多邊形、四邊形、平面向量及其線性運(yùn)算是中考的重要考點(diǎn)，尤其是特殊的平行四邊形更是中考的難點(diǎn)，主要考查基礎(chǔ)概念，幾何推理與證明，綜合分析幾何問題.
1. 掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式，靈活運(yùn)用多邊形內(nèi)角和與外角和公式解決有關(guān)問題.
2. 掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念, 了解它們之間的關(guān)系. 掌握它們的性質(zhì)和判別方法, 并能運(yùn)用這些知識(shí)進(jìn)行證明和計(jì)算.
3. 掌握三角形和梯形的中位線定理，并能靈活應(yīng)用.
4. 了解平面向量的概念，掌握平面向量的線性運(yùn)算.
一、多邊形內(nèi)角和定理、外角定理
邊形的內(nèi)角和為(－2)·180°(≥3)．
要點(diǎn)詮釋：(1)內(nèi)角和定理的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；
(2)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，都等于；
多邊形的外角和為360°．邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關(guān).
二、平行四邊形
定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.
性質(zhì)： 1．邊的性質(zhì)：平行四邊形兩組對(duì)邊平行且相等；
2．角的性質(zhì)：平行四邊形鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等；
3．對(duì)角線性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角線互相平分；
4．平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)為對(duì)稱中心.
判定： 1.兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；
2.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
3.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
4.兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；
5.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
平行線的性質(zhì)
1.平行線間的距離都相等
2.等底等高的平行四邊形面積相等
三、梯形
定義：一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫梯形；有一個(gè)角是直角的梯形叫直角梯形；有兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形.
等腰梯形性質(zhì)：（1）兩底平行，兩腰相等；
（2）同一底邊上的兩個(gè)角相等；
（3）兩條對(duì)角線相等；
（4）軸對(duì)稱圖形（底的中垂線就是它的對(duì)稱軸）．
面積：
等腰梯形判定：（1）兩腰相等的梯形是等腰梯形；
（2）同一底邊上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形；
（3）對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形．
解決梯形問題的常用方法（如下圖所示）：

（1）“作高”：使兩腰在兩個(gè)直角三角形中．
（2）“移對(duì)角線”：使兩條對(duì)角線在同一個(gè)三角形中．
（3）“延長(zhǎng)兩腰”：構(gòu)造具有公共角的兩個(gè)三角形．
（4）“等積變形”：連接梯形上底一端點(diǎn)和另一腰中點(diǎn)，并延長(zhǎng)交下底的延長(zhǎng)線于一點(diǎn)，構(gòu)成三角形．并且這個(gè)三角形面積與原來的梯形面積相等.
綜上，解決梯形問題的基本思路： 梯形問題三角形或平行四邊形問題， 這種思路常通過平移或旋轉(zhuǎn)來實(shí)現(xiàn)．
三角形、梯形的中位線
聯(lián)結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.
三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半.
聯(lián)結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫梯形的中位線.
梯形的中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半.
一、單選題
1．一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．10B．9C．6D．4
2．若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和大，則該多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
3．小紅：我計(jì)算出一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為；老師：不對(duì)呀，你可能少加了一個(gè)角則小紅少加的這個(gè)角的度數(shù)是（ ）
A．1B．1C．1D．1
4．劉師傅給客戶加工一個(gè)平行四邊形的零件，他要檢查這個(gè)零件是否為平行四邊形，用下列方法不能檢查的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．如圖，在中，平分交于點(diǎn)F，平分交于點(diǎn)E，若，，則的長(zhǎng)度為（ ）

