2、學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問(wèn)題的解決方法（以形助數(shù)），或利用數(shù)量關(guān)系來(lái)研究幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何問(wèn)題（以數(shù)助形）的一種數(shù)學(xué)思想。
3、要學(xué)會(huì)搶得分點(diǎn)。一道中考數(shù)學(xué)壓軸題解不出來(lái)，不等于“一點(diǎn)不懂、一點(diǎn)不會(huì)”，要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn)。
4、學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想。在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們通常是將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題，將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的問(wèn)題，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。
5、學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論的思想。如果不注意對(duì)各種情況分類討論，就有可能造成錯(cuò)解或漏解，縱觀近幾年的中考?jí)狠S題分類討論思想解題已成為新的熱點(diǎn)。
6、轉(zhuǎn)化思想:體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上也就是要把難的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，把不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，把未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題。
備戰(zhàn)2024中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)
第4講一次不等式(組）
№考向解讀
?考點(diǎn)精析
?真題精講
?題型突破
?專題精練
第二章方程（組）與不等式（組）
第4講一次不等式(組）
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考向一 不等式的定義及性質(zhì)
考向二 一元一次不等式的解集及數(shù)軸表示
考向三 一元一次不等式組的解集及數(shù)軸表示
考向四 一元一次不等式（組）的整數(shù)解問(wèn)題
考向五 求參數(shù)的值或取值范圍
考向六 一元一次不等式（組）的應(yīng)用
第4講一次不等式(組）
本考點(diǎn)內(nèi)容以考查依據(jù)題意列不等式并解決問(wèn)題、不等式組表示取值范圍為主，,體現(xiàn)了不等式的工具性，年年考查,是廣大考生的得分點(diǎn)，分值為6-10分左右。預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)考查這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，重要題型有解不等式（組）、不等式含參、不等式相關(guān)的應(yīng)用題以及不等式的性質(zhì)，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握。
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一、不等式的概念、性質(zhì)及解集表示
1．不等式：一般地，用符號(hào)“”(或“≥”)連接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解．
2．不等式的基本性質(zhì)
注意：不等式的性質(zhì)是解不等式的重要依據(jù)，在解不等式時(shí)，應(yīng)注意：在不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向一定要改變．
3．不等式的解集及表示方法
（1）不等式的解集：一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式有無(wú)數(shù)個(gè)解，其解是一個(gè)范圍，這個(gè)范圍就是不等式的解集．
（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用數(shù)軸表示：不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來(lái)，形象地表明不等式有無(wú)限個(gè)解．
二、一元一次不等式及其解法
1．一元一次不等式：不等式的左右兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，這樣的不等式叫一元一次不等式．
2．解一元一次不等式的一般步驟：①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤系數(shù)化為1（注意不等號(hào)方向是否改變）．
三、一元一次不等式組及其解法
