2、學(xué)會運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問題的解決方法（以形助數(shù)），或利用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何問題（以數(shù)助形）的一種數(shù)學(xué)思想。
3、要學(xué)會搶得分點(diǎn)。一道中考數(shù)學(xué)壓軸題解不出來，不等于“一點(diǎn)不懂、一點(diǎn)不會”，要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn)。
4、學(xué)會運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想。在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們通常是將未知問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。
5、學(xué)會運(yùn)用分類討論的思想。如果不注意對各種情況分類討論，就有可能造成錯(cuò)解或漏解，縱觀近幾年的中考壓軸題分類討論思想解題已成為新的熱點(diǎn)。
6、轉(zhuǎn)化思想:體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上也就是要把難的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題。
備戰(zhàn)2024中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)
第9講拋物線與幾何綜合
№考向解讀
?考點(diǎn)精析
?真題精講
?題型突破
?專題精練
第三章函數(shù)
第9講拋物線與幾何綜合
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考向一拋物線與三角形有關(guān)問題
考向二拋物線與線段有關(guān)問題
考向三拋物線與角度有關(guān)問題
考向四拋物線與四邊形有關(guān)問題
考向五拋物線與圓有關(guān)問題
考向六拋物線與面積有關(guān)問題
第9講拋物線與幾何綜合
二次函數(shù)是非常重要的函數(shù),年年都會考查,總分值為18~20分，預(yù)計(jì)2024年各地中考還會考,它經(jīng)常以一個(gè)壓軸題獨(dú)立出現(xiàn)，有的地區(qū)也會考察二次函數(shù)的應(yīng)用題，小題的考察主要是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及或與幾何圖形結(jié)合來考查.
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1、函數(shù)存在性問題
解決二次函數(shù)存在點(diǎn)問題，一般先假設(shè)該點(diǎn)存在，根據(jù)該點(diǎn)所在的直線或拋物線的表達(dá)式，設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo)；然后用該點(diǎn)的坐標(biāo)表示出與該點(diǎn)有關(guān)的線段長或其他點(diǎn)的坐標(biāo)等；最后結(jié)合題干中其他條件列出等式，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，然后判別該點(diǎn)坐標(biāo)是否符合題意，若符合題意，則該點(diǎn)存在，否則該點(diǎn)不存在．
2、函數(shù)動點(diǎn)問題
（1）函數(shù)壓軸題主要分為兩大類：一是動點(diǎn)函數(shù)圖象問題；二是與動點(diǎn)、存在點(diǎn)、相似等有關(guān)的二次函數(shù)綜合題．
（2）解答動點(diǎn)函數(shù)圖象問題，要把問題拆分，分清動點(diǎn)在不同位置運(yùn)動或不同時(shí)間段運(yùn)動時(shí)對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而確定函數(shù)圖象；解答二次函數(shù)綜合題，要把大題拆分，做到大題小做，逐步分析求解，最后匯總成最終答案．
（3）解決二次函數(shù)動點(diǎn)問題，首先要明確動點(diǎn)在哪條直線或拋物線上運(yùn)動，運(yùn)動速度是多少，結(jié)合直線或拋物線的表達(dá)式設(shè)出動點(diǎn)的坐標(biāo)或表示出與動點(diǎn)有關(guān)的線段長度，最后結(jié)合題干中與動點(diǎn)有關(guān)的條件進(jìn)行計(jì)算．
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考向一拋物線與三角形有關(guān)問題
1．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)在直線上，與軸的交點(diǎn)為，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為．直線與直線相交于點(diǎn)．

