
2、學(xué)會運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系,尋求代數(shù)問題的解決方法(以形助數(shù)),或利用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形的性質(zhì),解決幾何問題(以數(shù)助形)的一種數(shù)學(xué)思想。
3、要學(xué)會搶得分點。一道中考數(shù)學(xué)壓軸題解不出來,不等于“一點不懂、一點不會”,要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點。
4、學(xué)會運(yùn)用等價轉(zhuǎn)換思想。在研究數(shù)學(xué)問題時,我們通常是將未知問題轉(zhuǎn)化為已知的問題,將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題,將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題,將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。
5、學(xué)會運(yùn)用分類討論的思想。如果不注意對各種情況分類討論,就有可能造成錯解或漏解,縱觀近幾年的中考壓軸題分類討論思想解題已成為新的熱點。
6、轉(zhuǎn)化思想:體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上也就是要把難的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題,把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題,把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題。
備戰(zhàn)2024中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)
第1講實數(shù)(含二次根式)
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第一章數(shù)與式
第1講實數(shù)(含二次根式)
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考向一 實數(shù)的有關(guān)概念
考向二 實數(shù)的分類
考向三 無理數(shù)的估算
考向四 實數(shù)與數(shù)軸
考向五 實數(shù)的運(yùn)算
考向六 實數(shù)的大小比較
考向七 非負(fù)性的運(yùn)用
考向八 近似數(shù)和科學(xué)記數(shù)法
考向九 二次根式的概念與性質(zhì)
考向十 二次根式的運(yùn)算
考向十一 數(shù)字規(guī)律
第1講實數(shù)(含二次根式)
實數(shù)在歷年中考中以考查基礎(chǔ)為主,也是考查重點,年年考查,是廣大考生的得分點,分值為14~28分.
預(yù)計2024年各地中考還將繼續(xù)重視對正負(fù)數(shù)的意義、相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)、數(shù)軸等實數(shù)的相關(guān)概念及實數(shù)的分類的考查,也會對有理數(shù)的運(yùn)算、科學(xué)記數(shù)法、數(shù)的開方、零次冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、二次根式及運(yùn)算等進(jìn)行考查,且考查形式多樣,為避免丟分,學(xué)生應(yīng)扎實掌握。
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1.?dāng)?shù)軸:規(guī)定了原點、單位長度和正方向的直線叫做數(shù)軸.數(shù)軸上所有的點與全體實數(shù)一一對應(yīng).
2.相反數(shù):只有符號不同,而絕對值相同的兩個數(shù)稱為互為相反數(shù),若a、b互為相反數(shù),則a+b=0.
3.倒數(shù):1除以一個不等于零的實數(shù)所得的商,叫做這個數(shù)的倒數(shù).若a、b互為倒數(shù),則ab=1.
4.絕對值:數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離,記作 |a|.
5.(1)按照定義分類
(2)按照正負(fù)分類
注意:0既不屬于正數(shù),也不屬于負(fù)數(shù).另外,在理解無理數(shù)時,要注意“無限不循環(huán)”,歸納起來有四類:
(1)開方開不盡的數(shù),如,等;
(2)有特定意義的數(shù),如圓周率π,或化簡后含有π的數(shù),如等;
(3)有特定結(jié)構(gòu)的數(shù),如0.101 001 000 1…等;
(4)某些三角函數(shù),如sin60°等.
6.科學(xué)記數(shù)法:科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n為整數(shù).當(dāng)原數(shù)絕對值大于10時,寫成a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1;當(dāng)原數(shù)絕對值小于1時,寫成a×10?n的形式,其中1≤|a|<10,n等于原數(shù)左邊第一個非零的數(shù)字前的所有零的個數(shù)(包括小數(shù)點前面的零).
7.近似數(shù):近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度通常用精確度來表示,近似數(shù)一般由四舍五入取得,四舍五入到哪一位,就說這個近似數(shù)精確到哪一位.
8.平方根:(1)算術(shù)平方根的概念:若x2=a(x>0),則正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根.
(2)平方根的概念:若x2=a,則x叫做a的平方根.
(3)表示:a的平方根表示為,a的算術(shù)平方根表示為.
(4)
9.立方根:(1)定義:若x3=a,則x叫做a的立方根.
(2)表示:a的立方根表示為.
(3).