1．一元一次不等式組：一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起，組成一元一次不等式組．
2．一元一次不等式組的解集：一元一次不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分，叫做這個(gè)一元一次不等式組的解集，求不等式組解集的過(guò)程，叫做解不等式組．
3．一元一次不等式組的解法：先分別求出每個(gè)不等式的解集，再利用數(shù)軸求出這些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果沒(méi)有公共部分，則該不等式組無(wú)解．
4．幾種常見(jiàn)的不等式組的解集：設(shè)，，是常數(shù)，關(guān)于的不等式組的解集的四種情況如下表所示（等號(hào)取不到時(shí)在數(shù)軸上用空心圓點(diǎn)表示）：
考情總結(jié)：一元一次不等式（組）的解法及其解集表示的考查形式如下：
（1）一元一次不等式（組）的解法及其解集在數(shù)軸上的表示；
（2）利用一次函數(shù)圖象解一元一次不等式；
（3）求一元一次不等式組的最小整數(shù)解；
（4）求一元一次不等式組的所有整數(shù)解的和．
四、列不等式（組）解決實(shí)際問(wèn)題
列不等式（組）解應(yīng)用題的基本步驟如下：
①審題；②設(shè)未知數(shù)；③列不等式(組)；④解不等式(組)；⑤檢驗(yàn)并寫(xiě)出答案．
考情總結(jié)：列不等式（組）解決實(shí)際問(wèn)題常與一元一次方程、一次函數(shù)等綜合考查，涉及的題型常與方案設(shè)計(jì)型問(wèn)題相聯(lián)系，如最大利潤(rùn)、最優(yōu)方案等．列不等式時(shí)，要抓住關(guān)鍵詞，如不大于、不超過(guò)、至多用“≤”連接，不少于、不低于、至少用“≥”連接．
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考向一 不等式的定義及性質(zhì)
（1）含有不等號(hào)的式子叫做不等式．
（2）不等式兩邊同乘以或除以一個(gè)相同的負(fù)數(shù)，不等號(hào)要改變方向，在運(yùn)用中，往往會(huì)因?yàn)橥浉淖儾坏忍?hào)方向而導(dǎo)致錯(cuò)誤．
1．（2020·河北中考）語(yǔ)句“的與的和不超過(guò)”可以表示為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】x的即x，不超過(guò)5是小于或等于5的數(shù)，由此列出式子即可．
【解析】 “x的與x的和不超過(guò)5”用不等式表示為x+x≤5．故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次不等式，讀懂題意，抓住關(guān)鍵詞語(yǔ)，弄清運(yùn)算的先后順序和不等關(guān)系，才能把文字語(yǔ)言的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為用數(shù)學(xué)符號(hào)表示的不等式．
2．（2020·浙江杭州·中考真題）若a＞b，則（ ）
A．a(chǎn)﹣1≥bB．b+1≥aC．a(chǎn)+1＞b﹣1D．a(chǎn)﹣1＞b+1
【答案】C
【分析】舉出反例即可判斷A、B、D，根據(jù)不等式的傳遞性即可判斷C．
【解析】解：A、a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b，不符合題意；
B、a＝3，b＝1，a＞b，但是b+1＜a，不符合題意；
C、∵a＞b，∴a+1＞b+1，∵b+1＞b﹣1，∴a+1＞b﹣1，符合題意；
D、a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b+1，不符合題意．故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查不等式的性質(zhì)，對(duì)性質(zhì)的理解是關(guān)鍵．
考向二 一元一次不等式的解集及數(shù)軸表示
（1）一元一次不等式的求解步驟：去分母→去括號(hào)→移項(xiàng)→合并同類項(xiàng)→系數(shù)化為1．
（2）進(jìn)行“去分母”和“系數(shù)化為1”時(shí)，要根據(jù)不等號(hào)兩邊同乘以（或除以）的數(shù)的正負(fù)，決定是否改變不等號(hào)的方向，若不能確定該數(shù)的正負(fù)，則要分正、負(fù)兩種情況討論．
3．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）解不等式，下列在數(shù)軸上表示的解集正確的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】按去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，未知數(shù)系數(shù)化為的步驟求出解集，再把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)，注意包含端點(diǎn)值用實(shí)心圓點(diǎn)，不包含端點(diǎn)值用空心圓點(diǎn)，即可求解．
【詳解】解：
，
解集在數(shù)軸上表示為
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式的解法及解集在數(shù)軸上的表示方法，掌握解法及表示方法是解題的關(guān)鍵．
