TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc30839" 題型01五個方程基礎模板 PAGEREF _Tc30839 \h 1
\l "_Tc11476" 題型02千變?nèi)f化的直線設法 PAGEREF _Tc11476 \h 2
\l "_Tc26405" 題型03 無定點無斜率型雙變量 PAGEREF _Tc26405 \h 3
\l "_Tc22314" 題型04五個方程常見題型：斜率和定 PAGEREF _Tc22314 \h 4
\l "_Tc31390" 題型05雙變量基礎型：直線過定點5
\l "_Tc1127" 題型06 定點：斜率積型6
\l "_Tc24208" 題型07 定點：斜率比值型7
\l "_Tc11706" 題型08“第六個方程”型轉(zhuǎn)化難題8
\l "_Tc6843" 題型09圓過定點9
\l "_Tc10733" 題型10定值型10
\l "_Tc2211" 題型11面積最值型11
\l "_Tc23247" 題型12 切線型12
\l "_Tc8142" 高考練場 PAGEREF _Tc8142 \h 13

題型01五個方程基礎模板
【解題攻略】
【典例1-1】（上海市春季高考數(shù)學試卷(含答案)）已知橢圓的兩個焦點分別為、,短軸的兩個端點分別為(1)若為等邊三角形,求橢圓的方程;
(2)若橢圓的短軸長為,過點的直線與橢圓相交于兩點,且,求直線的方程.
【典例1-2】（普通高等學校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學（理）試題（含答案））設橢圓的左焦點為F, 離心率為, 過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為. (Ⅰ) 求橢圓的方程; (Ⅱ) 設A, B分別為橢圓的左右頂點, 過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C, D兩點. 若, 求k的值.
【變式1-1】（2023·四川成都·校聯(lián)考一模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，短半軸長為1，點在橢圓上運動，且的面積最大值為.
(1)求橢圓的方程；
(2)當點為橢圓的上頂點時，設過點的直線交橢圓于，兩點，直線，的斜率分別為，，求證：為定值.
【變式1-2】（2023·全國·模擬預測）已知動點M與定點，滿足．
(1)求動點M的軌跡C的方程．
(2)已知直線與曲線C交于P，Q兩點，點T為x軸上一點，直線PT，QT的斜率分別為，試問：是否存在使為定值的點T？若存在，求出點T的坐標，并求出定值；若不存在，請說明理由．
題型02千變?nèi)f化的直線設法
【解題攻略】
【典例1-1】已知橢圓過點，且離心率為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知直線與橢圓交于不同的兩點P，Q，那么在x軸上是否存在點M，使且，若存在，求出該直線的方程；若不存在，請說明理由．
貴州省2023屆高三上學期3 3 3高考備考診斷性聯(lián)考（一）數(shù)學（理）試題
【典例1-2】已知拋物線的頂點在原點，焦點坐標為.
(1)求拋物線的方程；
(2)若直線與拋物線交于兩點，求面積的最小值.
陜西省渭南市華陰市2022屆高三上學期摸底考試文科數(shù)學試題
【變式1-1】已知橢圓的左焦點為F，右頂點為A，離心率為，B為橢圓C上一動點，面積的最大值為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)經(jīng)過F且不垂直于坐標軸的直線l與C交于M，N兩點，x軸上點P滿足，若，求的值．
【變式1-2】已知橢圓的左，右焦點分別為，上頂點為，且為等邊三角形.經(jīng)過焦點的直線與橢圓相交于兩點，的周長為.
(1)求橢圓的方程；
(2)試探究：在軸上是否存在定點，使得為定值？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
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題型03 無定點無斜率型雙變量
【解題攻略】
【典例1-1】橢圓的離心率是，且過點.
(1)求的方程；
(2)過點的直線與的另一個交點分別是，與軸分別交于，且于點，是否存在定點使得是定值？若存在，求出點的坐標與的值；若不存在，請說明理由.
【典例1-2】已知直線與拋物線交于，兩點，且與軸交于點，過點，分別作直線的垂線，垂足依次為，，動點在上.
(1)當，且為線段的中點時，證明：；
(2)記直線，，的斜率分別為，，，是否存在實數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
【變式1-1】已知雙曲線的頂點為，，過右焦點作其中一條漸近線的平行線，與另一條漸近線交于點，且.點為軸正半軸上異于點的任意點，過點的直線交雙曲線于C，D兩點，直線與直線交于點.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)求證：為定值.
【變式1-2】已知橢圓：的離心率為，且過點．
(1)求橢圓的方程；
(2)設不過點的直線與橢圓交于，兩點，關于原點的對稱點為，記直線，，的斜率分別為，，，若，證明直線的斜率為定值．
題型04五個方程常見題型：斜率和定
【解題攻略】
【典例1-1】橢圓：()的左焦點為，且橢圓經(jīng)過點，直線()與交于，兩點（異于點）.
（1）求橢圓的方程；
（2）證明：直線與直線的斜率之和為定值，并求出這個定值.
【典例1-2】設為拋物線上兩點，且線段的中點在直線上.
（1）求直線的斜率；
（2）設直線與拋物線交于點，記直線，的斜率分別為，，當直線經(jīng)過拋物線的焦點時，求的值.
【變式1-1】已知右焦點為的橢圓經(jīng)過點.
（1）求橢圓的方程；
（2）經(jīng)過的直線與橢圓分別交于、（不與點重合），直線、分別與軸交于、，是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.
【變式1-2】已知點F是橢圓的右焦點，P是橢圓E的上頂點，O為坐標原點且.
（1）求橢圓的離心率e；
（2）已知，，過點M作任意直線l與橢圓E交于A，B兩點.設直線，的斜率分別為，，若，求橢圓E的方程.
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題型05雙變量基礎型：直線過定點
【解題攻略】
【典例1-1】已知橢圓過點，長軸長為.
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓交于點，直線分別交直線于點，為坐標原點.若，求證：直線經(jīng)過定點.
【典例1-2】已知雙曲線經(jīng)過點（，1）
(1)求雙曲線C的離心率；
(2)若直線與雙曲線C相交于A，B兩點（A，B均異于左、右頂點），且以AB為直徑的圓過雙曲線C的左頂點D，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．
【變式1-1】已知點F是拋物線的焦點，動點P在拋物線上.
(1)寫出拋物線的焦點坐標和準線方程；
(2)設點，求的最小值：
(3)設直線l與拋物線交于D，E兩點，若拋物線上存在點P，使得四邊形DPEF為平行四邊形，證明：直線l過定點，并求出這個定點的坐標.
【變式1-2】已知為坐標原點，點在雙曲線上，直線交于，兩點.
(1)若直線過的右焦點，且斜率為，求 的面積；
(2)若直線，與軸分別相交于，兩點，且，證明：直線過定點.
題型06 定點：斜率積型
【解題攻略】
【典例1-1】已知圓經(jīng)過點，且與軸相切，切點為坐標原點.
(1)求圓的標準方程；
(2)直線：與圓交于，兩點，直線：與圓交于，兩點，且.
（i）若，求四邊形的面積；
（ii）求證：直線恒過定點.
【典例1-2】已知橢圓的左右頂點為、，直線.已知為坐標原點，圓過點、交直線于、兩點，直線、分別交橢圓于、.
(1)記直線，的斜率分別為、，求的值；
(2)證明直線過定點，并求該定點坐標.
【變式1-1】已知拋物線的焦點，為坐標原點，、是拋物線上異于的兩點．
(1)求拋物線的方程；
(2)若直線、的斜率之積為，求證：直線過軸上一定點．
【變式1-2】已知橢圓C上任意一點P（x，y）到點F（－1，0）的距離與到直線x =－4的距離的比等于．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若直線l與橢圓C相交于M，N兩點，A（2，0），記直線AM，AN的斜率分別為kAM，kAN，且滿足kAM·kAN =－1．證明：直線l過定點．
題型07 定點：斜率比值型
【典例1-1】橢圓的左右焦點分別為，焦距為，點M為橢圓上位于x軸上方的一點，，且的面積為2.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設橢圓的左?右頂點分別為，直線交橢圓于兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，已知.求證：直線恒過定點.
【典例1-2】已知橢圓的離心率為，橢圓上一動點與左?右焦點構(gòu)成的三角形面積最大值為.
(1)求橢圓的方程；
(2)設橢圓的左?右頂點分別為，直線交橢圓于兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，已知.
①求證：直線恒過定點；
②設和的面積分別為，求的最大值.
【變式1-1】已知雙曲線的左焦點坐標為，直線與雙曲線交于兩點，線段中點為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)經(jīng)過點與軸不重合的直線與雙曲線交于兩個不同點，點，直線與雙曲線分別交于另一點.
①若直線與直線的斜率都存在，并分別設為.是否存在實常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
②證明：直線恒過定點.
【變式1-2】在一張紙上有一個圓：，定點，折疊紙片使圓上某一點好與點重合，這樣每次折疊都會留下一條直線折痕，設折痕與直線的交點為．
(1)求證：為定值，并求出點的軌跡方程；
(2)設，為曲線上一點，為圓上一點（，均不在軸上）．直線，的斜率分別記為，，且，求證：直線過定點，并求出此定點的坐標．
題型08“第六個方程”型轉(zhuǎn)化難題
【解題攻略】
【典例1-1】設橢圓(a>b>0)的左焦點為F，上頂點為B. 已知橢圓的離心率為，點A的坐標為，且.
（I）求橢圓的方程；
（II）設直線l：與橢圓在第一象限的交點為P，且l與直線AB交于點Q. 若(O為原點) ，求k的值.
【典例1-2】已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，且橢圓上的點到兩個焦點的距離之和為.
（1）求橢圓的方程；（2）設為橢圓的左頂點，過點的直線與橢圓交于點，與軸交于點，過原點且與平行的直線與橢圓交于點.求的值.
【變式1-1】如圖，已知橢圓：過點，離心率.
（1）求橢圓的方程；（2）如圖，直線平行于（為原點），且與橢圓交于兩點、，與直線交于點（介于、兩點之間）.
（i）當面積最大時，求的方程；（ii）求證：.
【變式1-2】已知點在橢圓上，設，，分別為橢圓的左頂點?上頂點?下頂點，且點到直線的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）設為坐標原點，，為橢圓上的兩點，且，求證：的面積為定值，并求出這個定值.
題型09圓過定點
【解題攻略】
【典例1-1】已知橢圓和直線l：，橢圓的離心率，坐標原點到直線的距離為.
(1)求橢圓的方程；
(2)已知定點，若直線與橢圓相交于C，D兩點，試判斷是否存在實數(shù)k，使以CD為直徑的圓過定點E？若存在，求出k的值，若不存在，說明理由.
【典例1-2】已知點F為雙曲線的右焦點，過F的任一直線l與交于A，B兩點，直線．
(1)若為曲線上任一點，且M到直線的距離為d，求的值；
(2)若為曲線上一點，直線MA，MB分別與直線交于D，E兩點，問以線段DE為直徑的圓是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．
【變式1-1】．已知是焦距為的雙曲線上一點，過的一條直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，且，過作垂直的兩條直線和，與軸分別交于兩點，其中與軸交點的橫坐標是.(1)證明:;
(2)求的最大值，并求此時雙曲線的方程;
(3)判斷以為直徑的圓是否過定點，如果是，求出所有定點;如果不是，說明理由.
