TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc4815" 題型01 平移型求w PAGEREF _Tc4815 \h 1
\l "_Tc13772" 題型02 單調區(qū)間及單調性求w PAGEREF _Tc13772 \h 2
\l "_Tc16138" 題型03 對稱中心（零點）求w PAGEREF _Tc16138 \h 3
\l "_Tc18079" 題型04對稱軸型求w PAGEREF _Tc18079 \h 4
\l "_Tc6180" 題型05 對稱軸及單調性型求w PAGEREF _Tc6180 \h 5
\l "_Tc13369" 題型06“臨軸”型求w PAGEREF _Tc13369 \h 6
\l "_Tc4541" 題型07“臨心”型求w PAGEREF _Tc4541 \h 7
\l "_Tc30943" 題型08 區(qū)間內有“心”型求w PAGEREF _Tc30943 \h 8
\l "_Tc17821" 題型09 區(qū)間內無“心”型求w PAGEREF _Tc17821 \h 9
\l "_Tc5478" 題型10 區(qū)間內最值點型求w PAGEREF _Tc5478 \h 10
\l "_Tc3762" 題型11多可能性分析型求w PAGEREF _Tc3762 \h 10
\l "_Tc2249" 題型12三角應用：三角雙換元 PAGEREF _Tc2249 \h 11
\l "_Tc18629" 題型13三角應用：無理根號型 PAGEREF _Tc18629 \h 12
\l "_Tc7549" 題型14三角應用：圓代換型 PAGEREF _Tc7549 \h 12
\l "_Tc17150" 題型15三角應用：向量型換元 PAGEREF _Tc17150 \h 13
\l "_Tc623" 高考練場 PAGEREF _Tc623 \h 14
熱點題型歸納
題型01 平移型求w
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，將的圖像向右平移個單位長度后，若所得圖像與原圖像重合，則的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·全國·高三專題練習）將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后與原函數(shù)圖像重合，則實數(shù)的最小值是（ ）
A．2B．3C．6D．9
【變式1-1】（2021春·浙江杭州·高三學軍中學?？奸_學考試）將函數(shù)的圖像向左平移2個單位長度后，與函數(shù)的圖象重合，則的最小值等于（ ）
A．B．1C．D．2
【變式1-2】（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中學校考一模）將函數(shù)（）的圖象向右平移個單位長度后與函數(shù)的圖象重合，則的最小值為（ ）
A．1B．2C．4D．5
【變式1-3】（2023·陜西西安·西安市大明宮中學?？寄M預測）將的圖象向左平移個單位長度后與函數(shù)的圖象重合，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
題型02 單調區(qū)間及單調性求w
【解題攻略】
【典例1-1】（上海市川沙中學2021-2022學年高三下學期數(shù)學試題）設，若函數(shù)在上單調遞增，則的取值范圍是________
【典例1-2】（廣西玉林市育才中學2022屆高三12月月考數(shù)學試題）已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，且，在區(qū)間上單調，則的值為_____________.
【變式1-1】函數(shù) ,若在區(qū)間上是單調函數(shù),且則的值為（ ）
A．B．或C．D．或
【變式1-2】若函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍是____________.
【變式1-3】（2022-2021學年度下學期高三數(shù)學備考總動員C卷）若函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍是________.
題型03 對稱中心（零點）求w
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習）設函數(shù)的圖象的一個對稱中心為，則的一個最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022秋·重慶·高三統(tǒng)考期中）若存在實數(shù)， 使得函數(shù)的圖象的一個對稱中心為，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2023春·湖北荊州·高三沙市中學?？茧A段練習）已知，周期是的對稱中心，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2022秋·高三課時練習）已知函數(shù)的部分圖象如圖，的對稱中心是，則（ ）
A．B．C．3D．
【變式1-3】（2023秋·江蘇蘇州·高三校考階段練習）設函數(shù)的圖象的一個對稱中心為，則的一個最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
題型04對稱軸型求w
【解題攻略】
【典例1-1】（2022秋·山西長治·高三山西省長治市第二中學校?？茧A段練習）已知函數(shù)的部分圖象如圖，的對稱軸方程為，則（ ）
A．3B．2C．D．1
【典例1-2】（2022·全國·高三專題練習）若是函數(shù)圖象的對稱軸，則的最小正周期的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2021秋·云南昆明·高三昆明市第三中學?？茧A段練習）已知函數(shù)的圖像關于對稱，則函數(shù)的圖像的一條對稱軸是（ ）
A．B．
C．D．
【變式1-2】（“超級全能生”高考全國卷26省9月聯(lián)考乙卷數(shù)學試題）已知向量，函數(shù)，且，若的任何一條對稱軸與軸交點的橫坐標都不屬于區(qū)間，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【變式1-3】已知向量，函數(shù)，且，若的任何一條對稱軸與軸交點的橫坐標都不屬于區(qū)間，則的取值范圍是
A．B．
C．D．
題型05 對稱軸及單調性型求w
【典例1-1】（2021屆重慶市南開中學高考沖刺二數(shù)學試題）已知函數(shù)，對任意的，都有，且在區(qū)間上單調，則的值為___________.
【典例1-2】（2020屆百校聯(lián)考高考百日沖刺金卷全國Ⅱ卷?數(shù)學（二）試題）已知函數(shù) 的一條對稱軸為，且在上單調，則的最大值為（ ）
A．B．3C．D．
【變式1-1】（四川省成都市新都區(qū)2020-2021學年高三診斷測試數(shù)學試題）已知函數(shù)滿足，，且在區(qū)間上單調，則的最大值為________．
【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在 上是單調函數(shù)，其圖象的一條對稱軸方程為，則的值可能是（ ）
A．B．C．1D．
【變式1-3】（2023·內蒙古赤峰·?？寄M預測）若直線是曲線的一條對稱軸，且函數(shù)在區(qū)間[0，]上不單調，則的最小值為（ ）
A．9B．7C．11D．3
題型06“臨軸”型求w
【解題攻略】
【典例1-1】（2023秋·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學?？奸_學考試）已知函數(shù)的最大值為4，最小值為0，且該函數(shù)圖象的相鄰兩個對稱軸之間的最短距離為，直線是該函數(shù)圖象的一條對稱軸，則該函數(shù)的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-2】（2023秋·高三課時練習）已知函數(shù)，是函數(shù)的一個零點，是函數(shù)的一條對稱軸，若在區(qū)間上單調，則的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2023秋·河南洛陽·高三洛寧縣第一高級中學?？茧A段練習）已知，是函數(shù)圖象上兩條相鄰的對稱軸，則（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2023春·廣東佛山·高三?？茧A段練習）已知函數(shù)，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為.若將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到的圖象，且當時，不等式恒成立，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【變式1-3】（2023春·四川成都·高三校聯(lián)考階段練習）已知直線是函數(shù)圖象的任意兩條對稱軸，且的最小值為，則的單調遞增區(qū)間是（ ）
A．B．
C．D．
題型07“臨心”型求w
【解題攻略】
【典例1-1】（2023春·廣東珠海·高三?？迹┮阎瘮?shù)的圖象的一個對稱中心的橫坐標在區(qū)間內，且兩個相鄰對稱中心之間的距離大于，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023上·天津東麗·高三天津市第一百中學校考階段練習）函數(shù)，的最大值為2，其圖象相鄰兩個對稱中心之間的距離為，且的圖象關于直線對稱，則下列判斷正確的是（ ）
A．函數(shù)在上單調遞減
B．將圖象向右平移個單位與原圖象重合
C．函數(shù)圖象關于點對稱
D．函數(shù)的圖象關于直線對稱
【變式1-1】（2023下·河南焦作·高三統(tǒng)考）已知函數(shù)的圖象的一個對稱中心的橫坐標在區(qū)間內，且兩個相鄰對稱中心之間的距離大于，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2023·云南紅河·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)（）的圖象的兩個相鄰對稱中心之間的距離為，則（ ）
A．2B．4C．8D．16
【變式1-3】（2021上·四川雅安·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，點和是其相鄰的兩個對稱中心，且在區(qū)間內單調遞減，則（ ）
A．B．C．D．
題型08 區(qū)間內有“心”型求w
【解題攻略】
【典例1-1】（天津市部分區(qū)2020屆高考二模數(shù)學試題）若函數(shù)()在區(qū)間上單調遞減，且在區(qū)間上存在零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2021春?商洛）已知函數(shù)在，上恰有6個零點，則的取值范圍是
A．B．C．D．
【變式1-1】（2022?湖北模擬）已知函數(shù)在區(qū)間，上恰有三個零點，則的取值范圍是 ．
【變式1-2】（云南省2020屆高三適應性考試數(shù)學試題）若函數(shù)（，）圖象過點，在上有且只有兩個零點，則的最值情況為（ ）
A．最小值為，最大值為B．無最小值，最大值為
C．無最小值，最大值為D．最小值為，最大值為
【變式1-3】（2021年全國高考甲卷數(shù)學（理）試題變式題16-20題）設函數(shù)，若對于任意實數(shù)，在區(qū)間上至少有2個零點，至多有3個零點，則的取值范圍是________．
題型09 區(qū)間內無“心”型求w
【解題攻略】
【典例1-1】已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內沒有零點，則的取值范圍為_________.
【典例1-2】（天津市南開中學2022屆高三下學期統(tǒng)練二數(shù)學試題）已知函數(shù)，，若在區(qū)間內沒有零點，則的取值范圍是______.
【變式1-1】函數(shù)，且，，若的圖像在內與軸無交點，則的取值范圍是__________.
【變式1-2】（2023春·江西宜春·高三江西省宜豐中學?？茧A段練習）將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上沒有零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習）將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上沒有零點，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型10 區(qū)間內最值點型求w
【解題攻略】
【典例1-1】.已知函數(shù)（，），，，在內有相鄰兩個最值點，且最小值點距離軸近，則的最小正整數(shù)值為（ ）
A．5B．7C．9D．10
【典例1-2】已知函數(shù)的圖象關于點及直線對稱，且在不存在最值，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2022年全國高考乙卷數(shù)學（理）試題變式題13-16題）已知函數(shù)，若且在區(qū)間上有最小值無最大值，則_______．
【變式1-2】（2022屆湖南省長沙市第一中學高考模擬數(shù)學試題）已知函數(shù)，，若，對任意恒有，在區(qū)間上有且只有一個使，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】（【全國百強?！亢颖焙馑鹁?022屆高三12月第三次聯(lián)合質量測評數(shù)學試題）已知函數(shù)，兩個等式：對任意的實數(shù)均恒成立，且上單調，則的最大值為
A．1B．2C．3D．4
題型11多可能性分析型求w
【解題攻略】
【典例1-1】.函數(shù)，已知為圖象的一個對稱中心，直線為圖象的一條對稱軸，且在上單調遞減．記滿足條件的所有的值的和為，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（北京市西城區(qū)北京師范大學附屬實驗中學2021-2022學年高三上學期12月月考數(shù)學試題）已知點，若三個點中有且僅有兩個點在函數(shù)的圖象上，則正數(shù)的最小值為__________.
【變式1-1】（北京市東城區(qū)2021-2022學年高三上學期數(shù)學試題）已知函數(shù)，曲線與直線相交，若存在相鄰兩個交點間的距離為，則的所有可能值為__________．
【變式1-2】（上海市晉元高級中學2022屆高三數(shù)學試題）已知，若存在使得集合中恰有3個元素，則的取值不可能是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2021?淮北二模）已知函數(shù)滿足，，且在區(qū)間上單調，則滿足條件的個數(shù)為
A．7B．8C．9D．10
題型12三角應用：三角雙換元
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習）設、且，求的取值范圍是 .
【典例1-2】（2020·江西·校聯(lián)考模擬預測）若等差數(shù)列滿足，且，求的取值范圍（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2021·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學?？茧A段練習）已知，，求的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【變式1-2】（江西省撫州市金溪一中等七校2021-2022學年高三考試數(shù)學試題（B卷））已知滿足，則的取值范圍為
A．B．C．D．
【變式1-3】（浙江省嘉興市2022屆高三試數(shù)學試題）已知實數(shù)滿足,則的取值范圍是_______．
題型13三角應用：無理根號型
【解題攻略】
【典例1-1】.求函數(shù)的值域.
【典例1-2】求函數(shù)的值域.
【變式1-1】若對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
【變式1-2】（新疆莎車縣第一中學2022屆高三上學期第三次質量檢測數(shù)學試題）函數(shù)y=x?4?x2的值域為________．
【變式1-3】（2020屆安徽省六安市第一中學高三下學期模擬卷（七）數(shù)學（理）試題）已知，則的最大值為_________.
題型14三角應用：圓代換型
【解題攻略】
【典例1-1】（上海市第二中學2020-2021學年高三下學期5月月考數(shù)學試題）知點A(2,0)，點P是以原點為圓心，1為半徑的圓上的任意一點，將點P繞點逆時針旋轉90°得點Q，線段AP的中點為，則|MQ|的最大值是______
【典例1-2】設圓O:x2+y2=1上兩點Ax1,y1，Bx2,y2滿足：OA?OB=?12，則x1?2y1+x2?2y2的取值范圍是___________.
【變式1-1】已知是單位圓（圓心在坐標原點）上任一點，將射線繞點逆時針旋轉到交單位圓于點，則的最大值為________.
【變式1-2】設圓上兩點，滿足：，則的取值范圍是___________.
【變式1-3】（2020·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？家荒＃┮阎c為圓上任一點，，分別為橢圓的兩個焦點，求的取值范圍 .
題型15三角應用：向量型換元
【解題攻略】
【典例1-1】（2022上·廣東佛山·高三統(tǒng)考）菱形中，，點E，F(xiàn)分別是線段上的動點（包括端點），，則 ，的最小值為 .
【典例1-2】（2020·江蘇南通·江蘇省如皋中學?？寄M預測）已知，，則向量的最小值為 .
【變式1-1】（2024上·重慶·高三重慶南開中學校考階段練習）平面向量，，滿足，，則的最大值為 .
【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習）已知向量，滿足，，則的最大值為 .
【變式1-3】（2023·上海·上海市七寶中學?？寄M預測）已知為單位向量，向量滿足，則的取值范圍是 .
高考練場
1.（2023·湖南長沙·長沙一中?？寄M預測）設函數(shù)，將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，再將橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，所得的圖象與圖象重合，則（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2.（湖南省長沙市長郡中學2020-2021學年高三上學期月考（二）數(shù)學試題）已知函數(shù)，其中，若在區(qū)間上單調遞減，則的最大值為__________．
3.（2022·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預測）若存在實數(shù)，使得函數(shù)(>0)的圖象的一個對稱中心為(，0)，則ω的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
4.（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學?？家荒＃┮阎本€是函數(shù)（）圖象的一條對稱軸，則在上的值域為（ ）
A．B．C．D．
5.（2020屆百校聯(lián)考高考百日沖刺金卷全國Ⅱ卷?數(shù)學（理）（二）試題）已知函數(shù) 的一條對稱軸為，且在上單調，則的最大值為（ ）
A．B．3C．D．
6.（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間單調遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（ ）
A．B．C．D．
7.（2020·海南?？凇じ呷Ｄ现袑W?？茧A段練習）已知點，為曲線()(常數(shù))的兩個相鄰的對稱中心，若該曲線在點，處的切線互相垂直，則的值為 .
8.（四川省內江市威遠縣威遠中學校2022-2023學年高三數(shù)學試題）已知函數(shù) (ω>0)，若在上恰有兩個零點，且在上單調遞增，則ω的取值范圍是________.
9.（2023秋·江蘇揚州·高三揚州中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，再將所得函數(shù)圖象保持縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜玫?，若函?shù)在上沒有零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
10..已知函數(shù)，其中，，為的零點，且恒成立，在區(qū)間上有最小值無最大值，則的最大值是_______
11.（河北省衡水市第十四中學2020-2021學年高三四調數(shù)學試題）已知函數(shù)f（x）=cs（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=-為f（x）的零點，x=為y=f（x）圖象的對稱軸，且f（x）在（，）上單調，則ω的最大值為______．
12.（江蘇省泰州中學2020-2021學年高三上學期第二次檢測數(shù)學試題）已知非負實數(shù)，滿足，則的最大值為__________.
13.．函數(shù)y＝x＋的最小值為________．
14.（廣東省清遠市恒大足球學校2020屆高三上學期九月月考數(shù)學試題）若，那么的最大值為_________________.
15.在同一個平面內，向量的模分別為與的夾角為，且與的夾角為，若，則_________． 平移型求w，可以借助代入點的坐標，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標代入解析式，或者利用單調區(qū)間，再結合圖形解出值或者范圍。
正弦函數(shù)
在每一個閉區(qū)間（k∈Z）上都單調遞增，
在每一個閉區(qū)間（k∈Z）上都單調遞減
余弦函數(shù)
在每一個閉區(qū)間[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）上都單調遞增，
在每一個閉區(qū)間[2kπ，2kπ＋π] （k∈Z）上都單調遞減
正弦函數(shù)對稱中心
(kπ，0)(k∈Z)