4．（2020·遼寧盤(pán)錦·中考真題）不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先將不等式移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1求得其解集，再根據(jù)“大于向右，小于向左，包括端點(diǎn)用實(shí)心，不包括端點(diǎn)用空心”的原則即可判斷答案．
【解析】解：解不等式：，移項(xiàng)得： 合并同類項(xiàng)得：
系數(shù)化為1得：，數(shù)軸上表示如圖所示，故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式及再數(shù)軸上表示不等式解集的能力，掌握“大于向右，小于向左，包括端點(diǎn)用實(shí)心，不包括端點(diǎn)用空心”的原則是解題的關(guān)鍵．
考向三 一元一次不等式組的解集及數(shù)軸表示
不等式解集的確定有兩種方法：
（1）數(shù)軸法：在數(shù)軸上把各個(gè)不等式解集表示出來(lái)，尋找公共部分并用不等式表示出來(lái)；
（2）口訣法：“大大取大小小取小，大小小大中間找，大大小小取不了．”
5．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）不等式組的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出每個(gè)不等式的解集，再根據(jù) “同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無(wú)解）”求出不等式組的解集．
【詳解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式組，正確求出每個(gè)不等式的解集是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）解不等式組：，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．

【答案】不等式組的解集為：．畫(huà)圖見(jiàn)解析
【分析】先解不等式組中的兩個(gè)不等式，再在數(shù)軸上表示兩個(gè)不等式的解集，從而可得答案．
【詳解】解：，
由①得：，
由②得：，
∴，
在數(shù)軸上表示其解集如下：

∴不等式組的解集為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次不等式組的解法，在數(shù)軸上表示不等式組的解集，掌握不等式組的解法與步驟是解本題的關(guān)鍵．
考向四 一元一次不等式（組）的整數(shù)解問(wèn)題
此類問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是解不等式（組），通過(guò)不等式（組）的解集，然后寫(xiě)出符合題意的整數(shù)解即可．
7．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解僅有4個(gè)，則m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】不等式組整理后，表示出不等式組的解集，根據(jù)整數(shù)解共有4個(gè)，確定出m的范圍即可．
【詳解】解：，
由②得：，
解集為，
由不等式組的整數(shù)解只有4個(gè)，得到整數(shù)解為2，1，0，，
∴，
∴；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式組，一元一次不等式組的整數(shù)解等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)不等式組的解集得到是解此題的關(guān)鍵．
8．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于的不等式組有3個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．
【答案】/
【分析】解不等式組，根據(jù)不等式組有3個(gè)整數(shù)解得出關(guān)于m的不等式組，進(jìn)而可求得的取值范圍．
【詳解】解：解不等式組得：，
∵關(guān)于的不等式組有3個(gè)整數(shù)解，
∴這3個(gè)整數(shù)解為，，，
∴，
解得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，一元一次不等式組的整數(shù)解，正確得出關(guān)于m的不等式組是解題的關(guān)鍵．
9．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的一元一次不等式組，至少有2個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是___________．
【答案】4
【分析】先解不等式組，確定a的取值范圍，再把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，解得，由分式方程有正整數(shù)解，確定出a的值，相加即可得到答案．
【詳解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式的解集為，
∵不等式組至少有2個(gè)整數(shù)解，
∴，
解得：；
