第02講變量和函數(shù)及其圖象性質(zhì)探究（考點精析+真題精講）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點研究（全國通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2、學(xué)會運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問題的解決方法（以形助數(shù)），或利用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何問題（以數(shù)助形）的一種數(shù)學(xué)思想。
3、要學(xué)會搶得分點。一道中考數(shù)學(xué)壓軸題解不出來，不等于“一點不懂、一點不會”，要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點。
4、學(xué)會運(yùn)用等價轉(zhuǎn)換思想。在研究數(shù)學(xué)問題時，我們通常是將未知問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。
5、學(xué)會運(yùn)用分類討論的思想。如果不注意對各種情況分類討論，就有可能造成錯解或漏解，縱觀近幾年的中考壓軸題分類討論思想解題已成為新的熱點。
6、轉(zhuǎn)化思想:體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上也就是要把難的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題。
備戰(zhàn)2024中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)
第2講變量和函數(shù)其圖象性質(zhì)探究
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第一章函數(shù)
第2講變量和函數(shù)及其圖象性質(zhì)探究
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考向一變量與變量之間的關(guān)系
考向二用表格法表示函數(shù)
考向三用圖像表示函數(shù)
考向四用關(guān)系式法表示函數(shù)
考向五函數(shù)的取值
考向六函數(shù)圖像性質(zhì)
第2講變量和函數(shù)及其圖象性質(zhì)探究
該版塊內(nèi)容是初中代數(shù)最重要的部分，是代數(shù)的基礎(chǔ)，是非?；A(chǔ)也是非常重要的，年年都會考查，分值為6分左右，預(yù)計2024年各地中考還將出現(xiàn)，在選填題中出現(xiàn)的可能性較大.
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1．函數(shù)
（1）函數(shù)的定義
一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)．
例如：在s=60t中，有兩個變量；s與t，當(dāng)t變化時，s也隨之發(fā)生變化，并且對于t在其取值范圍內(nèi)的每一個值，s都有唯一確定的值與之對應(yīng)，我們就稱t是自變量，s是t的函數(shù)．
對函數(shù)定義的理解，主要抓住以下三點：①有兩個變量．②函數(shù)不是數(shù)，函數(shù)的本質(zhì)是對應(yīng)，函數(shù)關(guān)系就是變量之間的對應(yīng)關(guān)系，且是一種特殊的對應(yīng)關(guān)系，一個變量的數(shù)值隨著另一個變量數(shù)值的變化而變化．③函數(shù)的定義中包括了對應(yīng)值的存在性和唯一性兩重意思，即對自變量的每一個確定的值，函數(shù)有且只有一個值與之對應(yīng)，對自變量x的不同取值，y的值可以相同，如：函數(shù)y=x2，當(dāng)x=1和x=-1時，y的對應(yīng)值都是1．④在某個變化過程中處于主導(dǎo)地位的變量即為自變量，隨之變化且對應(yīng)值有唯一確定性的另一個變量即為該自變量的函數(shù).
（2）函數(shù)取值范圍的確定
使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體叫做自變量的取值范圍，函數(shù)自變量的取值范圍的確定必須考慮兩個方面：①不同類型的函數(shù)關(guān)系式中自變量取值范圍的求解方法；②當(dāng)用函數(shù)關(guān)系式表示實際問題時，自變量的取值不但要使函數(shù)關(guān)系式有意義，而且還必須使實際問題有意義．
（3）函數(shù)解析式及函數(shù)值
函數(shù)解析式：用關(guān)于自變量的數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)與自變量之間的關(guān)系，是描述函數(shù)的常用方法，這種式子叫做函數(shù)的解析式．
