TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc32231" 題型01 等差數(shù)列單調(diào)性 PAGEREF _Tc32231 \h 1
\l "_Tc1616" 題型02等比數(shù)列單調(diào)性 PAGEREF _Tc1616 \h 2
\l "_Tc13114" 題型03等差數(shù)列不等式正負分界 PAGEREF _Tc13114 \h 3
\l "_Tc26493" 題型04等比數(shù)列“1”比較型不等式 PAGEREF _Tc26493 \h 3
\l "_Tc12639" 題型05等差數(shù)列“高斯”性質(zhì) PAGEREF _Tc12639 \h 4
\l "_Tc6315" 題型06 等比數(shù)列“高斯”性質(zhì) PAGEREF _Tc6315 \h 5
\l "_Tc26910" 題型07等差中項比值型 PAGEREF _Tc26910 \h 6
\l "_Tc9525" 題型08 等比中項比值型 PAGEREF _Tc9525 \h 7
\l "_Tc26447" 題型09整數(shù)型比值 PAGEREF _Tc26447 \h 7
\l "_Tc463" 題型10 等差等比函數(shù)性質(zhì)：恒成立求參 PAGEREF _Tc463 \h 8
\l "_Tc1042" 題型11等差等比函數(shù)性質(zhì)：奇偶型討論 PAGEREF _Tc1042 \h 9
\l "_Tc27508" 題型12等差等比函數(shù)性質(zhì)：三角函數(shù)型 PAGEREF _Tc27508 \h 9
\l "_Tc127" 題型13等差等比插入數(shù)型 PAGEREF _Tc127 \h 10
\l "_Tc24247" 題型14等差等比分段型數(shù)列 PAGEREF _Tc24247 \h 11
\l "_Tc12090" 高考練場 PAGEREF _Tc12090 \h 12
熱點題型歸納
題型01 等差數(shù)列單調(diào)性
【解題攻略】
【典例1-1】（2023春·廣東佛山·高二佛山市三水區(qū)三水中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，且，則下列選項中正確的是（ ）
A．B．和均為的最大值
C．存在正整數(shù)，使得D．存在正整數(shù)，使得
【典例1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，函數(shù)是定義在上的單調(diào)遞增的奇函數(shù)，數(shù)列的前項和為，對于命題：
①若數(shù)列為遞增數(shù)列，則對一切，；
②若對一切，，則數(shù)列為遞增數(shù)列；
③若存在，使得，則存在，使得；
④若存在，使得，則存在，使得；
其中正確命題的個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【變式1-1】（2019秋·河南洛陽·高三統(tǒng)考）已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項和為，若（且），有以下結(jié)論：①；②；③為遞增數(shù)列；④．則正確的結(jié)論的個數(shù)為
A．B．C．D．
【變式1-2】（2019春·上海楊浦·高三復(fù)旦附中?？迹┮阎獢?shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，函數(shù)是定義在上的單調(diào)遞增的奇函數(shù)，數(shù)列的前項和為，對于命題：
①若數(shù)列為遞增數(shù)列，則對一切，
②若對一切，，則數(shù)列為遞增數(shù)列
③若存在，使得，則存在，使得
④若存在，使得，則存在，使得
其中正確命題的個數(shù)為
A．0B．1C．2D．3
【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足若對任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
題型02等比數(shù)列單調(diào)性
【解題攻略】
【典例1-1】無窮數(shù)列的前項和為，滿足，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
A．為等比數(shù)列B．為遞增數(shù)列
C．中存在三項成等差數(shù)列D．中偶數(shù)項成等比數(shù)列
【典例1-2】等比數(shù)列的公比為，則“”是“對于任意正整數(shù)n，都有”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件
【變式1-1】已知數(shù)列滿足，，設(shè) ，且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【變式1-2】.數(shù)列是等比數(shù)列，首項為，公比為q，則是“數(shù)列遞減”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件

【變式1-3】數(shù)列{an}滿足an+1＝2an+1，a1＝1，若bn＝an﹣n2+4n為單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
題型03等差數(shù)列不等式正負分界
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．，且B．，且
C．，且D．，且
【典例1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，公差為．已知，，，則選項不正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列的最小項為第項B．
C．D．時，的最大值為
【變式1-1】（2021·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項和，若，，，則的最大值為
A．3B．4C．D．
【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知公差非零的等差數(shù)列 滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．當(dāng)時，D．當(dāng)時，
【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，為其前n項和.若，，則下列判斷錯誤的是（ ）
A．?dāng)?shù)列遞增B．C．?dāng)?shù)列前2020項和最小D．
題型04等比數(shù)列“1”比較型不等式
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項之積為，并且滿足條件：，，，給出下列結(jié)論：①；② ；③是數(shù)列中的最大項；④使成立的最大自然數(shù)等于4039；其中正確結(jié)論的序號為（ ）
A．①②B．①③C．①③④D．①②③④
【典例1-2】（2022秋·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)公比為的等比數(shù)列的前項和為，前項積為，且，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．是數(shù)列中的最大值D．?dāng)?shù)列無最大值
【變式1-1】（2023秋·高三課時練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，且滿足條件，，，則下列選項錯誤的是（ ）
A．B．
C．是數(shù)列中的最大項D．
【變式1-2】（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高三齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校?？计谀┰O(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項積為，并且滿足條件，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．沒有最大值
【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，其前n項和為，并且滿足條件，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．的最大值為
題型05等差數(shù)列“高斯”性質(zhì)
【解題攻略】
【典例1-1】（2021·江蘇·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列滿足，則的最大值為（ ）
A．B．20C．25D．100
【典例1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是公差不為零且各項均為正數(shù)的無窮等差數(shù)列，其前項和為.若且，則下列判斷正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【變式1-1】（2022秋·山東臨沂·高三?？计谥校┮阎炔顢?shù)列的前項和為，若，則（ ）
A．22B．33C．44D．55
【變式1-2】（2023秋·高三課時練習(xí)）在等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前19項之和為（ ）
A．98B．95C．93D．90
【變式1-3】（2023秋·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)?？迹┰诘炔顢?shù)列中，若，則（ ）
A．30B．40C．45D．60
題型06 等比數(shù)列“高斯”性質(zhì)
【解題攻略】
【典例1-1】（2023秋·山西太原·高三統(tǒng)考）已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A．7B．14C．D．
【典例1-2】（2023春·內(nèi)蒙古通遼·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知等比數(shù)列滿足：，則的值為（ ）
A．20B．10C．5D．
【變式1-1】（2023春·河南鄭州·高三河南省實驗中學(xué)?？迹┮阎缺葦?shù)列的各項均為正數(shù)，且，則（ ）
A．3B．4C．5D．6
【變式1-2】（2022秋·湖南常德·高三臨澧縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知方程的四個根組成以1為首項的等比數(shù)列，則（ ）
A．B．或C．D．
【變式1-3】（2023秋·甘肅·高三校考階段練習(xí)）若等比數(shù)列中的，是方程的兩個根，則等于（ ）
A．B．1011
C．D．1012
題型07等差中項比值型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023春·新疆伊犁·高三?？迹┰O(shè)等差數(shù)列、的前n項和分別是，，若，則=（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023春·江西吉安·高三永豐縣永豐中學(xué)校考）等差數(shù)列和的前項和分別記為與，若，則（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和分別為，若對于任意的自然數(shù)，都有，則（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2023春·新疆·高三八一中學(xué)校考）若兩個等差數(shù)列，的前n項和滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列和的前項和分別為，，且，則的值為（ ）
A．B．C．D．
題型08 等比中項比值型
【典例1-1】已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，則（ ）
A．27B．3C．1或3D．1或27
【典例1-2】已知等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列．則=（ ）
A．4或B．4C．D．
【變式1-1】設(shè)等比數(shù)列的前項和為，且，則（ ）
A．B．C．D．

【變式1-2】已知等比數(shù)列的前項和為，且，，成等差數(shù)列，則（ ）
A．B．C．3D．4

【變式1-3】已知等比數(shù)列中，各項都是正數(shù)，且，，成等差數(shù)列，則（ ）
A．B．C．D．
題型09整數(shù)型比值
【解題攻略】
【典例1-1】已知等差數(shù)列的公差不為0，等比數(shù)列的公比，若，且是正整數(shù)，則實數(shù)（ ）
A．4B．2C．D．