(1)如圖2，若拋物線經(jīng)過原點(diǎn)．
①求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；②求的值．
(2)連接與能否相等？若能，求符合條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不能，試說明理由．
【答案】(1)①；②；(2)能，或或或．
【分析】（1）①先求頂點(diǎn)的坐標(biāo)，然后待定系數(shù)法求解析式即可求解；
②過點(diǎn)作于點(diǎn)．設(shè)直線為，把代入，得，解得，直線為．同理，直線為．聯(lián)立兩直線解析式得出，根據(jù)，由平行線分線段成比例即可求解；
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．①如圖2-1，當(dāng)時(shí)，存在．記，則．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．在中，，進(jìn)而得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6．②如圖2-2，當(dāng)時(shí)，存在．記．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．在中，，得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．③如圖，當(dāng)時(shí)，存在．記．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．在中，，得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．④如圖2-4，當(dāng)時(shí)，存在．記．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．在中，，得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
【詳解】（1）解：①∵，
∴頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．
∴當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)是．
設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，把代入，
得，
解得．
∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
即．
②如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)．

設(shè)直線為，把代入，得，
解得，
∴直線為．
同理，直線為．
由
解得
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．
①如圖，當(dāng)時(shí)，存在．
記，則．
∵為的外角，
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．
在中，，
∴，解得．
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6．

②如圖2-2，當(dāng)時(shí)，存在．
記．
∵為的外角，
∴．
∴
∴．
∴．
過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．
在中，，
∴，解得．
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

③如圖2-3，當(dāng)時(shí)，存在．記．

∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．
在中，，
∴，解得．
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
④如圖2-4，當(dāng)時(shí)，存在．記．
∵，
∴．

∴．
∴．
過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則．
在中，，
∴，解得．
∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
綜上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，解直角三角形，平行線分線段成比例，熟練掌握以上知識，分類討論是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)．

(1)求這條拋物線的函數(shù)解析式；
(2)P是拋物線上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B，C重合），作軸，垂足為D，連接．
①如圖，若點(diǎn)P在第三象限，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②直線交直線于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)E關(guān)于直線的對稱點(diǎn)落在y軸上時(shí)，請直接寫出四邊形的周長．
【答案】(1)；(2)①②或
【分析】（1）將A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式，從而求得a，c，進(jìn)而求得結(jié)果；
（2）①設(shè)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求出，根據(jù)列出方程求出的值即可；②可推出四邊形是菱形，從而得出，分別表示出和，從而列出方程，進(jìn)一步求得結(jié)果．
【詳解】（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，
∴把，代入得，
，
解得，，
∴拋物線的函數(shù)解析式為；
（2）①設(shè)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，

∴
∵
∴
∵軸，
∴
又
∴四邊形是矩形，
∴
∴
∵
∴
∴（不合題意，舍去）
∴
∴；
②設(shè)，
對于，當(dāng)時(shí)，
解得，
∴
∵
由勾股定理得，
當(dāng)點(diǎn)在第三象限時(shí)，如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

則四邊形是矩形，
∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱，
∴
∵軸，
∴
∴
∴
∴
∴四邊形是平行四邊形，
∴四邊形是菱形，
∵
∴
∴
∴
∴
設(shè)直線的解析式為，
把代入得，，
解得，，
∴直線的解析式為，
∴，
∴,
又且
∴
解得，（舍去）
∴
∴四邊形的周長；
當(dāng)點(diǎn)在第二象限時(shí)，如圖，

同理可得：
解得，（舍去）
∴
∴四邊形的周長；
綜上，四邊形的周長為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是正確分類，作輔助線，表示出線段的數(shù)量．
3．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，其中，．

(1)求該拋物線的表達(dá)式；
(2)點(diǎn)是直線下方拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，將該拋物線向右平移個(gè)單位，點(diǎn)為點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，平移后的拋物線與軸交于點(diǎn)，為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點(diǎn)．寫出所有使得以為腰的是等腰三角形的點(diǎn)的坐標(biāo)，并把求其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的過程寫出來．
【答案】(1)；(2)取得最大值為，；(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或
【分析】（1）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可求解；
（2）直線的解析式為，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)，則，則，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（3）根據(jù)平移的性質(zhì)得出，對稱軸為直線，點(diǎn)向右平移5個(gè)單位得到，，勾股定理分別表示出，進(jìn)而分類討論即可求解．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)，．代入得，
解得：，
∴拋物線解析式為：，
（2）∵與軸交于點(diǎn)，，
當(dāng)時(shí)，
解得：，
∴,
∵．
設(shè)直線的解析式為，
∴
解得：
∴直線的解析式為，
如圖所示，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

