滬科版（2024）八年級(jí)下冊(cè)19.1 多邊形內(nèi)角和練習(xí)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?知識(shí)點(diǎn)一：認(rèn)識(shí)多邊形
◎考點(diǎn)1：多邊形的概念與分類
方法技巧：多邊形概念：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形
凸多邊形概念：畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，如果多邊形的其它邊都在這條直線的同側(cè)，那么這個(gè)多邊形就是凸多邊形。
正多邊形概念：各角相等，各邊相等的多邊形叫做正多邊形。（兩個(gè)條件缺一不可，除了三角形以外，因?yàn)槿羧切蔚娜齼?nèi)角相等，則必有三邊相等，反過來也成立）
例．（2020·江蘇·南通第一初中九年級(jí)期中）下列命題正確的是（）
A．各邊相等的多邊形是正多邊形 B．各內(nèi)角分別相等的多邊形是正多邊形
C．既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的多邊形是正多邊形D．各邊相等、各角也相等的多邊形是正多邊形
【答案】D
【解析】
【分析】
正多邊形的定義：各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形，據(jù)此即可逐一判斷.
【詳解】
解：A、各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形，故本選項(xiàng)正確；
故選：D
【點(diǎn)睛】
本題主要考查正多邊形的定義，解題的關(guān)鍵是掌握正多邊形的概念：各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形.
練習(xí)1．（2021·全國·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）從一個(gè)多邊形的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把這個(gè)多邊分成10個(gè)三角形，則這個(gè)多邊形是（）邊形
A．十B．十一C．十二D．十三
【答案】C
【解析】
【分析】
從一個(gè)n邊形的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引（n?3）條對(duì)角線，把n邊形分為（n?2）的三角形．
【詳解】
解：由題意可知，n?2＝10，解得n＝12．
∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)為12．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了多邊形，關(guān)鍵是掌握從一個(gè)n邊形的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以把n邊形分為（n?2）的三角形．
練習(xí)2．（2021·全國·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列說法中，正確的有（）
①由幾條線段連接起來組成的圖形叫多邊形；
②三角形是邊數(shù)最少的多邊形；
③n邊形有n條邊、n個(gè)頂點(diǎn).
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)多邊形的定義判斷即可．
【詳解】
由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形，①不正確；易知②③正確，
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了多邊形的定義，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
練習(xí)3．（2019·湖北·襄陽陽光學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）下列說法正確的是( )
A．一個(gè)多邊形外角的個(gè)數(shù)與邊數(shù)相同B．一個(gè)多邊形外角的個(gè)數(shù)是邊數(shù)的二倍
C．每個(gè)角都相等的多邊形是正多邊形D．每條邊都相等的多邊形是正多邊形
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)多邊形外角的定義及正多邊形的定義作答．
【詳解】
A．由于任何一個(gè)多邊形在每一個(gè)頂點(diǎn)處都有兩個(gè)外角，所以一個(gè)多邊形外角的個(gè)數(shù)是頂點(diǎn)個(gè)數(shù)的2倍，也是邊數(shù)的2倍，故A錯(cuò)誤；
B．正確；
C．如矩形，每個(gè)角都相等，但矩形不是正多邊形，故C錯(cuò)誤；
D．如菱形，每條邊都相等，但菱形不是多邊形，故D錯(cuò)誤．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了多邊形外角的定義及正多邊形的定義．
多邊形的邊與它相鄰的邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角．一個(gè)n邊形在每一個(gè)頂點(diǎn)處都有兩個(gè)外角，因此，n邊形有2n個(gè)外角．
每個(gè)角都相等，每條邊也都相等的多邊形是正多邊形．
◎考點(diǎn)2：多邊形截角后的邊數(shù)問題
例．（2022·河南·駐馬店市第二初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）若一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后變成了六邊形，則原來多邊形的邊數(shù)可能是（）
A．5或6B．6或7C．5或6或7D．6或7或8
【答案】C
【解析】
【分析】
實(shí)際畫圖，動(dòng)手操作一下，可知六邊形可以是五邊形、六邊形、七邊形截去一個(gè)角后得到．
【詳解】
解：如圖，原來多邊形的邊數(shù)可能是5，6，7．
故選C
【點(diǎn)睛】
本題考查的是截去一個(gè)多邊形的一個(gè)角，解此類問題的關(guān)鍵是要從多方面考慮，注意不能漏掉其中的任何一種情況．
練習(xí)1．（2021·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）將一個(gè)多邊形紙片沿一條直線剪下一個(gè)三角形后，變成一個(gè)六邊形，則原多邊形紙片的邊數(shù)不可能是
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)一個(gè)邊形剪去一個(gè)角后，剩下的形狀可能是邊形或邊形或邊形即可得出答案．
【詳解】
如圖可知，原來多邊形的邊數(shù)可能是5，6，7．不可能是8．
故選：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了多邊形，剪去一個(gè)角的方法可能有三種：經(jīng)過兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)，則少了一條邊；經(jīng)過一個(gè)頂點(diǎn)和一邊，邊數(shù)不變；經(jīng)過兩條領(lǐng)邊，邊數(shù)增加．
練習(xí)2．（2020·云南·彌勒市長君實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）將一個(gè)四邊形截去一個(gè)角后，它不可能是（）
A．六邊形B．五邊形C．四邊形D．三角形
【答案】A
【解析】
【詳解】
試題解析：當(dāng)截線為經(jīng)過四邊形對(duì)角2個(gè)頂點(diǎn)的直線時(shí)，剩余圖形為三角形；
當(dāng)截線為經(jīng)過四邊形一組對(duì)邊的直線時(shí)，剩余圖形是四邊形；
當(dāng)截線為只經(jīng)過四邊形一組鄰邊的一條直線時(shí)，剩余圖形是五邊形；
∴剩余圖形不可能是六邊形，
故選A.