【典例1-2】（2023春·江西撫州·高三江西省樂安縣第二中學(xué)?？迹┮阎獌蓚€等差數(shù)列和的前n項和分別為Sn和Tn，且=，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)為（ ）
A．4B．5C．6D．7
【變式1-1】（2022春·安徽安慶·高三安慶市第七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列和等差數(shù)列的前n項和分別為，且，則使為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是（ ）
A．2B．6C．4D．5
【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，均為等差數(shù)列，其前項和分別為，，且，則使恒成立的實數(shù)的最大值為（ ）
A．B．C．1D．2
題型10 等差等比函數(shù)性質(zhì)：恒成立求參
【典例1-1】（2020·江蘇·高三專題練習(xí)）已知是公比不為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足：，，成等比數(shù)列，，若數(shù)列的前項和對任意的恒成立，則的最大值為
A．B．
C．D．
【典例1-2】（2020·全國·高三專題練習(xí)）已知為遞增的等差數(shù)列，且構(gòu)成等比數(shù)列.若，數(shù)列的前項和恒成立，則的最小值為
A．B．C．D．
【變式1-1】（2021秋·山西朔州·高三?？茧A段練習(xí)）等比數(shù)列的前項和（為常數(shù)），若恒成立，則實數(shù)的最大值是
A．B．C．D．
【變式1-2】（2023秋·遼寧·高三校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，.設(shè)，若對于任意的，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為
【變式1-3】（2023秋·甘肅定西·高三甘肅省臨洮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列中，，，若對于任意的，恒成立，則實數(shù)的最小值為 ．
題型11等差等比函數(shù)性質(zhì)：奇偶型討論
【解題攻略】
【典例1-1】數(shù)列滿足，則的80項和為________.

【典例1-2】數(shù)列{}中，，前和為，則為（ ）
A．-12B．16C．-10D．12

【變式1-1】已知數(shù)列滿足，令，設(shè)的前項和為，則（ ） .
A．5049B．5050C．5051D．5052

【變式1-2】數(shù)列滿足，則數(shù)列的前48項和為（ ）
A．1006B．1176C．1228D．2368

題型12等差等比函數(shù)性質(zhì)：三角函數(shù)型
【典例1-1】（2021上·河南商丘·高三睢縣高級中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的通項公式為，其前項和為，則（ ）
A．B．C．180D．240
【典例1-2】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列滿足，.若對恒成立，則正實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2021上·河南南陽·高三南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列的通項，其前項和為，則S18為（ ）
A．173B．174C．175D．176
【變式1-2】（2020下·四川成都·高三樹德中學(xué)校考）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對任意n∈N*總有2Sn＝an2+n，且an＜an+1.若對任意n∈N*，θ∈R，不等式λ（n+2）恒成立，求實數(shù)λ的最小值
A．1B．2C．1D．
【變式1-3】（2022·浙江·浙江省江山中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知依次組成嚴格遞增的等差數(shù)列，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．依次可組成等差數(shù)列B．依次可組成等差數(shù)列
C．依次可組成等差數(shù)列D．依次可組成等差數(shù)列
題型13等差等比插入數(shù)型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·江西南昌·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的通項公式為，保持數(shù)列中各項順序不變，對任意的，在數(shù)列的與項之間，都插入個相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前n項的和為，則（ ）
A．4056B．4096C．8152D．8192
【典例1-2】（2022上·浙江·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）通過以下操作得到一系列數(shù)列：第1次，在2，3之間插入2與3的積6，得到數(shù)列2，6，3；第2次，在2，6，3每兩個相鄰數(shù)之間插入它們的積，得到數(shù)列2，12，6，18，3；類似地，第3次操作后，得到數(shù)列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述這樣操作11次后，得到的數(shù)列記為，則的值是（ ）
A．6B．12C．18D．108
【變式1-1】（2019下·貴州遵義·高三統(tǒng)考）在1和19之間插入個數(shù)，使這個數(shù)成等差數(shù)列，若這個數(shù)中第一個為，第個為，當(dāng)取最小值時，的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【變式1-2】（2018·全國·高三競賽）已知、是不相等的正數(shù)，在、之間插入兩組數(shù)，，…，，，，…，，使，，，…，，成等差數(shù)列，，，，…，，成等比數(shù)列．則下列不等式
（1），
（2），
（3），
（4）
中，為真命題的是（ ）．
A．（1）、（3）B．（1）、（4）
C．（2）、（3）D．（2）、（4）
【變式1-3】（2021下·高三課時練習(xí)）在數(shù)列、、、、的每相鄰兩項中插入個數(shù)，使它們與原數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列，則新數(shù)列的第項（ ）
A．不是原數(shù)列的項B．是原數(shù)列的第項
C．是原數(shù)列的第項D．是原數(shù)列的第項
題型14等差等比分段型數(shù)列
【典例1-1】已知數(shù)列，，數(shù)列滿足.若，且對任意，恒成立，則可能為（ ）
A．B．C．D．

【典例1-2】數(shù)列滿足，，若為等比數(shù)列，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列中，（m是正整數(shù)），若，則m所有可能的取值集合是（ ）
A．B．C．D．

