TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc16958" 題型01 截面形狀判斷 PAGEREF _Tc16958 \h 1
\l "_Tc10395" 題型02利用相交線法做截面 PAGEREF _Tc10395 \h 2
\l "_Tc28022" 題型03利用平行線法做截面4
\l "_Tc18495" 題型04 截面計(jì)算：柱體周長6
\l "_Tc18506" 題型05截面計(jì)算：柱體面積7
\l "_Tc12708" 題型06 錐體中截面周長與面積8
\l "_Tc10518" 題型07 臺(tái)體中截面周長與面積8
\l "_Tc6260" 題型08球截面9
\l "_Tc14506" 題型09截面最值：球截面最值 PAGEREF _Tc14506 \h 10
\l "_Tc32454" 題型10截面最值：柱體最值 PAGEREF _Tc32454 \h 10
\l "_Tc9002" 題型11截面最值：錐體最值 PAGEREF _Tc9002 \h 12
\l "_Tc20747" 題型12 截面最值：綜合型最值 PAGEREF _Tc20747 \h 13
\l "_Tc14510" 題型13 恒平行型求截面 PAGEREF _Tc14510 \h 14
\l "_Tc9888" 題型14恒垂直型求截面 PAGEREF _Tc9888 \h 15
\l "_Tc17445" 題型15動(dòng)點(diǎn)型截面 PAGEREF _Tc17445 \h 16
\l "_Tc29625" 高考練場17
熱點(diǎn)題型歸納
題型01 截面形狀判斷
【解題攻略】
【典例1-1】．（2022下·浙江溫州·高三校聯(lián)考）圓錐內(nèi)接一個(gè)正方體，現(xiàn)有一個(gè)平面截這個(gè)幾何體，則截面圖形不可能是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2021下·高三課時(shí)練習(xí)）圖中的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得，現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)幾何體，則截面圖形可能是（ ）
A．①②B．①③C．①④D．①⑤
【變式1-1】（2019·全國·高三假期作業(yè)）一個(gè)三棱錐的各棱長均相等，其內(nèi)部有一個(gè)內(nèi)切球，即球與三棱錐的各面均相切（球在三棱錐的內(nèi)部，且球與三棱錐的各面只有一個(gè)交點(diǎn)），過一條側(cè)棱和對(duì)邊的中點(diǎn)作三棱錐的截面，所得截面圖形是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2020下·山東棗莊·高三滕州市第一中學(xué)新校?？茧A段練習(xí)）如圖所示的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得到的組合體，現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)組合體，則截面圖形可能是（ ）
A．①②B．①③C．①④D．①⑤
【變式1-3】用平面截正方體，截面不可能是（ ）
A．菱形B．等腰梯形
C．正五邊形D．正六邊形
題型02利用相交線法做截面
【解題攻略】
【典例1-1】在棱長為2的正方體中，E是棱的中點(diǎn)，則過B、E、三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面圖形的面積為（ ）
A．5B．C．D．
【典例1-2】如圖，正方體的棱長為1，P為的中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面多邊形記為S，則下列命題正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，S為等腰梯形
B．當(dāng)時(shí)，S與的交點(diǎn)R滿足
C．當(dāng)時(shí)，S為六邊形
D．當(dāng)時(shí)，S的面積為
【變式1-1】如圖，直四棱柱的所有棱長均為，，是側(cè)棱的中點(diǎn)，則平面截四棱柱所得的截面圖形的周長是（ ）
A．B．
C．D．
【變式1-2】在正方體中，棱長為3，E為棱上靠近的三等分點(diǎn)，則平面截正方體的截面面積為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】在棱長為3的正方體A1B1C1D1-ABCD中，M是棱B1C1上靠近B1的三等分點(diǎn)，過A、D1、M作正方體的截面，則這個(gè)截面將正方體分成兩部分的體積之比（體積較小的與體積較大的之比）為（ ）
A．B．C．D．
題型03利用平行線法做截面
【解題攻略】
【典例1-1】已知，，是正方體的棱，，的中點(diǎn)，則平面截正方體所得的截面是（ ）
A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形
【典例1-2】在正方體中，點(diǎn)Q是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則過A，Q，三點(diǎn)的截面圖形是（ ）
A．等邊三角形B．矩形C．等腰梯形D．以上都有可能
【變式1-1】在棱長為3的正方體中，O為AC與BD的交點(diǎn)，P為上一點(diǎn)，且，則過A，P，O三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的周長為（ ）
A．B．
C．D．
【變式1-2】．正方體棱長為4，M，N，P分別是棱的中點(diǎn)，則過M，N，P三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的面積（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】已知正方體，平面和線段，，，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，則截面EFGH的形狀不可能是（ ）
A．梯形B．正方形C．長方形D．菱形
題型04 截面計(jì)算：柱體周長
【典例1-1】已知直三棱柱的側(cè)棱長為，，.過、的中點(diǎn)、作平面與平面垂直，則所得截面周長為（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】在棱長為6的正方體中，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，過，，三點(diǎn)作該正方體的截面，則截面的周長為
A．B．
C．D．
【變式1-1】已知正方體的棱長為6，E、F分別是、的中點(diǎn)，則平面CEF截正方體所得的截面的周長為______．
【變式1-2】在正方體中，，為棱的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），為棱的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），過點(diǎn)，，作該正方體的截面，則該截面的周長是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】已知正四棱柱中，，點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段上靠近D的三等分點(diǎn)，若正四棱柱被過點(diǎn)，M，N的平面所截，則所得截面的周長為（ ）
A．B．C．D．
題型05截面計(jì)算：柱體面積
【典例1-1】棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱A1D1，AA1的中點(diǎn)，過E，F(xiàn)，C1三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面的面積為（ ）
A．9B．C．D．
【典例1-2】在棱長為2的正方體中，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，則經(jīng)過，，三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面的面積為（ ）．
A．B．C．D．
【變式1-1】如圖，在棱長為2的正方體中，，，分別為，，，的中點(diǎn)，過，，三點(diǎn)的平而截正方體所得的截面面積為（ ）
A．4B．C．D．
【變式1-2】在棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn)，則過三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面面積為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】如圖，已知正方體的棱長為2，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，平面經(jīng)過點(diǎn)，則正方體被平面截得的截面面積為（ ）
A．2B．4C．4D．
題型06 錐體中截面周長與面積
【典例1-1】在正四面體中，，若以三角形為視角正面的三視圖中，其左視圖的面積是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】如圖，已知三棱錐，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，且，過點(diǎn)P作一個(gè)截面，使截面平行于和，則截面的周長為_________.
【變式1-1】已知正四面體的內(nèi)切球的表面積為36，過該四面體的一條棱以及球心的平面截正四面體，則所得截面的面積為
A．27B．27C．54D．54
【變式1-2】在三棱錐中，，G為的重心，過點(diǎn)G作三棱錐的一個(gè)截面，使截面平行于直線PB和AC，則截面的周長為_________.
【變式1-3】已知四棱錐中，平面，四邊形為正方形，，平面過，，的中點(diǎn)，則平面截四棱錐所得的截面面積為（ ）
A．B．C．D．
題型07 臺(tái)體中截面周長與面積
【典例1-1】一個(gè)正四棱臺(tái)上?下底面邊長分別為2，4，高為3，則經(jīng)過相對(duì)兩側(cè)棱的截面的面積為______.
【典例1-2】如圖，四棱臺(tái)的底面為菱形，P、Q分別為的中點(diǎn)．若∥平面BPQD，則此棱臺(tái)上下底面邊長的比值為___________．
【變式1-1】正三棱臺(tái)上底面邊長2，下底面邊長為4，高為3，則該正三棱臺(tái)的斜高為___________．
【變式1-2】.如果棱臺(tái)的兩底面積分別是S，S′，中截面的面積是S0，那么
A．2＝＋B．S0＝
C．2S0＝S＋S′D．S0＝2S′S
【變式1-3】（2023下·湖北武漢·高三華中師大一附中校考）在正四棱臺(tái)中，，，M為棱的中點(diǎn)，當(dāng)正四棱臺(tái)的體積最大時(shí)，平面截該正四棱臺(tái)的截面面積是（ ）．
A．B．C．D．
題型08球截面
【解題攻略】
【典例1-1】已知三棱錐的所有棱長均為3，球O與棱PA，PB，PC都相切，且平面ABC被球O截得的截面面積為，則球O的半徑為（ ）．
A．1B．C．D．或
【典例1-2】已知正四面體的棱長為2，，，分別為，，的中點(diǎn)，則正四面體的外接球被平面所截的截面面積是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】已知正方體棱長為6，如圖，有一球的球心是的中點(diǎn)，半徑為2，平面截此球所得的截面面積是（ ）．
A．B．C．D．
【變式1-2】球O與棱長為2的正方體的各個(gè)面都相切，點(diǎn)M為棱的中點(diǎn)，則平面AMC截球O所得截面的面積為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】如圖，已知球是棱長為1 的正方體的內(nèi)切球，則平面截球的截面面積為（ ）
A．B．C．D．
題型09截面最值：球截面最值
【典例1-1】如圖，在三棱錐中，平面平面CBD，，點(diǎn)M在AC上，，過點(diǎn)M作三棱錐外接球的截面，則截面圓面積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】已知三棱錐P-ABC的棱長均為6，且四個(gè)頂點(diǎn)均在球心為O的球面上，點(diǎn)E在AB上，，過點(diǎn)E作球O的截面，則截面面積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】若球是正三棱錐的外接球，，，點(diǎn)在線段上，，過點(diǎn)作球的截面，則所得的截面中面積最小的截面的面積為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】一個(gè)空心球玩具里面設(shè)計(jì)一個(gè)棱長為4的內(nèi)接正四面體，過正四面體上某一個(gè)頂點(diǎn)所在的三條棱的中點(diǎn)作球的截面，則該截面圓的面積是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】棱長為的正方體的所有頂點(diǎn)均在球的球面上，分別為的中點(diǎn)，則平面截球所得圓的面積為（ ）
A．B．C．D．
題型10截面最值：柱體最值
【典例1-1】已知正方體的棱長為為線段上的動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)，過點(diǎn)，的平面截該正方體所得截面為.若為五邊形，則此時(shí)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】已知正方體的體積為，點(diǎn)在線段上(點(diǎn)異于兩點(diǎn))，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，若平面截正方體所得的截面為四邊形，則線段BM的取值范圍為（ ）
B．C．D．
【變式1-1】已知正方體的棱長為2，M、N分別為、的中點(diǎn)，過 、的平面所得截面為四邊形，則該截面最大面積為（ ）
B．C．D．
【變式1-2】已知正方體的體積為1，點(diǎn)在線段上（點(diǎn)異于，
兩點(diǎn)），點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，若平面截正方體所得的截面為四邊形，則線段的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】如圖，正方體的棱長為1，為的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)，，的平面截該正方體所得的截面記為．
①當(dāng)時(shí)，為四邊形；
②當(dāng)時(shí)，與的交點(diǎn)滿足；
③當(dāng)時(shí)，為六邊形；
④當(dāng)時(shí)，的面積為．
則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
①②③B．①②④C．①③④D．②③④
題型11截面最值：錐體最值
【典例1-1】正三棱錐的底面邊長是2，E，F(xiàn)，G，H分別是SA，SB，BC，AC的中點(diǎn)，則四邊形EFGH面積的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】如圖，已知四面體為正四面體，，，分別是，中點(diǎn).若用一個(gè)與直線垂直，且與四面體的每一個(gè)面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個(gè)多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為（ ）
A．1B．C．2D．
【變式1-1】如圖：正三棱錐中，，側(cè)棱，平行于過點(diǎn)的截面，則平面與正三棱錐側(cè)面交線的周長的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】如圖，在四面體中，，，，、分別是，中點(diǎn).若用一個(gè)與直線垂直，且與四面體的每個(gè)面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個(gè)多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】在長方體中，，過點(diǎn)作平面與分別交于兩點(diǎn)，若與平面所成的角為，則截面面積的最小值是（ ）
A．B．C．D．
題型12 截面最值：綜合型最值
【典例1-1】已知正四面體的棱長為4，點(diǎn)在棱上，且，過作四面體外接球的截面，則所作截面面積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】正三棱錐，為中點(diǎn)， ，，過的平面截三棱錐的外接球所得截面的面積范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【變式1-1】正方體為棱長為2，動(dòng)點(diǎn)，分別在棱，上，過點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面記為，設(shè)，，其中，，下列命題正確的是____________.（寫出所有正確命題的編號(hào)）
①當(dāng)時(shí)，為矩形，其面積最大為4；②當(dāng)時(shí)，的面積為；
③當(dāng)，時(shí)，設(shè)與棱的交點(diǎn)為，則；
④當(dāng)時(shí)，以為頂點(diǎn)，為底面的棱錐的體積為定值.
【變式1-2】
在三棱錐中，頂點(diǎn)P在底面的射影為的垂心O（O在內(nèi)部），且PO中點(diǎn)為M，過AM作平行于BC的截面，過BM作平行于AC的截面，記，與底面ABC所成的銳二面角分別為，，若，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．可能值為
D．當(dāng)取值最大時(shí)，
題型13 恒平行型求截面
【典例1-1】在通用技術(shù)教室里有一個(gè)三棱錐木塊如圖所示，，，兩兩垂直，（單位：），小明同學(xué)計(jì)劃通過側(cè)面內(nèi)任意一點(diǎn)將木塊鋸開，使截面平行于直線和，則該截面面積（單位：）的最大值是__________．
【典例1-2】一棱長為4的正四面體木塊如圖所示，P是棱的中點(diǎn)，過點(diǎn)P將木塊鋸開，使截面平行于棱和，則截面的面積為（ ）
A．2B．C．D．4
【變式1-1】某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，對(duì)棱長為3的正方體木塊進(jìn)行加工.如圖，學(xué)生需要分別過頂點(diǎn)A和對(duì)角線BD對(duì)正方體木塊進(jìn)行平面切割，兩個(gè)切割面與棱，，，分別交于點(diǎn)M，F(xiàn)，E，N，要求兩次切割所得到的截面平行，且，則兩個(gè)截面間的距離為_____________.
【變式1-2】如圖，已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面為正方形，且側(cè)棱與底面垂直，點(diǎn)O1為A1C1，B1D1的交點(diǎn)，點(diǎn)O2為AC，BD的交點(diǎn)，連接O1O2，點(diǎn)O為O1O2的中點(diǎn)．過點(diǎn)O且與直線AB平行的平面截這個(gè)四棱柱所得截面面積的最小值和最大值分別為1和，則四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面積為（ ）
A．10B．12C．13D．14
【變式1-3】.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點(diǎn)．則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直線DB1與平面AEF垂直
B．直線A1G與平面AEF平行
C．平面AEF截正方體所得的截面面積為
D．三棱錐A1?AEF的體積等于
題型14恒垂直型求截面
【解題攻略】
【典例1-1】已知正方體的棱長為1，E為線段上的點(diǎn)，過點(diǎn)E作垂直于的平面截正方體，則截面圖形的周長為______.
【典例1-2】已知直三棱柱的側(cè)棱長為，，.過、的中點(diǎn)、作平面與平面垂直，則所得截面周長為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】如圖，正三棱柱的高為4，底面邊長為，D是的中點(diǎn)，P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，過BC作截面于E，則三棱錐體積的最小值為（ ）
A．3B．C．D．12
【變式1-2】在下面四個(gè)正方體中，點(diǎn)、、均為所在棱的中點(diǎn)，過、、作正方體截面，則下列圖形中，平面不與直線垂直的是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】已知正方體的邊長為，為邊上靠近的三等分點(diǎn)，過且垂直于直線的平面被正方體所截的截面面積為（ ）
A．B．C．D．
題型15動(dòng)點(diǎn)型截面
【典例1-1】（2023上·北京海淀·高三北京交通大學(xué)附屬中學(xué)校考）如圖，在棱長為1的正方體中，E是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①三棱錐的體積為定值；
②存在點(diǎn)使得平面：
③的最小值為；
④對(duì)每一個(gè)點(diǎn)E，在棱上總存在一點(diǎn)P，使得平面；
⑤M是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)的截面垂直于，則截面的面積的最小值為
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【典例1-2】（2023下·北京密云·高三統(tǒng)考）如圖，在邊長為1的正方體中，是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（ ）