練習(xí)3．（2021·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）一個(gè)四邊形截去一個(gè)角后內(nèi)角個(gè)數(shù)是（）
A．3B．4C．5D．3、4、5
【答案】D
【解析】
【詳解】
如圖可知，一個(gè)四邊形截去一個(gè)角后變成三角形或四邊形或五邊形，
故內(nèi)角個(gè)數(shù)是為3、4或5.
故選D.
◎考點(diǎn)3：多邊形的周長
例．（2021·四川眉山·七年級(jí)期末）若長方形的一邊長為，另一邊長為，則該長方形的周長為（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)長方形周長的計(jì)算公式求解．
【詳解】
解：∵2（2m+3n）=4m+6n，
故選C．
【點(diǎn)睛】
本題考查長方形的應(yīng)用，熟練掌握長方形周長的意義和計(jì)算公式是解題關(guān)鍵．
練習(xí)1．（2022·全國·八年級(jí)）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．△ABC的周長為19，△ACE的周長為13，則AB的長為（）
A．3B．6C．12D．16
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形的周長公式即可得到結(jié)論．
【詳解】
∵AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，
∴AE＝BE，
∵△ACE的周長＝AC+AE+CE＝AC+BE+CE=AC+BC＝13，△ABC的周長＝AC+BC+AB＝19，
∴AB＝△ABC的周長﹣△ACE的周長＝19﹣13＝6，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形周長等知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)用垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．
練習(xí)2．（2020·黑龍江·樺南實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在ABC中，AC的垂直平分線分別交AC、BC于E，D兩點(diǎn)，EC=4，ABC的周長為23，則ABD的周長為（）
A．14B．15C．16D．17
【答案】B
【解析】
【分析】
由垂直平分線的性質(zhì)和三角形周長的意義可得解答．
【詳解】
解：由DE為AC的垂直平分線可得：AC=2EC=8，AD=DC，
∴△ ABD的周長=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC，
∵△ ABC的周長為23，即AB+BC+AC=23，
∴AB+BC=23-AC=23-8=15，即△ ABD的周長為15，
故選B ．
【點(diǎn)睛】
本題考查垂直平分線與三角形周長的綜合應(yīng)用，靈活運(yùn)用垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
練習(xí)3．（2021·河南商丘·八年級(jí)期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC的垂直平分線分別交CD、AB于點(diǎn)E、F，連接CF．若△BCF的周長為3，則平行四邊形ABCD的周長為（）
A．15B．12C．9D．6
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)EF是AC的垂直平分線可得：CF=AF，再由△BCF的周長= BC+BF+CF= BC+BF+AF=AB+BC=3，因此四邊形ABCD的周長即可求得．
【詳解】
∵EF是AC的垂直平分線
∴CF=AF
∴△BCF周長= BC+BF+CF= BC+BF+AF=AB+BC=3
∵ABCD是平行四邊形
∴AB=CD，AD=BC
∴四邊形ABCD的周長=AB+CD+AD+BC=2(AB+BC)=6
故選：D
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，利用中垂線的性質(zhì)把三角形的三邊長等量代換為平行四邊形的邊長是解題的關(guān)鍵．
◎考點(diǎn)4：網(wǎng)格中多邊形面積比較
例．（2019·遼寧葫蘆島·一模）如圖是邊長為1的正方形網(wǎng)格，A、B、C、D均為格點(diǎn)，則四邊形的面積為( )
A．7B．10C．D．8
【答案】A
【解析】
【分析】
利用分割法即可解決問題.
【詳解】
解：S四邊形ABCD＝3×4﹣×2×1×2﹣×1×3×2＝12﹣5＝7，
故選A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了四邊形的面積和網(wǎng)格問題，利用圖形得出各邊長度是解題關(guān)鍵．
練習(xí)1．（2015·江蘇無錫·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，4×4的方格中每個(gè)小正方形的邊長都是1，則S四邊形ABCD與S四邊形ECDF的大小關(guān)系是（）
A．S四邊形ABDC=S四邊形ECDFB．S四邊形ABDC＜S四邊形ECDF
C．S四邊形ABDC=S四邊形ECDF+1D．S四邊形ABDC=S四邊形ECDF+2
【答案】A
【解析】
【詳解】
試題分析：S四邊形ABDC=CD?AC=1×4=4，S四邊形ECDF=CD?AC=1×4=4，故選A．
考點(diǎn)：1．多邊形；2．平行線之間的距離；3．三角形的面積．
練習(xí)2．（2021·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）某正方形園地是由邊長為1的四個(gè)小正方形組成的，現(xiàn)要在園地上建一個(gè)花壇（陰影部分）使花壇面積是園地面積的一半，以下圖中設(shè)計(jì)不合要求的是( )．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【詳解】
試題分析：運(yùn)用面積公式、割補(bǔ)法求陰影部分面積，再與題目的要求比較．
解答：解：花壇面積為4m2，一半為2m2，
A、陰影部分面積為2×2÷2=2m2，
B、陰影部分面積為1×1+1×1÷2+1×2÷2=2.5m2，不符合要求；
C、陰影部分面積為1×1÷2×4=2m2，
D、把圖中上面兩個(gè)扇形移下來，剛回拼成兩個(gè)小正方形，面積為2m2；
故選B．
考點(diǎn): 組合圖形的面積．
練習(xí)3．（2021·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在邊長為的小正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形叫格點(diǎn)多邊形圖中①，②，③，④四個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積分別記為下列說法正確的是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)題意判斷格點(diǎn)多邊形的面積，依次將計(jì)算出來，再找到等量關(guān)系．
【詳解】
觀察圖形可得
∴，
故選：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了新概念的理解，通過表格獲取需要的信息，找到關(guān)于面積的等量關(guān)系．
?知識(shí)點(diǎn)二：多邊形的對(duì)角線
方法技巧：對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線。
【對(duì)角線條數(shù)】一個(gè)n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線的條數(shù)為（n－3）條，其所有的對(duì)角線條數(shù)為
◎考點(diǎn)5：多邊形的條數(shù)問題