注意：①函數(shù)解析式是等式．②函數(shù)解析式中指明了哪個是自變量，哪個是函數(shù)，通常等式右邊的代數(shù)式中的變量是自變量，等式左邊的變量表示函數(shù)．③書寫函數(shù)的解析式是有順序的．y=2x-1表示y是x的函數(shù)，若x=2y-1，則表示x是y的函數(shù)，即求y關(guān)于x的函數(shù)解析式時，必須用含x的代數(shù)式表示y，就是等式左邊是一個變量y，右邊是一個含x的代數(shù)式．④用數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)的方法叫做解析式法．
函數(shù)值：對于自變量x在取值范圍內(nèi)的某個確定的值a，函數(shù)y所對應(yīng)的值為b，即當(dāng)x=a，y=b時，b叫做自變量x的值為a時的函數(shù)值．
（4）函數(shù)的圖象及其畫法
一般地，對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象．
畫函數(shù)的圖象，可以運(yùn)用描點法，其一般步驟如下：
①列表：表中列舉一些自變量的值及其對應(yīng)的函數(shù)值，自變量的取值不應(yīng)使函數(shù)值太大或太小，以便于描點，點數(shù)一般以5到7個為宜．②描點：在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對應(yīng)的各點．描點時，要注意橫、縱坐標(biāo)的符號與點所在的象限（或坐標(biāo)軸）之間的關(guān)系，描出的點大小要適中，位置要準(zhǔn)確．③連線：按照橫坐標(biāo)由小到大的順序，把所描出的各點用平滑曲線連接起來．
（5）函數(shù)的表示方法
函數(shù)的表示方法一般有三種：解析式法、列表法和圖象法，表示函數(shù)關(guān)系時，要根據(jù)具體情況選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，有時為了全面地認(rèn)識問題，需要幾種方法同時使用．
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考向一變量與變量之間的關(guān)系
1．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）向高為10的容器（形狀如圖）中注水，注滿為止，則水深h與注水量v的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】從水瓶的構(gòu)造形狀上看，從底部到頂部的變化關(guān)系為：開始寬，逐漸細(xì)小，再變寬，再從函數(shù)的圖象上看，選出答案．
【詳解】解：從水瓶的構(gòu)造形狀上看，從底部到頂部的變化關(guān)系為：開始寬，逐漸細(xì)小，再變寬．
則注入的水量v隨水深h的變化關(guān)系為：先慢再快，最后又變慢，
那么從函數(shù)的圖象上看，
C對應(yīng)的圖象變化為先快再慢，最后又變快，不符合；
A、B對應(yīng)的圖象中間沒有變化，只有D符合條件．
故選：D．
【點睛】本題主要考查函數(shù)的定義及函數(shù)的圖象的關(guān)系，抓住變量之間的變化關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
2．（2020春?鐵西區(qū)校級期中）在球的體積公式V=43πR3中，下列說法正確的是（）
A．V、π、R是變量，43為常量B．V、π是變量，R為常量
C．V、R是變量，43、π為常量D．以上都不對
【分析】根據(jù)變量和常量的定義：在一個變化的過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量；數(shù)值始終不變的量稱為常量可得答案．
【解析】在球的體積公式V=43πR3中，V，R是變量，43，π是常量，
故選：C．
3．（2020春?市北區(qū)期末）小明家距離學(xué)校8千米，今天早晨，小明騎車上學(xué)圖中，自行車出現(xiàn)故障，恰好路邊有便民服務(wù)點，幾分鐘后車修好了，他以更快的速度勻速騎車到校．我們根據(jù)小明的這段經(jīng)歷畫了一幅圖象（如圖），該圖描繪了小明行駛的路程（千米）與他所用的時間（分鐘）之間的關(guān)系．請根據(jù)圖象，解答下列問題：
（1）小明行了多少千米時，自行車出現(xiàn)故障？修車用了幾分鐘？
（2）小明從早晨出發(fā)直到到達(dá)學(xué)校共用了多少分鐘？
（3）小明修車前、后的行駛速度分別是多少？
（4）如果自行車未出現(xiàn)故障，小明一直用修車前的速度行駛，那么他比實際情況早到或晚到多少分鐘？
【分析】
（1）根據(jù)自行車出現(xiàn)故障后路程s不變解答，修車的時間等于路程不變的時間；
（2）路程等于8千米時的時間即為用的時間；
（3）利用速度＝路程÷時間分別列式計算即可得解；