A．4B．5C．6D．7
6．下列命題：①等腰梯形的兩個(gè)底角相等；②兩個(gè)底角相等的梯形是等腰梯形；③等腰梯形的對(duì)角線等；⑤對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形，其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．2C．3D．4
7．如圖，在等腰梯形中，ADBC，，，，則BC=（ ）
A．10B．12C．14D．16
8．如圖，將平行四邊形沿對(duì)角線折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，若，，則的度數(shù)為（ ）．
A．124°B．114°C．104°D．56°
9．如圖，在中，如果點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，且，那么下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．B．
C．D．
10．某花木場(chǎng)有一塊如等腰梯形的空地（如圖），各邊的中點(diǎn)分別是、、、，用籬笆圍成的四邊形場(chǎng)地的周長(zhǎng)為40cm，則對(duì)角線的長(zhǎng)度為（ ）
A．20cmB．15cmC．10cmD．5cm
二、填空題
11．如果某個(gè)等腰梯形的一個(gè)底角為60°，它的上、下底長(zhǎng)分別為3和5，那么這個(gè)梯形的腰長(zhǎng)是 _____．
12．如圖，在梯形中，，，周長(zhǎng)為，，則該梯形的周長(zhǎng)等于______．
13．在等腰梯形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊中點(diǎn)，已知對(duì)角線AC＝10，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)為________．
14．如圖，平行四邊形中，，，垂足分別是、，，，，則平行四邊形的周長(zhǎng)為______．
15．如圖，梯形中，，，平分，若，，則的長(zhǎng)為________．
16．如圖，中，連接，E是上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于F，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若，則________．
17．如圖，在梯形中，，與相交于點(diǎn)，如果，那么：______．
18．如圖，點(diǎn)F在正五邊形的內(nèi)部，若為等邊三角形，則的度數(shù)是______．
19．如圖，對(duì)角線與交于點(diǎn)，且，，在延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使，連接交于，則的長(zhǎng)為______．
20．如圖，梯形ABCD中，，，將線段CB繞著點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C落在CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處．聯(lián)結(jié)AE、BE，設(shè)BE與邊AD交于點(diǎn)F，如果，且，那么梯形ABCD的中位線等于______．
四、特殊平行四邊形
矩形的判定
平行四邊形：（1）有一個(gè)角為直角（2）對(duì)角線相等.
一般四邊形中，三個(gè)角為直角.
菱形的判定：
在平行四邊形中，（1）有一組鄰邊相等。（2）對(duì)角線互相垂直.
一般四邊形中，四條邊相等.
正方形的判定：
平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)：
一、單選題
1．下列命題中，正確的命題是（ ）
A．一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形
B．對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形
C．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是菱形
D．對(duì)角線垂直且平分的四邊形是正方形
2．在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AB＝5，AC＝6，過點(diǎn)D作AC的平行線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則△BDE的面積為（ ）
A．22B．24C．48D．44
3．如圖，正方形ABCD的兩條對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在BD上，且BE=AD，則∠ACE的度數(shù)為（ ）
A．22.5°B．27.5°C．30°D．35°
4．如圖，矩形中，，如果將該矩形沿對(duì)角線折疊，那么圖中陰影部分的面積是22.5，則（ ）
A．8B．10C．12D．14
5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝24，BC＝12，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)G、H在對(duì)角線AC上，若四邊形EGFH是菱形．則AE的長(zhǎng)是（ ）
A．15B．20C．D．
6．如圖，在中，，，，P為邊上一動(dòng)點(diǎn)，于E，于F，則的最小值為（ ）
A．1.2B．1.25C．2.4D．2.5
7．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為四邊形ABCD四條邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則關(guān)于四邊形EFGH，下列說法正確的是（ ）
A．不一定是平行四邊形B．當(dāng)AC＝BD時(shí)，它為菱形
C．一定是軸對(duì)稱圖形D．不一定是中心對(duì)稱圖形
8．如圖，兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都為6，其中正方形繞著正方形的對(duì)角線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，正方形與邊、分別交于點(diǎn)、（不與端點(diǎn)重合），設(shè)兩個(gè)正方形重疊部分形成圖形的面積為，的周長(zhǎng)為，則下列說法正確的是（ ）
A．發(fā)生變化，存在最大值B．發(fā)生變化，存在最小值
C．不發(fā)生變化，存在最大值D．不發(fā)生變化，存在最小值
二、填空題
9．矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是_________．填代號(hào)①對(duì)邊平行且相等；②對(duì)角線互相平分；③對(duì)角相等；④對(duì)角線相等；⑤四個(gè)角都是；⑥軸對(duì)稱圖形．
10．菱形的邊長(zhǎng)為5，一條對(duì)角線長(zhǎng)為6，則這個(gè)菱形的面積是________．
11．如圖， 在矩形中， 對(duì)角線，相交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為_____．
12．如圖，在菱形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，，垂足為E點(diǎn)，若，則________．
13．如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，點(diǎn)P為邊AB上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分別為E、F，則PE+PF=______．
14．如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD外一點(diǎn)，且ED＝CD，連結(jié)AE，交BD于點(diǎn)F．若∠CDE＝30°，則∠DFC的度數(shù)為 ___．
三、解答題
15．已知：如圖，矩形的兩條對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是線段的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．
(1)求證：四邊形是等腰梯形；
(2)過點(diǎn)O作，垂足為點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)，如果，求證：四邊形是菱形．
16．已知如圖，四邊形中，，E為對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊上，交于點(diǎn)G，．
(1)求證：四邊形為菱形；
(2)如果，求證：．
五、平面向量
平面向量的概念：既有大小，又有方向的量叫做向量.向量一般用……來表示，或用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的大寫字母表示，如： .向量的大小也叫做向量的長(zhǎng)度（或向量的模），記作||或｜｜.向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大?。?br> 方向相同且長(zhǎng)度相等的兩個(gè)向量叫做相等的向量.
方向相反且長(zhǎng)度相等的兩個(gè)向量叫做互為相反向量.
方向相同或相反的兩個(gè)向量叫做平行向量.
平面向量的加法：
向量加法的三角形法則：求不平行的兩個(gè)向量的和向量時(shí)，只要把第二個(gè)向量與第一個(gè)向量首尾相接，那么以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)、第二個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量就是和向量. 設(shè)，則＝＝.
向量加法的平行四邊形法則：如果是兩個(gè)不平行的向量，那么求它們的和向量時(shí)，任取一點(diǎn)為公共起點(diǎn)，作兩個(gè)向量分別和相等；再以這兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形；然后以所取的公共起點(diǎn)為起點(diǎn)，作這個(gè)平行四邊形的對(duì)角線向量，則這一對(duì)角線向量就是與的和向量.
向量的加法滿足交換律，滿足結(jié)合律.
零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量.
＝｜｜＝0..
平面向量的減法：已知兩個(gè)向量的和及其中一個(gè)向量，求另一個(gè)向量的運(yùn)算叫做向量的減法.減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量.
向量減法的三角形法則：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，以這點(diǎn)為公共起點(diǎn)作出這兩個(gè)向量，那么它們的差向量是以減向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)、被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.
要點(diǎn)：（1）用平行四邊形法則時(shí)，兩個(gè)已知向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與已知向量的始點(diǎn)重合的那條對(duì)角線，而差向量是另一條對(duì)角線，方向是從減向量指向被減向量.
（2） 三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”，由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)
當(dāng)兩個(gè)向量的起點(diǎn)公共時(shí)，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時(shí)，用三角形法則．向量加法的三角形法則可推廣至多個(gè)向量相加：
，但這時(shí)必須“首尾相連”．
六、實(shí)數(shù)與向量相乘
1. 實(shí)數(shù)與向量相乘的意義：
一般地，設(shè)為正整數(shù)，為向量，我們用表示個(gè)相加；用表示個(gè)相加.又當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，表示與同向且長(zhǎng)度為的向量.
要點(diǎn)：
設(shè)P為一個(gè)正數(shù)，P就是將的長(zhǎng)度進(jìn)行放縮，而方向保持不變；-P也就是將的長(zhǎng)度進(jìn)行放縮，但方向相反.
2．向量數(shù)乘的定義
一般地，實(shí)數(shù)與向量的相乘所得的積是一個(gè)向量，記作，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：
（1）如果時(shí)，則：
①的長(zhǎng)度：；②的方向：當(dāng)時(shí)，與同方向；當(dāng)時(shí)，與反方向；
（2）如果時(shí)，則：，的方向任意.
實(shí)數(shù)與向量相乘，叫做向量的數(shù)乘.
要點(diǎn)：
（1）向量數(shù)乘結(jié)果是一個(gè)與已知向量平行（或共線）的向量；
（2）實(shí)數(shù)與向量不能進(jìn)行加減運(yùn)算；
（4）表示向量的數(shù)乘運(yùn)算，書寫時(shí)應(yīng)把實(shí)數(shù)寫在向量前面且省略乘號(hào)，注意不要將表示向量的箭頭寫在數(shù)字上面；
（5）向量的數(shù)乘體現(xiàn)幾何圖形中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.
3. 實(shí)數(shù)與向量的相乘的運(yùn)算律：
設(shè)為實(shí)數(shù)，則：
（1）（結(jié)合律）；
（2）（向量的數(shù)乘對(duì)于實(shí)數(shù)加法的分配律）；
（3） （向量的數(shù)乘對(duì)于向量加法的分配律）
七、平行向量定理
1.單位向量：長(zhǎng)度為1的向量叫做單位向量.
要點(diǎn)：
任意非零向量與它同方向的單位向量的關(guān)系：，.
2.平行向量定理：如果向量與非零向量平行，那么存在唯一的實(shí)數(shù)，使.
要點(diǎn)：
（1）定理中，，的符號(hào)由與同向還是反向來確定.
（2）定理中的“”不能去掉，因?yàn)槿?，必有，此時(shí)可以取任意實(shí)數(shù)，使得成立.
（3）向量平行的判定定理：是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使，則向量與非零向量平行.
（4）向量平行的性質(zhì)定理：若向量與非零向量平行，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使.
（5）A、B、C三點(diǎn)的共線若存在實(shí)數(shù)λ，使 .
八、向量的線性運(yùn)算
1．向量的線性運(yùn)算定義：
向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量相乘以及它們的混合運(yùn)算叫做向量的線性運(yùn)算.
要點(diǎn)：
（1）如果沒有括號(hào)，那么運(yùn)算的順序是先將實(shí)數(shù)與向量相乘，再進(jìn)行向量的加減.
（2）如果有括號(hào)，則先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行．
2．向量的分解：
平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線（或不平行）的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使得.
要點(diǎn)：
（1）同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線（或不平行）向量叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.
一組基底中，必不含有零向量．
(2) 一個(gè)平面向量用一組基底表示為形式，叫做向量的分解，當(dāng)相互垂直時(shí)，就稱為向量的正分解.
(3) 以平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量為一組基底，該平面內(nèi)的任意一個(gè)向量都可表示成這組基底的線性組合，基底不同，表示也不同．
3．用向量方法解決平面幾何問題：
（1）利用已知向量表示未知向量
用已知向量來表示另外一些向量，除利用向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理，因此在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，利用三角形中位線、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解．
（2）用向量方法研究平面幾何的問題的“三步曲”：
①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.
②通過向量運(yùn)算，研究幾何元素的關(guān)系.
③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.
一、單選題
1．若非零向量和互為相反向量，則下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列說法中不正確的是（ ）
A．如果、為實(shí)數(shù)，那么
B．如果或，那么
C．如果，且，那么的方向與的方向相同
D．長(zhǎng)度為1的向量叫做單位向量
3．矩形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)，如果，，那么（ ）
A．B．
C．D．
4．下列說法正確的是（ ）
A．如果為單位向量，那么B．如果，那么
C．如果都是單位向量，那么D．如果，那么
5．下列命題正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①設(shè)是一個(gè)實(shí)數(shù)，是向量，那么與相乘的積是一個(gè)向量；
②如果，，那么的模是；
③如果，或，那么；
④如果，的方向與的方向相反．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
6．下列命題中，正確的是（ ）
A．如果或，那么B．如果，那么（k為實(shí)數(shù)）
C．如果（k為實(shí)數(shù)），那么D．如果，那么或
7．如圖，已知A、B、C是直線l上的三點(diǎn)，P是直線l外的一點(diǎn)，BC＝2AB，，那么等于（ ）
A．B．C．D．
8．已知單位向量與非零向量、，下列四個(gè)選項(xiàng)中，正確的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
9．計(jì)算：______．
10．如果向量、、滿足關(guān)系式，那么=____（用向量、表示）．
11．如圖，在中，，，垂足為點(diǎn)．設(shè)，，那么________（結(jié)果用、的式子表示）．
12．如圖，已知在中，，，．設(shè)，，試用向量、表示向量______．
13．如圖，已知梯形中，，，設(shè)，，那么向量用向量、表示為___________．
14．如圖，在正六邊形ABCDEF中，設(shè)，，那么向量用向量、表示為______.
15．如圖，點(diǎn)是的重心，過點(diǎn)且平行于，點(diǎn)、分別在、上，設(shè)，，那么________．（用、表示）
16．如圖，在梯形中，，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，，設(shè)，那么_______．（用含向量的式子表示）
一、單選題
1． (2023·上海青浦·統(tǒng)考二模）如果一個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角都是45°，那么這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為（ ）
A．360°B．720°C．1080°D．1440°
2． (2023·上?！ど虾Ｊ袏渖街袑W(xué)?？级＃┮来芜B接等腰梯形各邊的中點(diǎn)得到的四邊形是（ ）
A．菱形B．矩形C．正方形D．等腰梯形
3． (2023·上海寶山·統(tǒng)考三模）下列命題中正確的是（ ）
A．對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形
B．有兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形
C．一組對(duì)邊平行的四邊形一定是梯形
D．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形一定是等腰梯形
4． (2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）下列命題中，假命題是（ ）
A．順次聯(lián)結(jié)任意四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形
B．順次聯(lián)結(jié)對(duì)角線相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形
C．順次聯(lián)結(jié)對(duì)角線互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形
D．順次聯(lián)結(jié)兩組鄰邊互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形
5． (2023·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考二模）如圖，已知四邊形是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形
B．當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形
C．當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形
D．當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形
6． (2023·上海青浦·統(tǒng)考二模）已知非零向量和單位向量，那么下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A．B．C．D．
7． (2023·上?！ひ荒＃c(diǎn)是的重心，設(shè)，，那么關(guān)于和的分解式是（ ）
A．B．C．D．．
8． (2023·上海虹口·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，AD和BE交于點(diǎn)G，設(shè)，，那么向量用向量、表示為（ ）
A．B．C．D．
9． (2023·上海寶山·統(tǒng)考一模）已知，為非零向量，如果＝﹣5，那么向量與的方向關(guān)系是（ ）
A．∥，并且和方向一致B．∥，并且和方向相反
C．和方向互相垂直D．和之間夾角的正切值為5
10． (2023·上海閔行·?？家荒＃┤鐖D，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長(zhǎng)線分別交AD于點(diǎn)E、F，連結(jié)BD、DP，BD與CF相交于點(diǎn)H，給出下列結(jié)論：①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③DP2＝PH?PC；④FE：BC＝，其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空題
11． (2023·上海崇明·統(tǒng)考二模）若一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和等于外角和的兩倍，則該正多邊形的邊數(shù)是 _____．
12． (2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為5和12，那么這個(gè)菱形的面積為___________
13．（2018·上海金山·統(tǒng)考二模）如果梯形的中位線長(zhǎng)為6，一條底邊長(zhǎng)為8，那么另一條底邊長(zhǎng)等于__________.
14． (2023·上海青浦·統(tǒng)考二模）如圖，已知平行四邊形中，是上一點(diǎn)，，聯(lián)結(jié)交于，若向量，向量，則向量________．
15．（2018·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考中考模擬）在四邊形中，，分別是邊，的中點(diǎn)，若，，，，則______．
16． (2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，在中，∠B＝70°，BC＝6，以AD為直徑的⊙O交CD于點(diǎn)E，則劣弧的長(zhǎng)為______．（結(jié)算結(jié)果保留）
17． (2023·上海普陀·統(tǒng)考一模）如圖，小明在教學(xué)樓的樓頂測(cè)得：對(duì)面實(shí)驗(yàn)大樓的頂端的仰角為，底部的俯角為，如果教學(xué)樓的高度為米，那么兩棟教學(xué)樓的高度差為__________米．
18． (2023·上海徐匯·一模）如圖，已知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，正方形的頂點(diǎn)分別在邊 上，點(diǎn)在邊上，那么的長(zhǎng)是_____．
19．（2018·上海閔行·統(tǒng)考二模）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=12，DC=7，cs∠ABC=，點(diǎn)E在線段AD上，將△ABE沿BE翻折，點(diǎn)A恰巧落在對(duì)角線BD上點(diǎn)P處，那么PD=_____．
三、解答題
20． (2023·上?！ど虾Ｊ羞M(jìn)才中學(xué)校考一模）如圖，在 中， ，，， CD⊥AB，垂足為 D．
(1)求 BD 的長(zhǎng)；
(2)設(shè)，，用，表示．
21． (2023·上海虹口·統(tǒng)考一模）如圖，在中，點(diǎn)是的重心，聯(lián)結(jié)，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，過點(diǎn)作交邊于點(diǎn)．
（1）如果，，用、表示向量；
（2）當(dāng)，，時(shí)，求的長(zhǎng)．
22． (2023·上海金山·統(tǒng)考二模）如圖，梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中點(diǎn)，∠CDE=90°，CD=6，tan∠DCE=．
(1)求CE的長(zhǎng)；
(2)求∠ADE的余弦．
23． (2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形ABCE中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BF⊥CE于點(diǎn)F，點(diǎn)D為BF上一點(diǎn)，且∠BAD＝∠CAE．
(1)求證：AD＝AE；
(2)設(shè)BF交AC于點(diǎn)G，若，判斷四邊形ADFE的形狀，并證明．
相關(guān)
元素
平行四邊形
矩形
菱形
正方形
邊
對(duì)邊平行且相等
對(duì)邊平行且相等
①對(duì)邊平行
②四條邊都相等
①對(duì)邊平行
②四條邊都相等
角
對(duì)角相等
四個(gè)角都是直角
對(duì)角相等
四個(gè)角都是直角
對(duì)角線
對(duì)角線互相平分
①對(duì)角線互相平分
②對(duì)角線相等
①對(duì)角線互相平分
②對(duì)角線互相垂直
③每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角
①對(duì)角線互相平分
②對(duì)角線互相垂直．
③每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角
④對(duì)角線相等
對(duì)稱性
中心對(duì)稱
既是中心對(duì)稱
又是軸對(duì)稱
既是中心對(duì)稱
又是軸對(duì)稱
既是中心對(duì)稱
又是軸對(duì)稱
專題14 四邊形

