TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc25082" 題型01向量夾角：模型夾角 PAGEREF _Tc25082 \h 1
\l "_Tc21286" 題型02向量夾角：坐標(biāo)型 PAGEREF _Tc21286 \h 2
\l "_Tc17232" 題型03向量夾角：復(fù)合型 PAGEREF _Tc17232 \h 3
\l "_Tc11827" 題型04向量夾角：恒成立與最值型 PAGEREF _Tc11827 \h 3
\l "_Tc26640" 題型05投影與投影向量：投影數(shù)量 PAGEREF _Tc26640 \h 4
\l "_Tc1241" 題型06投影與投影向量：投影向量 PAGEREF _Tc1241 \h 5
\l "_Tc24977" 題型07線性運(yùn)算：雞爪基礎(chǔ)型 PAGEREF _Tc24977 \h 6
\l "_Tc15262" 題型08線性運(yùn)算：四邊形 PAGEREF _Tc15262 \h 7
\l "_Tc137" 題型09基底：換基底型 PAGEREF _Tc137 \h 8
\l "_Tc3460" 題型10基底：兩線交點(diǎn)型 PAGEREF _Tc3460 \h 8
\l "_Tc5256" 題型11基底：面積比值型 PAGEREF _Tc5256 \h 10
\l "_Tc29200" 題型12基底：趙爽弦圖型 PAGEREF _Tc29200 \h 10
\l "_Tc19568" 題型13數(shù)量積最值范圍 PAGEREF _Tc19568 \h 11
\l "_Tc17496" 題型14范圍最值型：建系法11
\l "_Tc26546" 高考練場 PAGEREF _Tc26546 \h 12
熱點(diǎn)題型歸納
題型01 向量夾角：模型夾角
【解題攻略】
【典例1-1】．（2022·遼寧·模擬預(yù)測）已知向量，滿足，，則，夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知為非零向量，且，則與夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2022·甘肅·一模（文））向量，滿足，，，則向量，的夾角是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2022·廣西南寧·一模（文））若兩個向量滿足，則與的夾角是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2022·廣西·高三階段練習(xí)（文））已知單位向量，，，則與的夾角為（ ）．
A．30°B．60°C．120°D．150°
題型02向量夾角：坐標(biāo)型
【解題攻略】
【典例1-1】（2021·江西·高三階段練習(xí)（理））已知向量，若，則向量與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知為整數(shù)，且，設(shè)平面向量與的夾角為，則的概率為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）若向量與的夾角為銳角，則t的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【變式1-2】（2022·河北·衡水市冀州區(qū)滏運(yùn)中學(xué)高三）已知點(diǎn)，，，，則向量與夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，，且，的夾角的余弦值為，則等于（ ）
A．2B．C．或D．2或
題型03向量夾角：復(fù)合型
【解題攻略】
【典例1-1】（2022·河南·光山一中高三階段練習(xí)）已知單位向量，，滿足，則與夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·四川省成都市新都一中高三）已知，，則向量與的夾角為（ ）
A．90°B．60°C．30°D．0°
【變式1-1】．（2020·云南德宏·高三 （理））已知向量，滿足，，且，則與夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，若與的夾角為，則（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知、、均為單位向量，且，則、之間夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
題型04 向量夾角：恒成立與最值型
【解題攻略】
【典例1-1】已知向量，滿足|，，且對任意的實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，設(shè)，的夾角為，則的值為（ ）
A．﹣2B．2C．D．
【典例1-2】設(shè)為單位向量，滿足，設(shè)的夾角為，則的可能取值為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】已知向量，，，，的夾角為，若存在實(shí)數(shù)m，使得，則m的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．

【變式1-2】已知平面向量，滿足，且對任意實(shí)數(shù)，有，設(shè)與夾角為，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．

【變式1-3】已知單位向量，的夾角為60°，向量，且，，設(shè)向量與的夾角為，則的最大值為（ ）．
A．B．C．D．
題型05 投影與投影向量：投影數(shù)量
【解題攻略】
【典例1-1】（2023下·遼寧葫蘆島·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，則向量在向量上的投影的數(shù)量為（ ）
A． B． C． D．1
【典例1-2】已知，向量在向量上的投影為，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．

【變式1-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知向量，，若向量在向量方向上的投影為，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考一模）向量，，則在方向上投影的數(shù)量為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2022上·云南昆明·高三昆明市第三中學(xué)?？计谀┮阎蛄?，向量，則向量在向量方向上的投影數(shù)量為（ ）
A．B．C．1D．2
題型06投影與投影向量：投影向量
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知向量，若，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023上·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，則在上的投影向量為（ ）
A．B．
C．D．
【變式1-1】（2023·廣西·模擬預(yù)測）向量在向量上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2023·廣東·東莞市東華高級中學(xué)校聯(lián)考一模）已知，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2023·全國·模擬預(yù)測）向量，，那么向量在上的投影向量為（ ）
A．B．
C．D．
題型07線性運(yùn)算：雞爪基礎(chǔ)型
【解題攻略】
【典例1-1】已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則（ ）
A．B．
C．D．

【典例1-2】如圖，若，，，點(diǎn)B是線段AC上一點(diǎn)，且．若，則（ ）
A．，B．，
C．，D．，

【變式1-1】在中，為邊的中點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．C．D．不確定

【變式1-2】如圖，在中，，，則（ ）
A．B．C．D．1
【變式1-3】設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則（ ）
A．B．
C．D．
題型08 線性運(yùn)算：四邊形
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E滿足，，則（ ）
A．B．C．D．1
【典例1-2】（2023春·河北石家莊·高三校聯(lián)考）如圖，在平行四邊形中，，，，若，則下列關(guān)系正確的是（ ）

A．B．
C．D．
【變式1-1】（2023春·海南·高三校）如圖，在等腰梯形中，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，則（ ）

A．B．C．D．
【變式1-2】．（2023春·江蘇鹽城·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平行四邊形中，是線段的中點(diǎn)，若，則的值為（ ）
A．B．0C．1D．2
【變式1-3】（2023秋·新疆博爾塔拉·高三?？奸_學(xué)考試）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段AE上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，則等于（ ）

A．B．
C．D．
題型09基底：換基底型
【解題攻略】
【典例1-1】設(shè)向量是平面內(nèi)一個基底,且,則向量可以用另一個基底表示,即________.
【典例1-2】已知若以與為一組基底,則用與表示________.