∵關(guān)于y的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，
∴
解得：，
即且，
解得：且
∴a的取值范圍是，且
∴a可以?。?，3，
∴，
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
10．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）不等式組的所有整數(shù)解的和是_________．
【答案】7
【分析】先分別解不等式組中的兩個(gè)不等式，得到不等式組的解集，再確定整數(shù)解，最后求和即可．
【詳解】解：，
由①得：，
∴，
解得：；
由②得：，
整理得：，
解得：，
∴不等式組的解集為：，
∴不等式組的整數(shù)解為：，，0，1，2，3，4；
∴，
故答案為：7
【點(diǎn)睛】本題考查的是求解一元一次不等式組的整數(shù)解，熟悉解一元一次不等式組的方法與步驟是解本題的關(guān)鍵．
11．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）解不等式組：．
【答案】
【分析】分別求出各個(gè)不等式的解，再取各個(gè)解集的公共部分，即可．
【詳解】解：解得：，
解得：，
∴不等式組的解集為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式組，熟練掌握解不等式組的基本步驟，是解題的關(guān)鍵．
考向五 求參數(shù)的值或取值范圍
求解此類題目的難點(diǎn)是根據(jù)不等式（組）的解的情況得到關(guān)于參數(shù)的等式或不等式，然后求解即可．
12．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于的一元一次不等式的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示，則的值為（ ）

A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【分析】先求出不等式的解集，然后對(duì)比數(shù)軸求解即可．
【詳解】解：解得，
由數(shù)軸得：，
解得：，
故選：B．
【點(diǎn)睛】題目主要考查求不等式的解集及參數(shù)，熟練掌握求不等式解集的方法是解題關(guān)鍵．
13．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的不等式組的解集為，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分別求出各不等式的解集，再根據(jù)不等式組的解集是求出a的取值范圍即可．
【詳解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵關(guān)于的不等式組的解集為，
∴，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
14．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）若不等式組的解集為，則m的取值范圍是______．
【答案】
【分析】分別求出兩個(gè)不等式的解集，根據(jù)不等式組的解集即可求解．
【詳解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式組的解集為：，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，根據(jù)不等式的解求參數(shù)的取值范圍，熟練掌握解不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小大小小大中間找，大大小小找不到（無(wú)解）是解題的關(guān)鍵．
15．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的不等式組所有整數(shù)解的和為，則整數(shù)的值為_(kāi)__________．
【答案】或
【分析】根據(jù)題意可求不等式組的解集為，再分情況判斷出的取值范圍，即可求解．
【詳解】解：由①得：，
由②得：，
不等式組的解集為：，
所有整數(shù)解的和為，
①整數(shù)解為：、、、，
，
解得：，
為整數(shù)，
．
②整數(shù)解為：，，，、、、，
，
解得：，
為整數(shù)，
．
綜上，整數(shù)的值為或
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了含參數(shù)的一元一次不等式組的整數(shù)解問(wèn)題，掌握一元一次不等式組的解法，理解參數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．
考向六 一元一次不等式（組）的應(yīng)用
求解此類題目的難點(diǎn)是建立“不等式（組）模型”，通過(guò)求解不等式（組）的解集并與實(shí)際相結(jié)合即可．
16．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）某集團(tuán)有限公司生產(chǎn)甲乙兩種電子產(chǎn)品共8萬(wàn)件，準(zhǔn)備銷往東南亞國(guó)家和地區(qū)．已知2件甲種電子產(chǎn)品與3件乙種電子產(chǎn)品的銷售額相同：3件甲種電子產(chǎn)品比2件乙種電子產(chǎn)品的銷售多元．
(1)求甲種電子產(chǎn)品與乙種電子產(chǎn)品銷售單價(jià)各多少元？