【變式1-2】已知拋物線的焦點為，準線為．
(1)若為雙曲線的一個焦點，求雙曲線的漸近線方程；
(2)設與軸的交點為，點在第一象限，且在上，若，求直線的方程；
(3)經(jīng)過點且斜率為的直線與相交于、兩點，為坐標原點，直線?分別與相交于點．試探究：以線段為直徑的圓是否過定點，若是，求出定點的坐標；若不是，說明理由．
題型10定值型
【解題攻略】
【典例1-1】已知橢圓：（，），離心率為，且點在橢圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）若橢圓上的任意一點（除短軸的端點外）與短軸的兩個端點，的連線分別與軸交于，兩點，求證為定值．
【典例1-2】雙曲線的一條漸近線方程為，且經(jīng)過點．
(1)求的方程；
(2)為坐標原點，過雙曲線上一動點（在第一象限）分別做的兩條漸近線的平行線為，且，與軸分別交于P，Q，求證：為定值．
【變式1-1】．已知O為坐標原點，M是橢圓上的一個動點，點N滿足，設點N的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程．
(2)若點A，B，C，D在橢圓上，且與交于點P，點P在上．證明：的面積為定值．
【變式1-2】已知一動點C與定點的距離與C到定直線l：的距離之比為常數(shù).
(1)求動點C的軌跡方程；
(2)過點F作一條不垂直于y軸的直線，與動點C的軌跡交于M，N兩點，在直線l上有一點，記直線PM，PF，PN的斜率分別為，，，證明：為定值.
題型11面積最值型
【解題攻略】
【典例1-1】已知圓：過點，其長軸長為4．
(1)求橢圓的方程；
(2)已知為坐標原點，，為橢圓上不重合兩點，且，的中點落在直線上，求面積的最大值．
【典例1-2】已知拋物線，圓與拋物線有且只有兩個公共點.
(1)求拋物線的方程；
(2)設為坐標原點，過圓心的直線與圓交于點，直線分別交拋物線于點（點不與點重合）.記的面積為，的面積為，求的最大值.
【變式1-1】已知橢圓C：的離心率為，點在橢圓C上．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)過點的直線l交橢圓C于P，Q兩點，O為坐標原點，求△OPQ面積的最大值．
【變式1-2】已知橢圓的上頂點為，右焦點為，點滿足．
(1)判斷點是否在橢圓上，并給出理由；
(2)已知與線段相交的直線交橢圓于，（不同于點，）兩點，求四邊形面積的最大值．
題型12 切線型
【典例1-1】如圖，兩個橢圓的方程分別為和，
(1)已知橢圓的離心率，且，求該橢圓的方程；
(2)從大橢圓的右頂點和上頂點分別向小橢圓引切線，若的斜率之積恒為，求的值.
【典例1-2】已知橢圓的左、右焦點分別為，焦距為2，上一點到距離之和為6.
(1)求的方程；
(2)設在點處的切線交軸于點，證明：.
【變式1-1】法國數(shù)學家加斯帕爾·蒙日被譽為畫法幾何之父.他在研究橢圓切線問題時發(fā)現(xiàn)了一個有趣的重要結(jié)論：一橢圓的任兩條互相垂直的切線交點的軌跡是一個圓，尊稱為蒙日圓，且蒙日圓的圓心是該橢圓的中心，半徑為該橢圓的長半軸與短半軸平方和的算術平方根.已知在橢圓中，離心率，左、右焦點分別是、，上頂點為Q，且，O為坐標原點.
(1)求橢圓C的方程，并請直接寫出橢圓C的蒙日圓的方程；
(2)設P是橢圓C外一動點（不在坐標軸上），過P作橢圓C的兩條切線，過P作x軸的垂線，垂足H，若兩切線斜率都存在且斜率之積為，求面積的最大值.
【變式1-2】．已知點為雙曲線的左右焦點，過作垂直于軸的直線，在軸上方交雙曲線于點，且的面積為.圓的方程是.
(1)求雙曲線的方程；
(2)過雙曲線上任意一點作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為，求的值；
(3)過圓上任意一點作圓的切線交雙曲線于兩點，中點為，若恒成立，試確定圓半徑.

高考練場
1.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線C：的右焦點為，且C的一條漸近線恰好與直線垂直.
(1)求C的方程；
(2)直線l：與C的右支交于A，B兩點，點D在C上，且軸.求證：直線BD過點F.
2.已知雙曲線的右焦點為，且點在雙曲線C上.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)過點F的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點，在x軸上是否存在不與F重合的點P，使得點F到直線PA，PB的距離始終相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.
3.已知橢圓的離心率為，點在短軸上，且．
(1)求的方程；
(2)若直線與交于兩點，求（點為坐標原點）面積的最大值．
4.（2023·四川成都·校聯(lián)考一模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，短半軸長為1，點在橢圓上運動，且的面積最大值為.
(1)求橢圓的方程；
(2)當點為橢圓的上頂點時，設過點的直線交橢圓于，兩點，直線，的斜率分別為，，求證：為定值.
5.設橢圓C：（）過點，離心率為，橢圓的右頂點為A.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若直線與橢圓交于兩點M，N（M，N不同于點A），若，求證：直線l過定點，并求出定點坐標
6.已知圓C的圓心坐標為，與y軸的正半軸交于點A且y軸截圓C所得弦長為8．
(1)求圓C的標準方程；
(2)直線n交圓C于的M，N兩點（點M，N異于A點），若直線AM，AN的斜率之積為2，求證：直線n過一個定點，并求出該定點坐標．
7.已知直線與拋物線交于，兩點，且
(1)求的方程
(2)若直線與交于兩點，點與點關于軸對稱，試問直線是否過定點？若過定點，求定點的坐標；若不過定點，說明理由
8.已知橢圓：，圓：的圓心在橢圓上，點到橢圓的右焦點的距離為2．（1）求橢圓的方程；
（2）過點作直線交橢圓于，兩點，若，求直線的方程．
9.已知用周長為36的矩形截某圓錐得到橢圓與矩形的四邊都相切且焦距為，__________.
①為等差數(shù)列；②為等比數(shù)列.
(1)在①②中任選一個條件，求橢圓的標準方程；
(2)（1）中所求的左?右焦點分別為，過作直線與橢圓交于兩點，為橢圓的右頂點，直線分別交直線于兩點，求以為直徑的圓是否過定點，若是求出該定點；若不是請說明理由
10.已知橢圓：的離心率為，其左、右焦點分別為、，上頂點為，且.
(1)求橢圓的方程；
(2)直線：與橢圓交于兩點，О為坐標原點.試求當為何值時，恒為定值，并求此時面積的最大值.
11.已知焦點在軸上的橢圓，離心率為，且過點，不過橢圓頂點的動直線與橢圓交于、兩點，求：
（1）橢圓的標準方程；
（2）求三角形面積的最大值，并求取得最值時直線、的斜率之積.
12.已知，為橢圓C上兩點，為橢圓C的左焦點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設直線與橢圓C有且僅有一個公共點，與直線交于點M，與直線交于點N，證明：．
基本模板實戰(zhàn)模板（如典型例題1得分析）-----------獨一無二的總結(jié)，千軍萬馬中殺出來的實戰(zhàn)經(jīng)驗，簡稱五個方程法。
1、設點，
2、方程1：設直線：-----此處還有千言萬語，在后邊分類細說。
3、方程2：曲線：橢圓，雙曲線，拋物線，或者其他（很少出現(xiàn)），注意一個計算技巧，方程要事先去分母
4、方程3:聯(lián)立方程，整理成為關于x(或者y）的一元二次方程。要區(qū)分，橢圓，雙曲線，和拋物線聯(lián)立后方程
的二次項能否為零-----這就是實戰(zhàn)經(jīng)驗。
5、（1）； （2）二次項系數(shù)是否為0；------這兩條，根據(jù)題確定是直接用，或者冷處理。但是必須考慮。
6、方程4、5：韋達定理
7、尋找第六個方程，第六個方程其實就是題目中最后一句話：且,

以上過程，以方程個數(shù)記，即是五個方程法。也就是許多老師所說的“韋達定理”法。這其中的華麗變化，以及解析幾何的后續(xù)難題，都是從這五個方程中變化而來，而這是許多老師不一定能完全說透的地方。
以上過程，簡單的一個判斷圖形，如圖：簡單總結(jié)為：一“直”一“曲”
如果所過定點在x軸上，為（m，0），也可以設為，此時包含了斜率不存在的情況，但是反而不包含x軸這條直線。

當題中的直線既無斜率，又不過定點線，就要設成“雙變量”型：，依舊得討論k是否存在情況
當直線既不過定點，也不知斜率時，設直線，就需要引入兩個變量了。
（1）
（2），此時直線不包含水平，也要適當?shù)难a充討論。
（3）設“雙變量”時，第一種設法較多。因為一般情況下，沒有了定點在x軸上，那么第二種設法實際上也沒有特別大的計算優(yōu)勢。如第1題。
（4）重要！雙變量設法，在授課時，一定要講清楚以下這個規(guī)律：
一般情況下，試題中一定存在某個條件，能推導出倆變量之間的函數(shù)關系。這也是證明直線過定點的理論根據(jù)之一。
給定橢圓，與橢圓上定點P，過P點走兩條射線PA、PB，與橢圓交與A和B兩點，記直線PA、PB的斜率分別為K1,K2,則有
直線過定點：
1、直線多為y=kx+m型
2.目標多為求：m=f（k）
3.一些題型，也可以直接求出對應的m的值
給定橢圓，與橢圓上定點P，過P點走兩條射線PA、PB，與橢圓交與A和B兩點，記直線PA、PB的斜率分別為K1,K2,則有
在一直一曲五個方程（韋達定理代入型）題型中，主要的難點在于怎么轉(zhuǎn)化出“第六個方程”。
具有明顯的可轉(zhuǎn)化為韋達定理特征的。屬于較容易的題。
隱藏較深的條件，需要用一些技巧，把條件轉(zhuǎn)化為點坐標之間的關系，再轉(zhuǎn)化為韋達定理。
沒有固定的轉(zhuǎn)化技巧，可以在訓練中積累相關化歸思想。
圓過定點，有常見幾方面的思維
利用以“某線段為直徑”，轉(zhuǎn)化為向量垂直計算
利用對稱性，可以猜想出定點，并證明。
通過推導求出定點（難度較大）
求定值問題常見的思路和方法技巧：
從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；
直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
求定值題型，運算量大，運算要求高，屬于中等以上難度的題

求最值求范圍，屬于前邊知識額綜合應用，主要是以下兩點要注意
注意變量的范圍。
式子轉(zhuǎn)化為求值域或者求最值的專題復習
一些常見的思維：
1.可以借助均值不等式求最值。
2.分式型，多可以通過構(gòu)造來求最值，如下幾種常見的。
分式型：以下幾種求最值的基本方法
（1）
（2）與型，可以設mx+n=t，換元，簡化一次項，然后構(gòu)造均值或者對勾函數(shù)求解。
（3）型，判別式法，或者分離常數(shù)，然后轉(zhuǎn)化分子為一次，再換元求解
第二十四講 圓錐曲線五個方程型大題歸類
目錄
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27425" 題型01五個方程基礎模板 PAGEREF _Tc27425 \h 1
\l "_Tc31998" 題型02千變?nèi)f化的直線設法 PAGEREF _Tc31998 \h 5
\l "_Tc20430" 題型03 無定點無斜率型雙變量 PAGEREF _Tc20430 \h 8
\l "_Tc7382" 題型04五個方程常見題型：斜率和定 PAGEREF _Tc7382 \h 12
\l "_Tc2374" 題型05雙變量基礎型：直線過定點 PAGEREF _Tc2374 \h 16
\l "_Tc7568" 題型06 定點：斜率積型 PAGEREF _Tc7568 \h 20
\l "_Tc5971" 題型07 定點：斜率比值型 PAGEREF _Tc5971 \h 24
\l "_Tc31700" 題型08“第六個方程”型轉(zhuǎn)化難題 PAGEREF _Tc31700 \h 28
\l "_Tc14306" 題型09圓過定點 PAGEREF _Tc14306 \h 32
\l "_Tc27193" 題型10定值型 PAGEREF _Tc27193 \h 37
\l "_Tc30236" 題型11面積最值型 PAGEREF _Tc30236 \h 40
\l "_Tc9837" 題型12 切線型 PAGEREF _Tc9837 \h 44
\l "_Tc9084" 高考練場 PAGEREF _Tc9084 \h 47

題型01五個方程基礎模板
【解題攻略】
【典例1-1】（上海市春季高考數(shù)學試卷(含答案)）已知橢圓的兩個焦點分別為、,短軸的兩個端點分別為(1)若為等邊三角形,求橢圓的方程;
(2)若橢圓的短軸長為,過點的直線與橢圓相交于兩點,且,求直線的方程.