【變式1-1】若是一組基底，向量 (x，y∈R)，則稱(x，y)為向量在基底下的坐標(biāo)，現(xiàn)已知向量在基底，下的坐標(biāo)為(－2，2)，則在另一組基底下的坐標(biāo)為________

【變式1-2】設(shè)是平面內(nèi)一組基底，且，，則向量可以表示為另一組基底的線性組合，即=____.
【變式1-3】已知與不平行，且，，，若以、為一組基底，則用、可表示為______
題型10 基底：兩線交點(diǎn)型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）如圖，在中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，設(shè)，，則（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-2】（2023·高一課時練習(xí)）如圖，在中，AD是BC邊上的中線，是AD上的一點(diǎn)，且，連接CF并延長交AB于，若，則等于（ ）

A．B．C．D．
【變式1-1】（2022·全國·高一專題練習(xí)）在△中，已知，，且AD與BC的交點(diǎn)為M，E是OA中點(diǎn)，又直線ME與線段OB交于點(diǎn)F，若，則實(shí)數(shù)的值為 ．
【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)O，7＝5，＝4，EF交AC于點(diǎn)K，，則實(shí)數(shù)λ的值為 .
【變式1-3】（2023春·湖南岳陽·高一湖南省岳陽縣第一中學(xué)?？计谀┰谥?，，D是AC的中點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．2C．D．3
題型11基底：面積比值型
【典例1-1】（2023春·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)、為 內(nèi)的兩點(diǎn)，且滿足， ，則 ．
【典例1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若點(diǎn)M是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：．則與的面積之比為 ．
【變式1-1】（2023春·全國·高三專題練習(xí)）四邊形中，，，則四邊形面積為（ ）
A．B．C．2D．
【變式1-2】（2023春·四川南充·高三?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)D、G為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，，，記分別為、的面積，那么（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2023春·高三單元測試）已知點(diǎn)O為所在平面上一點(diǎn)，且滿足，若的面積與的面積比值為，則的值為（ ）
A．B．C．2D．3
題型12基底：趙爽弦圖型
【典例1-1】我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.已知為線段的中點(diǎn)，設(shè)為中間小正方形內(nèi)一點(diǎn)（不含邊界）.若，則的取值范圍為__________.

【典例1-2】趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成）．類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，設(shè)，若，則可以推出_________．
【變式1-1】《周髀算經(jīng)》是我國最早的數(shù)學(xué)典籍，書中記載：我國早在商代時期，數(shù)學(xué)家商高就發(fā)現(xiàn)了勾股定理，亦稱商高定理三國時期數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了如圖1的“勾股圓方圖”（以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成），用數(shù)形結(jié)合法給出了勾股定理的詳細(xì)證明.現(xiàn)將“勾股圓方圖”中的四條股延長相同的長度得到圖2.在圖2中，若，，G，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離為，則“勾股圓方圖”中小正方形的面積為（ ）
A．9B．4C．3D．8

【變式1-2】我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示．在“趙爽弦圖”中，已知，則（ ）
A．B．C．D．
題型13 數(shù)量積最值范圍
【解題攻略】
【典例1-1】（2023秋·河北保定·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知邊長為2的菱形中，點(diǎn)為上一動點(diǎn)，點(diǎn)滿足，，則的最大值為（ ）
A．0B．C．D．3

【典例1-2】（2023·河北滄州·?？既＃┰谥?，若，，，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2024秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知定點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，且圓的半徑為，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2023秋·云南大理·高三云南省下關(guān)第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，且，若角的內(nèi)角平分線，則的最小值為（ ）
A．8B．4C．16D．12
【變式1-3】（2023春·北京海淀·高三清華附中校考）已知，，，則的最大值為（ ）
A．1B．2C．D．4
題型14 范圍最值型：建系法
【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量，，滿足，，，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．,D．,
【典例1-2】（2023春·廣東東莞·高三東莞市東莞中學(xué)松山湖學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在扇形中，，，M是OA中點(diǎn)，點(diǎn)P在弧AB上，則的最小值為（ ）
A．0B．2C．D．
【變式1-1】（2023秋·江西撫州·高三江西省樂安縣第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在平面四邊形ABCD中，，若P為邊BC上的一個動點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知長方形ABCD的邊長，P，Q分別是線段BC，CD上的動點(diǎn)，，則的最小值為（ ）
A．B．
C．D．
【變式1-3】（2023春·湖南永州·高三永州市第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知是邊長為4的等邊三角形，為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
高考練場
1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）若非零向量，滿足，，則向量與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
2.（2021·北京·中國人民大學(xué)附屬中學(xué)朝陽學(xué)校高三階段練習(xí)）已知，那么的夾角（ ）
A．B．C．D．
3.（2022·山西·懷仁市大地學(xué)校高中部高三階段練習(xí)）設(shè)向量，，則與夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
4.．已知向量、，滿足，，若對任意模為2的向量，均有，則向量、夾角的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．

5.（2022上·北京·高三階段練習(xí)）已知，則向量在方向上的投影數(shù)量為（ ）
A．B．C．D．
6.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，是與方向相同的單位向量，則在上的投影向量為（ ）
A．B．
C．D．
7.在中，，且，則（ ）
A．B．C．D．

8.（2022春·陜西安康·高三?？迹┤鐖D，在梯形中，，，設(shè)，，則（ ）

A．B．
C．D．
9.若是一個基底，向量，則稱為向量在基底下的坐標(biāo).現(xiàn)已知，，，，向量在基底下的坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)為______.
10.．如圖，在中，已知，，，BC、AC邊上的兩條中線AM、BN相交于點(diǎn)P，則在上的投影為（ ）
A．B．C．D．