例．（2022·四川成都·七年級(jí)期末）如圖所示，從八邊形ABCDEFGH的頂點(diǎn)A出發(fā)，最多可以作出的對(duì)角線條數(shù)為（）
A．8B．7C．6D．5
【答案】D
【解析】
【分析】
利用n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n-3）條對(duì)角線可得答案．
【詳解】
解：從八邊邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，最多可以引出該五邊形的對(duì)角線的條數(shù)是8-3=5，
故選：D．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了多邊形對(duì)角線，關(guān)鍵是掌握計(jì)算公式．
練習(xí)1．（2021·河南·開封市第二十七中學(xué)八年級(jí)期末）若一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為，那么從該正多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引對(duì)角線的條數(shù)為（）
A．9條B．10條C．11條D．12條
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求得，進(jìn)而根據(jù)n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線與邊的關(guān)系：n-3，列方程求解．
【詳解】
解：設(shè)多邊形有n條邊，則
解得
則對(duì)角線條數(shù)為：12-3=9，
故選A
【點(diǎn)睛】
本題考查了多邊形的內(nèi)角和以及多邊形的對(duì)角線．解題的關(guān)鍵是明確多邊形有n條邊，則經(jīng)過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)所有的對(duì)角線有（n-3）條，經(jīng)過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線把多邊形分成（n-2）個(gè)三角形，多邊形的內(nèi)角和為（n-2）×180°．
練習(xí)2．（2021·重慶巫溪·八年級(jí)期末）一個(gè)n邊形的內(nèi)角和為1080°，從這個(gè)n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可畫對(duì)角線的條數(shù)是（）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)n邊形的內(nèi)角和為1080°，求出n邊形的邊數(shù)，即可得出從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n-3）條對(duì)角線．
【詳解】
解：∵n邊形的內(nèi)角和為1080°，
∴（n-2）×180°=1080°，
解得n=8，
∴8-3=5．
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理及多邊形的對(duì)角線，熟記多邊形的內(nèi)角和計(jì)算公式是正確解答本題的基礎(chǔ)，掌握從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n-3）條對(duì)角線是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)3．（2022·遼寧丹東·七年級(jí)期末）如果過一個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線有5條，則該多邊形是（）
A．九邊形B．八邊形C．七邊形D．六邊形
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)邊形一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線為計(jì)算求解即可．
【詳解】
解：由題意知
解得
故選B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了多邊形的對(duì)角線．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握多邊形的對(duì)角線．
◎考點(diǎn)6：多邊形分三角形個(gè)數(shù)問題
例．（2022·山東棗莊·七年級(jí)期末）從一個(gè)n邊形的同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，若把這個(gè)多邊形分割成10個(gè)三角形，則n的值是（）
A．10B．11C．12D．13
【答案】C
【解析】
【分析】
：根據(jù)從一個(gè)n邊形的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以引（n﹣3）條對(duì)角線，把n邊形分為（n﹣2）的三角形作答．
【詳解】
解：設(shè)多邊形有n條邊，
則n﹣2=10，
解得n=12．
故選C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟悉從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，形成的三角形個(gè)數(shù)為（n﹣2）的規(guī)律．
練習(xí)1．（2021·全國·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）從7邊形的一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線，把這個(gè)7邊形分成三角形的個(gè)數(shù)是（）
A．7個(gè)B．6個(gè)C．5個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【解析】
【分析】
可根據(jù)n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線與邊的關(guān)系：n?3，可分成（n?2）個(gè)三角形直接判斷．
【詳解】
解：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線，把這個(gè)n邊形分成三角形的個(gè)數(shù)是（n?2）,
∴7邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作4條對(duì)角線，把這個(gè)7邊形分成個(gè)三角形；
故選：C．
【點(diǎn)睛】
多邊形有n條邊，則經(jīng)過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線有（n?3）條，經(jīng)過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線把多邊形分成（n?2）個(gè)三角形．
練習(xí)2．（2021·河北·平泉市教育局教研室八年級(jí)期末）如圖，把三個(gè)長為2，寬為1的長方形拼接，則圖中面積為1的三角形個(gè)數(shù)為（）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)題意面積為1的三角形就是底為1高為2的三角形，即可求解．
【詳解】
解：根據(jù)題意，面積為1的三角形就是底為1高為2的三角形
在圖中找這樣的三角形有6個(gè)，分別為
故選C．
【點(diǎn)睛】
此題考查了三角形面積問題，根據(jù)題意確定尋找什么樣的三角形是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)3．（2021·廣東·八年級(jí)專題練習(xí)）從一個(gè)多邊形的某頂點(diǎn)出發(fā)，連接其余各頂點(diǎn)，把該多邊形分成了5個(gè)三角形，則這個(gè)多邊形是（）
A．五邊形B．六邊形C．七邊形D．八邊形
