TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc25514" 題型01 “奔馳定理” PAGEREF _Tc25514 \h 1
\l "_Tc4073" 題型02 極化恒等式 PAGEREF _Tc4073 \h 3
\l "_Tc16070" 題型03極化恒等式求最值范圍 PAGEREF _Tc16070 \h 4
\l "_Tc16589" .題型04等和線題型：基礎(chǔ)5
\l "_Tc21137" 題型05等和線題型：型5
\l "_Tc19115" 題型06 等和線題型：型6
\l "_Tc15194" 題型07 等和線題型：分?jǐn)?shù)型7
\l "_Tc31433" 題型08 等和線題型：與數(shù)列8
\l "_Tc29369" 題型09奔馳定理與重心型軌跡9
\l "_Tc26651" 題型10 三角形四心向量：內(nèi)心9
\l "_Tc12431" 題型11 三角形四心向量：外心 PAGEREF _Tc12431 \h 10
\l "_Tc23768" 題型12 三角形四心向量：重心 PAGEREF _Tc23768 \h 10
\l "_Tc2239" 題型13三角形四心向量：垂心 PAGEREF _Tc2239 \h 11
\l "_Tc28084" 題型14向量點(diǎn)域綜合 PAGEREF _Tc28084 \h 12
\l "_Tc21512" 高考練場 PAGEREF _Tc21512 \h 13
熱點(diǎn)題型歸納
題型01 “奔馳定理”
【解題攻略】
【典例1-1】（2022春·全國·高三模擬）奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則.“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.設(shè)為三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：，則（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】已知點(diǎn)P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，，則△APB，△APC，△BPC的面積之比為（ ）
A．B．C．D．
四川省三臺(tái)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三4月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題
【變式1-1】如圖所示，設(shè)為所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，并且，則與的面積之比等于（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】已知是等邊三角形，且,那么四邊形ABCD的面積為( )
A．B．C．D．
【變式1-3】是所在平面上的一點(diǎn),滿足,若,則的面積為（ ）
A．2B．3C．4D．8
題型02 極化恒等式
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的四分之一.即如圖所示：，我們稱為極化恒等式.在△中，是中點(diǎn)，，，則（ ）
A．32B．-32C．16D．-16
【典例1-2】如圖,在中,已知,點(diǎn)分別在邊上,
且,若為的中點(diǎn),則的值為________
【變式1-1】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝1，AD＝2，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，AD邊上的中點(diǎn)，則eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(FG,\s\up6(→))＋eq \(GH,\s\up6(→))·eq \(HE,\s\up6(→))＝________．
【變式1-2】（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測）在中，，，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2023·安徽合肥·合肥市第七中學(xué)?？既＃┮赃呴L為2的等邊三角形ABC每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成曲邊三角形，已知P為弧AC上的一點(diǎn)，且，則的值為（ ）

A．B．
C．D．
題型03極化恒等式求最值范圍
【解題攻略】
【典例1-1】如圖,在平面四邊形中,,則的最大值為____
【典例1-2】已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為圓的內(nèi)接正三角形，則的最小值為_________．
【變式1-1】在銳角中，已知，則的取值范圍是____________．
【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線與圓相切于點(diǎn)，設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為______．
【變式1-3】半徑為4的圓上有三點(diǎn)，滿足，點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
題型04等和線題型：基礎(chǔ)
【解題攻略】
【典例1-1】.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P是以C為圓心且與BD相切的圓上，若，則的最大值為（ ）
A.3 B. C. D.2
【典例1-2】已知在內(nèi)，且，，則____．
【變式1-1】在△ABC中，∠BAC=，以AB為一邊向△ABC外作等邊三角形ABD，∠BCD=2∠ACD，則____________ ．
【變式1-2】已知在中，，，，P為BC上任意一點(diǎn)（含B，C），以P為圓心，1為半徑作圓，Q為圓上任意一點(diǎn)，設(shè)，則的最大值為
A．B．C．D．
【變式1-3】如圖，A、B、C是圓O上的三點(diǎn)，CO的延長線與線段BA的延長線交于圓O外一點(diǎn)D，若，則λ+μ的取值范圍是
A．(-∞,-1)B．(-1,0)C．(0,1)D．(1,+∞)
題型05等和線題型：型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）O是的外心，，，則（ ）
A．B．C．D．或
【典例1-2】在矩形ABCD中，，，P為矩形內(nèi)一點(diǎn)，且若，則的最大值為
A．B．C．D．
【變式1-1】（2022春·江蘇無錫·高三江蘇省天一中學(xué)?？迹┰谥?，，，，為的外心，若，、，則（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正三角形的邊長為2，D是邊的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，且，其中，則的最大值為 ．
題型06 等和線題型：型
【解題攻略】
【典例1-1】如圖，在直角梯形中，，∥，，，圖中圓弧所在圓的圓心為點(diǎn)C，半徑為，且點(diǎn)P在圖中陰影部分（包括邊界）運(yùn)動(dòng)．若，其中，則的取值范圍是
A．B．
C．D．
【典例1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知銳角滿足，且O為的外接圓圓心，若，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2022·四川·校聯(lián)考三模）在直角梯形中，，，，，分別為，的中點(diǎn)，以為圓心，為半徑的半圓分別交及其延長線于點(diǎn)，，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)（如圖）.若，其中，，則的取值范圍是
A．B．C．D．
【變式1-2】（2019·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？家荒＃┰谥?，點(diǎn)滿足.若存在點(diǎn)，使得，且，則的取值范圍是 ．
【變式1-3】（2022秋·山東青島·高三統(tǒng)考）將兩個(gè)直角三角形如圖拼在一起，當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，若，當(dāng)取最大值時(shí)，的值是 ．
題型07 等和線題型：分?jǐn)?shù)型
【解題攻略】
【典例1-1】（2021·遼寧大連·大連八中?？家荒＃┰谥校阎?，，，為線段上的一點(diǎn)，且，則的最小值為
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023春·江蘇南通·高三江蘇省南通中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，已知，，，為線段上的一點(diǎn)，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，且，點(diǎn)F為線段BD上的一動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），若，則的取值范圍為 ．
【變式1-2】（2023春·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高三?？迹┮阎钦龑?shí)數(shù)，的三邊長為，點(diǎn)是邊(與點(diǎn)不重合)上任一點(diǎn)，且．若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知為等邊三角形，點(diǎn)G是的重心．過點(diǎn)G的直線l與線段AB交于點(diǎn)D，與線段AC交于點(diǎn)E．設(shè)，，則 ；與周長之比的取值范圍為 ．
題型08 等和線題型：與數(shù)列
【典例1-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，平面四邊形中，點(diǎn)D為動(dòng)點(diǎn)，的面積是面積的3倍，數(shù)列滿足，，當(dāng)時(shí)，恒有，則數(shù)列的前6項(xiàng)和為（ ）．
A．2020B．1818C．911D．912
【典例1-2】（2022秋·安徽合肥·高三階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)為的邊上一點(diǎn)，，為邊上的一列點(diǎn)，滿足，若，則（ ）
A．B．
C．D．
【變式1-1】．（2022秋·河北石家莊·高三正定中學(xué)階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)為 的邊 上一點(diǎn)， ， 為邊 上的一列點(diǎn)，滿足 ，其中實(shí)數(shù)列 中， ， ，則
A．46B．30C．242D．161
【變式1-2】（2023秋·遼寧沈陽·高三新民市高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知四邊形ABCD，為邊BC邊上一點(diǎn)，連接交BD于，點(diǎn)滿足，其中是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，，則的前n項(xiàng) .

題型09奔馳定理與重心型軌跡
【解題攻略】
【典例1-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知是平面上的4個(gè)定點(diǎn)，不共線，若點(diǎn)滿足，其中，則點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的（ ）
A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心
【典例1-2】（2022春·重慶·高三統(tǒng)考）已知是三角形所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)軌跡一定通過三角形的
A．重心B．外心C．垂心D．內(nèi)心
【變式1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足＝[(1－λ) ＋(1－λ) ＋(1＋2λ)·]，λ∈R，則點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過（ ）
A．△ABC的內(nèi)心B．△ABC的垂心
C．△ABC的重心D．AB邊的外心
【變式1-2】（2023春·全國·高三專題練習(xí)）已知，，是不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若，，則點(diǎn)的軌跡一定過的（ ）
A．外心B．重心C．垂心D．內(nèi)心
題型10 三角形四心向量：內(nèi)心
【解題攻略】
【典例1-1】（2020春·山西運(yùn)城·高三臨猗縣臨晉中學(xué)?？奸_學(xué)考試）為所在平面上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足, ,則射線過的
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
【典例1-2】（2022秋·重慶·高三重慶一中校考）已知為的內(nèi)心，，若，則的最大值為
A．B．C．D．
【變式1-1】（2021春·上海徐匯·高三上海市南洋模范中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．若是的重心，則B．若是的內(nèi)心，則
C．若是的垂心，則D．若是的外心，則
【變式1-2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為的內(nèi)心，，，，則（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，若，則點(diǎn)是的（ ）
A．重心B．內(nèi)心C．垂心D．外心
題型11 三角形四心向量：外心
【解題攻略】
【典例1-1】（2021春·湖北武漢·高三統(tǒng)考）中，，點(diǎn)為的外心，若，則實(shí)數(shù) ．
【典例1-2】（2023春·廣東珠?！じ呷y(tǒng)考）在中，，，為的外心，，，分別為，，的中點(diǎn)，且，則 .