11.（2021秋·湖南·高三周南中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）在中，為上一點(diǎn)，，為上任一點(diǎn)，，，（，），若，則當(dāng)取最小值時，四邊形的面積與的面積之比等于 ．
12.“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶，它是由四個全等的直角三角形和一個正方形構(gòu)成.現(xiàn)仿照趙爽弦圖，用四個三角形和一個小平行四邊形構(gòu)成如下圖形，其中，，，，分別是，，，的中點(diǎn)，若，則等于（ ）
A．B．C．1D．2

13.（2022春·高三單元測試）若平面向量滿足，，，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
14.（2023春·浙江臺州·高三溫嶺中學(xué)?？迹┮阎沁呴L為2的正六邊形內(nèi)（含邊界）一點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
求平面向量夾角的方法模長型）：
定義法：利用向量數(shù)量積的定義得，其中兩向量的取值范圍是；
求平面向量夾角的方法（坐標(biāo)型）：
坐標(biāo)法：若非零向量、，則.
復(fù)合型向量夾角計(jì)算，和簡單向量夾角計(jì)算一樣，多了一個復(fù)雜的求分母計(jì)算
cs〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝ eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
向量型恒成立：
通過模計(jì)算，轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立。
通過向量幾何意義，轉(zhuǎn)化為圖形恒成立
若、，則
a在b方向上的投影為： |a|cs θ ＝ eq \f(a·b,|b|)
若、，則a在b上的投影向量：
雞爪型是向量線性運(yùn)算基礎(chǔ)：
若D點(diǎn)在BC線段上，且滿足,則有
四邊形基底線性運(yùn)算，可以用基底推導(dǎo)，也可以通過特殊化構(gòu)造坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)計(jì)算
若、是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，則對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)、，使.
特別提醒：不共線的向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；
基底的不唯一性：只要兩個向量不共線，就可以作為平面的一組基底，對基底的選取不唯一，平面內(nèi)任意向量都可被這個平面的一組基底、線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的.
向量共線定理(兩個向量之間的關(guān)系)：向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個實(shí)數(shù)，使得.
變形形式：已知直線上三點(diǎn)、、，為直線外任一點(diǎn)，有且只有一個實(shí)數(shù)，使得：.
特別提醒：共線向量定理應(yīng)用時的注意點(diǎn)：向量共線的充要條件中要注意“”，否則可能不存在，也可能有無數(shù)個.證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時，才能得出三點(diǎn)共線；另外，利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說明這兩條直線不重合.
求最值基本思維：
（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.
（2）用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.
（3） 具有特殊條件向量，可以考慮三角換元求最值
第十三講 向量性質(zhì)與基本定理應(yīng)用
目錄
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc25082" 題型01向量夾角：模型夾角 PAGEREF _Tc25082 \h 1
\l "_Tc21286" 題型02向量夾角：坐標(biāo)型 PAGEREF _Tc21286 \h 3
\l "_Tc17232" 題型03向量夾角：復(fù)合型 PAGEREF _Tc17232 \h 4
\l "_Tc11827" 題型04向量夾角：恒成立與最值型 PAGEREF _Tc11827 \h 6
\l "_Tc26640" 題型05投影與投影向量：投影數(shù)量 PAGEREF _Tc26640 \h 9
\l "_Tc1241" 題型06投影與投影向量：投影向量 PAGEREF _Tc1241 \h 10
\l "_Tc24977" 題型07線性運(yùn)算：雞爪基礎(chǔ)型 PAGEREF _Tc24977 \h 12
\l "_Tc15262" 題型08線性運(yùn)算：四邊形 PAGEREF _Tc15262 \h 14
\l "_Tc137" 題型09基底：換基底型 PAGEREF _Tc137 \h 16
\l "_Tc3460" 題型10基底：兩線交點(diǎn)型 PAGEREF _Tc3460 \h 17
\l "_Tc5256" 題型11基底：面積比值型 PAGEREF _Tc5256 \h 20
\l "_Tc29200" 題型12基底：趙爽弦圖型 PAGEREF _Tc29200 \h 23
\l "_Tc19568" 題型13數(shù)量積最值范圍 PAGEREF _Tc19568 \h 26
\l "_Tc17496" 題型14范圍最值型：建系法 PAGEREF _Tc17496 \h 28
\l "_Tc26546" 高考練場 PAGEREF _Tc26546 \h 31
熱點(diǎn)題型歸納
題型01 向量夾角：模型夾角
【解題攻略】
【典例1-1】．（2022·遼寧·模擬預(yù)測）已知向量，滿足，，則，夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律及數(shù)量積的夾角公式即得.
【詳解】由，得，
即，
所以，
所以．
故選：A．
【典例1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知為非零向量，且，則與夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先將兩邊平方，再結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算解出夾角的余弦值即可.
【詳解】將等式兩邊平方，得，即，
將代入，得.
故選：B.
【變式1-1】（2022·甘肅·一模（文））向量，滿足，，，則向量，的夾角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再根據(jù)夾角公式求出，從而得解；
【詳解】解：因?yàn)?，，，所以，即，即，所以，設(shè)與的夾角為，則，因?yàn)?，所以?br>故選：D
【變式1-2】（2022·廣西南寧·一模（文））若兩個向量滿足，則與的夾角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依據(jù)向量夾角的余弦公式即可求得與的夾角.
【詳解】，又
則，即與的夾角是
故選：C
【變式1-3】（2022·廣西·高三階段練習(xí)（文））已知單位向量，，，則與的夾角為（ ）．
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】C
【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算可求得，再利用向量的夾角公式即可求得答案.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所?
故選:C
題型02向量夾角：坐標(biāo)型
【解題攻略】
【典例1-1】（2021·江西·高三階段練習(xí)（理））已知向量，若，則向量與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出向量，再用夾角公式求出向量與的夾角.
【詳解】因?yàn)?，且，所以得?br>即則，又，所以
即與的夾角為．故選：B
【典例1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知為整數(shù)，且，設(shè)平面向量與的夾角為，則的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依題意可得，再根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)表示得到不等式，再用列舉法列出所有可能結(jié)果，再根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得；
【詳解】解：因?yàn)槠矫嫦蛄颗c的夾角為，且，所以，即，所以，因?yàn)闉檎麛?shù)，且，，所以共有種可能，又因?yàn)?，，所以或，①?dāng)時，由，即，所以或或或，滿足題意；
②當(dāng)時，由，即，所以或，滿足題意；
故或或或或或共種情況符合題意，所以的概率為；
故選：D
【變式1-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）若向量與的夾角為銳角，則t的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】且與不同向，進(jìn)而求解即可得答案.
【詳解】解：與夾角為銳角，則且與不同向，即，即，
由，共線得，得，故.故選:D.
【變式1-2】（2022·河北·衡水市冀州區(qū)滏運(yùn)中學(xué)高三）已知點(diǎn)，，，，則向量與夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】結(jié)合向量坐標(biāo)運(yùn)算的余弦夾角公式即可求解.
【詳解】設(shè)與的夾角為，因?yàn)椋?，所以?br>故選：B
【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，，且，的夾角的余弦值為，則等于（ ）
A．2B．C．或D．2或
【答案】C
【分析】根據(jù)，解得即可得出答案.
【詳解】解：因?yàn)?，?br>所以，
解得：或.故選：C.
題型03向量夾角：復(fù)合型
【解題攻略】
【典例1-1】（2022·河南·光山一中高三階段練習(xí)）已知單位向量，，滿足，則與夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)，，為單位向量，變形后平方可得：，，，利用夾角公式求出與夾角的余弦值.
【詳解】
，，為單位向量.
對兩邊平方，即，可得：；
由可得：，兩邊平方，可得：；
由可得：，兩邊平方，可得：，所以．
．
故選：A
【典例1-2】（2022·四川省成都市新都一中高三）已知，，則向量與的夾角為（ ）
A．90°B．60°C．30°D．0°
【答案】A
【分析】
結(jié)合空間向量的夾角坐標(biāo)運(yùn)算公式以及三角恒等變換化簡求出夾角的余弦值，進(jìn)而可得到結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)?，?br>所以，，
設(shè)向量與的夾角為，則
，
因?yàn)?，所以，故向量與的夾角為，
故選：A.
【變式1-1】．（2020·云南德宏·高三 （理））已知向量，滿足，，且，則與夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
將向量用坐標(biāo)表示，求得的值，結(jié)合平面向量數(shù)量積定義即可求得與夾角的余弦值.
【詳解】
設(shè)，與為，則，解得，
又，且，∴，
∴，，
∵，即，
解得.故選：B.
【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，若與的夾角為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
先表示出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量的夾角公式列出關(guān)于m的方程，解得答案.
【詳解】
由題意得，
故 ，
解得 ，其中不合題意，舍去，
故，故選：D
【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知、、均為單位向量，且，則、之間夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
變形可得出，可得出，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可求得的值，即可得解.
【詳解】
依題意，，則，即，
即，解得.故選：C.
題型04 向量夾角：恒成立與最值型
【解題攻略】
【典例1-1】已知向量，滿足|，，且對任意的實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，設(shè)，的夾角為，則的值為（ ）
A．﹣2B．2C．D．
【答案】C
【分析】因?yàn)閷θ我鈱?shí)數(shù)，不等式恒成立，所以對任意實(shí)數(shù)恒成立，，即，結(jié)合已知可得的值，解可得的值，進(jìn)而計(jì)算可得答案.
【詳解】對任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立
對任意實(shí)數(shù)恒成立
，即又，
即，解得
又，，故選：C.
【典例1-2】設(shè)為單位向量，滿足，設(shè)的夾角為，則的可能取值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)為單位向量，設(shè)，且，得到的坐標(biāo)，再根據(jù)，得到x的范圍，然后利用求解.
【詳解】因?yàn)闉閱挝幌蛄?，不妨設(shè)，且，所以，
又因?yàn)?，所以，化簡得，所以?br>，，當(dāng)時，，故選：C
【變式1-1】已知向量，，，，的夾角為，若存在實(shí)數(shù)m，使得，則m的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．