多邊形、四邊形、平面向量及其線性運(yùn)算是中考的重要考點(diǎn)，尤其是特殊的平行四邊形更是中考的難點(diǎn)，主要考查基礎(chǔ)概念，幾何推理與證明，綜合分析幾何問題.
1. 掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式，靈活運(yùn)用多邊形內(nèi)角和與外角和公式解決有關(guān)問題.
2. 掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念, 了解它們之間的關(guān)系. 掌握它們的性質(zhì)和判別方法, 并能運(yùn)用這些知識(shí)進(jìn)行證明和計(jì)算.
3. 掌握三角形和梯形的中位線定理，并能靈活應(yīng)用.
4. 了解平面向量的概念，掌握平面向量的線性運(yùn)算.
一、多邊形內(nèi)角和定理、外角定理
邊形的內(nèi)角和為(－2)·180°(≥3)．
要點(diǎn)詮釋：(1)內(nèi)角和定理的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；
(2)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，都等于；
多邊形的外角和為360°．邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關(guān).
二、平行四邊形
定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.
性質(zhì)： 1．邊的性質(zhì)：平行四邊形兩組對(duì)邊平行且相等；
2．角的性質(zhì)：平行四邊形鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等；
3．對(duì)角線性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角線互相平分；
4．平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)為對(duì)稱中心.
判定： 1.兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；
2.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
3.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
4.兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；
5.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
平行線的性質(zhì)
1.平行線間的距離都相等
2.等底等高的平行四邊形面積相等
三、梯形
定義：一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫梯形；有一個(gè)角是直角的梯形叫直角梯形；有兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形.
等腰梯形性質(zhì)：（1）兩底平行，兩腰相等；
（2）同一底邊上的兩個(gè)角相等；
（3）兩條對(duì)角線相等；
（4）軸對(duì)稱圖形（底的中垂線就是它的對(duì)稱軸）．
面積：
等腰梯形判定：（1）兩腰相等的梯形是等腰梯形；
（2）同一底邊上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形；
（3）對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形．
解決梯形問題的常用方法（如下圖所示）：

（1）“作高”：使兩腰在兩個(gè)直角三角形中．
（2）“移對(duì)角線”：使兩條對(duì)角線在同一個(gè)三角形中．
（3）“延長(zhǎng)兩腰”：構(gòu)造具有公共角的兩個(gè)三角形．
（4）“等積變形”：連接梯形上底一端點(diǎn)和另一腰中點(diǎn)，并延長(zhǎng)交下底的延長(zhǎng)線于一點(diǎn)，構(gòu)成三角形．并且這個(gè)三角形面積與原來的梯形面積相等.
綜上，解決梯形問題的基本思路： 梯形問題三角形或平行四邊形問題， 這種思路常通過平移或旋轉(zhuǎn)來實(shí)現(xiàn)．
三角形、梯形的中位線
聯(lián)結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.
三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半.
聯(lián)結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫梯形的中位線.
梯形的中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半.
一、單選題
1．一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．10B．9C．6D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)多邊形的外角和等于，可以用除一個(gè)外角的度數(shù)，可以算出多邊形的邊數(shù)即可．
【解析】解：，
這個(gè)多邊形的邊數(shù)是6，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的外角和，能夠熟練掌握根據(jù)多邊形的外角和與正多邊形一個(gè)外角的度數(shù)求出多邊形的邊數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．
2．若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和大，則該多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)多邊形的外角和內(nèi)角和之間的關(guān)系可到關(guān)于的方程，解方程即可得．
【解析】解：∵多邊形的外角和是，多邊形的內(nèi)角和比它的外角和大
∴設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為
由題意得：
解得：
故選：
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的外角和與內(nèi)角和，理清外角和與內(nèi)角和的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
3．小紅：我計(jì)算出一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為；老師：不對(duì)呀，你可能少加了一個(gè)角則小紅少加的這個(gè)角的度數(shù)是（ ）
A．1B．1C．1D．1
【答案】D
【分析】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，少加的角的度數(shù)為x，由多邊形內(nèi)角和定理可得等式：，由n為整數(shù)即可確定x的值．
【解析】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，少加的角的度數(shù)為x，
由題意得：，
，
由于n為整數(shù)，x為正數(shù)且小于，
，
則，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是設(shè)多邊形的邊數(shù)及少加的角的度數(shù)，由多邊形內(nèi)角和定理得到等式，根據(jù)邊數(shù)為整數(shù)確定少加的角．
4．劉師傅給客戶加工一個(gè)平行四邊形的零件，他要檢查這個(gè)零件是否為平行四邊形，用下列方法不能檢查的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形，兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，即可得A，B，D可以判定四邊形是平行四邊形，不能通過一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等得到平行四邊形，也可以是等腰梯形；即可求得答案．
【解析】A．，，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可知本選項(xiàng)正確，但不符合題意；
B．，，根據(jù)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形，可知本選項(xiàng)正確，但不符合題意；
C．，，可知四邊形可以是平行四邊形，也可以是等腰梯形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；
D．，，根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可知本選項(xiàng)正確，但不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定．此題比較簡(jiǎn)單，注意熟記平行四邊形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．
5．如圖，在中，平分交于點(diǎn)F，平分交于點(diǎn)E，若，，則的長(zhǎng)度為（ ）

A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，由角平分線可得，所以，所以，同理可得，則根據(jù)即可求解．
【解析】解：∵四邊形是平行四邊形，，
∴，．
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
同理可得．
∴．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)學(xué)模型“角平分線+平行線得到等腰三角形”．
6．下列命題：①等腰梯形的兩個(gè)底角相等；②兩個(gè)底角相等的梯形是等腰梯形；③等腰梯形的對(duì)角線等；⑤對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形，其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)對(duì)①③進(jìn)行判斷；根據(jù)等腰梯形的判定方法對(duì)②④進(jìn)行判斷．
【解析】解：等腰梯形的兩個(gè)底角相等，所以①為真命題；
兩個(gè)底角相等的梯形是等腰梯形，所以②為真命題；
等腰梯形的對(duì)角線相等，所以③為真命題；
對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形，所以④為真命題．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了命題：命題的“真”“假”是就命題的內(nèi)容而言．任何一個(gè)命題非真即假．要說明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．
7．如圖，在等腰梯形中，ADBC，，，，則BC=（ ）
A．10B．12C．14D．16
【答案】C
【分析】過作交于，得出四邊形是平行四邊形，推出，，證出是等邊三角形，得到，即可求出答案．
【解析】解：過作交于，
，，
四邊形是平行四邊形，
，，
∵，
是等邊三角形，
，
．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，把等腰梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形和三角形是解此題的關(guān)鍵．
8．如圖，將平行四邊形沿對(duì)角線折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，若，，則的度數(shù)為（ ）．
A．124°B．114°C．104°D．56°
【答案】A
【分析】根據(jù)折疊、平行四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，即可求出答案．
【解析】解：
由折疊得，，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，由圖形直觀得出各個(gè)角之間的關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．
9．如圖，在中，如果點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，且，那么下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)與等腰梯形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，逐個(gè)判斷即可．
【解析】解：在?ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，
∵AD∥BC，∠A＝∠AEC，
∴AB＝CE，
∴CE＝CD，故A正確；
∵點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，
∴AD＝BC＝2AE＝2DE，
∵AD∥BC，
∴△BFC∽△DFE，
∴
∴BF＝2DF，故B正確；
∵AB＝CE，
∴FC＝2EF，
∴CE＝3EF，
∴AB＝CE＝3EF，故C不正確；
∵，△BFC∽△DFE，
∴S△BFC＝4S△DEF，
∴S△DFC＝2S△DEF，
∴S△BCD＝S△BFC+S△DFC＝6S△DEF，
∴S四邊形ABFE＝5S△DEF，故D正確．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，等腰梯形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．某花木場(chǎng)有一塊如等腰梯形的空地（如圖），各邊的中點(diǎn)分別是、、、，用籬笆圍成的四邊形場(chǎng)地的周長(zhǎng)為40cm，則對(duì)角線的長(zhǎng)度為（ ）
A．20cmB．15cmC．10cmD．5cm
【答案】A
【分析】根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)及三角形中位線的性質(zhì)可推出四邊形為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)可求得其邊長(zhǎng)，再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)即可求得梯形對(duì)角線的長(zhǎng)度．
【解析】解：連接，
四邊形是等腰梯形，
，
各邊的中點(diǎn)分別是、、、
， ，