【變式1-1】（2023春·湖北武漢·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)的外心為，且滿足，，則的面積為 .
【變式1-2】（2023春·山東青島·高三統(tǒng)考）記的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，且，，若是的外心，則 ．
【變式1-3】（2023春·廣東汕頭·高三金山中學(xué)?？家阎獮榈耐庑?，若 ，則最小值 .
題型12 三角形四心向量：重心
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a=5sin（B），c=5且O為△ABC的外心，G為△ABC的重心，則OG的最小值為
A．1B．C．1D．
【典例1-2】（2022春·陜西西安·高三長安一中校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)為的重心，，，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2020春·天津·高三天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知中，為的重心，則
A．B．C．D．
【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）過的重心作直線，已知與、的交點(diǎn)分別為、，，若，則實(shí)數(shù)的值為
A．或B． 或
C．或D．或
【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是的重心，，若，，則的最小值是
A．B．C．D．
題型13三角形四心向量：垂心
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，若、、的面積分別記為、、，則．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知是的垂心，且，則( )
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則直線必經(jīng)過的
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
【變式1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為的外心，若，則點(diǎn)是的（ ）
A．重心B．內(nèi)心C．垂心D．外心
【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知H為的垂心，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）在中，D為邊BC上的一點(diǎn)，H為的垂心，，則（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
題型14向量點(diǎn)域綜合
【典例1-1】如圖，在中，點(diǎn)是線段及、的延長線所圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）的任意一點(diǎn)，且，則在直角坐標(biāo)平面上，實(shí)數(shù)對(duì)所表示的區(qū)域在直線的右下側(cè)部分的面積是
A． B． C．4 D．5
【典例1-2】如圖，A、B分別是射線上的兩點(diǎn)，給出下列向量：①;②；③；④；⑤這些向量中以O(shè)為起點(diǎn)，終點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)的是________（填序號(hào)）．
【變式1-1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)為正八邊形的中心，軸，若坐標(biāo)軸上的點(diǎn)（異于點(diǎn)）滿足（其中，且、），則滿足以上條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】如圖，OM//AB，點(diǎn)P在由射線OM、線段OB及AB的延長線組成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，且，當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是________
【變式1-3】在中，，，D是內(nèi)切圓圓心，設(shè)P是外的三角形區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)所在區(qū)域的面積為______.
高考練場
1.已知等邊邊長為4，為其內(nèi)一點(diǎn)，且，則的面積為 （ ）
A．B．C．D．
2.如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)．eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝4，eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))＝－1，則eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))的值為________．
3.設(shè)點(diǎn)P為正三角形△ABC的邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，sin∠PAC的值為____．
4.如圖所示，矩形ABCD的邊AB=4，AD=2，以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑的圓與CD交于點(diǎn)E，若點(diǎn)P是圓弧(含端點(diǎn)B、E)上的一點(diǎn)，則的取值范圍是 .
5.直角梯形中，，，是邊長為的正三角形，是平面上的動(dòng)點(diǎn)，，設(shè)（，），則的最大值為__________．
6.（2020·江蘇南通·江蘇省如皋中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知為銳角三角形的外心，若，，則的最大值 .
7.（2022秋·吉林松原·高三統(tǒng)考）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)．點(diǎn)P在以A為圓心，AD為半徑的圓弧上變動(dòng)（如圖所示），若=λ+μ，其中λ，μ∈R．則2λ﹣μ的取值范圍是 ．
8.（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在邊長為的正方形中，，分別是邊，上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)，，則的最大值是 ．
9.（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在中，D是AC邊上一點(diǎn)，且，為直線AB上一點(diǎn)列，滿足：，且，則數(shù)列的前n項(xiàng)和 ．
10.（2023·全國·高三專題練習(xí)）過內(nèi)一點(diǎn)任作一條直線，再分別過頂點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，若恒成立，則點(diǎn)是的
A．垂心B．重心C．外心D．內(nèi)心
11.（北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）在中，，I為的內(nèi)心，若，則的值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
12.（2023春·云南大理·高三統(tǒng)考）在中，為其外心，，若，則 ．
13.（2021秋·河南南陽·高三?？茧A段練習(xí)）已知是的重心，過點(diǎn)作直線與，交于點(diǎn)，且，，，則的最小值是
A．B．C．D．
14.（2023春·廣東東莞·高三東莞市厚街中學(xué)校考階段練習(xí)）點(diǎn)P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足，，則點(diǎn)P的軌跡通過的
A．外心B．重心C．垂心D．內(nèi)心
15.如圖，分別是射線上的兩點(diǎn)，給出下列向量：①；②；
③；④；⑤
若這些向量均以為起點(diǎn)，則終點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)（包括邊界）的有
A．①②B．②④C．①③D．③⑤
奔馳定理：
為內(nèi)一點(diǎn)，，則.
重要結(jié)論：，，.
結(jié)論1：對(duì)于內(nèi)的任意一點(diǎn)， 若、、的面積分別為、、，則：
.
即三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，權(quán)系數(shù)分別為向量所對(duì)的三角形的面積.
結(jié)論2：對(duì)于平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，若點(diǎn)在的外部，并且在的內(nèi)部或其對(duì)頂角的內(nèi)部所在區(qū)域時(shí)，則有.
結(jié)論3：對(duì)于內(nèi)的任意一點(diǎn)， 若，則、、的面積之比為.
即若三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，則各向量所對(duì)的三角形面積之比等于權(quán)系數(shù)之比.
結(jié)論4：對(duì)于所在平面內(nèi)不在三角形邊上的任一點(diǎn)，，則、、的面積分別為.
即若三角形平面內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，則各向量所對(duì)應(yīng)的三角形面積之比等于權(quán)系數(shù)的絕對(duì)值之比.各向量所對(duì)應(yīng)的三角形是指另外兩個(gè)向量所在的三角形.
極化恒等式：a·b＝eq \f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]
極化恒等式的模型：
平行四邊形模式：如圖，平行四邊形ABCD，O是對(duì)角線交點(diǎn)．則eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)[|AC|2－|BD|2]．
三角形模式：如圖，在△ABC中，設(shè)D為BC的中點(diǎn)，則eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|AD|2－|BD|2．
（1）推導(dǎo)過程：由.
三角形模式是平面向量極化恒等式的終極模式，幾乎所有的問題都是用它解決．
記憶規(guī)律：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差．
等和線基礎(chǔ)：系數(shù)為1型
形如，求值或者范圍，其中可以理解對(duì)應(yīng)系數(shù)如，稱之為“和”系數(shù)為1.這種類型，可以直接利用“基底線”平移，做比值即可求得
形如，求值或者范圍.一般動(dòng)點(diǎn)多在圓上，則可以通過三角換元，構(gòu)造三角函數(shù)輔助角形式求最值?？蓸?gòu)建直角坐標(biāo)系并設(shè)且()，應(yīng)用平面向量線性關(guān)系的坐標(biāo)表示求得關(guān)于參數(shù)的函數(shù)式求最值.
形如，求值或者范圍，有如下思維：
如果動(dòng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)，可以通過圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為輔助角求解。
可以借助等和線，找到=定值，然后代入消元求解單元變量范圍或最值
形如，求值或者范圍，一般情況下，則可以通過等和線或者， 然后對(duì)采用均值不等式中的“1”的代換技巧。
向量型求動(dòng)點(diǎn)軌跡：
利用向量幾何意義與坐標(biāo)運(yùn)算，尋找轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)。
①直接法，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出關(guān)于的等式即可；
②定義法，根據(jù)題意動(dòng)點(diǎn)符合已知曲線的定義，直接求出方程；
③參數(shù)法，把分別用第三個(gè)變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將代入.