【答案】C
【分析】根據(jù)，可得，即，則只要，求得即可的解.
【詳解】解：由，得，又，所以，
若存在實(shí)數(shù)m，使得，則，
因?yàn)?，所以，?故選：C．
【變式1-2】已知平面向量，滿足，且對任意實(shí)數(shù)，有，設(shè)與夾角為，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．

【答案】D
【分析】由題意可設(shè)，由題意求出，根據(jù)向量的幾何意義找到向量對應(yīng)的點(diǎn)所在的區(qū)域，結(jié)合向量夾角的含義，找到與夾角最大時或夾角無限小時的位置，即可求得答案.
【詳解】由題意可設(shè)，則
由于對任意實(shí)數(shù)，有，故恒成立，
即對任意實(shí)數(shù)恒成立，故，
即 ，
所以向量對應(yīng)的點(diǎn)位于如圖所示的直線 外部的陰影區(qū)域內(nèi)
（含邊界直線），設(shè) ，，則,
故，
不妨假設(shè)向量對應(yīng)的點(diǎn)在上部分區(qū)域內(nèi)，
則由圖可以看到當(dāng)對應(yīng)的點(diǎn)位于B處，即在直線上，
且當(dāng)時，最大，此時，
所以 ，即最小值為，
由圖可以看到，當(dāng)B點(diǎn)沿直線向外運(yùn)動或在陰影部分中向遠(yuǎn)處運(yùn)動時，
可以無限趨近于0，故，因此的范圍是，
當(dāng)B點(diǎn)位于直線上或下方的區(qū)域內(nèi)時，同理可求得的范圍是，故選：D
【變式1-3】已知單位向量，的夾角為60°，向量，且，，設(shè)向量與的夾角為，則的最大值為（ ）．
A．B．C．D．

【答案】C
【詳解】由題意有，
則．
又因?yàn)?，所以，所以?br>故選：C.
題型05 投影與投影向量：投影數(shù)量
【解題攻略】
【典例1-1】（2023下·遼寧葫蘆島·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，則向量在向量上的投影的數(shù)量為（ ）
A．B．
C．D．1
【答案】D
【分析】根據(jù)向量在向量上的投影的數(shù)量為即可求解.
【詳解】由題意可得，，
故向量在向量上的投影的數(shù)量為．
故選:D.
【典例1-2】已知，向量在向量上的投影為，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．