（4）求出未出故障需用的時間，然后用實際情況的時間減正常行駛的時間即可進(jìn)行判斷．
【解析】
（1）由圖可知，小明行了3千米時，自行車出現(xiàn)故障，
修車用了15﹣10＝5（分鐘）；
（2）小明共用了30分鐘到學(xué)校；
（3）修車前速度：3÷10＝0.3千米/分，
修車后速度：5÷15=13千米/分；
（4）8÷310=803（分種），
30?803=103（分鐘），
故他比實際情況早到103分鐘．
考向二用表格法表示函數(shù)
4．（2020春?鄭州期末）一個學(xué)習(xí)小組利用同一塊木板，測量了小車從不同高度下滑的時間，他們得到如表數(shù)據(jù)：
下列說法正確的是（）
A．當(dāng)h＝70cm時，t＝1.50s
B．h每增加10cm，t減小1.23
C．隨著h逐漸變大，t也逐漸變大
D．隨著h逐漸升高，小車下滑的平均速度逐漸加快
【分析】
根據(jù)函數(shù)的表示方法，可得答案．
【解答】
解；A、當(dāng)h＝70cm時，t＝1.59s，故A錯誤；
B、h每增加10cm，t減小的值不一定，故B錯誤；
C、隨著h逐漸升高，t逐漸變小，故C錯誤；
D、隨著h逐漸升高，小車的時間減少，小車的速度逐漸加快，故D正確；
故選：D．
5．（2020春?南海區(qū)期末）某科研小組在網(wǎng)上獲取了聲音在空氣中傳播的速度與空氣溫度關(guān)系的一些數(shù)據(jù)（如下表）：
下列說法錯誤的是（）
A．在這個變化中，自變量是溫度，因變量是聲速
B．溫度越高，聲速越快
C．當(dāng)空氣溫度為20℃時，聲音5s可以傳播1740m
D．當(dāng)溫度每升高10℃，聲速增加6m/s
【分析】根據(jù)自變量、因變量的含義，以及聲音在空氣中傳播的速度與空氣溫度關(guān)系逐一判斷即可．
【解析】∵在這個變化中，自變量是溫度，因變量是聲速，
∴選項A正確；
∵根據(jù)數(shù)據(jù)表，可得溫度越高，聲速越快，
∴選項B正確；
∵342×5＝1710（m），
∴當(dāng)空氣溫度為20℃時，聲音5s可以傳播1710m，
∴選項C錯誤；
∵324﹣318＝6（m/s），330﹣324＝6（m/s），336﹣330＝6（m/s），342﹣336＝6（m/s），348﹣342＝6（m/s），
∴當(dāng)溫度每升高10℃，聲速增加6m/s，
∴選項D正確．
故選：C．
考向三用圖像表示函數(shù)
6．（2019秋?萍鄉(xiāng)期末）下列關(guān)系式中，y不是x的函數(shù)的是（）
A．y＝3x+1B．y=2xC．y=?12xD．|y|＝x
【分析】
根據(jù)對于x的每一個確定的值，y是否有唯一的值與其對應(yīng)進(jìn)行判斷．
【解析】
A、y＝3x+1，y是x的函數(shù)；
B、y=2x，y是x的函數(shù)；
C、y=?12x，y是x的函數(shù)；
D、|y|＝x，對于x的每一個確定的值，y不是有唯一的值與其對應(yīng)，
∴y不是x的函數(shù)；
故選：D．
7．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）下圖是底部放有一個實心鐵球的長方體水槽軸截面示意圖，現(xiàn)向水槽勻速注水，下列圖象中能大致反映水槽中水的深度（y）與注水時間（x）關(guān)系的是（）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)蓄水池的橫斷面示意圖，可知水的深度增長的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不變，進(jìn)而求解即可．
【詳解】解：由蓄水池的橫斷面示意圖可得，
水的深度增長的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不變，
故選：D．
【點睛】主要考查了函數(shù)圖象的讀圖能力和函數(shù)與實際問題結(jié)合的應(yīng)用．要能根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)和圖象上的數(shù)據(jù)分析得出函數(shù)的類型和所需要的條件，結(jié)合實際意義得到正確的結(jié)論．
8．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）第11屆中國（湖南）礦物寶石國際博覽會在我市舉行，小方一家上午開車前往會展中心參觀．途中汽車發(fā)生故障，原地修車花了一段時間．車修好后，他們繼續(xù)開車趕往會展中心．以下是他們家出發(fā)后離家的距離與時間的函數(shù)圖象．分析圖中信息，下列說法正確的是（）

A．途中修車花了
B．修車之前的平均速度是/
C．車修好后的平均速度是/
D．車修好后的平均速度是修車之前的平均速度的倍
【答案】D
【分析】根據(jù)圖象信息以及速度路程÷時間的關(guān)系即可解決問題．
【詳解】解：由圖象可知途中修車花了，
修車之前的平均速度是÷/，
車修好后的平均速度是÷/,
∴
故A、B、C錯誤，D正確．
故選：D．
