TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc5176" 題型01遞推基礎(chǔ)：等差數(shù)列定義型 PAGEREF _Tc5176 \h 1
\l "_Tc22806" 題型02遞推基礎(chǔ)：等比數(shù)列定義型 PAGEREF _Tc22806 \h 2
\l "_Tc2926" 題型03累加法求通項(xiàng) PAGEREF _Tc2926 \h 3
\l "_Tc30783" 題型04 累加法求通項(xiàng)：裂項(xiàng)型 PAGEREF _Tc30783 \h 3
\l "_Tc21037" 題型05累加法求通項(xiàng)：換元型 PAGEREF _Tc21037 \h 4
\l "_Tc8048" 題型06 累積法求通項(xiàng) PAGEREF _Tc8048 \h 5
\l "_Tc12787" 題型07待定系數(shù)型等比求通項(xiàng) PAGEREF _Tc12787 \h 6
\l "_Tc10551" 題型08分式型求通項(xiàng) PAGEREF _Tc10551 \h 6
\l "_Tc7668" 題型09不動(dòng)點(diǎn)方程求通項(xiàng) PAGEREF _Tc7668 \h 7
\l "_Tc15186" 題型10前n項(xiàng)和型求通項(xiàng) PAGEREF _Tc15186 \h 8
\l "_Tc3816" 題型11前n項(xiàng)積型求通項(xiàng) PAGEREF _Tc3816 \h 8
\l "_Tc30146" 題型12因式分解型求通項(xiàng) PAGEREF _Tc30146 \h 9
\l "_Tc11857" 題型13同除型構(gòu)造等差數(shù)列求通項(xiàng) PAGEREF _Tc11857 \h 10
\l "_Tc18303" 題型14同除型構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng) PAGEREF _Tc18303 \h 10
\l "_Tc21718" 題型15周期數(shù)列求通項(xiàng)：分段型 PAGEREF _Tc21718 \h 11
\l "_Tc32215" 題型16周期數(shù)列求通項(xiàng)：三階型 PAGEREF _Tc32215 \h 11
\l "_Tc15537" 題型17奇偶各自獨(dú)立型求通項(xiàng) PAGEREF _Tc15537 \h 12
\l "_Tc3006" 高考練場(chǎng) PAGEREF _Tc3006 \h 13
熱點(diǎn)題型歸納
題型01遞推基礎(chǔ)：等差數(shù)列定義型
【解題攻略】
【典例1-1】（2024上·山東威海·高三統(tǒng)考）已知數(shù)列，對(duì)都有，且，則 .
【典例1-2】（2024上·天津·高三天津市第一百中學(xué)校聯(lián)考期末）在數(shù)列中，，且，則 .
【變式1-1】（2023下·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則 ， .
【變式1-2】（2024上·海南?？凇じ呷Ｄ现袑W(xué)校考）在數(shù)列中，，則 ．
【變式1-3】（2023上·四川成都·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列滿足，且，則 ．
題型02遞推基礎(chǔ)：等比數(shù)列定義型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足：對(duì)任意的m，，都有，且，則（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】．（2022上·山東日照·高三統(tǒng)考）正項(xiàng)數(shù)列中，（k為常數(shù)），若，則的取值范圍是（ ）
A．B．[3，9]C．D．[3，15]
【變式1-2】（2022·陜西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，設(shè)為的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．
C．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列D．
【變式1-3】（2022·山西呂梁·統(tǒng)考一模）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，，則（ ）
A．B．C．D．
題型03累加法求通項(xiàng)
【解題攻略】
【典例1-1】已知數(shù)列滿足 ，，則的最小值為（ ）
A．2 -1B．C．D．
【典例1-2】已知數(shù)列中，，時(shí)，，______.

【變式1-1】（2023下·北京·高三北京八中?？迹┤魯?shù)列滿足，則通項(xiàng)公式為 .
【變式1-2】（2022·陜西西安·西安中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前100項(xiàng)和 ．
【變式1-3】．（2020上·湖南長(zhǎng)沙·高三雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前50項(xiàng)和是 ．
題型04 累加法求通項(xiàng)：裂項(xiàng)型
【解題攻略】
【典例1-1】（2022·北京·清華附中高三開(kāi)學(xué)考試（理））已知數(shù)列滿足，，則的通項(xiàng)公式為_(kāi)_．
【典例1-2】（2023上海市南洋模范中學(xué)高三階段練習(xí)）數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式________.
【變式1-1】（2023下·北京昌平·高三北京市昌平區(qū)第二中學(xué)?？迹┮阎獢?shù)列滿足，則=（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2023下·山東濰坊·高三山東省昌樂(lè)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則的通項(xiàng)為（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【變式1-3】（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)列中，，，則（ ）
A．B．C．D．
題型05累加法求通項(xiàng)：換元型
【典例1-1】（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列滿足,數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)__________.
【典例1-2】（2021上·陜西西安·高三西安市鐵一中學(xué)校考階段練習(xí)）數(shù)列滿足，且，則( )
A．－1B．20C．21D．22
【變式1-1】（2021上·江西吉安·高三吉安一中校考開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .
【變式1-3】（2022·甘肅白銀·高三）已知數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（ ）
A．B．C．D．
題型06 累積法求通項(xiàng)
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則下列有可能成立的是（ ）
A．若為等比數(shù)列，則
B．若為遞增的等差數(shù)列，則
C．若為等比數(shù)列，則
D．若為遞增的等差數(shù)列，則
【典例1-2】（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列中，，.記，則（ ）
A．B．
C．D．
【變式1-1】（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）定義：在數(shù)列中，，其中d為常數(shù)，則稱(chēng)數(shù)列為“等比差”數(shù)列.已知“等比差”數(shù)列中，，，則（ ）
A．1763B．1935C．2125D．2303
【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某軟件研發(fā)公司對(duì)某軟件進(jìn)行升級(jí)，主要是軟件程序中的某序列重新編輯，編輯新序列為，它的第項(xiàng)為，若序列的所有項(xiàng)都是3，且，，則（ ）
A．B．C．D．
【變式1-3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則的通項(xiàng)公式為（ ）
A．B．
C．D．
題型07待定系數(shù)型等比求通項(xiàng)
【解題攻略】
【典例1-1】（2019·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意，有，，則的最大值為（ ）
A．2B．1C．D．
【典例1-2】（19·20·專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)列{an}中．a(chǎn)1＝4，a2＝6，且當(dāng)時(shí)，，若Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，bn＝，則當(dāng)為整數(shù)時(shí)，λn＝（ ）
A．6B．12C．20D．24
【變式1-1】（19·20下·綿陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）數(shù)列滿足且，則此數(shù)列第5項(xiàng)是（ ）
A．15B．255C．16D．63
【變式1-2】（2021下·許昌）數(shù)列的首項(xiàng)，且，令，則（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【變式1-3】（2022學(xué)業(yè)考試）數(shù)列滿足，若，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
題型08分式型求通項(xiàng)
【解題攻略】
【典例1-1】（2020上·濰坊）在數(shù)列中，， (n∈N+)，則（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2021上·南寧·）數(shù)列中，，，則是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)（ ）
A．100項(xiàng)B．101項(xiàng)C．102項(xiàng)D．103項(xiàng)
【變式1-1】（2022上·楚雄·）已知數(shù)列滿足,(),則
A．B．C．D．
【變式1-2】（2016·六安·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，若，，且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A．B．C．D．
【變式1-3】（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（ ）
A．B．C．D．
題型09不動(dòng)點(diǎn)方程求通項(xiàng)
【解題攻略】
【典例1-1】（22·23下·浦東新·）若嚴(yán)格遞增數(shù)列滿足，則首項(xiàng)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（22·23下·開(kāi)封·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，若不等式對(duì)一切恒成立，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】（23·24上·廈門(mén)·階段練習(xí)）數(shù)列滿足，，，，則（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2020下·南寧·階段練習(xí)）數(shù)列滿足若不等式對(duì)任何正整數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù)λ的最小值為
【變式1-3】（22·23下·浦東新）若嚴(yán)格遞增數(shù)列滿足，則首項(xiàng)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
題型10前n項(xiàng)和型求通項(xiàng)
【解題攻略】
【典例1-1】（2023下·甘肅張掖·高三高臺(tái)縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .
