(1)記bn=a2n,寫出b1,b2,并求數(shù)列{bn}的通項公式;
(2)求{an}的前20項和.
2.(2024·福建師大附中模擬)市民小張計劃貸款60萬元用于購買一套商品住房,銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式:
①等額本金:每月的還款額呈遞減趨勢,且從第二個還款月開始,每月還款額與上月還款額的差均相同;
②等額本息:每月的還款額均相同.
銀行規(guī)定,在貸款到賬日的次月當天開始首次還款(如2023年7月7日貸款到賬,則2023年8月7日首次還款).已知該筆貸款年限為20年,月利率為0.4%.
(1)若小張采取等額本金的還款方式,已知第一個還款月應還4 900元,最后一個還款月應還2 510元,試計算該筆貸款的總利息.
(2)若小張采取等額本息的還款方式,銀行規(guī)定,每月還款額不得超過家庭平均月收入的一半.已知小張家庭平均月收入為1萬元,判斷小張申請該筆貸款是否能夠獲批(不考慮其他因素).
(3)對比兩種還款方式,從經濟利益的角度考慮,小張應選擇哪種還款方式.
參考數(shù)據(jù):1.004240≈2.61.
3.(2021·全國乙,文19)設{an}是首項為1的等比數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足bn=.已知a1,3a2,9a3成等差數(shù)列.
(1)求{an}和{bn}的通項公式;
(2)記Sn和Tn分別為{an}和{bn}的前n項和.證明:Tn0,a1,3=5,a2,2=-6,=a7,5.
a1,1 a1,2 a1,3 … a1,n …
a2,1 a2,2 a2,3 … a2,n …
a3,1 a3,2 a3,3 … a3,n …
a4,1 a4,2 a4,3 … a4,n …
…… …………
(1)設bn=an,n,求數(shù)列{bn}的通項公式.
(2)設Sn=a1,1+a2,1+…+an,1,是否存在實數(shù)λ,使an,1≤λSn恒成立?若存在,求出λ的所有值;若不存在,請說明理由.
6.(2024·遼寧鞍山模擬)已知數(shù)列{an}(n∈N*)的前n項和為Sn,若Sn+1+Sn=3n2+6n+3,a1=2.
(1)記bn=an+an+1,判斷{bn}是否為等差數(shù)列,若是,給出證明;若不是,請說明理由.
(2)記cn=(-1)n+1anan+1,{cn}的前n項和為Tn,求Tn.
課時規(guī)范練43 數(shù)列中的綜合問題
1.解 (1)(方法一)顯然2n為偶數(shù),則a2n+1=a2n+2,a2n+2=a2n+1+1,
所以a2n+2=a2n+3,即bn+1=bn+3,且b1=a2=a1+1=2,
所以{bn}是以2為首項,3為公差的等差數(shù)列,于是b1=2,b2=5,bn=3n-1.
(方法二 奇偶分類討論)由題意知a1=1,a2=2,a3=4,
所以b1=a2=2,b2=a4=a3+1=5.
由an+1-an=1(n為奇數(shù))及an+1-an=2(n為偶數(shù))可知,數(shù)列從第一項起,
若n為奇數(shù),則其后一項減去前一項的差為1,
若n為偶數(shù),則其后一項減去前一項的差為2.
所以an+2-an=3(n∈N*),則bn=b1+(n-1)×3=3n-1.
(方法三 累加法)由題意知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=an+(n∈N*).
所以b1=a2=a1+=1+1=2,
b2=a4=a3+=a3+1=a2++1=a2+2+1=2+3=5,
則bn=a2n=(a2n-a2n-1)+(a2n-1-a2n-2)+…+(a2-a1)+a1=1+2+1+2+…+2+1+a1=n×1+2(n-1)+1=3n-1.
所以b1=2,b2=5,數(shù)列{bn}的通項公式bn=3n-1.
(2)(方法一 奇偶分類討論)S20=a1+a2+a3+…+a20=(a1+a3+a5+…+a19)+(a2+a4+a6+…+a20)=(b1-1+b2-1+b3-1+…+b10-1)+b1+b2+b3+…+b10=2-10=300.
(方法二 分組求和)由題意知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2n=a2n-1+1,a2n+1=a2n+2,
所以a2n+1=a2n+2=a2n-1+3.
所以數(shù)列{an}的奇數(shù)項是以1為首項,3為公差的等差數(shù)列;
同理,由a2n+2=a2n+1+1=a2n+3知數(shù)列{an}的偶數(shù)項是以2為首項,3為公差的等差數(shù)列.
從而數(shù)列{an}的前20項和為S20=(a1+a3+a5+…+a19)+(a2+a4+a6+…+a20)=10×1+3+10×2+3=300.
2.解 (1)由題意可知,等額本金還款方式中,每月的還款額構成等差數(shù)列,記為{an},用Sn表示數(shù)列{an}的前n項和,則a1=4900,a240=2510,則S240==889200,故小張的該筆貸款的總利息為889200-600000=289200(元).
(2)設小張每月還款額為x元,采取等額本息的還款方式,則x+x(1+0.004)+x(1+0.004)2+…+x(1+0.004)239=600000×(1+0.004)240,
所以x()=600000×1.004240,
即x=
3891,
因為3891289200,所以從經濟利益的角度來考慮,小張應選擇等額本金的還款方式.
3.(1)解 設{an}的公比為q,則an=qn-1.
因為a1,3a2,9a3成等差數(shù)列,
所以1+9q2=2×3q,解得q=,
故an=
由bn=,得bn==n
(2)證明 由(1)可知Sn=(1-).
又bn=,則Tn=+…+,①
兩邊同乘,得Tn=+…+,②
①-②,得Tn=+…+,即Tn=,
整理得Tn=,則2Tn-Sn=2()-=-

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