四邊形是菱形，
四邊形場(chǎng)地的周長(zhǎng)為，
，
。
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰梯形的性質(zhì)及菱形的判定，證明四邊形為菱形是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
11．如果某個(gè)等腰梯形的一個(gè)底角為60°，它的上、下底長(zhǎng)分別為3和5，那么這個(gè)梯形的腰長(zhǎng)是 _____．
【答案】2
【分析】過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可得出AE的長(zhǎng)度，在Rt△ABE中可求出腰長(zhǎng)AB的長(zhǎng)度．
【解析】解：如圖，
過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，由題意得，AD=3，BC=5，
∴BE=（BC—AD）=1，
∵∠B=60°，
∴AB=2BE=2，
故這個(gè)梯形的腰長(zhǎng)是2，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出AB的長(zhǎng)度．
12．如圖，在梯形中，，，周長(zhǎng)為，，則該梯形的周長(zhǎng)等于______．
【答案】26
【分析】要求梯形的周長(zhǎng)，就要利用周長(zhǎng)公式，然后根據(jù)周長(zhǎng)為，求出梯形的各邊長(zhǎng)即可．
【解析】解：梯形的周長(zhǎng)，
∵，，，
為平行四邊形，
，
周長(zhǎng)為，
，
梯形的周長(zhǎng)．
故答案為：26．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)；解題時(shí)要熟練掌握梯形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)．
13．在等腰梯形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊中點(diǎn)，已知對(duì)角線AC＝10，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)為________．
【答案】20
【分析】連接BD，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得到BD=AC，根據(jù)三角形中位線定理解答即可．
【解析】解：連接BD， ∵四邊形ABCD為等腰梯形，
∴BD=AC=10，
∵E、F、G、H分別為各邊中點(diǎn)，
∴EF=AC=5，GH=AC=5，EH=BD=5，GF=BD=5，
∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)=5+5+5+5=20，
故答案為：20．
【點(diǎn)睛】本題考查的是中點(diǎn)四邊形，掌握等腰梯形的性質(zhì)、三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．
14．如圖，平行四邊形中，，，垂足分別是、，，，，則平行四邊形的周長(zhǎng)為______．
【答案】20
【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為，求得；根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行，可得與互補(bǔ)，即可求得，在直角三角形中求得的長(zhǎng)，同理求得的長(zhǎng)，繼而求得平行四邊形的周長(zhǎng)；
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周長(zhǎng)為＝，
故答案：20．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊平行且相等．還考查了直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，正確求得∠B和∠DAF的度數(shù)是關(guān)鍵．
15．如圖，梯形中，，，平分，若，，則的長(zhǎng)為________．
【答案】
【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形．證明，推出，利用勾股定理求出，，可得結(jié)論．
【解析】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形．
梯形中，，，
，，
平分，
，
，
，，，
，
，
，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查梯形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
16．如圖，中，連接，E是上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于F，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，若，則________．
【答案】
【分析】過點(diǎn)E作，可得，從而得到，再由平行四邊形的性質(zhì)可得，，從而得到，進(jìn)而得到，再由，可得，從而得到，即可求解．
【解析】解：如圖，過點(diǎn)E作，
∴，
∴，即，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
解得：或（舍去），
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
17．如圖，在梯形中，，與相交于點(diǎn)，如果，那么：______．
【答案】：##
【分析】首先根據(jù)，可得：：；然后根據(jù)∽，可得：：：：，進(jìn)而可得：：，：：，：：，設(shè)，分別表達(dá)和進(jìn)而可得結(jié)論．
【解析】解：在梯形中，，，
：：；
，
∽，
：：：：，
：：，：：，：：，
設(shè)，則，，
，
：：：．
故答案為：：．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，以及梯形的特征和應(yīng)用，要熟練掌握．
18．如圖，點(diǎn)F在正五邊形的內(nèi)部，若為等邊三角形，則的度數(shù)是______．
【答案】##66度
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，由正五邊形的性質(zhì)得到，，等量代換得到，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．
【解析】解：是等邊三角形，
，，
在正五邊形中，，，
，，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的內(nèi)角和，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記正多邊形的內(nèi)角的求法是解題的關(guān)鍵．
19．如圖，對(duì)角線與交于點(diǎn)，且，，在延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使，連接交于，則的長(zhǎng)為______．
【答案】
【分析】過點(diǎn)作，先由和平行四邊形的性質(zhì)說明是的中位線并求出，再判斷，最后由相似三角形的性質(zhì)得結(jié)論．
【解析】解：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，
四邊形是平行四邊形，是對(duì)角線與的交點(diǎn)，
，點(diǎn)是的中點(diǎn)．
，
是的中位線．
，．
．
．
，
．
．
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形的中位線定理及平行四邊形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
20．如圖，梯形ABCD中，，，將線段CB繞著點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C落在CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處．聯(lián)結(jié)AE、BE，設(shè)BE與邊AD交于點(diǎn)F，如果，且，那么梯形ABCD的中位線等于______．
【答案】8
【分析】由根據(jù)三角形的面積公式，由得，進(jìn)而求得DE=2，從而求得底邊EC的長(zhǎng)，于是可求得CD的長(zhǎng)，進(jìn)而求得梯形ABCD的中位線．
【解析】解：過點(diǎn)B作BM⊥CE于點(diǎn)M，如下圖，
∵，，
∴∠ADC=180°-∠A=180°-90°=90°，
∵，
∴，
∵，
∴DE=2，
∵BM⊥CE，
∴∠BMD=90°，
∴四邊形ABMD是矩形，
∴DM=AB=4，
∴EM=2+4=6，
∵將線段CB繞著點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C落在CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，
∴BE=BC，
∵BM⊥CE，
∴EC=2EM=12，
∴CD=12-2=10，
∴梯形ABCD的中位線為：，
故答案為：8．
【點(diǎn)睛】本題考查了梯形的中位線，平行線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
四、特殊平行四邊形
矩形的判定
平行四邊形：（1）有一個(gè)角為直角（2）對(duì)角線相等.
一般四邊形中，三個(gè)角為直角.
菱形的判定：
在平行四邊形中，（1）有一組鄰邊相等。（2）對(duì)角線互相垂直.
一般四邊形中，四條邊相等.
正方形的判定：
平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)：
一、單選題
1．下列命題中，正確的命題是（ ）
A．一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形
B．對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形
C．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是菱形
D．對(duì)角線垂直且平分的四邊形是正方形
【答案】B
【分析】利用平行四邊形的判定方法、矩形、菱形及正方形的判定方法分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．
【解析】解：A、一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等的四邊形可能是平行四邊形，也可能是等腰梯形，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；
B、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，正確，符合題意；
C、對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；
D、對(duì)角線垂直、相等且平分的四邊形是正方形，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解平行四邊形的判定方法、矩形、菱形及正方形的判定方法，難度不大．
2．在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AB＝5，AC＝6，過點(diǎn)D作AC的平行線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則△BDE的面積為（ ）
A．22B．24C．48D．44
【答案】B
【分析】先判斷出四邊形ACED是平行四邊形，從而得出DE的長(zhǎng)度，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出BD的長(zhǎng)度，利用勾股定理的逆定理可得出△BDE是直角三角形，計(jì)算出面積即可．
【解析】解： 菱形ABCD，