【答案】[解](1)設橢圓的方程為.根據(jù)題意知, 解得,
故橢圓的方程為.
(2)容易求得橢圓的方程為. 當直線的斜率不存在時,其方程為,不符合題意;
當直線的斜率存在時,設直線的方程為.（方程1） 由 得.（方程3） 設,則

因為,所以,即
, 解得,即.
故直線的方程為或。
【典例1-2】（普通高等學校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學（理）試題（含答案））設橢圓的左焦點為F, 離心率為, 過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為. (Ⅰ) 求橢圓的方程; (Ⅱ) 設A, B分別為橢圓的左右頂點, 過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C, D兩點. 若, 求k的值.
【答案】【(Ⅰ)；（2）
解：設，由，知.過點F且與軸垂直的直線為，代入橢圓方程有，解得，于是，解得，又，從而，，所以橢圓的方程為.
（Ⅱ）解：設點，，由得直線CD的方程為，
由方程組消去，整理得.
求解可得，.因為，，
所以
.由已知得，解得.
【變式1-1】（2023·四川成都·校聯(lián)考一模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，短半軸長為1，點在橢圓上運動，且的面積最大值為.
(1)求橢圓的方程；
(2)當點為橢圓的上頂點時，設過點的直線交橢圓于，兩點，直線，的斜率分別為，，求證：為定值.
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意可得，求解即可；
（2）分直線斜率存在和不存在兩種情況，結(jié)合韋達定理即可證明.
【詳解】（1）設橢圓E的半焦距為c，由題意可知，當為橢圓E的上頂點或下頂點時，的面積取得最大值.
所以，所以，，
故橢圓E的標準方程為；
（2）由題意可知，當直線的斜率不存在時，直線的方程為，則不妨令，
；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，記，
由得，，
此時，即或，
，
.
綜上所述，，即為定值.
【變式1-2】（2023·全國·模擬預測）已知動點M與定點，滿足．
(1)求動點M的軌跡C的方程．
(2)已知直線與曲線C交于P，Q兩點，點T為x軸上一點，直線PT，QT的斜率分別為，試問：是否存在使為定值的點T？若存在，求出點T的坐標，并求出定值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)(2)存在，，或，
【分析】（1）利用余弦定理將題設等式轉(zhuǎn)化為，從而利用橢圓的定義即可得解；
（2）聯(lián)立直線與曲線C的方程，得到，從而求得關于的表達式，從而得解.
【詳解】（1）∵，
∴由余弦定理，得．∵，
∴，即，∴，且．
由橢圓的定義，得動點M的軌跡C的方程為．（2）將直線l的方程代入曲線C的方程并整理，得，則．
設，，則，．
設點，且，則
．
若為定值，則，∴，解得．當時，，點．
當時，，點．
.
題型02千變?nèi)f化的直線設法
【解題攻略】
【典例1-1】已知橢圓過點，且離心率為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知直線與橢圓交于不同的兩點P，Q，那么在x軸上是否存在點M，使且，若存在，求出該直線的方程；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)(2)詳見解析
【分析】（1）根據(jù)條件得到關于的方程組，即可求得橢圓方程；
（2）首先直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理表示線段中點坐標，再根據(jù),以及，轉(zhuǎn)化為坐標表示，代入韋達定理后，即可求
【詳解】（1）由條件可知，，解得：，，
所以橢圓C的方程是；
（2）假設在軸上存在點，使且，
聯(lián)立，設，，
方程整理為，
，解得：或，
，，
則線段的中點的橫坐標是，中點縱坐標，
即中點坐標，，
則，即，化簡為，①
又,
則，，
整理為，
，
化簡為②
由①得，即，代入②得，整理得③，又由①得，代入③得，即，整理得，即.
當時，，當時，，滿足，
【典例1-2】已知拋物線的頂點在原點，焦點坐標為.
(1)求拋物線的方程；
(2)若直線與拋物線交于兩點，求面積的最小值.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根據(jù)拋物線焦點坐標，求得，即可求得拋物線方程；
（2）聯(lián)立直線方程和拋物線方程，根據(jù)韋達定理，結(jié)合直線恒過的定點，表達出面積關于參數(shù)的函數(shù)關系，求其最小值即可.
【詳解】（1）由題意，得，拋物線的方程為.
（2）設，
聯(lián)立，消去得，
，
，
易知，直線恒過定點，
故△的面積，
故△面積的最小值為.
【變式1-1】已知橢圓的左焦點為F，右頂點為A，離心率為，B為橢圓C上一動點，面積的最大值為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)經(jīng)過F且不垂直于坐標軸的直線l與C交于M，N兩點，x軸上點P滿足，若，求的值．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）由題意可得，，再結(jié)合可求出，從而可求出橢圓的方程；
（2）由題意設直線為（），，設，將直線方程代入橢圓方程中化簡利用根與系數(shù)的關系，然后由可得，再根據(jù)可求得結(jié)果.
【詳解】（1）因為橢圓的離心率為，所以，因為面積的最大值為，
所以，因為，所以解得，
所以橢圓C的方程為；
（2），設直線為（），，不妨設，設，
由，得，則，
所以，因為，所以，
所以，所以，
所以，因為，
所以，所以，
所以，解得，因為，
所以，，所以，
，所以，
化簡得，解得，因為，所以.
【變式1-2】已知橢圓的左，右焦點分別為，上頂點為，且為等邊三角形.經(jīng)過焦點的直線與橢圓相交于兩點，的周長為.
(1)求橢圓的方程；
(2)試探究：在軸上是否存在定點，使得為定值？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)(2)存在定點,使得為定值
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形三邊長相等可知，根據(jù)周長為可求得，結(jié)合橢圓關系可求得結(jié)果；
（2）假設存在滿足題意的定點，設，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達定理的結(jié)論；根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算表示出，代入韋達定理的結(jié)論整理可得，根據(jù)為定值可構(gòu)造方程求得的值，從而得到定點坐標.
【詳解】（1）為等邊三角形，，，；
的周長為，，
解得：，，，橢圓的方程為：.
（2）假設在軸上存在定點，使得為定值；
由（1）知：，直線斜率不為零，可設，，，
由得：，則，
，，
；
為定值，，解得：，此時定值為；
存在定點，使得為定值.
.
題型03 無定點無斜率型雙變量
【解題攻略】
【典例1-1】橢圓的離心率是，且過點.
(1)求的方程；
(2)過點的直線與的另一個交點分別是，與軸分別交于，且于點，是否存在定點使得是定值？若存在，求出點的坐標與的值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)(2) ，
【分析】(1)將點P的坐標代入橢圓方程，與離心率聯(lián)立方程組，求出a，b；
(2)設立直線AB的方程，根據(jù)條件求出AB的方程，求出Q點坐標關于AB斜率的表達式，再消去參數(shù)即可.
【詳解】（1）將點P坐標代入橢圓方程得： …①，由離心率得 ， ，
又 ，代入①解得 ，
橢圓C的標準方程為： ；
（2）設 ，不妨設 ，直線AB的方程為 ；
聯(lián)立方程 ，得 ，
，
直線AP的方程為： ，直線BP的方程為： ，
令 得 ，由題意： ，
，化簡得： ，
將 代入上式化簡得： ，
將 式代入上式并化簡得： ，即 或者，
如果 ，則AB的方程為 ，為過定點P的直線，顯然不符合題意，舍；
，AB的方程為 ，
∴ ，又 ，即 ，
， ， ，
聯(lián)立方程 ，解得 ，
…③ ，即定點R為 ， ；
當 時， ，此時直線AB為y軸，所以PQ為平行于x軸的直線，Q點的坐標為 ，代入③也滿足；
綜上，橢圓C的標準方程為：，定點R為 ，.
【典例1-2】已知直線與拋物線交于，兩點，且與軸交于點，過點，分別作直線的垂線，垂足依次為，，動點在上.
(1)當，且為線段的中點時，證明：；
(2)記直線，，的斜率分別為，，，是否存在實數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析；(2).
【分析】（1）取的中點,連接.利用幾何法，分別證明出,為的角平分線，即可證明；
（2）利用“設而不求法”分別表示出，解方程求出.
【詳解】（1）如圖示：
當時，恰為拋物線的焦點.
由拋物線的定義可得：.
取的中點,連接,則為梯形的中位線，所以.
因為為的中點,所以,所以.
在中，由可得：.
因為為梯形的中位線，所以，所以，
所以.
同理可證：.
在梯形中，,
所以，所以，
所以,即.
（2）假設存在實數(shù)，使得.
由直線與拋物線交于，兩點，可設.
設,則，消去可得：，所以，.
則
.
而.所以，解得：.
【變式1-1】已知雙曲線的頂點為，，過右焦點作其中一條漸近線的平行線，與另一條漸近線交于點，且.點為軸正半軸上異于點的任意點，過點的直線交雙曲線于C，D兩點，直線與直線交于點.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)求證：為定值.
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意表示出點的橫坐標，求出縱坐標，表示面積即可求解；
（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)韋達定理證明求解.
