多邊形及其相關(guān)概念多邊形的內(nèi)角和多邊形的外角和四邊形的不穩(wěn)定性
1.多邊形的定義 在平面內(nèi)，由若干條不在同一條直線上的線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形 .(1)表示方法： 表示多邊形時，先寫出多邊形的名稱，后面順次寫出多邊形的頂點(diǎn)字母 .(2)分類： 多邊形按組成它的線段的條數(shù)分成三角形、四邊形、五邊形……三角形是最簡單的多邊形 . 如果一個多邊形由 n 條線段組成，那么這個多邊形就叫做 n 邊形 .
特別解讀多邊形的三個必要條件：1. 線段在“同一平面內(nèi)”；2. 線段“不在同一直線上”且條數(shù)不少于 3；3. 線段首尾順次相接.
2. 相關(guān)概念? (1)邊： 組成多邊形的線段叫做多邊形的邊 .(2) 頂點(diǎn)： 相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn) .(3) 內(nèi)角： 多邊形中相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內(nèi)角 .(4) 外角： 在頂點(diǎn)處一邊與另一邊的延長線所組成的角叫做多邊形的外角 .(5) 對角線： 多邊形中連接不相鄰兩個頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對角線 .
3.?凸多邊形 一個多邊形，如果把它任何一邊雙向延長，其他各邊都在延長所得直線的同一旁，這樣的多邊形就是凸多邊形 .4.?正多邊形 多邊形中，如果各條邊都相等，各個內(nèi)角都相等，這樣的多邊形叫做正多邊形 .
特別解讀正多邊形必備的兩個條件：(1)各個內(nèi)角都相等；(2)各條邊都相等 .說明 : 若一個多邊形的各個內(nèi)角都相等或各條邊都相等，則它不一定是正多邊形 .
下列說法中，正確的有______個 .①三角形是邊數(shù)最少的多邊形；②等邊三角形和長方形都是正多邊形；③ n 邊形有 n 條邊、 n 個頂點(diǎn)、 n 個內(nèi)角和 n 個外角；④六邊形從一個頂點(diǎn)出發(fā)可以畫 3 條對角線，所有的對角線共有 9 條 .
解：①三角形是邊數(shù)最少的多邊形，正確；②等邊三角形是正多邊形，但長方形不是正多邊形，不正確；③ n 邊形有 n 條邊、 n 個頂點(diǎn)、 n 個內(nèi)角和 2n 個外角，不正確；④根據(jù)對角線的定義畫出六邊形的對角線，從一個頂點(diǎn)出發(fā)可以畫 3條對角線，所有的對角線共有 9 條，正確 .
解題秘方：利用多邊形的有關(guān)概念進(jìn)行辨析 .
1.定理 n 邊形的內(nèi)角和等于( n － 2)·180°(n 為不小于 3的整數(shù)) .
特別解讀1. 從 n 邊形的內(nèi)角和公式( n － 2 ) × 180 °可知 n 邊形的內(nèi)角和一定是 180°的整數(shù)倍 .2. 多邊形的內(nèi)角和隨邊數(shù)的變化而變化，邊數(shù)每增加 1，內(nèi)角和就增加 180° .
在四邊形 ABCD 中，∠ A=140°，∠ D=80° .
解題秘方：緊扣多邊形的內(nèi)角和公式及平行線的性質(zhì)求出相關(guān)角的度數(shù) .
解法提醒運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和公式可以求出任何一個多邊形的內(nèi)角和 .
(1)如圖 19.1-1 ①，若∠ B= ∠ C，試求出∠ C 的度數(shù)；
(2)如圖 19.1-1 ②，若∠ ABC 的平分線 BE 交 DC 于點(diǎn) E，且 BE ∥ AD，試求出∠ C 的度數(shù) .
解：∵ BE ∥ AD，∠ D =80°，∠ A = 140°，∴∠ BEC= ∠ D=80°，∠ ABE=180° － ∠ A=180° － 140°=40°. 又∵ BE 平分∠ ABC，∴∠ EBC= ∠ ABE=40° .∴∠ C=180° － ∠ EBC － ∠BEC=180° － 40° － 80° =60° .
根據(jù)下列條件求多邊形的邊數(shù)：(1) 多邊形的內(nèi)角和是 1 620°；(2) 正多邊形的每個內(nèi)角均為 120° .
解題秘方：根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式列出方程求解 .
解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為 n，根據(jù)題意得( n － 2 ) ·180° =1 620° ，解得 n=11.故多邊形的邊數(shù)為 11.