【典例1-2】（2023·北京·北京四中校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，則 ；使得命題“，都有”為真命題的一個(gè)的值為 .
【變式1-1】．（2023·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ．
【變式1-2】（2023上·北京·高三北京市十一學(xué)校?？迹┮阎獢?shù)列的前項(xiàng)和為，則的通項(xiàng)公式為 .
題型11前n項(xiàng)積型求通項(xiàng)
【解題攻略】
【典例1-1】（22·23·沈陽(yáng)·三模）記數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知，則（ ）
A．4B．5C．7D．8
【典例1-2】（21·22·石嘴山·一模）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)積，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】（21·22下·包頭·一模）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)積，若，則數(shù)列的前n項(xiàng)和（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（21·22上·合肥）若數(shù)列的前項(xiàng)積，則的最大值與最小值之和為（ ）
A．B．C．2D．
【變式1-3】（20·21·廣西·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則數(shù)列的前n項(xiàng)之積的最大值為（ ）
A．16B．32C．64D．128
題型12因式分解型求通項(xiàng)
【解題攻略】
【典例1-1】（22·23上·四川·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，且，則的最大值是（ ）
A．2B．C．D．
【典例1-2】（22·23上·漳州·）若正項(xiàng)數(shù)列滿足，，則（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】（20·21下·衡水·）在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，為前項(xiàng)和，且，則 .
【變式1-2】（19·20上·浙江·開(kāi)學(xué)考試）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為 ．
題型13同除型構(gòu)造等差數(shù)列求通項(xiàng)
【解題攻略】
【典例1-1】（2022下·上饒·）在數(shù)列中，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式 ．
【典例1-2】（2022下·沈陽(yáng)·）已知數(shù)列中，,,則數(shù)列的通項(xiàng)公式 ．
【變式1-1】（22·23下·淄博·）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為
【變式1-2】（22·23·對(duì)口高考）已知數(shù)列中，，且（，且），則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ．
題型14同除型構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)
【典例1-1】（2022·唐山·二模）數(shù)列滿足，若時(shí)，，則的取值范圍是 ．
【典例1-2】（20·21上·清遠(yuǎn)·階段練習(xí)）若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式 .
【變式1-1】（2019·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____．
【變式1-2】.（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式________.
題型15周期數(shù)列求通項(xiàng)：分段型
【典例1-1】（2023上·江蘇無(wú)錫·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列滿足．若，則（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023下·高三課時(shí)練習(xí)）數(shù)列滿足若，則（ ）
A．B．C．D．
【變式1-1】（2023上·山東煙臺(tái)·高三統(tǒng)考）在數(shù)列中，，若，則（ ）
A．B．C．D．
【變式1-2】（2022上·河南鶴壁·高三鶴壁高中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A．B．C．D．
題型16周期數(shù)列求通項(xiàng)：三階型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，則 .
【典例1-2】（2023上·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，且（n為正整數(shù)），則 ．
【變式1-1】（2023上·黑龍江大慶·高三肇州縣第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，則其前2022項(xiàng)的和為 .
【變式1-2】（2023下·吉林長(zhǎng)春·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列中，，，，則 .
題型17奇偶各自獨(dú)立型求通項(xiàng)
【解題攻略】
【典例1-1】（2020上·陜西咸陽(yáng)·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則（ ）
A．4B．2C．5D．
【典例1-2】（2022·高三課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則（ ）
A．62B．63C．64D．65
【變式1-1】（2024·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，則 .
【變式1-2】（2022下·四川自貢·高三統(tǒng)考）如果數(shù)列滿足=1，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；為偶數(shù)時(shí)，，則下列結(jié)論成立的是（ ）
A．該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列
B．該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列
C．該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)各項(xiàng)分別加后構(gòu)成等比數(shù)列
D．該數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)各項(xiàng)分別加后構(gòu)成等比數(shù)列
高考練場(chǎng)練場(chǎng)
1.（2023上·重慶渝中·高三統(tǒng)考）定義：在數(shù)列中，，其中為常數(shù)，則稱(chēng)數(shù)列為“等比差”數(shù)列，已知“等比差”數(shù)列中，，，則 ．
2.（2021·江蘇·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足，，記集合，若集合M的子集個(gè)數(shù)為16，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
3.．（2020·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)列{an}中，若a1＝2，an＋1＝an＋2n－1，則an＝ ．
4.（2023下·江蘇南京·高三南京市秦淮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列，，且，，則 ．
5.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．
B．
C．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為和
D．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為和
6.（2021·全國(guó)·高三）已知中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是______________．
7.（21·22下·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足關(guān)系：，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．31B．15C．D．
8.（2022·陜西·寶雞市金臺(tái)區(qū)教育體育局教研室高三（文））已知數(shù)列滿足：，（N+），由、、歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式是__________.
9.（22·23·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則 ．
10.（2022上·天津靜?！じ呷o海一中?？迹┰O(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ．
11.（22·23下·浙江·模擬預(yù)測(cè)）記為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知，則（ ）
A．8B．9C．10D．11
12.（19·20·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足，，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（ ）
A．B．C．D．
13.（2017·四川瀘州·一模（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和（），則數(shù)列的通項(xiàng)公式__________．
14.（22·23·專(zhuān)題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列中，，則數(shù)列的通項(xiàng)（ ）
A．B．
C．D．
15.（2022·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，若數(shù)列滿足，，則（ ）
A．B．C．D．
（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)列中，已知，，且，則 ．
17.已知數(shù)列{}滿足，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，則時(shí)，（ ）
A．B．C．D． 等差數(shù)列的判定方法
①定義法：“欲證等差，直接作差”，即證an＋1－an＝定值；
②等差中項(xiàng)法：即證2an＋1＝an＋an＋2；
③函數(shù)結(jié)論法：即an為一次函數(shù)或Sn為無(wú)常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù).