余弦函數(shù)對稱中心
(eq \f(π,2)＋kπ，0)(k∈Z)
正切函數(shù)對稱中心
(eq \f(kπ,2)，0)(k∈Z)
正弦函數(shù)對稱軸
（k∈Z）時，ymax＝1；
（k∈Z）時，ymin＝－1
余弦函數(shù)對稱軸
x＝2kπ（k∈Z）時，ymax＝1；
x＝2kπ＋π（k∈Z）時，ymin＝－1
若的圖像關于直線對稱,則或.
函數(shù)的性質：
(1) .
(2)周期
(3)由 求對稱軸，由求對稱中心.
(4)由求增區(qū)間；由求減區(qū)間.
求w的表達式時，中不要把寫成k,因為后面還有一個k, 中不要把寫成k，否則不好研究w的最小值.它們本身就不一定相等.
無“心”型求w，可以采用正難則反的策略把無交點問題轉化為有交點的問題，利用補集思想得到最終的結果，對于其他否定性問題經常這樣思考.
極值點最大值最小值的問題，可以轉化為區(qū)間對稱軸的個數(shù)，利用對稱軸公式求解。
解決函數(shù)綜合性問題的注意點
（1）結合條件確定參數(shù)的值，進而得到函數(shù)的解析式．
（2）解題時要將看作一個整體，利用整體代換的方法，并結合正弦函數(shù)的相關性質求解．
（3）解題時要注意函數(shù)圖象的運用，使解題過程直觀形象化．
形如， 等，均可以用三角換元來解決.
在利用三角換元時，一定要注意角度限制，因為對于三角函數(shù)的值域都是[-1，1]，但其角度有多種形式，于是我們在設置角度時要抓住2點：
設置的角度要使三角函數(shù)的范圍為[-1，1]，
（2）根號要能直接開出來.就如本題來講，令，此時，于是.
無理根號型求范圍，可以通過換元求得：
1.單根號，一般是齊次關系。
2.雙根號，不僅僅是齊次關系，并且平方后能消去x。
3.式子可能具有“輪換特征”
4.一定要注意取值范圍之間的變化與互相制約。