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線將多邊形分成個(gè)三角形解答即可．
【詳解】
解：設(shè)這個(gè)多邊形為邊形．
根據(jù)題意得：．
解得：．
故選：．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查的是多邊形的對(duì)角線分割多邊形為三角形，掌握n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線將多邊形分成個(gè)三角形是解題的關(guān)鍵．
?知識(shí)點(diǎn)三：多邊形的內(nèi)角和
方法技巧：n邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為(n?2)?180°
◎考點(diǎn)7：多邊形的內(nèi)角和問題
例．（2021·廣東廣州·八年級(jí)期末）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（）
A．240°B．360°C．540°D．720°
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)四邊形的內(nèi)角和及三角形的外角定理即可求解．
【詳解】
解：如圖，、與分別相交于點(diǎn)、，
在四邊形中，，
，，
，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了多邊形的外角與內(nèi)角、三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記多邊形的內(nèi)角和公式及三角形的外角定理．
練習(xí)1．（2022·廣東汕頭·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)D、E分別在線段BC、AC上，連接AD、BE．若∠A=35°，∠B=30°，∠C=45°，則∠AFB的大小為
A．75°B．80°C．100°D．110°
【答案】D
【解析】
【分析】
由題意結(jié)合三角形內(nèi)角和易求出、，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和即可求出的大小，最后根據(jù)對(duì)頂角相等即可求出的大?。?br>【詳解】
∵
∴，
，
在四邊形CDFE中，，
∴．
故選D．
【點(diǎn)睛】
本題考查三角形內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角和．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解答本題的關(guān)鍵．
練習(xí)2．（2022·廣東中山·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)E在AC上，則的度數(shù)是（）
A．90°B．180°C．270°D．360°
【答案】B
【解析】
【分析】
由三角形外角的性質(zhì)可得，∠AED＝∠C+∠D，∠BEC＝∠A+∠B，再根據(jù)平角的定義可得答案．
【詳解】
解：由三角形外角的性質(zhì)可得，
∠AED＝∠C+∠D，∠BEC＝∠A+∠B，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠DEB＝∠AED+∠BEC+∠DEB＝∠AEC＝180°．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查多邊形的內(nèi)角與外角，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的外角的性質(zhì)．
練習(xí)3．（2021·河北·石家莊二十三中八年級(jí)期末）如圖，五邊形中，，CP，DP分別平分，，則（）
A．60°B．72°C．70°D．78°
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)五邊形的內(nèi)角和等于，由，可求的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義可得與的角度和，進(jìn)一步求得的度數(shù)．
【詳解】
解：五邊形的內(nèi)角和等于，，
，
、的平分線在五邊形內(nèi)相交于點(diǎn)，
，
．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟記公式，注意整體思想的運(yùn)用．
◎考點(diǎn)8：正多邊形的內(nèi)角和問題
例．（2021·廣東清遠(yuǎn)·二模）六角螺母的橫截面是正六邊形，這個(gè)正六邊形的內(nèi)角為（）
A．100°B．120°C．60°D．90°
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式可求得正六邊形的內(nèi)角和，據(jù)此即可求得
【詳解】
解：正六邊形的內(nèi)角和為：，
正六邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了正多邊形的內(nèi)角和公式，掌握多邊形的內(nèi)角和公式：是解決本題的關(guān)鍵．
練習(xí)1．（2022·山東濟(jì)寧·八年級(jí)期末）如圖，正六邊形IMNPGH的頂點(diǎn)分別在正六邊形ABCDEF的邊上．若，則∠BIM等于（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)正六邊形的性質(zhì)證得△IBM≌△GFH，即可求解．
【詳解】
解：根據(jù)題意得：IM=IH=HG，∠MIH=∠IHG=∠B=∠A=∠F= ，
∴∠BMI+∠BIM=∠AIH+∠AHI=∠FHG+∠FGH=60°，∠AIH+∠BIM=∠FHG+∠AHI=60°，
∴∠BMI=∠AIH=∠FHG，
同理∠BIM=∠FGH，
∴△IBM≌△GFH，
∴∠BMI=∠FHG=28°，
∴∠BIM=180°-∠BMI-∠B=32°．
故選：B
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)2．（2022·浙江寧波·九年級(jí)期末）正八邊形每個(gè)內(nèi)角度數(shù)為（）
A．120°B．135°C．150°D．160°
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角相等，則對(duì)應(yīng)的外角也相等，根據(jù)多邊形的外角和為360°，進(jìn)而求得一個(gè)外角的度數(shù)，即可求得正八邊形每個(gè)內(nèi)角度數(shù)．
【詳解】
解：∵正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角相等，則對(duì)應(yīng)的外角也相等，
一個(gè)外角等于：
∴內(nèi)角為
故選B
【點(diǎn)睛】
本題考查了正多邊形的內(nèi)角與外角的關(guān)系，利用外角求內(nèi)角是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)3．（2022·貴州黔西·八年級(jí)期末）已知正多邊形的一個(gè)外角等于45°，則該正多邊形的內(nèi)角和為（）
A．135°B．360°C．1080°D．1440°
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用正多邊形的每一個(gè)外角為求解正多邊形的邊數(shù)，再利用正多邊形的內(nèi)角和公式可得答案.
【詳解】
解：正多邊形的一個(gè)外角等于45°，
這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為：
這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為：
故選C
【點(diǎn)睛】
本題考查的是正多邊形內(nèi)角和與外角和的綜合，熟練的利用正多邊形的外角的度數(shù)求解正多邊形的邊數(shù)是解本題的關(guān)鍵.