【點睛】本題考查了函數(shù)圖象，觀察函數(shù)圖象得出相應(yīng)的時間和路程是解題關(guān)鍵．
9．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）【素材1】某景區(qū)游覽路線及方向如圖1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③兩路段路程相等．
【素材2】設(shè)游玩行走速度恒定，經(jīng)過每個景點都停留20分鐘．小溫游路線①④⑤⑥⑦⑧用時3小時25分鐘；小州游路線①②⑧，他離入口的路程s與時間t的關(guān)系（部分?jǐn)?shù)據(jù)）如圖2所示，在2100米處，他到出口還要走10分鐘．
【問題】路線①③⑥⑦⑧各路段路程之和為（）

A．4200米B．4800米C．5200米D．5400米
【答案】B
【分析】設(shè)①④⑥各路段路程為x米，⑤⑦⑧各路段路程為y米，②③各路段路程為z米，由題意及圖象可知，然后根據(jù)“游玩行走速度恒定，經(jīng)過每個景點都停留20分鐘．小溫游路線①④⑤⑥⑦⑧用時3小時25分鐘”可進(jìn)行求解．
【詳解】解：由圖象可知：小州游玩行走的時間為（分鐘），小溫游玩行走的時間為（分鐘）；
設(shè)①④⑥各路段路程為x米，⑤⑦⑧各路段路程為y米，②③各路段路程為z米，由圖象可得：
，
解得：，
∴游玩行走的速度為（米/秒），
由于游玩行走速度恒定，則小溫游路線①④⑤⑥⑦⑧的路程為，
∴，
∴路線①③⑥⑦⑧各路段路程之和為（米）；
故選B．
【點睛】本題主要考查三元一次方程組的應(yīng)用及函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是理解題中所給信息，找到它們之間的等量關(guān)系．
10．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）甲乙兩地相距a千米，小亮8:00乘慢車從甲地去乙地，10分鐘后小瑩乘快車從乙地趕往甲地．兩人分別距甲地的距離y（千米）與兩人行駛時刻t（×?xí)r×分）的函數(shù)圖象如圖所示，則小亮與小瑩相遇的時刻為（）

A．8:28B．8:30C．8:32D．8:35
【答案】A
【分析】利用待定系數(shù)法求出兩條直線的函數(shù)解析式，將兩個解析式聯(lián)立，通過解方程求出交點的橫坐標(biāo)即可．
【詳解】解：令小亮出發(fā)時對應(yīng)的t值為0，小瑩出發(fā)時對應(yīng)的t值為10，則小亮到達(dá)乙地時對應(yīng)的t值為70，小瑩到達(dá)甲地時對應(yīng)的t值為40，
設(shè)小亮對應(yīng)函數(shù)圖象的解析式為，
將代入解析式得，解得，
小亮對應(yīng)函數(shù)圖象的解析式為，
設(shè)小瑩對應(yīng)函數(shù)圖象的解析式為，
將，代入解析式，得，
解得，
小瑩對應(yīng)函數(shù)圖象的解析式為，
令，得，
解得，
小亮與小瑩相遇的時刻為8:28．
故選A．
【點睛】本題考查一次函數(shù)的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求出兩條直線的函數(shù)解析式，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想．
考向四用關(guān)系式法表示函數(shù)
11．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）一種彈簧秤最大能稱不超過的物體，不掛物體時彈簧的長為，每掛重物體，彈簧伸長．在彈性限度內(nèi)，掛重后彈簧的長度與所掛物體的質(zhì)量之間的函數(shù)關(guān)系式為（）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】掛重后彈簧長度等于不掛重時的長度加上掛重后彈簧伸長的長度，據(jù)此即可求得函數(shù)關(guān)系式．
【詳解】解：由題意知：；
故選：B．
【點睛】本題考查了求函數(shù)關(guān)系式，正確理解題意是關(guān)鍵．
考向五函數(shù)的取值
12．（2019秋?涪陵區(qū)期末）根據(jù)如圖所示的程序計算函數(shù)y的值，若輸入的x值是﹣1，則輸出的y值為（）
A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．1
【分析】由﹣1在﹣2＜x≤2之間，把x＝﹣1代入y＝﹣x2計算即可．
【解析】當(dāng)x＝﹣1時，y＝﹣（﹣1）2＝﹣1．
故選：C．
13．（2020春?萊州市期末）自變量x與因變量y的關(guān)系如圖，當(dāng)x每增加1時，y增加．
【分析】根據(jù)題意計算出x+1時y的值，然后求差即可．
【解析】當(dāng)x增加1變?yōu)閤+1，
則y變?yōu)閥1＝2（x+1）+10＝2x+2+10＝2x+12，
∴y1﹣y＝2x+12﹣（2x+10）＝2x+12﹣2x﹣10＝2，
故答案為：2．