圓代換型，利用圓的參數(shù)方程，注意盡量代換規(guī)范：余弦對應x，正弦對應y
的參數(shù)方程是：

向量中的三角換元原理之一，就是源于,實質是圓。
所以模定值，可以用圓的參數(shù)方程代換。
第十講 三角函數(shù)求w類型及三角換元應用歸類
目錄
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc30130" 題型01 平移型求w PAGEREF _Tc30130 \h 1
\l "_Tc2675" 題型02 單調區(qū)間及單調性求w PAGEREF _Tc2675 \h 3
\l "_Tc9702" 題型03 對稱中心（零點）求w PAGEREF _Tc9702 \h 5
\l "_Tc19805" 題型04對稱軸型求w PAGEREF _Tc19805 \h 8
\l "_Tc5300" 題型05 對稱軸及單調性型求w PAGEREF _Tc5300 \h 11
\l "_Tc17384" 題型06“臨軸”型求w PAGEREF _Tc17384 \h 13
\l "_Tc11089" 題型07“臨心”型求w PAGEREF _Tc11089 \h 16
\l "_Tc18427" 題型08 區(qū)間內有“心”型求w PAGEREF _Tc18427 \h 19
\l "_Tc9087" 題型09 區(qū)間內無“心”型求w PAGEREF _Tc9087 \h 22
\l "_Tc15838" 題型10 區(qū)間內最值點型求w PAGEREF _Tc15838 \h 24
\l "_Tc25519" 題型11多可能性分析型求w PAGEREF _Tc25519 \h 28
\l "_Tc24672" 題型12三角應用：三角雙換元 PAGEREF _Tc24672 \h 32
\l "_Tc30992" 題型13三角應用：無理根號型 PAGEREF _Tc30992 \h 34
\l "_Tc14120" 題型14三角應用：圓代換型 PAGEREF _Tc14120 \h 36
\l "_Tc1813" 題型15三角應用：向量型換元 PAGEREF _Tc1813 \h 38
\l "_Tc20639" 高考練場 PAGEREF _Tc20639 \h 41
高考題型歸納
題型01 平移型求w
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，將的圖像向右平移個單位長度后，若所得圖像與原圖像重合，則的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B【分析】根據(jù)題意是周期的整數(shù)倍，求出的表達式，從而求出其最小值.
【詳解】,的周期為,
將的圖像向右平移個單位長度后，所得圖像與原圖像重合，
是周期的整數(shù)倍，，，
，的最小值等于.故選：B
【典例1-2】（2022·全國·高三專題練習）將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后與原函數(shù)圖像重合，則實數(shù)的最小值是（ ）
A．2B．3C．6D．9
【答案】C【分析】由題意可知是的周期的倍數(shù)，即，從而可求得答案
【詳解】解：因為函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后與原函數(shù)圖像重合，
所以是的周期的倍數(shù)，
設，所以，因為，所以當時，最小，故選：C
【變式1-1】（2021春·浙江杭州·高三學軍中學?？奸_學考試）將函數(shù)的圖像向左平移2個單位長度后，與函數(shù)的圖象重合，則的最小值等于（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A【分析】平移函數(shù)圖象后得，根據(jù)與重合可求解.
【詳解】函數(shù)的圖像向左平移2個單位長度后可得，
，
與函數(shù)的圖象重合，所以，
由，所以.故選：A.
【變式1-2】（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中學?？家荒＃⒑瘮?shù)（）的圖象向右平移個單位長度后與函數(shù)的圖象重合，則的最小值為（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】D
【分析】由正弦函數(shù)的平移法則以及周期性可得，結合即可求解.
【詳解】由題意可得
，∴，，解得，，
又，∴當時，取得最小值為5．故選：D.
【變式1-3】（2023·陜西西安·西安市大明宮中學?？寄M預測）將的圖象向左平移個單位長度后與函數(shù)的圖象重合，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)圖象變換可得，根據(jù)題意結合誘導公式可得，運算求解即可得結果.
【詳解】將的圖象向左平移個單位長度后，
得到，
則，解得，
所以當時，的最小值為.故選：C.
題型02 單調區(qū)間及單調性求w
【解題攻略】
【典例1-1】（上海市川沙中學2021-2022學年高三下學期數(shù)學試題）設，若函數(shù)在上單調遞增，則的取值范圍是________
【答案】
【解析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調性，求出函數(shù)的單增區(qū)間，由（），可得： ，所以 ，整理即可得解.
【詳解】根據(jù)正弦函數(shù)的單調性，可得：（），
所以：，解得：，
整理可得： ，當有解，解得.故答案為：.
【典例1-2】（廣西玉林市育才中學2022屆高三12月月考數(shù)學試題）已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，且，在區(qū)間上單調，則的值為_____________.
【答案】2或6.
【詳解】因為的圖象關于直線對稱,故, ...①
又,故或,...②
①-②可得或,,.
解得或,,
又在區(qū)間上單調,故周期滿足,
且,所以故當時有滿足條件.故答案為：2或6
【變式1-1】函數(shù) ,若在區(qū)間上是單調函數(shù),且則的值為（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】B
分析：由在區(qū)間是有單調性，可得范圍，從而得；由，可得函數(shù)關于對稱，又，有對稱中心為；討論與是否在同一周期里面相鄰的對稱軸與對稱中心即可．
詳解：因為在單調，∴，即，而；若，則；若，則是的一條對稱軸，是其相鄰的對稱中心，所以，∴.
故選B.
【變式1-2】若函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍是____________.
【答案】
【分析】首先對函數(shù)的解析式進行恒等變形，然后結合三角函數(shù)的性質得到關于的不等式，求解不等式即可確定的取值范圍.
【詳解】整理函數(shù)的解析式有：
結合題意可知函數(shù)的最小正周期：,
即，求解不等式可得的取值范圍是.
【變式1-3】（2022-2021學年度下學期高三數(shù)學備考總動員C卷）若函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則實數(shù)的取值范圍是________.
【答案】
【分析】先由題意可知，得到，再由整體法得到單調減區(qū)間為，顯然是其子集，由此可得，檢驗的值易得，得解.
【詳解】由題意可得函數(shù)的最小正周期,∴，
∵函數(shù)的最小正周期為，單調減區(qū)間為，又，
由，得，
∴函數(shù)的單調減區(qū)間為．
∵函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，∴，
∴，解得．
當時，，不合題意；當時，，符合題意；當時，，顯然矛盾，不合題意.∴實數(shù)的取值范圍是．故答案為：.
題型03 對稱中心（零點）求w
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習）設函數(shù)的圖象的一個對稱中心為，則的一個最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由正切函數(shù)的對稱中心得到，，再對各選項逐一檢驗分析即可.
【詳解】根據(jù)題意得，，則，
又，則，，
對于A，若是的最小正周期，則，得，與矛盾，故A錯誤；
對于B，由得，滿足條件，故B正確；
對于C，由得，與矛盾，故C錯誤；
對于D，由得，與矛盾，故D錯誤.
故選：B.
【典例1-2】（2022秋·重慶·高三統(tǒng)考期中）若存在實數(shù)， 使得函數(shù)的圖象的一個對稱中心為，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題意可得，則，再根據(jù)，，即可得出答案.
【詳解】解：由題意知，存在在使得的一個對稱中心為，
即存在使得時，，代入， 則，
即，即，因為，，所以，則，
由不等式性質知時，取到最小值，又由于無法取到，故，
所以的取值范圍為.故選：C..故選：C.
【變式1-1】（2023春·湖北荊州·高三沙市中學校考階段練習）已知，周期是的對稱中心，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)條件，列出方程即可求得，然后根據(jù)對稱中心以及周期范圍求出，即可得到的解析式，從而得到結果.
【詳解】因為，由可得，且，所以，
又因為是的對稱中心，故
解得且，即所以，當時，
即，所以故選:D
【變式1-2】（2022秋·高三課時練習）已知函數(shù)的部分圖象如圖，的對稱中心是，則（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【分析】可得，根據(jù)輔助角公式可得，由對稱中心可得最小正周期為，故根據(jù)可求，從而可求.
【詳解】，由的對稱中心是，
知的最小正周期，故故解得.
故.故選:D.
【變式1-3】（2023秋·江蘇蘇州·高三校考階段練習）設函數(shù)的圖象的一個對稱中心為，則的一個最小正周期是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用正切型函數(shù)的對稱性可得出的表達式，再利用正切型函數(shù)的周期公式可求得結果.
【詳解】因為函數(shù)的圖象的一個對稱中心為，
所以，，可得，
，則，故函數(shù)的最小正周期為，
當時，可知函數(shù)的一個最小正周期為.
故選：C.
題型04對稱軸型求w
【解題攻略】
【典例1-1】（2022秋·山西長治·高三山西省長治市第二中學校校考階段練習）已知函數(shù)的部分圖象如圖，的對稱軸方程為，則（ ）
A．3B．2C．D．1
【答案】A
【分析】根據(jù)給定的對稱軸方程可得的周期，進而求出，再借助函數(shù)性質及給定圖象求出A值作答.
【詳解】由給定的圖象知，
，，
即，
因函數(shù)圖象的對稱軸方程為，
則的最小正周期，，
而，顯然有，
即，解得，所以.故選：A
【典例1-2】（2022·全國·高三專題練習）若是函數(shù)圖象的對稱軸，則的最小正周期的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)對稱軸可求的值，從而可求最小正周期.
【詳解】因為是函數(shù)圖象的對稱軸，
所以，故，
所以，故的最小正周期的最大值為，
故選：D.
【變式1-1】（2021秋·云南昆明·高三昆明市第三中學校考階段練習）已知函數(shù)的圖像關于對稱，則函數(shù)的圖像的一條對稱軸是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先由函數(shù)的圖像關于對稱，求出，再對化簡即可求出.
【詳解】函數(shù)變?yōu)?，（令?
因為函數(shù)的圖像關于對稱，所以,
解得：.所以.
所以函數(shù)，其中,
其對稱軸方程,所以.
因為，所以，所以.
當時， 符合題意.對照四個選項，D正確.故選：D.
【變式1-2】（“超級全能生”高考全國卷26省9月聯(lián)考乙卷數(shù)學試題）已知向量，函數(shù)，且，若的任何一條對稱軸與軸交點的橫坐標都不屬于區(qū)間，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
,,由，得，,由對稱軸,假設對稱軸在區(qū)間內，可知當k=1,2，3時，，現(xiàn)不屬于區(qū)間，所以上面的并集在全集中做補集，得，選B.
【變式1-3】已知向量，函數(shù)，且，若的任何一條對稱軸與軸交點的橫坐標都不屬于區(qū)間，則的取值范圍是
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】，又，，，所以，由的任何一條對稱軸與軸的交點的橫坐標都不屬于區(qū)間，則
得，，當，，顯然不符合題意；當，符合題意；當，，符合題意；當，，顯然不符合題意，綜上的取值范圍是，故選B