四心的向量統(tǒng)一形式：設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)且；
若為內(nèi)心，則；
設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)且；
若為外心，則
；
重心四心的向量統(tǒng)一形式：設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)且；
若為重心，則；
解決該類問題常用如下方法：
（1）根據(jù)條件，利用正、余弦定理直接解三角形；
（2）利用向量，結(jié)合向量的數(shù)量積進(jìn)行求解；
（3）建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)進(jìn)行求解.
四心的向量統(tǒng)一形式：設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)且；
若為垂心，則.
第十四講 向量四心及補(bǔ)充定理綜合歸類
目錄
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc25514" 題型01 “奔馳定理” PAGEREF _Tc25514 \h 1
\l "_Tc4073" 題型02 極化恒等式 PAGEREF _Tc4073 \h 5
\l "_Tc16070" 題型03極化恒等式求最值范圍 PAGEREF _Tc16070 \h 7
\l "_Tc16589" .題型04等和線題型：基礎(chǔ) PAGEREF _Tc16589 \h 10
\l "_Tc21137" 題型05等和線題型：型 PAGEREF _Tc21137 \h 13
\l "_Tc19115" 題型06 等和線題型：型 PAGEREF _Tc19115 \h 16
\l "_Tc15194" 題型07 等和線題型：分?jǐn)?shù)型 PAGEREF _Tc15194 \h 20
\l "_Tc31433" 題型08 等和線題型：與數(shù)列 PAGEREF _Tc31433 \h 24
\l "_Tc29369" 題型09奔馳定理與重心型軌跡 PAGEREF _Tc29369 \h 27
\l "_Tc26651" 題型10 三角形四心向量：內(nèi)心 PAGEREF _Tc26651 \h 29
\l "_Tc12431" 題型11 三角形四心向量：外心 PAGEREF _Tc12431 \h 32
\l "_Tc23768" 題型12 三角形四心向量：重心 PAGEREF _Tc23768 \h 35
\l "_Tc2239" 題型13三角形四心向量：垂心 PAGEREF _Tc2239 \h 38
\l "_Tc28084" 題型14向量點(diǎn)域綜合 PAGEREF _Tc28084 \h 41
\l "_Tc21512" 高考練場 PAGEREF _Tc21512 \h 44
熱點(diǎn)題型歸納
題型01 “奔馳定理”
【解題攻略】
【典例1-1】（2022春·全國·高三模擬）奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則.“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.設(shè)為三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接根據(jù)向量的基本運(yùn)算得到，再結(jié)合“奔馳定理”即可求解結(jié)論．
【詳解】解：為三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，
，
．
，
故選：D．
【典例1-2】已知點(diǎn)P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，，則△APB，△APC，△BPC的面積之比為（ ）
A．B．C．D．
四川省三臺(tái)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三4月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題
【答案】D
【分析】
先將已知向量式化為兩個(gè)向量共線的形式，再利用平行四邊形法則及向量數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，三角形面積公式確定面積之比
【詳解】
解：，，如圖：
，
，
、、三點(diǎn)共線，且，為三角形的中位線
，而
，，的面積之比等于故選：．
【變式1-1】如圖所示，設(shè)為所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，并且，則與的面積之比等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由題，延長AP交BC于點(diǎn)D，利用共線定理，以及向量的運(yùn)算求得向量的關(guān)系，可得與的比值，再利用面積中底面相同可得結(jié)果.
【詳解】
延長AP交BC于點(diǎn)D，因?yàn)锳、P、D三點(diǎn)共線，
所以，設(shè)
代入可得
即
又因?yàn)椋?，?。解得
所以可得
因?yàn)榕c有相同的底邊，所以面積之比就等于與之比
所以與的面積之比為 故選D
【變式1-2】已知是等邊三角形，且,那么四邊形ABCD的面積為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
設(shè)AD的中點(diǎn)為E，以為鄰邊作平行四邊形AECB，畫出對(duì)應(yīng)的圖形，利用E為中點(diǎn)，得到為平行四邊形，再根據(jù)可得四邊形為矩形，于是得到四邊形ABCD為直角梯形，進(jìn)而可得所求的面積．
【詳解】取AD的中點(diǎn)E，以為鄰邊作平行四邊形AECB，如圖所示，
則有，又，∴，∴四邊形為平行四邊形，
又BE為等邊的中線，∴，∴平行四邊形BCDE是矩形，
∴四邊形ABCD是直角梯形．又，
∴，∴四邊形ABCD的面積為．
故選A．
【變式1-3】是所在平面上的一點(diǎn),滿足,若,則的面積為（ ）
A．2B．3C．4D．8
【答案】A
【解析】
∵，
∴，
∴，且方向相同．
∴，
∴．選A．
題型02 極化恒等式
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的四分之一.即如圖所示：，我們稱為極化恒等式.在△中，是中點(diǎn)，，，則（ ）
A．32B．-32C．16D．-16
【答案】D
【分析】由題設(shè)有，代入極化恒等式求即可.
【詳解】由題設(shè)，，，
.
故選：D
【典例1-2】如圖,在中,已知,點(diǎn)分別在邊上,
且,若為的中點(diǎn),則的值為________
解：取的中點(diǎn),連接,則,
在中,,
【變式1-1】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝1，AD＝2，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，AD邊上的中點(diǎn)，則eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(FG,\s\up6(→))＋eq \(GH,\s\up6(→))·eq \(HE,\s\up6(→))＝________．
答案 eq \f(3,2)；解析 連結(jié)EG，F(xiàn)H，交于點(diǎn)O，則eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(FG,\s\up6(→))＝eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(EH,\s\up6(→))＝eq \(EO,\s\up6(→))2－eq \(OH,\s\up6(→))2＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(3,4)，eq \(GH,\s\up6(→))·eq \(HE,\s\up6(→))＝eq \(GH,\s\up6(→))·eq \(GF,\s\up6(→))＝eq \(GO,\s\up6(→))2－eq \(OH,\s\up6(→))2＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(3,4)，因此eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(FG,\s\up6(→))＋eq \(GH,\s\up6(→))·eq \(HE,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)．
【變式1-2】（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測）在中，，，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先用，兩個(gè)向量表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算即可得到.
【詳解】
，
，
因，所以，
又，所以，故選：B
【變式1-3】（2023·安徽合肥·合肥市第七中學(xué)?？既＃┮赃呴L為2的等邊三角形ABC每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成曲邊三角形，已知P為弧AC上的一點(diǎn)，且，則的值為（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】如圖所示，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.
【詳解】如圖所示，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線BC為x軸，過點(diǎn)B且垂直于BC的直線為y軸，
建立平面直角坐標(biāo)系，則，，
由，得，
所以，，
所以．

故選：C.
題型03極化恒等式求最值范圍
【解題攻略】
【典例1-1】如圖,在平面四邊形中,,則的最大值為____
解：取的中點(diǎn),連接,
由,
由四點(diǎn)共圓,且直徑為.
則.
所以.
【典例1-2】已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為圓的內(nèi)接正三角形，則的最小值為_________．
解：取的中點(diǎn)N，連結(jié)，取其中點(diǎn)D，如圖所示，則：
．
當(dāng)正沿圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D在以M圓心，以為半徑的小圓上運(yùn)動(dòng)．由外接圓半徑為1，可求得，從而．所以的最小值是，故所求最小值為．
【變式1-1】在銳角中，已知，則的取值范圍是____________．
解析：考慮到題中的形式，學(xué)生一般是想通過極化恒等式進(jìn)行處理．由題意，取的中點(diǎn)為M，立即可得等式，但要突破顯得困難重重．此題的突破關(guān)鍵在于“銳角”兩個(gè)字，銳角的極限狀態(tài)就是直角，要注意從特殊狀態(tài)來研究一般狀態(tài)，即化普通狀態(tài)為特殊狀態(tài)進(jìn)行極限化處理．
如圖，取的中點(diǎn)M，可得，應(yīng)長度變化的極限位置是為直角三角形時(shí)的狀態(tài)，而成為直角的可能有兩種情況，即為直角和為直角．下面分兩種情況進(jìn)行分析：過點(diǎn)C作，垂足為，此時(shí)；
過點(diǎn)C作，垂足為C，此時(shí)，，
因此，故取值范圍是．
【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線與圓相切于點(diǎn)，設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為______．
【答案】
【解析】圓的圓心的為，因?yàn)橹本€與圓相切于點(diǎn)則
所以得，所以，，
所以直線方程為，圓的方程為，所以，，
的中點(diǎn)，
則
因?yàn)椋?br>所以
故，所以的最大值為
故答案為：
【變式1-3】半徑為4的圓上有三點(diǎn)，滿足，點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖所示，
設(shè)與交于點(diǎn)，
由，
得四邊形是菱形，且，
則，，
由圖知，，而，
所以，
同理，，而，
所以，
所以，
因?yàn)辄c(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則，
所以，
即的取值范圍為，
.題型04等和線題型：基礎(chǔ)
【解題攻略】
【典例1-1】.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P是以C為圓心且與BD相切的圓上，若，則的最大值為（ ）
A.3 B. C. D.2
答案：A
解：根據(jù)圖形可知，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)到與A點(diǎn)距離最大時(shí)
有最大值，此時(shí)，過A點(diǎn)作BD的垂線，如圖所示垂足分別為M、N，則
【典例1-2】已知在內(nèi)，且，，則____．
【答案】
【解析】
【分析】
首先根據(jù)題意，畫出相應(yīng)的圖形，利用題中所給的條件，列出相應(yīng)的等量關(guān)系式，根據(jù)平面向量基本定理，得到對(duì)應(yīng)的結(jié)果.