設(shè)，則，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值為，，
∴；
（3）∵拋物線
將該拋物線向右平移個(gè)單位，得到，對稱軸為直線，
點(diǎn)向右平移5個(gè)單位得到
∵平移后的拋物線與軸交于點(diǎn)，令，則，
∴,
∴
∵為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點(diǎn)．
則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
設(shè)，
∴，，
當(dāng)時(shí)，，
解得：或，
當(dāng)時(shí)，，
解得：
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，解直角三角形，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的平移，線段周長問題，特殊三角形問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，和，連接，點(diǎn)為拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

(1)直接寫出拋物線和直線的解析式；
(2)如圖2，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值；
(3)當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動過程中，在軸上是否存在點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與以，，為頂點(diǎn)的三角形相似（其中點(diǎn)與點(diǎn)相對應(yīng)），若存在，直接寫出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)拋物線：；直線：；(2)或或；(3)，或，或，
【分析】（1）由題得拋物線的解析式為，將點(diǎn)代入求，進(jìn)而得拋物線的解析式；設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)，的坐標(biāo)代入求，，進(jìn)而得直線的解析式．
（2）由題得，分別求出，，，對等腰中相等的邊進(jìn)行分類討論，進(jìn)而列方程求解；
（3）對點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)或右側(cè)進(jìn)行分類討論，設(shè)法表示出各線段的長度，利用相似三角形的相似比求解，進(jìn)而可得，的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：拋物線過點(diǎn)，，
拋物線的表達(dá)式為，
將點(diǎn)代入上式，得，
．
拋物線的表達(dá)式為，即．
設(shè)直線的表達(dá)式為，
將點(diǎn)，代入上式，
得，
解得．
直線的表達(dá)式為．
（2）解：點(diǎn)在直線上，且，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
，，．
當(dāng)為等腰三角形時(shí)，
①若，則，
即，
解得．
②若，則，
即，
解得或（舍去）．
③若，則，
即，
解得（舍去）或．
綜上，或或．
（3）解：點(diǎn)與點(diǎn)相對應(yīng)，
或．
①若點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，
則，，．
當(dāng)，即時(shí)，
直線的表達(dá)式為，
，解得或（舍去）．
，即．
，即，
解得．
，．
當(dāng)，即時(shí)，
，，
，即，
解得（舍去）或（舍去）．
②若點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，
則，．
當(dāng)，即時(shí)，
直線的表達(dá)式為，
，解得或（舍去），
，
，即，
解得．
，．
當(dāng)，即時(shí)，
，．
，即，
解得或（舍去）．
，．
綜上，，或，或，．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)與判定，平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離的算法，相似三角形的性質(zhì)與判定等，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
考向二拋物線與線段有關(guān)問題
5．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段方向勻速運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)時(shí)停止．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)當(dāng)時(shí)，請?jiān)趫D1中過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，連接，，判斷四邊形的形狀，并說明理由．
(3)如圖2，點(diǎn)從點(diǎn)開始運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以與點(diǎn)相同的速度沿軸正方向勻速運(yùn)動，點(diǎn)停止運(yùn)動時(shí)點(diǎn)也停止運(yùn)動．連接，，求的最小值．
【答案】(1)；(2)四邊形是平行四邊形，理由見解析；(3)
【分析】（1）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；
（2）作交拋物線于點(diǎn)，垂足為，連接，，由點(diǎn)在上，可知，，連接，得出，則，當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而得出，然后證明，即可得出結(jié)論；
（3）由題意得，，連接．在上方作，使得，，證明，根據(jù)得出的最小值為，利用勾股定理求得，即可得解．
【詳解】（1）解：∵拋物線過點(diǎn)，
∴，
∴，
∴；
（2）四邊形是平行四邊形．
理由：如圖1，作交拋物線于點(diǎn)，垂足為，連接，．
∵點(diǎn)在上，
∴，，
連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵軸，軸，
∴，
∴四邊形是平行四邊形；
（3）如圖2，由題意得，，連接．
在上方作，使得，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴（當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)最短），
∴的最小值為，
∵，
∴，
即的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）已知是拋物（b為常數(shù)）上的兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，總有
(1)求b的值；
(2)將拋物線平移后得到拋物線．
探究下列問題：
①若拋物線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍；
②設(shè)拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)E，外接圓的圓心為點(diǎn)F，如果對拋物線上的任意一點(diǎn)P，在拋物線上總存在一點(diǎn)Q，使得點(diǎn)P、Q的縱坐標(biāo)相等．求長的取值范圍．
【答案】(1)0；(2)①②
【分析】（1）根據(jù)，且時(shí)，總有，變形后即可得到結(jié)論；
（2）按照臨界情形，畫出圖象分情況討論求解即可．
【詳解】（1）解：由題可知：
時(shí)，總有，
．
則，
∴，
∴總成立，且，
；
（2）①注意到拋物線最大值和開口大小不變，m只影響圖象左右平移下面考慮滿足題意的兩種臨界情形：
（i）當(dāng)拋物線過點(diǎn)時(shí)，如圖所示，