【答案】B
【分析】利用平面向量的幾何意義，列出方程求出與夾角的余弦值，即可得出夾角大小.
【詳解】記向量與向量的夾角為，
在上的投影為.
在上的投影為，，，.故選：B.29.
【變式1-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知向量，，若向量在向量方向上的投影為，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用向量投影求解參數(shù)值即可.
【詳解】由題，向量在向量方向上的投影為，
解得．
故選：C．
【變式1-2】（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考一模）向量，，則在方向上投影的數(shù)量為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用投影數(shù)量的定義及向量夾角坐標(biāo)公式求在方向上投影的數(shù)量.
【詳解】由題設(shè)，在方向上投影的數(shù)量為.
故選：B
【變式1-3】（2022上·云南昆明·高三昆明市第三中學(xué)?？计谀┮阎蛄?，向量，則向量在向量方向上的投影數(shù)量為（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)向量投影數(shù)量公式，代入即可得解.
【詳解】向量在向量方向上的投影數(shù)量為，
故選：B

題型06投影與投影向量：投影向量
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知向量，若，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量垂直求出后，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算寫出的坐標(biāo)，再根據(jù)投影向量的概念即可求解.
【詳解】依題意得，所以，解得，
所以，所以，
則向量在向量上的投影向量為．
故選：D．
【典例1-2】（2023上·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，則在上的投影向量為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求出的坐標(biāo)，然后利用投影向量的公式求解即可.
【詳解】由已知，
則在上的投影向量為.
故選：D.
【變式1-1】（2023·廣西·模擬預(yù)測）向量在向量上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由投影向量的定義求在方向上的投影向量.
【詳解】因?yàn)?，，則，
所以在方向上的投影向量為．
故選：C
【變式1-2】（2023·廣東·東莞市東華高級中學(xué)校聯(lián)考一模）已知，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，由投影向量的定義，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?，則向量在向量上的數(shù)量投影為，
所以向量在向量上的投影向量為.
故選：B
【變式1-3】（2023·全國·模擬預(yù)測）向量，，那么向量在上的投影向量為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、投影向量的計(jì)算公式即可求解．
【詳解】因?yàn)椋?，所以?br>則在上的投影向量的模為
，
則在上的投影向量為.
故選：A．
題型07線性運(yùn)算：雞爪基礎(chǔ)型
【解題攻略】
【典例1-1】已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則（ ）
A．B．
C．D．

【答案】A
【分析】根據(jù)題意作出圖形，利用向量線性運(yùn)算即可得到答案.
【詳解】由題意作出圖形,如圖,則
，故選：A.
【典例1-2】如圖，若，，，點(diǎn)B是線段AC上一點(diǎn)，且．若，則（ ）
A．，B．，
C．，D．，

【答案】B
【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算求解即可.
【詳解】因?yàn)?
所以，即，.
故選：B
【變式1-1】在中，為邊的中點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．C．D．不確定

【答案】C
【分析】結(jié)合已知條件，利用向量表示，根據(jù)平面向量基本定理求即可.
【詳解】因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以，
所以，因?yàn)?，不共線，
由平面向量基本定理可得，
所以，故選：C.
【變式1-2】如圖，在中，，，則（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】利用條件，將 作為基底表示即可求解作答 .
【詳解】由題意， ，
；
故選：A.
【變式1-3】設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】運(yùn)用平面向量加法規(guī)則計(jì)算.
【詳解】
依題意作上圖，則 ；
故選：D.
題型08 線性運(yùn)算：四邊形
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E滿足，，則（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算結(jié)合平面向量基本定理運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)椋瑒t，
整理得，可得，
所以.
故選：A.
【典例1-2】（2023春·河北石家莊·高三校聯(lián)考）如圖，在平行四邊形中，，，，若，則下列關(guān)系正確的是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】運(yùn)用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算即可求得結(jié)果.
【詳解】由，得，所以.
由，得，所以.
因?yàn)?，所?
所以，
所以，即.
故選：A.
【變式1-1】（2023春·海南·高三校）如圖，在等腰梯形中，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，則（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，利用向量的線性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡、運(yùn)算，即可求解.
【詳解】由題意，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，
則，
因?yàn)?，且?br>則有 .
故選：D.
【變式1-2】．（2023春·江蘇鹽城·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平行四邊形中，是線段的中點(diǎn)，若，則的值為（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】C
【分析】由向量對應(yīng)線段的位置及數(shù)量關(guān)系，用表示出，即可確定參數(shù)值.
【詳解】由，
所以，則.

故選：C
【變式1-3】（2023秋·新疆博爾塔拉·高三?？奸_學(xué)考試）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段AE上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，則等于（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算求解.
【詳解】解：，
，，，故選：C
題型09基底：換基底型
【解題攻略】
【典例1-1】設(shè)向量是平面內(nèi)一個基底,且,則向量可以用另一個基底表示,即________.
【答案】
【解析】設(shè)，將代入，利用向量基本定理，得出的關(guān)系式，求解，即可得出結(jié)論.
【詳解】設(shè),因?yàn)?
所以,因?yàn)椴还簿€,
所以解得,.故答案為:.
【典例1-2】已知若以與為一組基底,則用與表示________.

【答案】
【分析】由與為一組基低，故、不共線，從而、不共線
再根據(jù)平面向量的基本定理不妨設(shè)，
把采用對應(yīng)系數(shù)相等即可求解.
【詳解】因?yàn)榕c為一組基底，故、不共線，從而、不共線，
令 則
即
令解得 ，所以故答案為：
【變式1-1】若是一組基底，向量 (x，y∈R)，則稱(x，y)為向量在基底下的坐標(biāo)，現(xiàn)已知向量在基底，下的坐標(biāo)為(－2，2)，則在另一組基底下的坐標(biāo)為________

