1.理解并掌握正方形的定義、性質(zhì)和判定定理，并能運(yùn)用它們進(jìn)行計算和證明；2.體會正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯(lián)系與區(qū)別，理解一般與特殊的關(guān)系；3.經(jīng)歷正方形的定義及其性質(zhì)和判定定理的探究過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理能力和表達(dá)能力；4.讓學(xué)生在觀察、歸納、概括中逐步提高思維能力，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的思想和方法來思考和分析問題的習(xí)慣.
正方形是我們熟悉的圖形，如下圖中都有正方形的形象.
我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行四邊形、矩形、菱形，你認(rèn)為正方形是哪種圖形的特例呢？
想一想，矩形是由平行四邊形怎樣變化得到的？
菱形是由平行四邊形怎樣變化得到的呢？
正方形能由這些四邊形變化得到嗎？
正方形的四條邊都相等，四個角都是直角.給你一個矩形紙片，你知道如何折疊成正方形嗎？
給你一個由四根木條圍成的菱形框架，你能將它變成正方形嗎？
有一個角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形.
正方形又有哪些性質(zhì)呢？
你能說出平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系嗎？
正方形不僅是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形，又是特殊的菱形.它具有矩形和菱形的所有性質(zhì).
根據(jù)圖形所具有的性質(zhì)，在下表相應(yīng)的空格中打“√”.
正方形是軸對稱圖形嗎？它的對稱軸是什么？
它有四條對稱軸，分別是對邊中點(diǎn)的連線以及兩條對角線所在的直線.
如何判定一個四邊形是正方形呢？
有一組鄰邊相等且有一個角是直角
既能判定一個四邊形是矩形，又能判定這個四邊形是菱形；或者先判定這個四邊形是菱形，再判定是矩形.都可以判定它是正方形.
已知：如圖，在矩形ABCD中，AC，DB是 它的兩條對角線，AC⊥DB.求證：四邊形ABCD是正方形.
證明：∵ 四邊形ABCD是矩形，∴ AO=CO=BO=DO，∠ABC=90°∵ AC⊥DB，∴ AD=AB=BC=CD，∴ 四邊形ABCD是正方形.
線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等
對角線相互垂直的矩形是正方形
已知：如圖，在菱形ABCD中，AC，DB 是它的兩條對角線，AC=DB.求證：四邊形ABCD是正方形.
證明：∵ 四邊形ABCD是菱形，∴ AB=BC=CD=AD，AC⊥DB.∵ AC=DB，∴ AO=BO=CO=DO，∴ △AOD，△AOB，△COD，△BOC是等腰直角三角形，∴ ∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∴ 四邊形ABCD是正方形.
對角線相等的菱形是正方形
常用的正方形的判定方法
有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形.
有一組鄰邊相等的矩形是正方形.
對角線相互垂直的矩形是正方形.
有一個角是直角的菱形是正方形.
對角線相等的菱形是正方形.
【例】點(diǎn)A'，B' ，C' ，D'分別是正方形ABCD四條邊上的點(diǎn)，并且AA' =BB' =CC' =DD'. 求證：四邊形A'B'C'D'是正方形.
證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以 AB=BC=CD=DA.又 ∵ AA' =BB' =CC' =DD'， ∴ D'A=A'B=B'C =C'D. ∵ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°， ∴ △AA'D'≌△BB'A' ≌△CC'B'≌△DD'C'. ∴ A'B'=B'C'=C'D'=D'A'. ∴ 四邊形A'B'C'D'是菱形.
又 ∵ ∠1=∠3，∠1+∠2=90°， ∴ ∠2+∠3=90°. ∴ ∠D'A'B'=90°.所以四邊形A'B'C'D'是正方形.
有一個角是直角的菱形是正方形
1.正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是 ( ) A.四個角相等 B.對角線互相垂直平分 C.對角互補(bǔ) D.對角線相等
2. 平行四邊形、矩形、菱形、正方形共有的性質(zhì)是(　　)A.對角線相等 B.對角線互相平分C.對角線互相垂直 D.對角形互相垂直平分
3.已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四個條件中，選兩個作為補(bǔ)充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，其中正確的是_________________________ (只填寫序號)．
①③或①②或②④或③④
分析：判定依據(jù).①③：對角線相等的菱形是正方形.①②：有一個角為直角的菱形是正方形.②④：對角線互相垂直的矩形是正方形.③④：對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形.
4.如圖是2002年8月在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)中的圖案，其中四邊形ABCD和EFGH都是正方形.求證：△ABF≌△DAE.

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19.3 矩形 菱形 正方形

版本： 滬科版

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