等比數(shù)列的判定方法：
(1)定義法：“欲證等比，直接作比”，即證eq \f(an＋1,an)＝q(q≠0的常數(shù))?數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
(2)等比中項(xiàng)法：即證aeq \\al(2,n＋1)＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)?數(shù)列{an}是等比數(shù)列．
對(duì)于遞推公式為，一般利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
形如：的數(shù)列的遞推公式，采用累乘法求通項(xiàng)；
利用累乘法求通項(xiàng)：
累乘法：若在已知數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)存在：的關(guān)系，可用“累乘法”求通項(xiàng).
形如 為常數(shù)）,構(gòu)造等比數(shù)列。特殊情況下，當(dāng)q為2時(shí)，=p，
，變形為，也可以變形為.
形如，取倒數(shù)變形為；
形如的遞推數(shù)列，方程的根，可以分兩種情況：
（1）、若其中有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x0，則是等差數(shù)列
（2）、若其中有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)m，n，則是等比數(shù)列
若在已知數(shù)列中存在：的關(guān)系，可以利用項(xiàng)和公式，求數(shù)列的通項(xiàng).
前n項(xiàng)積型求通項(xiàng)，可以類(lèi)比前n項(xiàng)和求通項(xiàng)過(guò)程來(lái)求數(shù)列前n項(xiàng)積：
1.n=1，得a1
2.n時(shí)，所以
因式分解型求通項(xiàng)
經(jīng)驗(yàn)型：一般情況下，數(shù)列次冪比較高（二次型）遞推公式，可以考慮因式分解，或者配方型
同除型換元
形如，累加法即可。
若數(shù)列{an}滿足
若數(shù)列{an}滿足
奇偶各自獨(dú)立型求通項(xiàng)
第十六講 數(shù)列遞推及通項(xiàng)應(yīng)用
目錄
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc5176" 題型01遞推基礎(chǔ)：等差數(shù)列定義型 PAGEREF _Tc5176 \h 1
\l "_Tc22806" 題型02遞推基礎(chǔ)：等比數(shù)列定義型 PAGEREF _Tc22806 \h 3
\l "_Tc2926" 題型03累加法求通項(xiàng) PAGEREF _Tc2926 \h 5
\l "_Tc30783" 題型04 累加法求通項(xiàng)：裂項(xiàng)型 PAGEREF _Tc30783 \h 7
\l "_Tc21037" 題型05累加法求通項(xiàng)：換元型 PAGEREF _Tc21037 \h 9
\l "_Tc8048" 題型06 累積法求通項(xiàng) PAGEREF _Tc8048 \h 11
\l "_Tc12787" 題型07待定系數(shù)型等比求通項(xiàng) PAGEREF _Tc12787 \h 15
\l "_Tc10551" 題型08分式型求通項(xiàng) PAGEREF _Tc10551 \h 17
\l "_Tc7668" 題型09不動(dòng)點(diǎn)方程求通項(xiàng) PAGEREF _Tc7668 \h 18
\l "_Tc15186" 題型10前n項(xiàng)和型求通項(xiàng) PAGEREF _Tc15186 \h 22
\l "_Tc3816" 題型11前n項(xiàng)積型求通項(xiàng) PAGEREF _Tc3816 \h 23
\l "_Tc30146" 題型12因式分解型求通項(xiàng) PAGEREF _Tc30146 \h 25
\l "_Tc11857" 題型13同除型構(gòu)造等差數(shù)列求通項(xiàng) PAGEREF _Tc11857 \h 27
\l "_Tc18303" 題型14同除型構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng) PAGEREF _Tc18303 \h 28
\l "_Tc21718" 題型15周期數(shù)列求通項(xiàng)：分段型 PAGEREF _Tc21718 \h 29
\l "_Tc32215" 題型16周期數(shù)列求通項(xiàng)：三階型 PAGEREF _Tc32215 \h 31
\l "_Tc15537" 題型17奇偶各自獨(dú)立型求通項(xiàng) PAGEREF _Tc15537 \h 32
\l "_Tc3006" 高考練場(chǎng) PAGEREF _Tc3006 \h 34
熱點(diǎn)題型歸納
題型01遞推基礎(chǔ)：等差數(shù)列定義型
【解題攻略】
【典例1-1】（2024上·山東威?！じ呷y(tǒng)考）已知數(shù)列，對(duì)都有，且，則 .
【答案】
【分析】分析題意，構(gòu)造等差數(shù)列，求其前項(xiàng)和即可.
【詳解】令，可得，
故是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，則，故，
，，，
故是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
設(shè)前項(xiàng)和為，則.
故答案為：
【典例1-2】（2024上·天津·高三天津市第一百中學(xué)校聯(lián)考期末）在數(shù)列中，，且，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義可證明為等差數(shù)列，即可求解.
【詳解】由得，
所以為等差數(shù)列，且公差為1，首項(xiàng)為3，
故，進(jìn)而，
故答案為:
【變式1-1】（2023下·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則 ， .
【答案】 3
【分析】由題意，根據(jù)等差數(shù)列的定義可知數(shù)列為首項(xiàng)為1公差為3的等差數(shù)列，結(jié)合通項(xiàng)公式求出，進(jìn)而，代入化簡(jiǎn)可得答案.
【詳解】由題意，得，則數(shù)列為首項(xiàng)為1公差為3的等差數(shù)列，
所以，得，則；
由，得，即，
所以.
故答案為：；3
【變式1-2】（2024上·海南海口·高三海南中學(xué)?？迹┰跀?shù)列中，，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)數(shù)列遞推式，判斷為等差數(shù)列，即可求出的表達(dá)式，從而可求得答案.
【詳解】因?yàn)?，，所以為等差?shù)列，公差為1，首項(xiàng)為，
故，所以，而，故，
故，故答案為：
【變式1-3】（2023上·四川成都·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列滿足，且，則 ．
【答案】
【分析】將取倒數(shù)化簡(jiǎn)可得，即判斷為等差數(shù)列，即可求得的通項(xiàng)公式，即可得答案.
【詳解】由題意知數(shù)列滿足，即，即，
即為首項(xiàng)是，公差為1的等差數(shù)列，
故，
故，故答案為：
題型02遞推基礎(chǔ)：等比數(shù)列定義型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考二模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】將化簡(jiǎn)為，再利用和與項(xiàng)的關(guān)系可得，從而確定數(shù)列從第二項(xiàng)起，構(gòu)成以為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，即，
所以，
因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)都是正項(xiàng)，即，
所以，即，所以當(dāng)時(shí)，，
所以數(shù)列從第二項(xiàng)起，構(gòu)成以為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列.
所以.故選：C
【典例1-2】（2022·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足：對(duì)任意的m，，都有，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】通過(guò)賦值分析可得數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式運(yùn)算求解.