A．三棱錐的體積為定值
B．存在點(diǎn)，使得平面
C．是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)的截面垂直于，則截面的面積的最小值為
D．對(duì)每一個(gè)點(diǎn)，在棱上總存在一點(diǎn)，使得平面
【變式1-1】（2023·河南·校聯(lián)考三模）如圖，在棱長為1的正方體中，是截面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包含邊界），若，則的最小值為（ ）

A．B．C．D．
【變式1-2】（2023·河南·校聯(lián)考三模）如圖，在棱長為1的正方體中，E為的中點(diǎn)，M是截面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包含邊界），，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，直三棱柱中，，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且，截面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
高考練場
1.．用一平面去截一長方體，則截面的形狀不可能是（ ）
A．四邊形B．五邊形C．六邊形D．七邊形
2.棱長為6的正方體中，點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段上，，則正方體被平面所截得的截面面積為（ ）
A．B．C．D．
.3.在正方體中，P，Q分別是棱，的中點(diǎn)，則過點(diǎn)B，P，Q的截面形狀是______.
4.已知正方體的棱長為1，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，則過點(diǎn)的截面的周長為（ ）
A．B．C．D．
5.在正方體中，，E為棱的中點(diǎn)，則平面截正方體的截面面積為（ ）
A．B．C．4D．
6.如圖，棱錐的高，截面平行于底面，與截面交于點(diǎn)，且.若四邊形的面積為36，則四邊形的面積為（ ）
A．12B．16C．4D．8
7.（2022上·遼寧沈陽·高三階段練習(xí)）棱臺(tái)上下底面面積分別為16和81，有一平行于底面的截面面積為36，則截面截的兩棱臺(tái)高的比為
A．1：1B．1：1C．2：3D．3：4
8.已知正三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，其底面邊長為3，分別為側(cè)棱的中點(diǎn).若在三棱錐內(nèi)，且三棱錐的體積是三棱錐體積的3倍，則平面截球所得截面的面積為（ ）
A．B．C．D．
9.棱長為的正方體的所有頂點(diǎn)均在球的球面上，、、分別為、、的中點(diǎn)，則平面截球所得圓的半徑為（ ）
A．B．C．D．
10.如圖，正方體的棱長為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A，P，Q 的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）
①當(dāng)時(shí)，S為四邊形；
②當(dāng)時(shí)，S為等腰梯形；
③當(dāng)時(shí)，S與的交點(diǎn)滿足；
④當(dāng)時(shí)，S為六邊形；
A．1B．2C．3D．4
11.如圖，空間四邊形的邊，成的角，且，，平行于與的截面分別交，，，于，則截面面積的最大值為______.
12.棱長均相等的三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)都在球O的球面上，D為PB中點(diǎn)，過點(diǎn)D作球O的截面，所得截面圓面積的最大值與最小值之比為（ ）
A．B．C．D．2
13.正方體的棱長為，，，分別為，，的中點(diǎn)．則( )
A．直線與直線垂直B．直線與平面平行
C．平面截正方體所得的截面面積為D．點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等
14.在直四棱柱中，底面四邊形為菱形，，，，為中點(diǎn)，平面過點(diǎn)且與平面垂直，，則被此直四棱柱截得的截面面積為（ ）
A．1B．2C．4D．6
15.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正三棱柱的底面邊長，其外接球的表面積為，D是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，過BC且與AP垂直的截面與AP交于點(diǎn)E，則三棱錐的體積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
一般地，立體幾何中的截面問題，有兩種處理方法：
1.是利用平行關(guān)系找交線，
2.是利用共面直線延長相交得交點(diǎn).
基礎(chǔ)模型：如下圖E、F是幾等分點(diǎn)，不影響作圖?？梢韵饶J(rèn)為中點(diǎn)，等學(xué)生完全理解了，再改成任意等分點(diǎn)。做出過三E,F,C1點(diǎn)的截面
特征：1、三點(diǎn)中，有兩點(diǎn)連線在表面上。本題如下圖是EF（這類型的關(guān)鍵）；2、“第三點(diǎn)”是在外棱上，如C1，注意：此時(shí)合格C1點(diǎn)特殊，在于它是幾何體頂點(diǎn)，實(shí)際上無論它在何處，只要在棱上就可以。最后處有解釋。
以“第三點(diǎn)”所在的表面中，，剔除掉與EF所在的表面平行，尋找合適的表面來做交線
如下圖，符合的有c1的表面有三個(gè)，紅色的和EF平行而不會(huì)相交，去掉，可供選擇的是上表面（藍(lán)色）或者右表面（綠色的），
先用上表面（紅色的）來做：
所以，先補(bǔ)出擴(kuò)展EF直線所在的前側(cè)面。如左下第一圖開始。并延長EF交A1B1于G
此時(shí)G也在上表面了，連接GP，出來與棱A1D1交點(diǎn)H.
連接HB，則的如右圖的截面。

再用右表面綠色的來做：
則發(fā)現(xiàn)，右邊面和EF相交于前側(cè)面下方，如左下第一圖開始，延長EF交C1C于I
此時(shí)I也在右表面了，連IC1交棱CB于J.
連接FJ，則出右圖的截面。

最終，兩個(gè)合在一起，就是如圖的截面。以上過程，與EF是否中點(diǎn)，幾何體是否正方體無掛具體的G,H,I,J都可以通過對(duì)應(yīng)的E、F幾等分點(diǎn)以及幾何體長寬高的不同變化來計(jì)算出來，這個(gè)幾何體也不一定是長方體，還可以是斜棱柱，都不影響這個(gè)作圖。
基礎(chǔ)模型：如下圖E、F是幾等分點(diǎn)，不影響作圖?？梢韵饶J(rèn)為中點(diǎn)，等學(xué)生完全理解了，再改成任意等分點(diǎn)。做出過三E,F,C1點(diǎn)的截面
特征：1、三點(diǎn)中，有兩點(diǎn)連線在表面上。本題如下圖是EF（這類型的關(guān)鍵）；2、“第三點(diǎn)”是在外棱上，如C1，注意：此時(shí)合格C1點(diǎn)特殊，在于它是幾何體頂點(diǎn)，實(shí)際上無論它在何處，只要在棱上就可以。最后處有解釋。
平行線法。
本題用平行線法，并不太快捷，不過也成立。
平行線法特征： 有兩點(diǎn)連線在表面：EF，在前側(cè)面

方法如下：
尋找C1點(diǎn)所在的與線EF的所在紅色表面平行的面：里邊側(cè)面（綠色的）
在這個(gè)面內(nèi)，過C1做EF平行線，顯然必須擴(kuò)展這個(gè)面了。如第三圖。
注意！注意！，E與F分別在右側(cè)面和下側(cè)面上（紅色面就不要用了）
注意這仨面的相交棱，
下邊過C1做EF平行線，交這倆棱于K,L第二排圖
分別連FK與EL，交點(diǎn)為J與H。出截面，與第一種方法一致。