【變式1-2】已知數(shù)列的通項公式為，是數(shù)列的前n項和，若，使，則（ ）
A．1B．2C．1或3D．2或3
【變式1-3】已知數(shù)列滿足，且，則中整數(shù)項的個數(shù)為（ ）
A．20B．21C．22D．23
高考練場
1.（2022·全國·高三專題練習(xí)）在各項均為正數(shù)的等差數(shù)列中，為其前項和，，則的最小值為（ ）
A．9B．C．D．2
2.設(shè)是等比數(shù)列，則“對于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴格遞增數(shù)列”（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3.（2018春·江西撫州·高三臨川一中校考）設(shè)等差數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項和記為，則
A．，B．，
C．，D．，
4.（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并滿足條件，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．是數(shù)列中的最大值
C．D．?dāng)?shù)列無最大值
5.（2023春·上海·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，，則（ ）
A．120B．96C．72D．48
6.（2023春·河南鄭州·高三校考）若1，，，4成等差數(shù)列；1，，，，4成等比數(shù)列，則等于（ ）．
A．B．C．D．
7.（2023·全國·高三專題練習(xí)）正項等比數(shù)列中的項，是函數(shù)的極值點，則（ ）
A．B．1C．D．2
8.（2023春·黑龍江哈爾濱·高三哈九中?？迹┑炔顢?shù)列的前項和分別為，且，則（ ）
A．7B．8C．9D．10
9.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，均為等差數(shù)列，其前項和分別為，，且若對任意的恒成立，則實數(shù)的最大值為（ ）
A．B．C．-2D．2
10.（2017秋·安徽六安·高三六安一中階段練習(xí)）已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為和，且， ，為整數(shù)的正整數(shù)的取值集合為 ．
11.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列滿足：，.數(shù)列滿足，其前項和為，若恒成立，則的最小值為 .
12.數(shù)列滿足，則數(shù)列的前60項和等于（ ）
A．1830B．1820C．1810D．1800
13.（2020·上海徐匯·統(tǒng)考二模）若數(shù)列的通項公式分別為，，且對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
14.（2016上·湖南長沙·高三周測）已知函數(shù)，其中，對任意的都成立，在1和兩數(shù)間插入2015個數(shù)，使之與1，構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)插入的這2015個數(shù)的乘積為，則
A．B．
C．D．
15.數(shù)列的前項和，首項為1．對于任意正整數(shù)，都有，則（ ）
A．B．C．D．
判斷數(shù)列的單調(diào)性，常用的方法有作差比較法、作商比較法和函數(shù)圖象法：
（1）作差比較法：當(dāng)時，遞增；當(dāng)時，遞減.
（2）作商比較法：若，則當(dāng)時，遞增；當(dāng)時，遞減.
（3）函數(shù)圖象法：設(shè)，則可用函數(shù)的圖象來研究數(shù)列的單調(diào)性
函數(shù)圖象法：求出數(shù)列的前n項和，利用函數(shù)的圖象性質(zhì)來研究的最大最小值問題.
鄰項變號法：
若當(dāng)時，，當(dāng)時，，則數(shù)列中，最大；
若當(dāng)時，，當(dāng)時，，則數(shù)列中，最小.
等比數(shù)列“平衡點”型不等式，主要從以下幾個性質(zhì)思考：
1.若p＋q＝m＋n，則ap·aq＝am·an，特別地，若p＋q＝2k，則ap·aq＝ak2
2.如果等比數(shù)列是正項遞增數(shù)列，則若p＋q>m＋n，則ap·aq>am·an.
.一般地，如果為等差數(shù)列，為其前項和，則有性質(zhì)：
（1）若，則；
（2） 且 ；
（3）且為等差數(shù)列；
（4） 為等差數(shù)列.
等比數(shù)列“高斯技巧”
（1)“高斯”技巧：若p＋q＝m＋n，則ap·aq＝am·an，特別地，若p＋q＝2k，則ap·aq＝ak2；
(2)“跳項”等比：數(shù)列an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.
(3)“和項”等比：數(shù)列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為__qn__.
雙數(shù)列等差中項比值轉(zhuǎn)化型
、均為等差數(shù)列且其前項和為、則
整數(shù)型比值，可以通過分離常數(shù)，因式分解，整除等知識點來構(gòu)造求解
奇偶型討論：
1.奇偶項正負相間型求和，可以兩項結(jié)合構(gòu)成“常數(shù)數(shù)列”。
2.如果需要討論奇偶，一般情況下，先求偶，再求奇。求奇時候，直接代入偶數(shù)項公式，再加上最后的奇數(shù)項通項。
插入數(shù)型
1.插入數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列
在和之間插入個數(shù)，使這個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，可通過構(gòu)造新數(shù)列來求解
個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，公差記為，所以：
插入數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列
在和之間插入個數(shù)，使這個數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，可通過構(gòu)造新數(shù)列來求解
個數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，公差記為，所以：
插入數(shù)混合型
混合型插入數(shù)列，其突破口在于：在插入這些數(shù)中，數(shù)列提供了多少項，其余都是插入進來的。
第十五講 等差等比性質(zhì)綜合
目錄
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc32231" 題型01 等差數(shù)列單調(diào)性 PAGEREF _Tc32231 \h 1
\l "_Tc1616" 題型02等比數(shù)列單調(diào)性 PAGEREF _Tc1616 \h 4
\l "_Tc13114" 題型03等差數(shù)列不等式正負分界 PAGEREF _Tc13114 \h 6
\l "_Tc26493" 題型04等比數(shù)列“1”比較型不等式 PAGEREF _Tc26493 \h 7
\l "_Tc12639" 題型05等差數(shù)列“高斯”性質(zhì) PAGEREF _Tc12639 \h 10
\l "_Tc6315" 題型06 等比數(shù)列“高斯”性質(zhì) PAGEREF _Tc6315 \h 11
\l "_Tc26910" 題型07等差中項比值型 PAGEREF _Tc26910 \h 13
\l "_Tc9525" 題型08 等比中項比值型 PAGEREF _Tc9525 \h 15
\l "_Tc26447" 題型09整數(shù)型比值 PAGEREF _Tc26447 \h 16
\l "_Tc463" 題型10 等差等比函數(shù)性質(zhì)：恒成立求參 PAGEREF _Tc463 \h 18
\l "_Tc1042" 題型11等差等比函數(shù)性質(zhì)：奇偶型討論 PAGEREF _Tc1042 \h 20
\l "_Tc27508" 題型12等差等比函數(shù)性質(zhì)：三角函數(shù)型 PAGEREF _Tc27508 \h 21
\l "_Tc127" 題型13等差等比插入數(shù)型 PAGEREF _Tc127 \h 24
\l "_Tc24247" 題型14等差等比分段型數(shù)列 PAGEREF _Tc24247 \h 27
\l "_Tc12090" 高考練場 PAGEREF _Tc12090 \h 29
熱點題型歸納
題型01 等差數(shù)列單調(diào)性
【解題攻略】
【典例1-1】（2023春·廣東佛山·高二佛山市三水區(qū)三水中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，且，則下列選項中正確的是（ ）
A．B．和均為的最大值
C．存在正整數(shù)，使得D．存在正整數(shù)，使得
【答案】ACD
【分析】設(shè)數(shù)列公差為d，根據(jù)已知條件和判斷公差正負，求出和d關(guān)系，逐項驗證即可.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d，由得，化簡得；
∵，
∴，即，∴，
∴，，∴d＜0，故數(shù)列為減數(shù)列，故A正確；
，，，故為的最大值，故B錯誤；
，故，故C正確；
時，，即，
又由得，
∴，解得，故D正確.
故選：ACD.
【典例1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，函數(shù)是定義在上的單調(diào)遞增的奇函數(shù)，數(shù)列的前項和為，對于命題：
①若數(shù)列為遞增數(shù)列，則對一切，；
②若對一切，，則數(shù)列為遞增數(shù)列；
③若存在，使得，則存在，使得；
④若存在，使得，則存在，使得；
其中正確命題的個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】逐一分析選項，得到正確答案.
【詳解】①令 ， ，故①錯；
②對一切，，則，又因為是上的單調(diào)遞增的奇函數(shù)，所以，若遞減，設(shè)，且
，
且，所以，則
，則
，與題設(shè)矛盾，所以遞增，故②正確；
③設(shè)，， ，則，， ，存在，但是，故③錯誤；
④因為，所以，
所以，
則，
則，則存在，使得，故④正確.
故選B.
【變式1-1】（2019秋·河南洛陽·高三統(tǒng)考）已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項和為，若（且），有以下結(jié)論：①；②；③為遞增數(shù)列；④．則正確的結(jié)論的個數(shù)為
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】可設(shè)，根據(jù)可得出、之間的關(guān)系，并求出數(shù)列的通項公式，結(jié)合和的表達式對各命題的正誤進行判斷.
【詳解】設(shè)，則，
，所以，解得，，則.
當(dāng)時，；
當(dāng)時，.
也適合上式，，則，數(shù)列可能是增數(shù)列，也可能是減數(shù)列，，因此，正確的結(jié)論序號為①②.
故選B.
【變式1-2】（2019春·上海楊浦·高三復(fù)旦附中?？迹┮阎獢?shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，函數(shù)是定義在上的單調(diào)遞增的奇函數(shù)，數(shù)列的前項和為，對于命題：
①若數(shù)列為遞增數(shù)列，則對一切，
②若對一切，，則數(shù)列為遞增數(shù)列
③若存在，使得，則存在，使得
④若存在，使得，則存在，使得
其中正確命題的個數(shù)為
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，通過舉例和證明逐項分析.
【詳解】①取，，則，故①錯；
②對一切，，則，又因為是上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以，若遞減，設(shè)，且
，
且，所以，則
，則
，與題設(shè)矛盾，所以遞增，故②正確；
③取 ，則，，令，所以，但是，故③錯誤；
④因為，所以，
所以，
則，
則，則存在，使得，故④正確.
故選C.
【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列滿足若對任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依題意，對任意的，都有成立，即，利用數(shù)列的單調(diào)性可得，即可求解.
【詳解】由已知，
對任意的，都有成立，即，即，
又數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，
，且是單調(diào)遞增數(shù)列，當(dāng)時，，
，即，解得.
故選：B.
題型02等比數(shù)列單調(diào)性
【解題攻略】
【典例1-1】無窮數(shù)列的前項和為，滿足，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
A．為等比數(shù)列B．為遞增數(shù)列
C．中存在三項成等差數(shù)列D．中偶數(shù)項成等比數(shù)列

【答案】D
【分析】利用與的關(guān)系，求通項公式，從而判斷各選項正誤.
【詳解】解：無窮數(shù)列的前項和為，滿足
，
當(dāng)時，，不符合上式，
所以不是等比數(shù)列，故A錯誤；
又，所以不是遞增數(shù)列，故B錯誤；
假設(shè)數(shù)列中存在三項成等差數(shù)列，由于，則，所以得：
，則，又
且恒成立，故式子無解，中找不到三項成等差數(shù)列，故C錯誤；
，
是等比數(shù)列，即中偶數(shù)項成等比數(shù)列，故D正確.
故選：D．
【典例1-2】等比數(shù)列的公比為，則“”是“對于任意正整數(shù)n，都有”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件
【答案】D
【分析】結(jié)合等比數(shù)列的單調(diào)性，根據(jù)充分必要條件的定義判斷．
【詳解】若，，則，，充分性不成立；
反過來，若，，則時，必要性不成立；
因此“”是“對于任意正整數(shù)n，都有”的既不充分也不必要條件.
故選：D
【變式1-1】已知數(shù)列滿足，，設(shè) ，且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．