在Rt△BCO中， 即可得BD=8，

∴四邊形ACED是平行四邊形，
∴AC=DE=6，
BE=BC+CE=10，

∴△BDE是直角三角形，
∴S△BDE=DE?BD=24．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理及三角形的面積，平行四邊形的判定與性質(zhì)，求出BD的長(zhǎng)度，判斷△BDE是直角三角形，是解答本題的關(guān)鍵．
3．如圖，正方形ABCD的兩條對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在BD上，且BE=AD，則∠ACE的度數(shù)為（ ）
A．22.5°B．27.5°C．30°D．35°
【答案】A
【分析】利用正方形的性質(zhì)證明∠DBC=45°和BE=BC，進(jìn)而證明∠BEC=67.5°．
【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=AD，∠DBC=45°，
∵BE=AD，
∴BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE=（180°﹣45°）÷2=67.5°，
∵AC⊥BD，
∴∠COE=90°，
∴∠ACE=90°﹣∠BEC=90°﹣67.5°=22.5°，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)并加以利用是解決本題的關(guān)鍵．
4．如圖，矩形中，，如果將該矩形沿對(duì)角線折疊，那么圖中陰影部分的面積是22.5，則（ ）
A．8B．10C．12D．14
【答案】C
【分析】根據(jù)折疊和矩形的性質(zhì)，可得∠DBE =∠CBD，AD∥BC，AD=BC，AB⊥AD，從而得到∠BDE=∠DBE，進(jìn)而得到BE=DE，再由的面積是22.5，可得，然后根據(jù)勾股定理，即可求解．
【解析】解：根據(jù)題意得： ∠DBE =∠CBD，AD∥BC，AD=BC，AB⊥AD，
∴∠BDE=∠CBD，
∴∠BDE=∠DBE，
∴BE=DE，
∵的面積是22.5，，
∴ ，解得： ，
∴，
在 中，由勾股定理得：
，
∴ ．
故選：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊和矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握折疊和矩形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．
5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝24，BC＝12，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)G、H在對(duì)角線AC上，若四邊形EGFH是菱形．則AE的長(zhǎng)是（ ）
A．15B．20C．D．
【答案】A
【分析】連接EF交AC于點(diǎn)O，連接CE，證明△CFO≌△AEO，可得CF＝AE，再根據(jù)勾股定理可得CE的長(zhǎng)，進(jìn)而可得結(jié)論．
【解析】解：如圖，連接EF交AC于點(diǎn)O，連接CE，
∵四邊形EGFH是菱形，
∴EF⊥GH，OE＝OF，DCAB，
∴CF＝CE，，
在△CFO和△AEO中，，
∴△CFO≌△AEO（AAS），
∴CF＝AE，
∴CE＝AE，
∴BE＝AB?AE＝24?CE，
在Rt△CEB中，根據(jù)勾股定理，得，
∴，
解得CE＝15，
∴AE＝15，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是證明△CFO≌△AEO，求出CF＝AE．
6．如圖，在中，，，，P為邊上一動(dòng)點(diǎn)，于E，于F，則的最小值為（ ）
A．1.2B．1.25C．2.4D．2.5
【答案】C
【分析】先證四邊形AEPF是矩形，得EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，再根據(jù)垂線段最短和三角形面積求出AP即可．
【解析】解：連接，如圖：
，，
，
，
四邊形是矩形，
，
要使最小，只要最小即可，
當(dāng)時(shí)，最短，
，，，
，
的面積，
，
即，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題利用了矩形的性質(zhì)和判定、勾股定理、垂線段最短以及三角形面積等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
7．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為四邊形ABCD四條邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則關(guān)于四邊形EFGH，下列說法正確的是（ ）
A．不一定是平行四邊形B．當(dāng)AC＝BD時(shí)，它為菱形
C．一定是軸對(duì)稱圖形D．不一定是中心對(duì)稱圖形
【答案】B
【分析】先連接AC，BD，根據(jù)EF＝HG＝AC，EH＝FG＝BD，可得四邊形EFGH是平行四邊形，當(dāng)AC⊥BD時(shí)，∠EFG＝90°，此時(shí)四邊形EFGH是矩形；當(dāng)AC＝BD時(shí)，EF＝FG＝GH＝HE，此時(shí)四邊形EFGH是菱形，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．
【解析】解：連接AC，BD，如圖：
∵點(diǎn)E、F、G、H分別為四邊形ABCD的四邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，
∴EF＝HG＝AC，EH＝FG＝BD，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，故A錯(cuò)誤；
∴四邊形EFGH一定是中心對(duì)稱圖形，故D錯(cuò)誤；
當(dāng)AC⊥BD時(shí)，∠EFG＝90°，此時(shí)四邊形EFGH是矩形，
當(dāng)AC＝BD時(shí)，EF＝FG＝GH＝HE，此時(shí)四邊形EFGH是菱形，
∴四邊形EFGH可能是軸對(duì)稱圖形，故C錯(cuò)誤；
∴說法正確的是當(dāng)AC＝BD時(shí)，它為菱形，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了中點(diǎn)四邊形的運(yùn)用，解題時(shí)注意：平行四邊形是中心對(duì)稱圖形．解決問題的關(guān)鍵是掌握三角形中位線定理．
8．如圖，兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都為6，其中正方形繞著正方形的對(duì)角線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，正方形與邊、分別交于點(diǎn)、（不與端點(diǎn)重合），設(shè)兩個(gè)正方形重疊部分形成圖形的面積為，的周長(zhǎng)為，則下列說法正確的是（ ）
A．發(fā)生變化，存在最大值B．發(fā)生變化，存在最小值
C．不發(fā)生變化，存在最大值D．不發(fā)生變化，存在最小值
【答案】D
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△AOM≌△BON，得到兩個(gè)正方形重疊部分形成圖形的面積S四邊形OMBN=S△BOM+S△BON= S△BOM+S△AOM= S△AOB=S正方形ABCD為定值，再根據(jù)全等三角形與等腰直角三角形的性質(zhì)得到的周長(zhǎng)為MN+BM+BN=MN+AB=，故可得n存在最小值，故可判斷求解．
【解析】∵四邊形ABCD和四邊形是正方形，
∴AO=BO，∠OAM=∠OBN=45°，∠MON=∠AOB=90°
∴∠AOM+∠BOM=∠BON+∠BOM=90°
∴∠AOM=∠BON
∴△AOM≌△BON（ASA）
∴S△AOM≌S△BON
∵兩個(gè)正方形重疊部分形成圖形的面積S四邊形OMBN=S△BOM+S△BON= S△BOM+S△AOM= S△AOB=S正方形ABCD
∴為定值，不發(fā)生變化，
∵△AOM≌△BON
∴OM=ON
∴△MON是等腰直角三角形
∴的周長(zhǎng)為MN+BM+BN=MN+AB=，
故當(dāng)MO最小時(shí)即OM⊥AB時(shí)，n存在最小值，
故選D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查正方形的性質(zhì)綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟知正方形的性質(zhì)、全等三角形及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．
二、填空題
9．矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是_________．填代號(hào)①對(duì)邊平行且相等；②對(duì)角線互相平分；③對(duì)角相等；④對(duì)角線相等；⑤四個(gè)角都是；⑥軸對(duì)稱圖形．
【答案】④⑤⑥
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)進(jìn)而分析得出答案即可．
【解析】解：矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是：
④對(duì)角線相等；
⑤4個(gè)角都是90°；
⑥軸對(duì)稱圖形．
故答案為：④⑤⑥．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了矩形與平行四邊形的性質(zhì)與區(qū)別，熟練區(qū)分它們的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
10．菱形的邊長(zhǎng)為5，一條對(duì)角線長(zhǎng)為6，則這個(gè)菱形的面積是________．
【答案】24
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)利用勾股定理求得另一條對(duì)角線，再根據(jù)菱形的面積等于兩對(duì)角線乘積的一半求得菱形的面積．
【解析】解：如圖，當(dāng)BD=6時(shí)，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=3，
∵AB=5，
∴AO=，
∴AC=8，
∴菱形的面積是：BD×AC=×6×8=24，
故答案為：24．
【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，菱形的面積公式，勾股定理，關(guān)鍵是掌握菱形的面積等于兩條對(duì)角線的積的一半．
11．如圖， 在矩形中， 對(duì)角線，相交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為_____．
【答案】8
【分析】由四邊形為矩形，根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分且相等，可得，由，根據(jù)有一個(gè)角為的等腰三角形為等邊三角形可得三角形為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的每一個(gè)角都相等都為可得出為，在直角三角形中，根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得為，根據(jù)角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，由的長(zhǎng)可得出的長(zhǎng)．
【解析】解：四邊形為矩形，
，，且，，
，
又，
為等邊三角形，
，
在直角三角形中，，，
，
，
則．
故答案為：8．
【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及含角直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解覺本題的關(guān)鍵．
12．如圖，在菱形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，，垂足為E點(diǎn)，若，則________．
【答案】65°##65度
【分析】先根據(jù)菱形的鄰角互補(bǔ)求出∠BAD的度數(shù)，再根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角求出∠BAO的度數(shù)，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式計(jì)算即可得解．
【解析】解：在菱形ABCD中，∠ADC=130°，
∴∠BAD=180°-130°=50°，
∴∠BAO=∠BAD=×50°=25°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°-∠BAO=90°-25°=65°．
故答案為：65°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的鄰角互補(bǔ)，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
13．如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，點(diǎn)P為邊AB上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分別為E、F，則PE+PF=______．
【答案】
【分析】連接OP．由勾股定理得出AC=10，可求得OA=OB=5，由矩形的性質(zhì)得出S矩形ABCD=AB?BC=48，S△AOB=S矩形ABCD=12，OA=OB=5，由S△AOB=S△AOP+S△BOP=OA?PE+OB?PF=OA（PE+PF）=×5×（PE+PF）=12求得答案．
【解析】解：連接OP，如圖：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB，AC==10，
∴S矩形ABCD=AB?BC=48，S△AOB=S矩形ABCD=12，OA=OB=5，
∴S△AOB=S△AOP+S△BOP=OA?PE+OB?PF=OA（PE+PF）=×5×（PE+PF）=12，
∴PE+PF=；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理．注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
14．如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD外一點(diǎn)，且ED＝CD，連結(jié)AE，交BD于點(diǎn)F．若∠CDE＝30°，則∠DFC的度數(shù)為 ___．
【答案】105°
【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)和已知得AD=DE，根據(jù)等腰△ADE頂角為120°計(jì)算∠DAE=30°，由三角形的內(nèi)角和定理得∠AFD=105°，通過證明△ADF≌△CDF證出∠DFC=∠AFD即可得到答案．
【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°，
∴∠ADB=∠BDC=45°，
∵DC=DE，
∴AD=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
∵∠ADE=90°+30°=120°，
∴∠DAE=30°，
∴∠AFD=180°-25°-45°=105°，
在△ADF和△CDF中，
，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴∠DFC=∠AFD=105°，
故答案為：105°．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)是關(guān)鍵．
三、解答題
15．已知：如圖，矩形的兩條對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是線段的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．
(1)求證：四邊形是等腰梯形；
(2)過點(diǎn)O作，垂足為點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)，如果，求證：四邊形是菱形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，，，求出 ，，根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)得出，，，求出，，根據(jù)等腰梯形的判定得出即可；
（2）根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)得出．求出，求出處，根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形和四邊形是平行四邊形．求出，根據(jù)菱形的判定得出平行四邊形是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，求出即可．
(1)
證明：四邊形是矩形，
，，，，
，，
點(diǎn)、分別是線段、的中點(diǎn)，
，，，
，，
，
即，
四邊形是等腰梯形；
(2)
證明：連接，
點(diǎn)、分別是線段、的中點(diǎn)，
，
，，
，
四邊形是矩形，
，
，
由（1）知：，
四邊形是平行四邊形，
同理：四邊形是平行四邊形，
，
，
又，
，
，
，
，
平行四邊形是菱形，
，
又四邊形是等腰梯形，
，
又，
，
四邊形是菱形．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能靈活運(yùn)用等腰梯形的性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．
16．已知如圖，四邊形中，，E為對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊上，交于點(diǎn)G，．
(1)求證：四邊形為菱形；
(2)如果，求證：．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線可得AE＝CE＝BD，再結(jié)合已知CF＝BD，從而可得AE＝CF，進(jìn)而可得四邊形AECF是平行四邊形，然后再根據(jù)AE＝CE即可解答；
（2）利用（1）的結(jié)論可得AD∥CE，從而可得∠ADE＝∠DEC，進(jìn)而可得∠ADE＝∠DCF，再利用平行線的性質(zhì)可得∠EAD＝∠CFD，然后證明，利用相似三角形的性質(zhì)解答．