用一個(gè)平面去截球，若平面經(jīng)過球心，所得的截面稱為球的大圓；若平面不經(jīng)過球心，所得的截面稱為球的小圓。小圓圓心與球心的連線必垂直于小圓面。且滿足勾股數(shù)組
證明線面垂直的方法：
一是線面垂直的判定定理；
二是利用面面垂直的性質(zhì)定理；
三是平行線法（若兩條平行線中一條垂直于這個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面），解題時(shí)，注意線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化；
另外，在證明線線垂直時(shí)，要注意題中隱含的垂直關(guān)系，如等腰三角形的底邊上的高、中線和頂角的角平分線三線合一、矩形的內(nèi)角、直徑所對(duì)的圓周角、菱形的對(duì)角線互相垂直、直角三角形（或給出線段長度，經(jīng)計(jì)算滿足勾股定理）、直角梯形等等．
第十九講 立體幾何截面與最值歸類
目錄
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc16958" 題型01 截面形狀判斷 PAGEREF _Tc16958 \h 1
\l "_Tc10395" 題型02利用相交線法做截面 PAGEREF _Tc10395 \h 4
\l "_Tc28022" 題型03利用平行線法做截面 PAGEREF _Tc28022 \h 9
\l "_Tc18495" 題型04 截面計(jì)算：柱體周長 PAGEREF _Tc18495 \h 13
\l "_Tc18506" 題型05截面計(jì)算：柱體面積 PAGEREF _Tc18506 \h 17
\l "_Tc12708" 題型06 錐體中截面周長與面積 PAGEREF _Tc12708 \h 20
\l "_Tc10518" 題型07 臺(tái)體中截面周長與面積 PAGEREF _Tc10518 \h 23
\l "_Tc6260" 題型08球截面 PAGEREF _Tc6260 \h 25
\l "_Tc14506" 題型09截面最值：球截面最值 PAGEREF _Tc14506 \h 28
\l "_Tc32454" 題型10截面最值：柱體最值 PAGEREF _Tc32454 \h 31
\l "_Tc9002" 題型11截面最值：錐體最值 PAGEREF _Tc9002 \h 37
\l "_Tc20747" 題型12 截面最值：綜合型最值 PAGEREF _Tc20747 \h 40
\l "_Tc14510" 題型13 恒平行型求截面 PAGEREF _Tc14510 \h 45
\l "_Tc9888" 題型14恒垂直型求截面 PAGEREF _Tc9888 \h 49
\l "_Tc17445" 題型15動(dòng)點(diǎn)型截面 PAGEREF _Tc17445 \h 55
\l "_Tc29625" 高考練場 PAGEREF _Tc29625 \h 61
熱點(diǎn)題型歸納
題型01 截面形狀判斷
【解題攻略】
【典例1-1】．（2022下·浙江溫州·高三校聯(lián)考）圓錐內(nèi)接一個(gè)正方體，現(xiàn)有一個(gè)平面截這個(gè)幾何體，則截面圖形不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C【分析】作圓錐的截面，依次判斷截面圖形即可得到結(jié)果.
【詳解】對(duì)于A，沿圖中所示位置作豎直截面，則截面圖形如A所示，A正確；
對(duì)于B，按圖中陰影所示作截面，則截面圖形如B所示，B正確；
對(duì)于C，沿正方體面對(duì)角線（如圖中位置）作軸截面，則截面圖形中四邊形應(yīng)為矩形，如圖所示，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，正方體側(cè)棱為，為底面弦的中點(diǎn)，按照平面作如圖所示的截面，則截面圖形如D所示，D正確.
故選：C.
【典例1-2】（2021下·高三課時(shí)練習(xí)）圖中的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得，現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)幾何體，則截面圖形可能是（ ）
A．①②B．①③C．①④D．①⑤
【答案】D【分析】分截面經(jīng)過圓柱上下底面的圓心和截面不經(jīng)過圓柱上下底面的圓心兩種情況，分別討論，進(jìn)而可得出答案.
【詳解】當(dāng)截面經(jīng)過圓柱上下底面的圓心時(shí)，圓錐的截面為三角形除去一條邊，所以①正確；
當(dāng)截面不經(jīng)過圓柱上下底面的圓心時(shí)，圓錐的截面為一條曲線，所以⑤正確；故選:D.
【變式1-1】（2019·全國·高三假期作業(yè)）一個(gè)三棱錐的各棱長均相等，其內(nèi)部有一個(gè)內(nèi)切球，即球與三棱錐的各面均相切（球在三棱錐的內(nèi)部，且球與三棱錐的各面只有一個(gè)交點(diǎn)），過一條側(cè)棱和對(duì)邊的中點(diǎn)作三棱錐的截面，所得截面圖形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B【分析】根據(jù)題意可知，該三棱錐為正四面體，內(nèi)切球與各面相切于各個(gè)面的中心，即可判斷出選項(xiàng)B正確．
【詳解】如圖所示：
因?yàn)槿忮F的各棱長均相等，所以該三棱錐為正四面體，內(nèi)切球與各面相切于各個(gè)面的中心，
即可知過一條側(cè)棱和對(duì)邊的中點(diǎn)作三棱錐的截面，所得截面圖形是．
故選：B．
【變式1-2】（2020下·山東棗莊·高三滕州市第一中學(xué)新校?？茧A段練習(xí)）如圖所示的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得到的組合體，現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)組合體，則截面圖形可能是（ ）
A．①②B．①③C．①④D．①⑤
【答案】D
【分析】根據(jù)截面的位置，可判斷截面圖形的形狀.
【詳解】一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐后，剩下的幾何體被一個(gè)豎直的平面所截后，圓柱的輪廓是矩形除去一條邊，
當(dāng)截面經(jīng)過圓柱上下底面的圓心時(shí)，圓錐的截面為三角形除去一條邊，所以①正確；
當(dāng)截面不經(jīng)過圓柱上下底面的圓心時(shí)，圓錐的截面為拋物線的一部分，所以⑤正確；
故選:D
【變式1-3】用平面截正方體，截面不可能是（ ）
A．菱形B．等腰梯形
C．正五邊形D．正六邊形
【答案】C
【分析】舉例即可說明A、B、D正確；假設(shè)截面是正五邊形，經(jīng)分析得出必有兩條截線平行，這與正五邊形的性質(zhì)相矛盾，即可判斷C項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)截面與正方體表面平行，且與正方體相交時(shí)，截面為正方形，即截面可能是菱形，故A項(xiàng)正確；
對(duì)于B項(xiàng)，如圖1，當(dāng)時(shí)，有，且，此時(shí)截面為等腰梯形，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于C項(xiàng)，假若截面是正五邊形，則截面中的截線必然分別在5個(gè)面內(nèi)，由于正方體有6個(gè)面，分成兩兩平行的三對(duì)，故必然有一對(duì)平行面中有兩條截線，而根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可知這兩條截線互相平行，但正五邊形的邊中是不可能有平行的邊的，故截面的形狀不可能是正五邊形，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，如圖2，分別為各邊的中心，易證共面，且為正六邊形，故D項(xiàng)正確.
故選：C.
題型02利用相交線法做截面
【解題攻略】
【典例1-1】在棱長為2的正方體中，E是棱的中點(diǎn)，則過B、E、三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面圖形的面積為（ ）
A．5B．C．D．
【答案】C
【分析】先作出截面圖形，易知截面為菱形，再結(jié)合菱形面積公式求解即可
【詳解】設(shè)平面交棱AD于F，
由正方體性質(zhì)及平面與平面平行的性質(zhì)定理得，，
由勾股定理可得四邊形所有邊長的長度為，
所以是菱形，且為的中點(diǎn)，
取的中點(diǎn)，連接，則
，
故．故選：C．
【典例1-2】如圖，正方體的棱長為1，P為的中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面多邊形記為S，則下列命題正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，S為等腰梯形
B．當(dāng)時(shí)，S與的交點(diǎn)R滿足
C．當(dāng)時(shí)，S為六邊形
D．當(dāng)時(shí)，S的面積為
【答案】ABD
【分析】分，，三種情況討論截面的形狀，再逐一分析各個(gè)選項(xiàng)即可得出答案.
【詳解】解：過點(diǎn)A，P，Q的平面截正方體，當(dāng)時(shí)，其截面形狀為梯形如圖1，特別地當(dāng)時(shí)，截面形狀為等腰梯形，
當(dāng)時(shí)，其截面形狀為五邊形如圖2．
若，則，所以．
當(dāng)時(shí)，與重合，其截面形狀為四邊形如圖3，
此時(shí)，
因?yàn)镻為的中點(diǎn)，且，所以為的中點(diǎn)，所以，
同理，所以四邊形為平行四邊形，
所以四邊形為菱形，其面積為．故ABD正確．
故選：ABD.
【變式1-1】如圖，直四棱柱的所有棱長均為，，是側(cè)棱的中點(diǎn)，則平面截四棱柱所得的截面圖形的周長是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用作延長線找交點(diǎn)法，得出截面圖形為梯形，求出梯形周長即為所求.
【詳解】連接 與的延長線交于點(diǎn), 連 接與交于點(diǎn),
因?yàn)?, 所以為的中點(diǎn), 則為的中點(diǎn),
所以截面為梯形 ,因?yàn)樗欣忾L均為2,，所以,,
,
,故梯形 的周長為 .故選：D.
【變式1-2】在正方體中，棱長為3，E為棱上靠近的三等分點(diǎn)，則平面截正方體的截面面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意運(yùn)用基本事實(shí)作出截面，根據(jù)截面的幾何特征求其面積即可.
【詳解】延長交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，如圖，
在正方體中，面面，
面面，面面
，又
四邊形是梯形，且為平面截正方體的截面.
又，在等腰梯形中，過作，
.故選：C.
【變式1-3】在棱長為3的正方體A1B1C1D1-ABCD中，M是棱B1C1上靠近B1的三等分點(diǎn)，過A、D1、M作正方體的截面，則這個(gè)截面將正方體分成兩部分的體積之比（體積較小的與體積較大的之比）為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出截面圖形，利用割補(bǔ)法求兩部分體積即可.
【詳解】如圖所示，正方體的截面為，將體積較小的部分補(bǔ)成一個(gè)三棱錐，
設(shè)，由，，，
較小部分體積為，
較大部分體積為，故選：D
題型03利用平行線法做截面
【解題攻略】
【典例1-1】已知，，是正方體的棱，，的中點(diǎn)，則平面截正方體所得的截面是（ ）
A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形
【答案】D
【分析】取，，的中點(diǎn)，，，可得，，，由基本事實(shí)及其三個(gè)推論得，，，，，六點(diǎn)共面，從而求出截面是六邊形.
【詳解】如圖所示，分別取，，的中點(diǎn)，，，連接 ，，，，，，則，.
，.
同理可得，.
由基本事實(shí)及其三個(gè)推論得，，，，，六點(diǎn)共面，
所以平面截正方體所得的截面是六邊形.
故選：D.
【典例1-2】在正方體中，點(diǎn)Q是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則過A，Q，三點(diǎn)的截面圖形是（ ）
A．等邊三角形B．矩形C．等腰梯形D．以上都有可能
【答案】D
【分析】由點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，可考慮分別在的端點(diǎn)以及中點(diǎn)，故可得過、、三點(diǎn)的截面圖形的形狀.
【詳解】所以當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，過、、三點(diǎn)的截面是等邊三角形；
當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，過、、三點(diǎn)的截面是矩形；
當(dāng)點(diǎn)與的中點(diǎn)重合時(shí)，取的中點(diǎn),由于所以,又,故過、、三點(diǎn)的截面是等腰梯形，如圖所示：
所以過，，三點(diǎn)的截面圖形是可能是等邊三角形、矩形或等腰梯形．
故選：D
【變式1-1】在棱長為3的正方體中，O為AC與BD的交點(diǎn)，P為上一點(diǎn)，且，則過A，P，O三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的周長為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)結(jié)合條件作出過A，P，O三點(diǎn)的平面截正方體所得截面，再求周長即得.
【詳解】因?yàn)?，即?br>取，連接，則，
又，
所以，
所以共面，即過 ， ，三點(diǎn)的正方體的截面為 ，
由題可知，，，
所以過A，P，O三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的周長為.
故選：D.
【變式1-2】．正方體棱長為4，M，N，P分別是棱的中點(diǎn)，則過M，N，P三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的面積（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根據(jù)題意，取正方體棱的中點(diǎn)，并連接起來，則此六邊形即為所得截面，求出即可．
【詳解】如圖所示：