考向六函數(shù)圖像的性質(zhì)
14．（2020春?青白江區(qū)期末）小江同學(xué)熱愛體育鍛煉，每周六上午他都先從家跑步到離家較遠(yuǎn)的田園廣場，在那里與同學(xué)打一段時間的羽毛球后再慢步回家．下面能反映小華同學(xué)離家的距離y與所用時間x之間函數(shù)圖象的是（）
A．B．
C．D．
【分析】本題需先根據(jù)已知條件，確定出每一步的函數(shù)圖形，再把圖象結(jié)合起來即可求出結(jié)果．
【解析】圖象應(yīng)分三個階段，第一階段：跑步到離家較遠(yuǎn)的田園廣場，在這個階段，離家的距離隨時間的增大而增大；
第二階段：打了一會兒羽毛球，這一階段離家的距離不隨時間的變化而改變；
第三階段：慢步回家，這一階段，離家的距離隨時間的增大而減小，并且這段的速度小于第一階段的速度．
故選：D．
15．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）函數(shù)的大致圖像是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)自變量的取值范圍排除錯誤選項．
【詳解】解：函數(shù)自變量的取值范圍為．
對于B、C，函數(shù)圖像可以取到的點，不符合題意；
對于D，函數(shù)圖像只有的部分，沒有的部分，不符合題意．
故選：A．
【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)表達(dá)式選函數(shù)圖像，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)表達(dá)式分析出圖像的特點，進(jìn)而對錯誤選項進(jìn)行排除．
16．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，長方體水池內(nèi)有一無蓋圓柱形鐵桶，現(xiàn)用水管往鐵桶中持續(xù)勻速注水，直到長方體水池有水溢出一會兒為止．設(shè)注水時間為（細(xì)實線）表示鐵桶中水面高度，（粗實線）表示水池中水面高度（鐵桶高度低于水池高度，鐵桶底面積小于水池底面積的一半，注水前鐵桶和水池內(nèi)均無水），則隨時間變化的函數(shù)圖象大致為（）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)特殊點的實際意義即可求出答案．
【詳解】解：根據(jù)圖象知，時，鐵桶注滿了水，，是一條斜線段，，是一條水平線段，
當(dāng)時，長方體水池開始注入水；當(dāng)時，長方體水池中的水沒過鐵桶，水池中水面高度比之開始變得平緩；當(dāng)時，長方體水池滿了水，
∴開始是一段陡線段，后變緩，最后是一條水平線段，
觀察函數(shù)圖象，選項C符合題意，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了函數(shù)圖象的讀圖能力．要能根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)和圖象上的數(shù)據(jù)分析得出函數(shù)的類型和所需要的條件，結(jié)合實際意義得到正確的結(jié)論．
17．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）今年“五一”假期，小星一家駕車前往黃果樹旅游，在行駛過程中，汽車離黃果樹景點的路程y（）與所用時間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示，下列說法正確的是（）

A．小星家離黃果樹景點的路程為 B．小星從家出發(fā)第1小時的平均速度為
C．小星從家出發(fā)2小時離景點的路程為D．小星從家到黃果樹景點的時間共用了
【答案】D
【分析】根據(jù)路程、速度、時間的關(guān)系，結(jié)合圖象提供信息逐項判斷即可．
【詳解】解：時，，因此小星家離黃果樹景點的路程為，故A選項錯誤，不合題意；
時，，因此小星從家出發(fā)第1小時的平均速度為，故B選項錯誤，不合題意；
時，，因此小星從家出發(fā)2小時離景點的路程為，故C選項錯誤，不合題意；
小明離家1小時后的行駛速度為，從家出發(fā)2小時離景點的路程為，還需要行駛1小時，因此小星從家到黃果樹景點的時間共用了，故D選項正確，符合題意；
故選：D．
【點睛】本題主要考查從函數(shù)圖象獲取信息，解題的關(guān)鍵是理解題意，看懂所給一次函數(shù)的圖象．
支撐物的高度h（cm）
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
小車下滑的時間t（s）
4.23
3.00
2.45
2.13
1.89
1.71
1.59
1.50
1.41
1.35
溫度/℃
﹣20
﹣10
0
10
20
30
聲速/m/s
318
324
330
336
342
348

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