【解析】（1）證明：∵，E為對(duì)角線的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四邊形為平行四邊形，
又∵，
∴平行四邊形為菱形；
（2）∵四邊形為菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等知識(shí)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
五、平面向量
平面向量的概念：既有大小，又有方向的量叫做向量.向量一般用……來表示，或用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的大寫字母表示，如： .向量的大小也叫做向量的長(zhǎng)度（或向量的模），記作||或｜｜.向量不能比較大小，但向量的模可以比較大?。?br> 方向相同且長(zhǎng)度相等的兩個(gè)向量叫做相等的向量.
方向相反且長(zhǎng)度相等的兩個(gè)向量叫做互為相反向量.
方向相同或相反的兩個(gè)向量叫做平行向量.
平面向量的加法：
向量加法的三角形法則：求不平行的兩個(gè)向量的和向量時(shí)，只要把第二個(gè)向量與第一個(gè)向量首尾相接，那么以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)、第二個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量就是和向量. 設(shè)，則＝＝.
向量加法的平行四邊形法則：如果是兩個(gè)不平行的向量，那么求它們的和向量時(shí)，任取一點(diǎn)為公共起點(diǎn)，作兩個(gè)向量分別和相等；再以這兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形；然后以所取的公共起點(diǎn)為起點(diǎn)，作這個(gè)平行四邊形的對(duì)角線向量，則這一對(duì)角線向量就是與的和向量.
向量的加法滿足交換律，滿足結(jié)合律.
零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量.
＝｜｜＝0..
平面向量的減法：已知兩個(gè)向量的和及其中一個(gè)向量，求另一個(gè)向量的運(yùn)算叫做向量的減法.減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量.
向量減法的三角形法則：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，以這點(diǎn)為公共起點(diǎn)作出這兩個(gè)向量，那么它們的差向量是以減向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)、被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.
要點(diǎn)：（1）用平行四邊形法則時(shí)，兩個(gè)已知向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與已知向量的始點(diǎn)重合的那條對(duì)角線，而差向量是另一條對(duì)角線，方向是從減向量指向被減向量.
（2） 三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”，由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)
當(dāng)兩個(gè)向量的起點(diǎn)公共時(shí)，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時(shí)，用三角形法則．向量加法的三角形法則可推廣至多個(gè)向量相加：
，但這時(shí)必須“首尾相連”．
六、實(shí)數(shù)與向量相乘
1. 實(shí)數(shù)與向量相乘的意義：
一般地，設(shè)為正整數(shù)，為向量，我們用表示個(gè)相加；用表示個(gè)相加.又當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，表示與同向且長(zhǎng)度為的向量.
要點(diǎn)：
設(shè)P為一個(gè)正數(shù)，P就是將的長(zhǎng)度進(jìn)行放縮，而方向保持不變；-P也就是將的長(zhǎng)度進(jìn)行放縮，但方向相反.
2．向量數(shù)乘的定義
一般地，實(shí)數(shù)與向量的相乘所得的積是一個(gè)向量，記作，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：
（1）如果時(shí)，則：
①的長(zhǎng)度：；②的方向：當(dāng)時(shí)，與同方向；當(dāng)時(shí)，與反方向；
（2）如果時(shí)，則：，的方向任意.
實(shí)數(shù)與向量相乘，叫做向量的數(shù)乘.
要點(diǎn)：
（1）向量數(shù)乘結(jié)果是一個(gè)與已知向量平行（或共線）的向量；
（2）實(shí)數(shù)與向量不能進(jìn)行加減運(yùn)算；
（4）表示向量的數(shù)乘運(yùn)算，書寫時(shí)應(yīng)把實(shí)數(shù)寫在向量前面且省略乘號(hào)，注意不要將表示向量的箭頭寫在數(shù)字上面；
（5）向量的數(shù)乘體現(xiàn)幾何圖形中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.
3. 實(shí)數(shù)與向量的相乘的運(yùn)算律：
設(shè)為實(shí)數(shù)，則：
（1）（結(jié)合律）；
（2）（向量的數(shù)乘對(duì)于實(shí)數(shù)加法的分配律）；
（3） （向量的數(shù)乘對(duì)于向量加法的分配律）
七、平行向量定理
1.單位向量：長(zhǎng)度為1的向量叫做單位向量.
要點(diǎn)：
任意非零向量與它同方向的單位向量的關(guān)系：，.
2.平行向量定理：如果向量與非零向量平行，那么存在唯一的實(shí)數(shù)，使.
要點(diǎn)：
（1）定理中，，的符號(hào)由與同向還是反向來確定.
（2）定理中的“”不能去掉，因?yàn)槿簦赜?，此時(shí)可以取任意實(shí)數(shù)，使得成立.
（3）向量平行的判定定理：是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使，則向量與非零向量平行.
（4）向量平行的性質(zhì)定理：若向量與非零向量平行，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使.
（5）A、B、C三點(diǎn)的共線若存在實(shí)數(shù)λ，使 .
八、向量的線性運(yùn)算
1．向量的線性運(yùn)算定義：
向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量相乘以及它們的混合運(yùn)算叫做向量的線性運(yùn)算.
要點(diǎn)：
（1）如果沒有括號(hào)，那么運(yùn)算的順序是先將實(shí)數(shù)與向量相乘，再進(jìn)行向量的加減.
（2）如果有括號(hào)，則先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行．
2．向量的分解：
平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線（或不平行）的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使得.
要點(diǎn)：
（1）同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線（或不平行）向量叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.
一組基底中，必不含有零向量．
(2) 一個(gè)平面向量用一組基底表示為形式，叫做向量的分解，當(dāng)相互垂直時(shí)，就稱為向量的正分解.
(3) 以平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量為一組基底，該平面內(nèi)的任意一個(gè)向量都可表示成這組基底的線性組合，基底不同，表示也不同．
3．用向量方法解決平面幾何問題：
（1）利用已知向量表示未知向量
用已知向量來表示另外一些向量，除利用向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理，因此在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，利用三角形中位線、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解．
（2）用向量方法研究平面幾何的問題的“三步曲”：
①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.
②通過向量運(yùn)算，研究幾何元素的關(guān)系.
③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.
一、單選題
1．若非零向量和互為相反向量，則下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)相反向量的定義逐項(xiàng)判斷即可．
【解析】解：A、由平行向量的定義可知A正確，不符合題意；
B、因?yàn)楹偷姆较蛳喾?，所以，故B正確，不符合題意；
C、由相反向量的定義可知，故錯(cuò)誤，符合題意；
D、由相反向量的定義可知，故正確，不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查相反向量的概念，屬基礎(chǔ)題，正確理解定義是解決問題的關(guān)鍵．
2．下列說法中不正確的是（ ）
A．如果、為實(shí)數(shù)，那么
B．如果或，那么
C．如果，且，那么的方向與的方向相同
D．長(zhǎng)度為1的向量叫做單位向量
【答案】C
【分析】由平面向量的性質(zhì)，即可得A與B正確，又由長(zhǎng)度為l的向量叫做單位向量，可得D正確，向量是有方向性的，所以C錯(cuò)誤．
【解析】解∶A、根據(jù)向量的性質(zhì)得，故本選項(xiàng)正確；
B、如果或，那么，故本選項(xiàng)正確；
C、因?yàn)橄蛄渴怯蟹较蛐缘?，所以C錯(cuò)誤；
D、長(zhǎng)度為l的向量叫做單位向量， 故本選項(xiàng)正確．
故選∶ C．
【點(diǎn)睛】此題考查了平面向量的性質(zhì)．題目比較簡(jiǎn)單，注意向量是有方向性的，掌握平面向量的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
3．矩形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)，如果，，那么（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出，再根據(jù)即可得到結(jié)果．
【解析】解：如圖所示：
∵
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量，矩形的性質(zhì)，本題側(cè)重考查知識(shí)點(diǎn)的理解能力．
4．下列說法正確的是（ ）
A．如果為單位向量，那么B．如果，那么
C．如果都是單位向量，那么D．如果，那么
【答案】B
【分析】向量有方向，大小，加減運(yùn)算，根據(jù)相關(guān)的概念和運(yùn)算方法即可求解．
【解析】解：選項(xiàng)，如果為單位向量，且與的方向相同，那么，故不符合題意；
選項(xiàng)，如果，大小相同，方向相反，那么，故符合題意；
選項(xiàng)，如果都是單位向量，那么，方向不確定，故不符合題意；
選項(xiàng)，如果，那么，模相等，方向不確定，故不符題意．
故選：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的基本知識(shí)，掌握向量的大小，方向，模的基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
5．下列命題正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①設(shè)是一個(gè)實(shí)數(shù)，是向量，那么與相乘的積是一個(gè)向量；
②如果，，那么的模是；
③如果，或，那么；
④如果，的方向與的方向相反．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】B
【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)與向量的乘積結(jié)合向量的定義，逐項(xiàng)分析判斷即可求解．
【解析】解：①設(shè)是一個(gè)實(shí)數(shù)，是向量，那么與相乘的積是一個(gè)向量，故①正確；
②如果，，那么的模是，故②正確；
③如果，或，那么，故③錯(cuò)誤；
④如果，的方向與的方向相反，故④錯(cuò)誤，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與向量的乘積，熟練掌握平面向量的定義是解題關(guān)鍵．
6．下列命題中，正確的是（ ）
A．如果或，那么B．如果，那么（k為實(shí)數(shù)）
C．如果（k為實(shí)數(shù)），那么D．如果，那么或
【答案】D
【分析】根據(jù)向量的性質(zhì)之一判斷即可得到答案．
【解析】解：A．如果或，那么，原說法錯(cuò)誤，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．如果，且，那么（k為實(shí)數(shù)），原說法錯(cuò)誤，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C．如果（k為實(shí)數(shù)），當(dāng)時(shí)，和不平行，原說法錯(cuò)誤，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D．如果，那么或，說法正確，符合題意，選項(xiàng)正確，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量，熟練掌握平面向量的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
7．如圖，已知A、B、C是直線l上的三點(diǎn)，P是直線l外的一點(diǎn)，BC＝2AB，，那么等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)圖形得：，則，再根據(jù)可得出答案．
【解析】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查平面向量，熟練掌握平面向量的計(jì)算是解答本題的關(guān)鍵．
8．已知單位向量與非零向量、，下列四個(gè)選項(xiàng)中，正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平面向量的定義，平面向量模的定義以及共線向量的定義進(jìn)行判斷即可．
【解析】A.當(dāng)單位概率與非零向量的方向相同時(shí)才成立，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
B. ，故該選項(xiàng)正確，符合題意；
C.當(dāng)非零向量，的方向相同時(shí)才成立，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
D. 當(dāng)單位概率與非零向量的方向相同時(shí)才成立，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
故選B
【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量知識(shí)，理解單位向量是指模等于1的向量。由于是非零向量，單位向量具有確定的方向是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
9．計(jì)算：______．
【答案】##
【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則可直接進(jìn)行解答．
【解析】解：
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平面向量的知識(shí)，熟悉向量的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．如果向量、、滿足關(guān)系式，那么=____（用向量、表示）．
【答案】##
【分析】利用一元一次方程的求解方法，去括號(hào)、移項(xiàng)，即可求得答案．
【解析】解：，
，
，
故答案為：
【點(diǎn)睛】此題考查了平面向量的知識(shí)．此題難度不大，注意掌握此向量方程的解法與一元一次方程的解法一樣．
11．如圖，在中，，，垂足為點(diǎn)．設(shè)，，那么________（結(jié)果用、的式子表示）．
【答案】
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，繼而根據(jù)三角形法則即可求解．
【解析】解：∵在中，，，垂足為點(diǎn)．
∴，
∵，，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平面向量的線性運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
12．如圖，已知在中，，，．設(shè)，，試用向量、表示向量______．
【答案】
【分析】首先由，得到，由，，即可求得，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得到，；即可求得．
【解析】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及向量的意義與運(yùn)算．此題難度一般，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
13．如圖，已知梯形中，，，設(shè)，，那么向量用向量、表示為___________．
【答案】
【分析】過點(diǎn)D作交BC于點(diǎn)E，根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)及向量的三角形法則進(jìn)行求解即可．
【解析】解：如圖，過點(diǎn)D作交BC于點(diǎn)E，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
，
，
，