10.?dāng)?shù)的乘方:求 QUOTE n個相同因數(shù)a的積的運(yùn)算叫做乘方,乘方的結(jié)果叫冪.在an中,a叫底數(shù),n叫指數(shù).
11.實數(shù)的運(yùn)算:
(1)有理數(shù)的運(yùn)算定律在實數(shù)范圍內(nèi)都適用,常用的運(yùn)算定律有加法結(jié)合律 、加法交換律 、乘法交換律 、乘法結(jié)合律、 乘法分配律.
(2)運(yùn)算順序:先算乘方(開方),再算乘除,最后算加減;有括號的先算括號里面的.
12.指數(shù),負(fù)整數(shù)指數(shù)冪:a≠0,則a0=1;若a≠0,n為正整數(shù),則.
13.?dāng)?shù)的大小比較常用以下幾種方法:數(shù)軸比較法、差值比較法、絕對值比較法、乘方比較法、中間值比較法等等.
14.二次根式的有關(guān)概念
(1)二次根式的概念
形如的式子叫做二次根式.其中符號“”叫做二次根號,二次根號下的數(shù)叫做被開方數(shù).
【注】被開方數(shù)只能是非負(fù)數(shù).即要使二次根式eq \r(a)有意義,則a≥0.
(2)最簡二次根式:被開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù),因式是整式,不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式,叫做最簡二次根式.
(3)同類二次根式: 化成最簡二次根式后,被開方數(shù)相同的幾個二次根式,叫做同類二次根式.
15.二次根式的性質(zhì)
(1)≥ 0(≥0);(2); (3);
(4);(5).
16.二次根式的運(yùn)算
(1)二次根式的加減
合并同類二次根式:在二次根式的加減運(yùn)算中,把幾個二次根式化為最簡二次根式后,若有同類二次根式,可把同類二次根式合并成一個二次根式.
(2)二次根式的乘除
乘法法則:;除法法則:.
(3)二次根式的混合運(yùn)算
二次根式的混合運(yùn)算順序與實數(shù)的運(yùn)算順序一樣,先乘方,后乘除,最后加減,有括號的先算括號內(nèi)的.
在運(yùn)算過程中,乘法公式和有理數(shù)的運(yùn)算律在二次根式的運(yùn)算中仍然適用.
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考向一 實數(shù)的有關(guān)概念
此類問題一般以填空題、選擇題的形式出現(xiàn),熟練掌握實數(shù)的有關(guān)概念,如相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值、算術(shù)平方根等是解決這類問題的關(guān)鍵.
1.(2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題)如果向東走10m記作,那么向西走記作( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】根據(jù)具有相反意義的量即可得.
【詳解】解:因為向東與向西是一對具有相反意義的量,
所以如果向東走10m記作,那么向西走記作,
故選:C.
【點睛】本題考查了具有相反意義的量,熟練掌握具有相反意義的量是解題關(guān)鍵.
2.(2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題)的倒數(shù)是( )
A.B.2023C.D.
【答案】C
【分析】根據(jù)相乘等于1的兩個數(shù)互為倒數(shù),即可求解.
【詳解】解:的倒數(shù)是,
故選:C.
【點睛】本題考查了倒數(shù),掌握倒數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.
3.(2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題)___________.
【答案】2023
【分析】負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù),由此可解.
【詳解】解:的相反數(shù)是2023,故,
故答案為:2023.
【點睛】本題考查求一個數(shù)的絕對值,解題的關(guān)鍵是掌握負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù).
4.(2023·安徽·統(tǒng)考中考真題)的相反數(shù)是( )
A.5B.C.D.
【答案】A
【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義即可求解.
【詳解】解:的相反數(shù)是5,
故選:A.
【點睛】此題主要考查相反數(shù),解題的關(guān)鍵是熟知相反數(shù)的定義.
5.(2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題)﹣8的立方根是( )
A.±2B.2C.﹣2D.不存在
【答案】C
【分析】根據(jù)立方根的定義進(jìn)行解答.
【詳解】∵(﹣2)3=﹣8,
∴﹣8的立方根是﹣2,
故選:C.
【點睛】本題主要考查了立方根,解決本題的關(guān)鍵是數(shù)積立方根的定義.
6.(2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題)9的算術(shù)平方根是( )
A.B.C.3D.