【答案】(0，2)
【解析】先求出的坐標(biāo)，再設(shè)，即可建立方程組求出.
【詳解】因?yàn)樵诨紫碌淖鴺?biāo)為(－2，2)，
即，
令，
所以，即，
所以在基底下的坐標(biāo)為(0，2)
故答案為：(0，2).
【變式1-2】設(shè)是平面內(nèi)一組基底，且，，則向量可以表示為另一組基底的線性組合，即=____.
【答案】
【分析】設(shè)，代入，，結(jié)合向量運(yùn)算及向量相等可列方程解出m、n，即可求
【詳解】設(shè)，
因?yàn)椋?，所以?br>因?yàn)椴还簿€，所以，解得，故.
故答案為：
【變式1-3】已知與不平行，且，，，若以、為一組基底，則用、可表示為______
【答案】
【分析】設(shè)，化簡可得，再根據(jù)與不平行，可得，解方程組，即可求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)，則
所以.又與不平行，所以，解得，
所以.故答案為：.
題型10 基底：兩線交點(diǎn)型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）如圖，在中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，設(shè)，，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)，再根據(jù)平面向量基本定理分別表示，進(jìn)而根據(jù)向量共線設(shè)，代入向量可得，進(jìn)而得到.
【詳解】設(shè)，則，又，
設(shè)，則，
故，即，故.故選：C
【典例1-2】（2023·高一課時練習(xí)）如圖，在中，AD是BC邊上的中線，是AD上的一點(diǎn)，且，連接CF并延長交AB于，若，則等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)，，運(yùn)用平面向量基本定理和向量共線建立關(guān)系，解出比值即可得出結(jié)果.
【詳解】設(shè)，，因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>又，
又因?yàn)?，所以，得到，消得到，所?
故選：D.
【變式1-1】（2022·全國·高一專題練習(xí)）在△中，已知，，且AD與BC的交點(diǎn)為M，E是OA中點(diǎn)，又直線ME與線段OB交于點(diǎn)F，若，則實(shí)數(shù)的值為 ．
【答案】
【分析】由向量共線定理的推論可知：，，根據(jù)已知條件及平面向量基本定理列方程組求參數(shù)值即可.
【詳解】由題設(shè)，可得如下示意圖，且，
且，
且，
所以，可得，即，
所以，可得.故答案為：.
【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)O，7＝5，＝4，EF交AC于點(diǎn)K，，則實(shí)數(shù)λ的值為 .
【答案】－
【分析】由平面向量基本定理得到，由向量共線定理得推論得到方程，求出實(shí)數(shù)λ的值.
【詳解】因?yàn)?，所? 又E，F(xiàn)，K三點(diǎn)共線，所以，解得：λ＝－.故答案為：－
【變式1-3】（2023春·湖南岳陽·高一湖南省岳陽縣第一中學(xué)?？计谀┰谥?，，D是AC的中點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】C
【分析】根據(jù)向量的數(shù)量、位置關(guān)系，結(jié)合加減法的幾何意義用表示出，即可得答案.
【詳解】
，
所以，故，則.
故選：C
題型11基底：面積比值型
【典例1-1】（2023春·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)、為 內(nèi)的兩點(diǎn)，且滿足， ，則 ．
【答案】
【分析】作圖，由題意分析 內(nèi)部的幾何關(guān)系即可求解.
【詳解】由題意作下圖：
取的中點(diǎn)，連接，則
； ，
故且 ,
延長AP與BC交于F點(diǎn)，則 ，∴ ，
，∴F點(diǎn)是EC的中點(diǎn)，
，故答案為：．
【典例1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若點(diǎn)M是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：．則與的面積之比為 ．
【答案】/0.4
【分析】根據(jù)給定的向量等式，確定點(diǎn)M的位置，再借助面積關(guān)系計(jì)算作答.
【詳解】因，則，即，
于是得點(diǎn)在邊上，并且，有，
所以與的面積之比為.
故答案為：
【變式1-1】（2023春·全國·高三專題練習(xí)）四邊形中，，，則四邊形面積為（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】根據(jù)單位向量結(jié)合向量線性運(yùn)算分析可得四邊形為菱形，，再根據(jù)模長運(yùn)算可得，結(jié)合菱形的性質(zhì)求四邊形的面積.
【詳解】若，則四邊形為平行四邊形，且，
可知表示分別與同向的單位向量，
若，則對角線為的角平分線，
故四邊形為菱形，則，
故，則，
∵，即，
解得，故，
且，則，
即為等邊三角形，則，且，
∴四邊形面積.
故選：A.
【變式1-2】（2023春·四川南充·高三?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)D、G為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，，，記分別為、的面積，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】化簡得到，，確定為靠近的四等分點(diǎn)，計(jì)算得到答案.
【詳解】，故，即，
故，即，
故三點(diǎn)共線，且為靠近的四等分點(diǎn)，
設(shè)為中點(diǎn)，則，

，故.
故選：A
【變式1-3】（2023春·高三單元測試）已知點(diǎn)O為所在平面上一點(diǎn)，且滿足，若的面積與的面積比值為，則的值為（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】B
【分析】如圖，分別是對應(yīng)邊的中點(diǎn)，對所給的向量等式進(jìn)行變形，根據(jù)變化后的條件得到，由于正三角形，結(jié)合題目中的面積關(guān)系得到，，由面積之比，分所成的比，從而得出的值．
【詳解】， ．如圖，，分別是對應(yīng)邊的中點(diǎn)，

由平行四邊形法則知，，故，
在正三角形中，，
，
且三角形與三角形的底邊相等，面積之比為,
所以，得.故選：B.
題型12基底：趙爽弦圖型
【典例1-1】我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.已知為線段的中點(diǎn)，設(shè)為中間小正方形內(nèi)一點(diǎn)（不含邊界）.若，則的取值范圍為__________.