故答案為： ．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，向量加法的三角形法則，掌握向量加法的三角形法則是解本題的關(guān)鍵．
14．如圖，在正六邊形ABCDEF中，設(shè)，，那么向量用向量、表示為______.
【答案】
【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算的三角形法則和正六邊形的性質(zhì)即可求解
【解析】連接，取的中點(diǎn)為O，連接，
∴，，
∴，
∴，
∴
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查平面向量，正六邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形法則
15．如圖，點(diǎn)是的重心，過點(diǎn)且平行于，點(diǎn)、分別在、上，設(shè)，，那么________．（用、表示）
【答案】
【分析】先根據(jù)三角形重心的性質(zhì)（重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2∶1），求得與的數(shù)量關(guān)系，然后根據(jù)，可得與、的數(shù)量關(guān)系．
【解析】解，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心，平面向量，能夠熟練掌握重心的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
16．如圖，在梯形中，，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，，設(shè)，那么_______．（用含向量的式子表示）
【答案】
【分析】根據(jù)平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例可求出BC，根據(jù)中位線的性質(zhì)即可求出EF．
【解析】∵，AC、BD相交于點(diǎn)O，
∴
∴
∵，
∴，
∴，
∵點(diǎn)E、F分別是梯形腰AB、CD的中點(diǎn)，
∴EF是梯形的中位線，
∴，且，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形和中位線的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)是解題關(guān)鍵．
一、單選題
1． (2023·上海青浦·統(tǒng)考二模）如果一個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角都是45°，那么這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為（ ）
A．360°B．720°C．1080°D．1440°
【答案】C
【分析】多邊形的外角和是360度，即可得到外角的個(gè)數(shù)，即多邊形的邊數(shù)．根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理即可求解．
【解析】解：多邊形的邊數(shù)是：360÷45＝8．
則內(nèi)角和是：（8﹣2）×180°＝1080°．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的外角和、內(nèi)角和，熟知公式是關(guān)鍵，利用外角和解決正多邊形邊數(shù)問題是常用思路
2． (2023·上?！ど虾Ｊ袏渖街袑W(xué)校考二模）依次連接等腰梯形各邊的中點(diǎn)得到的四邊形是（ ）
A．菱形B．矩形C．正方形D．等腰梯形
【答案】A
【分析】根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)、中位線定理以及菱形的判定，可推出四邊形為菱形．
【解析】解：如圖所示，等腰梯形中，，，分別是、的中點(diǎn)，連接．
E、F分別是的中點(diǎn)，
，
同理，可得：，
又等腰梯形，
，
，
四邊形是菱形．
故選A．
【點(diǎn)睛】此題考查了等腰梯形的性質(zhì)、三角形中位線定理以及菱形的判定，熟練掌握這些性質(zhì)與定理是解此題的關(guān)鍵．
3． (2023·上海寶山·統(tǒng)考三模）下列命題中正確的是（ ）
A．對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形
B．有兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形
C．一組對(duì)邊平行的四邊形一定是梯形
D．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形一定是等腰梯形
【答案】A
【分析】根據(jù)等腰梯形的判定定理與梯形定義對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可．
【解析】解：A、對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形，
∵四邊形ABCD為梯形，
∴DC∥AB，
過C作CE∥DB交AB延長(zhǎng)線于E，
∴四邊形BECD為平行四邊形
∴∠DBA=∠E，BD=CE，
∵AC=BD，
∴AC=BD=CE，
∴∠CAB=∠E=∠DBA，
在△ADB和△BCA中，
，
∴△ADB≌△BCA（SAS），
∴AD=BC，
四邊形ABCD為等腰梯形，故本選項(xiàng)正確；
B、根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和判定可判斷：直角梯形中有兩個(gè)角相等為90度，但不是等腰梯形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、一組對(duì)邊平行的四邊形一定是梯形，錯(cuò)誤，因?yàn)檫@組對(duì)邊相等，那么就有可能是平行四邊形，當(dāng)這組對(duì)邊不相等時(shí)是梯形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等則有兩種情況，即平行四邊形或等腰梯形，所以不能說一定是等腰梯形．故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰梯形判定與梯形的識(shí)別，掌握等腰梯形判定定理與梯形的識(shí)別方法是解題關(guān)鍵．
4． (2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）下列命題中，假命題是（ ）
A．順次聯(lián)結(jié)任意四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形
B．順次聯(lián)結(jié)對(duì)角線相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形
C．順次聯(lián)結(jié)對(duì)角線互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形
D．順次聯(lián)結(jié)兩組鄰邊互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形
【答案】D
【分析】根據(jù)平行四邊形、特殊的平行四邊形的判定、中位線定理、中點(diǎn)四邊形的定義進(jìn)行判定即可．
【解析】
觀察圖形：分別為的中點(diǎn)，根據(jù)中位線定理：