題型05 對稱軸及單調性型求w
【典例1-1】（2021屆重慶市南開中學高考沖刺二數(shù)學試題）已知函數(shù)，對任意的，都有，且在區(qū)間上單調，則的值為___________.
【答案】
【分析】
根據(jù)，得函數(shù)的對稱軸為，所以有可得，解得，再分類討論又在區(qū)間上單調遞增和遞減兩種情況，對每一種情況列出關于的不等式組，解之可求得的值.
【詳解】
因為，所以函數(shù)的對稱軸為，所以即，解得，
,又在區(qū)間上單調，所以
（1）若在區(qū)間上單調遞增，則 ∵ ，∴，
∴，即，解得，
所以，且，所以當時，滿足題意；
（2）若在區(qū)間上單調遞減，則 ∵ ，∴，
∴，即，解得，
所以，且，此時無解，
綜上可得滿足題意；故答案為：.
【典例1-2】（2020屆百校聯(lián)考高考百日沖刺金卷全國Ⅱ卷?數(shù)學（二）試題）已知函數(shù) 的一條對稱軸為，且在上單調，則的最大值為（ ）
A．B．3C．D．
【答案】D
【分析】
函數(shù)的對稱軸可表示為：，在上單調可得，使得，然后可得，即可分析出答案.
【詳解】
函數(shù)的對稱軸可表示為：，
在上單調可得，使得， 解得
又. ，∴當3時，可取最大值為
【變式1-1】（四川省成都市新都區(qū)2020-2021學年高三診斷測試數(shù)學試題）已知函數(shù)滿足，，且在區(qū)間上單調，則的最大值為________．
【答案】
【分析】
根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調得，再由，得到區(qū)間的長度恰好為，再根據(jù)的范圍求得的最大值，進而得到的最大值.
【詳解】因為在區(qū)間上單調，所以，
因為，，所以，
所以，當，
所以.故答案為：.
【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在 上是單調函數(shù)，其圖象的一條對稱軸方程為，則的值可能是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】利用正弦函數(shù)的圖象與性質，列出不等式組，結合選項，即可求解.
【詳解】由題意，函數(shù) 在 上是單調函數(shù)，
則滿足，可得，
結合選項可得，可能的值為和.故選：B.
【變式1-3】（2023·內蒙古赤峰·校考模擬預測）若直線是曲線的一條對稱軸，且函數(shù)在區(qū)間[0，]上不單調，則的最小值為（ ）
A．9B．7C．11D．3
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，求出的關系式，再求出函數(shù)含有數(shù)0的單調區(qū)間即可判斷作答.
【詳解】因直線是曲線的一條對稱軸，則，即，
由得，則函數(shù)在上單調遞增，
而函數(shù)在區(qū)間上不單調，則，解得，
所以的最小值為11.故選：C
題型06“臨軸”型求w
【解題攻略】
【典例1-1】（2023秋·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學?？奸_學考試）已知函數(shù)的最大值為4，最小值為0，且該函數(shù)圖象的相鄰兩個對稱軸之間的最短距離為，直線是該函數(shù)圖象的一條對稱軸，則該函數(shù)的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)的最大值為4，最小值為0，求得A，m，再由該函數(shù)圖象的相鄰兩個對稱軸之間的最短距離為，求得，然后由直線是該函數(shù)圖象的一條對稱軸求解.
【詳解】因為函數(shù)的最大值為4，最小值為0，
所以，所以，
又因為該函數(shù)圖象的相鄰兩個對稱軸之間的最短距離為，所以，則 ，
所以函數(shù)，又直線是該函數(shù)圖象的一條對稱軸，
所以，則 ，因為，所以 ，
所以該函數(shù)的解析式是，故選：B
【典例1-2】（2023秋·高三課時練習）已知函數(shù)，是函數(shù)的一個零點，是函數(shù)的一條對稱軸，若在區(qū)間上單調，則的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設函數(shù)的最小正周期為，根據(jù)題意分析得出，其中，可得出，利用函數(shù)的單調性可得出的取值范圍，可得出的可能取值，然后對的值由大到小進行檢驗，可得結果.
【詳解】設函數(shù)的最小正周期為，
因為是函數(shù)的一個零點，是函數(shù)的一條對稱軸，
則，其中，所以，，，
因為函數(shù)在區(qū)間上單調，則，所以，.
所以，的可能取值有：、、、、.
（i）當時，，，
所以，，則，
，，所以，，
當時，，所以，
函數(shù)在上不單調，不合乎題意；
（ii）當時，，，
所以，，則，
，，所以，，
當時，，所以，
函數(shù)在上單調遞減，合乎題意.因此，的最大值為.故選：A.
【變式1-1】（2023秋·河南洛陽·高三洛寧縣第一高級中學?？茧A段練習）已知，是函數(shù)圖象上兩條相鄰的對稱軸，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由三角函數(shù)的對稱性和周期性計算即可.
【詳解】由題意得：，故，
則當時，，
又，故.故選：A.
【變式1-2】（2023春·廣東佛山·高三?？茧A段練習）已知函數(shù)，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為.若將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到的圖象，且當時，不等式恒成立，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求得的解析式，再得到的解析式，并求得在上的最小值，進而構造關于的不等式，解之即可求得的取值范圍.
【詳解】
又圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為，則的周期為，則，則
將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到的圖象，則
當時，，
當時，不等式恒成立，
則恒成立，解之得故選：B
【變式1-3】（2023春·四川成都·高三校聯(lián)考階段練習）已知直線是函數(shù)圖象的任意兩條對稱軸，且的最小值為，則的單調遞增區(qū)間是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由題知，進而得，再求解函數(shù)單調區(qū)間即可.
【詳解】解：直線是函數(shù)圖象的任意兩條對稱軸，且的最小值為，
，即，
令，解得，
的單調遞增區(qū)間是.故選：B.
題型07“臨心”型求w
【解題攻略】
【典例1-1】（2023春·廣東珠?！じ呷？迹┮阎瘮?shù)的圖象的一個對稱中心的橫坐標在區(qū)間內，且兩個相鄰對稱中心之間的距離大于，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用輔助角化簡函數(shù)解析式為，分析可知，函數(shù)的最小正周期滿足，求出的取值范圍，求出函數(shù)圖象對稱中心的橫坐標，可得出所滿足的不等式，即可得出的取值范圍.
【詳解】因為，
因為函數(shù)的圖象的兩個相鄰對稱中心之間的距離大于，
所以，函數(shù)的最小正周期滿足，即，則，
由可得，因為函數(shù)的圖象的一個對稱中心的橫坐標在區(qū)間內，
則，可得，又因為且存在，則，解得，
因為，則，所以，，故選：B.
【典例1-2】（2023上·天津東麗·高三天津市第一百中學校考階段練習）函數(shù)，的最大值為2，其圖象相鄰兩個對稱中心之間的距離為，且的圖象關于直線對稱，則下列判斷正確的是（ ）
A．函數(shù)在上單調遞減
B．將圖象向右平移個單位與原圖象重合
C．函數(shù)圖象關于點對稱
D．函數(shù)的圖象關于直線對稱
【答案】D
【分析】依題意可求得,從而可求得的解析式，從而可以對函數(shù)的單調區(qū)間、對稱中心、對稱軸、平移一一判斷.
【詳解】函數(shù)，的最大值為2，即，所以，
又圖象相鄰兩個對稱中心之間的距離為，由的圖象關于直線對稱，
所以，即，
當時，，函數(shù)不單調，故選項A錯誤；
將圖象向右平移個單位，得，
其圖象與原圖象不重合，故選項B錯誤；
令，可得，圖象關于點對稱，故選項C錯誤；
當時，為最小值，函數(shù)的圖象關于直線對稱，故選項D正確.
故選：D.
【變式1-1】（2023下·河南焦作·高三統(tǒng)考）已知函數(shù)的圖象的一個對稱中心的橫坐標在區(qū)間內，且兩個相鄰對稱中心之間的距離大于，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用輔助角化簡函數(shù)解析式為，分析可知，函數(shù)的最小正周期滿足，求出的取值范圍，求出函數(shù)圖象對稱中心的橫坐標，可得出所滿足的不等式，即可得出的取值范圍.
【詳解】因為，
因為函數(shù)的圖象的兩個相鄰對稱中心之間的距離大于，
所以，函數(shù)的最小正周期滿足，即，則，
由可得，
因為函數(shù)的圖象的一個對稱中心的橫坐標在區(qū)間內，
則，可得，又因為且存在，則，解得，
因為，則，所以，，故選：B.
【變式1-2】（2023·云南紅河·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)（）的圖象的兩個相鄰對稱中心之間的距離為，則（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【分析】由正切函數(shù)的性質得出，繼而由周期公式得出.
【詳解】解：設的最小正周期為，由函數(shù)（）的圖象上相鄰兩
個對稱中心之間的距離為，知，，
又因為，所以，即，則．
故選：B．
【變式1-3】（2021上·四川雅安·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，點和是其相鄰的兩個對稱中心，且在區(qū)間內單調遞減，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由正切函數(shù)的圖象性質，得出相鄰兩個對稱中心之間的距離為半個周期，可求出T，然后由求出，然后再代點討論滿足題意的，即可得出答案.
【詳解】由正切函數(shù)圖象的性質可知相鄰兩個對稱中心的距離為，得.
則由得，即得.由，且在區(qū)間內單調遞減，則可得，
∴.由得，因，可得或，
當時，，由，得，
則函數(shù)的單調減區(qū)間為，
令，由，得函數(shù)在上不是單調遞減，
所以不滿足題意；
當時，，由，得，
則函數(shù)的單調減區(qū)間為，
令，由，得函數(shù)在上單調遞減，
所以滿足題意；綜上可得：滿足題意.故選：A.
題型08 區(qū)間內有“心”型求w
【解題攻略】
【典例1-1】（天津市部分區(qū)2020屆高考二模數(shù)學試題）若函數(shù)()在區(qū)間上單調遞減，且在區(qū)間上存在零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由題意結合余弦函數(shù)的單調區(qū)間可得，由余弦函數(shù)的零點可得，即可得解.
【詳解】當時，，又，，
函數(shù)()在區(qū)間上單調遞減，
，即，解得；
令，則，即，
由，可得當且僅當時，，
又函數(shù)()在區(qū)間上存在零點，
，解得；綜上，的取值范圍是.故選：D.
【典例1-2】（2021春?商洛）已知函數(shù)在，上恰有6個零點，則的取值范圍是
A．B．C．D．
【解答】解：
當時，；當時，．
因為在，上恰有6個零點，且，
所以，解得．
故選：．
【變式1-1】（2022?湖北模擬）已知函數(shù)在區(qū)間，上恰有三個零點，則的取值范圍是 ．
【解答】解：由題意：轉化為與函數(shù)在區(qū)間，上恰有三個交點問題，
，上，．當，可得．
根據(jù)余弦函數(shù)的圖象：可得，解得：
的取值范圍是，故答案為：，．
【變式1-2】（云南省2020屆高三適應性考試數(shù)學試題）若函數(shù)（，）圖象過點，在上有且只有兩個零點，則的最值情況為（ ）
A．最小值為，最大值為B．無最小值，最大值為
C．無最小值，最大值為D．最小值為，最大值為
【答案】C
【分析】由圖象過點求出，然后解，得，再分析在上有且只有兩個時，的取值只能是，從而可得的范圍，
【詳解】由題可知，即，∴，
又∵，，∴.
令，得，解得
又∵，在上有且只有兩個零點，
∴只能取1，2，故，解得，
∴，∴，沒有最小值．故選：C.
【變式1-3】（2021年全國高考甲卷數(shù)學（理）試題變式題16-20題）設函數(shù)，若對于任意實數(shù)，在區(qū)間上至少有2個零點，至多有3個零點，則的取值范圍是________．
【答案】