【答案】A
【分析】由題意求得，則可得，根據(jù)其單調(diào)性可得，化簡可得恒成立，即可求得答案.
【詳解】由題意數(shù)列滿足，可知，是以2為首項，2為公比
的等比數(shù)列，
所以 ，所以,
因為數(shù)列是遞增數(shù)列，所以 ，對于任意的恒成立，
即,即恒成立 ,
因為時,取得最小值3 ，
故 ，即實數(shù)的取值范圍是 ，
故選：A,
【變式1-2】.數(shù)列是等比數(shù)列，首項為，公比為q，則是“數(shù)列遞減”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件

【答案】B
【分析】由，解得或，根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性的判定方法，結(jié)合充分、必要條件的判定方法，即可求解得到答案.
【詳解】由已知，解得或，，
此時數(shù)列不一定是遞減數(shù)列，
所以是“數(shù)列遞減”的非充分條件；
若數(shù)列為遞減數(shù)列，可得或，所以，
所以是“數(shù)列遞減”的必要條件.
所以“”是“數(shù)列為遞減數(shù)列”的必要不充分條件.
故選：B.
【變式1-3】數(shù)列{an}滿足an+1＝2an+1，a1＝1，若bn＝an﹣n2+4n為單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件求出數(shù)列{an}通項，再由數(shù)列{bn}為單調(diào)遞增數(shù)列列出不等式并分離參數(shù)即可推理計算作答．
【詳解】數(shù)列{an}中，an+1＝2an+1，a1＝1，則有an+1+1＝2（an+1），而a1+1＝2，
因此，數(shù)列{an+1}是公比為2的等比數(shù)列，，即，
則，因數(shù)列{bn}為單調(diào)遞增數(shù)列，即?n∈N*，bn+1﹣bn＞0，
則（2n+1﹣1）﹣（n+1）2+4（n+1）﹣[（2n﹣1）﹣n2+4n]＝?2n﹣2n+3＞0，，
令，則，n∈N*，
當(dāng)n≤2時，cn+1＞cn，當(dāng)n≥3時，cn+1＜cn，
于是得是數(shù)列{cn}的最大項，即當(dāng)n＝3時，取得最大值，從而得，
所以的取值范圍為．故選： C．
題型03等差數(shù)列不等式正負分界
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．，且B．，且
C．，且D．，且
【答案】C
【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，進而根據(jù)的關(guān)系即可確定答案.
【詳解】設(shè)函數(shù)，則為奇函數(shù)，且，所以在R上遞減，由已知可得，，有，，所以，且，所以，且，所以， .
故選：C.
【典例1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，公差為．已知，，，則選項不正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列的最小項為第項B．
C．D．時，的最大值為
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)及前項和公式依次分析選項，綜合即可得出答案．
【詳解】解：由題意，又，所以，故選項正確；
由，且，，，得，解得，選項正確；
由題意當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以，，故時，的最大值為10，故選項錯誤；
由于，數(shù)列是遞減數(shù)列，當(dāng)時，，當(dāng)時，；
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故數(shù)列中最小的項為第6項，選項正確．
故選：．
【變式1-1】（2021·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項和，若，，，則的最大值為
A．3B．4C．D．
【答案】B
【詳解】∵S4≥10，S5≤15∴a1+a2+a3+a4≥10，a1+a2+a3+a4+a5≤15。∴a5≤5，a3≤3
即：a1+4d≤5，a1+2d≤3
兩式相加得：2（a1+3d）≤8?！郺4≤4。故答案是4
【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知公差非零的等差數(shù)列 滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．當(dāng)時，D．當(dāng)時，
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，推理可得，再結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)逐項分析各個選項，判斷作答.
【詳解】因公差非零的等差數(shù)列{an}滿足，則有，有， 異號且均不為0，
對于A，，A不正確；
對于B，，而，此時，，B不正確；
對于C，由選項A知，，即，則，于是得，
數(shù)列是遞增數(shù)列，即，，C正確；
對于D，由得，則，于是得，數(shù)列是遞減數(shù)列，即，，D不正確.
故選：C
【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，為其前n項和.若，，則下列判斷錯誤的是（ ）
A．?dāng)?shù)列遞增B．C．?dāng)?shù)列前2020項和最小D．
【答案】C
【分析】利用等差數(shù)列的前n項和公式，等差數(shù)列下角標(biāo)性
和公差判斷數(shù)列單調(diào)性即可求解.
【詳解】因為，，即，
，
所以，.
因為，，
所以，，所以公差，
所以數(shù)列是遞增數(shù)列，其前1010項和最小，所以C錯誤.
故選：C.
題型04等比數(shù)列“1”比較型不等式
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項之積為，并且滿足條件：，，，給出下列結(jié)論：①；② ；③是數(shù)列中的最大項；④使成立的最大自然數(shù)等于4039；其中正確結(jié)論的序號為（ ）
A．①②B．①③C．①③④D．①②③④
【答案】B
【分析】由題意可得，，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)逐一核對四個命題得答案．
【詳解】，，，，．
，故①正確；
，，故②不正確；
，是數(shù)列中的最大項，故③正確；
，，
使成立的最大自然數(shù)等于4038，故④不正確．
正確結(jié)論的序號是①③．
故選：B．
【典例1-2】（2022秋·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)公比為的等比數(shù)列的前項和為，前項積為，且，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．是數(shù)列中的最大值D．?dāng)?shù)列無最大值
【答案】B
【分析】由題分析出，可得出數(shù)列為正項遞減數(shù)列，結(jié)合題意分析出正項數(shù)列前項都大于，而從第項起都小于，進而可判斷出各選項的正誤.
【詳解】當(dāng)時，則，不合乎題意；
當(dāng)時，對任意的，，且有，可得，
可得，此時，與題干不符，不合乎題意；
故，故A錯誤；
對任意的，，且有，可得，
此時，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則，結(jié)合可得，
結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可得
故，，
∴，故B正確；
是數(shù)列 中的最大值,故CD錯誤
故選：B.
【變式1-1】（2023秋·高三課時練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，且滿足條件，，，則下列選項錯誤的是（ ）
A．B．
C．是數(shù)列中的最大項D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，分析可得，，從而有，，則等比數(shù)列為正項的遞減數(shù)列．再結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)逐一判斷即可．
【詳解】等比數(shù)列的公比為，若，則，
由，可得，則數(shù)列各項均為正值，
若，當(dāng)時，由則恒成立，顯然不適合，故，且，，故正確；
因為，所以，故正確；
根據(jù)，可知是數(shù)列中的最大項，故正確；
由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，
所以，故錯誤．
故選：．
【變式1-2】（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·高三齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校校考期末）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項積為，并且滿足條件，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．沒有最大值
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等比數(shù)列通項分析求出公比的范圍，再逐項分析判斷作答.
【詳解】在等比數(shù)列中，由，，得，即有，，
若，則，，此時，與已知條件矛盾，因此，B正確，C錯誤；
顯然數(shù)列是遞減數(shù)列，由，得，則，A錯誤；
由于，當(dāng)，，而，則，當(dāng)時，，則，
因此當(dāng)時，逐漸增大，當(dāng)時，逐漸減小，所以的最大值為，D錯誤.
故選：B
【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，其前n項和為，并且滿足條件，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．的最大值為
【答案】B
【分析】根據(jù)已知條件分情況討論判斷得，進而可判斷其它選項．
【詳解】解：若，，，則與矛盾，
若，，，則與矛盾，
，故B正確；
，則，，故A錯誤；