(2)若使甲乙兩種電子產(chǎn)品的銷售總收入不低于萬(wàn)元，則至少銷售甲種電子產(chǎn)品多少件？
【答案】(1)甲種電子產(chǎn)品的銷售單價(jià)是元，乙種電子產(chǎn)品的單價(jià)為元；(2)至少銷售甲種電子產(chǎn)品萬(wàn)件
【分析】（1）設(shè)甲種電子產(chǎn)品的銷售單價(jià)元，乙種電子產(chǎn)品的銷售單價(jià)元，根據(jù)等量關(guān)系：件甲種電子產(chǎn)品與件乙種電子產(chǎn)品的銷售額相同，件甲種電子產(chǎn)品比件乙種電子產(chǎn)品的銷售多元，列出方程組求解即可；
（2）可設(shè)銷售甲種電子產(chǎn)品萬(wàn)件，根據(jù)甲、乙兩種電子產(chǎn)品的銷售總收入不低于萬(wàn)元，列出不等式求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)甲種電子產(chǎn)品的銷售單價(jià)是元，乙種電子產(chǎn)品的單價(jià)為元．
根據(jù)題意得：，
解得：；
答：甲種電子產(chǎn)品的銷售單價(jià)是元，乙種電子產(chǎn)品的單價(jià)為元．
（2）解：設(shè)銷售甲種電子產(chǎn)品萬(wàn)件，則銷售乙種電子產(chǎn)品萬(wàn)件．
根據(jù)題意得：．
解得：．
答：至少銷售甲種電子產(chǎn)品萬(wàn)件．
【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式及二元一次方程組的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到符合題意的不等關(guān)系及等量關(guān)系．
17．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）某搬運(yùn)公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)A，B兩種型號(hào)的機(jī)器搬運(yùn)貨物，每臺(tái)A型機(jī)器比每臺(tái)B型機(jī)器每天少搬運(yùn)10噸貨物，且每臺(tái)A型機(jī)器搬運(yùn)450噸貨物與每臺(tái)B型機(jī)器搬運(yùn)500噸貨物所需天數(shù)相同．
(1)求每臺(tái)A型機(jī)器，B型機(jī)器每天分別搬運(yùn)貨物多少噸？
(2)每臺(tái)A型機(jī)器售價(jià)1.5萬(wàn)元，每臺(tái)B型機(jī)器售價(jià)2萬(wàn)元，該公司計(jì)劃采購(gòu)兩種型號(hào)機(jī)器共30臺(tái)，滿足每天搬運(yùn)貨物不低于2880噸，購(gòu)買(mǎi)金額不超過(guò)55萬(wàn)元，請(qǐng)幫助公司求出最省錢(qián)的采購(gòu)方案．
【答案】(1)每臺(tái)A型機(jī)器，B型機(jī)器每天分別搬運(yùn)貨物90噸和100噸；(2)當(dāng)購(gòu)買(mǎi)A型機(jī)器人12臺(tái)，B型機(jī)器人18臺(tái)時(shí)，購(gòu)買(mǎi)總金額最低是54萬(wàn)元．
【分析】（1）設(shè)每臺(tái)B型機(jī)器每天搬運(yùn)x噸，則每臺(tái)A型機(jī)器每天搬運(yùn)噸，根據(jù)題意列出分式方程，解方程、檢驗(yàn)后即可解答；
（2設(shè)公司計(jì)劃采購(gòu)A型機(jī)器m臺(tái)，則采購(gòu)B型機(jī)器臺(tái)，再題意列出一元一次不等式組，解不等式組求出m的取值范圍，再列出公司計(jì)劃采購(gòu)A型機(jī)器m臺(tái)與采購(gòu)支出金額w的函數(shù)關(guān)系式，最后利用一次函數(shù)的增減性求最值即可．
【詳解】（1）解：設(shè)每臺(tái)B型機(jī)器每天搬運(yùn)x噸，則每臺(tái)A型機(jī)器每天搬運(yùn)噸,
由題意可得：，解得：
經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解
每臺(tái)A型機(jī)器每天搬運(yùn)噸
答：每臺(tái)A型機(jī)器，B型機(jī)器每天分別搬運(yùn)貨物90噸和100噸
（2）解：設(shè)公司計(jì)劃采購(gòu)A型機(jī)器m臺(tái)，則采購(gòu)B型機(jī)器臺(tái)
由題意可得：,解得：，
公司采購(gòu)金額：
∵
∴w隨m的增大而減小
∴當(dāng)時(shí)，公司采購(gòu)金額w有最小值，即，
∴當(dāng)購(gòu)買(mǎi)A型機(jī)器人12臺(tái)，B型機(jī)器人18臺(tái)時(shí)，購(gòu)買(mǎi)總金額最低是54萬(wàn)元．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用、不等式組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，理解題意正確列出分式方程、不等式組和一次函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵．
18．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）某中學(xué)組織學(xué)生研學(xué)，原計(jì)劃租用可坐乘客人的種客車若干輛，則有人沒(méi)有座位；若租用可坐乘客人的種客車，則可少租輛，且恰好坐滿．
