第02講一元二次方程（考點(diǎn)精析+真題精講）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)研究（全國通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2、學(xué)會運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問題的解決方法（以形助數(shù)），或利用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何問題（以數(shù)助形）的一種數(shù)學(xué)思想。
3、要學(xué)會搶得分點(diǎn)。一道中考數(shù)學(xué)壓軸題解不出來，不等于“一點(diǎn)不懂、一點(diǎn)不會”，要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn)。
4、學(xué)會運(yùn)用等價轉(zhuǎn)換思想。在研究數(shù)學(xué)問題時，我們通常是將未知問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。
5、學(xué)會運(yùn)用分類討論的思想。如果不注意對各種情況分類討論，就有可能造成錯解或漏解，縱觀近幾年的中考壓軸題分類討論思想解題已成為新的熱點(diǎn)。
6、轉(zhuǎn)化思想:體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上也就是要把難的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題。
備戰(zhàn)2024中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)
第2講一元二次方程
№考向解讀
?考點(diǎn)精析
?真題精講
?題型突破
?專題精練
第二章方程（組）與不等式（組）
第2講一元二次方程
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考向一一元二次方程的解
考向二解一元二次方程
考向三一元二次方程根的判別式
考向四含參問題
考向五根與系數(shù)關(guān)系
考向六一元二次方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用
第2講一元二次方程
本考點(diǎn)內(nèi)容以考查一元二次方程的相關(guān)概念、解一元二次方程、根的判別式、韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）、一元二次方程的應(yīng)用題為主,既有單獨(dú)考查,也有和二次函數(shù)結(jié)合考察最值問題,年年考查,分值為20分左右,預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)考查上述的幾個題型,為避免丟分,學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握.
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一、一元二次方程的概念
1．一元二次方程：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．
2．一般形式：（其中為常數(shù)，），其中分別叫做二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)．
注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因?yàn)楫?dāng)時，不含有二次項(xiàng)，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必須具備三個條件：①必須是整式方程；②必須只含有一個未知數(shù)；③所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2．
二、一元二次方程的解法
1．直接開平方法：適合于或形式的方程．
2．配方法：（1）化二次項(xiàng)系數(shù)為1；（2）移項(xiàng)，使方程左邊只含有二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；
（3）方程兩邊同時加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；（4）把方程整理成的形式；
（5）運(yùn)用直接開平方法解方程．
3．公式法：（1）把方程化為一般形式，即；（2）確定的值；（3）求出的值；（4）將的值代入即可．
4．因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或．
三、一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系
1．根的判別式：一元二次方程是否有實(shí)數(shù)根，由的符號來確定，我們把叫做一元二次方程根的判別式．
2．一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系
（1）當(dāng)時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)時，方程有1個（兩個相等的）實(shí)數(shù)根；
（3）當(dāng)時，方程沒有實(shí)數(shù)根．
3．根與系數(shù)關(guān)系：對于一元二次方程（其中為常數(shù)，），設(shè)其兩根分別為，，則，．
四、利用一元二次方程解決實(shí)際問題
列一元二次方程解應(yīng)用題步驟和列一元一次方程(組)解應(yīng)用題步驟一樣，即審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答六步．列一元二次方程解應(yīng)用題，經(jīng)濟(jì)類和面積類問題是?？純?nèi)容．
1．增長率等量關(guān)系
（1）增長率=增長量÷基礎(chǔ)量．（2）設(shè)為原來量，為平均增長率，為增長次數(shù)，為增長后的量，則；當(dāng)為平均下降率時，則有．
2．利潤等量關(guān)系：（1）利潤=售價－成本．（2）利潤率=×100％．
3．面積問題
（1）類型1：如圖1所示的矩形長為，寬為，空白“回形”道路的寬為，則陰影部分的面積為．
（2）類型2：如圖2所示的矩形長為，寬為，陰影道路的寬為，則空白部分的面積為．
（3）類型3：如圖3所示的矩形長為，寬為，陰影道路的寬為，則4塊空白部分的面積之和可轉(zhuǎn)化為．