◎考點(diǎn)9：多或少算一個(gè)角的問題
例．（2019·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）一張四邊形紙片剪去一個(gè)角后，內(nèi)角和將（）
A．減少180°B．不變C．增加180°D．以上都有可能
【答案】D
【解析】
【分析】
若剪掉四邊形相鄰兩條邊的一部分，則剩下的部分是五邊形．若從四邊形一個(gè)角的頂點(diǎn)，沿直線向?qū)堑泥忂吋?，且只剪掉一條鄰邊的一部分，則剩下的部分為四邊形．若沿著四邊形的對(duì)角線剪，則剩余部分為三邊形（三角形）．即可求得內(nèi)角和的度數(shù)．
【詳解】
解：如下圖所示：
觀察圖形可知，四邊形剪掉一個(gè)角后，剩下的圖形可能是五邊形，也可能是四邊形，還可能是三角形．
則剩下的紙片圖形是三角形或四邊形或五邊形．
內(nèi)角和是：180°或360°或540°．
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了多邊形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是能理解一個(gè)四角形截取一個(gè)角后得到的圖形的形狀．
練習(xí)1．（2021·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）當(dāng)多邊形的邊數(shù)增加時(shí)，它的內(nèi)角和會(huì)( )
A．增加B．增加C．增加D．增加
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)n邊形的內(nèi)角和為180°（n－2），可得（n＋1）邊形的內(nèi)角和為180°（n－1），然后作差即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：∵n邊形的內(nèi)角和為180°（n－2）
∴（n＋1）邊形的內(nèi)角和為180°（n＋1－2）=180°（n－1）
而180°（n－1）－180°（n－2）=180°
∴當(dāng)多邊形的邊數(shù)增加時(shí)，它的內(nèi)角和會(huì)增加
故選B．
【點(diǎn)睛】
此題考查的是多邊形的內(nèi)角和，掌握多邊形的內(nèi)角和公式是解決此題的關(guān)鍵．
練習(xí)2．（2020·安徽馬鞍山·八年級(jí)期末）n邊形的邊每增加1條，它的內(nèi)角和就增加（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
原來的多邊形的邊數(shù)是n，則新的多邊形的邊數(shù)是n+1，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理即可求得．
【詳解】
解：n邊形的內(nèi)角和是（n-2）?180°，
邊數(shù)增加1，則新的多邊形的內(nèi)角和是（n+1-2）?180°，
則（n+1-2）?180°-（n-2）?180°=180°．
故它的內(nèi)角和增加180°．
故選B．
【點(diǎn)睛】
本題考查多邊形的內(nèi)角和計(jì)算公式，解答時(shí)要會(huì)根據(jù)公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理．
練習(xí)3．（2020·全國·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一個(gè)多邊形除了一個(gè)內(nèi)角外，其余各內(nèi)角之和為2570°，則這個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為（）
A．120°B．130°C．135°D．150°
【答案】B
【解析】
【分析】
設(shè)出相應(yīng)的邊數(shù)和未知的那個(gè)內(nèi)角度數(shù)，利用內(nèi)角和公式列出相應(yīng)等式，根據(jù)邊數(shù)為整數(shù)求解即可．
【詳解】
解：設(shè)這個(gè)內(nèi)角度數(shù)為x°，邊數(shù)為n，
則（n﹣2）×180﹣x＝2570，
180?n＝2930+x，
∴n＝，
∵n為正整數(shù)，0°＜x＜180°，
∴n＝17，
∴這個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180°×（17﹣2）﹣2570°＝130°．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查多邊形內(nèi)角和公式的靈活運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是找到相應(yīng)度數(shù)的等量關(guān)系．注意多邊形的一個(gè)內(nèi)角一定大于0°，并且小于180度．
◎考點(diǎn)10：多邊形截角后內(nèi)角和問題
例．（2022·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)期末）一個(gè)多邊形紙片剪去一個(gè)內(nèi)角后，得到一個(gè)內(nèi)角和為2340°的新多邊形，則原多邊形的邊數(shù)為（）
A．14或15或16B．15或16或17C．15或16D．16或17
【答案】A
【解析】
【分析】
由題意先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式先求出新多邊形的邊數(shù)，然后再根據(jù)截去一個(gè)角的情況進(jìn)行討論即可．
【詳解】
解：設(shè)新多邊形的邊數(shù)為n，
則（n-2）?180°=2340°，
解得：n=15，
①若截去一個(gè)角后邊數(shù)增加1，則原多邊形邊數(shù)為14，
②若截去一個(gè)角后邊數(shù)不變，則原多邊形邊數(shù)為15，
③若截去一個(gè)角后邊數(shù)減少1，則原多邊形邊數(shù)為16，
所以多邊形的邊數(shù)可以為14，15或16．
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查多邊形內(nèi)角與外角，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和公式（n-2）?180°（n為邊數(shù)）是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)1．（2022·湖北黃石·八年級(jí)期末）將一長方形紙片沿一條直線剪成兩個(gè)多邊形，那么這兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和之和不可能是（）
A．360°B．540°C．720°D．730°
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)題意列出可能情況，再分別根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理進(jìn)行解答即可.
【詳解】
解：①將長方形沿對(duì)角線剪開，得到兩個(gè)三角形，兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和：180°+180°=360°；
②將長方形從一頂點(diǎn)剪向?qū)叄玫揭粋€(gè)三角形和一個(gè)四邊形，兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和為：180°+360°=540°；
③將長方形沿一組對(duì)邊剪開，得到兩個(gè)四邊形，兩個(gè)多邊形的內(nèi)角和為：180°+540°=720°，
④將長方形沿一組鄰邊剪開，得到一個(gè)三角形和一個(gè)五邊形，其內(nèi)角和為：180°+540°=720°，
故選D.