(1)求原計(jì)劃租用種客車多少輛？這次研學(xué)去了多少人？
(2)若該校計(jì)劃租用、兩種客車共輛，要求種客車不超過(guò)輛，且每人都有座位，則有哪幾種租車方案？
(3)在（2）的條件下，若種客車租金為每輛元，種客車租金每輛元，應(yīng)該怎樣租車才最合算？
【答案】(1)原計(jì)劃租用種客車輛，這次研學(xué)去了人
(2)共有種租車方案，方案一：租用種客車輛，則租用種客車輛；方案二：租用種客車輛，則租用種客車輛；方案三：租用種客車輛，則租用種客車輛，
(3)租用種客車輛，則租用種客車輛才最合算
【分析】（1）設(shè)原計(jì)劃租用種客車輛，根據(jù)題意列出一元一次方程，解方程即可求解；
（2）設(shè)租用種客車輛，則租用種客車輛，根據(jù)題意列出一元一次不等式組，解不等式組即可求解；
（3）分別求得三種方案的費(fèi)用，進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)原計(jì)劃租用種客車輛，根據(jù)題意得，
，
解得：
所以（人）
答：原計(jì)劃租用種客車輛，這次研學(xué)去了人；
（2）解：設(shè)租用種客車輛，則租用種客車輛，根據(jù)題意，得
解得：，
∵為正整數(shù)，則，
∴共有種租車方案，
方案一：租用種客車輛，則租用種客車輛，
方案二：租用種客車輛，則租用種客車輛，
方案三：租用種客車輛，則租用種客車輛，
（3）∵種客車租金為每輛元，種客車租金每輛元，
∴種客車越少，費(fèi)用越低，
方案一：租用種客車輛，則租用種客車輛，費(fèi)用為元，
方案二：租用種客車輛，則租用種客車輛，費(fèi)用為元，
方案三：租用種客車輛，則租用種客車輛，費(fèi)用為元，
∴租用種客車輛，則租用種客車輛才最合算．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元一次方程與不等式組是解題的關(guān)鍵．
19．（2020·貴州遵義·中考真題）為倡導(dǎo)健康環(huán)保，自帶水杯已成為一種好習(xí)慣，某超市銷售甲，乙兩種型號(hào)水杯，進(jìn)價(jià)和售價(jià)均保持不變，其中甲種型號(hào)水杯進(jìn)價(jià)為25元/個(gè)，乙種型號(hào)水杯進(jìn)價(jià)為45元/個(gè)，下表是前兩月兩種型號(hào)水杯的銷售情況：
（1）求甲、乙兩種型號(hào)水杯的售價(jià)；
（2）第三月超市計(jì)劃再購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種型號(hào)水杯共80個(gè)，這批水杯進(jìn)貨的預(yù)算成本不超過(guò)2600元，且甲種型號(hào)水杯最多購(gòu)進(jìn)55個(gè)，在80個(gè)水杯全部售完的情況下設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種號(hào)水杯a個(gè)，利潤(rùn)為w元，寫(xiě)出w與a的函數(shù)關(guān)系式，并求出第三月的最大利潤(rùn)．
【答案】（1）甲、乙兩種型號(hào)水杯的銷售單價(jià)分別為30元、55元；（2）w＝﹣5a+800，第三月的最大利潤(rùn)為550元．
【分析】（1）設(shè)甲種型號(hào)的水杯的售價(jià)為每個(gè)元，乙種型號(hào)的水杯每個(gè)元，根據(jù)題意列出方程組求解即可，（2）根據(jù)題意寫(xiě)出利潤(rùn)關(guān)于的一次函數(shù)關(guān)系式，列不等式組求解的范圍，從而利用一次函數(shù)的性質(zhì)求利潤(rùn)的最大值．
【解析】解：（1）設(shè)甲種型號(hào)的水杯的售價(jià)為每個(gè)元，乙種型號(hào)的水杯每個(gè)元，則
①②得：
把代入①得：
答：甲、乙兩種型號(hào)水杯的銷售單價(jià)分別為30元、55元；
（2）由題意得：甲種水杯進(jìn)了個(gè)，則乙種水杯進(jìn)了個(gè)，
所以：
又 由①得：，所以不等式組的解集為：
其中為正整數(shù)，所以 隨的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，第三月利潤(rùn)達(dá)到最大，最大利潤(rùn)為：元．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，不等式組的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
理論依據(jù)
式子表示
性質(zhì)1
不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變
若，則
性質(zhì)2
不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變
若，，則或
性質(zhì)3
不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變
若，，則或
不等式組
（其中）
數(shù)軸表示
解集
口訣
同大取大
同小取小
大小、小大中間找
無(wú)解
大大、小小取不了
時(shí)間
銷售數(shù)量（個(gè)）
銷售收入（元）（銷售收入＝售價(jià)×銷售數(shù)量）
甲種型號(hào)
乙種型號(hào)
第一月
22
8
1100
第二月
38
24
2460

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