取正方體棱的中點(diǎn)，并連接起來，則此六邊形即為所得截面，
由于該六邊形為正六邊形，其邊長為，
故其面積為．
故選：A．
【變式1-3】已知正方體，平面和線段，，，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，則截面EFGH的形狀不可能是（ ）
A．梯形B．正方形C．長方形D．菱形
【答案】A
【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，可以得出，，由此可推斷四邊形EFGH一定為平行四邊形，從而可得出答案.
【詳解】因?yàn)槊婷妫婷?，面面，所以?br>同理可得，所以四邊形EFGH為平行四邊形，所以截面EFGH的形狀不可能是梯形.
若面面，此時(shí)四邊形EFGH是正方形，也是菱形；
當(dāng)是所在棱的中點(diǎn)，分別與 重合時(shí)，四邊形EFGH是長方形.
故選：A.
題型04 截面計(jì)算：柱體周長
【典例1-1】已知直三棱柱的側(cè)棱長為，，.過、的中點(diǎn)、作平面與平面垂直，則所得截面周長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】確定平面與各棱的交點(diǎn)位置，計(jì)算出截面各邊邊長，由此可得出所得截面周長.
【詳解】如下圖所示，取的中點(diǎn)，連接，取的，連接，取的中點(diǎn)，連接、，
，為的中點(diǎn)，則，
平面，平面，，
，平面，
、分別為、的中點(diǎn)，則且，平面，
平面，所以，平面平面，
所以，平面即為平面，設(shè)平面交于點(diǎn)，
在直棱柱中，且，
所以，四邊形為平行四邊形，且，
、分別為、的中點(diǎn)，且，
所以，四邊形為平行四邊形，且，
且，且，所以，四邊形為平行四邊形，
，平面，平面，平面，
設(shè)平面平面，平面，所以，，，
，所以，四邊形為平行四邊形，可得，
所以，為的中點(diǎn)，
延長交于點(diǎn)，，所以，，，
又，所以，，，為的中點(diǎn)，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，?br>，，，，為的中點(diǎn)，
，，則，
為的中點(diǎn)，，則，同理，
因?yàn)橹崩庵睦忾L為，為的中點(diǎn)，，
由勾股定理可得，同理可得，
且，平面，平面，
平面，，
、分別為、的中點(diǎn)，則，，
由勾股定理可得，同理.
因此，截面的周長為.
故選：C.
【典例1-2】在棱長為6的正方體中，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，過，，三點(diǎn)作該正方體的截面，則截面的周長為
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由題意畫出截面五邊形，再由已知利用勾股定理求得邊長得答案．
【詳解】如圖，
延長EF與A1B1的延長線相交于M，連接AM交BB1 于H，
延長FE與A1D1的延長線相交于N，連接AN交DD1 于G，
可得截面五邊形AHFEG．
∵ABCD﹣A1B1C1D1是邊長為6的正方體，且E，F(xiàn)分別是棱C1D1，B1C1的中點(diǎn)，
∴EF＝3，AG＝AH，EG＝FH．
∴截面的周長為．故選D．
【變式1-1】已知正方體的棱長為6，E、F分別是、的中點(diǎn)，則平面CEF截正方體所得的截面的周長為______．
【答案】
【分析】延長EF交DA的延長線于N，連接CN交AB于點(diǎn)G，連接FG；延長FE交的延長線于點(diǎn)M，連接CM交點(diǎn)H，連接EH；則正方體被平面CEF截得的截面為CHEFG.則EF＋FG＋GC＋CH＋HE為平面CEF截正方體所得的截面的周長，根據(jù)幾何關(guān)系即可求解．
【詳解】延長EF交DA的延長線于N，連接CN交AB于點(diǎn)G，連接FG；延長FE交的延長線于點(diǎn)M，連接CM交點(diǎn)H，連接EH；
則正方體被平面CEF截得的截面為CHEFG．
∵E、F分別是、的中點(diǎn)，則易知AN＝，
∴AN＝，∴，
∴，，；
同理，，，；
∴平面CEF截正方體所得截面的周長為：
EF＋FG＋GC＋CH＋HE＝．
故答案為：.
【變式1-2】在正方體中，，為棱的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），為棱的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），過點(diǎn)，，作該正方體的截面，則該截面的周長是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)正方體的特征，作出過點(diǎn)，，的該正方體的截面，計(jì)算相關(guān)線段的長，即可求得答案.
【詳解】設(shè)為的三等分點(diǎn)，靠近B點(diǎn)，連接,并延長交延長線于P，
設(shè)為的三等分點(diǎn)，靠近點(diǎn)，連接,并延長交延長線于Q，
則∽，由于，故,
同理求得,故兩點(diǎn)重合，則,故，而，故,同理可得,即四邊形為平行四邊形，
連接,則五邊形即為過點(diǎn)，，所作的正方體的截面，由題意可知 故該截面的周長是 ，故選：C
【變式1-3】已知正四棱柱中，，點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段上靠近D的三等分點(diǎn)，若正四棱柱被過點(diǎn)，M，N的平面所截，則所得截面的周長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先證明截面四邊形為平行四邊形，再求出截面的邊長相加即得解.
【詳解】解：作出圖形如圖所示．
延長至Q，使得，連接MQ，NQ，則截面四邊形為平行四邊形；記MQ與BC交于點(diǎn)R，NQ與CD交于點(diǎn)P，則，，，，，故所得截面的周長為.故選：B．
題型05截面計(jì)算：柱體面積
【典例1-1】棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱A1D1，AA1的中點(diǎn)，過E，F(xiàn)，C1三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面的面積為（ ）
A．9B．C．D．
【答案】D
【分析】畫出所截得的封閉圖形，根據(jù)正方體和等腰梯形的性質(zhì)即可求出.
【詳解】如圖所示，經(jīng)過點(diǎn)的平面截正方體所得的封閉圖形為四邊形.
分別是棱和的中點(diǎn)，，且.
正方體棱長為2，.四邊形是一個(gè)等腰梯形. 在中，，
根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可得，等腰梯形的高為.
所以梯形的面積為.故選：D.
【典例1-2】在棱長為2的正方體中，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，則經(jīng)過，，三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面的面積為（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先作出經(jīng)過，，三點(diǎn)的截面，如圖所示為梯形，然后求出截面的面積即可
【詳解】解：如圖，連接，因?yàn)辄c(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，
所以∥，，由正方體的性質(zhì)可知∥，所以∥，
所以過，，三點(diǎn)的截面為平面，因?yàn)檎襟w的棱長為2，
所以，所以梯形的高為，
所以梯形的面積為，
所以經(jīng)過，，三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面的面積為，故選：C
【變式1-1】如圖，在棱長為2的正方體中，，，分別為，，，的中點(diǎn)，過，，三點(diǎn)的平而截正方體所得的截面面積為（ ）
A．4B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意畫出截面，得到截面為正六邊形，從而可求出截面的面積
【詳解】如圖，分別取的中點(diǎn)，的中點(diǎn),的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)樵搸缀误w為正方體，所以∥,∥,∥,且
所以，，三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面為正六邊形，
所以該正六邊形的面積為.
故選：D
【變式1-2】在棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn)，則過三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作出正方體的截面圖形，利用面積公式即可求解.
【詳解】取的中點(diǎn)，連接
即等腰梯形為截面，設(shè)的高為，
由平面幾何知識(shí)可得
所以截面面積為.故選：B
【變式1-3】如圖，已知正方體的棱長為2，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，平面經(jīng)過點(diǎn)，則正方體被平面截得的截面面積為（ ）
A．2B．4C．4D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意作出截面圖，結(jié)合幾何關(guān)系即可求得其面積.
【詳解】根據(jù)題意，作出正方體被平面所截得到的截面為四邊形，如下所示：
根據(jù)正方體的幾何特點(diǎn)，顯然四邊形為矩形，且，故其面積.故選：.
.
題型06 錐體中截面周長與面積
【典例1-1】在正四面體中，，若以三角形為視角正面的三視圖中，其左視圖的面積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】作中點(diǎn)，作底面，則左視圖的面積，由幾何關(guān)系即可可求解
【詳解】作中點(diǎn)，作底面，則左視圖中底面將重合為線段，高為線段，左視圖的面積即為，又四面體為正四面體，故，
，則，
故選：C
【典例1-2】如圖，已知三棱錐，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，且，過點(diǎn)P作一個(gè)截面，使截面平行于和，則截面的周長為_________.
【答案】6
【解析】設(shè)AB、BC、VC的中點(diǎn)分別為D、E、F，連接DE、EF、PF、PD，則可證明截面EFPD就是所求平面，根據(jù)中位線的性質(zhì)，即可求得答案.
【詳解】設(shè)AB、BC、VC的中點(diǎn)分別為D、E、F，連接DE、EF、PF、PD，如圖所示
因?yàn)镈、E分別為AB、BC的中點(diǎn)，所以，同理P、D分別為VA、AB的中點(diǎn)，所以，平面EFPD，平面EFPD，所以平面EFPD，平面EFPD，
所以截面EFPD就是所求平面，因?yàn)?，所?，
所以截面EFPD的周長為2+2+1+1=6，故答案為：6
【變式1-1】已知正四面體的內(nèi)切球的表面積為36，過該四面體的一條棱以及球心的平面截正四面體，則所得截面的面積為
A．27B．27C．54D．54
【答案】C
【分析】先由內(nèi)切球表面積求出其半徑，結(jié)合圖像，找出球心半徑，用相似三角形列方程求出正四面體邊長，再求出所需截面即可.
【詳解】解：由內(nèi)切球的表面積，得內(nèi)切球半徑。如圖，過點(diǎn)作平面，則點(diǎn)為等邊的中心。連接并延長交于點(diǎn)，且點(diǎn)為中點(diǎn)，連接。記內(nèi)切球球心為，過作，設(shè)正四面體邊長為。則，，，
又因?yàn)?，所以。由，得，即，解?br>因?yàn)檫^棱和球心，所以即為所求截面
且故選C.
【變式1-2】在三棱錐中，，G為的重心，過點(diǎn)G作三棱錐的一個(gè)截面，使截面平行于直線PB和AC，則截面的周長為_________.
【答案】8
【分析】如圖所示，過點(diǎn)G作EF∥AC，分別交PA，PC于點(diǎn)E，F(xiàn)．過點(diǎn)F作FM∥PB交BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN∥PB交AB于點(diǎn)N．可得四點(diǎn)EFMN共面，進(jìn)而得到，根據(jù)比例可求出截面各邊的長度，進(jìn)而得到周長．
【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)G作EF∥AC，分別交PA，PC于點(diǎn)E，F(xiàn)
過點(diǎn)F作FM∥PB交BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN∥PB交AB于點(diǎn)N.
由作圖可知：EN∥FM，∴四點(diǎn)EFMN共面?？傻肕N∥AC∥EF，EN∥PB∥FM.∴
可得EF=MN=2.同理可得：EN=FM=2.∴截面的周長為8.故答案為：8.
【變式1-3】已知四棱錐中，平面，四邊形為正方形，，平面過，，的中點(diǎn)，則平面截四棱錐所得的截面面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】順次連接E，F(xiàn)，G，H，I，則平面EFGHI即為過E，F(xiàn)，H的平面截四棱錐P-ABCD所得截面，求其面積，可得答案.
【詳解】分別取，，，的中點(diǎn)，，，，線段上靠近的四等分點(diǎn)，
連接,
因?yàn)?
所以,四邊形是平行四邊形，即四點(diǎn)共面，
設(shè)中點(diǎn)為,易得,故，所以五點(diǎn)共面，
則平面即為平面，如圖，
在中，,可得,
所以，，，
在等腰三角形中，，，所以高為，
故所求截面面積為矩形面積與三角形面積之和，．故選：A
題型07 臺(tái)體中截面周長與面積
【典例1-1】一個(gè)正四棱臺(tái)上?下底面邊長分別為2，4，高為3，則經(jīng)過相對(duì)兩側(cè)棱的截面的面積為______.
【答案】
【分析】由正四棱臺(tái)的幾何特征知四邊形為高為3的等腰梯形，進(jìn)而結(jié)合梯形的面積公式即可求出結(jié)果.
【詳解】
由正四棱臺(tái)的幾何特征知，,,且四邊形為高為3的等腰梯形，
所以,
所以,
因此經(jīng)過相對(duì)兩側(cè)棱的截面的面積為，
故答案為：.
【典例1-2】如圖，四棱臺(tái)的底面為菱形，P、Q分別為的中點(diǎn)．若∥平面BPQD，則此棱臺(tái)上下底面邊長的比值為___________．
【答案】
【分析】連接AC，A′C′，則AC∥A′C′，可得A，C，A′，C′四點(diǎn)共面，設(shè)平面ACA′C′與PQ和QB分別均于M，N點(diǎn)，連接MN，由線面垂直的性質(zhì)定理可得：A A′∥MN，
則AA′NM為平行四邊形，進(jìn)而可得A′M＝AN，即AC，從而求出相似比．
【詳解】連接AC，A′C′，則AC∥A′C′，即A，C，A′，C′四點(diǎn)共面，
設(shè)平面ACA′C′與PQ和QB分別均于M，N點(diǎn)，連接MN，如圖所示：
若AA′∥平面BPQD，則AA′∥MN，則AA'NM為平行四邊形，即A'M＝AN，
即AC，，即棱臺(tái)上下底面邊長的比值為．故答案為．
【變式1-1】正三棱臺(tái)上底面邊長2，下底面邊長為4，高為3，則該正三棱臺(tái)的斜高為___________．
【答案】##
【分析】根據(jù)棱臺(tái)的幾何特點(diǎn)，結(jié)合已知數(shù)據(jù)，作出輔助線，解三角形即可.
【詳解】取的中點(diǎn)分別為，連接，取上靠近的三等分點(diǎn)分別為，
連接，過作，垂足為，作圖如下：
根據(jù)題意可得：，即為所求斜高；
易知四邊形為平行四邊形，故可得，
在△中，，在△中，，
在△中，，故.
故答案為：.
【變式1-2】.如果棱臺(tái)的兩底面積分別是S，S′，中截面的面積是S0，那么
A．2＝＋B．S0＝
C．2S0＝S＋S′D．S0＝2S′S
【答案】A
【分析】棱臺(tái)不妨看做三棱臺(tái)，利用相似的性質(zhì)，面積之比是相似比的平方，化簡即可．
【詳解】不妨設(shè)棱臺(tái)為三棱臺(tái)，設(shè)棱臺(tái)的高為2r，上部三棱錐的高為a，
根據(jù)相似比的性質(zhì)可得：可得消去r，可得2＝＋，故選A．
【變式1-3】（2023下·湖北武漢·高三華中師大一附中?？迹┰谡睦馀_(tái)中，，，M為棱的中點(diǎn)，當(dāng)正四棱臺(tái)的體積最大時(shí)，平面截該正四棱臺(tái)的截面面積是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)正四棱臺(tái)的體積公式、結(jié)合基本不等式、線面平行的判定定理、梯形的面積公式進(jìn)行求解即可．
【詳解】設(shè)，上底面和下底面的中心分別為，，過作,
該四棱臺(tái)的高，
在上下底面由勾股定理可知，．
在梯形中，，
所以該四棱臺(tái)的體積為，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，，．
取,的中點(diǎn)，,連接,，顯然有，
由于平面，平面，所以平面，因此平面就是截面．
顯然，
在直角梯形中，，
因此在等腰梯形中，，
同理在等腰梯形中，，
在等腰梯形中，設(shè)，，
則，
，
所以梯形的面積為，
故選：C．
題型08球截面
【解題攻略】
【典例1-1】已知三棱錐的所有棱長均為3，球O與棱PA，PB，PC都相切，且平面ABC被球O截得的截面面積為，則球O的半徑為（ ）．
A．1B．C．D．或
【答案】B
【分析】過點(diǎn)P向底面ABC作垂線，垂足為，連接，由球O截平面ABC所得的截面面積為，得截面圓的半徑為，設(shè)球O的半徑為R，得，過O作PA的垂線，垂足為D，得∽，可得，進(jìn)而求得．
【詳解】過點(diǎn)P向底面ABC作垂線，垂足為，連接，則球心O在線段或其延長線上，
為正的中心，則，．
設(shè)球O的半徑為R，因?yàn)榍騉截平面ABC所得的截面面積為，所以截面圓的半徑為，所以，．
過O作PA的垂線，垂足為D，則，∽，所以．
①當(dāng)點(diǎn)O在線段上時(shí)，，即，
則，且，解得；
②當(dāng)點(diǎn)O在線段的延長線上時(shí)，，即，
則，且，解得或，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)O，重合，此時(shí)點(diǎn)O不在線段的延長線上，故舍去；當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)D不在棱PA上，不符合題意．綜合①②可知，，故選：B．
【典例1-2】已知正四面體的棱長為2，，，分別為，，的中點(diǎn)，則正四面體的外接球被平面所截的截面面積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先將正四面體放入相應(yīng)的正方體中，根據(jù)題意可得球心在上，所以正四面體的外接球被平面所截的截面即大圓，進(jìn)而可得其面積.
【詳解】將正四面體放入正方體中，如圖所示，
因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，分別為左右側(cè)面的中心，
所以正方體的外接球即正四面體的外接球球心為線段的中點(diǎn)，
所以正四面體的外接球被平面所截的截面即為大圓.
因?yàn)檎拿骟w的棱長為2，所以正方體的棱長為，
所外接球半徑，所以大圓面積為：.故選：C.
【變式1-1】已知正方體棱長為6，如圖，有一球的球心是的中點(diǎn)，半徑為2，平面截此球所得的截面面積是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出球心到平面的距離，再求出截面圓的半徑即得解.
【詳解】∵正方體的棱長為6，
∴正方體對(duì)角線為，
所以球心到平面的距離
由題得平面截此球所得的截面是圓，又球半徑，設(shè)截面圓半徑為，則，∴．故選：A
【變式1-2】球O與棱長為2的正方體的各個(gè)面都相切，點(diǎn)M為棱的中點(diǎn)，則平面AMC截球O所得截面的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用等體積法求出圓心到截面的距離，然后根據(jù)勾股定理求出球半徑，即可得到結(jié)果.
【詳解】設(shè)圓心到截面的距離為，截面半徑為，
由，即，
因?yàn)?，，點(diǎn)到平面的距離為， ，
又，所以，所以平面AMC截球O所得截面的面積為.
故選：A.
【變式1-3】如圖，已知球是棱長為1 的正方體的內(nèi)切球，則平面截球的截面面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)正方體和球的結(jié)構(gòu)特征,判斷出平面是正三角形,求出它的邊長,再通過圖求出它的內(nèi)切圓的半徑,最后求出內(nèi)切圓的面積.
【詳解】根據(jù)題意知，平面是邊長為的正三角形,
故所求截面的面積是該正三角形的內(nèi)切圓的面積,
則由圖得, 三角形內(nèi)切圓的半徑是,
即，所以.
故選:C.
題型09截面最值：球截面最值
【典例1-1】如圖，在三棱錐中，平面平面CBD，，點(diǎn)M在AC上，，過點(diǎn)M作三棱錐外接球的截面，則截面圓面積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)以及外接球的性質(zhì)，作出外接球的球心，再根據(jù)線段的數(shù)量關(guān)系求出線段，最后即可得到截面圓的最小半徑.
【詳解】由題意知，和為等邊三角形，如圖所示：
取BD中點(diǎn)為E，連接AE，CE，則，由平面平面CBD，
平面平面，故平面CBD，，
易知球心O在平面BCD的投影為的外心，過作于H，易得，，
則在中，，所以外接球半徑，連接OM，
因?yàn)?，所以H，O，M三點(diǎn)共線，
所以，，當(dāng)M為截面圓圓心時(shí)截面面積最小，
此時(shí)截面圓半徑，面積為.故選：A.
【典例1-2】已知三棱錐P-ABC的棱長均為6，且四個(gè)頂點(diǎn)均在球心為O的球面上，點(diǎn)E在AB上，，過點(diǎn)E作球O的截面，則截面面積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)出三棱錐外接球的半徑及球心，構(gòu)造直角三角形即可求得面積最小值.
【詳解】如圖，因?yàn)槿忮F的棱長均為6，所以點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影H是的中心，
取BC的中點(diǎn)D，連接AD，則點(diǎn)H在AD上，且，
所以，，，則．
設(shè)三棱錐P-ABC的外接球半徑為R，則OP＝OA＝R，
在中，，解得．
因?yàn)?，所以AE＝2，取AB的中點(diǎn)F，則EF＝1，且，
所以．
當(dāng)過點(diǎn)E的球O的截面與OE垂直時(shí)，截面面積最小，
設(shè)截面圓的半徑為r，則，
所以截面面積為．
故選：A．
【變式1-1】若球是正三棱錐的外接球，，，點(diǎn)在線段上，，過點(diǎn)作球的截面，則所得的截面中面積最小的截面的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)是球心，是等邊三角形的中心，在三角形中，有，可求得，再利用可得過且垂直的截面圓最小即可.
【詳解】
如圖所示，其中是球心，是等邊三角形的中心，
可得，
，
設(shè)球的半徑為，在三角形中，由，
即，解得，
在三角形中，，，
由余弦定理得，
在三角形中，因?yàn)椋剩?br>設(shè)過且垂直的截面圓的半徑為，，故最小的截面面積為.
故選：B
【變式1-2】一個(gè)空心球玩具里面設(shè)計(jì)一個(gè)棱長為4的內(nèi)接正四面體，過正四面體上某一個(gè)頂點(diǎn)所在的三條棱的中點(diǎn)作球的截面，則該截面圓的面積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先求出正四面體的高以及外接球的半徑，再由勾股定理計(jì)算球心到截面的距離以及到面的距離，再由勾股定理即可求截面圓的半徑，即可求截面圓的面積.
【詳解】
如圖：取的中心為，連接、，
因?yàn)樗拿骟w是正四面體，所以面，且球心在上，
連接，因?yàn)?，?br>所以，
設(shè)，在中，，
由即解得：，
又因?yàn)闉榍蛐牡浇孛娴木嚯x，所以，
所以截面圓的半徑，
所以截面圓的面積為，故選：A.
【變式1-3】棱長為的正方體的所有頂點(diǎn)均在球的球面上，分別為的中點(diǎn)，則平面截球所得圓的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】正方體的外接球球心為對(duì)角線的中點(diǎn)，球半徑，球心到平面的距離為，利用勾股定理求出小圓半徑，再代入圓的面積公式；
【詳解】解：由題意，正方體的外接球球心為對(duì)角線的中點(diǎn)，正方體對(duì)角線長為，
所以球半徑，因?yàn)榈狡矫娴木嚯x為，所以球心到平面的距離為，
所以小圓半徑，故選：D．
題型10截面最值：柱體最值
【典例1-1】已知正方體的棱長為為線段上的動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)，過點(diǎn)，的平面截該正方體所得截面為.若為五邊形，則此時(shí)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由題意作出滿足條件的圖形，由線面位置關(guān)系找出截面即可求解
【詳解】（1）當(dāng)即與重合時(shí)，過點(diǎn)，，的截面為正方形，不合題設(shè)
（2）當(dāng)，即為中點(diǎn)時(shí)，，，則，
所以過點(diǎn)，，的截面為梯形，不合題設(shè)
（3）當(dāng)即與重合時(shí)，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，，