【詳解】（1）設雙曲線，易知.
由題意可知：為等腰三角形，則，代入得：
，則，
又，則解得，
則雙曲線.
（2）設直線的方程為：，（且），，.聯(lián)立，消得：，，，
，①，②聯(lián)立①②，解得：.
又，同理，，
把它們代入，得
，故，得證.
【變式1-2】已知橢圓：的離心率為，且過點．
(1)求橢圓的方程；
(2)設不過點的直線與橢圓交于，兩點，關于原點的對稱點為，記直線，，的斜率分別為，，，若，證明直線的斜率為定值．
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)離心率和過點，求出橢圓的方程；
（2）根據(jù)題意求出，進而，韋達定理帶入求出.
【詳解】（1）由題設得，，
即，解得．所以的方程為．
（2）設直線的方程為，代入得．
，
設，則，于是．
，又，所以．
即．，即，
，
，
將，
代入整理得，即，
當，直線過點，舍去，所以．
題型04五個方程常見題型：斜率和定
【解題攻略】
【典例1-1】橢圓：()的左焦點為，且橢圓經(jīng)過點，直線()與交于，兩點（異于點）.
（1）求橢圓的方程；
（2）證明：直線與直線的斜率之和為定值，并求出這個定值.
【答案】（1）；（2）證明見解析，定值為1.
【分析】
（1）根據(jù)橢圓左焦點為，且橢圓經(jīng)過點，從而得到，進而求得的值，得到橢圓方程；
（2）先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消元，設，韋達定理得到，利用兩點斜率坐標公式，結(jié)合韋達定理證得結(jié)果.
【詳解】（1）由題意得：則橢圓方程為；
（2）解法一（常規(guī)方法)：設，聯(lián)立化簡可得：，直線與橢圓交于兩點
即解得：
由韋達定理
直線得斜率和為定值．
解法二（構(gòu)造齊次式)：由題直線恒過定點
①當直線不過原點時，設直線為則即有
由有則
整理成關于的齊次式： ，進而兩邊同時除以，
則令則
②當直線過原點時，設直線的方程為
綜合直線與直線的斜率之和為定值．
【典例1-2】設為拋物線上兩點，且線段的中點在直線上.
（1）求直線的斜率；
（2）設直線與拋物線交于點，記直線，的斜率分別為，，當直線經(jīng)過拋物線的焦點時，求的值.
【答案】（1）1；（2）4.
【分析】
（1）設，，代入拋物線方程得到，，再由線段的中點在直線上，得出，代入斜率公式求解即可；
（2）設直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，得出，用韋達定理，代入 求解即可.
【詳解】
（1）設，，因為在拋物線上，且的中點在直線上，則，，，
所以直線的斜率；
（2）∵直線經(jīng)過拋物線的焦點，∴直線的方程為
由消去得，由韋達定理，，
∵直線與拋物線交于點，∴點的坐標為，
∴，，
∴.
【變式1-1】已知右焦點為的橢圓經(jīng)過點.
（1）求橢圓的方程；
（2）經(jīng)過的直線與橢圓分別交于、（不與點重合），直線、分別與軸交于、，是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）；（2）存在，且直線的方程為.
【分析】
（1）根據(jù)題意可得出關于、的方程組，解出、的值，即可得出橢圓的標準方程；
（2）由題意可知，直線的斜率存在，設直線的方程為，設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，設直線、的斜率分別為、，將韋達定理代入等式，求出的值，即可得出結(jié)論.
【詳解】
（1）因為橢圓經(jīng)過點，且該橢圓的右焦點為.
所以，，解得，因此，橢圓的標準方程為；
（2）存在直線，使得，理由如下：
若直線與軸垂直，則直線過點，不合乎題意，
由已知可設所在直線的方程為，
代入橢圓的方程，得，
，
設、，則，，
記直線、的斜率分別為、，
欲使直線滿足，只需.
因為、、三點共線，所以，即.
即
.
由，即，可得.所以存在直線，使得，
此時直線的方程為，即.
【變式1-2】已知點F是橢圓的右焦點，P是橢圓E的上頂點，O為坐標原點且.
（1）求橢圓的離心率e；
（2）已知，，過點M作任意直線l與橢圓E交于A，B兩點.設直線，的斜率分別為，，若，求橢圓E的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根據(jù)可求出；
（2）設出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓，利用韋達定理建立關系可得對任意成立，可求出，得出橢圓方程.
【詳解】
（1）由題可得，，
，即，，；
（2）由（1）可得橢圓方程為，
當直線l的斜率存在時，設l：，設，
聯(lián)立直線與橢圓，得，
則，即，
則，，
，，
即對任意成立，即，
則橢圓方程為，
當直線斜率不存在時，則直線方程為，則，且
此時，滿足題意，
綜上，橢圓方程為.
.
題型05雙變量基礎型：直線過定點
【解題攻略】
【典例1-1】已知橢圓過點，長軸長為.
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓交于點，直線分別交直線于點，為坐標原點.若，求證：直線經(jīng)過定點.
【答案】(1)；(2)證明見解析.
【分析】（1）解方程組即得解；
（2）設，，，，聯(lián)立直線和橢圓方程得到韋達定理，再求出點的坐標，根據(jù)已知得到+=0，再把韋達定理代入化簡即得證.
【詳解】（1）由題得所以橢圓的方程為.
（2）直線與橢圓方程聯(lián)立，化簡得，
，即.
設，，，，則，．
直線的方程為，則，直線的方程為，則，
因為，所以+=0所以，
所以，
把韋達定理代入整理得或，
當時，直線方程為，過定點，即點，不符合題意，所以舍去.
當時，直線方程為，過定點.
所以直線經(jīng)過定點.
【典例1-2】已知雙曲線經(jīng)過點（，1）
(1)求雙曲線C的離心率；
(2)若直線與雙曲線C相交于A，B兩點（A，B均異于左、右頂點），且以AB為直徑的圓過雙曲線C的左頂點D，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．
【答案】(1)(2)證明見解析,定點為
【分析】(1)根據(jù)雙曲線經(jīng)過點（，1）即可求解;(2)聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達定理可求解.
【詳解】（1）因為雙曲線經(jīng)過點（，1），
所以，解得或(舍)，所以，
所以雙曲線的離心率.
（2）設，由（1）知，雙曲線，聯(lián)立 ，消整理得，
因為直線與雙曲線C有兩個交點，所以，即，由韋達定理得，
，由題可知雙曲線C的左頂點,
因為以AB為直徑的圓過雙曲線C的左頂點D，所以,即，
所以，即，
整理得，即，解得，或，
即，，當時，直線方程為，當時，
即此時直線過定點為左頂點，不滿足題意;
當時，直線方程為，當時，即此時直線過定點，滿足題意;
所以直線l過定點，該定點的坐標為．
【變式1-1】已知點F是拋物線的焦點，動點P在拋物線上.
(1)寫出拋物線的焦點坐標和準線方程；
(2)設點，求的最小值：
(3)設直線l與拋物線交于D，E兩點，若拋物線上存在點P，使得四邊形DPEF為平行四邊形，證明：直線l過定點，并求出這個定點的坐標.
【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析，定點.
【分析】（1）根據(jù)標準方程直接寫出焦點和準線；
（2）利用兩點式及二次函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合拋物線的有界性求的最小值；
（3）設，直線為，聯(lián)立拋物線并應用韋達定理有，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)有，由向量線性運算的坐標表示得到與數(shù)量關系，結(jié)合點在拋物線上求參數(shù)b，即可確定定點.
【詳解】（1）根據(jù)拋物線標準方程可得：焦點，準線.
（2）設，則
當時，，而，此時時；
當時，，而，此時，即P為原點時；
所以.
（3）設，直線l為，
，則，所以.
因為四邊形是平行四邊形，所以，則
所以，
代入得：，解得，即直線過定點.
【變式1-2】已知為坐標原點，點在雙曲線上，直線交于，兩點.
(1)若直線過的右焦點，且斜率為，求 的面積；
(2)若直線，與軸分別相交于，兩點，且，證明：直線過定點.
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)條件，先求出C的方程，寫出直線l的方程，與雙曲線方程聯(lián)立求出P，Q點的坐標，運用兩點距離公式和點到直線的距離公式即可計算出的面積；
（2）根據(jù)M，N關于原點的對稱性，設立坐標 ，求出直線AM和直線AN的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，運用韋達定理求出P，Q的坐標，再利用兩點式直線方程化簡即可.
【詳解】（1）將點代入的方程，得，解得，
所以的方程為.直線的方程為，聯(lián)立方程 整理得，，解得，不妨設，，
則，
點到直線的距離為，所以 的面積為；
（2）
依題意作上圖，設 ，則 ， ， ，
直線AP的方程為： ，直線AQ的方程為： ；
聯(lián)立方程： ，解得： ，
顯然 ，即 ； ， ，聯(lián)立方程： ，解得： ，
顯然 ，即， ，即當 時，
直線PQ的方程為： ，將上面求得的 解析式代入得：
，整理得： ，
所以直線PQ過定點 .
.
.
題型06 定點：斜率積型
【解題攻略】
【典例1-1】已知圓經(jīng)過點，且與軸相切，切點為坐標原點.
(1)求圓的標準方程；
(2)直線：與圓交于，兩點，直線：與圓交于，兩點，且.
（i）若，求四邊形的面積；
（ii）求證：直線恒過定點.
【答案】(1)；(2)（i）；（ii）證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)已知條件，求得圓心和半徑，即可寫出圓方程；
（2）（i）聯(lián)立直線方程和圓方程，求得交點的坐標，結(jié)合三角形面積公式即可求得結(jié)果；
（ii）設出直線的方程，聯(lián)立圓方程，結(jié)合已知條件，找到直線方程中參數(shù)之間的關系，即可求得結(jié)果.
【詳解】（1）因為圓與軸相切，切點為坐標原點，故可得其圓心在軸上，
又其過點，故圓的圓心坐標為，半徑，
則圓的標準方程為：.
（2）（i）因為，又,故可得，聯(lián)立直線與，可得，解得或，故可得點坐標為；
聯(lián)立直線與，可得，解得或，
此時，故點坐標為.故四邊形的面積；
（ii）當直線的斜率存在時，設其方程為，
聯(lián)立可得，
根據(jù)題意，其
設兩點的坐標分別為，則，
故
又，即，整理得：，
則或，顯然時，不滿足題意，故舍去；
當時，，其恒過定點；
當直線的斜率不存在時，設直線的方程為，
聯(lián)立圓方程可得，解得，
不妨設，由可得：，解得（舍）或，
此時，直線也過點.綜上所述：直線恒過定點.
【典例1-2】已知橢圓的左右頂點為、，直線.已知為坐標原點，圓過點、交直線于、兩點，直線、分別交橢圓于、.
(1)記直線，的斜率分別為、，求的值；
(2)證明直線過定點，并求該定點坐標.
【答案】(1)；(2)，證明見解析.