【詳解】對(duì)于，
令，則，
再令，則，可知，
故數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，
∴.故選：C.
【變式1-1】．（2022上·山東日照·高三統(tǒng)考）正項(xiàng)數(shù)列中，（k為常數(shù)），若，則的取值范圍是（ ）
A．B．[3，9]C．D．[3，15]
【答案】A
【分析】根據(jù)遞推公式，求出，然后化簡(jiǎn)，
令，得到關(guān)于的一個(gè)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求其取值即可求解.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>所以，
令，化簡(jiǎn)可得，
令，所以．故選：A．
【變式1-2】（2022·陜西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，設(shè)為的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．
C．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列D．
【答案】B
【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求，進(jìn)而可求，然后結(jié)合單調(diào)性定義及數(shù)列的求和分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷和選擇.
【詳解】因?yàn)?，?shù)列是公比為2的等比數(shù)列，
則，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；
因?yàn)槭菃握{(diào)增函數(shù)，故是單調(diào)減函數(shù)，
故數(shù)列是減數(shù)列，故C正確；
，故D正確.故選：B.
【變式1-3】（2022·山西呂梁·統(tǒng)考一模）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)遞推公式和等比數(shù)列的定義，可證明是等比數(shù)列，進(jìn)而可得，再根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求出結(jié)果.
【詳解】由得，.
又
所以為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以
即，
所以
.
故選：D.
題型03累加法求通項(xiàng)
【解題攻略】
【典例1-1】已知數(shù)列滿足 ，，則的最小值為（ ）
A．2 -1B．C．D．
【答案】C
【解析】先根據(jù)累加法得，進(jìn)而得，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得當(dāng)時(shí)，的最小值為.
【詳解】解：由得，
所以，，， ，，，
累加上述式子得：，
所以，，
檢驗(yàn)已知時(shí)，滿足.
故，，
由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以的最小值為.故選：C.
【典例1-2】已知數(shù)列中，，時(shí)，，______.

【答案】
【分析】首先遞推公式變形為，再利用累加法求和.
【詳解】
當(dāng)時(shí)，，
，
，
，
……………，
，這個(gè)式子相加得：
，
解得，
當(dāng)時(shí)，成立，
所以.
故答案為：
【變式1-1】（2023下·北京·高三北京八中?？迹┤魯?shù)列滿足，則通項(xiàng)公式為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意，利用累加法即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，，滿足，所以，
故答案為：.
【變式1-2】（2022·陜西西安·西安中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前100項(xiàng)和 ．
【答案】
【分析】疊加法求解，再裂項(xiàng)相消法求和即可.
【詳解】∵，∴時(shí)，．
∴（），
當(dāng)時(shí)也滿足上式，∴（）
∴，（）
∴數(shù)列的前項(xiàng)和
（）
所以數(shù)列的前100項(xiàng)和．
故答案為：．
【變式1-3】．（2020上·湖南長(zhǎng)沙·高三雅禮中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前50項(xiàng)和是 ．
【答案】1300
【分析】利用累加法可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再并項(xiàng)求和求解前50項(xiàng)和即可.
【詳解】因?yàn)?，，且?br>故時(shí)，，，…，，
累加可得，
，滿足上式，即，
故的前50項(xiàng)和，即
．
故答案為：1300.
題型04 累加法求通項(xiàng)：裂項(xiàng)型
【解題攻略】
【典例1-1】（2022·北京·清華附中高三開(kāi)學(xué)考試（理））已知數(shù)列滿足，，則的通項(xiàng)公式為_(kāi)_．
【答案】
【分析】首先根據(jù)題意得到，即是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，再求通項(xiàng)公式即可.
【詳解】數(shù)列滿足，，
時(shí)，，，
是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，
，．
的通項(xiàng)公式為．
故答案為：．
【典例1-2】（2023上海市南洋模范中學(xué)高三階段練習(xí)）數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式________.
【答案】
【分析】在等式兩邊同時(shí)除以，得，然后利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，由此可得出.
【詳解】在等式兩邊同時(shí)除以，得，即.
，，，.
上述等式全部相加得，，因此，.
故答案為.
【變式1-1】（2023下·北京昌平·高三北京市昌平區(qū)第二中學(xué)?？迹┮阎獢?shù)列滿足，則=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用累加法以及裂項(xiàng)求和法求得正確答案.
【詳解】依題意，，
所以
.故選：C.
【變式1-2】（2023下·山東濰坊·高三山東省昌樂(lè)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則的通項(xiàng)為（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】D
【詳解】先把，利用累加法和裂項(xiàng)相消法可求答案.
【分析】因?yàn)?，所以?br>則當(dāng)，時(shí)，，
將個(gè)式子相加可得，
因?yàn)椋瑒t，
當(dāng)時(shí)，符合上式，
所以，，，故選：D.
【變式1-3】（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)列中，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)，利用累加法先求出，進(jìn)而求得即可.
【詳解】由題意得，，
則，…，，
由累加法得，，
即，則，所以，故選：D
題型05累加法求通項(xiàng)：換元型
【典例1-1】（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（理））已知數(shù)列滿足,數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)__________.
【答案】
【分析】把化為，利用累加法和裂項(xiàng)相消法可求通項(xiàng)公式.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>兩邊同時(shí)除以得到，
整理得到：即
，
累加得到即，
所以，其中，
又時(shí)，符合，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，故填.
【典例1-2】（2021上·陜西西安·高三西安市鐵一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列滿足，且，則( )
A．－1B．20C．21D．22
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，將變形可得，由累加法分析可得﹒
【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列滿足，且，
變形可得，
則有，
則，故；
故選：B．
【變式1-1】（2021上·江西吉安·高三吉安一中校考開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且，則的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用累加法可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用數(shù)列的單調(diào)性即可得解.
【詳解】因?yàn)?，設(shè)，則，
所以，
又符合上式，所以，
則，故的最小值為.故選：B.
【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .
【答案】
【分析】由已知可得，構(gòu)造應(yīng)用累加法求其通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得的通項(xiàng)公式.
【詳解】等式兩側(cè)同除，得，
所以，
令，所以，
則，，，……，，
累加得：，而，故，
即，整理得.
故答案為：
【變式1-3】（2022·甘肅白銀·高三）已知數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式得到，進(jìn)而利用累加法可求得結(jié)果．
【詳解】數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，
，，，且，
，故選：A．
.
題型06 累積法求通項(xiàng)
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則下列有可能成立的是（ ）
A．若為等比數(shù)列，則
B．若為遞增的等差數(shù)列，則
C．若為等比數(shù)列，則
D．若為遞增的等差數(shù)列，則
【答案】B
【分析】若為等比數(shù)列，可得，進(jìn)而可得可判斷AC；若為遞增的等差數(shù)列，利用累乘法可得，再利用裂項(xiàng)相消法可得，利用累加法可得，進(jìn)而可得，可判斷BD.