因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所?br>因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所?br>所以
所以過點(diǎn)，，的截面為平行四邊形，不合題設(shè)
（4）當(dāng)時(shí)，過作交線段于，過作交線段于，連接
因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所?br>又，所以
所以過點(diǎn)，，的截面為梯形，不合題設(shè)
（5）當(dāng)時(shí)，取中點(diǎn)，在線段上截取，連接，，過作交線段的延長線于點(diǎn)，交線段于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接
因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所?br>又，所以
所以過點(diǎn)，，的截面為五邊形，符合題設(shè)
此時(shí)，，
所以的取值范圍為故選：D
【典例1-2】已知正方體的體積為，點(diǎn)在線段上(點(diǎn)異于兩點(diǎn))，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，若平面截正方體所得的截面為四邊形，則線段BM的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)正方體體積可求得其棱長為；在正方體中作出截面，可知為線段中點(diǎn)為截面為四邊形和五邊形的臨界狀態(tài)，從而得到結(jié)果.
【詳解】由正方體的體積可知，其棱長為，如圖所示
當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，截面為四邊形
當(dāng)時(shí)，截面為四邊形；當(dāng)時(shí)，截面為五邊形
故選：
【變式1-1】已知正方體的棱長為2，M、N分別為、的中點(diǎn)，過 、的平面所得截面為四邊形，則該截面最大面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】畫出圖形，可得最大面積的截面四邊形為等腰梯形，根據(jù)梯形的面積公式求解即可.
【詳解】如圖所示，最大面積的截面四邊形為等腰梯形，
其中，高為，
故面積為.故選:D．
【變式1-2】已知正方體的體積為1，點(diǎn)在線段上（點(diǎn)異于，
兩點(diǎn)），點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，若平面截正方體所得的截面為四邊形，則線段的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根據(jù)正方體體積可求得其棱長為；在正方體中作出截面，可知為線段中點(diǎn)為截面為四邊形和五邊形的臨界狀態(tài)，從而得到結(jié)果.
【詳解】解：由于正方體的體積為1，
可得正方體的棱長為1，
點(diǎn)在線段上（點(diǎn)異于兩點(diǎn)），
當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，，
則共面，截面為四邊形，如圖，
當(dāng)時(shí)，截面為四邊形；當(dāng)時(shí)，截面為五邊形，
即平面截正方體所得的截面為四邊形時(shí)，
線段的取值范圍是.故選：A.
【變式1-3】如圖，正方體的棱長為1，為的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)，，的平面截該正方體所得的截面記為．
①當(dāng)時(shí)，為四邊形；
②當(dāng)時(shí)，與的交點(diǎn)滿足；
③當(dāng)時(shí)，為六邊形；
④當(dāng)時(shí)，的面積為．
則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】B
【分析】根據(jù)點(diǎn)Q在線段上的變化，分別作出過點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面S，并判斷其正誤即可．
【詳解】對(duì)于①，因?yàn)檎襟w的棱長為1，當(dāng)時(shí)，過A，P，Q三點(diǎn)的截面與正方體表面的交點(diǎn)在棱上，截面為四邊形，如圖（a）所示，故①正確；
對(duì)于②，如圖（b）所示，當(dāng)時(shí)，，
又為的中點(diǎn)，故，得，故②正確；
對(duì)于③，如圖（c）所示，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)，，的平面截正方體所得的截面為五邊形，故③不正確；
對(duì)于④，如圖（d）所示，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)，，的截面為，其截面為菱形，對(duì)角線，，
所以的面積為，故④正確．
綜上所述，正確的命題序號(hào)是①②④．故選：B
題型11截面最值：錐體最值
【典例1-1】正三棱錐的底面邊長是2，E，F(xiàn)，G，H分別是SA，SB，BC，AC的中點(diǎn)，則四邊形EFGH面積的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】畫出圖形，求出，說明是矩形，結(jié)合圖形，說明點(diǎn)在平面時(shí)，面積最小，求出即可得到范圍
【詳解】如圖所示：
由正三棱錐的底面邊長是2，因?yàn)?、、、分別是、、、的中點(diǎn)，所以，則，
所以是平行四邊形。因?yàn)檎忮F，則對(duì)棱，的中點(diǎn)連線與
對(duì)棱，的中點(diǎn)連線相等，即，所以四邊形是矩形，所以，
設(shè)的中心為，則，所以的面積
所以四邊形EFGH面積的取值范圍是：故選：B．
【典例1-2】如圖，已知四面體為正四面體，，，分別是，中點(diǎn).若用一個(gè)與直線垂直，且與四面體的每一個(gè)面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個(gè)多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【分析】把正四面體補(bǔ)為正方體，根據(jù)基本不等式求出最大值即可.
【詳解】解：把正四面體補(bǔ)為正方體，如圖，
根據(jù)題意，，，
，，
所以，，
故，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，
故選：C.
【變式1-1】如圖：正三棱錐中，，側(cè)棱，平行于過點(diǎn)的截面，則平面與正三棱錐側(cè)面交線的周長的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】沿著側(cè)棱把正三棱錐展開在一個(gè)平面內(nèi)，則即為截面周長的最小值，利用余弦定理代入求解即可.
【詳解】
如圖所示：沿著側(cè)棱把正三棱錐展開在一個(gè)平面內(nèi)，
則即為截面周長的最小值，
且，
在中，由余弦定理得：
，
.
故選：B.
【變式1-2】如圖，在四面體中，，，，、分別是，中點(diǎn).若用一個(gè)與直線垂直，且與四面體的每個(gè)面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個(gè)多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)對(duì)棱相等，可將四面體嵌入長方體中，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)與長方體的一個(gè)面平行，就利用這個(gè)面截取四面體，再求這個(gè)截面的最大值。
【詳解】過作平面平行于，同理這六條棱每條棱都做平面平行于對(duì)棱.那么由對(duì)棱做的平面平行，可知這六個(gè)面圍成一個(gè)平行六面體，又已知對(duì)棱相等，則這個(gè)平行六面體任何一個(gè)面的一對(duì)對(duì)角線都等長.故每個(gè)面都是矩形，即圍成一個(gè)長方體.設(shè)長方體的長寬高分別為，那么四面體的六條棱長都是它的面對(duì)角線.
則有，解得：，
再由分別是，中點(diǎn)，即長方體兩個(gè)底面的中心，
而截面與直線垂直，則平行于底面，故，.根據(jù)平行截比定理得到，且，而.
故有.設(shè)之間的夾角為.
那么該多邊形截面面積.
而,，
故,
則.
故選：B
【變式1-3】在長方體中，，過點(diǎn)作平面與分別交于兩點(diǎn)，若與平面所成的角為，則截面面積的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】過點(diǎn)A作，連接，首先證明平面平面，即可得為與平面所成的角，進(jìn)而可得，，由基本不等式得，從而可求出截面面積的最小值.
【詳解】如圖，過點(diǎn)A作，連接