【答案】
【分析】由題意，利用平面向量基本定理，數(shù)形結(jié)合與臨界值法，即可求解.
【詳解】過點(diǎn)作，分別交于點(diǎn)，
過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，
過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，如圖，
由
可知，點(diǎn)在線段上運(yùn)動（不含端點(diǎn)）.
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，，可知.
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，，可知.
故的取值范圍為.
故答案為：
【典例1-2】趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成）．類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間一個小等邊三角形拼成的一個較大的等邊三角形，設(shè)，若，則可以推出_________．
【答案】
【分析】設(shè)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，結(jié)合余弦定理和正弦定理解三角形，利用坐標(biāo)法即可得出結(jié)果.
【詳解】設(shè)，則如圖：由題可知：，
由所以，則
所以，又
所以
所以，即
所以，又
所以，所以故答案為：.
【變式1-1】《周髀算經(jīng)》是我國最早的數(shù)學(xué)典籍，書中記載：我國早在商代時期，數(shù)學(xué)家商高就發(fā)現(xiàn)了勾股定理，亦稱商高定理三國時期數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了如圖1的“勾股圓方圖”（以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成），用數(shù)形結(jié)合法給出了勾股定理的詳細(xì)證明.現(xiàn)將“勾股圓方圖”中的四條股延長相同的長度得到圖2.在圖2中，若，，G，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離為，則“勾股圓方圖”中小正方形的面積為（ ）
A．9B．4C．3D．8

【答案】B
【分析】先在中，利用余弦定理求解，再在中結(jié)合勾股定理求解，繼而分析即得解.
【詳解】由條件可得.在中，由余弦定理得，
∴，∴，，
∴，
∴“勾股圓方圖”中小正方形的邊長為，∴面積為4.故選：B
【變式1-2】我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示．在“趙爽弦圖”中，已知，則（ ）
A．B．C．D．

【答案】A
【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算及平面向量的基本定理求解即可.
【詳解】由題意,
即，
所以 故選：A.
題型13 數(shù)量積最值范圍
【解題攻略】
【典例1-1】（2023秋·河北保定·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知邊長為2的菱形中，點(diǎn)為上一動點(diǎn)，點(diǎn)滿足，，則的最大值為（ ）
A．0B．C．D．3
【答案】D
【分析】設(shè)，求得，得到，以與交點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得，進(jìn)而求得的最大值為.
【詳解】由，可得，設(shè)，
可得
，所以，
因?yàn)?，所以，以與交點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸和軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，設(shè)，且，則，，，當(dāng)時，.故選：D.
【典例1-2】（2023·河北滄州·?？既＃┰谥校?，，，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)三角形外心的性質(zhì)，結(jié)合正弦定理、平面向量數(shù)量積的定義、圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以為的外心，且為外接圓上一動點(diǎn)，
又，，
所以外接圓的半徑.
如圖，作，垂足為，則.
所以，當(dāng)與圓相切時，取最值，即在處取最大值6，
在處取最小值，
故選：B

【變式1-1】（2024秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知定點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，且圓的半徑為，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得，利用當(dāng)點(diǎn)為線段與圓的交點(diǎn)時，取最大值即可得解.
【詳解】由題意可知，，則
，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與圓的交點(diǎn)時，等號成立.
因此，的最大值為.故選：C.
【變式1-2】（2023秋·云南大理·高三云南省下關(guān)第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，且，若角的內(nèi)角平分線，則的最小值為（ ）
A．8B．4C．16D．12
【答案】A
【分析】先根據(jù)，得到，再根據(jù)，得到，進(jìn)而求出的取值范圍，再根據(jù)，即可求解．
【詳解】因?yàn)?，所以，所以?br>
由，所以，化簡得到，
所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以，則的最小值為.
故選：A
【變式1-3】（2023春·北京海淀·高三清華附中?？迹┮阎?，，，則的最大值為（ ）
A．1B．2C．D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，則，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?，即?br>即，即，
所以，
所以
，
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時取最大值，最大值為.
故選：B
題型14 范圍最值型：建系法
【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量，，滿足，，，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．,D．,
【答案】A
【分析】令，，，,，應(yīng)用向量線性運(yùn)算坐標(biāo)表示得到坐標(biāo)，坐標(biāo)公式求模，設(shè)，應(yīng)用輔助角公式及正弦型函數(shù)性質(zhì)求范圍即可.
【詳解】設(shè)，，，設(shè)，,，
所以，
所以，
設(shè)，,，則，其中，所以，
所以,，故,，
所以,，即,.
故選：
【典例1-2】（2023春·廣東東莞·高三東莞市東莞中學(xué)松山湖學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在扇形中，，，M是OA中點(diǎn)，點(diǎn)P在弧AB上，則的最小值為（ ）
A．0B．2C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，建立平面直角坐標(biāo)系，再借助平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求解作答.
【詳解】如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，的方向?yàn)閥軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，

則，設(shè)，，
于是，
所以
，其中銳角滿足，
因此當(dāng)，即時，.
所以的最小值為.故選：D
【變式1-1】（2023秋·江西撫州·高三江西省樂安縣第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在平面四邊形ABCD中，，若P為邊BC上的一個動點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，建立合適的直角坐標(biāo)系，從而利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得解.
【詳解】因?yàn)槿切沃?，?br>所以是邊長為2的等邊三角形，則
以為軸，的中垂線為軸，建立直角坐標(biāo)系如圖，

則，設(shè)，則，
故，
顯然當(dāng)時，取得最小值，故選：B.
【變式1-2】（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知長方形ABCD的邊長，P，Q分別是線段BC，CD上的動點(diǎn)，，則的最小值為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意建立直角坐標(biāo)系，利用正切函數(shù)的和差公式得到，從而求得，再利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得解.
【詳解】設(shè)A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD為x，y軸建立坐標(biāo)系，如圖，
不妨設(shè)，則，
因?yàn)?，所以，又?br>所以，則，
所以，解得，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，
則的最小值為.故選：D.
【變式1-3】（2023春·湖南永州·高三永州市第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知是邊長為4的等邊三角形，為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.
【詳解】取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，為，軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，

則，，，設(shè)，
則，，，
所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，
所以的最小值為，故選：B
高考練場
1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）若非零向量，滿足，，則向量與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依據(jù)向量夾角公式即可求得向量與的夾角.
【詳解】由，可得
則，則
又，則故選：B
2.（2021·北京·中國人民大學(xué)附屬中學(xué)朝陽學(xué)校高三階段練習(xí)）已知，那么的夾角（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出，利用數(shù)量積的定義即可求出.
【詳解】，
，
，
，.
故選：D.
3.（2022·山西·懷仁市大地學(xué)校高中部高三階段練習(xí)）設(shè)向量，，則與夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算可直接求得結(jié)果.
【詳解】
，.
故選：B.
4.．已知向量、，滿足，，若對任意模為2的向量，均有，則向量、夾角的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．