【分析】原問題轉化為在區(qū)間上至少有2個，至多有3個t，使得，求得取值范圍，作出可知，滿足條件可最短區(qū)間長度為，最長區(qū)間長度為，由此建立關于的不等式，解出即可．
【詳解】令，則，令，則，
則原問題轉化為在區(qū)間上至少有2個，至多有3個t，使得，求得取值范圍，
作出與的圖象，如圖所示，
由圖可知，滿足條件可最短區(qū)間長度為，最長區(qū)間長度為，
∴，解得．故答案為：．
題型09 區(qū)間內無“心”型求w
【解題攻略】
【典例1-1】已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內沒有零點，則的取值范圍為_________.
【答案】
【分析】先把化為，求出其零點的一般形式后利用函數(shù)在區(qū)間內沒有零點構建關于的不等式組，通過討論的范圍可得的取值范圍.
【詳解】因為，
故，
令，則，故函數(shù)的零點為.
因為函數(shù)在內無零點，故存在整數(shù)，使得，
故，因為正實數(shù)，故，故，又，故，故或.當時，，當時，.故.故答案為.
【典例1-2】（天津市南開中學2022屆高三下學期統(tǒng)練二數(shù)學試題）已知函數(shù)，，若在區(qū)間內沒有零點，則的取值范圍是______.
【答案】
【分析】化簡變形，根據(jù)三角函數(shù)的性質求出的零點，根據(jù)條件得出區(qū)間內不存在整數(shù)，再根據(jù)可得為或的子集，從而得出的范圍．
【詳解】．
令，可得，．
令，解得，
∵函數(shù)在區(qū)間內沒有零點，∴區(qū)間內不存在整數(shù)．
又，∴，
又，∴或．
∴或，解得或．
∴的取值范圍是，故答案為．
【變式1-1】函數(shù)，且，，若的圖像在內與軸無交點，則的取值范圍是__________.
【答案】
【詳解】∵的圖像在內與軸無交點∴
∵∴∵由對稱中心可知
∴∵假設在區(qū)間內存在交點，可知
∴當時，
∴以上并集在全集中做補集，得
故答案為
【變式1-2】（2023春·江西宜春·高三江西省宜豐中學?？茧A段練習）將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上沒有零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先由三角函數(shù)圖象平移規(guī)則求得函數(shù)，再利用正弦曲線的零點即可求得的取值范圍
【詳解】將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，得到
再把所得函數(shù)圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，得到函數(shù)
由函數(shù)在上沒有零點，則，則由，可得
假設函數(shù)在上有零點，
則，則
由，可得
又，則
則由函數(shù)在上沒有零點，且，可得故選：A
【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習）將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上沒有零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根據(jù)圖象變換求出的解析式，利用周期縮小的范圍，再從反面求解可得結果.
【詳解】將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，得到的圖象，
再把所得函數(shù)圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，得到函數(shù)，周期，
因為函數(shù)在上沒有零點，所以，得，得，得，
假設函數(shù)在上有零點，
令，得，，得，，
則，得，，又，所以或，
又函數(shù)在上有零點，且，所以或.故選：A
題型10 區(qū)間內最值點型求w
【解題攻略】
【典例1-1】.已知函數(shù)（，），，，在內有相鄰兩個最值點，且最小值點距離軸近，則的最小正整數(shù)值為（ ）
A．5B．7C．9D．10
【答案】C
【分析】由結合已知條件可得，由可求出，再由，可知，結合，可求出，從而可選出正確答案.
【詳解】解析：因為，結合已知，知（），
又因為，所以，所以．
因為，所以，，
解得，．又因為，可得，
所以當時，的最小正整數(shù)值為9．故選:C.
【典例1-2】已知函數(shù)的圖象關于點及直線對稱，且在不存在最值，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根據(jù)對稱得到，根據(jù)沒有最值得到，得到，，再根據(jù)對稱中心得到，得到答案.
【詳解】函數(shù)的圖象關于點及直線對稱.
則.
在不存在最值，則，故時滿足條件，，.
，則.
當時滿足條件，故.故選：.
【變式1-1】（2022年全國高考乙卷數(shù)學（理）試題變式題13-16題）已知函數(shù)，若且在區(qū)間上有最小值無最大值，則_______．
【答案】4或10##10或4
【分析】根據(jù)可求出f(x)的一條對稱軸，根據(jù)該對稱軸可求出ω的表達式和可能取值，結合y＝sinx的圖像，根據(jù)在區(qū)間上有最小值無最大值判斷ω的取值范圍，從而判斷ω的取值.
【詳解】∵f(x)滿足，∴是f(x)的一條對稱軸，
∴，∴，k∈Z，
∵ω＞0，∴.
當時，，
y＝sinx圖像如圖：
要使在區(qū)間上有最小值無最大值，則：
或，
此時ω＝4或10滿足條件；
區(qū)間的長度為：，
當時，f(x)最小正周期，則f(x)在既有最大值也有最小值，故不滿足條件.
綜上，ω＝4或10.
故答案為：4或10.
【變式1-2】（2022屆湖南省長沙市第一中學高考模擬數(shù)學試題）已知函數(shù)，，若，對任意恒有，在區(qū)間上有且只有一個使，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)的零點和最值點列方程組，求得的表達式（用表示），根據(jù)在上有且只有一個最大值，求得的取值范圍，求得對應的取值范圍，由為整數(shù)對的取值進行驗證，由此求得的最大值.
【詳解】
由題意知，則其中，．
又在上有且只有一個最大值，所以，得，即，所以，又，因此．
①當時，，此時取可使成立，當時，，所以當或時，都成立，舍去；
②當時，，此時取可使成立，當時，，所以當或時，都成立，舍去；
③當時，，此時取可使成立，當時，，所以當時，成立；
綜上所得的最大值為．故選:C
【變式1-3】（【全國百強?！亢颖焙馑鹁?022屆高三12月第三次聯(lián)合質量測評數(shù)學試題）已知函數(shù)，兩個等式：對任意的實數(shù)均恒成立，且上單調，則的最大值為
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
由函數(shù)的圖象關于直線和點對稱可得：，即，結合選項檢驗與即可.
【詳解】
因為兩個等式：對任意的實數(shù)x均恒成立，所以的圖象關于直線和點對稱，所以，因為，所以.因為在上單調，所以，所以，由選項知，只需要驗證.
1.當時，，因為對任意的實數(shù)x均恒成立，所以，因為，所以，所以，可以驗證在上不單調，
2.當時，，因為對任意的實數(shù)x均恒成立，所以，因為·所以·所以，可以驗證在上單調，所以w=1.故選A.
題型11多可能性分析型求w
【解題攻略】
【典例1-1】.函數(shù)，已知為圖象的一個對稱中心，直線為圖象的一條對稱軸，且在上單調遞減．記滿足條件的所有的值的和為，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由一條對稱軸和一個對稱中心可以得到或，由在上單調遞減可以得到，算出的大致范圍，驗證即可.
【詳解】由題意知：或∴或
∴或∵在上單調遞減，∴
∴
①當時，取知
此時，當時，
滿足在上單調遞減，∴符合
取時，，此時，當時，滿足在上單調遞減，∴符合
當時，，舍去，當時，也舍去
②當時，取知此時，當時，
，此時在上單調遞增，舍去
當時，，舍去，當時，也舍去
綜上：或2，.故選：A.
【典例1-2】（北京市西城區(qū)北京師范大學附屬實驗中學2021-2022學年高三上學期12月月考數(shù)學試題）已知點，若三個點中有且僅有兩個點在函數(shù)的圖象上，則正數(shù)的最小值為__________.
【答案】4
【分析】
由條件利用正弦函數(shù)的圖象特征，進行分類討論，求得每種情況下正數(shù)的最小值，再進行比較從而得出結論．
【詳解】
① 若只有兩點在函數(shù)的圖象上，
則有，，，
則，即，求得無解．
②若只有點在函數(shù)的圖象上，
則有，，，故有，
即，求得的最小值為4．
③若只有點在函數(shù)的圖象上，
則有，，，故有，
即，求得的最小正值為10，
綜上可得，的最小正值為4，故答案為：4．
【變式1-1】（北京市東城區(qū)2021-2022學年高三上學期數(shù)學試題）已知函數(shù)，曲線與直線相交，若存在相鄰兩個交點間的距離為，則的所有可能值為__________．
【答案】2或10
【分析】
令，解得或，
根據(jù)存在相鄰兩個交點間的距離為，得到或，即可求解，得到答案.
【詳解】
由題意，函數(shù)，曲線與直線相交，
令，即，
解得或，
由題意存在相鄰兩個交點間的距離為，結合正弦函數(shù)的圖象與性質，
可得，令，可得，解得.
或，令，可得，解得.
故答案為：或.
【變式1-2】（上海市晉元高級中學2022屆高三數(shù)學試題）已知，若存在使得集合中恰有3個元素，則的取值不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用賦值法逐項寫出一個周期中的元素，再結合三角函數(shù)誘導公式判斷是否存在符合題意即可.
【詳解】
解：對A，當，，函數(shù)的周期為在一個周期內，對賦值
當時，；當時，；
當時，；當時，；
當時，；
當時，；
當時，；
令時，。。
所以存在使得時的值等于時的值，時的值等于時的值，時的值等于時的值.
但是當?shù)扔凇?、、時，不存在使得這個值中的任何兩個相等
所以當時，集合中至少有四個元素，不符合題意，故A錯誤；
對B，當，，函數(shù)的周期為
在一個周期內，對賦值
當時，；當時，；
當時，；當時，；
當時，； 令，
。
所以當時，符合題意，故B正確；
對C，當，，函數(shù)的周期為
在一個周期內，對賦值
當時，；
當時，；
當時，；
當時，；
令，則，，
所以當時，符合題意，故C正確；
對D，當，，函數(shù)的周期為
在一個周期內，對賦值
當時，；當時，；
當時，；
令，，，
所以當時，符合題意，故D正確.
故選：A.
【變式1-3】（2021?淮北二模）已知函數(shù)滿足，，且在區(qū)間上單調，則滿足條件的個數(shù)為
A．7B．8C．9D．10
【解答】解：設函數(shù)的最小正周期為，由于函數(shù)滿足，，
故，解得，所以，由于函數(shù)在區(qū)間上單調，
故，故，，即，解得，由于，
所以取0，1，2，3，4，5，6，7，8．故的取值為9個；故選：．
題型12三角應用：三角雙換元
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習）設、且，求的取值范圍是 .
【答案】
【分析】解法一：利用條件，將轉化為二次函數(shù)，進而可確定的范圍．
解法二：由得，設，則，再結合余弦函數(shù)及二次函數(shù)的性質計算可得.
【詳解】解法一：，，可得．，
令，，顯然函數(shù)在上單調遞增，，，即，
的取值范圍是．
解法二：由得，設，即，
則
令，，，，顯然在上單調遞增，
所以，即，
所以的取值范圍是.故答案為：
【典例1-2】（2020·江西·校聯(lián)考模擬預測）若等差數(shù)列滿足，且，求的取值范圍（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設，，根據(jù)求出的范圍，利用等差中項的性質得到，再利用同角公式可求得結果.
【詳解】設，，又∵，∴，即，∴，
∴，∴，
又∵，所以，所以，
∴．故選：B
【變式1-1】（2021·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學校考階段練習）已知，，求的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，設，，那么，結合三角函數(shù)的有界限，即可得到答案.
【詳解】由題意知，且，
設，，
那么，其中，
因為的取值范圍是，所以，
即的取值范圍為.
故選：B
【變式1-2】（江西省撫州市金溪一中等七校2021-2022學年高三考試數(shù)學試題（B卷））已知滿足，則的取值范圍為
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】 由題意，令，
所以，
所以，
因為，所以
所以