【點(diǎn)睛】
本題考查了多邊形內(nèi)角和，分類討論是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)2．（2021·全國·八年級(jí)單元測(cè)試）在矩形ABCD中，一條直線將矩形任意分為兩部分，設(shè)這兩部分圖形的內(nèi)角和分別為x、y，則x＋y的和是（）
A．360°、540°、720°B．360°、540°C．540°、720°D．360°、720°
【答案】A
【解析】
【分析】
分三種情況：①一條直線將矩形分為兩個(gè)三角形，②一條直線將矩形分為一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形，③一條直線將矩形分為兩個(gè)四邊形，再根據(jù)三角形和四邊形的內(nèi)角和定理求解即可．
【詳解】
解：分三種情況：
①一條直線將矩形分為兩個(gè)三角形，如圖1所示：
則x＋y＝180°＋180°＝360°；
②一條直線將矩形分為一個(gè)三角形和一個(gè)四邊形，如圖2所示：
則x＋y＝180°＋360°＝540°；
③一條直線將矩形分為兩個(gè)四邊形，如圖3所示：
則x＋y＝360°＋360°＝720°；
④一條直線將矩形分為1個(gè)三角形和1個(gè)五邊形，如圖4所示：
則；
綜上所述，x＋y的和是360°或540°或720°，
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形和四邊形的內(nèi)角和，分類討論是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)3．（2021·全國·八年級(jí)階段練習(xí)）一個(gè)五邊形截去個(gè)角后剩下的多邊形內(nèi)角和是（）
A．B．C．D．或或
【答案】D
【解析】
【分析】
一個(gè)五邊形剪去一個(gè)角后，分三種情況：①邊數(shù)可能減少1，②邊數(shù)可能增加1，③邊數(shù)可能不變；然后分別求出每一種情況下的多邊形的內(nèi)角和．
【詳解】
解：一個(gè)五邊形剪去一個(gè)角后，分三種情況：①邊數(shù)可能減少1，②邊數(shù)可能增加1，③邊數(shù)可能不變；
①四邊形的內(nèi)角和為：360°；
②六邊形的內(nèi)角和為：（6-2）×180°=720°；
③五邊形的內(nèi)角和為：（5-2）×180°=540°；
故選D．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了多邊形內(nèi)角和公式，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)題意，討論出剪去一個(gè)角后的各種情況．
◎考點(diǎn)11：復(fù)雜圖形的內(nèi)角和問題

例．（2020·全國·七年級(jí)）如圖，多邊形ABCDEFG中，，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
連接CD，設(shè)AD與BC交于點(diǎn)O，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式即可求出∠E＋∠F＋∠G＋∠EDC＋∠GCD，根據(jù)各角的關(guān)系即可求出∠ODC＋∠OCD，然后根據(jù)對(duì)頂角的相等和三角形的內(nèi)角和定義即可求出結(jié)論．
【詳解】
解：連接CD，設(shè)AD與BC交于點(diǎn)O
∵∠E＋∠F＋∠G＋∠EDC＋∠GCD=180°×（5－2）=540°，，，
∴108°＋108°＋108°＋72°＋∠ODC＋72°＋∠OCD=540°
∴∠ODC＋∠OCD=72°
∵∠AOB=∠COD
∴∠A＋∠B=180°－∠AOB=180°－∠COD=∠ODC＋∠OCD=72°
故選B．
【點(diǎn)睛】
此題考查的是多邊形的內(nèi)角和公式和對(duì)頂角的性質(zhì)，掌握多邊形的內(nèi)角和公式和對(duì)頂角相等是解決此題的關(guān)鍵．
練習(xí)1．（2020·江蘇無錫·七年級(jí)期中）圖1是二環(huán)三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，圖2是二環(huán)四邊形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=720，圖3是二環(huán)五邊形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=1080…聰明的同學(xué)，請(qǐng)你直接寫出二環(huán)十邊形，S＝_____________度（）
A．1440B．1800C．2880D．3600
【答案】C
【解析】
【分析】
本題只看圖覺得很復(fù)雜，但從數(shù)據(jù)入手，就簡單了，從圖2開始，每個(gè)圖都比前一個(gè)圖多360度．抓住這點(diǎn)就很容易解決問題了．
【詳解】
解：依題意可知，二環(huán)三角形，S＝360度；
二環(huán)四邊形，S＝720＝360×2＝360×（4﹣2）度；
二環(huán)五邊形，S＝1080＝360×3＝360×（5﹣2）度；
…
∴二環(huán)十邊形，S＝360×（10﹣2）＝2880度．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了多邊形的內(nèi)角和，本題可直接根據(jù)S的度數(shù)來找出規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律表示出二環(huán)十邊形的度數(shù)．
?知識(shí)點(diǎn)四：多邊形的外角和
方法技巧：n邊形的外角和定理：多邊形的外角和等于360°，與多邊形的形狀和邊數(shù)無關(guān)。
◎考點(diǎn)12：正多邊形的外角問題
例．（2022·浙江衢州·九年級(jí)期末）衢州鐘靈塔的塔基是個(gè)正n邊形（n是正整數(shù)）．測(cè)得塔基所在的正n邊形的一個(gè)外角為60°，如圖所示，n的值是（）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)多邊形外角和為360°即可得答案．
【詳解】
∵正n邊形的一個(gè)外角為60°，多邊形外角和為360°，
∴n=360÷60=6，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查多邊形外角和，熟練掌握多邊形的外角和為360°是解題關(guān)鍵．
練習(xí)1．（2022·湖北武漢·八年級(jí)期末）一個(gè)多邊形的各個(gè)外角都等于72°，則這個(gè)多邊形是（）
A．十邊形B．六邊形C．五邊形D．四邊形
【答案】C
【解析】
【分析】
利用多邊形的外角和360°，除以外角的度數(shù)，即可求得邊數(shù)．