此時(shí)，，解得或（舍）．
（ii）當(dāng)拋物線過點(diǎn)時(shí)，如圖所示，

此時(shí)，，
解得或（舍），
綜上，，
②同①考慮滿足題意的兩種臨界情形：
（i）當(dāng)拋物線過點(diǎn)時(shí)，如圖所示，

此時(shí)，，解得或（舍）．
（ii）當(dāng)拋物線過點(diǎn)時(shí)，如圖所示，

此時(shí)，，解得或0（舍）．
綜上，
如圖，由圓的性質(zhì)可知，點(diǎn)E、F在線段的垂直平分線上．

令，解得，
，
，
，
設(shè)，
，
，
，
，
，即，
．
，即，
，
【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、垂徑定理、解一元二次方程等知識，數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵．
考向三拋物線與角度有關(guān)問題
7．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與軸交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

(1)請求出拋物線的表達(dá)式．
(2)如圖1，在軸上有一點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使得四邊形為正方形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
(3)如圖2，將拋物線向右平移2個(gè)單位，得到拋物線，拋物線的頂點(diǎn)為，與軸正半軸交于點(diǎn)，拋物線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；(2)；；(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或
【分析】（1）把代入，求出即可；
（2）假設(shè)存在這樣的正方形，過點(diǎn)E作于點(diǎn)R，過點(diǎn)F作軸于點(diǎn)I，證明可得故可得，；
（3）先求得拋物線的解析式為，得出，，運(yùn)用待定系數(shù)法可得直線的解析式為，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，設(shè)交直線于或，如圖2，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，連接，利用等腰直角三角形性質(zhì)和三角函數(shù)定義可得，進(jìn)而可求得點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】（1）∵拋物線與軸交于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，
∴把代入，得，
解得，
∴解析式為：；
（2）假設(shè)存在這樣的正方形，如圖，過點(diǎn)E作于點(diǎn)R，過點(diǎn)F作軸于點(diǎn)I，

∴
∵四邊形是正方形，
∴
∴
∴
又
∴
∴
∵
∴
∴
∴；
同理可證明：
∴
∴
∴；
（3）解：拋物線上存在點(diǎn)，使得．
，
拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
將拋物線向右平移2個(gè)單位，得到拋物線，
拋物線的解析式為，
拋物線的頂點(diǎn)為，與軸正半軸交于點(diǎn)，
，，
設(shè)直線的解析式為，把，代入得，
解得：，
直線的解析式為，
過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，設(shè)交直線于或，如圖2，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，連接，
則，，，