，單調(diào)遞增，故D錯誤；
，，故C錯誤．
故選：B．
題型05等差數(shù)列“高斯”性質(zhì)
【解題攻略】
【典例1-1】（2021·江蘇·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列滿足，則的最大值為（ ）
A．B．20C．25D．100
【答案】C
【解析】根據(jù)的形式，可以利用三角代換的方法，令
，利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差，用等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)化簡，最后利用輔助角求出最大值即可.
【詳解】因為，所以令，因此公差
，，
因此有，其中
，因為，所以的最大值為25.
故選：C
【典例1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是公差不為零且各項均為正數(shù)的無窮等差數(shù)列，其前項和為.若且，則下列判斷正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】利用等差數(shù)列的求和公式可判斷A選項的正誤；利用作差法結(jié)合等差數(shù)列的通項公式可判斷B選項的正誤；利用結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可判斷C選項的正誤；利用等差數(shù)列的求和公式結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可判斷D選項的正誤.
【詳解】對于A選項，由于，故選項A錯誤；
對于B選項，由于，則
，故選項B錯誤；
對于C選項，由于，故選項C錯誤；
對于D選項，設(shè)，則，從而，
由于，故.
，
故.
，
由此，故選項D正確.
故選：D.
【變式1-1】（2022秋·山東臨沂·高三?？计谥校┮阎炔顢?shù)列的前項和為，若，則（ ）
A．22B．33C．44D．55
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式及等差數(shù)列性質(zhì)求解即可.
【詳解】根據(jù)等差數(shù)列求和公式及等差數(shù)列性質(zhì)可得，
，又，
.故選：B.
【變式1-2】（2023秋·高三課時練習(xí)）在等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前19項之和為（ ）
A．98B．95C．93D．90
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)分析運算.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，
由題意可得：，可得，
所以.
故選：B.
【變式1-3】（2023秋·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)?？迹┰诘炔顢?shù)列中，若，則（ ）
A．30B．40C．45D．60
【答案】C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)可求出結(jié)果.
【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，且，
所以，即，
所以.
故選：C.
.
題型06 等比數(shù)列“高斯”性質(zhì)
【解題攻略】
【典例1-1】（2023秋·山西太原·高三統(tǒng)考）已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A．7B．14C．D．
【答案】B
【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出，再利用等差數(shù)列性質(zhì)及前n項和求解作答.
【詳解】等比數(shù)列中，，而，解得，即，
等差數(shù)列中，.
故選：B
【典例1-2】（2023春·內(nèi)蒙古通遼·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知等比數(shù)列滿足：，則的值為（ ）
A．20B．10C．5D．
【答案】D
【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，對進行化簡后求值即可.
【詳解】在等比數(shù)列中，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：.
所以．
故選：D
【變式1-1】（2023春·河南鄭州·高三河南省實驗中學(xué)?？迹┮阎缺葦?shù)列的各項均為正數(shù)，且，則（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，，再根據(jù)對數(shù)知識可求出結(jié)果.
【詳解】解：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，
又，所以，
所以.
故選：D
【變式1-2】（2022秋·湖南常德·高三臨澧縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知方程的四個根組成以1為首項的等比數(shù)列，則（ ）
A．B．或C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)方程的四個根由小到大依次為、、、，并設(shè)的一根為1，可求出的值以及另外一根，再由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，可求得的值，進而利用等比數(shù)列的性質(zhì)可求得、的值，利用韋達定理可求得的值，由此可求得的值.
【詳解】設(shè)方程的四個根由小到大依次為、、、，
設(shè)的一根為1，則，解得，
解方程，得，，
由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，
且方程的兩根之積為8，方程的兩根之積也為8，，
則等比數(shù)列、、、的公比為，，，
由韋達定理得，因此，，所以.
故選：D.
【變式1-3】（2023秋·甘肅·高三?？茧A段練習(xí)）若等比數(shù)列中的，是方程的兩個根，則等于（ ）
A．B．1011
C．D．1012
【答案】C
【分析】利用韋達定理、等比數(shù)列的性質(zhì)以及對數(shù)的運算性質(zhì)進行求解.
【詳解】因為等比數(shù)列中的，是方程的兩個根，
所以，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)知，
，
因為，于是，
則 = =.故A，B，D錯誤.
故選：C.
題型07等差中項比值型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023春·新疆伊犁·高三?？迹┰O(shè)等差數(shù)列、的前n項和分別是，，若，則=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】方法1，利用等差數(shù)列前n項和公式將，和比較確定n的值，即得答案；
方法2，利用等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合前n項和公式將化為，即得答案.
【詳解】方法1：因為等差數(shù)列，的前項和分別是，,
因為，所以，故選：C
方法2：因為等差數(shù)列，的前項和分別是，．
所以，故選：C．
【典例1-2】（2023春·江西吉安·高三永豐縣永豐中學(xué)?？迹┑炔顢?shù)列和的前項和分別記為與，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)可得，進而代值計算即可得解.
【詳解】因為，所以.
故選：D.
【變式1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和分別為，若對于任意的自然數(shù)，都有，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)將所求化為，再結(jié)合即可得解．
【詳解】數(shù)列{an}，{bn}均為等差數(shù)列，由等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)得
.
故選：B
【變式1-2】（2023春·新疆·高三八一中學(xué)?？迹┤魞蓚€等差數(shù)列，的前n項和滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列得性質(zhì)和前項和公式計算即可.
【詳解】由，
得.
故選：B.
【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列和的前項和分別為，，且，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，得，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列前項和公式即可得解.
【詳解】由，得，
.故選：B.
題型08 等比中項比值型
【典例1-1】已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，則（ ）
A．27B．3C．1或3D．1或27
【答案】A
【分析】根據(jù)，，成等差數(shù)列，由，求得公比即可.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因為，，成等差數(shù)列，
所以，所以，化簡得，
所以（不合題意，舍去），
所以.故選：A.
【典例1-2】已知等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列．則=（ ）
A．4或B．4C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)等差中項的應(yīng)用求解出公比，然后將化簡為關(guān)于的形式，由此求解出結(jié)果.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，因為，，成等差數(shù)列，
所以，所以，且，所以
解得或，為保證有意義，則，所以，
所以，故選：B
【變式1-1】設(shè)等比數(shù)列的前項和為，且，則（ ）
A．B．C．D．