【詳解】
解：360°÷72°=5，
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了多邊形的外角和定理，理解任何多邊形的外角和都是360度是關(guān)鍵．
練習(xí)2．（2021·廣東·深圳市龍園外語實(shí)驗(yàn)學(xué)校三模）若一個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角都等于36°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（）
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)多邊形外角和定理求出正多邊形的邊數(shù)．
【詳解】
∵正多邊形的每一個(gè)外角都等于36°，
∴正多邊形的邊數(shù)＝＝10．
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，根據(jù)外角和的大小與多邊形的邊數(shù)無關(guān)，由外角和求正多邊形的邊數(shù)，是常見的題目，需要熟練掌握．
練習(xí)3．（2021·湖南·永州市劍橋?qū)W校八年級(jí)期中）如圖，小明從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)10米后向左轉(zhuǎn)36°，再沿直線前進(jìn)10米，再向左轉(zhuǎn)36°……照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A點(diǎn)時(shí)，一共走的路程是（）
A．180米B．110米C．120米D．100米
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，小明走過的路程是正多邊形，先用360°除以36°求出邊數(shù)，然后再乘以10m即可．
【詳解】
解：∵每次小明都是沿直線前進(jìn)10米后向左轉(zhuǎn)36°，
∴他走過的圖形是正多邊形，
邊數(shù)n=360°÷36°=10，
∴他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，一共走了10×10=100米．
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了多邊形的邊數(shù)的求法，根據(jù)題意判斷出小亮走過的圖形是正多邊形是解題的關(guān)鍵．
◎考點(diǎn)13：多邊形外角和的實(shí)際應(yīng)用
例．（2022·遼寧撫順·八年級(jí)期末）如圖，在六邊形中，若，則（）
A．180°B．240°C．270°D．360°
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)多邊形外角和求解即可．
【詳解】
解：，
，
故選：C
【點(diǎn)睛】
本題考查了多邊形的外角和定理，掌握多邊形外角和是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)1．（2021·貴州·峰林學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，小明從點(diǎn)A出發(fā)沿直線前進(jìn)10m到達(dá)點(diǎn)B，向左轉(zhuǎn)，后又沿直線前進(jìn)10m到達(dá)點(diǎn)C，再向左轉(zhuǎn)30°后沿直線前進(jìn)10m到達(dá)點(diǎn)．．．照這樣走下去，小明第一次回到出發(fā)點(diǎn)A，一共走了（）米．
A．80B．100C．120D．140
【答案】C
【解析】
【分析】
由小明第一次回到出發(fā)點(diǎn)A，則小明走過的路程剛好是一個(gè)多邊形的周長，由多邊形的外角和為，每次的轉(zhuǎn)向的角度的大小剛好是多邊形的一個(gè)外角，則先求解多邊形的邊數(shù)，從而可得答案.
【詳解】
解：由可得：小明第一次回到出發(fā)點(diǎn)A，
一個(gè)要走米，
故選C
【點(diǎn)睛】
本題考查的是多邊形的外角和的應(yīng)用，掌握“由多邊形的外角和為得到一共要走12個(gè)10米”是解本題的關(guān)鍵.
練習(xí)2．（2022·全國·七年級(jí)）n 邊形的每個(gè)外角都為 15°，則邊數(shù) n 為（）
A．20B．22C．24D．26
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)多邊形的外角和等于360度得到15°?n＝360°，然后解方程即可．
【詳解】
解：∵n邊形的每個(gè)外角都為15°，
∴15°?n＝360°，
∴n＝24．
故選C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了多邊形外角和，熟練掌握多邊形外角和為360度是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)3．（2021·四川省德陽市第二中學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）一個(gè)正多邊形的外角與相鄰的內(nèi)角的度數(shù)之比為1：3，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（）
A．8B．9C．6D．5
【答案】A
【解析】
【分析】
設(shè)每個(gè)內(nèi)角與它相鄰的外角的度數(shù)分別為3x、x，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得到x＋3x＝180°，解出x＝45°，然后根據(jù)多邊形的外角和為360°即可計(jì)算出多邊形的邊數(shù)．
【詳解】
解：設(shè)每個(gè)內(nèi)角與它相鄰的外角的度數(shù)分別為3x、x，
∴x＋3x＝180°，
∴x＝45°，
故這個(gè)多邊形的邊數(shù)＝＝8．
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了多邊形的外角定理：多邊形的外角和為360°．也考查了鄰補(bǔ)角的定義．
◎考點(diǎn)14：多邊形內(nèi)角和與外角和的綜合
例．（2021·上海·復(fù)旦二附中八年級(jí)期中）若一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都是60°，則這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是（）．
A．540°B．720°C．900°D．1080°
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用多邊形的外角和求得多邊形的邊數(shù)，然后再利用多邊形的內(nèi)角和公式即可求解.