A：順次聯(lián)結(jié)任意四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形,正確；
B：順次聯(lián)結(jié)對(duì)角線相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形，正確；
C：順次聯(lián)結(jié)對(duì)角線互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形，正確；
D：順次聯(lián)結(jié)兩組鄰邊互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形，錯(cuò)誤．
故答案選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查中位線定理應(yīng)用、平行四邊形、特殊的平行四邊形的判定，掌握四邊形的判定是解題關(guān)鍵．
5． (2023·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考二模）如圖，已知四邊形是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形
B．當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形
C．當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形
D．當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形
【答案】D
【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和矩形，菱形，正方形判定進(jìn)行判定.
【解析】A．四邊形是平行四邊形，當(dāng)時(shí)，它是菱形，故A選項(xiàng)正確；
B．∵四邊形是平行四邊形，
∴對(duì)角線互相平分，
∵，
∴四邊形是菱形，故B選項(xiàng)正確；
C．有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，故C選項(xiàng)正確；
D．根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形可知，當(dāng)時(shí)，它是矩形，不是正方形，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
綜上所述，符合題意是D選項(xiàng)；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查特殊平行四邊形的判定，解答本題的關(guān)鍵是：根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形；根據(jù)所給條件可以證出鄰邊相等；根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．
6． (2023·上海青浦·統(tǒng)考二模）已知非零向量和單位向量，那么下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)向量的模只有大小，沒有方向，向量既有長(zhǎng)度也有方向?qū)Ω鬟x項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．
【解析】解：A. 向量的模只有大小，沒有方向，則不成立，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
B. 單位向量與向量方向不一定相同，則，不一定成立，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
C. ，故該選項(xiàng)正確，符合題意；
D. 單位向量與向量方向不一定相同，則，不一定成立，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
故選C
【點(diǎn)睛】本題考查了向量的運(yùn)算，向量的問題一定要注意從方向與模兩方面考慮．
7． (2023·上海·一模）點(diǎn)是的重心，設(shè)，，那么關(guān)于和的分解式是（ ）
A．B．C．D．．
【答案】C
【分析】連接AG并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)D．由重心的性質(zhì)可知，D為BC中點(diǎn)，且．再根據(jù)題意可求出，即可由求出結(jié)果．
【解析】如圖，連接AG并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)D．
∵點(diǎn)G為重心，
∴點(diǎn)D為BC中點(diǎn)．
又∵，，
∴，即，
∵重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2:1，
∴，
∴．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形重心的性質(zhì)，向量的線性運(yùn)算．掌握重心的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
8． (2023·上海虹口·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，AD和BE交于點(diǎn)G，設(shè)，，那么向量用向量、表示為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角形法則求出，再根據(jù)三角形中心的性質(zhì)解決問題即可．
【解析】解：∵，，
∴，
∵AD，BE是△ABC的中線，
∴G是△ABC的重心，
∴BG＝BE，
∴＝，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量計(jì)算的三角形法則及三角形重心的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些基本知識(shí)．
9． (2023·上海寶山·統(tǒng)考一模）已知，為非零向量，如果＝﹣5，那么向量與的方向關(guān)系是（ ）
A．∥，并且和方向一致B．∥，并且和方向相反
C．和方向互相垂直D．和之間夾角的正切值為5
【答案】B
【分析】根據(jù)平行向量的性質(zhì)解決問題即可．
【解析】∵已知，為非零向量，如果＝﹣5，
∴∥，與的方向相反，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量，熟記向量的長(zhǎng)度和方向是解題關(guān)鍵．
10． (2023·上海閔行·?？家荒＃┤鐖D，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長(zhǎng)線分別交AD于點(diǎn)E、F，連結(jié)BD、DP，BD與CF相交于點(diǎn)H，給出下列結(jié)論：①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③DP2＝PH?PC；④FE：BC＝，其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】由正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，即可得出結(jié)論．
【解析】解：∵△BPC是等邊三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
在正方形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
∴BE＝2AE；故①正確；
∵PC＝CD，∠PCD＝30°，
∴∠PDC＝75°，
∴∠FDP＝15°，
∵∠DBA＝45°，
∴∠PBD＝15°，
∴∠FDP＝∠PBD，
∵∠DFP＝∠BPC＝60°，
∴△DFP∽△BPH；故②正確；
∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，
∴△DPH∽△CPD，
∴，
∴DP2＝PH?PC，故③正確；
∵∠ABE＝30°，∠A＝90°
∴AE＝AB＝BC，
∵∠DCF＝30°，
∴DF＝DC＝BC，
∴EF＝AE+DF＝﹣BC，
∴FE：BC＝（2﹣3）：3
故④正確，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握性質(zhì)和定理．
二、填空題
11． (2023·上海崇明·統(tǒng)考二模）若一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和等于外角和的兩倍，則該正多邊形的邊數(shù)是 _____．
【答案】6
【分析】設(shè)這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為n，則內(nèi)角和為（n-2）180°，再根據(jù)外角和等于360°列方程解答即可．
【解析】解：設(shè)這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為n，由題意得：
（n-2）180°=360°×2，
解得n=6．
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角和和外角和，關(guān)鍵是掌握內(nèi)角和為（n-2）180°．
12． (2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為5和12，那么這個(gè)菱形的面積為___________
【答案】30
【分析】菱形的面積是對(duì)角線乘積的一半，由此可得出結(jié)果．
【解析】解：∵菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為5和12，
∴菱形的面積：．
故答案為：30．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的面積，解題的關(guān)鍵是掌握菱形面積的求解方法有兩種：①底乘以高，②對(duì)角線積的一半．
13．（2018·上海金山·統(tǒng)考二模）如果梯形的中位線長(zhǎng)為6，一條底邊長(zhǎng)為8，那么另一條底邊長(zhǎng)等于__________.
【答案】4.
【分析】只需根據(jù)梯形的中位線定理“梯形的中位線等于兩底和的一半”，進(jìn)行計(jì)算.
【解析】解：根據(jù)梯形的中位線定理“梯形的中位線等于兩底和的一半”，則另一條底邊長(zhǎng).
故答案為4
【點(diǎn)睛】本題考查梯形中位線，用到的知識(shí)點(diǎn)為：梯形的中位線=（上底＋下底）
14． (2023·上海青浦·統(tǒng)考二模）如圖，已知平行四邊形中，是上一點(diǎn)，，聯(lián)結(jié)交于，若向量，向量，則向量________．
【答案】
【分析】先求出，再根據(jù)△AEF∽CBF，得出與的關(guān)系即可．
【解析】解：∵， ，
∴，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴△AEF∽CBF，
∴，
∵，
∴BC=AD=3AE，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了向量的計(jì)算，平行四邊形的性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握向量的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
15．（2018·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考中考模擬）在四邊形中，，分別是邊，的中點(diǎn)，若，，，，則______．
【答案】145°
【分析】連接BD，根據(jù)三角形中位線定理得到BD＝2EF＝12，EF∥BD，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，結(jié)合圖形計(jì)算即可．
【解析】解：連接BD，
∵點(diǎn)E、F分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，
∴BD＝2EF＝12，EF∥BD，
∴∠ADB＝∠AFE＝55°，
∵，，
∵， ，
∴，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝145°，
故答案為：145°．
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理的逆定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
16． (2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，在中，∠B＝70°，BC＝6，以AD為直徑的⊙O交CD于點(diǎn)E，則劣弧的長(zhǎng)為______．（結(jié)算結(jié)果保留）
【答案】
【分析】連接OE，求出∠DOE＝40°，得到，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算得到答案．
【解析】解：連接OE，如圖所示：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC＝6，∠D＝∠B＝70°，
∵OD＝OE＝，
∴∠OED＝∠D＝70°，
∴∠DOE＝40°，
∴，
的長(zhǎng)＝，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是弧長(zhǎng)計(jì)算、平行四邊形的性質(zhì)，掌握弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．
17． (2023·上海普陀·統(tǒng)考一模）如圖，小明在教學(xué)樓的樓頂測(cè)得：對(duì)面實(shí)驗(yàn)大樓的頂端的仰角為，底部的俯角為，如果教學(xué)樓的高度為米，那么兩棟教學(xué)樓的高度差為__________米．
【答案】
【分析】連接AC，由題意知四邊形ABCH是矩形，則DH=AB=m，利用Rt△ADH得到，推出，再根據(jù)Rt△ACH中，即可求出答案．
【解析】連接AC，
由題意知四邊形ABCH是矩形，則DH=AB=m，
在Rt△ADH中，∠DAH=，，
∴，
在Rt△ACH中，∠CAH=，，
∴，
故答案為：．
．
【點(diǎn)睛】此題考查銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，正確理解題中的仰角和俯角，構(gòu)建直角三角形利用銳角三角函數(shù)解決問題是解題的關(guān)鍵．
18． (2023·上海徐匯·一模）如圖，已知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，正方形的頂點(diǎn)分別在邊 上，點(diǎn)在邊上，那么的長(zhǎng)是_____．
【答案】
【分析】根據(jù)等邊三角形以及正方形的性質(zhì)，在Rt△CDG中運(yùn)用正弦的定義建立方程求解即可．
【解析】根據(jù)題可知，△ADE為等邊三角形，即：AD=DE，
根據(jù)正方形的性質(zhì)可知DE=DG，DG⊥BC，∠C=60°，
設(shè)AD=x，則DG=x，DC=AC-AD=2-x，
∴在Rt△CDG中，，
即：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)是上述分式方程的解，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形和等邊三角形的性質(zhì)，以及利用銳角三角函數(shù)解直角三角形，靈活根據(jù)題意找準(zhǔn)合適的直角三角形是解題關(guān)鍵．
19．（2018·上海閔行·統(tǒng)考二模）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=12，DC=7，cs∠ABC=，點(diǎn)E在線段AD上，將△ABE沿BE翻折，點(diǎn)A恰巧落在對(duì)角線BD上點(diǎn)P處，那么PD=_____．
【答案】12-12
【解析】解：過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，則四邊形AFCD為矩形，如圖所示．
∵AB=12，DC=7，
∴BF=5．
又∵cs∠ABC=，
∴BC=13，CF==12．
∵AD=CF=12，AB=12，
∴BD==12．
∵△ABE沿BE翻折得到△PBE，
∴BP=BA=12，
∴PD=BD﹣BP=12﹣12．
故答案為12﹣12．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換、直角梯形以及解直角三角形，通過解直角三角形求出AD、BD的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
20． (2023·上?！ど虾Ｊ羞M(jìn)才中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在 中， ，，， CD⊥AB，垂足為 D．
(1)求 BD 的長(zhǎng)；
(2)設(shè)，，用，表示．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)解直角三角形，先求出CD的長(zhǎng)度，然后求出AD，由等角的三角函數(shù)值相等，有，即可求出BD的長(zhǎng)度；
（2）由（1）可求AB的長(zhǎng)度，根據(jù)三角形法則，求出，然后求出.
（1）
解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
在Rt△ACD中，，
∴．
∴，
∴．
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠B =∠A+∠B=90°，
∴∠DCB=∠A．
∴；
（2）
解：∵，
∴，
又∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，向量的運(yùn)算，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解直角三角形求三角形的各邊長(zhǎng)度.
21． (2023·上海虹口·統(tǒng)考一模）如圖，在中，點(diǎn)是的重心，聯(lián)結(jié)，聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)，過點(diǎn)作交邊于點(diǎn)．
（1）如果，，用、表示向量；
（2）當(dāng)，，時(shí)，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由G是重心，可得， ， 因?yàn)?，可得?進(jìn)而求出；
（2）根據(jù)G是重心，求出DG=3，因?yàn)椤鰽GD是等腰直角三角形，勾股定理計(jì)算出AD=，由AD=DC，DC=3DE求出DE=，相加即可．
解：（1）∵，
∵點(diǎn)G是Rt△ABC的重心，
∴AD＝AC，
∵，，
∴，
∴
∴，
．
（2）∵G是三角形的重心，
∴BG=2GD，AD=DC，
∵BG=6，
∴GD=3，
∵，，
∴AG=GD=3，
∴，
∵，
∴，
∴DE=，
∴AE=AD+DE=
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心、平面向量、勾股定理以及平行線分線段成比例定理；熟練掌握三角形重心的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理，能夠熟練運(yùn)用向量的運(yùn)算、勾股定理解題是關(guān)鍵．
22． (2023·上海金山·統(tǒng)考二模）如圖，梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中點(diǎn)，∠CDE=90°，CD=6，tan∠DCE=．
(1)求CE的長(zhǎng)；
(2)求∠ADE的余弦．
【答案】(1)
(2)的余弦為
【分析】（1）利用正切函數(shù)求得DE=4，再利用勾股定理即可求解；
（2）取CD的中點(diǎn)F，利用梯形中位線定理得到AD//EF，∠ADE=∠DEF，在Rt△DEF中，利用勾股定理和余弦函數(shù)的定義即可求解．
（1）
解：∵∠CDE=90°，CD=6，tan∠DCE=，
∴=，即=，
∴DE=4，
由勾股定理得CE=；
（2）
解：取CD的中點(diǎn)F，連接EF，
∵E是AB的中點(diǎn)，
∴EF是梯形ABCD的中位線，
∴AD//EF，
∴∠ADE=∠DEF，
在Rt△DEF中，，，，
由勾股定理得，
∴，
∴，
即的余弦為．
【點(diǎn)睛】本題考查了梯形的中位線，解直角三角形，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．
23． (2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形ABCE中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BF⊥CE于點(diǎn)F，點(diǎn)D為BF上一點(diǎn)，且∠BAD＝∠CAE．
(1)求證：AD＝AE；
(2)設(shè)BF交AC于點(diǎn)G，若，判斷四邊形ADFE的形狀，并證明．
【答案】(1)證明見解析；
(2)四邊形ADFE是正方形，證明見解析．
【分析】（1）根據(jù)條件，結(jié)合兩個(gè)三角形全等的判定定理，得出≌，利用全等三角形的性質(zhì)即可得出；
（2）根據(jù)條件得到，進(jìn)而判定四邊形ADFE是矩形，再結(jié)合（1）中結(jié)論，即可得證．
（1）
證明：∠BAC＝90°，BF⊥CE，
，，
，
，
在和中，
≌，
；
（2）
四邊形ADFE是正方形．
證明：在中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
，
，
，即，
，
，
∠BAC＝90°，
，
，
，，
四邊形ADFE是矩形，
由（1）知，
四邊形ADFE是正方形．
【點(diǎn)睛】本題為幾何證明綜合題，涉及到三角形全等的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定和正方形的判定，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并能根據(jù)題中條件與所證結(jié)準(zhǔn)確尋找到思路是解決問題的關(guān)鍵．
相關(guān)
元素
平行四邊形
矩形
菱形
正方形
邊
對(duì)邊平行且相等
對(duì)邊平行且相等
①對(duì)邊平行
②四條邊都相等
①對(duì)邊平行
②四條邊都相等
角
對(duì)角相等
四個(gè)角都是直角
對(duì)角相等
四個(gè)角都是直角
對(duì)角線
對(duì)角線互相平分
①對(duì)角線互相平分
②對(duì)角線相等
①對(duì)角線互相平分
②對(duì)角線互相垂直
③每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角
①對(duì)角線互相平分
②對(duì)角線互相垂直．
③每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角
④對(duì)角線相等
對(duì)稱性
中心對(duì)稱
既是中心對(duì)稱
又是軸對(duì)稱
既是中心對(duì)稱
又是軸對(duì)稱
既是中心對(duì)稱
又是軸對(duì)稱

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25，2024年上海中考數(shù)學(xué)仿真模擬卷（一）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫（上海專用）：

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這是一份22，2024年上海中考數(shù)學(xué)仿真模擬卷（二）-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫（上海專用），共6頁。試卷主要包含了單選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)精講精練專題20 四邊形（2份打包，原卷版+解析版）：

這是一份中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)精講精練專題20 四邊形（2份打包，原卷版+解析版），文件包含中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)精講精練專題20四邊形原卷版doc、中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)精講精練專題20四邊形解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共51頁， 歡迎下載使用。

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