【分析】(1)根據(jù)題意設和圓G的圓心坐標，寫出圓的標準方程，聯(lián)立直線方程，利用韋達定理求出，結(jié)合兩點坐標求直線斜率公式化簡計算即可；
(2)設，根據(jù)直線的點斜式方程寫出直線AM、AN方程，分別聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理表示出，進而求出點的坐標，根據(jù)橢圓的對稱性可知直線PQ過x軸上的定點，設定點坐標，利用平面共線向量的坐標表示化簡計算即可求解.
【詳解】（1）如圖，由題意知，圓G的圓心G在直線，設，
則半徑為，標準方程為，
設，由，得，
，消去，得，
則，所以；
（2）設，由(1)知，，得，
所以，即，
，即，
，消去，得，
則，得，
所以，得.
同理可得，即，
又，，
由橢圓的對稱性知，直線過定點，且該定點為軸上的點，
設定點為，則，，，
令，解得或(舍去)此時，所以與共線，
所以直線過定點.
【變式1-1】已知拋物線的焦點，為坐標原點，、是拋物線上異于的兩點．
(1)求拋物線的方程；
(2)若直線、的斜率之積為，求證：直線過軸上一定點．
【答案】(1)；(2)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)拋物線焦點坐標，直接求得，則拋物線方程得解；
（2）設出直線的方程，利用韋達定理，結(jié)合已知條件，即可求得結(jié)果.
【詳解】（1）根據(jù)題意，，則，故拋物線方程為：.
（2）顯然直線的斜率不為零，且不過原點，故設其方程為，
聯(lián)立拋物線方程可得：，時，
設兩點的坐標分別為，則，，
由題可知，，即，解得，此時滿足，
故直線恒過軸上的定點.
【變式1-2】已知橢圓C上任意一點P（x，y）到點F（－1，0）的距離與到直線x =－4的距離的比等于．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若直線l與橢圓C相交于M，N兩點，A（2，0），記直線AM，AN的斜率分別為kAM，kAN，且滿足kAM·kAN =－1．證明：直線l過定點．
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）先分別求出點P到點F的距離和到直線x =－4的距離,然后由根據(jù)條件得到方程，化簡即可得到答案.
（2）當直線l的斜率存在時，設直線l為y = kx + m，與橢圓方程聯(lián)立得出韋達定理，表示出kAM·kAN =－1，將韋達定理代入，得出的關系，得到答案，再驗證直線l的斜率不存在的情況.
【詳解】（1）因為點P（x，y）到點F（－1，0）的距離為，
點P（x，y）到直線x=－4的距離，
所以 ?4（x2+2x+1+y2）=x2+8x+16?3x2+4y2=12，
因此，可得橢圓C的標準方程為．
（2）① 當直線l的斜率存在時，設直線l為y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立
消去y，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2－12=0，
則 =48（4k2+3－m2）＞0，，，于是 ，
即（kx1+m）（kx2+m）+（x1－2）（x2－2）= 0，
即（k2+1）x1x2+（km－2）（x1+x2）+（m2+4）=0，
化簡，得4k2+16km+7m2=（2k+m）（2k+7m）=0．
（i）當2k+m=0時，直線為y=kx－2k，過點（2，0），舍去；
（ii）當2k+7m=0時，直線為，過點（，0）．
② 當直線l的斜率不存在時，x =，經(jīng)檢驗，符合題意．
綜上，則直線l過定點R（，0）．
.
題型07 定點：斜率比值型
【典例1-1】橢圓的左右焦點分別為，焦距為，點M為橢圓上位于x軸上方的一點，，且的面積為2.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設橢圓的左?右頂點分別為，直線交橢圓于兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，已知.求證：直線恒過定點.
【答案】(1)(2)證明見解析, 恒過定點
【分析】(1)根據(jù)焦點三角形與橢圓的定義可求解;(2)利用韋達定理確定，轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合韋達定理求得定點.
【詳解】（1）因為，所以，即，所以，所以
又，，，
所以，即，所以，
所以，所以橢圓方程為.
（2）依題意，設，
若直線的斜率為0則關于軸對稱，必有，不合題意．
所以直線斜率必不為0，設其方程為，
與橢圓C聯(lián)立，整理得：，
所以，且，因為是橢圓上一點，即
所，則，即，
因為，得
即
因為，，，
整理得 解得，所以直線恒過定點 .
【典例1-2】已知橢圓的離心率為，橢圓上一動點與左?右焦點構(gòu)成的三角形面積最大值為.
(1)求橢圓的方程；
(2)設橢圓的左?右頂點分別為，直線交橢圓于兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，已知.
①求證：直線恒過定點；
②設和的面積分別為，求的最大值.
【答案】(1)；(2)①證明見解析；②.
【分析】（1）由離心率、焦點三角形最大面積及橢圓參數(shù)關系列方程組求橢圓參數(shù)，即可得方程；
（2）①設為，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)已知條件，應用韋達定理、兩點斜率公式化簡求得，即可證結(jié)論；②由面積公式與韋達定理化簡后轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值.
【詳解】（1）由題意，解得，所以橢圓C的方程為．
（2）①依題意，設，
若直線的斜率為0則P，Q關于y軸對稱，必有，不合題意．
所以直線斜率必不為0，設其方程為，
與橢圓C聯(lián)立，整理得：，所以，且
因為是橢圓上一點，即，所以，則，即因為
，
所以，此時，故直線恒過x軸上一定點．
②由①得：，所以
，
而，當時的最大值為．
【變式1-1】已知雙曲線的左焦點坐標為，直線與雙曲線交于兩點，線段中點為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)經(jīng)過點與軸不重合的直線與雙曲線交于兩個不同點，點，直線與雙曲線分別交于另一點.
①若直線與直線的斜率都存在，并分別設為.是否存在實常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
②證明：直線恒過定點.
【答案】(1)(2)①存在，；②證明見解析
【分析】（1）由點差法可得，結(jié)合及，可求得結(jié)果.
（2）①又直線與雙曲線相交可求得，再設，聯(lián)立結(jié)合韋達定理可求得的坐標，進而得，代入可求解.
②由①知,由對稱性知過的定點在軸上，計算可得解.
【詳解】（1）由題意知，直線的斜率為，設，
由題意，兩式相減得：，
整理得：，即，又，所以，即雙曲線，
經(jīng)檢驗滿足題意.
（2）①因為的斜率存在且，設，，
聯(lián)立，消去整理得：，由題意得，解得
又，設直線，聯(lián)立，整理得，由韋達定理得，
又，，
于是，
故，同理可得，
，，為定值，所以的值。②由①知（*），
由對稱性知過的定點在軸上，在（*）令，得，
解得直線恒過定點
【變式1-2】在一張紙上有一個圓：，定點，折疊紙片使圓上某一點好與點重合，這樣每次折疊都會留下一條直線折痕，設折痕與直線的交點為．
(1)求證：為定值，并求出點的軌跡方程；
(2)設，為曲線上一點，為圓上一點（，均不在軸上）．直線，的斜率分別記為，，且，求證：直線過定點，并求出此定點的坐標．
【答案】(1)證明見解析，(2)證明見解析，定點
【分析】（1）利用對稱性可知為定值，結(jié)合雙曲線定義可得點的軌跡的方程；
（2）直線所過定點，則由對稱性得定點在軸上，設定點，三點共線得，從而可得定點.
【詳解】（1）解：由題意得，所以，
即的軌跡是以，為焦點，實軸長為的雙曲線，
又，，所以，所以的方程為；
（2）解：由已知得：，：，
聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，消去整理得，
由韋達定理得，所以，即，所以，
聯(lián)立直線方程與圓方程，消去整理得，
由韋達定理得，所以，即，
因為，即，所以，若直線所過定點，則由對稱性得定點在軸上，設定點，由三點共線得，即，
所以直線過定點．
.
題型08“第六個方程”型轉(zhuǎn)化難題
【解題攻略】
【典例1-1】設橢圓(a>b>0)的左焦點為F，上頂點為B. 已知橢圓的離心率為，點A的坐標為，且.
（I）求橢圓的方程；
（II）設直線l：與橢圓在第一象限的交點為P，且l與直線AB交于點Q. 若(O為原點) ，求k的值.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)或
詳解：（Ⅰ）設橢圓的焦距為2c，由已知有，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，，
由，可得ab=6，從而a=3，b=2．所以，橢圓的方程為．
（Ⅱ）設點P的坐標為（x1，y1），點Q的坐標為（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故．
又因為，而∠OAB=，故．由，可得5y1=9y2．
由方程組消去x，可得．易知直線AB的方程為x+y–2=0，由方程組消去x，可得．由5y1=9y2，可得5（k+1）=，兩邊平方，整理得，
解得，或．所以，k的值為或
【典例1-2】已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，且橢圓上的點到兩個焦點的距離之和為.
（1）求橢圓的方程；（2）設為橢圓的左頂點，過點的直線與橢圓交于點，與軸交于點，過原點且與平行的直線與橢圓交于點.求的值.
【答案】（1）（2）
【詳解】（1）設橢圓的標準方程為，由題意知解得，
所以橢圓的標準方程為
（2）設過原點且與平行的直線和距離為，則
設直線的方程為，直線的方程為，則，由得易知，設，
則，是方程（1）的兩個根，所以，所以，
則又，
所以由得.設，
則，，所以，所以，
【變式1-1】如圖，已知橢圓：過點，離心率.
（1）求橢圓的方程；（2）如圖，直線平行于（為原點），且與橢圓交于兩點、，與直線交于點（介于、兩點之間）.
（i）當面積最大時，求的方程；（ii）求證：.
【答案】（1）；（2）（i），（ii）證明見解析.
【詳解】（1）由，.由于橢圓過點（2，1），所以，解得：，，
所以橢圓的方程為：；
（2）（i）由題設條件知，由題意設直線的方程為，設，，
聯(lián)立直線與橢圓的方程，整理可得，，即，，，所以弦長，到直線的距離為：，
所以，當且僅當取等號，由介于、之間可得，這時直線的方程為；
（ii）證明：∵，同理：，
∴
將，，代入可得：，
所以直線，關于直線對稱，即為的角平分線，
所以，即證得：.
【變式1-2】已知點在橢圓上，設，，分別為橢圓的左頂點?上頂點?下頂點，且點到直線的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）設為坐標原點，，為橢圓上的兩點，且，求證：的面積為定值，并求出這個定值.
【答案】（1）；（2）證明見解析，.
解：根據(jù)題意得：，，，所以直線的方程為：，
所以點到直線的距離為：，化簡整理得：.
又因為點在橢圓上，故.聯(lián)立，解得：.
故橢圓的方程為：.
（2）設直線的方程為：，與橢圓聯(lián)立方程 并化簡得：，
所以，，，
所以，因為，所以，化簡整理得：，
所以，整理得：（滿足）
此時，
，
原點到直線的距離為：，所以的面積為：.
.
題型09圓過定點
【解題攻略】
【典例1-1】已知橢圓和直線l：，橢圓的離心率，坐標原點到直線的距離為.
(1)求橢圓的方程；
(2)已知定點，若直線與橢圓相交于C，D兩點，試判斷是否存在實數(shù)k，使以CD為直徑的圓過定點E？若存在，求出k的值，若不存在，說明理由.