【詳解】
如圖，
設(shè)BO與AC相交于D，則由，可得，
設(shè)CO與AB相交于E，則由，可得，
因B,O,D三點(diǎn)共線，故存在實(shí)數(shù)m，
使，
因C,O,E三點(diǎn)共線，故存在實(shí)數(shù)n，使得
，
所以，解得，
，所以，，
故答案是：.
【變式1-1】在△ABC中，∠BAC=，以AB為一邊向△ABC外作等邊三角形ABD，∠BCD=2∠ACD，則____________ ．
【答案】
【解析】
【分析】
以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則設(shè)，， ，,則，根據(jù)三倍角公式建立方程可求出m,利用點(diǎn)的坐標(biāo)運(yùn)算求出 即可.
【詳解】
如圖建系，
設(shè)，則，
根據(jù)三倍角公式，有，
于是
也即
解得，于是
從而.
【變式1-2】已知在中，，，，P為BC上任意一點(diǎn)（含B，C），以P為圓心，1為半徑作圓，Q為圓上任意一點(diǎn)，設(shè)，則的最大值為
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
如圖:設(shè)或的延長線交于D,過Q作//BC交AC或AC的延長線于,過圓上離BC最遠(yuǎn)點(diǎn)作切線與AB的延長線交于,與AC的延長線交于,過A作,垂足為,然后根據(jù)向量知識(shí)將的最大值轉(zhuǎn)化為的最大值來求,
【詳解】如圖:設(shè)或的延長線交于D,過Q作//BC交AC或AC的延長線于,過圓上離BC最遠(yuǎn)點(diǎn)作切線與AB的延長線交于,與AC的延長線交于,
過A作,垂足為,交BC于K，此時(shí)圓P的圓心為,BC=5,,,其中,又,所以,當(dāng)Q在BC的下方時(shí), ;
當(dāng)Q在BC上時(shí),,當(dāng)Q在BC的上方時(shí),,
根據(jù)平面幾何知識(shí),可知當(dāng)Q為、 D為K時(shí)，最大，所以x+y取最大，
所以：x+y的最大值為：．故選：C．
【變式1-3】如圖，A、B、C是圓O上的三點(diǎn)，CO的延長線與線段BA的延長線交于圓O外一點(diǎn)D，若，則λ+μ的取值范圍是
A．(-∞,-1)B．(-1,0)C．(0,1)D．(1,+∞)
【答案】B
【解析】
【分析】
首先由C,O,D三點(diǎn)共線且點(diǎn)D在圓外可設(shè)，再由B,A,D三點(diǎn)共線且點(diǎn)D在圓外可得，然后結(jié)合三角形法則可得，進(jìn)而可得， 所以得到，從而
，最后將其與已知向量式對(duì)比即可求出λ與μ，據(jù)此問題即可解答．
【詳解】
由點(diǎn)D是圓O外一點(diǎn)且C,O,D三點(diǎn)共線，可設(shè)，
由B,A,D三點(diǎn)共線且點(diǎn)D在圓外可得，又，∴，
∴，∴．
又，∴，∴．故選B．
題型05等和線題型：型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）O是的外心，，，則（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】根據(jù)外心的性質(zhì)，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算求解，注意討論是否在上.
【詳解】當(dāng)在上，則為的中點(diǎn)，滿足，符合題意，
∴，則；
當(dāng)不在上，取的中點(diǎn)，連接，則，
則，
同理可得：
∵，
，
聯(lián)立可得，解得，故選：D.
【典例1-2】在矩形ABCD中，，，P為矩形內(nèi)一點(diǎn)，且若，則的最大值為
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
可根據(jù)條件畫出圖形，根據(jù)圖形設(shè)，且，則又可用表示為：所以根據(jù)平面向量基本定理得到：，所以，最大值為1，所以的最大值為．
【詳解】
如圖，設(shè)，，
則：；
又；；；
的最大值為．故選B．
【變式1-1】（2022春·江蘇無錫·高三江蘇省天一中學(xué)?？迹┰谥?，，，，為的外心，若，、，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出圖形，先推導(dǎo)出，同理得出，由此得出關(guān)于實(shí)數(shù)、的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，即可求出的值.
【詳解】如下圖所示，取線段的中點(diǎn)，連接，則且，
，
同理可得，
，
由，可得，即，
解得，，因此，.故選：C.
【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正三角形的邊長為2，D是邊的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，且，其中，則的最大值為 ．
【答案】/2.5
【分析】構(gòu)建以為原點(diǎn)，為x、y軸的直角坐標(biāo)系，確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)并設(shè)且()，由向量線性關(guān)系的坐標(biāo)表示列方程得到關(guān)于的三角函數(shù)式，應(yīng)用正弦型函數(shù)性質(zhì)求最大值.
【詳解】由題設(shè)，在以為圓心，1為半徑的圓上或圓內(nèi)，
構(gòu)建以為原點(diǎn)，為x、y軸的直角坐標(biāo)系，如下圖示：
所以，，，令且()，
所以，，，
又，即，
所以，而，
則，
故當(dāng)時(shí)，有最大值.故答案為：
題型06 等和線題型：型
【解題攻略】
【典例1-1】如圖，在直角梯形中，，∥，，，圖中圓弧所在圓的圓心為點(diǎn)C，半徑為，且點(diǎn)P在圖中陰影部分（包括邊界）運(yùn)動(dòng)．若，其中，則的取值范圍是
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】
解：以 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)?軸， 軸正方向建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，由意可知： ，
據(jù)此可得： ，則： ，目標(biāo)函數(shù)： ，
其中 為直線系 的截距，
當(dāng)直線與圓相切時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值 .
當(dāng)直線過點(diǎn) 時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值 ，則的取值范圍是 .本題選擇B選項(xiàng).
【典例1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知銳角滿足，且O為的外接圓圓心，若，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題意可得，將平方整理得，設(shè)，則有，再設(shè)，則有==，求解即可.
【詳解】解：如圖所示：
由正弦定理可得：，所以，
在中，由余弦定理可得,
又因?yàn)?所以.
又因?yàn)椋?br>所以，
即有：，即，所以，
設(shè)，可得，又因?yàn)闉殇J角三角形，所以，
所以，設(shè)，則有，
所以==，
所以故選：A.
【變式1-1】（2022·四川·校聯(lián)考三模）在直角梯形中，，，，，分別為，的中點(diǎn)，以為圓心，為半徑的半圓分別交及其延長線于點(diǎn)，，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)（如圖）.若，其中，，則的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可表達(dá)出，進(jìn)而用輔助角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】
分別以所在直線為軸，軸，方向?yàn)檎较蚪⒅苯亲鴺?biāo)系，知,
設(shè)，由得：，即 ,
則，
由可得：，則，故.
則的取值范圍是 .
故選：C
【變式1-2】（2019·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？家荒＃┰谥校c(diǎn)滿足.若存在點(diǎn)，使得，且，則的取值范圍是 ．
【答案】（﹣2，0）
【分析】由，得，結(jié)合條件，得到m＝﹣3λ﹣1，n＝3λ﹣1，利用mn＞0．可求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍，由此可計(jì)算出m﹣n的取值范圍．
【詳解】由，可得，所以，，則m＝﹣3λ﹣1，n＝3λ﹣1，
由于mn＞0，則（﹣3λ﹣1）（3λ﹣1）＞0，即（3λ+1）（3λ﹣1）＜0，解得，
∵λ＞0，所以，，m﹣n＝（﹣3λ﹣1）﹣（3λ﹣1）＝﹣6λ∈（﹣2，0），故答案為（﹣2，0）
【變式1-3】（2022秋·山東青島·高三統(tǒng)考）將兩個(gè)直角三角形如圖拼在一起，當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，若，當(dāng)取最大值時(shí)，的值是 ．
【答案】
【詳解】如圖所示：設(shè)且，由題意知，當(dāng) 取最大值時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合．中，由余弦定理
求得
又 ，
故答案為
題型07 等和線題型：分?jǐn)?shù)型
【解題攻略】
【典例1-1】（2021·遼寧大連·大連八中?？家荒＃┰谥?，已知，，，為線段上的一點(diǎn)，且，則的最小值為
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在中，設(shè)，，，結(jié)合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡可求，可得，再由已知條件求得，，，考慮建立以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值.