【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件求出等比數(shù)列公比q的關(guān)系，再利用前n項和公式計算得解.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的的公比為q，由得：，解得，
所以
【變式1-2】已知等比數(shù)列的前項和為，且，，成等差數(shù)列，則（ ）
A．B．C．3D．4

【答案】B
【分析】先利用，，成等差數(shù)列解出，再利用求和公式化簡求值即可.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，由，，成等差數(shù)列可得，，化簡得，解得，.故選：B.
【變式1-3】已知等比數(shù)列中，各項都是正數(shù)，且，，成等差數(shù)列，則（ ）
A．B．C．D．

【答案】C
【分析】根據(jù)，，成等差數(shù)列，可得，從而可求出公比，進而可求得答案.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為（），
因為，，成等差數(shù)列，所以，所以，所以，
解得或（舍去），所以
，故選：C
題型09整數(shù)型比值
【解題攻略】
【典例1-1】已知等差數(shù)列的公差不為0，等比數(shù)列的公比，若，且是正整數(shù)，則實數(shù)（ ）
A．4B．2C．D．

【答案】C
【分析】令是正整數(shù)，可得，結(jié)合，即可求的值，進而求.
【詳解】解：由，，令，其中m為正整數(shù)，有，又，
∴，，得，故，
∴，解得或(舍去).故選：C.
【典例1-2】（2023春·江西撫州·高三江西省樂安縣第二中學(xué)?？迹┮阎獌蓚€等差數(shù)列和的前n項和分別為Sn和Tn，且=，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)為（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)及前n項和公式，將用n表示出即可作答.
【詳解】依題意，，又=，
于是得，
因此，要為整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)是正整數(shù)，而，則是32的大于1的約數(shù)，
又32的非1的正約數(shù)有2，4，8，16，32五個，則n的值有1，3，7，15，31五個，
所以使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)為5.
故選：B
【變式1-1】（2022春·安徽安慶·高三安慶市第七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列和等差數(shù)列的前n項和分別為，且，則使為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是（ ）
A．2B．6C．4D．5
【答案】C
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列前項和公式化簡，進而求得符合題意的正整數(shù)的個數(shù).
【詳解】依題意，，
，
所以為整數(shù)的正整數(shù)為，共個.故選：C
【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，均為等差數(shù)列，其前項和分別為，，且，則使恒成立的實數(shù)的最大值為（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式，結(jié)合已知可得，然后求出的最小值可得答案.
【詳解】由題意得，，
因為，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以使恒成立的實數(shù)的最大值是.故選：A.
題型10 等差等比函數(shù)性質(zhì)：恒成立求參
【典例1-1】（2020·江蘇·高三專題練習(xí)）已知是公比不為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足：，，成等比數(shù)列，，若數(shù)列的前項和對任意的恒成立，則的最大值為
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由已知條件得數(shù)列的通項公式，然后利用裂項相消法求數(shù)列的前n項和，利用數(shù)列的單調(diào)性得到前n項和的最小值，從而得到答案.
【詳解】由，，成等比數(shù)列得，又是公比不為1的等比數(shù)列，
設(shè)公比為q,則，整理得 ，，
數(shù)列的前項和，
數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則當(dāng)n=1時取到最小值為，
可得，即的最大值為，故選C
【典例1-2】（2020·全國·高三專題練習(xí)）已知為遞增的等差數(shù)列，且構(gòu)成等比數(shù)列.若，數(shù)列的前項和恒成立，則的最小值為
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】分析：求出等差數(shù)列的公差和首項，得通項公式，由裂項相消法求得后可求得的最小值.
詳解：設(shè)數(shù)列的公差為，由題意，則，（舍去），∴，，
∴
，
易知是遞增數(shù)列，且，∴，即的最小值為.
故選D.
【變式1-1】（2021秋·山西朔州·高三校考階段練習(xí)）等比數(shù)列的前項和（為常數(shù)），若恒成立，則實數(shù)的最大值是
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】，，
，所以，得，
所以，得，
所以時，．故選C．
點睛：本題考查數(shù)列與對勾函數(shù)的綜合應(yīng)用．首先由題目已知的等比數(shù)列的條件可以求出通項公式和求和公式，得不等式，分離參數(shù)，，
由對勾函數(shù)的性質(zhì)，得．
【變式1-2】（2023秋·遼寧·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，.設(shè)，若對于任意的，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為
【答案】
【分析】由，可得，進而得到，結(jié)合，分和分類討論，確定數(shù)列的單調(diào)性，求出最大值，進而得解.
【詳解】由數(shù)列滿足、得：是首項為，公比為的等比數(shù)列，
∴，∴，
∴，
當(dāng)時，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，
當(dāng)時，，∴，
當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞增，當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞減，
則當(dāng)或時，，
而任意的，恒成立，則，
∴實數(shù)的取值范圍為.故答案為：
【變式1-3】（2023秋·甘肅定西·高三甘肅省臨洮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列中，，，若對于任意的，恒成立，則實數(shù)的最小值為 ．
【答案】
【分析】分析可得數(shù)列是等比數(shù)列，求得，由已知可得出，令，分析數(shù)列的單調(diào)性，求出數(shù)列最大項的值，即可得出實數(shù)的最小值.
【詳解】由有，且，
故數(shù)列為首項為，公比為的等比數(shù)列，可得，
不等式可化為，令，
當(dāng)時；當(dāng)時，．
故有當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，即，
此時，數(shù)列單調(diào)遞減，
綜上所述，，可得實數(shù)的最小值為．故答案為：.
題型11等差等比函數(shù)性質(zhì)：奇偶型討論
【解題攻略】
【典例1-1】數(shù)列滿足，則的80項和為________.

【答案】
【詳解】試題分析：因為當(dāng)為奇數(shù)時，所以，因此，此數(shù)列每四項構(gòu)成首項為，公差為的等差數(shù)列，的項和為，故答案為.
【典例1-2】數(shù)列{}中，，前和為，則為（ ）
A．-12B．16C．-10D．12

【答案】A
【分析】根據(jù)，利用并項求和法求解.
【詳解】解：因為，
所以，
故選：A
【變式1-1】已知數(shù)列滿足，令，設(shè)的前項和為，則（ ） .
A．5049B．5050C．5051D．5052

【答案】B
【分析】先計算出，得到為等差數(shù)列，按照等差數(shù)列的前項和公式求解即可.
【詳解】，，，
所以是以3為首項，4為公差的等差數(shù)列，.
故選：B.
【變式1-2】數(shù)列滿足，則數(shù)列的前48項和為（ ）
A．1006B．1176C．1228D．2368

【答案】B
【分析】根據(jù)題意，可知，分別列出各項，再整理得出，，，，，，，可知，相鄰的奇數(shù)項之和為2，相鄰的偶數(shù)項之和為等差數(shù)列，首項為8，公差為16，利用分組求和法，即可求出的前48項和.
【詳解】解：由題可知，，即：，則有：，，，，，，，，，，.
所以，，，，，，，，
可知，相鄰的奇數(shù)項之和為2，相鄰的偶數(shù)項之和為等差數(shù)列，首項為8，公差為16，
設(shè)數(shù)列的前48項和為，則，
，所以數(shù)列的前48項和為：1176.故選：B.
.
題型12等差等比函數(shù)性質(zhì)：三角函數(shù)型
【典例1-1】（2021上·河南商丘·高三睢縣高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的通項公式為，其前項和為，則（ ）
A．B．C．180D．240
【答案】D
【分析】分別取，，和，，可驗證出，利用周期性可驗算得到結(jié)果.
【詳解】當(dāng)，時，，；
當(dāng)，時，，；
當(dāng)，時，，；
當(dāng)，時，，.
，.故選：D
【典例1-2】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列滿足，.若對恒成立，則正實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，則問題轉(zhuǎn)化為，，且，再分別在，，，進行分類討論即可.
【詳解】令，則問題轉(zhuǎn)化為，，且.
當(dāng)時，則，不符合題意；
當(dāng)時，首先，解得.
當(dāng)時，用數(shù)學(xué)歸納法可得，其中滿足，
所以.
令，，則，
令，得，所以存在使得，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，所以先增后減.
所以.
所以.
當(dāng)時，設(shè)滿足，則存在，
此時，不符合題意.
綜上，正實數(shù)的取值范圍是.故選：B.
【變式1-1】（2021上·河南南陽·高三南陽中學(xué)校考階段練習(xí)）數(shù)列的通項，其前項和為，則S18為（ ）
A．173B．174C．175D．176
【答案】B
【分析】化簡可得，討論取不同值時的通項公式，并項求和.
【詳解】
當(dāng) 時，；時，；
時，

所以 故選：B
【變式1-2】（2020下·四川成都·高三樹德中學(xué)校考）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對任意n∈N*總有2Sn＝an2+n，且an＜an+1.若對任意n∈N*，θ∈R，不等式λ（n+2）恒成立，求實數(shù)λ的最小值
A．1B．2C．1D．
【答案】B
【分析】由得數(shù)列的遞推關(guān)系，確定數(shù)列是等差數(shù)列，從而得其通項公式，不等式化為λ，不等式右邊分子平方展開后應(yīng)用基本不等式可求得其最大值，從而得的最小值．
【詳解】由2Sn＝an2+n，①
可知，當(dāng)n≥2時，2Sn﹣1＝an﹣12+(n﹣1)，②
①﹣②，得2an＝an2﹣an﹣12+1，
故(an﹣1)2＝an﹣12，
于是an﹣1＝an﹣1或an﹣1＝﹣an﹣1，
若an﹣1＝﹣an﹣1，則an+an﹣1＝1，不合題意；
于是an﹣1＝an﹣1，即an﹣an﹣1＝1，
即數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列，又a1＝1，
∴an＝1+(n﹣1)×1＝n.
故an＝n.
依題意知?n∈N*，λ 都成立，
然后通過基本不等式得，