∵平面，
∴，
∴平面，
∴，所以平面平面，
∴為與平面所成的角，
∴，
在中，
∵，∴，
在中，由射影定理得，
由基本不等式得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即E為MN中點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，
∴截面面積的最小值為.
故選：B
題型12 截面最值：綜合型最值
【典例1-1】已知正四面體的棱長為4，點(diǎn)在棱上，且，過作四面體外接球的截面，則所作截面面積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題，正四面體的外接球即正方體的外接球，球的截面是圓，要求所作截面面積的最小值，只需確定截面圓的半徑，借助余弦定理和勾股定理即可．
【詳解】如圖，正四面體的棱長為4，則正方體的棱長為，
正四面體的外接球即正方體的外接球，其半徑為，
∴，
∵，
∴，
則截面圓的半徑，
∴截面面積的最小值為.
故選：B.
【典例1-2】正三棱錐，為中點(diǎn)， ，，過的平面截三棱錐的外接球所得截面的面積范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根據(jù)題中數(shù)據(jù)，結(jié)合正棱錐的結(jié)構(gòu)特征，得到兩兩垂直，可將正三棱錐看作正方體的一角，設(shè)正方體的體對(duì)角線的中點(diǎn)為，得到點(diǎn)是正三棱錐外接球的球心，記外接球半徑為，過球心的截面圓面積最大；再求出，根據(jù)球的結(jié)構(gòu)特征可得，當(dāng)垂直于過的截面時(shí)，截面圓面積最小，結(jié)合題中數(shù)據(jù)，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)檎忮F，，，
所以，即，同理，，
因此正三棱錐可看作正方體的一角，如圖，
記正方體的體對(duì)角線的中點(diǎn)為，由正方體結(jié)構(gòu)特征可得，點(diǎn)即是正方體的外接球球心，
所以點(diǎn)也是正三棱錐外接球的球心，記外接球半徑為，
則，
因?yàn)榍虻淖畲蠼孛鎴A為過球心的圓，
所以過的平面截三棱錐的外接球所得截面的面積最大為；
又為中點(diǎn)，由正方體結(jié)構(gòu)特征可得；
由球的結(jié)構(gòu)特征可知，當(dāng)垂直于過的截面時(shí)，截面圓半徑最小為，
所以.
因此，過的平面截三棱錐的外接球所得截面的面積范圍為.
故選：D.
【變式1-1】正方體為棱長為2，動(dòng)點(diǎn)，分別在棱，上，過點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面記為，設(shè)，，其中，，下列命題正確的是____________.（寫出所有正確命題的編號(hào)）
①當(dāng)時(shí)，為矩形，其面積最大為4；②當(dāng)時(shí)，的面積為；
③當(dāng)，時(shí)，設(shè)與棱的交點(diǎn)為，則；
④當(dāng)時(shí)，以為頂點(diǎn)，為底面的棱錐的體積為定值.
【答案】②③④
【分析】①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，證得，即可判斷形狀，分析出當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)面積最大即可求出最大面積；②當(dāng)時(shí), 為等腰梯形，進(jìn)而求出面積即可；③當(dāng)，時(shí)，由，可得，進(jìn)而可以表示出；④
當(dāng)時(shí),以為定點(diǎn)，為底面的棱錐為，求出四棱錐的體積即可判斷.
【詳解】
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，所以，此時(shí)為矩形，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)面積最大，，故①錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí), 為的中位線，所以，因?yàn)?，所以，所以為等腰梯形，過點(diǎn)作于,，所以，因此，所以，故②正確；
設(shè)與交于點(diǎn)，得，所以，因此，因?yàn)?，則，在取點(diǎn)，使得，在取點(diǎn)，使得，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，則，即，所以，因此，
所以，故③正確；
當(dāng)時(shí),以為定點(diǎn)，為底面的棱錐為，
所以，故④正確，
故答案為：②③④.
【變式1-2】在三棱錐中，頂點(diǎn)P在底面的射影為的垂心O（O在內(nèi)部），且PO中點(diǎn)為M，過AM作平行于BC的截面，過BM作平行于AC的截面，記，與底面ABC所成的銳二面角分別為，，若，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．可能值為
D．當(dāng)取值最大時(shí)，
【答案】C
【分析】對(duì)選項(xiàng)A，先找到二面角的平面角，再根據(jù)邊角關(guān)系證明與全等，然后根據(jù)直線垂直并平分線段即可判斷；對(duì)選項(xiàng)B，找到角的關(guān)系和，然后分別運(yùn)用正切的兩角差公式解得即可；對(duì)選項(xiàng)C和D，均是先根據(jù)運(yùn)用正切的兩角差公式，然后通過換元得到一個(gè)一元二次方程，然后根據(jù)判別式即可判斷.
【詳解】
如圖所示，連接延長交與，連接延長交與，設(shè)平面平面
頂點(diǎn)P在底面的射影為的垂心，平面，平面平面。則有：直線與平行
又，則。平面，則又
則平面從而。故為與平面的二面角，即
同理可得：。對(duì)選項(xiàng)A，，又，則有：
可得：與全等，則又根據(jù)是的垂心，則，
綜上可得：直線垂直并平分線段可得：，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)選項(xiàng)B，易知有如下角關(guān)系：。
又，則有：
。
可得： 解得：
則，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)選項(xiàng)C，若，則有：則有：
化簡后可得：令，則有：
則有：，此時(shí)方程無解，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)D，設(shè)（），則有：可化簡為：令，則有：則有：解得： 故取得最大值時(shí)，，此時(shí)
同理可得：故，且則有：，故選項(xiàng)D正確；
故選：C
題型13 恒平行型求截面
【典例1-1】在通用技術(shù)教室里有一個(gè)三棱錐木塊如圖所示，，，兩兩垂直，（單位：），小明同學(xué)計(jì)劃通過側(cè)面內(nèi)任意一點(diǎn)將木塊鋸開，使截面平行于直線和，則該截面面積（單位：）的最大值是__________．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，在平面內(nèi)，過點(diǎn)作分別交于，在平面內(nèi)，過作交于，在平面內(nèi)，過作交于，連接，進(jìn)而根據(jù)題意，∽，設(shè)其相似比為，則，再證明四邊形是矩形，再結(jié)合相似比和二次函數(shù)性質(zhì)求解即可.
【詳解】根據(jù)題意，在平面內(nèi)，過點(diǎn)作分別交于，
在平面內(nèi)，過作交于，
在平面內(nèi)，過作交于，連接，作圖如下，
因?yàn)?，則，所以∽，設(shè)其相似比為，則，因?yàn)椋栽谥?，?br>因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，則，
所以，，即，因?yàn)?，所以，即?br>同理∽，即，因?yàn)?，平面，平面?br>所以平面，因?yàn)?，所以平面，平面，因?yàn)槠矫妫?br>所以，因?yàn)樗砸驗(yàn)椋浴?，所以，因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋裕?br>所以四邊形是矩形，即，
所以，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，有最大值.故答案為：.
【典例1-2】一棱長為4的正四面體木塊如圖所示，P是棱的中點(diǎn)，過點(diǎn)P將木塊鋸開，使截面平行于棱和，則截面的面積為（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】D
【分析】分析出截面為邊長為2的正方形即可得到面積.
【詳解】P是棱的中點(diǎn)，過點(diǎn)P將木塊鋸開，使截面平行于棱和，
平面，平面，平面平面，所以，
同理可得：，
所以，所以四邊形是平行四邊形，且均是中點(diǎn)，
又因?yàn)檎拿骟w對(duì)棱互相垂直，所以，所以，
所以四邊形是邊長為2的正方形，
所以該四邊形面積為4.故選：D
【變式1-1】某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，對(duì)棱長為3的正方體木塊進(jìn)行加工.如圖，學(xué)生需要分別過頂點(diǎn)A和對(duì)角線BD對(duì)正方體木塊進(jìn)行平面切割，兩個(gè)切割面與棱，，，分別交于點(diǎn)M，F(xiàn)，E，N，要求兩次切割所得到的截面平行，且，則兩個(gè)截面間的距離為_____________.
【答案】2
【分析】連接，分別交EF，MN于點(diǎn)H，Q，連接AQ.連接AC交BD于點(diǎn)G，連接HG，由面面平行的性質(zhì)定理得線線平行，從而得平行四邊形，可證得平面平面，知平面AMN與平面EFBD間的距離即為Q到平面BDE的距離，即為Q到GH的距離，利用面積法求出平行四邊形的高即可得．
【詳解】連接，分別交EF，MN于點(diǎn)H，Q，連接AQ.連接AC交BD于點(diǎn)G，連接HG.
因?yàn)槠矫嫫矫妫欠謩e是平面、平面與平面的交線，所以，
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>平面、平面，分別與平面交于直線、，與平面交于直線、，
所以，，
則四邊形為平行四邊形，.
又因?yàn)?，所以點(diǎn)M，F(xiàn)，E，N分別為棱，，，的中點(diǎn)
在中，，
由平面平面得，又，，平面，所以平面，
平面，所以平面平面，
所以平面AMN與平面EFBD間的距離即為Q到平面BDE的距離，即為Q到GH的距離，設(shè)為h，
在平行四邊形AGHQ中，，則，
即兩個(gè)截面間的距離為2.故答案為：2．
【變式1-2】如圖，已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面為正方形，且側(cè)棱與底面垂直，點(diǎn)O1為A1C1，B1D1的交點(diǎn)，點(diǎn)O2為AC，BD的交點(diǎn)，連接O1O2，點(diǎn)O為O1O2的中點(diǎn)．過點(diǎn)O且與直線AB平行的平面截這個(gè)四棱柱所得截面面積的最小值和最大值分別為1和，則四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面積為（ ）
A．10B．12C．13D．14
【答案】D
【分析】當(dāng)截面平行于平面時(shí)，截面面積最小；當(dāng)截面為平面時(shí)，截面面積最大.
根據(jù)題設(shè)條件列出方程，然后求出正四棱柱的底面邊長和高，即可求出四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面積．
【詳解】由題意知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1為正四棱柱，設(shè)正四棱柱的底面邊長為a，高為h
因?yàn)檫^點(diǎn)O且與直線AB平行的平面截這個(gè)四棱柱所得截面面積的最小值和最大值分別為1和，
可知當(dāng)截面平行于平面時(shí)，截面面積最??；
當(dāng)截面為平面時(shí)，截面面積最大.。所以，解得，
于是四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面積為2a2+4ah＝2+12＝14。故選：D
【變式1-3】.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點(diǎn)．則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直線DB1與平面AEF垂直
B．直線A1G與平面AEF平行
C．平面AEF截正方體所得的截面面積為
D．三棱錐A1?AEF的體積等于
【答案】BD
【分析】對(duì)于A，B，利用空間向量判斷，對(duì)于C，由題意可得截面為梯形，利用梯形面積公式求解即可，對(duì)于D，利用空間向量求出到平面的距離，然后利用體積公式求解即可
【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，
所以，，所以，所以與不垂直，所以直線DB1與平面AEF不垂直，所以A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，設(shè)平面的法向量為，則
，令，則，
因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)锳1G在平面AEF外，所以直線A1G與平面AEF平行，所以B正確，
對(duì)于C，由題意可得截面為梯形，則，梯形的高為，所以截面的面積為，所以C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，，所以到平面的距離為，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，所以三棱錐A1?AEF的體積為，所以D正確，
故選：BD
.
題型14恒垂直型求截面
【解題攻略】
【典例1-1】已知正方體的棱長為1，E為線段上的點(diǎn)，過點(diǎn)E作垂直于的平面截正方體，則截面圖形的周長為______.
【答案】
【分析】由題可得平面，故截面與平面平行或在平面內(nèi)，然后分類討論，作出截面計(jì)算周長即得.
【詳解】由正方體的性質(zhì)可得，AC⊥BD，AC⊥，，
∴AC⊥平面，平面，∴AC⊥，同理，又，
∴平面，故截面與平面平行或在平面內(nèi)，當(dāng)點(diǎn)E與或重合時(shí)，截面為正或正，周長為；
一般地，設(shè)，則，∴，，
∴，同理可得：，，
故截面圖形的周長為定值.故答案為：.
【典例1-2】已知直三棱柱的側(cè)棱長為，，.過、的中點(diǎn)、作平面與平面垂直，則所得截面周長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】確定平面與各棱的交點(diǎn)位置，計(jì)算出截面各邊邊長，由此可得出所得截面周長.
【詳解】如下圖所示，取的中點(diǎn)，連接，取的，連接，取的中點(diǎn)，連接、，
，為的中點(diǎn)，則，
平面，平面，，
，平面，
、分別為、的中點(diǎn)，則且，平面，
平面，所以，平面平面，
所以，平面即為平面，設(shè)平面交于點(diǎn)，
在直棱柱中，且，
所以，四邊形為平行四邊形，且，
、分別為、的中點(diǎn)，且，
所以，四邊形為平行四邊形，且，
且，且，所以，四邊形為平行四邊形，
，平面，平面，平面，
設(shè)平面平面，平面，所以，，，
，所以，四邊形為平行四邊形，可得，
所以，為的中點(diǎn)，
延長交于點(diǎn)，，所以，，，
又，所以，，，為的中點(diǎn)，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，?br>，，，，為的中點(diǎn)，
，，則，
為的中點(diǎn)，，則，同理，
因?yàn)橹崩庵睦忾L為，為的中點(diǎn)，，
由勾股定理可得，同理可得，
且，平面，平面，
平面，，
、分別為、的中點(diǎn)，則，，
由勾股定理可得，同理.
因此，截面的周長為.
故選：C.
【變式1-1】如圖，正三棱柱的高為4，底面邊長為，D是的中點(diǎn)，P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，過BC作截面于E，則三棱錐體積的最小值為（ ）
A．3B．C．D．12
【答案】C
【解析】因?yàn)閯t當(dāng)取最大值時(shí)，三棱錐體積有最小值，建立坐標(biāo)系求得當(dāng)點(diǎn)的高為3時(shí)，問題得解.
【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
設(shè)點(diǎn)，依題意得，則 ，
因?yàn)檫^BC作截面于E，所以則，故 所以，當(dāng)時(shí)又 因?yàn)樗匀忮F體積的最小值
故選：C
【變式1-2】在下面四個(gè)正方體中，點(diǎn)、、均為所在棱的中點(diǎn)，過、、作正方體截面，則下列圖形中，平面不與直線垂直的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用線面垂直的判定定理可判斷BCD選項(xiàng)，利用假設(shè)法推出矛盾，可判斷A選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，連接，假設(shè)平面，
在正方體中，平面，平面，，所以，為直角三角形，且為銳角，
因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，所以，與不垂直，
這與平面矛盾，故假設(shè)不成立，即與平面不垂直；
對(duì)于B選項(xiàng)，連接、，如下圖所示：
因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，
平面，平面，，
，平面，
平面，，
、分別為、的中點(diǎn)，則，可得，
同理可證，
，平面；
對(duì)于C選項(xiàng)，連接、、、、，取的中點(diǎn)，連接、，
因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，
平面，平面，，
，平面，
平面，，
、分別為、的中點(diǎn)，，，
在正方形中，、分別為、的中點(diǎn)，且，
所以，四邊形為平行四邊形，所以，且，
同理可證四邊形為平行四邊形，且，
所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，
易得，所以，四邊形為菱形，所以，，
，平面；
對(duì)于D選項(xiàng)，連接、，
因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，
平面，平面，，
，平面，
平面，，
、分別為、的中點(diǎn)，則，，同理可證，
，平面.故選：A.
【變式1-3】已知正方體的邊長為，為邊上靠近的三等分點(diǎn)，過且垂直于直線的平面被正方體所截的截面面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】連接、、、、，證明出平面，設(shè)過點(diǎn)且與直線垂直的平面分別交、于點(diǎn)、，可得出平面平面，推導(dǎo)出是邊長為的等邊三角形，利用等邊三角形的面積公式即可得解.
【詳解】連接、、、、，如下圖所示：
四邊形為正方形，，
平面，平面，，
，平面，
平面，，同理可證，
，平面，
設(shè)過點(diǎn)且與直線垂直的平面分別交、于點(diǎn)、，
平面，平面，所以，平面平面，
平面平面，平面平面，，
，，同理可得，
由勾股定理可得，同理可得，
所以，是邊長為的等邊三角形，所以，.
故選：A.
題型15動(dòng)點(diǎn)型截面
【典例1-1】（2023上·北京海淀·高三北京交通大學(xué)附屬中學(xué)?？迹┤鐖D，在棱長為1的正方體中，E是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①三棱錐的體積為定值；
②存在點(diǎn)使得平面：
③的最小值為；
④對(duì)每一個(gè)點(diǎn)E，在棱上總存在一點(diǎn)P，使得平面；
⑤M是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)的截面垂直于，則截面的面積的最小值為
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】對(duì)于①，，底面積和高均為定值，可判斷；對(duì)②，若存在點(diǎn)，使得平面，可得，易找出矛盾；對(duì)③，將側(cè)面與側(cè)面展開鋪平可求解；對(duì)④，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，不存在點(diǎn)符合要求；對(duì)⑤，推導(dǎo)出，由余弦定理、三角形面積公式，結(jié)合二次函數(shù)的最值求出結(jié)果.
【詳解】對(duì)于①，，顯然是定值，因?yàn)槠矫?，所以是定值?br>所以三棱錐的體積是定值，①正確；
對(duì)于②，若存在點(diǎn)，使得平面，又平面，可得，
所以四邊形為正方形，即，這與矛盾，②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，如圖，將側(cè)面與側(cè)面展開鋪平，則的最小值，③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，平面即是平面，此時(shí)與平面相交，故不存在點(diǎn)符合要求，④錯(cuò)誤；
對(duì)于⑤，如圖，在正方體中，
可得，，且，是平面內(nèi)兩條相交直線，
所以平面，又平面，，
因?yàn)槭巧系膭?dòng)點(diǎn)，且過點(diǎn)的截面垂直，
所以截面過點(diǎn)，截面交與，交于，設(shè)，
則，，在中，可得，
，
則該截面的面積為，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，此時(shí)，分別是和的中點(diǎn)，當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，，即，
所以平面，滿足題意，⑤正確.
故選：A.
【典例1-2】（2023下·北京密云·高三統(tǒng)考）如圖，在邊長為1的正方體中，是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（ ）