【詳解】因?yàn)?，∴，即?br>若為等比數(shù)列，則的公比為，∴，
由，可得，∴，故AC錯(cuò)誤；
若為遞增的等差數(shù)列，，公差，由則，
∴，∴，即，
∴，
∴
，
又，
∴，又則，
∴當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，
故，故B正確，D錯(cuò)誤.故選：B.
【典例1-2】（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列中，，.記，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用累加法和累乘法得到，，再利用數(shù)列的單調(diào)性計(jì)算得到答案.
【詳解】，則，故，
；
，故，
，
故，A，B錯(cuò)誤；
，
，，，故，
，
D錯(cuò)誤C正確.
故選：C.
【變式1-1】（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）定義：在數(shù)列中，，其中d為常數(shù)，則稱(chēng)數(shù)列為“等比差”數(shù)列.已知“等比差”數(shù)列中，，，則（ ）
A．1763B．1935C．2125D．2303
【答案】B
【分析】運(yùn)用累和法和累積法進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列是“等比差”數(shù)列，
所以，
因?yàn)?，?br>所以，
所以有，
累和，得，
因此有，
累積，得，
所以，
故選：B
【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某軟件研發(fā)公司對(duì)某軟件進(jìn)行升級(jí)，主要是軟件程序中的某序列重新編輯，編輯新序列為，它的第項(xiàng)為，若序列的所有項(xiàng)都是3，且，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)新定義判斷出是公比為的等比數(shù)列，再利用迭乘法得到 ，最后根據(jù)和，聯(lián)立方程組求解即可.
【詳解】令，即，則，
由已知得，所以數(shù)列為公比為的等比數(shù)列，
設(shè)，則，，，，
當(dāng)時(shí)，累乘可得，
即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得，故選：A.
【變式1-3】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則的通項(xiàng)公式為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由得，兩式相減得，把分別代入，用累乘法得，，再驗(yàn)證也成立，即可得到.
【詳解】由得，
兩式相減得: ,
即，即，即，.
所以，，，…，.
相乘得：……，
即，因?yàn)?，所以?
當(dāng)時(shí)，，所以.
故選：B
題型07待定系數(shù)型等比求通項(xiàng)
【解題攻略】
【典例1-1】（2019·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)任意，有，，則的最大值為（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】D
【分析】由題意易得時(shí)，，兩式相減化簡(jiǎn)構(gòu)造可得數(shù)列為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，即，代入可得的解析式，設(shè)，作差判斷出的單調(diào)性，可得最大值.
【詳解】由得當(dāng)時(shí)，，
兩式作差得，即，
當(dāng)時(shí)，
所以，又因?yàn)椋?br>所以數(shù)列為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
則， ，
設(shè)，則，
則有，當(dāng)時(shí)，，
所以的最大值為，故選：D.
【典例1-2】（19·20·專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)列{an}中．a(chǎn)1＝4，a2＝6，且當(dāng)時(shí)，，若Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，bn＝，則當(dāng)為整數(shù)時(shí)，λn＝（ ）
A．6B．12C．20D．24
【答案】D
【分析】首先根據(jù)條件通過(guò)配湊系數(shù)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；然后再根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而可求出Tn，代入可求出，從而可判斷選項(xiàng).
【詳解】當(dāng)時(shí)，由，得，又因?yàn)椋?br>所以從第二項(xiàng)起是首項(xiàng)為3，公比為4的等比數(shù)列，
所以時(shí)，，所以.
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
所以 ，
所以，
要使為整數(shù)，需是15的因數(shù)，所以，此時(shí).
故選：D.
【變式1-1】（19·20下·綿陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）數(shù)列滿足且，則此數(shù)列第5項(xiàng)是（ ）
A．15B．255C．16D．63
【答案】B
【分析】由可得，即為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解
【詳解】∵，
∴，
∴是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，
則．
∴，
∴．
故選：B．
【變式1-2】（2021下·許昌）數(shù)列的首項(xiàng)，且，令，則（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】C
【分析】由題意得，結(jié)合已知有是首項(xiàng)、公比均為4的等比數(shù)列，進(jìn)而得到，即可求目標(biāo)式的值.
【詳解】∵，
∴，即且，
∴數(shù)列是以4為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列，故，
由得：，
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，
∴．
故選：C
【變式1-3】（2022學(xué)業(yè)考試）數(shù)列滿足，若，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由條件可得，然后可得，然后得出即可.
【詳解】由可得，所以
所以，所以
所以，所以，所以
故選：D
題型08分式型求通項(xiàng)
【解題攻略】
【典例1-1】（2020上·濰坊）在數(shù)列中，， (n∈N+)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】取倒數(shù)，確定是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，計(jì)算得到答案.
【詳解】，則，故是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.
，，.
故選：.
【典例1-2】（2021上·南寧·）數(shù)列中，，，則是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)（ ）
A．100項(xiàng)B．101項(xiàng)C．102項(xiàng)D．103項(xiàng)
【答案】A
【解析】由條件可得，則，進(jìn)而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，令，求出值即可.
【詳解】解：由，得，
則，，
令，得.故選：A.
【變式1-1】（2022上·楚雄·）已知數(shù)列滿足,(),則
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由遞推公式可得數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，求出其通項(xiàng)公式即可得解.
【詳解】解：()，().即(),所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,所以,即,.
故選：
【變式1-2】（2016·六安·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，若，，且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】應(yīng)用構(gòu)造法及已知條件可得是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，寫(xiě)出通項(xiàng)公式，即可得，根據(jù)的單調(diào)性求的范圍.
【詳解】由題設(shè)，，則，且，
所以數(shù)列是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列，
所以，則，
因?yàn)榍沂菃握{(diào)遞增數(shù)列，即，
所以，化簡(jiǎn)得恒成立，
因?yàn)閿?shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則，
故選：B．
【變式1-3】（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，化簡(jiǎn)得，根據(jù)等差數(shù)列的定義，得到以數(shù)列表示首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，求得，進(jìn)而求得以數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【詳解】由題意，數(shù)列滿足，取倒數(shù)可得，
又由，所以，所以數(shù)列表示首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，
所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故選：C.
題型09不動(dòng)點(diǎn)方程求通項(xiàng)
【解題攻略】
【典例1-1】（22·23下·浦東新·）若嚴(yán)格遞增數(shù)列滿足，則首項(xiàng)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由數(shù)列的單調(diào)性可得出或，推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的公比，可求得，然后就或恒成立進(jìn)行討論，綜合可得出的取值范圍.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，由，
解得或，因?yàn)?，且?br>所以，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，故，解得.
若恒成立，可得，
即，即，因?yàn)椴坏仁讲豢赡芎愠闪?，舍去?br>若，可得，
即，即，解得，
因此，首項(xiàng)的取值范圍是.故選：A.
【典例1-2】（22·23下·開(kāi)封·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，若不等式對(duì)一切恒成立，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題可得，利用等比數(shù)列的定義結(jié)合條件可得，然后利用錯(cuò)位相減法可得，再分類(lèi)討論可得的取值范圍.