【答案】C
【分析】由,可得9的算術(shù)平方根.
【詳解】解:9的算術(shù)平方根是3,
故選:C.
【點睛】本題考查的是算術(shù)平方根的含義,熟練的求解一個數(shù)的算術(shù)平方根是解本題的關(guān)鍵.
7.(2020·內(nèi)蒙古中考真題)點A在數(shù)軸上,點A所對應(yīng)的數(shù)用表示,且點A到原點的距離等于3,則a的值為( )
A.或1B.或2C.D.1
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)絕對值的幾何意義列絕對值方程解答即可.
【詳解】
解:由題意得:|2a+1|=3
當(dāng)2a+1>0時,有2a+1=3,解得a=1
當(dāng)2a+1<0時,有2a+1=-3,解得a=-2
所以a的值為1或-2.
故答案為A.
【點睛】
本題考查了絕對值的幾何意義,根據(jù)絕對值的幾何意義列出絕對值方程并求解是解答本題的關(guān)鍵.
8.(2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題)的平方根是_______.
【答案】±2
【詳解】解:∵
∴的平方根是±2.
故答案為:±2.
9.(2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題)下列各數(shù)中,為有理數(shù)的是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】根據(jù)立方根、無理數(shù)與有理數(shù)的概念即可得.
【詳解】解:A、,是有理數(shù),則此項符合題意;
B、是無限不循環(huán)小數(shù),是無理數(shù),則此項不符合題意;
C、是無理數(shù),則此項不符合題意;
D、是無理數(shù),則此項不符合題意;
故選:A.
【點睛】本題考查了立方根、無理數(shù)與有理數(shù),熟記無理數(shù)與有理數(shù)的概念是解題關(guān)鍵.
考向二 實數(shù)的分類
實數(shù)的分類
10.(2023·江西·統(tǒng)考中考真題)下列各數(shù)中,正整數(shù)是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類即可求解.
【詳解】解:是正整數(shù),是小數(shù),不是整數(shù),不是正數(shù),不是正數(shù),
故選:A.
【點睛】本題考查了有理數(shù)的分類,熟練掌握有理數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵.
11.(2020·四川遂寧·中考真題)下列各數(shù)3.1415926,,1.212212221…,,2﹣π,﹣2020,中,無理數(shù)的個數(shù)有_____個.
【答案】3
【分析】根據(jù)無理數(shù)的三種形式:①開方開不盡的數(shù),②無限不循環(huán)小數(shù),③含有π的絕大部分?jǐn)?shù),找
出無理數(shù)的個數(shù).
【解析】解:在所列實數(shù)中,無理數(shù)有1.212212221…,2﹣π,這3個,故答案為:3.
【點睛】本題考查無理數(shù)的定義,熟練掌握無理數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵.
12.把下列各數(shù)填入相應(yīng)集合內(nèi):
,,4, 1.101001000…, ,π ,0,3%,,-|-3|,
整數(shù)集合:{ …}
分?jǐn)?shù)集合:{ …}
無理數(shù)集合:{ …}
正數(shù)集合:{ …}
【答案】見解析
【分析】
由整數(shù)、分?jǐn)?shù)、無理數(shù)、正數(shù)的定義,分別進(jìn)行判斷,即可得到答案.
【詳解】
解:整數(shù)集合:{ ,4,0,-|-3| ,,…}
分?jǐn)?shù)集合:{ , ,3% ,,…}
無理數(shù)集合:{1.101001000…,π,…}
正數(shù)集合:{,4,1.101001000…,π ,3%,,,…}
【點睛】
本題考查了無理數(shù)的定義,有理數(shù)的分類,解題的關(guān)鍵是掌握無理數(shù)和有理數(shù)的定義進(jìn)行解題.
13.把下列各數(shù)序號分別填入相應(yīng)的集合內(nèi):
①,② ,③,④,⑤,⑥,⑦,⑧,⑨,⑩0.979779777···(相鄰兩個9之間7的個數(shù)逐次增加1)
【答案】有理數(shù)集合:②⑤⑨;無理數(shù)集合:①③④⑥⑦⑧⑩;負(fù)實數(shù)集合:④⑤⑧⑨
【分析】根據(jù)實數(shù)的性質(zhì)即可分類.