【詳解】在中，設(shè)，，，
，即，即，，
，，，，，
，即，又，，
，則，所以，，解得，.
以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則、、，
為線段上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)使得，
，
設(shè)，，則，，，
，，消去得，，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故選：A.
【典例1-2】（2023春·江蘇南通·高三江蘇省南通中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，已知，，，為線段上的一點(diǎn)，且，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由sinB=csA?sinC化簡可求 csC=0 即C=90°，再由，S△ABC=6可得bccsA=9，可求得c=5，b=3，a=4，考慮建立直角坐標(biāo)系，由P為線段AB上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)λ使得,由，為單位向量，可得，，可得,可得，則由，利用基本不等式求解最小值．
【詳解】中設(shè)，，，，
即，，
，，，，
，，，根據(jù)直角三角形可得，，
，，，
以所在的直線為x軸，以所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系可得，，，P為直線上的一點(diǎn)，
則存在實(shí)數(shù)使得,
設(shè)，，則，，,
,
，則,
,
故所求的最小值為,故選：D.
【變式1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，且，點(diǎn)F為線段BD上的一動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），若，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】由向量加法法則可得，根據(jù)F為線段BD上的一動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)）有且、，構(gòu)造并利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而確定值域，即可得結(jié)果.
【詳解】由，
所以且，結(jié)合目標(biāo)式有，，，
，（舍），
故在、上遞減，在上遞增，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以．故答案為：
【變式1-2】（2023春·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高三校考）已知是正實(shí)數(shù)，的三邊長為，點(diǎn)是邊(與點(diǎn)不重合)上任一點(diǎn)，且．若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到x、y的關(guān)系式，再由題給條件得到關(guān)于m的不等式，利用均值定理即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】以C為原點(diǎn)分別以CB、CA為x、y軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖：
則，則
則，又點(diǎn)P在直線：上，則有，即由恒成立，
可得恒成立，由，可得
則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）又，，則
則，則，則，
則實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：
【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知為等邊三角形，點(diǎn)G是的重心．過點(diǎn)G的直線l與線段AB交于點(diǎn)D，與線段AC交于點(diǎn)E．設(shè)，，則 ；與周長之比的取值范圍為 ．
【答案】 3
【分析】連接AG并延長，交BC于F，可得，變形可得，根據(jù)D、G、E三點(diǎn)共線，即可得答案；設(shè)的邊長為1，設(shè)與周長之比，可得，根據(jù)余弦定理，可求得表達(dá)式，代入可得，根據(jù)的范圍，可得的范圍，利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合的范圍，即可得答案.
【詳解】連接AG并延長，交BC于F，如圖所示由題意得，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，
所以，又G為重心，所以，所以，即，因?yàn)镈、G、E三點(diǎn)共線，所以，即.設(shè)的邊長為1，設(shè)與周長之比，則，在中，由余弦定理得，所以，即，
所以，由（1）可得，即代入上式，可得
由題意得，所以，又，所以，
又，所以，因?yàn)椋?，令，則，
令，則，所以在上為增函數(shù)，
所以，所以與周長之比的取值范圍為
題型08 等和線題型：與數(shù)列
【典例1-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，平面四邊形中，點(diǎn)D為動(dòng)點(diǎn)，的面積是面積的3倍，數(shù)列滿足，，當(dāng)時(shí)，恒有，則數(shù)列的前6項(xiàng)和為（ ）．
A．2020B．1818C．911D．912
【答案】D
【分析】連接交于點(diǎn)，根據(jù)，得，則，
再根據(jù)，設(shè)，，，轉(zhuǎn)化為，根據(jù)與不共線，得到，即，變形為，由等比數(shù)列的定義得到 是等比數(shù)列，得到通項(xiàng)公式，再用累加法得到，然后用分組求和法求解.
【詳解】如圖，連接交于點(diǎn)，
由，得，，
設(shè)，，，
，又與不共線，
所以，則，即，所以，所以，
即，所以是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，
所以，由，，…，，
累加得，所以，
所以．故選：D．
【典例1-2】（2022秋·安徽合肥·高三階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)為的邊上一點(diǎn)，，為邊上的一列點(diǎn)，滿足，若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算、共線向量的表示和等差數(shù)列的判定得出數(shù)列和的關(guān)系.
【詳解】因?yàn)椋?，所以?br>因?yàn)椋遥?br>所以，得，所以，
又，所以數(shù)列表示首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
所以.故選：B.
【變式1-1】．（2022秋·河北石家莊·高三正定中學(xué)階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)為 的邊 上一點(diǎn)， ， 為邊 上的一列點(diǎn)，滿足 ，其中實(shí)數(shù)列 中， ， ，則
A．46B．30C．242D．161
【答案】D
【詳解】因?yàn)?，所以，設(shè) ，，又因?yàn)椋?， 以 ，又 ，所以數(shù)列表示首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，,故選D．
【變式1-2】（2023秋·遼寧沈陽·高三新民市高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知四邊形ABCD，為邊BC邊上一點(diǎn)，連接交BD于，點(diǎn)滿足，其中是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，，則的前n項(xiàng) .

【答案】
【分析】由結(jié)合共線向量定理的推論可得，則可求得，再由可得，從而得，則得，然后利用分組求和法可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，所以，
因?yàn)?，所以是?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以，所以，因?yàn)椋裕?br>所以，因?yàn)椋?br>所以因?yàn)椋裕?br>所以，
故答案為：
題型09奔馳定理與重心型軌跡
【解題攻略】
【典例1-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知是平面上的4個(gè)定點(diǎn)，不共線，若點(diǎn)滿足，其中，則點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的（ ）
A．重心B．外心C．內(nèi)心D．垂心
【答案】A
【分析】設(shè)邊的中點(diǎn)為，則，進(jìn)而結(jié)合題意得，再根據(jù)向量共線判斷即可.
【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)邊的中點(diǎn)為，則，
因?yàn)辄c(diǎn)滿足，其中
所以，，即，
所以，點(diǎn)的軌跡為的中線，
所以，點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的重心.
故選：A
【典例1-2】（2022春·重慶·高三統(tǒng)考）已知是三角形所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)軌跡一定通過三角形的
A．重心B．外心C．垂心D．內(nèi)心
【答案】A
【分析】作，根據(jù)，結(jié)合求解.
【詳解】如圖所示：
作，
因?yàn)椋?br>所以，
由加法法則知，在三角形的中線上，
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過的重心，
故選：A．
【變式1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足＝[(1－λ) ＋(1－λ) ＋(1＋2λ)·]，λ∈R，則點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過（ ）
A．△ABC的內(nèi)心B．△ABC的垂心
C．△ABC的重心D．AB邊的外心
【答案】C
【分析】根據(jù)向量的加法的平行四邊形法則向量的運(yùn)算法則，對(duì)條件進(jìn)行化簡，得到，根據(jù)三點(diǎn)共線的充要條件知道、、三點(diǎn)共線，從而得到點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的重心．
【詳解】取AB的中點(diǎn)D，則2＝＋，
∵＝[(1－λ) ＋(1－λ) ＋(1＋2λ) ]，
∴＝ [2(1－λ) ＋(1＋2λ) ]＝＋，
而＋＝1，∴P，C，D三點(diǎn)共線，
∴點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的重心.故選：C
【變式1-2】（2023春·全國·高三專題練習(xí)）已知，，是不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若，，則點(diǎn)的軌跡一定過的（ ）
A．外心B．重心C．垂心D．內(nèi)心
【答案】B
【分析】設(shè)出的中點(diǎn)，利用向量的運(yùn)算法則化簡；據(jù)向量共線的充要條件得到在三角形的中線上，利用三角形的重心定義：三中線的交點(diǎn)，得到選項(xiàng)
【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，
則．又，
，即．
又，
點(diǎn)在射線上．
故的軌跡過的重心．
故選：B．
.
題型10 三角形四心向量：內(nèi)心
【解題攻略】
【典例1-1】（2020春·山西運(yùn)城·高三臨猗縣臨晉中學(xué)校考開學(xué)考試）為所在平面上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足, ,則射線過的
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
【答案】B
【分析】將變形為，因?yàn)楹偷哪ｉL都是1，根據(jù)平行四邊形法則可得，過三角形的內(nèi)心.