2，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取“＝”，
所以 的最大值為2，所以λ≥2，所以λ的最小值為2，故選：B.
【變式1-3】（2022·浙江·浙江省江山中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知依次組成嚴格遞增的等差數(shù)列，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．依次可組成等差數(shù)列B．依次可組成等差數(shù)列
C．依次可組成等差數(shù)列D．依次可組成等差數(shù)列
【答案】B
【分析】取，即可判斷A；利用反證法，假設(shè)依次可組成等差數(shù)列，則有，，兩式相加，整理即可判斷B；取，從而可判斷CD.
【詳解】解：對于A，當(dāng)時，
此時依次組成嚴格遞增的等差數(shù)列，
則依次組成等差數(shù)列，故A正確；
對于B，假設(shè)依次可組成等差數(shù)列，則有，又因，
兩式平方相加得，則，
故，所以，所以，與題意矛盾，
所以依次不可能組成等差數(shù)列，故B錯誤；
對于C，當(dāng)時，若，則為等差數(shù)列，故C正確；
對于D，當(dāng)時，若，則為等差數(shù)列，故D正確.故選：B.
題型13等差等比插入數(shù)型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·江西南昌·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的通項公式為，保持數(shù)列中各項順序不變，對任意的，在數(shù)列的與項之間，都插入個相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前n項的和為，則（ ）
A．4056B．4096C．8152D．8192
【答案】C
【分析】插入組共個，可知前面插入12組數(shù)，最后面插入9個，從而可得插入的數(shù)之和為，又數(shù)列的前13項和，可得
【詳解】插入組共個，∵，∴前面插入12組數(shù)，最后面插入9個．
，
∵，
∴
，又數(shù)列的前13項和為
，
故選：C．
【典例1-2】（2022上·浙江·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）通過以下操作得到一系列數(shù)列：第1次，在2，3之間插入2與3的積6，得到數(shù)列2，6，3；第2次，在2，6，3每兩個相鄰數(shù)之間插入它們的積，得到數(shù)列2，12，6，18，3；類似地，第3次操作后，得到數(shù)列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述這樣操作11次后，得到的數(shù)列記為，則的值是（ ）
A．6B．12C．18D．108
【答案】A
【分析】設(shè)數(shù)列經(jīng)過第次拓展后的項數(shù)為，因為數(shù)列每一次拓展是在原數(shù)列的相鄰兩項中增加一項，則經(jīng)過第次拓展后增加的項數(shù)為，從而可得，從而可求出，從而可知經(jīng)過11次拓展后在與6之間增加的數(shù)為，由此可得出經(jīng)過11次拓展后6所在的位置，即可得出答案.
【詳解】解：設(shè)數(shù)列經(jīng)過第次拓展后的項數(shù)為，因為數(shù)列每一次拓展是在原數(shù)列的相鄰兩項中增加一項，則經(jīng)過第次拓展后增加的項數(shù)為，所以，
即，即，
所以數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，
是以，所以，
則經(jīng)過11次拓展后在與6之間增加的數(shù)為，
所以經(jīng)過11次拓展后6所在的位置為第，
所以.故選：A.
【變式1-1】（2019下·貴州遵義·高三統(tǒng)考）在1和19之間插入個數(shù)，使這個數(shù)成等差數(shù)列，若這個數(shù)中第一個為，第個為，當(dāng)取最小值時，的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】設(shè)等差數(shù)列公差為,可得,再利用基本不等式求最值,從而求出答案.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為,則,從而,
此時,故,
所以,
即,當(dāng)且僅當(dāng),即時取“=”,
又,解得,
所以,所以,故選:B.
【變式1-2】（2018·全國·高三競賽）已知、是不相等的正數(shù)，在、之間插入兩組數(shù)，，…，，，，…，，使，，，…，，成等差數(shù)列，，，，…，，成等比數(shù)列．則下列不等式
（1），
（2），
（3），
（4）
中，為真命題的是（ ）．
A．（1）、（3）B．（1）、（4）
C．（2）、（3）D．（2）、（4）
【答案】B
【詳解】解法1：由等差數(shù)列知，有
．
可見（1）真，（2）假．
又由等比數(shù)列知，有
．
可見（3）假，（4）真．
綜上得（1）、（4）真．
解法2：取，，，可驗算（2）、（3）不成立，否定A、C、D，從而B真．
【變式1-3】（2021下·高三課時練習(xí)）在數(shù)列、、、、的每相鄰兩項中插入個數(shù)，使它們與原數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列，則新數(shù)列的第項（ ）
A．不是原數(shù)列的項B．是原數(shù)列的第項
C．是原數(shù)列的第項D．是原數(shù)列的第項
【答案】C
【分析】設(shè)，分析可知數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公差，可求得數(shù)列的通項公式，令，解之即可得出結(jié)論.
【詳解】設(shè)數(shù)列為，則，，，，
設(shè)，則，，，，
由題意可知，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，故，
令，解得，
因此，新數(shù)列的第項為原數(shù)列的第項，
故選：C.
題型14等差等比分段型數(shù)列
【典例1-1】已知數(shù)列，，數(shù)列滿足.若，且對任意，恒成立，則可能為（ ）
A．B．C．D．

【答案】A
【分析】將對任意，恒成立，轉(zhuǎn)化為，對任意，恒成立，逐項驗證.
【詳解】因為對任意，恒成立，
所以，對任意，恒成立，
A. 若，則，成立，故正確；
B. 若，則，當(dāng)時， 不成立，故錯誤；
C. 若，則，時，不成立，故錯誤；
D. 若，則，時，不成立，故錯誤；
故選：A
【典例1-2】數(shù)列滿足，，若為等比數(shù)列，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分別討論兩種條件下數(shù)列的通項公式，在根據(jù)確定的數(shù)列通項公式建立不等式求解參數(shù)的取值范圍.
【詳解】根據(jù)題意，時，，即，
此時，，
，，從而有，
此時，與為等比數(shù)列矛盾
由，得，
所以，當(dāng)時，恒成立，即時，恒成立
即對恒成立，所以，設(shè)，則
而，當(dāng)時，
解得，，所以時有
即，當(dāng)時，即
所以當(dāng)時 所以，選項D正確，選項ABC錯誤
故選：D.
【變式1-1】數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列中，（m是正整數(shù)），若，則m所有可能的取值集合是（ ）
A．B．C．D．