【解析】有理數(shù)為,,;
無理數(shù)為,,,, ,,0.979779777···(相鄰兩個9之間7的個數(shù)逐次增加1);
負(fù)實數(shù)為,,,,
∴有理數(shù)集合:②⑤⑨;無理數(shù)集合:①③④⑥⑦⑧⑩;負(fù)實數(shù)集合:④⑤⑧⑨.
【點睛】此題主要考查實數(shù)的分類,解題的關(guān)鍵是熟知實數(shù)的分類方法及特點.
考向三 無理數(shù)的估算
無理數(shù)的估算在近年的中考試卷中頻頻出現(xiàn),無理數(shù)的估算既不是估計、也不是猜測,它是一種科學(xué)的計算方法,往往通過逐步逼近的方法確定一個數(shù)的大小或范圍.
14.(2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題)已知,則與最接近的整數(shù)為( )
A.2B.3C.4D.5
【答案】B
【分析】根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算進(jìn)行計算,進(jìn)而估算無理數(shù)的大小即可求解.
【詳解】解:
∵,
∴,
∴與最接近的整數(shù)為,
故選:B.
【點睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算,無理數(shù)的估算,熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.
15.(2023·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題)設(shè),則實數(shù)m所在的范圍是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算進(jìn)行計算,然后估算即可求解.
【詳解】解:,
∵,
∴,
即,
故選:B.
【點睛】本題考查了二次根式的加減運(yùn)算,無理數(shù)的估算,正確的計算是解題的關(guān)鍵.
16.(2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題)請寫出一個比小的整數(shù)________.
【答案】(答案不唯一)
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的意義求解 .
【詳解】解:∴由可得:,
即,
故答案為:(答案不唯一).
【點睛】本題考查算術(shù)平方根和無理數(shù)的估算,熟練掌握基本知識是解題關(guān)鍵.
考向四 實數(shù)與數(shù)軸
1.?dāng)?shù)軸形象地反映了數(shù)與點之間的關(guān)系,數(shù)軸上的點與實數(shù)之間是一一對應(yīng)的,任意一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示;反之,數(shù)軸上的任意一個點都表示一個實數(shù).在中考中通常借助于數(shù)軸這一數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化的特點來呈現(xiàn)或解決數(shù)學(xué)問題;
2.利用數(shù)軸可以形象直觀地理解相反數(shù)、絕對值的意義(代數(shù)意義、幾何意義).
17.(2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題)如圖,比數(shù)軸上點A表示的數(shù)大3的數(shù)是( )
A.B.0C.1D.2
【答案】D
【分析】根據(jù)數(shù)軸及有理數(shù)的加法可進(jìn)行求解.
【詳解】解:由數(shù)軸可知點A表示的數(shù)是,所以比大3的數(shù)是;
故選:D.
【點睛】本題主要考查數(shù)軸及有理數(shù)的加法,熟練掌握數(shù)軸上有理數(shù)的表示及有理數(shù)的加法是解題的關(guān)鍵.
18.(2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題)如圖,數(shù)軸上點A表示的數(shù)是2023,,則點B表示的數(shù)是( )
A.2023B.C.D.
【答案】B
【分析】根據(jù)數(shù)軸的定義求解即可.
【詳解】解;∵數(shù)軸上點A表示的數(shù)是2023,,
∴,
∴點B表示的數(shù)是,
故選:B.
【點睛】本題考查數(shù)軸上點表示有理數(shù),熟練掌握數(shù)軸上點的特征是解題的關(guān)鍵.
19.(2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題)如圖,數(shù)軸上的點分別對應(yīng)實數(shù),則__________0.(用“”“”或“”填空)
【答案】
【分析】根據(jù)數(shù)軸可得,進(jìn)而即可求解.
【詳解】解:由數(shù)軸可得
∴
故答案為:.
【點睛】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸,有理數(shù)加法的運(yùn)算法則,數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.
20.已知實數(shù),在數(shù)軸上的位置如圖所示,則化簡的結(jié)果為( )
A.B.C.-2D.
【答案】A
【分析】
根據(jù)數(shù)軸上點的位置判斷出b-1,a+1,a-b的正負(fù),原式利用絕對值、算術(shù)平方根的性質(zhì)等進(jìn)行化簡,即可得到結(jié)果.
【詳解】
解:∵-2
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