【詳解】
因?yàn)楹头謩e是和的單位向量所以是以和為鄰邊的平行四邊形的角平分線對(duì)應(yīng)的向量。所以的方向與的角平分線重合
即射線過的內(nèi)心。故選B
【典例1-2】（2022秋·重慶·高三重慶一中?？迹┮阎獮榈膬?nèi)心，，若，則的最大值為
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】點(diǎn)O是平面ABC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)I是△ABC內(nèi)心的充要條件是：
其中BC=a、AC=b、AB=c，將O點(diǎn)取作A點(diǎn)帶入得到
，故
由余弦定理得到 ，
又因?yàn)?，最終求得 ，故 ．
故答案選D.
【變式1-1】（2021春·上海徐匯·高三上海市南洋模范中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．若是的重心，則B．若是的內(nèi)心，則
C．若是的垂心，則D．若是的外心，則
【答案】B
【分析】根據(jù)三角形各心的性質(zhì)求出對(duì)應(yīng)的之間的比值，即可得出答案.
【詳解】如圖，設(shè)，直線與直線交于點(diǎn)，因?yàn)椋?
所以，則，即，
過作分別平行于，則，而，，由平行線分線段成比例得，
同理，所以；
若是的重心，則為的中點(diǎn)，所以，故A正確；
若是的內(nèi)心，則直線平分，而，，
所以分的比，故B不正確；
若是的垂心，如圖，則點(diǎn)與點(diǎn)重合，則，故C正確；
若是的外心，因?yàn)椋跃€段AB的中垂線的斜率為，且AB的中點(diǎn)為，
所以線段AB的中垂線的方程為，即，
又線段BC的中垂線為，
聯(lián)立，解得，所以，，由于，，所以，則，故D正確，故選：B.
【變式1-2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為的內(nèi)心，，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】取的中點(diǎn)，連，則為內(nèi)切圓的半徑，利用面積關(guān)系求出，得，再根據(jù)得，由平面向量基本定理求出可得答案.
【詳解】取的中點(diǎn)，連，因?yàn)?，，所以，?br>所以的內(nèi)心在線段上，為內(nèi)切圓的半徑，因?yàn)椋?br>所以，所以，得，
所以，所以，又，所以，
又已知，所以，所以.
故選：B.
【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，若，則點(diǎn)是的（ ）
A．重心B．內(nèi)心C．垂心D．外心
【答案】B
【分析】根據(jù)“奔馳定理”列方程，整理后判斷出是的內(nèi)心.
【詳解】過點(diǎn)分別作，，的垂線，，，其垂足依次為，如圖所示，
由于，
根據(jù)奔馳定理就有：
，
即，
因此，故點(diǎn)是的內(nèi)心，B選項(xiàng)正確.
故選：B

題型11 三角形四心向量：外心
【解題攻略】
【典例1-1】（2021春·湖北武漢·高三統(tǒng)考）中，，點(diǎn)為的外心，若，則實(shí)數(shù) ．
【答案】/
【分析】利用余弦定理可求出角的余弦值，再利用向量的投影求出和的值，從而對(duì)兩邊同時(shí)點(diǎn)乘，得到關(guān)于的方程組，從而得解.
【詳解】記的中點(diǎn)分別為，連接，如圖，

則，
因?yàn)樵谥?，?br>由余弦定理，得，
所以，
，
，
因?yàn)椋裕?br>所以，解得，所以.故答案為：.
【典例1-2】（2023春·廣東珠?！じ呷y(tǒng)考）在中，，，為的外心，，，分別為，，的中點(diǎn)，且，則 .
【答案】
【分析】先求出，由，，兩邊平方，結(jié)合及數(shù)量積的定義直接求解.
【詳解】如圖，
設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理，則，
又因?yàn)?，，分別為，，的中點(diǎn)，
所以，，，
三式平方相加可得，
又因?yàn)椋氲媒Y(jié)果為.
故答案為：.
【變式1-1】（2023春·湖北武漢·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)的外心為，且滿足，，則的面積為 .
【答案】/
【分析】設(shè)的外接圓的半徑為，根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則，求出兩向量的夾角，判定為等腰三角形，由此求得的面積.
【詳解】設(shè)的外接圓的半徑為，因?yàn)椋裕?br>即，解得，又因?yàn)?，可得?br>又由，可得,
解得，因?yàn)?，可得，同理可得?br>由圓的性質(zhì)知，，所以為等腰三角形，
因?yàn)椋詾榈妊苯侨切?，所以?br>所以的面積為.
故答案為：.
【變式1-2】（2023春·山東青島·高三統(tǒng)考）記的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，且，，若是的外心，則 ．
【答案】
【分析】作于，于，根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，，即可得到答案.
【詳解】如圖： 作于，于，
∵圓中，，∴，因此，
同理可得，∴.
故答案為:.
【變式1-3】（2023春·廣東汕頭·高三金山中學(xué)校考已知為的外心，若 ，則最小值 .
【答案】
【分析】利用外心的性質(zhì)，向量的數(shù)量積運(yùn)算得到，再利用余弦定理求出，利用基本不等式求最值.
【詳解】∵為的外心，若，∴,
∴，∴,
即，即，∴,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴的最小值為.故答案為:.
題型12 三角形四心向量：重心
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a=5sin（B），c=5且O為△ABC的外心，G為△ABC的重心，則OG的最小值為
A．1B．C．1D．
【答案】D
【分析】首先根據(jù)條件解△ABC可得：C和△ABC外接圓的半徑R，由此建立直角坐標(biāo)系，可得：.A（，0），B（，0），外心O為（0，），重心G.從而求得|OG|2sinθ，即可得解.
【詳解】A=5sin（B），c=5，∴acsin（B），由正弦定理可得：sinAsinC （sinB+csB），
∴sin（B+C）=sinBcsC+csBsinC=sinCsinB+sinCcsB，化為：sinBcsC=sinCsinB，sinB0，
∴csC=sinC，即tanC=1，C∈（0，π）.∴C.∴△ABC外接圓的半徑R .
如圖所示，建立直角坐標(biāo)系.A（，0），B（，0），O（0，）.
△ABC外接圓的方程為：x2.設(shè)C（csθ，sinθ）.θ∈（0，π）
則G.|OG|2sinθ，
∴|OG|的最小值為：.故選：D.
【典例1-2】（2022春·陜西西安·高三長安一中?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)為的重心，，，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由三角形重心的性質(zhì)可得，，由向量數(shù)量積的定義可求得，然后根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)可得|，結(jié)合基本不等式可求的最小值.
【詳解】如圖所示，設(shè)的中點(diǎn)為，
由三角形重心性質(zhì)可得，
又為中點(diǎn)， ，，
則.
又，，由向量的數(shù)量積定義可得，
，.
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最小值.
故選：C.
【變式1-1】（2020春·天津·高三天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知中，為的重心，則
A．B．C．D．
【答案】A【分析】由題，先用余弦定理求得，再用向量表示出，然后代入用向量的數(shù)量積公式進(jìn)行計(jì)算即可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)橹?，為的重心?br>所以 ，由余弦定理可得：
且
所以
=
【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）過的重心作直線，已知與、的交點(diǎn)分別為、，，若，則實(shí)數(shù)的值為
A．或B． 或
C．或D．或
【答案】B【解析】利用面積之比，轉(zhuǎn)化為的方程，解方程即可.
【詳解】設(shè),因?yàn)镚為的重心，所以,即.
由于三點(diǎn)共線，所以，即.
因?yàn)椋?，所以，即有，解之得?故選B.
【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是的重心，，若，，則的最小值是
A．B．C．D．
【答案】C【分析】由題意將原問題轉(zhuǎn)化為均值不等式求最值的問題，據(jù)此求解的最小值即可.
【詳解】如圖所示，由向量加法的三角形法則及三角形重心的性質(zhì)可得,
，
根據(jù)向量的數(shù)量積的定義可得,
設(shè)，則，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，△ABC是等腰三角形時(shí)等號(hào)成立.
綜上可得的最小值是.
本題選擇C選項(xiàng).
題型13三角形四心向量：垂心
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，若、、的面積分別記為、、，則．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知是的垂心，且，則( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由O是垂心，可得，結(jié)合可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和為π，結(jié)合正切的和差角公式即可求解.
【詳解】∵是的垂心，延長交與點(diǎn)，
∴
，
同理可得，∴：，
又，
∴，
又，
∴，
不妨設(shè)，其中，
∵，
∴，解得或，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則都是鈍角，則，矛盾.
故，則，∴是銳角，，
于是，解得.
故選：A.
