(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若?x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2時,f(x1)-f(x2)>m(),求實數(shù)m的取值范圍.
2.(2024·山東日照高三期末)已知函數(shù)f(x)=ln x+-2a(a∈R).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)有兩個極值點x1,x2,且x1∈[e,e2],求f(x1)-f(x2)的取值范圍.
3.(2024·江蘇無錫高三期中)設函數(shù)f(x)=x2-ax+(a-1)ln x,a>1.
(1)曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線與x軸平行,求實數(shù)a的值;
(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(3)證明:若a-1.
4.(2024·江西臨川高三模擬)設m為實數(shù),函數(shù)f(x)=ln x+2mx.
(1)當m=-1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若方程f(x)=(2m+1)x+n-2(n∈R)有兩個實數(shù)根x1,x2(x1e.(注:e=2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù))
課時規(guī)范練26 破解“雙變量問題”的基本策略
1.解 (1)f'(x)=a-1-lnx,所以f(x)的圖象在(1,f(1))處的切線斜率為a-1,由切線與直線x-y=0平行,可得a-1=1,即a=2,因此f(x)=2x+1-xlnx,f'(x)=1-lnx.
由f'(x)>0,可得00恒成立,可得2m在(0,+∞)上恒成立.
令h(x)=,則h'(x)=,令h'(x)=0,可得x=e2,所以h(x)在(0,e2)內(nèi)單調(diào)遞減,在(e2,+∞)上單調(diào)遞增,即有h(x)在x=e2處取得極小值,且為最小值,又h(e2)=-
可得2m≤-,解得m≤-,
則實數(shù)m的取值范圍是(-∞,-].
2.解 (1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),f'(x)=,x∈(0,+∞).
令f'(x)=0,得x2+(2-a)x+1=0.
當a≤2,x>0時,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
當a>2時,方程x2+(2-a)x+1=0的Δ=a2-4a=a(a-4),
①當20;當x∈(x1,x2)時,f'(x)4時,f(x)在()內(nèi)單調(diào)遞減,在(0,),(,+∞)上單調(diào)遞增.
(2)由(1)得,若f(x)有兩個極值點x1,x2,則a>4,且x1+x2=a-2,x1x2=1,即a=x1+x2+2,x2=,
故f(x1)-f(x2)=lnx1+-2a-(lnx2+-2a)=lnx1+-lnx2-=ln=2lnx1+-x1,x1∈[e,e2],令g(x)=2lnx+-x,x∈[e,e2],當x∈(e,e2)時,g'(x)=-1=-2,同理可得f(x)在(1,a-1)內(nèi)單調(diào)遞減,在(0,1)和(a-1,+∞)上單調(diào)遞增.
(3)證明 欲證>-1成立,即證明>0,設函數(shù)g(x)=f(x)+x=x2-ax+(a-1)lnx+x,則g'(x)=x-a++1≥2-a+1=1-(-1)2,當且僅當x=時,等號成立,由于10).令f'(x)>0,解得0

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