所以，故選D.
【變式1-3】（浙江省嘉興市2022屆高三試數(shù)學試題）已知實數(shù)滿足,則的取值范圍是_______．
【答案】
【解析】
設
因此
因為 ，所以，即取值范圍是
點睛：利用三角函數(shù)的性質求范圍，先通過變換把函數(shù)化為的形式再借助三角函數(shù)圖象研究性質，解題時注意觀察角、函數(shù)名、結構等特征．
題型13三角應用：無理根號型
【解題攻略】
【典例1-1】.求函數(shù)的值域.
【分析】 遇到根號問題，通常我們都需要利用換元法就值域，但由于根號內有平方，則需要利用含平方的換元形式，于是我們利用三角換元．
解析：令，則原式
=
其中.
，
【典例1-2】求函數(shù)的值域.
【答案】
【分析】可化為 ，令，結合輔助角公式及三角函數(shù)的性質求解.
【詳解】可化為 ，令，
則，
，，∴,
故函數(shù)的值域為.
【變式1-1】若對任意，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】由可得原不等式等價于，兩邊平方，利用均值不等式求解即可.
【詳解】因為，所以，所以不等式可化為，
設，，則，則，
因為，所以，當且僅當時取等號，
所以，即，所以，
故答案為：
【變式1-2】（新疆莎車縣第一中學2022屆高三上學期第三次質量檢測數(shù)學試題）函數(shù)y=x?4?x2的值域為________．
【答案】?22,2
【分析】函數(shù)的定義域為?2,2，設x=2csθ將原函數(shù)轉化為關于的三角函數(shù)，利用同角三角函數(shù)基本關系以及輔助角公式，余弦函數(shù)的性質即可求解.
【詳解】由4?x2≥0可得?2≤x≤2，即函數(shù)的定義域為?2,2。所以設x=2csθ，θ∈0,π，
則y=2csθ?4?4cs2θ=2csθ?2sinθ=2222csθ?22sinθ=22csθ+π4，
因為θ∈0,π，所以θ+π4∈π4,5π4，所以csθ+π4∈?1,22，所以y=22csθ+π4∈?22,2，
所以函數(shù)y=x?4?x2的值域為?22,2，故答案為：?22,2.
【變式1-3】（2020屆安徽省六安市第一中學高三下學期模擬卷（七）數(shù)學（理）試題）已知，則的最大值為_________.
【答案】8
【分析】設，不妨設，再利用三角換元，結合三角函數(shù)的有界性，即可得答案.
【詳解】設，不妨設，
則，故，所以，
可設，，則
，當且僅當時取等號
即的最大值為8.故答案為：.
題型14三角應用：圓代換型
【解題攻略】
【典例1-1】（上海市第二中學2020-2021學年高三下學期5月月考數(shù)學試題）知點A(2,0)，點P是以原點為圓心，1為半徑的圓上的任意一點，將點P繞點逆時針旋轉90°得點Q，線段AP的中點為，則|MQ|的最大值是______
【答案】1+52
【分析】
設P(csθ,sinθ)，則Q(?sinθ,csθ)，則(2+csθ2,sinθ2)，從而得|MQ|=(2+csθ2+sinθ)2+(sinθ2?csθ)2，利用降冪公式、輔助角公式及平方關系化簡，再根據(jù)正弦型函數(shù)得值域即可得解.
【詳解】
解：由題可知，設P(csθ,sinθ)，則Q(?sinθ,csθ)，
因為A(2,0)，所以線段AP的中點得坐標為(2+csθ2,sinθ2)，
所以|MQ|=(2+csθ2+sinθ)2+(sinθ2?csθ)2=(csθ+2)2+4sinθ(csθ+2)+4sin2θ+sin2θ?4sinθcsθ+4cs2θ4
=9+4csθ+8sinθ2=9+45sin(θ+φ)2，其中tanφ=12，因為sin(θ+φ)∈[?1,1]，
所以當sin(θ+φ)=1時，|MQ|取最大值為1+52.故答案為：1+52.
【典例1-2】設圓O:x2+y2=1上兩點Ax1,y1，Bx2,y2滿足：OA?OB=?12，則x1?2y1+x2?2y2的取值范圍是___________.
【答案】152,15
【解析】
【分析】
首先由數(shù)量積公式可得∠AOB=120°，再根據(jù)絕對值的幾何意義得?=x1?2y15+x2?2y25表示兩點，分別到直線x?2y=0的距離之和，再以直線x?2y=0為軸重新建立直角坐標系后，利用三角函數(shù)表示?，根據(jù)角的范圍求值域.
【詳解】
由OA?OB=?12，得∠AOB=120°.
設?=x1?2y15+x2?2y25表示兩點，分別到直線x?2y=0的距離之和.
取直線x?2y=0為軸重新建立直角坐標系后，則?表示兩點，分別到軸的距離之和.
在新的直角坐標系下，設Acsθ,sinθ，Bcsθ+120°,sinθ+120°則有?=sinθ+sinθ+120°.
由對稱性，不妨設點在軸上或上方，即?120°≤θ≤60°.所以?=sinθ+sinθ+120°,0°≤θ≤60°?sinθ+sinθ+120°,?120°≤θ0)，若在上恰有兩個零點，且在上單調遞增，則ω的取值范圍是________.
【答案】
【分析】由在上恰有兩個零點，令，，可得，令，，可得f(x)在上單調遞增，從而有，聯(lián)立求解即可得答案.
【詳解】解：由題意，令，，得x＝，，
∴f(x)的第2個、第3個正零點分別為，，∴，解得，
令，，∴，，
令k＝0，f(x)在上單調遞增，∴，
∴，解得，綜上，ω的取值范圍是.故答案為：.
9.（2023秋·江蘇揚州·高三揚州中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，再將所得函數(shù)圖象保持縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜玫?，若函?shù)在上沒有零點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得到，令，結合函數(shù)零點存在的條件建立不等式求解即可.
【詳解】函數(shù)，向右平移個單位長度，得，
再將所得函數(shù)圖象保持縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜玫剑?br>令，得，所以，
若函數(shù)在上沒有零點，則需，所以，所以，
若函數(shù)在上有零點，則，
當k=0時，得，解得，當k=1時，得，解得，
綜上：函數(shù)在上有零點時，或，
所以函數(shù)在上沒有零點，.所以的取值范圍是.故選：A
10..已知函數(shù)，其中，，為的零點，且恒成立，在區(qū)間上有最小值無最大值，則的最大值是_______
【答案】15
【分析】
由題意可得是y＝f（x）圖像的對稱軸，而為f（x）的零點，從而可得?，n∈Z，由在區(qū)間上有最小值無最大值，可得周期T≥（），從而可求得ω≤16，然后對ω＝15進行檢驗即可
【詳解】
由題意知函數(shù)為y＝f（x）圖象的對稱軸，
為f（x）的零點，∴?，n∈Z，∴ω＝2n+1．
∵f（x）在區(qū)間上有最小值無最大值，
∴周期T≥（），即，∴ω≤16．
∴要求的最大值，結合選項，先檢驗ω＝15，
當ω＝15時，由題意可得15+φ＝kπ，φ，函數(shù)為y＝f（x）＝sin（15x），
在區(qū)間上，15x∈[，），此時f（x）在時取得最小值，
∴ω=15滿足題意．則ω的最大值為15.
故答案為：15.
11.（河北省衡水市第十四中學2020-2021學年高三四調數(shù)學試題）已知函數(shù)f（x）=cs（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=-為f（x）的零點，x=為y=f（x）圖象的對稱軸，且f（x）在（，）上單調，則ω的最大值為______．
【答案】
【分析】先根據(jù)是的零點，是圖像的對稱軸可轉化為周期的關系，從而求得的取值范圍，又根據(jù)所求值為最大值，所以從大到小對賦值驗證找到適合的最大值即可．
【詳解】由題意可得，即，解得，
又因為在上單調，所以，即，
因為要求的最大值，令，因為是的對稱軸，所以，
又，解得，所以此時，
在上單調遞減，即在上單調遞減，在上單調遞增，故在不單調，
同理，令，，在 上單調遞減，因為，
所以在單調遞減，滿足題意，所以的最大值為5.
12.（江蘇省泰州中學2020-2021學年高三上學期第二次檢測數(shù)學試題）已知非負實數(shù)，滿足，則的最大值為__________.
【答案】
【分析】由，得，用換元法，令，，將問題轉化為三角函數(shù)求最值，即可求得答案.
【詳解】由題意得：，令，， 又，為非負實數(shù)，
，，，即，
解得，.故（其中），
，即，，即
又在上單調遞增，∴當時，取得最大值，
故當，時，取得最大值，最大值為.故答案為：
13.．函數(shù)y＝x＋的最小值為________．
【答案】5－
【分析】整理y＝x＋得：y＝x＋，利用作三角換元得：x－5＝cs α，，即可整理函數(shù)為：y＝2sin＋5，利用三角函數(shù)的性質即可得解.
【詳解】原函數(shù)可化為：y＝x＋.由2－(x－5)2≥0?|x－5|≤，令x－5＝cs，
那么y＝cs＋5＋sin＝2sin＋5.
因為＋∈，所以sin∈，所以函數(shù)的最小值為5－.
14.（廣東省清遠市恒大足球學校2020屆高三上學期九月月考數(shù)學試題）若，那么的最大值為_________________.
【答案】
【分析】設，利用三角函數(shù)有界性得函數(shù)的最大值.
【詳解】設，所以
所以的最大值為.故答案為：
15.在同一個平面內，向量的模分別為與的夾角為，且與的夾角為，若，則_________．
【答案】
【詳解】
以為軸，建立直角坐標系，則，由的模為與與的夾角為，且知， ，可得，，由可得，，故答案為. 平移型求w，可以借助代入點的坐標，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標代入解析式，或者利用單調區(qū)間，再結合圖形解出值或者范圍。
正弦函數(shù)
在每一個閉區(qū)間（k∈Z）上都單調遞增，
在每一個閉區(qū)間（k∈Z）上都單調遞減
余弦函數(shù)
在每一個閉區(qū)間[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）上都單調遞增，
在每一個閉區(qū)間[2kπ，2kπ＋π] （k∈Z）上都單調遞減
正弦函數(shù)對稱中心
(kπ，0)(k∈Z)