，，
是等腰直角三角形，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，
；
，，
，
，
點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，
；
綜上所述，拋物線上存在點(diǎn)，使得，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題是解題的關(guān)鍵．
考向四拋物線與四邊形有關(guān)問題
8．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)設(shè)點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，求出的最大面積及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)是拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以為邊，點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；(2)的最大面積為，；(3)存在，或或，，見解析
【分析】（1）利用待定系數(shù)法代入求解即可；
（2）利用待定系數(shù)法先確定直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，得出，然后得出三角形面積的函數(shù)即可得出結(jié)果；
（3）分兩種情況進(jìn)行分析：若為菱形的邊長，利用菱形的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入解析式得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為；
（2）設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)B、C代入得：
，
解得：，
∴直線的解析式為，
∵，
∴，
設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，如圖所示：

∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，的最大面積為，
，
∴
（3）存在，或或或，，證明如下：
∵，
∵拋物線的解析式為，
∴對稱軸為：，
設(shè)點(diǎn)，
若為菱形的邊長，菱形，
則，即，
解得：，，
∵，
∴，
∴，；
若為菱形的邊長，菱形，
則，即，
解得：，，
∵，
∴，
∴，；
綜上可得：
或或，．
【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，三角形面積問題及特殊四邊形問題，全等三角形的判定和性質(zhì)等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
9．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，對稱軸為的拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，交軸負(fù)半軸于點(diǎn)．為拋物線上一動點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)，作軸的垂線，垂足為，直線交軸于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)若，當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是平行四邊形？
(3)若，設(shè)直線交直線于點(diǎn)，是否存在這樣的值，使？若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)存在，
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
（2）結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，通過求直線的函數(shù)解析式，列方程求解；
（3）根據(jù)，確定點(diǎn)坐標(biāo)，從而利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征計(jì)算求解．
【詳解】（1）解：在直線中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)，點(diǎn)，
設(shè)拋物線的解析式為，
把點(diǎn)，點(diǎn)代入可得，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：由題意，，
∴，
當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，，
∴，
∴，，
設(shè)直線的解析式為，
把代入可得，
解得，
∴直線的解析式為，
又∵過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)，且拋物線對稱軸為，
∴
∴，
解得（不合題意，舍去），；
（3）解：存在，理由如下：
∵，
∴點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)E在直線上，
∴，
把代入中，可得，
解得（不合題意，舍去），．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合思想和方程思想解題是關(guān)鍵．
10．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線（）與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如圖2，拋物線頂點(diǎn)為D，對稱軸與x軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)的直線（直線除外）與拋物線交于G，H兩點(diǎn)，直線，分別交x軸于點(diǎn)M，N．試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由．
【答案】(1)；(2)或或；(3)定值，理由見詳解
【分析】（1）將兩點(diǎn)代入拋物線的解析式即可求解；
（2）根據(jù)P，Q的不確定性，進(jìn)行分類討論：①過作軸，交拋物線于，過作，交軸于，可得，由，可求解；②在軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)，過作，交拋物線于，同時(shí)使，連接、，過作軸，交軸于，，即可求解；③當(dāng)為平行四邊形的對角線時(shí)，在①中，只要點(diǎn)Q在點(diǎn)B的左邊，且滿足，也滿足條件，只是點(diǎn)P的坐標(biāo)仍是①中的坐標(biāo)；
（3）可設(shè)直線的解析式為，，，可求，再求直線的解析式為，從而可求，同理可求，即可求解．
【詳解】（1）解：拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，
，解得，
故拋物線的解析式為．
（2）解：①如圖，過作軸，交拋物線于，過作，交軸于，
四邊形是平行四邊形，
，
，
解得：，，
；
②如圖，在軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)，過作，交拋物線于，同時(shí)使，連接、，過作軸，交軸于，
四邊形是平行四邊形，
，
在和中，
，
()，
，
，
，
解得：，，
；
如上圖，根據(jù)對稱性：，
③當(dāng)為平行四邊形的對角線時(shí)，由①知，點(diǎn)Q在點(diǎn)B的左邊，且時(shí)，也滿足條件，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)仍為；
綜上所述：的坐標(biāo)為或或．
（3）解：是定值，
理由：如圖，直線經(jīng)過，
可設(shè)直線的解析式為，
、在拋物線上，
可設(shè)，，
，
整理得：，
，，
，
當(dāng)時(shí)，，
，
設(shè)直線的解析式為，則有
，
解得，
直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
解得：，
，
，
同理可求：，
；
當(dāng)與對調(diào)位置后，同理可求；
故的定值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，求函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，動點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形判定，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，理解一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)，與對應(yīng)一元二次方程根的關(guān)系，掌握具體的解法，并會根據(jù)題意設(shè)合適的輔助未知數(shù)是解題的關(guān)鍵．
考向五拋物線與圓有關(guān)問題
11．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與軸分別交于點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)的左側(cè)），直線是對稱軸．點(diǎn)在函數(shù)圖像上，其橫坐標(biāo)大于4，連接，過點(diǎn)作，垂足為，以點(diǎn)為圓心，作半徑為的圓，與相切，切點(diǎn)為．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若以的切線長為邊長的正方形的面積與的面積相等，且不經(jīng)過點(diǎn)，求長的取值范圍．
【答案】(1)；(2)或或
【分析】（1）令求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可解答；
（2）由題意可得拋物線的對稱軸為，設(shè)，則；如圖連接，則，進(jìn)而可得切線長為邊長的正方形的面積為；過點(diǎn)P作軸，垂足為H，可得；由題意可得，解得；然后再分當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方和下方兩種情況解答即可．
【詳解】（1）解：令，則有：，解得：或，
∴．
（2）解：∵拋物線過
∴拋物線的對稱軸為，
設(shè)，
∵，
∴,
如圖：連接，則，
∴，
∴切線為邊長的正方形的面積為，
過點(diǎn)P作軸，垂足為H，則：，
∴
∵，
∴，