【詳解】
解:多邊形的邊數(shù)為：，
多邊形的內(nèi)角和是：．
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和公式，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)1．（2022·上海市建平實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末）如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于一個(gè)三角形的外角和的兩倍，那么這個(gè)多邊形是（）
A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形
【答案】D
【解析】
【分析】
任何多邊形的外角和是360度，n邊形的內(nèi)角和是（n-2）?180°，就可以得到一個(gè)關(guān)于邊數(shù)的方程，解方程就可以求出多邊形的邊數(shù)．
【詳解】
設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，根據(jù)題意得：
，
解得：，
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和以及外角和，已知多邊形的內(nèi)角和與外角和的關(guān)系求邊數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為方程的問題來解決，難度適中．
練習(xí)2．（2022·福建·廈門市湖濱中學(xué)八年級(jí)期末）如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的4倍，那么這個(gè)多邊形是（）
A．四邊形B．六邊形C．八邊形D．十邊形
【答案】D
【解析】
【分析】
多邊形的外角和是360°，則內(nèi)角和是4×360=1440°．設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，內(nèi)角和是（n-2）?180°，這樣就得到一個(gè)關(guān)于n的方程，從而求出邊數(shù)n的值．
【詳解】
解：設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，根據(jù)題意，得
（n-2）×180°=4×360°，
解得：n=10．
故這個(gè)多邊形是十邊形．
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，熟記內(nèi)角和公式和外角和定理并列出方程是解題的關(guān)鍵．根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理，求邊數(shù)的問題就可以轉(zhuǎn)化為解方程的問題來解決．
練習(xí)3．（2022·山西·八年級(jí)期末）一個(gè)正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都是150°，則它的邊數(shù)為（）
A．6B．9C．12D．15
【答案】C
【解析】
【分析】
設(shè)正多邊形的邊數(shù)為n，然后根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式列方程求解即可．
【詳解】
解：設(shè)正多邊形的邊數(shù)為n，
由題意得，（n2）×180°=n×150°，
解得n=12．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，熟記公式并準(zhǔn)確列出方程是解題的關(guān)鍵．
?知識(shí)點(diǎn)五：平壤鑲嵌
例．（2021·福建·廈門市湖里中學(xué)八年級(jí)期中）下列不能夠單獨(dú)進(jìn)行平面鑲嵌的多邊形是（）
A．三角形B．四邊形C．正五邊形D．正六邊形
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)密鋪的性質(zhì)，當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)內(nèi)角加起來恰好組成周角時(shí)，就可以鋪滿地面．
【詳解】
解：A、任意三角形的內(nèi)角和是180°，放在同一頂點(diǎn)處6個(gè)即能密鋪，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、任意四邊形的內(nèi)角和是360°，放在同一頂點(diǎn)處4個(gè)即能密鋪，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角是，不能整除360°，所以不能密鋪，故本選項(xiàng)符合題意；
D、正六邊形每個(gè)內(nèi)角是120度，能整除360°，可以密鋪，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了一種正多邊形的鑲嵌應(yīng)符合一個(gè)內(nèi)角度數(shù)能整除360°，任意多邊形能進(jìn)行鑲嵌，說明它的內(nèi)角和應(yīng)能整除360°．
練習(xí)1．（2021·黑龍江省虎林市慶豐農(nóng)場(chǎng)學(xué)校九年級(jí)期末）墾區(qū)小城鎮(zhèn)建設(shè)如火如荼，小紅家買了新樓．爸爸在正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形四種瓷磚中，只購買一種瓷磚進(jìn)行平鋪，有幾種購買方式（）
A．1種B．2種C．3種D．4種
【答案】C
【解析】
【分析】
從所給的選項(xiàng)中取出一些進(jìn)行判斷，看其所有內(nèi)角和是否為360°，并以此為依據(jù)進(jìn)行求解．
【詳解】
解：正三角形每個(gè)內(nèi)角是60°，能被360°整除，所以能單獨(dú)鑲嵌成一個(gè)平面；
正方形每個(gè)內(nèi)角是90°，能被360°整除，所以能單獨(dú)鑲嵌成一個(gè)平面；
正五邊形每個(gè)內(nèi)角是108°，不能被360°整除，所以不能單獨(dú)鑲嵌成一個(gè)平面；
正六邊形每個(gè)內(nèi)角是120°，能被360°整除，所以能單獨(dú)鑲嵌成一個(gè)平面．
故只購買一種瓷磚進(jìn)行平鋪，有3種方式．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了平面鑲嵌．解這類題，根據(jù)組成平面鑲嵌的條件，逐個(gè)排除求解．
練習(xí)2．（2021·吉林·長春市第八十七中學(xué)七年級(jí)期末）下列正多邊形中，能夠鋪滿地面的是（）
A．正方形B．正五邊形C．正七邊形D．正九邊形
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)使用給定的某種正多邊形，當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角時(shí)，就可以鋪滿地面，即可求解．
【詳解】
解：A、∵正方形的內(nèi)角和為，
∴正方形的每個(gè)內(nèi)角為90°，
而，
∴正方形能夠鋪滿地面，故本選項(xiàng)符合題意；
B、正五邊形的每個(gè)內(nèi)角為，不能被360°整除，所以不能夠鋪滿地面，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、正七邊形的每個(gè)內(nèi)角為，不能被360°整除，所以不能夠鋪滿地面，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、正九邊形的每個(gè)內(nèi)角為，不能被360°整除，所以不能夠鋪滿地面，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：A
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了用正多邊形鋪設(shè)地面，熟練掌握給定的某種正多邊形，當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角時(shí)，就可以鋪滿地面是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)3．（2021·吉林·樺甸市第三中學(xué)八年級(jí)期中）不能用鑲嵌的道理密鋪地面的正多邊形組合是（）
A．正三角形和正六邊形B．正三角形和正方形
C．正方形和正八邊形D．正六邊形和正八邊形
【答案】D
【解析】
【分析】
正多邊形的組合能否鋪滿地面，關(guān)鍵是看位于同一頂點(diǎn)處的幾個(gè)角之和能否為360°．若能，則說明能鋪滿；反之，則說明不能鋪滿．
【詳解】
A、正三角形和正六邊形內(nèi)角分別為、，四個(gè)正三角形與一個(gè)正六邊形能構(gòu)成的周角，所以能鋪滿地面，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、正三角形、正方形內(nèi)角分別為、，三個(gè)正三角形與兩個(gè)正方形能構(gòu)成的周角，所以能鋪滿地面，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、正方形、正八邊形內(nèi)角分別為、，一個(gè)正方形與兩個(gè)正八邊形能構(gòu)成的周角，所以能鋪滿地面，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、正六邊形和正八邊形內(nèi)角分別為、，不能構(gòu)成的周角，故不能鋪滿，故此選項(xiàng)符合題意，
故選：
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了平面鑲嵌，兩種或兩種以上幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點(diǎn)拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角．需注意正多邊形內(nèi)角度數(shù)=180°-360°÷邊數(shù)．

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