余弦函數(shù)對稱中心
(eq \f(π,2)＋kπ，0)(k∈Z)
正切函數(shù)對稱中心
(eq \f(kπ,2)，0)(k∈Z)
正弦函數(shù)對稱軸
（k∈Z）時，ymax＝1；
（k∈Z）時，ymin＝－1
余弦函數(shù)對稱軸
x＝2kπ（k∈Z）時，ymax＝1；
x＝2kπ＋π（k∈Z）時，ymin＝－1
若的圖像關于直線對稱,則或.
函數(shù)的性質：
(1) .
(2)周期
(3)由 求對稱軸，由求對稱中心.
(4)由求增區(qū)間；由求減區(qū)間.
求w的表達式時，中不要把寫成k,因為后面還有一個k, 中不要把寫成k，否則不好研究w的最小值.它們本身就不一定相等.
無“心”型求w，可以采用正難則反的策略把無交點問題轉化為有交點的問題，利用補集思想得到最終的結果，對于其他否定性問題經常這樣思考.
極值點最大值最小值的問題，可以轉化為區(qū)間對稱軸的個數(shù)，利用對稱軸公式求解。
解決函數(shù)綜合性問題的注意點
（1）結合條件確定參數(shù)的值，進而得到函數(shù)的解析式．
（2）解題時要將看作一個整體，利用整體代換的方法，并結合正弦函數(shù)的相關性質求解．
（3）解題時要注意函數(shù)圖象的運用，使解題過程直觀形象化．
形如， 等，均可以用三角換元來解決.
在利用三角換元時，一定要注意角度限制，因為對于三角函數(shù)的值域都是[-1，1]，但其角度有多種形式，于是我們在設置角度時要抓住2點：
設置的角度要使三角函數(shù)的范圍為[-1，1]，
（2）根號要能直接開出來.就如本題來講，令，此時，于是.
無理根號型求范圍，可以通過換元求得：
1.單根號，一般是齊次關系。
2.雙根號，不僅僅是齊次關系，并且平方后能消去x。
3.式子可能具有“輪換特征”
4.一定要注意取值范圍之間的變化與互相制約。