假設(shè)過點(diǎn),則有以下兩種情況：
①如圖1：當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方，即

∴，解得：或，
∵
∴；
②如圖2：當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方，即

∴，解得：，
∵
∴；
綜上，或．
∴當(dāng)不經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，或或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，掌握分類討論思想是解答本題的關(guān)鍵．
12．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．拋物線的對稱軸與經(jīng)過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

(1)求直線及拋物線的表達(dá)式；
(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得是以為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
(3)以點(diǎn)為圓心，畫半徑為2的圓，點(diǎn)為上一個(gè)動點(diǎn)，請求出的最小值．
【答案】(1)直線的解析式為；拋物線解析式為；(2)存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或 或；(3)
【分析】（1）根據(jù)對稱軸，，得到點(diǎn)A及B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，求出直線的解析式為，解方程組，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，求出直線的解析式為，解方程組，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）在上取點(diǎn)，使，連接，證得，又，得到，推出，進(jìn)而得到當(dāng)點(diǎn)C、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即為線段的長，利用勾股定理求出即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線的對稱軸，，
∴，
將代入直線，得，
解得，
∴直線的解析式為；
將代入，得
，解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）存在點(diǎn)，
∵直線的解析式為，拋物線對稱軸與軸交于點(diǎn)．
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，
①當(dāng)時(shí)，
設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入，
得，
解得，
∴直線的解析式為，
解方程組，
得或，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為；
②當(dāng)時(shí)，
設(shè)直線的解析式為，將代入，
得，
解得，
∴直線的解析式為，
解方程組，
解得或，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為 或
綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或 或；
（3）如圖，在上取點(diǎn)，使，連接，
∵，
∴，
∵，、
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴當(dāng)點(diǎn)C、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即為線段的長，
∵，
∴，
∴的最小值為．

【點(diǎn)睛】此題是一次函數(shù)，二次函數(shù)及圓的綜合題，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，求兩圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，正確掌握各知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
考向六拋物線與面積有關(guān)問題
13．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)求四邊形的面積；
(3)P是拋物線上的一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，若，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)；(2)30；(3)
【分析】（1）用兩點(diǎn)式設(shè)出二次函數(shù)的解析式，然后求得C點(diǎn)的坐標(biāo)，并將其代入二次函數(shù)的解析式，求得a的值，再將a代入解析式中即可．
（2）先將二次函數(shù)變形為頂點(diǎn)式，求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用矩形、三角形的面積公式即可求得答案．
（3）根據(jù)各點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系及同角三角函數(shù)相等的結(jié)論可以求得相關(guān)聯(lián)的函數(shù)解析式，最后聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)．
∴設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為
∵，
∴，即的坐標(biāo)為
則，得
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）
∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為
過作于，作于，
四邊形的面積
；