【答案】(1)(2)存在，
【分析】（1）根據(jù)題意寫出關于的等式，進行聯(lián)立即可求解；
（2）先假設假設存在實數(shù)k，聯(lián)立直線與橢圓可得，以CD為直徑的圓過定點E可得，將韋達定理代入即可求解
【詳解】（1）直線l方程為，依題意可得：，又，
解得：，，∴橢圓的方程為；
（2）假設存在實數(shù)k，使以CD為直徑的圓過定點E，聯(lián)立得，
∴，∴或①，設，，則②，
而，，，
要使以CD為直徑的圓過點，當且僅當，故，則，
∴，③
將②代入③得，解得，經(jīng)驗證使得①成立，
綜上可知，存在使得以CD為直徑的圓過點E.
【典例1-2】已知點F為雙曲線的右焦點，過F的任一直線l與交于A，B兩點，直線．
(1)若為曲線上任一點，且M到直線的距離為d，求的值；
(2)若為曲線上一點，直線MA，MB分別與直線交于D，E兩點，問以線段DE為直徑的圓是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．
【答案】(1)(2)過定點，或
【分析】（1）得到焦點，計算出與，相比后得到答案；
（2）方法一：設出直線l的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，得到直線MA的方程，求出點坐標，同理得到點坐標，由對稱性可知，定點P一定在x軸上，設為，由得到，求出或，故線段DE為直徑的圓過定點，或；
方法二：在第一問基礎上，作出輔助線，得到，由正弦定理求出，F(xiàn)D是的角平分線，同理可得，F(xiàn)E是的角平分線，.所以，即，故以DE為直徑的圓經(jīng)過點，由對稱性可知，也滿足條件.
【詳解】（1）由題意得：，
故．
（2）方法一：設直線l的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立得：，
設，則，.直線MA的方程為，
令，可得，所以，
同理.由對稱性可知，定點P一定在x軸上，不妨設為，則，，則
，
所以，則或.
所以線段DE為直徑的圓過定點，或.
【變式1-1】．已知是焦距為的雙曲線上一點，過的一條直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，且，過作垂直的兩條直線和，與軸分別交于兩點，其中與軸交點的橫坐標是.(1)證明:;
(2)求的最大值，并求此時雙曲線的方程;
(3)判斷以為直徑的圓是否過定點，如果是，求出所有定點;如果不是，說明理由.
【答案】(1)證明見解析(2)面積最大值為，此時雙曲線方程為.(3)過定點，定點為和.
【分析】（1）根據(jù)向量線性關系得到，結(jié)合雙曲線漸近線方程，得到，將點坐標代入雙曲線方程，得到，進而得到，計算出；
（2）考慮時，設出的方程，表達出，表達出，結(jié)合第一問中，求出，利用基本不等式求出面積的最大值，并得到雙曲線方程為；再考慮時，同樣表達出，得到最大值及雙曲線方程；
（3）表達出的方程及，，結(jié)合，得到，設以為直徑的圓上的任意一點為，則，求出圓的方程，得到且，求出定點坐標.
【詳解】（1）因為，所以，即，
雙曲線的漸近線方程為，位于兩條漸近線上，若，則，若，則，
①，又點雙曲線上，，解得：，
故，；
當時，與軸的交點為，若，則，若，則，，由（1）可得:同號，于是，，，，當且僅當時，，故面積最大值為，此時，雙曲線方程為；
當時，易得，，
，由①式可得:，且點在雙曲線上，，，，
當時，同樣當且僅當時，，
雙曲線方程為；
（3）由題意，，，，，
點在雙曲線上，，從而，，
設以為直徑的圓上的任意一點為，由，可得該圓的方程為，
不恒為，故要恒成立，必須有且，
故所求的定點為和.
【變式1-2】已知拋物線的焦點為，準線為．
(1)若為雙曲線的一個焦點，求雙曲線的漸近線方程；
(2)設與軸的交點為，點在第一象限，且在上，若，求直線的方程；
(3)經(jīng)過點且斜率為的直線與相交于、兩點，為坐標原點，直線?分別與相交于點．試探究：以線段為直徑的圓是否過定點，若是，求出定點的坐標；若不是，說明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)答案見解析.
【分析】（1）先求拋物線的焦點坐標，再根據(jù)題意求雙曲線的，即可得漸近線方程；
（2）根據(jù)拋物線的定義進行轉(zhuǎn)化分析可得，進而可得直線EP的傾斜角與斜率，利用點斜式求直線方程；
（3）設直線的方程及A，B兩點的坐標，進而可求M，N兩點的坐標，結(jié)合韋達定理求圓C的圓心及半徑，根據(jù)圓C的方程分析判斷定點.
【詳解】（1）解：拋物線的焦點為，準線為，
雙曲線的方程為，即，則，，
由題意可知：，則，故雙曲線C的方程為，漸近線方程為.
（2）解：由（1）可知：，
如圖，過點P作直線的垂線，垂足為M，由拋物線的定義可知，
因為，且，所以，
故直線EP的傾斜角，斜率，所以直線EP的方程為，即.
（3）解：以線段MN為直徑的圓C過定點，.理由如下：
由已知可得直線，設，，
聯(lián)立方程，消去y可得：，則可得：，，
又直線，當時，，所以.同理可得：.
又，
，
則以線段MN為直徑的圓C的圓心，半徑，
故圓C的方程為，整理得，
令，則，解得或，故以線段MN為直徑的圓C過定點，.
題型10定值型
【解題攻略】
【典例1-1】已知橢圓：（，），離心率為，且點在橢圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）若橢圓上的任意一點（除短軸的端點外）與短軸的兩個端點，的連線分別與軸交于，兩點，求證為定值．
【答案】（1）；（2）證明見解析．
【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率及所過的點，列方程組求參數(shù)、，寫出橢圓方程.
（2）設，寫出直線、的方程，可求，的坐標，進而可得關于的關系式，根據(jù)在橢圓上即可證結(jié)論.
【詳解】（1）由題設，，可得，故橢圓方程為.
（2）由題意，若，，設橢圓上任意一點，
∴直線的方程為；直線的方程為，
令，得，．
∴為定值，得證．
【典例1-2】雙曲線的一條漸近線方程為，且經(jīng)過點．
(1)求的方程；
(2)為坐標原點，過雙曲線上一動點（在第一象限）分別做的兩條漸近線的平行線為，且，與軸分別交于P，Q，求證：為定值．
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)雙曲線漸近線方程以及已知點，聯(lián)立方程，可得答案；
（2）由題意，設出動點，利用點斜式方程，結(jié)合直線位置關系，寫出直線的直線方程，求出的坐標，整理的表達式，利用整體思想，可得答案.
【詳解】（1）∵漸近線為，則，，∴，
在雙曲線上，得解得，∴曲線的標準方程為.
（2）設點坐標為則，得，則，
同理：
，得，則，
則
又∵點在曲線上，∴，∴
則，∴得證為定值3．
【變式1-1】．已知O為坐標原點，M是橢圓上的一個動點，點N滿足，設點N的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程．
(2)若點A，B，C，D在橢圓上，且與交于點P，點P在上．證明：的面積為定值．
【答案】(1)；(2)證明見解析.
【分析】（1）利用相關點法即得；
（2）由題可得A，B分別為的中點，進而可得C，D都在直線上，然后利用弦長公式及三角形面積公式結(jié)合條件即得.
【詳解】（1）設，則，因為，所以，
所以，即曲線的方程為；
（2）設，則，由，可知A，B分別為的中點，
所以，則，作差可得．
因為，所以，同理，所以C，D都在直線上，
聯(lián)立，可得，即，
點P到直線的距離，
所以的面積為，即的面積為定值．
【變式1-2】已知一動點C與定點的距離與C到定直線l：的距離之比為常數(shù).
(1)求動點C的軌跡方程；
(2)過點F作一條不垂直于y軸的直線，與動點C的軌跡交于M，N兩點，在直線l上有一點，記直線PM，PF，PN的斜率分別為，，，證明：為定值.
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意，設動點，利用動點C與定點的距離與C到定直線l：的距離之比為常數(shù)即可求出軌跡方程；
（2）討論直線斜率是否存在兩種情況，當直線斜率存在時，設直線方程為：，聯(lián)立方程組，設而不求，利用韋達定理即可證明為定值.
【詳解】（1）設動點，由題意知，，所以動點C的軌跡方程為C：.
（2）當直線斜率不存在時，M，N的坐標分別為，，則.
當直線斜率存在時，設直線方程為：.聯(lián)立直線和橢圓的方程，化簡得，則，，，
，
所以
.
即為定值，定值為2
.
題型11面積最值型
【解題攻略】
【典例1-1】已知圓：過點，其長軸長為4．
(1)求橢圓的方程；
(2)已知為坐標原點，，為橢圓上不重合兩點，且，的中點落在直線上，求面積的最大值．
【答案】(1)(2)1
【分析】（1）由長軸長和橢圓上的點，待定系數(shù)法求橢圓的方程；
（2），為橢圓上不重合兩點，，的中點落在直線上，利用點差法求得直線的斜率，設出直線方程，代入橢圓方程，求弦長，求原點O到直線MN的距離，面積算式中利用基本不等式求最大值.
【詳解】（1）長軸長為4，則，點代入橢圓方程，有，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）設，則，
因為M，N在橢圓上，有 ，兩式相減可得，
設直線
聯(lián)立 ，消去得，則有，
又，得 ，
所以 ，，
原點O到直線MN的距離 故 ，
當且僅當，即時等號成立，故面積的最大值為1．
【典例1-2】已知拋物線，圓與拋物線有且只有兩個公共點.
(1)求拋物線的方程；
(2)設為坐標原點，過圓心的直線與圓交于點，直線分別交拋物線于點（點不與點重合）.記的面積為，的面積為，求的最大值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）聯(lián)立拋物線和圓的方程并消元，由對稱性可得關于的方程有兩個相等的正的實數(shù)根，由且根為正數(shù)解出，得出拋物線的方程；
（2）設直線的方程為，代入圓的方程中，消去，可得的縱坐標；設直線的方程為，代入拋物線方程，可得的縱坐標；將和的面積用公式表示，并轉(zhuǎn)為坐標形式，利用韋達定理和參數(shù)的范圍，求出最大值．
【詳解】（1）由,得，即.
由對稱性可得關于的方程有兩個相等的正的實數(shù)根，所以，且，
解得，所以拋物線C的方程為.
（2）由題意，知直線的斜率不為，故設直線的方程為，如圖，設，，，.將直線的方程代入圓的方程中，消去，得，所以，所以，且.直線的方程為，代入拋物線方程，消去，得，解得或，所以.同理，得，所以
，所以當時，取得最大值，為.
【變式1-1】已知橢圓C：的離心率為，點在橢圓C上．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)過點的直線l交橢圓C于P，Q兩點，O為坐標原點，求△OPQ面積的最大值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)離心率的公式，結(jié)合的基本關系，代入求解即可；
（2）直線的方程為，，，，直線與曲線聯(lián)立，的面積，根據(jù)韋達定理，弦長公式將三角形面積表示，
再根據(jù)基本不等式求解最大值即可.