圖1 圖2 圖3
4. 碰面問題（循環(huán)問題）
（1）重疊類型（雙循環(huán)）：n支球隊(duì)互相之間都要打一場比賽，總共比賽場次為m。
∵1支球隊(duì)要和剩下的（n－1）支球隊(duì)比賽，∴1支球隊(duì)需要比（n－1）場
∵存在n支這樣的球隊(duì)，∴比賽場次為：n（n－1）場
∵A與B比賽和B與A比賽是同一場比賽，∴上述求法有重疊部分.
∴m=12n（n?1）
（2）不重疊類型（單循環(huán)）：n支球隊(duì)，每支球隊(duì)要在主場與所有球隊(duì)各打一場，總共比賽場次為m。
∵1支球隊(duì)要和剩下的（n－1）支球隊(duì)比賽，∴1支球隊(duì)需要比（n－1）場
∵存在n支這樣的球隊(duì)，∴比賽場次為：n（n－1）場.
∵A與B比賽在A的主場，B與A比賽在B的主場，不是同一場比賽，∴上述求法無重疊.
∴m=n（n?1）
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考向一一元二次方程的解
緊扣一元二次方程的概念，方程的解直接代入方程中，等式成立，化簡變形求解。
1．（2020·甘肅金昌·中考真題）已知是一元二次方程的一個根，則的值為（）
A．-1或2B．-1C．2D．0
考向二解一元二次方程
一元二次方程的常見解法及適用情形：
2．（2023秋·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期末）解方程：．
3．（2020·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）解方程：x2﹣5x+6＝0
4．（2020·山東聊城·中考真題）用配方法解一元二次方程，配方正確的是（）．
A． B． C． D．
5．（2020·四川樂山·中考真題）已知，且．則的值是_________．
考向三一元二次方程根的判別式
對于方程，，①若，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；②若，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；③若，方程沒有實(shí)數(shù)根．
6．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于的一元二次方程的根的情況是（）
A．沒有實(shí)數(shù)根B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根
C．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根D．實(shí)數(shù)根的個數(shù)與實(shí)數(shù)的取值有關(guān)
7．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）設(shè)一元二次方程．在下面的四組條件中選擇其中一組的值，使這個方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，并解這個方程．
①；②；③；④．
注：如果選擇多組條件分別作答，按第一個解答計(jì)分．
考向四含參問題
8．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）
A．B．C．D．
9．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）若一元二次方程有實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是（）
A．B．C．且D．且
10．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）若是關(guān)x的方程的解，則的值為___________．
11．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．
(1)求的取值范圍；
(2)當(dāng)時，用配方法解方程．
12．（2020·四川南充·中考真題）已知，是一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使得等式成立？如果存在，請求出k的值，如果不存在，請說明理由．
考向五根與系數(shù)關(guān)系
設(shè)一元二次方程的兩根分別為，，則，．
13．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程兩根為，且，則m的值為（）
A．4B．8C．12D．16
14．（2020·河南中考真題）定義運(yùn)算：．例如．則方程的根的情況為（）
A．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根 C．無實(shí)數(shù)根 D．只有一個實(shí)數(shù)根
15．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）若是方程的兩個根，則（）
A．B．C．D．
16．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）已知、是方程的兩根，則代數(shù)式的值為_________．
17．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)求證：無論m取何值時，方程都有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；
(2)設(shè)該方程的兩個實(shí)數(shù)根為a，b，若，求m的值．
考向六一元二次方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用
列一元二次方程解實(shí)際問題的關(guān)鍵是找出題中的等量關(guān)系，利用等量關(guān)系列出方程．其中分析實(shí)際問題是解決問題的前提和基礎(chǔ)，解一元二次方程是重要方法和手段，并注意解出的方程的解是否符合實(shí)際問題．
18．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的《2022年國民經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》顯示，2020年和2022年全國居民人均可支配收入分別為3.2萬元和3.7萬元．設(shè)2020年至2022年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為x，依題意可列方程為（）
A．B．
C．D．
19．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在長為，寬為的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是，則小路的寬是（）

A．B．C．或D．
20．（2020·遼寧大連·中考真題）1275年，我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類乘除算法》中提出這樣一個問題：直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步．問闊及長各幾步．意思是：矩形面積864平方步，寬比長少12步，問寬和長各幾步．若設(shè)長為x步，則可列方程為_____．
21．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）某新建工業(yè)園區(qū)今年六月份提供就業(yè)崗位個，并按計(jì)劃逐月增長，預(yù)計(jì)八月份將提供崗位個．設(shè)七、八兩個月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長率為，根據(jù)題意，可列方程為___________．
22．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）為了讓學(xué)生養(yǎng)成熱愛圖書的習(xí)慣，某學(xué)校抽出一部分資金用于購買書籍．已知2020年該學(xué)校用于購買圖書的費(fèi)用為5000元，2022年用于購買圖書的費(fèi)用是7200元，求年買書資金的平均增長率．
23．（2020·山東濱州·中考真題）某水果商店銷售一種進(jìn)價為40元/千克的優(yōu)質(zhì)水果，若售價為50元/千克，則一個月可售出500千克；若售價在50元/千克的基礎(chǔ)上每漲價1元，則月銷售量就減少10千克．
（1）當(dāng)售價為55元/千克時，每月銷售水果多少千克？（2）當(dāng)月利潤為8750元時，每千克水果售價為多少元?（3）當(dāng)每千克水果售價為多少元時，獲得的月利潤最大？
24．（2020·貴州黔南·中考真題）在2020年新冠肺炎疫情期間，某中學(xué)響應(yīng)政府有“停課不停學(xué)”的號召，充分利用網(wǎng)絡(luò)資源進(jìn)行網(wǎng)上學(xué)習(xí)，九年級1班的全體同學(xué)在自主完成學(xué)習(xí)任務(wù)的同時，彼此關(guān)懷，全班每兩個同學(xué)都通過一次電話，互相勉勵，共同提高，如果該班共有48名同學(xué)，若每兩名同學(xué)之間僅通過一次電話，那么全同學(xué)共通過多少次電話呢？我們可以用下面的方式來解決問題．用點(diǎn)分表示第1名同學(xué)、第2名同學(xué)、第3名同學(xué)…第48名同學(xué)，把該班級人數(shù)x與通電話次數(shù)y之間的關(guān)系用如圖模型表示：
（1）填寫上圖中第四個圖中y的值為_______，第五個圖中y的值為_______．
（2）通過探索發(fā)現(xiàn)，通電話次數(shù)y與該班級人數(shù)x之間的關(guān)系式為_____，當(dāng)時，對應(yīng)的______．
（3）若九年級1班全體女生相互之間共通話190次，問：該班共有多少名女生？一般形式：
直接開平方法
形如的方程，可直接開方求解，則，
因式分解法
可化為的方程，用因式分解法求解，則，
配方法
若不易于使用分解因式法求解，可考慮配方為，再直接開方求解
公式法
利用求根公式：

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