【典例1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則直線必經(jīng)過的
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
【答案】D
【解析】兩邊同乘以向量，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可求得從而得到結(jié)論．
【詳解】
兩邊同乘以向量,得。。
即點(diǎn)P在BC邊的高線上，所以P的軌跡過△ABC的垂心，故選D.
【變式1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)為的外心，若，則點(diǎn)是的（ ）
A．重心B．內(nèi)心C．垂心D．外心
【答案】C
【分析】取BC的中點(diǎn)D，連接OD，AM，BM，CM，由，結(jié)合，得到，從而，再由為的外心，得到即可.
【詳解】解：取BC的中點(diǎn)D，如圖所示，
連接OD，AM，BM，CM．因?yàn)椋?br>所以，又，則，所以，
又由于為的外心，所以，因此有．同理可得，，
所以點(diǎn)是的垂心．故選：C．
【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知H為的垂心，若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】，，利用、得，，解得， 再利用平方共線可得答案.
【詳解】依題意，，同理．
由H為△ABC的垂心，得，即，
可知，即．同理有，
即，可知，即，解得，
，又，所以．
故選：C．
【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）在中，D為邊BC上的一點(diǎn)，H為的垂心，，則（ ）
A．2019B．2020C．2021D．2022
【答案】C
【分析】令BC，AB邊上的高分別為AE，CF，利用向量共線及向量數(shù)量積可得，
再借助面積法及正弦定理計(jì)算可得即可得解.
【詳解】設(shè)BC，AB邊上的高分別為AE，CF，則AE與CF交點(diǎn)為H，如圖，
由B，C，D三點(diǎn)共線可得：，于是有，
則
，
在中，，則，
在中，由正弦定理得，則，
在中，由正弦定理有，于是得，
因此，，
所以2021故選：C
題型14向量點(diǎn)域綜合
【典例1-1】如圖，在中，點(diǎn)是線段及、的延長線所圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）的任意一點(diǎn)，且，則在直角坐標(biāo)平面上，實(shí)數(shù)對(duì)所表示的區(qū)域在直線的右下側(cè)部分的面積是
A．B．
C．4D．5
【答案】B
【詳解】試題分析：如圖,過作
,,因此面積為,故選B.
【典例1-2】如圖，A、B分別是射線上的兩點(diǎn)，給出下列向量：①;②；③；④；⑤這些向量中以O(shè)為起點(diǎn)，終點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)的是________（填序號(hào)）．
【答案】①③
【分析】設(shè)，證明當(dāng)點(diǎn)P落在陰影區(qū)域內(nèi)時(shí)，滿足：且，對(duì)照各個(gè)條件一一驗(yàn)證即可.
【詳解】
設(shè).
當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，過點(diǎn)P分別作PE∥OA，PF∥OB分別交OB、OA于點(diǎn)E、F.
則。
同理可得：當(dāng)點(diǎn)P落在陰影區(qū)域除了線段AB上時(shí)，.
因此當(dāng)點(diǎn)P落在陰影區(qū)域內(nèi)時(shí)，滿足：且.
據(jù)此可知:只有①③滿足條件.
故答案為：①③
【變式1-1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)為正八邊形的中心，軸，若坐標(biāo)軸上的點(diǎn)（異于點(diǎn)）滿足（其中，且、），則滿足以上條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
山東省濱州市2019—2020學(xué)年下學(xué)期高三年級(jí)期末考試數(shù)學(xué)試題
【答案】D
【分析】分點(diǎn)在、軸進(jìn)行分類討論，可得出點(diǎn)、關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，由此可得出點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【詳解】分以下兩種情況討論：
①若點(diǎn)在軸上，則、關(guān)于軸對(duì)稱，
由圖可知，與、與、與、與關(guān)于軸對(duì)稱，
此時(shí)，符合條件的點(diǎn)有個(gè)；
②若點(diǎn)在軸上，則、關(guān)于軸對(duì)稱，
由圖可知，與、與、與、與關(guān)于軸對(duì)稱，
此時(shí)，符合條件的點(diǎn)有個(gè).
綜上所述，滿足題中條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.
故選：D.
【變式1-2】如圖，OM//AB，點(diǎn)P在由射線OM、線段OB及AB的延長線組成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，且，當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是________
【答案】
【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，為平行四邊形的對(duì)角線，該四邊形應(yīng)是以和的反向延長線為兩鄰邊，得到的取值范圍，當(dāng)時(shí)，要使點(diǎn)落在指定區(qū)域內(nèi)，即點(diǎn)應(yīng)落在上，得到的范圍．
【詳解】解：如圖，，點(diǎn)在由射線，
線段及的延長線圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，
且，由向量加法的平行四邊形法則，為平行四邊形的對(duì)角線，
該四邊形應(yīng)是以和的反向延長線為兩鄰邊，
的取值范圍是；
當(dāng)時(shí)，要使點(diǎn)落在指定區(qū)域內(nèi)，即點(diǎn)應(yīng)落在上，，，
的取值范圍是，．故答案為： ，
【變式1-3】在中，，，D是內(nèi)切圓圓心，設(shè)P是外的三角形區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)所在區(qū)域的面積為______.
江蘇省鹽城市東臺(tái)創(chuàng)新高級(jí)中學(xué)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期11月檢測數(shù)學(xué)試題
【答案】
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出內(nèi)切圓半徑，求出點(diǎn)所在區(qū)域面積，利用與點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系可求得所要求的面積
【詳解】以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立如圖所求的平面直角坐標(biāo)系，
∵，，∴，
∴內(nèi)切圓的半徑為，
則圓外的外部的面積為，
，
∴點(diǎn)所在區(qū)域面積為，
而點(diǎn)所在區(qū)域面積為點(diǎn)所在區(qū)域面積的，面積為．
故答案為：．
高考練場
1.已知等邊邊長為4，為其內(nèi)一點(diǎn)，且，則的面積為 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
∵，∴．如圖所示，
延長到點(diǎn)，使得，分別以為鄰邊作平行四邊形，則，又，可得，∴，∴，∴，故選B.
2.如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)．eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝4，eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))＝－1，則eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))的值為________．
答案 eq \f(7,8)；解析 極化恒等式法 設(shè)BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，則AD＝3n．根據(jù)向量的極化恒等式，有eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))2－eq \(DB,\s\up6(→))2＝9n2－m2＝4， eq \(FB,\s\up6(→))·eq \(FC,\s\up6(→))＝eq \(FD,\s\up6(→))2－eq \(DB,\s\up6(→))2＝n2－m2＝－1．聯(lián)立解得n2＝eq \f(5,8)，m2＝eq \f(13,8)．因此eq \(EB,\s\up6(→))·eq \(EC,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))2－eq \(DB,\s\up6(→))2＝4n2－m2＝eq \f(7,8)．即eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(7,8)．
3.設(shè)點(diǎn)P為正三角形△ABC的邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，sin∠PAC的值為____．
【答案】
【解析】取邊的中點(diǎn)為，連接線段，設(shè)正三角形的邊長為
由極化恒等式可得：，
則當(dāng)取最小值時(shí)，也取最小值，
又，此時(shí)，點(diǎn)在上靠近的四等分點(diǎn)，
在中，余弦定理可得，
由正弦定理可得：
4.如圖所示，矩形ABCD的邊AB=4，AD=2，以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑的圓與CD交于點(diǎn)E，若點(diǎn)P是圓弧(含端點(diǎn)B、E)上的一點(diǎn)，則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】取AB的中點(diǎn)設(shè)為O，則，
當(dāng)O、P、C共線時(shí)， PO取得最小值為；
當(dāng)P 與B（或E）重合時(shí)，PO取得最大值為PO=2，
所以的取值范圍是.
5.直角梯形中，，，是邊長為的正三角形，是平面上的動(dòng)點(diǎn)，，設(shè)（，），則的最大值為__________．
【答案】
【解析】
【分析】
【詳解】
以為原點(diǎn)，為軸，所在直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，可設(shè)，因?yàn)?，所?
， ，即的最大值為故答案為.
6.（2020·江蘇南通·江蘇省如皋中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知為銳角三角形的外心，若，，則的最大值 .
【答案】
【分析】設(shè)外接圓的半徑為，,求出，，在兩別分別乘以，可表示出，利用基本不等式可求出最值.
【詳解】設(shè)外接圓的半徑為，,如圖，
，，
可得，
同理可得，
在兩別分別乘以得
，整理得，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立,則的最大值為.故答案為：.