【詳解】（1）由題意可得，解得，故橢圓C的標準方程為．
（2）設直線l的方程為，，，聯(lián)立，
整理得，則，即，解得，，．
故△OPQ的面積．
設，因為，所以，所以，因為，所以，
當且僅當，即時，等號成立，則，即△OPQ面積的最大值為．
【變式1-2】已知橢圓的上頂點為，右焦點為，點滿足．
(1)判斷點是否在橢圓上，并給出理由；
(2)已知與線段相交的直線交橢圓于，（不同于點，）兩點，求四邊形面積的最大值．
【答案】(1)點在橢圓上，理由見解析(2)
【分析】（1）根據(jù)的坐標及列方程即可求解，再得的值，即可得橢圓方程，將點坐標代入即可知是否滿足方程，判斷其與橢圓的位置關系；
（2）根據(jù)直線與橢圓的位置關系，確定弦長，再分別求解點到直線的距離，從而可得四邊形面積，利用換元法結(jié)合函數(shù)求其最值即可.
【詳解】（1）由題意得，，，所以，，
由于，得，得，所以，故橢圓的標準方程為．
所以，故點Q在橢圓上．
（2）如圖，設，，把代入并整理，得，則，故．由（1）知點Q在橢圓上，又直線與線段PQ 相交，
所以點P，Q在直線的兩側(cè)，設O為坐標原點，連接OQ，則．點到直線的距離，點到直線的距離，，
故四邊形PMQN的面積
．
令，則，，
當，即，時，，
因此四邊形PMQN面積的最大值為．
題型12 切線型
【典例1-1】如圖，兩個橢圓的方程分別為和，
(1)已知橢圓的離心率，且，求該橢圓的方程；
(2)從大橢圓的右頂點和上頂點分別向小橢圓引切線，若的斜率之積恒為，求的值.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率公式進行求解即可；
（2）利用一元二次方程根的判別式，結(jié)合題意進行求解即可.
【詳解】（1）由題意，，故橢圓方程為；
（2）由題意知，外層橢圓方程為，設切線的方程為，
代入內(nèi)層橢圓消去得：，
由，得
化簡得，同理得，因為的斜率之積恒為，
所以.
【典例1-2】已知橢圓的左、右焦點分別為，焦距為2，上一點到距離之和為6.
(1)求的方程；
(2)設在點處的切線交軸于點，證明：.
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】(1)根據(jù)的值直接求解；
(2)先求出過橢圓上一點的切線方程，再求出點坐標，從而即可證明.
【詳解】（1）由題意知，，得，，得,
由于，故橢圓C的方程為.
（2）當切線斜率不存在時，切線方程為，重合，等式成立；
當切線斜率為0時，切線與x軸不相交，不符合題意；
當切線斜率存在時，設由于對稱性，不妨設為橢圓上半部分曲線的一個點,
由，得，則，
所以切線的斜率為，得切線方程為，
即，整理得，
即，所以切線方程為，
令，得，即，由（1）知，，
則，，，，
又，得，
所以，，
所以，即，得證.
【變式1-1】法國數(shù)學家加斯帕爾·蒙日被譽為畫法幾何之父.他在研究橢圓切線問題時發(fā)現(xiàn)了一個有趣的重要結(jié)論：一橢圓的任兩條互相垂直的切線交點的軌跡是一個圓，尊稱為蒙日圓，且蒙日圓的圓心是該橢圓的中心，半徑為該橢圓的長半軸與短半軸平方和的算術平方根.已知在橢圓中，離心率，左、右焦點分別是、，上頂點為Q，且，O為坐標原點.
(1)求橢圓C的方程，并請直接寫出橢圓C的蒙日圓的方程；
(2)設P是橢圓C外一動點（不在坐標軸上），過P作橢圓C的兩條切線，過P作x軸的垂線，垂足H，若兩切線斜率都存在且斜率之積為，求面積的最大值.
【答案】(1)橢圓C的方程為，蒙日圓的方程為(2)
【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率結(jié)合題設求得，即得橢圓方程，進而寫出蒙日圓的方程；
（2）設，設過點P的切線方程為，聯(lián)立橢圓方程結(jié)合判別式確定點的軌跡方程，進而利用基本不等式求得，即可求得答案.
【詳解】（1）設橢圓方程為，焦距為2c.
由題意可知，
所以，橢圓C的方程為，
且蒙日圓的方程為；
（2）設，設過點P的切線方程為，
由，消去y得①，
由于相切，所以方程①的，可得：，
整理成關于k的方程可得：，
由于P在橢圓外，故，
故，
設過點P的兩切線斜率為，
據(jù)題意得，，，
又因為，所以可得，
即點的軌跡方程為：，
由不等式可知：，
即，當且僅當時取等號，此時，
所以，即的面積的最大值為.
【變式1-2】．已知點為雙曲線的左右焦點，過作垂直于軸的直線，在軸上方交雙曲線于點，且的面積為.圓的方程是.
(1)求雙曲線的方程；
(2)過雙曲線上任意一點作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為，求的值；
(3)過圓上任意一點作圓的切線交雙曲線于兩點，中點為，若恒成立，試確定圓半徑.
【答案】(1)；(2)；(3).
【分析】（1）由面積可求，再根據(jù)雙曲線的定義可求，從而可求雙曲線的方程；
（2）求出雙曲線的漸近線方程，設兩漸近線的夾角為，根據(jù)到角公式可求與，根據(jù)點到直線的距離公式可求，根據(jù)平面向量的數(shù)量積運算結(jié)合在雙曲線上即可求解；
（3）由題意可得，設，，當?shù)男甭蚀嬖跁r，設直線，與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)韋達定理及可得，根據(jù)點到直線的距離公式可求，當?shù)男甭什淮嬖跁r亦可求得.
【詳解】（1）因為的面積為，所以，
所以，解得，此時，
所以，故雙曲線的方程為.
（2）由題意得兩條漸近線分別為，
設雙曲線上的點，設兩漸近線的夾角為，則，得．
則點到兩條漸近線的距離分別為，因為在雙曲線上，所以，又，所以.
（3）中點為，若，則．設，，
當?shù)男甭蚀嬖跁r，設直線，由得，
所以，所以，
所以，所以，
所以，所以,所以圓心到直線的距離.
當?shù)男甭什淮嬖跁r，直線，得，也滿足，綜上，圓半徑．
.
高考練場
1.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線C：的右焦點為，且C的一條漸近線恰好與直線垂直.
(1)求C的方程；
(2)直線l：與C的右支交于A，B兩點，點D在C上，且軸.求證：直線BD過點F.
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)焦點坐標及漸近線的斜率列式求解即可；
（2）設點的坐標，聯(lián)立直線與雙曲線方程，韋達定理，根據(jù)向量共線坐標運算得三點共線，即證.
【詳解】（1）由焦點坐標為得，所以，
又雙曲線C：的一條漸近線恰好與直線垂直，
得即，所以，
所以雙曲線C的方程為，即.
（2）由題意可知直線l的斜率存在且不為0，所以，
設，，則，由（1）可知，雙曲線C的漸近線為，
又直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點，則，即.
聯(lián)立，消去x得，
則，得，
，，則，
又，所以，，
所以，
所以，又，有公共點F，所以B，F(xiàn)，D三點共線，
所以直線BD過點F.

2.已知雙曲線的右焦點為，且點在雙曲線C上.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)過點F的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點，在x軸上是否存在不與F重合的點P，使得點F到直線PA，PB的距離始終相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，，理由見解析
【分析】（1）首先得，再將點的坐標代入雙曲線方程，聯(lián)立方程求解，即可求雙曲線方程；
（2）假設存在點，據(jù)題意設，聯(lián)立方程得到，，再由點到直線的距離相等可得，由此代入式子即可求得點坐標，再考慮斜率不存在的情況即可
【詳解】（1）由題意得，，
所以，所以，，
所以雙曲線C的標準方程為；
（2）假設存在，設，，
由題意知，直線斜率不為0，設直線，
聯(lián)立，消去，得，
則，，
且，，
因為使得點F到直線PA，PB的距離相等，所以PF是的角平分線，
則，即，則，
整理得，故，
即，因為，所以，此時；
當直線的斜率不存在時，根據(jù)拋物線的對稱性，易得也能讓點F到直線PA，PB的距離相等；
綜上所述，故存在滿足題意
3.已知橢圓的離心率為，點在短軸上，且．
(1)求的方程；
(2)若直線與交于兩點，求（點為坐標原點）面積的最大值．
【答案】(1)；(2) .
【分析】（1）由題知，，進而根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算得，再根據(jù)即可求得，進而得答案；
（2）設，進而聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達定理，弦長公式得，再求得原點到直線的距離即可計算的面積，再根據(jù)基本不等式求解即可.
【詳解】（1）解：因為橢圓的離心率為，
所以，即，
因為點在短軸上，且，
所以，，解得，
因為，所以，，
所以，的方程為；
（2）解：設
聯(lián)立方程得，
所以，即，
所以，
所以，
，因為原點到直線的距離為，
所以，，當且僅當，即時等號成立，
所以，（點為坐標原點）面積的最大值為.
4.（2023·四川成都·校聯(lián)考一模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，短半軸長為1，點在橢圓上運動，且的面積最大值為.
(1)求橢圓的方程；
(2)當點為橢圓的上頂點時，設過點的直線交橢圓于，兩點，直線，的斜率分別為，，求證：為定值.
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)題意可得，求解即可；
（2）分直線斜率存在和不存在兩種情況，結(jié)合韋達定理即可證明.
【詳解】（1）設橢圓E的半焦距為c，由題意可知，當為橢圓E的上頂點或下頂點時，的面積取得最大值.
所以，所以，，
故橢圓E的標準方程為；
（2）由題意可知，當直線的斜率不存在時，直線的方程為，則不妨令，
；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，記，
由得，，
此時，即或，
，
.
綜上所述，，即為定值.
5.設橢圓C：（）過點，離心率為，橢圓的右頂點為A.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若直線與橢圓交于兩點M，N（M，N不同于點A），若，求證：直線l過定點，并求出定點坐標
【答案】(1)(2)證明見解析；
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求得，從而求得橢圓C的方程；
分類討論直線斜率存在與否的情況，利用韋達定理及向量數(shù)量積的坐標表示求得，從而得到直線過定點.
【詳解】（1）依題意得，，又，解得（負值舍去），所以橢圓方程為.
（2）由（1）得，當直線的斜率不存在時，可設直線為，代入，得，所以，設直線交軸于點，則，因為，故，
又，所以，則，即，解得或(舍去)，
所以直線過定點；
當直線的斜率存在時，可設直線，，
聯(lián)立，消去，得，
則，，
因為，則，即，
又因為，所以，
即，解得或，當時，直線過定點；
當時，直線過定點（舍去）；所以直線直線過定點；
綜上：直線直線過定點.