圓代換型，利用圓的參數(shù)方程，注意盡量代換規(guī)范：余弦對應x，正弦對應y
的參數(shù)方程是：

向量中的三角換元原理之一，就是源于,實質是圓。
所以模定值，可以用圓的參數(shù)方程代換。

相關試卷

2024年新高考數(shù)學題型全歸納講義第十八講立體幾何動點與外接球歸類(原卷版+解析)：

這是一份2024年新高考數(shù)學題型全歸納講義第十八講立體幾何動點與外接球歸類(原卷版+解析)，共74頁。

2024年新高考數(shù)學題型全歸納講義第十八講立體幾何動點與外接球歸類(原卷版+解析)：

這是一份2024年新高考數(shù)學題型全歸納講義第十八講立體幾何動點與外接球歸類(原卷版+解析)，共74頁。

2024年新高考數(shù)學題型全歸納講義第十九講立體幾何截面與最值歸類(原卷版+解析)：

這是一份2024年新高考數(shù)學題型全歸納講義第十九講立體幾何截面與最值歸類(原卷版+解析)，共89頁。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

2024年新高考數(shù)學二輪專題復習 三角函數(shù)求w類型及三角換元應用歸類（原卷版+解析版）

2024年新高考數(shù)學二輪專題復習 三角函數(shù)求w類型及三角換元應用歸類（原卷版+解析版）
2024年高考數(shù)學二輪熱點題型歸納與變式演練（新高考通用）專題3-2三角函數(shù)求w類型及換元歸類-1

2024年高考數(shù)學二輪熱點題型歸納與變式演練（新高考通用）專題3-2三角函數(shù)求w類型及換元歸類-1
專題3-2 三角函數(shù)求w類型及換元歸類（15題型+解題攻略）-2024年高考數(shù)學二輪熱點題型歸納與變式演練（新高考通用）

專題3-2 三角函數(shù)求w類型及換元歸類（15題型+解題攻略）-2024年高考數(shù)學二輪熱點題型歸納與變式演練（新高考通用）
專題3-4 三角函數(shù)w求范圍和最值13題型歸類（講+練）-高考數(shù)學一輪復習熱點題型歸納培優(yōu)講義（新高考通用）

專題3-4 三角函數(shù)w求范圍和最值13題型歸類（講+練）-高考數(shù)學一輪復習熱點題型歸納培優(yōu)講義（新高考通用）
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內容侵犯了您的知識產權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經成功發(fā)送，5分鐘內有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部