離心率的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】在中，由正弦定理可得，再由已知可得，根據(jù)點(diǎn)在雙曲線右支上，得到關(guān)于的不等式，從而可求出的范圍.
【詳解】由題意可得點(diǎn)不是雙曲線的頂點(diǎn)，否則無意義
在中，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，所以?br>因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線右支上，所以，所以，得，由雙曲線的性質(zhì)可得，所以，化簡(jiǎn)得，所以，解得，
因?yàn)?，所以，即雙曲線離心率的取值范圍為，故選：C
【典例1-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線（，）左、右焦點(diǎn)分別為，，若雙曲線右支上存在點(diǎn)使得，則離心率的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由正弦定理得，，可得在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義，得，根據(jù)在雙曲線右支上，得關(guān)于的不等式，從而求出的范圍
【詳解】解：由題意，點(diǎn)不是雙曲線的頂點(diǎn)，否則無意義，
在中，由正弦定理得，又，∴，即，
∵在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義，得，∴，即，
由雙曲線的幾何性質(zhì)，知，∴，即，
∴，解得，又，雙曲線離心率的范圍是．故選：C．
【變式1-1】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離為3，最小距離為1，則橢圓的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最大值為，最小值為，可求出，即可計(jì)算出離心率
【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，由題意可得，解得，，所以橢圓C的離心率，
故選：A.
【變式1-2】設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，是橢圓的左頂點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，是底角為的等腰三角形，則橢圓的離心率為
A．B．C．D．
【答案】B【詳解】如圖，設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，因?yàn)橛蓹E圓性質(zhì)可知，，由題意可知解得，故選B.
【變式1-3】設(shè)，分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，若直線上存在點(diǎn)，使，則橢圓離心率的取值范圍為______.
【答案】
【分析】由題設(shè)易知，結(jié)合橢圓離心率的性質(zhì)即可得離心率的取值范圍.
【詳解】由題設(shè)，，則，而，
所以.故答案為：.
題型09焦點(diǎn)三角形求離心率
【典例1-1】已知分別是橢圓的上下兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在四個(gè)不同點(diǎn),使得的面積為，則橢圓的離心率的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為A,問題轉(zhuǎn)化為的面積大于解不等式即可.
【詳解】由題知a=2,b=設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為A(,0),的面積為,
∴的面積的最大值時(shí)為>

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