（3）如圖，是拋物線上的一點(diǎn)，且在第一象限，當(dāng)時(shí)，
連接，過作交于，過作于，

∵，則為等腰直角三角形，．
由勾股定理得：，
∵，
∴，
即，
∴
由，得，
∴．
∴是等腰直角三角形
∴
∴的坐標(biāo)為
所以過的直線的解析式為
令
解得，或
所以直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)為
即所求的坐標(biāo)為
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及與坐標(biāo)系幾何圖形的綜合證明計(jì)算問題，解題的關(guān)鍵是將所學(xué)的知識靈活運(yùn)用．
14．（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，對稱軸為直線．
(1)求的值；
(2)已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交直線于點(diǎn)．
（?。┊?dāng)時(shí)，求與的面積之和；
（ⅱ）在拋物線對稱軸右側(cè)，是否存在點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的四邊形的面積為？若存在，請求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)；(2)（?。唬áⅲ?br>【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）（?。└鶕?jù)題意畫出圖形，得出，，，繼而得出，，當(dāng)時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式，即可求解．
（ⅱ）根據(jù)（?。┑慕Y(jié)論，分和分別求得梯形的面積，根據(jù)四邊形的面積為建立方程，解方程進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）解：依題意，，
解得：，
∴；
（2）（?。┰O(shè)直線的解析式為，
∵，
∴
解得：，
∴直線，
如圖所示，依題意，，，，

∴，
，
∴當(dāng)時(shí)，與的面積之和為，
（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)在對稱右側(cè)時(shí)，則，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
解得：，

當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
解得：（舍去）或（舍去）

綜上所述，．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，面積問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，分類討論，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）已知：關(guān)于的函數(shù)．

(1)若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，且，則的值是___________；
(2)如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，，并與動直線交于點(diǎn)，連接，，，，其中交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)．設(shè)的面積為，的面積為．
①當(dāng)點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)時(shí)，求的面積；
②探究直線在運(yùn)動過程中，是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說明理由．
【答案】(1)0或2或；(2)①6，②存在，
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)情況，分情況討論函數(shù)為一次函數(shù)和二次函數(shù)的時(shí)候，按照圖像的性質(zhì)以及與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的情況即可求出值．
（2）①根據(jù)和的坐標(biāo)點(diǎn)即可求出拋物線的解析式，即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出長度，再利用和的坐標(biāo)點(diǎn)即可求出的直線解析式，結(jié)合即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出長度，最后利用面積法即可求出的面積．
②觀察圖形，用值表示出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)平行線分線段成比例求出長度，利用割補(bǔ)法表示出和，將二者相減轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，利用取值范圍即可求出的最小值．
【詳解】（1）解：函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，
，
，
，
當(dāng)函數(shù)為一次函數(shù)時(shí)，，
．
當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，
，
若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，即與軸，軸分別只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，
，
．
當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)， 即其中一點(diǎn)經(jīng)過原點(diǎn)，
，
，
．
綜上所述，或0．
故答案為：0或2或．
（2）解：①如圖所示，設(shè)直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)．

依題意得：，解得：
拋物線的解析式為：．
點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)時(shí)，，，
，，
由，得直線的解析式為，
在直線上，且在直線上，則的橫坐標(biāo)等于的橫坐標(biāo)，
，
，，
，
．
故答案為：6．
②存在最大值，理由如下：如圖，設(shè)直線交軸于．
由①得：，，，，，
，
，，
，
，即，
，，
，
，
，，
當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，二次函數(shù)與面積問題，平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵在于分情況討論函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，以及二次函數(shù)最值問題．

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