已知內(nèi)角和，設(shè)出邊數(shù) n，利用內(nèi)角和公式列出方程求邊數(shù) n
(1) 多邊形的內(nèi)角和是 1 620°；
解：根據(jù)題意得( n－2) ·180° =120° n，解得 n=6.故正多邊形的邊數(shù)為 6.
(2) 正多邊形的每個內(nèi)角均為 120° .
解法提醒在解決多邊形的內(nèi)角和問題時，有兩個隱含的關(guān)鍵條件：一是多邊形的每 一個內(nèi)角的度數(shù)都大于 0°且小于 180°；二是多邊形的邊數(shù) n 的取值范圍是n ≥ 3 且 n 為整數(shù) .
一個多邊形截去一個角后，形成的新多邊形的內(nèi)角和是 2 880°，則原多邊形的邊數(shù)是 ____________.
解題秘方：緊扣截去一個角后所得的多邊形與原多邊形相比，邊數(shù)變化的規(guī)律求解
解：設(shè)新多邊形的邊數(shù)為 n，根據(jù)題意，得( n－2)×180° =2 880°，解得 n=18.∵新多邊形與原多邊形相比，邊數(shù)可能增加 1，可能不變，也可能減少 1，∴原多邊形的邊數(shù)是 17，18 或 19.
特別提醒一個多邊形(除三角形外)截去一個角后，按不同的截法可得到邊數(shù)不同的三種多邊形，即邊數(shù)增加1，邊數(shù)不變，邊數(shù)減少 1. 以五邊形為例，如圖 19.1-2 所示 .
1.定理 n 邊形的外角和等于 360°( n 為不小于 3 的整數(shù)) .多邊形的外角和是由多邊形內(nèi)、外角的關(guān)系推導(dǎo)出的：n 邊形的外角和 =n×180°－( n－2)×180° =360° .
特別解讀1. 多邊形的外角和是指每個頂點(diǎn)處取一個外角的和 .2. 多邊形的外角和恒等于 360°，與邊數(shù)多少無關(guān) .
根據(jù)下列條件解決問題：(1) 一個多邊形的各個內(nèi)角都相等，已知其中一個外角為 72° ，求該多邊形的邊數(shù)；(2)已知一個正多邊形的每一個外角都等于 30°，求這個正多邊形的邊數(shù) .
解題秘方：根據(jù)多邊形的內(nèi)角與外角的關(guān)系及外角和定理計(jì)算 .
解法提醒多邊形的各內(nèi)角相等，從而各外角也相等，已知其中一個外角的度數(shù)，由多邊形的外角和是 360°，即可得出邊數(shù) .
(2) ∵多邊形的外角和為 360°，且每個外角都等于 30°，∴ 360° ÷30° =12. 故這個正多邊形的邊數(shù)為 12.
解： (1)設(shè)該多邊形的邊數(shù)為 n.根據(jù)多邊形的外角和為 360°，得 n· 72° =360°，解得 n=5．∴該多邊形的邊數(shù)為 5.
和三角形不同，即使四邊形的邊長確定，它的形狀也不能確定，我們把四邊形的這個性質(zhì)稱為四邊形的不穩(wěn)定性 .
提示(1)四邊形的不穩(wěn)定性即其形狀的不確定性，有它有利的一面，也有它不利的一面，我們應(yīng)充分利用它有利的一面為生活服務(wù) .(2)生活中四邊形的不穩(wěn)定性有著廣泛的應(yīng)用，如電動伸縮門、伸縮衣架等 .
為了避免四邊形的不穩(wěn)定性給生活帶來影響，通?？梢园阉倪呅蜗鄬Φ膬蓚€頂點(diǎn)(或相鄰邊上的兩點(diǎn))用線段相連，即利用三角形的穩(wěn)定性克服四邊形的不穩(wěn)定性 .
在房屋建設(shè)過程中，四邊形的木質(zhì)門框容易變形，是因?yàn)?______________________；在實(shí)際生活中木匠師傅通常都是采用在木質(zhì)門框上斜釘木條的方式來防止門框變形的，這樣做的道理是 ________________________.
解題秘方：緊扣三角形的穩(wěn)定性及四邊形的不穩(wěn)定性解釋生活現(xiàn)象.
解：四邊形的木質(zhì)門框容易變形，是因?yàn)樗倪呅尉哂胁环€(wěn)定性，而斜釘上木條后，則利用了三角形的穩(wěn)定性，固定了四邊形的四條邊的位置，從而避免四邊形變形 .
方法點(diǎn)撥將不穩(wěn)定的多邊形轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定圖形的方法就是讓轉(zhuǎn)化的圖形的每一個組成部分都成為三角形，常用的轉(zhuǎn)化方法是作多邊形從同一頂點(diǎn)出發(fā)的對角線 .

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19.1 多邊形內(nèi)角和

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