【答案】D
【分析】首先分析前6項均為偶數(shù)的情況求，排除B、C，再從A中選判斷是否成立，即可確定正確答案.
【詳解】由題設(shè)，若前6項均為偶數(shù)，則是公比為，首項為的等比數(shù)列，故，即為一個可能值，排除B、C；
A：當(dāng)，則，，，，，，即不可能為3，排除；
故選：D.
【變式1-2】已知數(shù)列的通項公式為，是數(shù)列的前n項和，若，使，則（ ）
A．1B．2C．1或3D．2或3
【答案】D
【分析】由，可得為中的一項，結(jié)合只能為，，之一，分類令等于，，，即可求解.
【詳解】由，可得為中的一項，
因為
，
于是，
因為的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別遞增，且，，，，
所以要使為中的某一項，只能為，，之一，
若，則，無解；
若，則，可得，所以；
若，則，可得，所以，
綜上，或.故選：D.
【變式1-3】已知數(shù)列滿足，且，則中整數(shù)項的個數(shù)為（ ）
A．20B．21C．22D．23
【答案】C
【分析】由題設(shè)得，即是等比數(shù)列，進而寫出通項公式，根據(jù)所得通項公式討論確定中整數(shù)項的個數(shù).
【詳解】由題意得：，，
∴，
若顯然與矛盾，故是公比為的等比數(shù)列，
∴，可得，
∴，
綜上，且.
當(dāng)為奇數(shù)且時，為整數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)且時，為整數(shù)，
∴中整數(shù)項的個數(shù)為22.故選：C.
高考練場 高考練場
1.（2022·全國·高三專題練習(xí)）在各項均為正數(shù)的等差數(shù)列中，為其前項和，，則的最小值為（ ）
A．9B．C．D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和前項和公式求得，然后由“1”的代換應(yīng)用基本不等式求得最小值．
【詳解】由題意，∴，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．
故選：B．
2.設(shè)是等比數(shù)列，則“對于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴格遞增數(shù)列”（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據(jù)嚴格遞增數(shù)列定義可判斷必要性，分類討論可判斷充分性.
【詳解】若是嚴格遞增數(shù)列，顯然，所以“對于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴格遞增數(shù)列”必要條件；
對任意的正整數(shù)n都成立，所以中不可能同時含正項和負項，
，即，或，即，
當(dāng)時，有，即，是嚴格遞增數(shù)列，
當(dāng)時，有，即，是嚴格遞增數(shù)列，
所以“對于任意的正整數(shù)n，都有”是“是嚴格遞增數(shù)列”充分條件
故選：C
3.（2018春·江西撫州·高三臨川一中校考）設(shè)等差數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項和記為，則
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【詳解】構(gòu)造函數(shù) ，則 是奇函數(shù)，且在 上遞增， ， ，所以 ，由 ，得 ，故選C.
4.（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并滿足條件，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．是數(shù)列中的最大值
C．D．?dāng)?shù)列無最大值
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質(zhì)分析公比的范圍，由此分析選項可得答案．
【詳解】解：等比數(shù)列的公比為，則，由，則有，必有，
又由，即，又，則有或，
又當(dāng)時，可得，由，則與矛盾
所以，則有，由此分析選項：
對于A，，故，故A錯誤；
對于B，等比數(shù)列中，，，所以數(shù)列單調(diào)遞減，又因為，所以前項積為中，是數(shù)列中的最大項，故B錯誤；
對于C，等比數(shù)列中，則，則，故C正確；
對于D，由B的結(jié)論知是數(shù)列中的最大項，故D錯誤.
故選：C.
5.（2023春·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，，則（ ）
A．120B．96C．72D．48
【答案】A
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)計算可得結(jié)果.
【詳解】因為是等差數(shù)列，，
所以，即，
所以.
故選：A
6.（2023春·河南鄭州·高三?？迹┤?，，，4成等差數(shù)列；1，，，，4成等比數(shù)列，則等于（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)1，，，4成等差數(shù)列，求得，再根據(jù)1，，，，4成等比數(shù)列，得到，求解.
【詳解】解：因為1，，，4成等差數(shù)列，所以，
又因為1，，，，4成等比數(shù)列，
所以，，所以，
所以，故選：B
7.（2023·全國·高三專題練習(xí)）正項等比數(shù)列中的項，是函數(shù)的極值點，則（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可得，是的兩個根，得到，
利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得，根據(jù)對數(shù)運算求得答案.
【詳解】依題意，是的兩個根，
∴，又是正項等比數(shù)列，所以，
∴,故選：C
8.（2023春·黑龍江哈爾濱·高三哈九中?？迹┑炔顢?shù)列的前項和分別為，且，則（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列的求和公式即得.
【詳解】∵，
∴由等差數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列的求和公式可得，
.故選：B.
9.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，均為等差數(shù)列，其前項和分別為，，且若對任意的恒成立，則實數(shù)的最大值為（ ）
A．B．C．-2D．2
【答案】C
【解析】由已知結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)可得，，然后結(jié)合單調(diào)性可求取得最大值，從而可求.
【詳解】因為數(shù)列，均為等差數(shù)列，且，
所以單調(diào)遞減，
當(dāng)時，取得最大值為， 所以，
若對任意的恒成立，所以，故實數(shù)的最大值為-2.故選：C
10.（2017秋·安徽六安·高三六安一中階段練習(xí)）已知兩個等差數(shù)列和的前項和分別為和，且， ，為整數(shù)的正整數(shù)的取值集合為 ．
【答案】 9
【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)與前項和公式可得，然后利用整數(shù)知識可得的取值．
【詳解】。
，它為整數(shù)，
即（舍去）或或或或n,從而n集合為
故為整數(shù)的正整數(shù)的取值集合為．
故答案為：9；．
11.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列滿足：，.數(shù)列滿足，其前項和為，若恒成立，則的最小值為 .
【答案】
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，求出、的值，可得出數(shù)列的通項公式，可求出的通項公式，求出，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值，即可得出實數(shù)的最小值.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，
所以，，解得，則，
所以，，
，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，
所以，，則，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，；當(dāng)時，.又因為，故的最大值為.
因此，對任意的恒成立，所以，，故的最小值為.故答案為：.
12.數(shù)列滿足，則數(shù)列的前60項和等于（ ）
A．1830B．1820C．1810D．1800
【答案】D
【分析】當(dāng)為正奇數(shù)時，可推出，當(dāng)為正偶數(shù)時，可推出，將該數(shù)列的前項和表示為，結(jié)合前面的規(guī)律可計算出數(shù)列的前項和.
【詳解】當(dāng)為正奇數(shù)時，由題意可得，，
兩式相加得；
當(dāng)為正偶數(shù)時，由題意可得，，
兩式相減得.
因此，數(shù)列的前項和為.故選：D.
13.（2020·上海徐匯·統(tǒng)考二模）若數(shù)列的通項公式分別為，，且對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由可得,分別討論為奇數(shù)和為偶數(shù)的情況,即可求解.
【詳解】因為,則,即,
因為對任意恒成立,
當(dāng)為奇數(shù)時,,則,所以；
當(dāng)為偶數(shù)時,,則,所以,
故,故選:BZ
14.（2016上·湖南長沙·高三周測）已知函數(shù)，其中，對任意的都成立，在1和兩數(shù)間插入2015個數(shù)，使之與1，構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)插入的這2015個數(shù)的乘積為，則
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】試題分析：因為函數(shù)，對任意的都成立，所以，解得或，又因為，所以，在和兩數(shù)間插入共個數(shù)，使之與，構(gòu)成等比數(shù)列，，，兩式相乘，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得，，故選C.
15.數(shù)列的前項和，首項為1．對于任意正整數(shù)，都有，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題設(shè)遞推關(guān)系，結(jié)合等差、等比數(shù)列的定義判斷在、的性質(zhì)，再應(yīng)用分組求和，及等差、等比數(shù)列前n項和公式求和.
【詳解】由題設(shè)時，是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，故且，
所以，則，
故時，是首項為14，公差為-2的等差數(shù)列，故且，
所以.
故選：C．
判斷數(shù)列的單調(diào)性，常用的方法有作差比較法、作商比較法和函數(shù)圖象法：
（1）作差比較法：當(dāng)時，遞增；當(dāng)時，遞減.
（2）作商比較法：若，則當(dāng)時，遞增；當(dāng)時，遞減.
（3）函數(shù)圖象法：設(shè)，則可用函數(shù)的圖象來研究數(shù)列的單調(diào)性
函數(shù)圖象法：求出數(shù)列的前n項和，利用函數(shù)的圖象性質(zhì)來研究的最大最小值問題.
鄰項變號法：
若當(dāng)時，，當(dāng)時，，則數(shù)列中，最大；
若當(dāng)時，，當(dāng)時，，則數(shù)列中，最小.
等比數(shù)列“平衡點”型不等式，主要從以下幾個性質(zhì)思考：
1.若p＋q＝m＋n，則ap·aq＝am·an，特別地，若p＋q＝2k，則ap·aq＝ak2
2.如果等比數(shù)列是正項遞增數(shù)列，則若p＋q>m＋n，則ap·aq>am·an.
.一般地，如果為等差數(shù)列，為其前項和，則有性質(zhì)：
（1）若，則；
（2） 且 ；
（3）且為等差數(shù)列；
（4） 為等差數(shù)列.
等比數(shù)列“高斯技巧”
（1)“高斯”技巧：若p＋q＝m＋n，則ap·aq＝am·an，特別地，若p＋q＝2k，則ap·aq＝ak2；
(2)“跳項”等比：數(shù)列an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.
(3)“和項”等比：數(shù)列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為__qn__.
雙數(shù)列等差中項比值轉(zhuǎn)化型
、均為等差數(shù)列且其前項和為、則
整數(shù)型比值，可以通過分離常數(shù)，因式分解，整除等知識點來構(gòu)造求解
奇偶型討論：
1.奇偶項正負相間型求和，可以兩項結(jié)合構(gòu)成“常數(shù)數(shù)列”。
2.如果需要討論奇偶，一般情況下，先求偶，再求奇。求奇時候，直接代入偶數(shù)項公式，再加上最后的奇數(shù)項通項。
插入數(shù)型
1.插入數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列
在和之間插入個數(shù)，使這個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，可通過構(gòu)造新數(shù)列來求解
個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，公差記為，所以：
插入數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列
在和之間插入個數(shù)，使這個數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，可通過構(gòu)造新數(shù)列來求解
個數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，公差記為，所以：
插入數(shù)混合型
混合型插入數(shù)列，其突破口在于：在插入這些數(shù)中，數(shù)列提供了多少項，其余都是插入進來的。

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