7.（2022秋·吉林松原·高三統(tǒng)考）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)．點(diǎn)P在以A為圓心，AD為半徑的圓弧上變動(dòng)（如圖所示），若=λ+μ，其中λ，μ∈R．則2λ﹣μ的取值范圍是 ．
【答案】[﹣1，1]．
【詳解】試題分析：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，0），E（1，0），D（0，1），F(xiàn)（1.5，0.5），P（csα，sinα）（0°≤α≤90°），λ，μ用參數(shù)進(jìn)行表示，利用輔助角公式化簡，即可得出結(jié)論．
解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，0），E（1，0），D（0，1），F(xiàn)（1.5，0.5），P（csα，sinα）（0°≤α≤90°），
∵=λ+μ，∴（csα，sinα）=λ（﹣1，1）+μ（1.5，0.5），∴csα=﹣λ+1.5μ，sinα=λ+0.5μ，
∴λ=（3sinα﹣csα），μ=（csα+sinα），∴2λ﹣μ=sinα﹣csα=sin（α﹣45°）∵0°≤α≤90°，
∴﹣45°≤α﹣45°≤45°，∴﹣≤sin（α﹣45°）≤，∴﹣1≤sin（α﹣45°）≤1∴2λ﹣μ的取值范圍是[﹣1，1]．
故答案為[﹣1，1]．
8.（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在邊長為的正方形中，，分別是邊，上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)，，則的最大值是 ．
【答案】
【分析】建立直角坐標(biāo)系，，設(shè)，，然后根據(jù)得，再設(shè)，，，根據(jù)，表示出，進(jìn)而表示出，換元之后利用基本不等式求解最值.
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，所在直線為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則．
由可得，所以可設(shè)，，．
因?yàn)?，由可得，?br>所以．設(shè)，，
則，
即當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為．故答案為：.
9.（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在中，D是AC邊上一點(diǎn)，且，為直線AB上一點(diǎn)列，滿足：，且，則數(shù)列的前n項(xiàng)和 ．
【答案】
【分析】利用向量的線性運(yùn)算平面向量基本定理可得，令，進(jìn)而可得為等比數(shù)列，再利用求和公式即得.
【詳解】由于D是AC邊上一點(diǎn)，且，則，
由于為直線AB上一點(diǎn)列，則．
因?yàn)?，則，故，
整理，即，故，
令，則，即，因此，，
所以為等比數(shù)列，，則，
故．
故答案為：
10.（2023·全國·高三專題練習(xí)）過內(nèi)一點(diǎn)任作一條直線，再分別過頂點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，若恒成立，則點(diǎn)是的
A．垂心B．重心C．外心D．內(nèi)心
【答案】B
【分析】本題采用特殊位置法，將直線特殊為過三角形頂點(diǎn)，從而可得解.
【詳解】本題采用特殊位置法較為簡單.
因?yàn)檫^內(nèi)一點(diǎn)任作一條直線，可將此直線特殊為過點(diǎn)A，則，有.
如圖：
則有直線AM經(jīng)過BC的中點(diǎn)，
同理可得直線BM經(jīng)過AC的中點(diǎn)，直線CM經(jīng)過AB的中點(diǎn)，
所以點(diǎn)是的重心，故選B.
11.（北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）在中，，I為的內(nèi)心，若，則的值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)內(nèi)心的向量形式可得，故可求的值.
【詳解】設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)可知，
于是，
于是．故選：C.
12.（2023春·云南大理·高三統(tǒng)考）在中，為其外心，，若，則 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)向量的模長公式，結(jié)合外心的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由可得，平方可得,
由于為外心，所以，
所以,
故答案為：
13.（2021秋·河南南陽·高三?？茧A段練習(xí)）已知是的重心，過點(diǎn)作直線與，交于點(diǎn)，且，，，則的最小值是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先根據(jù)三點(diǎn)共線得到，也就是，再利用得到，最后利用基本不等式求的最小值.
【詳解】
因?yàn)槿c(diǎn)共線，故，因?yàn)?，所以，又為重心，故，而不共線，所以，也即是.
，由基本不等式可以得到：
，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，故的最小值為，故選D.
14.（2023春·廣東東莞·高三東莞市厚街中學(xué)?？茧A段練習(xí)）點(diǎn)P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足，，則點(diǎn)P的軌跡通過的
A．外心B．重心C．垂心D．內(nèi)心
【答案】C
【分析】對(duì)題目的式子兩邊乘以，得到所在直線為高所在直線，即可．
【詳解】處理原式得到
故所在的直線與三角形的高重合，故經(jīng)過垂心，故選C．
15.如圖，分別是射線上的兩點(diǎn)，給出下列向量：①；②；
③；④；⑤
若這些向量均以為起點(diǎn)，則終點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)（包括邊界）的有
A．①②B．②④C．①③D．③⑤
【答案】B
【詳解】試題分析：在上取使，以為鄰邊作平行四邊形，其終點(diǎn)不在陰影區(qū)域內(nèi)，排除選項(xiàng)；取的中點(diǎn)，作，由于,所以的終點(diǎn)在陰影區(qū)域內(nèi)；排除選項(xiàng)，故選．
奔馳定理：
為內(nèi)一點(diǎn)，，則.
重要結(jié)論：，，.
結(jié)論1：對(duì)于內(nèi)的任意一點(diǎn)， 若、、的面積分別為、、，則：
.
即三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，權(quán)系數(shù)分別為向量所對(duì)的三角形的面積.
結(jié)論2：對(duì)于平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，若點(diǎn)在的外部，并且在的內(nèi)部或其對(duì)頂角的內(nèi)部所在區(qū)域時(shí)，則有.
結(jié)論3：對(duì)于內(nèi)的任意一點(diǎn)， 若，則、、的面積之比為.
即若三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，則各向量所對(duì)的三角形面積之比等于權(quán)系數(shù)之比.
結(jié)論4：對(duì)于所在平面內(nèi)不在三角形邊上的任一點(diǎn)，，則、、的面積分別為.
即若三角形平面內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，則各向量所對(duì)應(yīng)的三角形面積之比等于權(quán)系數(shù)的絕對(duì)值之比.各向量所對(duì)應(yīng)的三角形是指另外兩個(gè)向量所在的三角形.
極化恒等式：a·b＝eq \f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]
極化恒等式的模型：
平行四邊形模式：如圖，平行四邊形ABCD，O是對(duì)角線交點(diǎn)．則eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)[|AC|2－|BD|2]．
三角形模式：如圖，在△ABC中，設(shè)D為BC的中點(diǎn)，則eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|AD|2－|BD|2．
（1）推導(dǎo)過程：由.
三角形模式是平面向量極化恒等式的終極模式，幾乎所有的問題都是用它解決．
記憶規(guī)律：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長與第三邊長的一半的平方差．
等和線基礎(chǔ)：系數(shù)為1型
形如，求值或者范圍，其中可以理解對(duì)應(yīng)系數(shù)如，稱之為“和”系數(shù)為1.這種類型，可以直接利用“基底線”平移，做比值即可求得
形如，求值或者范圍.一般動(dòng)點(diǎn)多在圓上，則可以通過三角換元，構(gòu)造三角函數(shù)輔助角形式求最值?？蓸?gòu)建直角坐標(biāo)系并設(shè)且()，應(yīng)用平面向量線性關(guān)系的坐標(biāo)表示求得關(guān)于參數(shù)的函數(shù)式求最值.
形如，求值或者范圍，有如下思維：
如果動(dòng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)，可以通過圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為輔助角求解。
可以借助等和線，找到=定值，然后代入消元求解單元變量范圍或最值
形如，求值或者范圍，一般情況下，則可以通過等和線或者， 然后對(duì)采用均值不等式中的“1”的代換技巧。
向量型求動(dòng)點(diǎn)軌跡：
利用向量幾何意義與坐標(biāo)運(yùn)算，尋找轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)。
①直接法，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出關(guān)于的等式即可；
②定義法，根據(jù)題意動(dòng)點(diǎn)符合已知曲線的定義，直接求出方程；
③參數(shù)法，把分別用第三個(gè)變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將代入.
四心的向量統(tǒng)一形式：設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)且；
若為內(nèi)心，則；
設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)且；
若為外心，則
；
重心四心的向量統(tǒng)一形式：設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)且；
若為重心，則；
解決該類問題常用如下方法：
（1）根據(jù)條件，利用正、余弦定理直接解三角形；
（2）利用向量，結(jié)合向量的數(shù)量積進(jìn)行求解；
（3）建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)進(jìn)行求解.
四心的向量統(tǒng)一形式：設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)且；
若為垂心，則.

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這是一份2024年高考數(shù)學(xué)二輪熱點(diǎn)題型歸納與變式演練（新高考通用）專題4-2向量四心及補(bǔ)充定理綜合歸類-1，共41頁。試卷主要包含了2向量四心及補(bǔ)充定理綜合歸類等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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