A．三棱錐的體積為定值
B．存在點(diǎn)，使得平面
C．是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)的截面垂直于，則截面的面積的最小值為
D．對(duì)每一個(gè)點(diǎn)，在棱上總存在一點(diǎn)，使得平面
【答案】C
【分析】對(duì)于A，由得平面，從而點(diǎn)到平面的距離為，再由，由此能求出三棱錐的體積；對(duì)于B，若存在點(diǎn)，使得平面，由平面，得，可得，與矛盾；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，利用線面垂直的判定定理可證得平面；對(duì)于C，推導(dǎo)出，由余弦定理、三角形面積公式，結(jié)合二次函數(shù)的最值求出結(jié)果；對(duì)于D，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，無論點(diǎn)在何位置，直線與平面相交.
【詳解】對(duì)于A，如圖，在棱長為1的正方體中，
平面平面，平面，
點(diǎn)是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離為，
又，
三棱錐的體積，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若存在點(diǎn)，使得平面，由平面，得，
則為正方形，，與矛盾，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，根據(jù)題意，過點(diǎn)的截面與棱分別交于，可得為平行四邊形，如圖，
正方體中，平面，平面，，
設(shè)，則，又，
則中，，
，
則該截面面積，
，當(dāng)時(shí)，，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，無論點(diǎn)在何位置，直線與平面相交，故D錯(cuò)誤；
故選：C．
【變式1-1】（2023·河南·校聯(lián)考三模）如圖，在棱長為1的正方體中，是截面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包含邊界），若，則的最小值為（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】找到的軌跡為，的最小值為到的距離，由垂直關(guān)系求出答案.
【詳解】若，則在平面上的投影在上，所以的軌跡為，