【答案】B
【分析】根據(jù)向量不等式得到，平方得到，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到得到答案.
【詳解】解：由，，若對任意模為2的向量，均有
可得：
可得:,
平方得到，即
故選：B
5.（2022上·北京·高三階段練習(xí)）已知，則向量在方向上的投影數(shù)量為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】代入向量投影的計(jì)算公式即可求出結(jié)果.
【詳解】向量在方向上的投影數(shù)量為，
故選：B.
6.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，是與方向相同的單位向量，則在上的投影向量為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)出和所成的角并求出所成角的余弦值，即可求出在上的投影向量.
【詳解】由題意，，設(shè)和所成的角為θ，
則，
∴在上的投影向量為：.故選：C.
7.在中，，且，則（ ）
A．B．C．D．

【答案】B
【分析】利用向量線性運(yùn)算化簡已知等式可整理得到，由此可得結(jié)果.
【詳解】，
，，即.
故選：B.
8.（2022春·陜西安康·高三?？迹┤鐖D，在梯形中，，，設(shè)，，則（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算，即可求得答案.
【詳解】由題意得E為中點(diǎn)，
故
，故選：C
9.若是一個基底，向量，則稱為向量在基底下的坐標(biāo).現(xiàn)已知，，，，向量在基底下的坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)為______.
【答案】
【解析】設(shè)，根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算建立、的方程組，解出這兩個未知數(shù)，即可得出在基底下的坐標(biāo).
【詳解】在基底下的坐標(biāo)為，.
設(shè)，則，解得，
在基底下的坐標(biāo)為.故答案為：.
10.．如圖，在中，已知，，，BC、AC邊上的兩條中線AM、BN相交于點(diǎn)P，則在上的投影為（ ）
A．B．C．D．

【答案】A
【分析】結(jié)合向量運(yùn)算以及向量投影的計(jì)算公式計(jì)算出正確答案.
【詳解】，
由于是三角形的中線，所以是三角形的重心，
所以,
則，
，
，
.
所以在上的投影為.故選：A
11.（2021秋·湖南·高三周南中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）在中，為上一點(diǎn)，，為上任一點(diǎn)，，，（，），若，則當(dāng)取最小值時，四邊形的面積與的面積之比等于 ．
【答案】/1:6
【分析】根據(jù)題意，由向量的數(shù)乘和加減法運(yùn)算得出，再由三點(diǎn)共線關(guān)系可得，根據(jù)基本不等式中“1”的妙用，可知當(dāng)，時，取得最小值，最后根據(jù)進(jìn)行化簡運(yùn)算，即可求出結(jié)果.
【詳解】解：由題意可知：，
而，，三點(diǎn)共線，則：，據(jù)此有：
，
當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，取到最小值，
此時，，
所以.
故答案為：.
12.“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶，它是由四個全等的直角三角形和一個正方形構(gòu)成.現(xiàn)仿照趙爽弦圖，用四個三角形和一個小平行四邊形構(gòu)成如下圖形，其中，，，，分別是，，，的中點(diǎn)，若，則等于（ ）
A．B．C．1D．2

【答案】D
【分析】利用平面向量線性運(yùn)算法則以及平面向量基本定理，將用表示出來，求出，的值，即可求解．
【詳解】由題意可得，
因?yàn)槭瞧叫兴倪呅?，所以，所以，所以?br>因?yàn)?，所以?br>則．故選:D
13.（2022春·高三單元測試）若平面向量滿足，，，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由，，可得，令，，然后由可得，再利用可求得，從而可求出的范圍.
【詳解】因?yàn)?，，所以?br>令，則，令，
則由，得，
所以，
因?yàn)?，所以?br>解得，
所以.
故選：A.
14.（2023春·浙江臺州·高三溫嶺中學(xué)?？迹┮阎沁呴L為2的正六邊形內(nèi)（含邊界）一點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】通過數(shù)量積定義得出與重合時取得最大值，與重合時，取得最小值，然后建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)法求數(shù)量積．
【詳解】如圖，過作于，則，當(dāng)與同向時為正，當(dāng)與反向時為負(fù)，
分別過作，，為垂足，
則得當(dāng)與重合（即與重合）時，取得最大值，當(dāng)與重合（即與重合）時，取得最小值，
是正六邊形，因此以為軸，為建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則，，，，是中點(diǎn)，則，
，，，
，，
所以的范圍是，
故選：B．
求平面向量夾角的方法模長型）：
定義法：利用向量數(shù)量積的定義得，其中兩向量的取值范圍是；
求平面向量夾角的方法（坐標(biāo)型）：
坐標(biāo)法：若非零向量、，則.
復(fù)合型向量夾角計(jì)算，和簡單向量夾角計(jì)算一樣，多了一個復(fù)雜的求分母計(jì)算
cs〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝ eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))
向量型恒成立：
通過模計(jì)算，轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立。
通過向量幾何意義，轉(zhuǎn)化為圖形恒成立
若、，則
a在b方向上的投影為： |a|cs θ ＝ eq \f(a·b,|b|)
若、，則a在b上的投影向量：
雞爪型是向量線性運(yùn)算基礎(chǔ)：
若D點(diǎn)在BC線段上，且滿足,則有
四邊形基底線性運(yùn)算，可以用基底推導(dǎo)，也可以通過特殊化構(gòu)造坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)計(jì)算
若、是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，則對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)、，使.
特別提醒：不共線的向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；
基底的不唯一性：只要兩個向量不共線，就可以作為平面的一組基底，對基底的選取不唯一，平面內(nèi)任意向量都可被這個平面的一組基底、線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的.
向量共線定理(兩個向量之間的關(guān)系)：向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個實(shí)數(shù)，使得.
變形形式：已知直線上三點(diǎn)、、，為直線外任一點(diǎn)，有且只有一個實(shí)數(shù)，使得：.
特別提醒：共線向量定理應(yīng)用時的注意點(diǎn)：向量共線的充要條件中要注意“”，否則可能不存在，也可能有無數(shù)個.證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時，才能得出三點(diǎn)共線；另外，利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說明這兩條直線不重合.
求最值基本思維：
（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.
（2）用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.
（3） 具有特殊條件向量，可以考慮三角換元求最值

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