【詳解】因?yàn)?，，所以，而，所以是以為首?xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，即，所以，
，所以，
所以 由，得，
則當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有，所以，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有，所以，綜上，的取值范圍為．故選：B.
【變式1-1】（23·24上·廈門(mén)·階段練習(xí)）數(shù)列滿足，，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】將遞推式化為，從而得到是常列數(shù)，進(jìn)而得到是等差數(shù)列，由此求得，據(jù)此解答即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，即，則，故，
又，，所以，
所以是以首項(xiàng)為的常數(shù)列，則，
又，，所以是以首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
故，則，
所以.故選：A.
【變式1-2】（2020下·南寧·階段練習(xí)）數(shù)列滿足若不等式對(duì)任何正整數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù)λ的最小值為
【答案】
【解析】根據(jù)遞推關(guān)系式求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)求和法求得的值，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的最小值.
【詳解】，令，則，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以.所以，所以
.
依題意對(duì)任何正整數(shù)恒成立，即，所以，所以的最小值為.故答案為：
【變式1-3】（22·23下·浦東新）若嚴(yán)格遞增數(shù)列滿足，則首項(xiàng)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由數(shù)列的單調(diào)性可得出或，推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的公比，可求得，然后就或恒成立進(jìn)行討論，綜合可得出的取值范圍.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，由，
解得或，
因?yàn)?，且?br>所以，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，故，
解得.
若恒成立，可得，
即，即，
因?yàn)椴坏仁讲豢赡芎愠闪ⅲ崛ィ?br>若，可得，
即，即，解得，
因此，首項(xiàng)的取值范圍是.
故選：A.
題型10前n項(xiàng)和型求通項(xiàng)
【解題攻略】
【典例1-1】（2023下·甘肅張掖·高三高臺(tái)縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .
【答案】
【分析】利用數(shù)列和與通項(xiàng)的關(guān)系，分兩種情況求解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，所以?xún)墒较鄿p可得；
顯然不滿足上式，綜上可得.故答案為：
【典例1-2】（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，則 ；使得命題“，都有”為真命題的一個(gè)的值為 .
【答案】 3（答案不唯一，）
【分析】根據(jù)給定的前項(xiàng)和求出通項(xiàng)即可，由求出的取值范圍作答.
【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，顯然不滿足上式，
所以；
當(dāng)時(shí)，，不等式不成立，
當(dāng)時(shí)，，
不等式，而，解得，
因此對(duì)，不等式恒成立，
所以“，都有”為真命題的，取的一個(gè)值為3.
故答案為：；3
【變式1-1】．（2023·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ．
【答案】
【分析】取得到，時(shí)，根據(jù)計(jì)算得到答案.
【詳解】，取得到，
當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，不滿足。
所以.故答案為：.
【變式1-2】（2023上·北京·高三北京市十一學(xué)校校考）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的通項(xiàng)公式為 .
【答案】
【分析】利用計(jì)算即可，注意求時(shí)，的值.
【詳解】由已知當(dāng)時(shí)，
，
又時(shí)，，
故的通項(xiàng)公式為，
故答案為：.
.
題型11前n項(xiàng)積型求通項(xiàng)
【解題攻略】
【典例1-1】（22·23·沈陽(yáng)·三模）記數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知，則（ ）
A．4B．5C．7D．8
【答案】B
【分析】根據(jù)題設(shè)及遞推式求項(xiàng)，然后求即可.
【詳解】由題設(shè)，即，，即，
，即，，即，
所以.故選：B
【典例1-2】（21·22·石嘴山·一模）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)積，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出，再根據(jù)題意可得,化簡(jiǎn)為，由此求得答案.
【詳解】當(dāng) 時(shí)，，
當(dāng) 時(shí)，，即，
故數(shù)列為首項(xiàng)為 ，公差為 的等差數(shù)列，
故 ，
故選：D
【變式1-1】（21·22下·包頭·一模）已知為數(shù)列的前n項(xiàng)積，若，則數(shù)列的前n項(xiàng)和（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先將等式化為的關(guān)系式并化簡(jiǎn)，然后根據(jù)等差數(shù)列的定義求出，由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得結(jié)果.
【詳解】當(dāng)n=1時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
于是是以-1為首項(xiàng)，-2為公差的等差數(shù)列，所以.
所以，
故選：D.
【變式1-2】（21·22上·合肥）若數(shù)列的前項(xiàng)積，則的最大值與最小值之和為（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】由題可得，利用數(shù)列的增減性可得最值，即求.
【詳解】∵數(shù)列的前項(xiàng)積，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，，
時(shí)也適合上式，∴，
∴當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，且，
故的最大值為，最小值為，
∴的最大值與最小值之和為2.故選：C.
【變式1-3】（20·21·廣西·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則數(shù)列的前n項(xiàng)之積的最大值為（ ）
A．16B．32C．64D．128
【答案】C
【分析】由得到數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，再由求得數(shù)列即可.
【詳解】由可知，，所以，
所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列.由可知，，
所以.所以數(shù)列為，
所以的前n項(xiàng)之積的最大值為.
故選：C.
題型12因式分解型求通項(xiàng)
【解題攻略】
【典例1-1】（22·23上·四川·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，且，則的最大值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】將化為，可得，，解不等式組求出，可得結(jié)果.
【詳解】當(dāng)時(shí)，由，得，
因?yàn)?，所以，所以，所以，又滿足上式，
所以，所以，所以，
設(shè)為數(shù)列中的最大項(xiàng)，則，所以，所以，
所以，所以，因?yàn)椋裕?br>所以的最大值是.故選：C
【典例1-2】（22·23上·漳州·）若正項(xiàng)數(shù)列滿足，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由遞推公式推出數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)數(shù)列特征求和.
【詳解】由，得，又是正項(xiàng)數(shù)列，所以，，則數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，.
，，，
可得數(shù)列是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以.
故選：B.
【變式1-1】（20·21下·衡水·）在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，為前項(xiàng)和，且，則 .
【答案】
【分析】將遞推關(guān)系式因式分解為，從而可得，由累乘法可得，可判斷數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求解.
【詳解】解：，，即，
又?jǐn)?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，即，
，因?yàn)椋裕?br>所以，故答案為：.
【變式1-2】（19·20上·浙江·開(kāi)學(xué)考試）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為 ．
【答案】
【分析】由已知表達(dá)式因式分解得到數(shù)列的遞推式，再運(yùn)用累乘的方法求得通項(xiàng)公式，再將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消求和得解.
【詳解】由已知得所以又因?yàn)?
所以所以所以；
累乘得所以
所以=所以
累加求和得故答案為
題型13同除型構(gòu)造等差數(shù)列求通項(xiàng)
【解題攻略】
【典例1-1】（2022下·上饒·）在數(shù)列中，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式 ．
【答案】
【分析】構(gòu)造新的數(shù)列，通過(guò)新的數(shù)列的通項(xiàng)求.
