(1)求橢圓E的方程;
(2)證明:直線HN過定點(diǎn).
2.(2024·河北邯鄲模擬)已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)過P1(2,0),P2(0,4),P3(-2,3),P4(2,3)四個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn).
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若直線l與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn),且P1A⊥P1B,求證:直線l經(jīng)過一個(gè)不在雙曲線C上的定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
3.(2024·安徽黃山模擬)已知拋物線C:y2=2px(p>0),F為焦點(diǎn),若圓E:(x-1)2+y2=16與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=4,
(1)求拋物線C的方程;
(2)若點(diǎn)P為圓E上任意一點(diǎn),且過點(diǎn)P可以作拋物線C的兩條切線PM,PN,切點(diǎn)分別為M,N.求證:|MF|·|NF|恒為定值.
4.(2024·廣東梅州模擬)已知?jiǎng)訄AM經(jīng)過定點(diǎn)F1(-,0),且與圓F2:+y2=16內(nèi)切.
(1)求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程;
(2)設(shè)軌跡C與x軸從左到右的交點(diǎn)為點(diǎn)A,B,點(diǎn)P為軌跡C上異于點(diǎn)A,B的動(dòng)點(diǎn),設(shè)PB交直線x=4于點(diǎn)T,連接AT交軌跡C于點(diǎn)Q.直線AP,AQ的斜率分別為kAP,kAQ.
①求證:kAP·kAQ為定值;
②證明直線PQ經(jīng)過x軸上的定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
課時(shí)規(guī)范練70 定點(diǎn)與定值問題
1.(1)解 因?yàn)闄E圓E經(jīng)過A(-2,0),B(-1,)兩點(diǎn),則解得a2=4,b2=3,所以橢圓E的方程為=1.
(2)證明 因?yàn)锳(-2,0),B(-1,),所以AB:y=(x+2),
①假設(shè)過點(diǎn)P(-2,1)的直線過原點(diǎn),則y=-,代入=1,可得M(-),N(,-),當(dāng)x=-時(shí),代入AB的方程y=(x+2),可得y=(2-)=3-,即T(-,3-),由,得到H(-,-+6).求得HN的方程為y=(x+2),過點(diǎn)(-2,0).
②分析知過點(diǎn)P(-2,1)的直線斜率一定存在,設(shè)直線方程為kx-y+2k+1=0,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).
聯(lián)立消去y,整理得(4k2+3)x2+(16k2+8k)x+4(4k2+4k-2)=0,
Δ=(16k2+8k)2-16(4k2+3)(4k2+4k-2)=16(6-12k)>0,即k2),設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB).
由解得
依題意,因?yàn)镻1A⊥P1B,P1(2,0),所以|yA|=|n-2|,即=(n-2)2,所以-1=n2-4n+4,即3n2-16n+20=0,解得n=2(舍去)或n=,所以直線l的方程為x=,直線l過點(diǎn)(,0).
綜上所述,直線l經(jīng)過一個(gè)不在雙曲線C上的定點(diǎn),定點(diǎn)的坐標(biāo)為(,0).
3.(1)解 由題意可知E(1,0),半徑為r=4,
因?yàn)閳A的圓心以及拋物線的焦點(diǎn)均在x軸上,故由對(duì)稱性可知AB垂直x軸,設(shè)垂足為點(diǎn)D.
在直角三角形ADE中,|DE|==2.
因此|OD|=|OE|+|DE|=3,故A(3,2),將其代入拋物線方程中,得12=6p,即p=2,故拋物線方程為y2=4x.
(2)證明 令P(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),
設(shè)拋物線在點(diǎn)M處的切線方程為x-x1=m(y-y1),與y2=4x聯(lián)立消去x,整理得y2-4my+4my1-4x1=0,①
由Δ=16m2-4(4my1-4x1)=0,得4my1-4x1=4m2,代入①,得y1=2m,故在點(diǎn)M處的切線方程為x-x1=(y-y1),即為y1y=2x+2x1.
同理,點(diǎn)N處的切線方程為y2y=2x+2x2,而兩切線交于點(diǎn)P(x0,y0),所以有y0y1=2x0+2x1,y0y2=2x0+2x2,則直線MN的方程為2x-y0y+2x0=0.
由消去x,整理得y2-2y0y+4x0=0,所以y1+y2=2y0,y1y2=4x0.
于是|MF|·|NF|=(x1+1)(x2+1)=+1=-2×4x0]+1=
又點(diǎn)P(x0,y0)在圓E:(x-1)2+y2=16上,所以=16,即|MF|·|NF|=16.
4.(1)解 設(shè)動(dòng)圓的半徑為r,由題意得圓F2的圓心為F2(,0),半徑R=4,所以|MF1|=r,|MF2|=R-r,則|MF1|+|MF2|=4>2=|F1F2|.所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C是以F1,F2為焦點(diǎn),長軸長為4的橢圓.因此軌跡C的方程為+y2=1.
(2)證明 ①設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),T(4,m).
由(1)知A(-2,0),B(2,0),如圖所示.
則kAP=,kAQ=kAT=設(shè)直線BP的斜率是kBP,則kBP=,于是m=,所以kAP·kAQ=又=1,則(4-),因此kAP·kAQ==-,為定值.
②設(shè)直線PQ的方程為x=ty+n,P(x1,y1),Q(x2,y2).
由消去x,整理得(t2+4)y2+2tny+n2-4=0,Δ=4t2n2-4(t2+4)(n2-4)=16(t2-n2+4)>0,即t2-n2+4>0,所以
由①可知,kAP·kAQ=-,即=-,化簡得=-,即n2+n-2=0,解得n=1或n=-2(舍去),
當(dāng)n=1時(shí)符合題意,所以直線PQ的方程為x=ty+1,因此直線PQ經(jīng)過定點(diǎn)(1,0).

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