6.已知圓C的圓心坐標為，與y軸的正半軸交于點A且y軸截圓C所得弦長為8．
(1)求圓C的標準方程；
(2)直線n交圓C于的M，N兩點（點M，N異于A點），若直線AM，AN的斜率之積為2，求證：直線n過一個定點，并求出該定點坐標．
【答案】(1);(2)證明見解析，定點為.
【分析】（1）設圓的標準為，求出即得解；
（2）直線n斜率不存在時，不存在；直線n斜率存在時，設直線n：，，，，，求出直線的方程為即得解.
【詳解】（1）設圓的標準為，y軸截圓C所得弦長為8，
即，
故圓的標準方程為．
（2）證明：令，可得，，又點在正半軸，故，
當直線n斜率不存在時，設，，直線，的斜率之積為2，
，即，點在圓上，，
聯(lián)立，，舍去，
當直線n斜率存在時，設直線n：，，，，，
①
聯(lián)立方程，，，
代入①，得，化簡得或，
若，則直線過，與題設矛盾， 舍.
直線n的方程為：，所以且
所以.所以過定點．
7.已知直線與拋物線交于，兩點，且
(1)求的方程
(2)若直線與交于兩點，點與點關于軸對稱，試問直線是否過定點？若過定點，求定點的坐標；若不過定點，說明理由
【答案】(1)(2)過定點，
【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線，寫出根與系數(shù)關系，化簡已知條件來求得，進而求得拋物線的方程.
（2）連值直線拋物線，寫出根與系數(shù)關系，求得直線的方程，并求出定點的坐標.
【詳解】（1）將代入，得，
則，
則，解得，
故的方程為
（2）設，則，
聯(lián)立方程組，整理得，
則，所以，
因此直線的方程為，
整理得，即，
當時，，故直線過定點.
8.已知橢圓：，圓：的圓心在橢圓上，點到橢圓的右焦點的距離為2．（1）求橢圓的方程；
（2）過點作直線交橢圓于，兩點，若，求直線的方程．
【答案】（1）（2）或．
試題解析：（1）因為橢圓的右焦點，，所以，因為在橢圓上，所以，
由，得，，所以橢圓的方程為．
（2）由得：，即，可得，
①當垂直軸時，，此時滿足，所以此時直線的方程為；
②當不垂直軸時，設直線的方程為，由消去得，
設，，所以，，代入可得：，代入，，得，
代入化簡得：，解得，經(jīng)檢驗滿足題意，則直線的方程為，
綜上所述直線的方程為或．
9.已知用周長為36的矩形截某圓錐得到橢圓與矩形的四邊都相切且焦距為，__________.
①為等差數(shù)列；②為等比數(shù)列.
(1)在①②中任選一個條件，求橢圓的標準方程；
(2)（1）中所求的左?右焦點分別為，過作直線與橢圓交于兩點，為橢圓的右頂點，直線分別交直線于兩點，求以為直徑的圓是否過定點，若是求出該定點；若不是請說明理由
【答案】(1)(2)存在，和.
【分析】(1)周長為36的矩形截某圓錐得到橢圓與矩形的四邊都相切，可得，若選①，結(jié)合為等差數(shù)列與，聯(lián)立解方程組可求得；若選②，則為等比數(shù)列與已知條件列方程組即可解得.
(2)分直線斜率存在或斜率不存在兩種情況分類討論，直線的斜率不存在時，的方程為，根據(jù)對稱性即可求得點的坐標，代入的方程求得點的坐標，即可寫出圓的方程，并求出定點坐標；當直線斜率存在時，設直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立，韋達定理寫出兩根之和，兩根之積，同理求出四個點的坐標，寫出以為直徑的圓的標準方程，化簡求定點.
【詳解】（1）選①，由題意解得所以的標椎方程為.
選②，由題意解得所以的標椎方程為.
（2）①當直線的斜率不存在時，的方程為，不妨設在軸上方，則，
的方程為，令，得，所以，同理，
所以以為直徑的圓的標準方程為.
②當直線的斜率存在時，設的方程為，
聯(lián)立得，由韋達定理得.
因為，所以的方程為，令，得，即的坐標為，
同理的坐標為，所以以為直徑的圓的標準方程為
將韋達定理代入并整理得，
令，則，解得或.
當斜率不存在時，令，則，解得或.
由①②知，以為直徑的圓過和.
10.已知橢圓：的離心率為，其左、右焦點分別為、，上頂點為，且.
(1)求橢圓的方程；
(2)直線：與橢圓交于兩點，О為坐標原點.試求當為何值時，恒為定值，并求此時面積的最大值.
【答案】(1)(2)，最大值1
【分析】（1）根據(jù)題意列出關于的方程，解方程求得其值，可得答案；
（2）設，，聯(lián)立，可求得根與系數(shù)的關系式，從而求得的表達式，利用其恒為定值，求得參數(shù)k的值，進而求得面積的表達式，結(jié)合基本不等式即可求得最值.
【詳解】（1）由己知，點，的坐標分別為，，
又點的坐標為，且，
于是，解得，，所以，橢圓方程為.
（2）設，，聯(lián)立，消元得，
當，即時，則有，，
則
，
當為定值時，即與無關，故，得，
此時
，又點到直線的距離，
所以，當且僅當，即時，等號成立，
經(jīng)檢驗，此時成立，所以面積的最大值為1.
11.已知焦點在軸上的橢圓，離心率為，且過點，不過橢圓頂點的動直線與橢圓交于、兩點，求：
（1）橢圓的標準方程；
（2）求三角形面積的最大值，并求取得最值時直線、的斜率之積.
【答案】（1）；（2）面積最大值為1，斜率之積為－4．
【分析】（1）由離心率得，從而得，再把點的坐標代入標準方程，可解得；
（2）利用韋達定理及弦長公式求得底的長，由點到直線距離公式可求得邊上的高，從而把面積表示為，進而可得．
【詳解】因為橢圓離心率為，可設方程為，過點，所以，
所以橢圓的標準方程為.
（2）設，聯(lián)立，得，①
，∴，
又點O到直線AB的距離為，∴
故當，即時，三角形的面積有最大值1，此時滿足①，
所以，
∴三角形面積的最大值為1，此時直線、的斜率之積為－4．
12.已知，為橢圓C上兩點，為橢圓C的左焦點．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設直線與橢圓C有且僅有一個公共點，與直線交于點M，與直線交于點N，證明：．
【答案】(1)(2)證明見解析
【分析】（1）設橢圓方程為，代入兩點，計算得到答案.
（2）考慮和兩種情況，計算交點坐標，根據(jù)直線與橢圓只有一個交點得到，計算得到證明.
【詳解】（1）設橢圓方程為（，），
，為橢圓C上兩點，得，
解得，，故所求橢圓C的標準方程為．
（2）當時，直線，直線l與直線，聯(lián)立，
可得，或，，，
所以，所以．
當時，直線l與直線，聯(lián)立，可得，，
所以，，所以．
聯(lián)立，得，
直線l與橢圓C有且僅有一個公共點，，
化簡得，所以，所以．
綜上所述：．
基本模板實戰(zhàn)模板（如典型例題1得分析）-----------獨一無二的總結(jié)，千軍萬馬中殺出來的實戰(zhàn)經(jīng)驗，簡稱五個方程法。
1、設點，
2、方程1：設直線：-----此處還有千言萬語，在后邊分類細說。
3、方程2：曲線：橢圓，雙曲線，拋物線，或者其他（很少出現(xiàn)），注意一個計算技巧，方程要事先去分母
4、方程3:聯(lián)立方程，整理成為關于x(或者y）的一元二次方程。要區(qū)分，橢圓，雙曲線，和拋物線聯(lián)立后方程
的二次項能否為零-----這就是實戰(zhàn)經(jīng)驗。
5、（1）； （2）二次項系數(shù)是否為0；------這兩條，根據(jù)題確定是直接用，或者冷處理。但是必須考慮。
6、方程4、5：韋達定理
7、尋找第六個方程，第六個方程其實就是題目中最后一句話：且,

以上過程，以方程個數(shù)記，即是五個方程法。也就是許多老師所說的“韋達定理”法。這其中的華麗變化，以及解析幾何的后續(xù)難題，都是從這五個方程中變化而來，而這是許多老師不一定能完全說透的地方。
以上過程，簡單的一個判斷圖形，如圖：簡單總結(jié)為：一“直”一“曲”
如果所過定點在x軸上，為（m，0），也可以設為，此時包含了斜率不存在的情況，但是反而不包含x軸這條直線。

當題中的直線既無斜率，又不過定點線，就要設成“雙變量”型：，依舊得討論k是否存在情況
當直線既不過定點，也不知斜率時，設直線，就需要引入兩個變量了。
（1）
（2），此時直線不包含水平，也要適當?shù)难a充討論。
（3）設“雙變量”時，第一種設法較多。因為一般情況下，沒有了定點在x軸上，那么第二種設法實際上也沒有特別大的計算優(yōu)勢。如第1題。
（4）重要！雙變量設法，在授課時，一定要講清楚以下這個規(guī)律：
一般情況下，試題中一定存在某個條件，能推導出倆變量之間的函數(shù)關系。這也是證明直線過定點的理論根據(jù)之一。
給定橢圓，與橢圓上定點P，過P點走兩條射線PA、PB，與橢圓交與A和B兩點，記直線PA、PB的斜率分別為K1,K2,則有
直線過定點：
1、直線多為y=kx+m型
2.目標多為求：m=f（k）
3.一些題型，也可以直接求出對應的m的值
給定橢圓，與橢圓上定點P，過P點走兩條射線PA、PB，與橢圓交與A和B兩點，記直線PA、PB的斜率分別為K1,K2,則有
在一直一曲五個方程（韋達定理代入型）題型中，主要的難點在于怎么轉(zhuǎn)化出“第六個方程”。
具有明顯的可轉(zhuǎn)化為韋達定理特征的。屬于較容易的題。
隱藏較深的條件，需要用一些技巧，把條件轉(zhuǎn)化為點坐標之間的關系，再轉(zhuǎn)化為韋達定理。
沒有固定的轉(zhuǎn)化技巧，可以在訓練中積累相關化歸思想。
圓過定點，有常見幾方面的思維
利用以“某線段為直徑”，轉(zhuǎn)化為向量垂直計算
利用對稱性，可以猜想出定點，并證明。
通過推導求出定點（難度較大）
求定值問題常見的思路和方法技巧：
從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；
直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
求定值題型，運算量大，運算要求高，屬于中等以上難度的題

求最值求范圍，屬于前邊知識額綜合應用，主要是以下兩點要注意
注意變量的范圍。
式子轉(zhuǎn)化為求值域或者求最值的專題復習
一些常見的思維：
1.可以借助均值不等式求最值。
2.分式型，多可以通過構(gòu)造來求最值，如下幾種常見的。
分式型：以下幾種求最值的基本方法
（1）
（2）與型，可以設mx+n=t，換元，簡化一次項，然后構(gòu)造均值或者對勾函數(shù)求解。
（3）型，判別式法，或者分離常數(shù)，然后轉(zhuǎn)化分子為一次，再換元求解

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