【詳解】∵數(shù)列的首項(xiàng),且,，
∴,，∴是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴，∴該數(shù)列的通項(xiàng)公式：.故答案為：.
【典例1-2】（2022下·沈陽(yáng)·）已知數(shù)列中，,,則數(shù)列的通項(xiàng)公式 ．
【答案】
【詳解】由題意得，則，又因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，即，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
【變式1-1】（22·23下·淄博·）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為
【答案】
【分析】由已知可得，利用為等差數(shù)列求的通項(xiàng)公式.
【詳解】由得，
故為等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為1，
所以
所以.
故答案為：
【變式1-2】（22·23·對(duì)口高考）已知數(shù)列中，，且（，且），則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ．
【答案】
【分析】由兩邊同除，構(gòu)造等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)果.
【詳解】當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，又?br>所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
所以，則.
故答案為：
.
題型14同除型構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)
【典例1-1】（2022·唐山·二模）數(shù)列滿足，若時(shí)，，則的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】,
,
故填.
【典例1-2】（20·21上·清遠(yuǎn)·階段練習(xí)）若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式 .
【答案】
【解析】由，可得，設(shè)，即，先求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到答案.
【詳解】由，可得，設(shè)
則，則
所以是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.
則，則，所以
故答案為：
【變式1-1】（2019·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】在等式兩邊同時(shí)除以得，利用待定系數(shù)法得出，可知數(shù)列為等比數(shù)列，求出該數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求出.
【詳解】由，兩邊同時(shí)除以得，
設(shè)，化簡(jiǎn)得，與比較得.
，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，即，故答案為.
【變式1-2】.（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式________.
【答案】
【解析】由，可得，設(shè)，即，先求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到答案.
【詳解】由，可得，設(shè)
則，則
所以是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.
則，則，所以
故答案為：
題型15周期數(shù)列求通項(xiàng)：分段型
【典例1-1】（2023上·江蘇無(wú)錫·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列滿足．若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】逐項(xiàng)計(jì)算找到數(shù)列的周期即可.
【詳解】由題意，，，，，…
故數(shù)列周期為4，則.
故選：B
【典例1-2】（2023下·高三課時(shí)練習(xí)）數(shù)列滿足若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可得周期，利用周期即可求解.
【詳解】由得，，，因此數(shù)列為周期為3的周期數(shù)列，所以，
故選:A
【變式1-1】（2023上·山東煙臺(tái)·高三統(tǒng)考）在數(shù)列中，，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】推導(dǎo)出對(duì)任意的，，利用數(shù)列的周期性可求得的值.
【詳解】在數(shù)列中，，且，
則，，，，，
以此類(lèi)推可知，對(duì)任意的，，所以，.
故選：D.
【變式1-2】（2022上·河南鶴壁·高三鶴壁高中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)遞推公式可驗(yàn)證知數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，則由可求得結(jié)果.
【詳解】，，，
，，……，
以此類(lèi)推，可知數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，
.故選：A.
題型16周期數(shù)列求通項(xiàng)：三階型
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·河北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意，推得，得到數(shù)列的一個(gè)周期為，求得的值，結(jié)合，即可求解.
【詳解】由，可得，所以，即，
所以，所以數(shù)列的一個(gè)周期為，
又由，
所以，所以.
故答案為：.
【典例1-2】（2023上·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，且（n為正整數(shù)），則 ．
【答案】1
【分析】通過(guò)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的周期，根據(jù)周期求解即可.
【詳解】因?yàn)?，，且?br>所以，，，，，，…，
所以是以6為周期的數(shù)列，因?yàn)椋裕?br>故答案為：.
【變式1-1】（2023上·黑龍江大慶·高三肇州縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則其前2022項(xiàng)的和為 .
【答案】0
【分析】求出數(shù)列的周期，并得到，求出前2022項(xiàng)的和.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，，，
，，
依次進(jìn)行求解，發(fā)現(xiàn)為周期數(shù)列，周期為6，
且，
故，
故其前2022項(xiàng)的和為.
故答案為：0
【變式1-2】（2023下·吉林長(zhǎng)春·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列中，，，，則 .
【答案】
【分析】計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)，可得數(shù)列的最小正周期為6，計(jì)算可得所求值．
【詳解】由題意知，，
，，
，，
，，
易知是周期為6的數(shù)列，
．
故答案為：-3
題型17奇偶各自獨(dú)立型求通項(xiàng)
【解題攻略】
【典例1-1】（2020上·陜西咸陽(yáng)·高三校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則（ ）
A．4B．2C．5D．
【答案】A
【解析】根據(jù)，再寫(xiě)一個(gè)式子，兩式相比得到奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，則可解.
【詳解】解：，所以，所以，
數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)組成等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)組成等比數(shù)列，故，
故選：A
【典例1-2】（2022·高三課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則（ ）
A．62B．63C．64D．65
【答案】D
【解析】由題意可得，，即數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式分組求和可得和.
【詳解】由，，
可知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列.
所以，
，
所以.
故選：D
【變式1-1】（2024·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，則 .
【答案】9
【分析】當(dāng)時(shí)，求出，由可得，兩式相減可得，所以的偶數(shù)項(xiàng)是以為首相，公差為的等差數(shù)列，即可得出答案.
【詳解】因?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，，解得：，
，兩式相減可得：，
所以的偶數(shù)項(xiàng)是以為首相，公差為的等差數(shù)列，
所以.
故答案為：9.
【變式1-2】（2022下·四川自貢·高三統(tǒng)考）如果數(shù)列滿足=1，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；為偶數(shù)時(shí)，，則下列結(jié)論成立的是（ ）
A．該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列
B．該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列
C．該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)各項(xiàng)分別加后構(gòu)成等比數(shù)列
D．該數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)各項(xiàng)分別加后構(gòu)成等比數(shù)列
【答案】D
【詳解】試題分析：根據(jù)條件，此數(shù)列的前幾項(xiàng)是，觀察前幾項(xiàng)，就可知此數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)不是等比數(shù)列，也不是等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)也不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)各項(xiàng)加4后是也不構(gòu)成等比數(shù)列，所以都不正確，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，是奇數(shù)，所以代入上式，兩邊同時(shí)加4后得到，等價(jià)于，所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，各項(xiàng)加4后成為等比數(shù)列．
.
高考練場(chǎng)
1.（2023上·重慶渝中·高三統(tǒng)考）定義：在數(shù)列中，，其中為常數(shù)，則稱(chēng)數(shù)列為“等比差”數(shù)列，已知“等比差”數(shù)列中，，，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)“等比差”數(shù)列的概念可得，進(jìn)而得解.
【詳解】由數(shù)列為“等比差”數(shù)列，
則，
所以，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
所以，，則，
所以，故答案為:.