的最小值為到的距離，
連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
因?yàn)?，且?br>所以，
故的最小值為.
故選：C
【變式1-2】（2023·河南·校聯(lián)考三模）如圖，在棱長為1的正方體中，E為的中點(diǎn)，M是截面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包含邊界），，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先判斷出點(diǎn)的軌跡，然后根據(jù)平面中，兩點(diǎn)的距離求得的最小值.
【詳解】連接，如下圖所示，
由于，所以在平面上的投影在上，
而在平面上的投影為，所以M的軌跡為，
將平面翻折到與平面重合，如圖所示，
，
，，
所以，所以，（翻折后），
所以的最小值為．故選：C
【變式1-3】（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，直三棱柱中，，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且，截面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為、點(diǎn)在線段上且，根據(jù)題意和線面垂直的判定定理與性質(zhì)可知點(diǎn)的軌跡是正方形的對(duì)角線，將與展開，如圖，則的最小值是，結(jié)合余弦定理計(jì)算即可求解.
【詳解】由題意知，，，
又平面，所以平面.
設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為，
則點(diǎn)在線段上，且，
即，所以，
設(shè)點(diǎn)在線段上，且，
則四邊形是一個(gè)正方形，點(diǎn)的軌跡是其對(duì)角線.
將與展開到一個(gè)面內(nèi)，得到如圖圖形，
因此的最小值是，
由余弦定理，得，
所以.
故選：C.
高考練場 場
1.．用一平面去截一長方體，則截面的形狀不可能是（ ）
A．四邊形B．五邊形C．六邊形D．七邊形
【答案】D
【分析】用平面去截正方體時(shí)最多和六個(gè)面相交得六邊形.
【詳解】3
如圖，用平面去截正方體時(shí)最多和六個(gè)面相交得六邊形，3
因此截面的形狀可能有：三角形、四邊形、五邊形、六邊形，
不可能為七邊形，
故選:D.
2.棱長為6的正方體中，點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段上，，則正方體被平面所截得的截面面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】延長交直線AF于Q，連接EQ交于N，得N是的中點(diǎn)，延長直線EN于P，連接AP交于M，作出截面AFNEM，利用即可求解面積.
【詳解】延長交直線AF于Q，
因?yàn)?所以,
連接EQ交于N，得N是的中點(diǎn)，延長直線EN于P，
連接AP交于M，作出截面AFNEM如下圖所示，
則中，，
故的面積
=，
四邊形ENFM中，，高為
四邊形ENFM的面積。，故所求截面面積為.故選:B
.3.在正方體中，P，Q分別是棱，的中點(diǎn)，則過點(diǎn)B，P，Q的截面形狀是______.
【答案】菱形
【分析】取中點(diǎn)，證明四邊形是截面，確定其形狀后可得．
【詳解】連接，取中點(diǎn)，連接，
則在正方體中，，所以是平行四邊形，與平行且相等，
同樣由與平行且相等得是平行四邊形，與平行且相等，
從而與平行且相等，所以是平行四邊形，這就是過點(diǎn)B，P，Q的截面，
又，因此四邊形是菱形．故答案為：菱形．
4.已知正方體的棱長為1，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，則過點(diǎn)的截面的周長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用線面平行的判定和性質(zhì)作兩面交線，由此能求出結(jié)果．
【詳解】由EF∥BC1，知過點(diǎn)的截面為等腰梯形 ∵正方體的棱長為1，∴截面周長為：
EF+FB+BC1+C1E＝故選：A．
5.在正方體中，，E為棱的中點(diǎn)，則平面截正方體的截面面積為（ ）
A．B．C．4D．
【答案】D
【分析】先作出平面截正方體的截面，再求出截面的高，由梯形面積公式得出截面面積.
【詳解】取的中點(diǎn)為M，連接EM，，則，且，則．又正方體中，，所以，，因此，所以平面截正方體所的截面為等腰梯形，因此該等腰梯形的高為，所以該截面的面積為故選：D．
6.如圖，棱錐的高，截面平行于底面，與截面交于點(diǎn)，且.若四邊形的面積為36，則四邊形的面積為（ ）
A．12B．16C．4D．8
【答案】C
【解析】根據(jù)高的比可得四邊形與四邊形相似比,結(jié)合與面積比的關(guān)系即可得解.
【詳解】由題意可知,四邊形與四邊形相似,
則四邊形與四邊形的相似比為
根據(jù)相似比與面積比關(guān)系可得四邊形的面積為.
故選:C
7.（2022上·遼寧沈陽·高三階段練習(xí)）棱臺(tái)上下底面面積分別為16和81，有一平行于底面的截面面積為36，則截面截的兩棱臺(tái)高的比為
A．1：1B．1：1C．2：3D．3：4
【答案】C
【詳解】試題分析：設(shè)出棱臺(tái)擴(kuò)展為棱錐的高分別a，b，c如圖，利用幾何體的面積比就是相似比的平方，即可求出結(jié)果．
解：棱臺(tái)擴(kuò)展為棱錐的幾何體的經(jīng)過高的截面如圖，三部分分別為：a，b，c
，
所以2b=a，4c=3a
b：c=2：3
截面截的兩棱臺(tái)高的比為 2：3
故選C
8.已知正三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，其底面邊長為3，分別為側(cè)棱的中點(diǎn).若在三棱錐內(nèi)，且三棱錐的體積是三棱錐體積的3倍，則平面截球所得截面的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】在正三棱錐，由題得，設(shè)球的半徑為，在中，利用勾股定理可得，再求得，然后在中，利用勾股定理即可得截面的半徑，即可得解.
【詳解】如圖，平面截球所得截面為圓面，
在正三棱錐，過點(diǎn)A作底面的垂線AH，垂足為H，與平面的交點(diǎn)記為K，連接OD、HD，
由題，.
設(shè)球的半徑為，在中，，，，由勾股定理可得，
由于分別為側(cè)棱的中點(diǎn)，平面平面，
平面，球心O到平面距離為KO，
則，
設(shè)平面截球所得截面半徑為，
在中，，
平面截球所得截面的面積為.
故選：C.
9.棱長為的正方體的所有頂點(diǎn)均在球的球面上，、、分別為、、的中點(diǎn)，則平面截球所得圓的半徑為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】計(jì)算出正方體的外接球的半徑，并計(jì)算出球心到截面的距離，利用勾股定理可求得結(jié)果.
【詳解】如圖，正方體的外接球球心為對(duì)角線的中點(diǎn)，
球的半徑為，連接、，四邊形為正方形，則，
在正方體中，平面，平面，，
，平面，平面，，
、分別為、的中點(diǎn)，則，，同理，，平面，
三棱錐的體積為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，易知是邊長為的等邊三角形，，，解得，
所以，球心到平面的距離為，
因此，平面截球所得圓的半徑為，故選：A.
10.如圖，正方體的棱長為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A，P，Q 的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）
①當(dāng)時(shí)，S為四邊形；
②當(dāng)時(shí)，S為等腰梯形；
③當(dāng)時(shí)，S與的交點(diǎn)滿足；
④當(dāng)時(shí)，S為六邊形；
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】隨著的移動(dòng)，依題意分別移動(dòng)到四個(gè)位置，逐項(xiàng)分析判斷即可得解.
【詳解】
先確定臨界值點(diǎn)，當(dāng)，即為的中點(diǎn)時(shí)，
截面交于，則界面為等腰梯形，故②正確；
對(duì)①當(dāng)時(shí)，即移動(dòng)到位置時(shí)，
截面交線段于，所以截面為四邊形，故①正確；
對(duì)③，當(dāng)時(shí)，在的位置，截面交的延長線于，
延長交在的延長線于點(diǎn)，
則，
由，則，，又有，
所以，又，所以，故③正確；
對(duì)④，，點(diǎn)移動(dòng)到位置，從圖上看，截面為五邊形，故④錯(cuò)誤；
共個(gè)正確，故選：C
11.如圖，空間四邊形的邊，成的角，且，，平行于與的截面分別交，，，于，則截面面積的最大值為______.
【答案】
【分析】由題意易證四邊形是平行四邊形，（或），，則可得，，則可表示出，再由基本不等式即可求出其最大值.
【詳解】∵∥平面，平面，平面平面，
∴，同理，∴，同理，
∴四邊形是平行四邊形.
∵與所成的角為，∴（或），
設(shè)，∵，∴，
由，，得，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
即為的中點(diǎn)時(shí)，截面的面積最大，為.
故答案為：.
12.棱長均相等的三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)都在球O的球面上，D為PB中點(diǎn)，過點(diǎn)D作球O的截面，所得截面圓面積的最大值與最小值之比為（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】設(shè)該三棱錐的外接球球心為，的外接圓圓心為，設(shè)三棱錐的棱長為2，根據(jù)勾股定理可求外接球的半徑，從而可求截面圓面積的最值.
【詳解】設(shè)該正四面體的外接球球心為，的外接圓圓心為，
則共線且平面，
設(shè)三棱錐的棱長為2，則，，.
設(shè)三棱錐的外接球半徑為R，
在中，由，得，所以.
過D點(diǎn)的截面中，過球心的截面圓面積最大，此時(shí)截面圓的半徑為；
當(dāng)垂直于截面圓時(shí)，此時(shí)截面圓的面積最小，
設(shè)該圓半徑為r，則，故面積之比為.
故選：B.
13.正方體的棱長為，，，分別為，，的中點(diǎn)．則( )
A．直線與直線垂直B．直線與平面平行
C．平面截正方體所得的截面面積為D．點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等
【答案】BC
【分析】對(duì)于A，利用線線平行，將與的位置關(guān)系轉(zhuǎn)換為判斷與的位置關(guān)系；
對(duì)于B，作出輔助線：取的中點(diǎn)，連接、，然后利用面面平行判斷；
對(duì)于C，把截面補(bǔ)形為四邊形，由等腰梯形計(jì)算其面積判斷；
對(duì)于D，利用反證法判斷．
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，若，則，從圖中可以看出，與相交，但不垂直，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，如圖所示，取的中點(diǎn)，連接、，則有，，
∵，，∴平面∥平面．
又∵平面，∴∥平面，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于C，如圖所示，連接，，延長，交于點(diǎn)，
∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，
∴、、、四點(diǎn)共面，∴截面即為梯形．
∵，∴，即，∴
又，∴即，，
∴等腰△的高，梯形的高為，
∴梯形的面積為，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D，假設(shè)與到平面的距離相等，即平面將平分，則平面必過的中點(diǎn)，
連接交于，而不是中點(diǎn)，則假設(shè)不成立，故D錯(cuò)．
故選：BC﹒
14.在直四棱柱中，底面四邊形為菱形，，，，為中點(diǎn)，平面過點(diǎn)且與平面垂直，，則被此直四棱柱截得的截面面積為（ ）
A．1B．2C．4D．6
【答案】C
【分析】分別取，，的中點(diǎn)，，，連接，，，，，可證得矩形即截面，求其面積可得答案.
【詳解】分別取，，的中點(diǎn)，，，
連接，，，，，
由四邊形為菱形，知，
再根據(jù)三角形的中位線定理，知，所以，
又因?yàn)?，因此?br>又，平面，平面，
故平面，且平面，所以平面，
又平面，則平面平面，
所以即截面，且為矩形，
由，，故截面面積為4.故選：C.
15.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知正三棱柱的底面邊長，其外接球的表面積為，D是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，過BC且與AP垂直的截面與AP交于點(diǎn)E，則三棱錐的體積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)外接球的表面積求解球半徑，利用正三棱柱的外接球球心位置結(jié)合勾股定理可得棱柱的高，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)的軌跡在以AF為直徑的圓上,即可確定點(diǎn)到底面ABC距離的最大值,最后利用體積公式求解即可.
【詳解】外接球的表面積為，可得外接球半徑為.
因?yàn)檎庵牡酌孢呴L，
所以,所以的外接圓半徑為，
設(shè)三棱柱的側(cè)棱長為h，則有，即側(cè)棱，
設(shè)BC的中點(diǎn)為F，作出截面如圖所示，
因?yàn)椋?所以，所以點(diǎn)E在以AF為直徑的圓上，
當(dāng)點(diǎn)E在的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)到底面ABC距離的最大，且最大值為，
因?yàn)?，所以此時(shí)點(diǎn)P在線段上，符合條件，
所以三棱錐的體積的最大值為．故選：A．
一般地，立體幾何中的截面問題，有兩種處理方法：
1.是利用平行關(guān)系找交線，
2.是利用共面直線延長相交得交點(diǎn).
基礎(chǔ)模型：如下圖E、F是幾等分點(diǎn)，不影響作圖?？梢韵饶J(rèn)為中點(diǎn)，等學(xué)生完全理解了，再改成任意等分點(diǎn)。做出過三E,F,C1點(diǎn)的截面
特征：1、三點(diǎn)中，有兩點(diǎn)連線在表面上。本題如下圖是EF（這類型的關(guān)鍵）；2、“第三點(diǎn)”是在外棱上，如C1，注意：此時(shí)合格C1點(diǎn)特殊，在于它是幾何體頂點(diǎn)，實(shí)際上無論它在何處，只要在棱上就可以。最后處有解釋。
以“第三點(diǎn)”所在的表面中，，剔除掉與EF所在的表面平行，尋找合適的表面來做交線
如下圖，符合的有c1的表面有三個(gè)，紅色的和EF平行而不會(huì)相交，去掉，可供選擇的是上表面（藍(lán)色）或者右表面（綠色的），
先用上表面（紅色的）來做：
所以，先補(bǔ)出擴(kuò)展EF直線所在的前側(cè)面。如左下第一圖開始。并延長EF交A1B1于G
此時(shí)G也在上表面了，連接GP，出來與棱A1D1交點(diǎn)H.
連接HB，則的如右圖的截面。

再用右表面綠色的來做：
則發(fā)現(xiàn)，右邊面和EF相交于前側(cè)面下方，如左下第一圖開始，延長EF交C1C于I
此時(shí)I也在右表面了，連IC1交棱CB于J.
連接FJ，則出右圖的截面。

最終，兩個(gè)合在一起，就是如圖的截面。以上過程，與EF是否中點(diǎn)，幾何體是否正方體無掛具體的G,H,I,J都可以通過對(duì)應(yīng)的E、F幾等分點(diǎn)以及幾何體長寬高的不同變化來計(jì)算出來，這個(gè)幾何體也不一定是長方體，還可以是斜棱柱，都不影響這個(gè)作圖。
基礎(chǔ)模型：如下圖E、F是幾等分點(diǎn)，不影響作圖。可以先默認(rèn)為中點(diǎn)，等學(xué)生完全理解了，再改成任意等分點(diǎn)。做出過三E,F,C1點(diǎn)的截面
特征：1、三點(diǎn)中，有兩點(diǎn)連線在表面上。本題如下圖是EF（這類型的關(guān)鍵）；2、“第三點(diǎn)”是在外棱上，如C1，注意：此時(shí)合格C1點(diǎn)特殊，在于它是幾何體頂點(diǎn)，實(shí)際上無論它在何處，只要在棱上就可以。最后處有解釋。
平行線法。
本題用平行線法，并不太快捷，不過也成立。
平行線法特征： 有兩點(diǎn)連線在表面：EF，在前側(cè)面

方法如下：
尋找C1點(diǎn)所在的與線EF的所在紅色表面平行的面：里邊側(cè)面（綠色的）
在這個(gè)面內(nèi)，過C1做EF平行線，顯然必須擴(kuò)展這個(gè)面了。如第三圖。
注意！注意！，E與F分別在右側(cè)面和下側(cè)面上（紅色面就不要用了）
注意這仨面的相交棱，
下邊過C1做EF平行線，交這倆棱于K,L第二排圖
分別連FK與EL，交點(diǎn)為J與H。出截面，與第一種方法一致。

用一個(gè)平面去截球，若平面經(jīng)過球心，所得的截面稱為球的大圓；若平面不經(jīng)過球心，所得的截面稱為球的小圓。小圓圓心與球心的連線必垂直于小圓面。且滿足勾股數(shù)組
證明線面垂直的方法：
一是線面垂直的判定定理；
二是利用面面垂直的性質(zhì)定理；
三是平行線法（若兩條平行線中一條垂直于這個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面），解題時(shí)，注意線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化；
另外，在證明線線垂直時(shí)，要注意題中隱含的垂直關(guān)系，如等腰三角形的底邊上的高、中線和頂角的角平分線三線合一、矩形的內(nèi)角、直徑所對(duì)的圓周角、菱形的對(duì)角線互相垂直、直角三角形（或給出線段長度，經(jīng)計(jì)算滿足勾股定理）、直角梯形等等．

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