2.（2021·江蘇·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足，，記集合，若集合M的子集個(gè)數(shù)為16，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知求出，，然后研究的單調(diào)性求解即可．
【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
因?yàn)榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和為
所以 ，即，
又，所以，
又?jǐn)?shù)列滿足，所以數(shù)列為等比數(shù)列，公比，首項(xiàng)為，
所以，得，
所以，設(shè)，令，得，
即，，又集合M的子集個(gè)數(shù)為16，
所以M只有4個(gè)元素，
即不等式只有4個(gè)解，
又，
所以，
故選：C．
3.．（2020·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)列{an}中，若a1＝2，an＋1＝an＋2n－1，則an＝ ．
【答案】2n－1＋1
【解析】依題意可得，再利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以
所以
則
故答案為：
4.（2023下·江蘇南京·高三南京市秦淮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列，，且，，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意利用裂項(xiàng)法可得，再利用累加法可得答案.
【詳解】由題意得，則，
故時(shí)，，，，，
所以以上式子相加得，，
時(shí)，也符合上式，
.
故答案為：.
5.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．
B．
C．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為和
D．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為和
【答案】C
【分析】令，由已知得運(yùn)用累加法得，從而可得，作差得，從而可得，由此可得選項(xiàng).
【詳解】令，則，又，所以，，， ，，
所以累加得，所以，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，
即，所以數(shù)列的最小項(xiàng)為和，
故選：C.
6.（2021·全國(guó)·高三）已知中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是______________．
【答案】
【分析】根據(jù)題設(shè)遞推關(guān)系得，應(yīng)用累乘法求的通項(xiàng)公式即可.
【詳解】由，可得：，又，
∴＝．
∴．
故答案為：
7.（21·22下·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足關(guān)系：，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．31B．15C．D．
【答案】C
【分析】依題意可得，即可得到是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而求出的通項(xiàng)公式，即可得解；
【詳解】解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，所以，且，所以是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，即，所以.
故選:C.
8.（2022·陜西·寶雞市金臺(tái)區(qū)教育體育局教研室高三（文））已知數(shù)列滿足：，（N+），由、、歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式是__________.
【答案】
【分析】由遞推公式求出、、，歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可利用對(duì)變形求得數(shù)列是等比數(shù)列，再求通項(xiàng)公式.
【詳解】，，，，由此歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式，以下證明：
由，得，所以，
又，所以，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式．
故答案為：.
9.（22·23·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則 ．
【答案】
【分析】由遞推公式找到對(duì)應(yīng)的不動(dòng)點(diǎn)方程，巧用“不動(dòng)點(diǎn)法”求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【詳解】設(shè)，令得：，解得：；
，化簡(jiǎn)得，，
所以，從而，
故，
又，所以是首項(xiàng)和公差均為的等差數(shù)列，
從而，故．
故答案為：
10.（2022上·天津靜?！じ呷o海一中?？迹┰O(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ．
【答案】
【分析】利用，即得.
【詳解】因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
∵不適合上式，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.
故答案為：.
11.（22·23下·浙江·模擬預(yù)測(cè)）記為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知，則（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】D
【分析】當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有，結(jié)合題目條件，即可求得本題答案.
【詳解】1.當(dāng)時(shí)，，，；
2.當(dāng)時(shí)，有，代入，得，
化簡(jiǎn)得：，則，.
故選：D
12.（19·20·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足，，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先根據(jù)題中條件，可以整理得到，從而判斷出數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而求得，之后應(yīng)用錯(cuò)位相減法求得，將代入即可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以有，
所以，
因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，
即，又因?yàn)?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
所以，所以，所以①，
②，
①-②得：，所以，
所以，故選：C.
13.（2017·四川瀘州·一模（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和（），則數(shù)列的通項(xiàng)公式__________．
【答案】
【詳解】因，故，以上兩式兩邊相減可得，即，也即，所以，即，應(yīng)填答案．
14.（22·23·專(zhuān)題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列中，，則數(shù)列的通項(xiàng)（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】給已知等式兩邊同除以，令則可得，從而得數(shù)列是等比數(shù)列，求出，進(jìn)而可求出
【詳解】在遞推公式的兩邊同時(shí)除以，得①，
令，則①式變?yōu)?，即?br>所以數(shù)列是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為，
所以，即，所以，
所以，
15.（2022·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，若數(shù)列滿足，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由函數(shù)關(guān)系式及已知求得數(shù)列從第三項(xiàng)起構(gòu)成周期為3的數(shù)列，再由周期性求解即可.
【詳解】由題意知，，，則，，，，，…，
所以數(shù)列從第三項(xiàng)起構(gòu)成周期為3的數(shù)列，故．
故選：D．
16.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在數(shù)列中，已知，，且，則 ．
【答案】
【分析】由遞推關(guān)系得出數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，即可得到答案．
【詳解】由，，可得，，，…，
所以是以3為周期的周期數(shù)列，
因?yàn)椋?br>所以，
故答案為：0．
17.已知數(shù)列{}滿足，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，則時(shí)，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分析知：當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，則時(shí)，利用累加法即可求出答案.
【詳解】由n為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，可得當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，所以時(shí).
故選：C.
等差數(shù)列的判定方法
①定義法：“欲證等差，直接作差”，即證an＋1－an＝定值；
②等差中項(xiàng)法：即證2an＋1＝an＋an＋2；
③函數(shù)結(jié)論法：即an為一次函數(shù)或Sn為無(wú)常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù).
等比數(shù)列的判定方法：
(1)定義法：“欲證等比，直接作比”，即證eq \f(an＋1,an)＝q(q≠0的常數(shù))?數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
(2)等比中項(xiàng)法：即證aeq \\al(2,n＋1)＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)?數(shù)列{an}是等比數(shù)列．
對(duì)于遞推公式為，一般利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
形如：的數(shù)列的遞推公式，采用累乘法求通項(xiàng)；
利用累乘法求通項(xiàng)：
累乘法：若在已知數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)存在：的關(guān)系，可用“累乘法”求通項(xiàng).
形如 為常數(shù)）,構(gòu)造等比數(shù)列。特殊情況下，當(dāng)q為2時(shí)，=p，
，變形為，也可以變形為.
形如，取倒數(shù)變形為；
形如的遞推數(shù)列，方程的根，可以分兩種情況：
（1）、若其中有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x0，則是等差數(shù)列
（2）、若其中有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)m，n，則是等比數(shù)列
若在已知數(shù)列中存在：的關(guān)系，可以利用項(xiàng)和公式，求數(shù)列的通項(xiàng).
前n項(xiàng)積型求通項(xiàng)，可以類(lèi)比前n項(xiàng)和求通項(xiàng)過(guò)程來(lái)求數(shù)列前n項(xiàng)積：
1.n=1，得a1
2.n時(shí)，所以
因式分解型求通項(xiàng)
經(jīng)驗(yàn)型：一般情況下，數(shù)列次冪比較高（二次型）遞推公式，可以考慮因式分解，或者配方型
同除型換元
形如，累加法即可。
若數(shù)列{an}滿足
若數(shù)列{an}滿足
奇偶各自獨(dú)立型求通項(xiàng)

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