函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直是高考中的熱點(diǎn)與難點(diǎn), 近幾年高考試卷及各地模擬試卷中常出現(xiàn)在函數(shù)背景下借組導(dǎo)數(shù)處理含有兩個(gè)變量的等式與不等式問(wèn)題,這類問(wèn)題由于變量多,不少同學(xué)不知如何下手,其實(shí)如能以函數(shù)思想為指導(dǎo),把雙變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)或兩個(gè)一元函數(shù)問(wèn)題,再利用導(dǎo)數(shù)就可有效地加以解決.
(一) 與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的雙變量問(wèn)題
此類問(wèn)題一般是給出含有的不等式,若能通過(guò)變形,把不等式兩邊轉(zhuǎn)化為同源函數(shù),可利用函數(shù)單調(diào)性定義構(gòu)造單調(diào)函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)求解.
常見結(jié)論：
(1)若對(duì)任意,當(dāng)時(shí)恒有,則在D上單調(diào)遞增；
(2)若對(duì)任意,當(dāng)時(shí)恒有,則在D上單調(diào)遞增；
(3)若對(duì)任意,當(dāng)時(shí)恒有,則在D上單調(diào)遞增；
(4)若對(duì)任意,當(dāng)時(shí)恒有,則在D上單調(diào)遞增.
【例1】（2024屆四川省仁壽第一中學(xué)校高三上學(xué)期調(diào)研）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)存在且，使成立，求的取值范圍．
【解析】（1）由題意得，令得，
時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
綜上，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）由題意存在且，不妨設(shè)，
由（1）知時(shí)，單調(diào)遞減．
等價(jià)于，
即，
即存在且，使成立．
令，則在上存在減區(qū)間．
即在上有解集，即在上有解，
即，；令，，，
時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
時(shí)，，在單調(diào)遞減，
∴，∴．
(二) 與極值點(diǎn)有關(guān)的雙變量問(wèn)題
與極值點(diǎn)有關(guān)的雙變量問(wèn)題,一般是根據(jù)是方程的兩個(gè)根,確定的關(guān)系,再通過(guò)消元轉(zhuǎn)化為只含有或的關(guān)系式,再構(gòu)造函數(shù)解題,有時(shí)也可以把所給條件轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，此外若題中含有參數(shù)也可考慮把所給式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的表達(dá)式.
【例2】（2024屆黑龍江省雙鴨山市高三下學(xué)期第五次模擬）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
(2)若是的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋?br>所以，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2），
由題意可知，是方程的兩根，
則，解得，所以，，
要證
，
即證，
只需證，
需證
令，則需證，
設(shè)，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，因此
由得，，所以，故得證,
【例3】（2023屆云南省曲靖市高三下學(xué)期第二次聯(lián)考）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)椋?br>，
令解得或，且當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
綜上在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減.
（2）由已知，可得，
函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，即在上有兩個(gè)不等實(shí)根，
令，只需，故，又，，
所以
，
要證，即證，只需證，
令，，則，
令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞減，
又，，
由零點(diǎn)存在性定理得，使得，即，
所以時(shí)，，單調(diào)遞增，
時(shí)，，單調(diào)遞減，
則，
又由對(duì)勾函數(shù)知在上單調(diào)遞增，
所以，所以，即得證.
(三) 與零點(diǎn)有關(guān)的雙變量問(wèn)題
與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的雙變量問(wèn)題,一般是根據(jù)是方程的兩個(gè)根,確定的關(guān)系,再通過(guò)消元轉(zhuǎn)化為只含有或的關(guān)系式,再構(gòu)造函數(shù)解題,有時(shí)也可以把所給條件轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù),有時(shí)也可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù),若函數(shù)中含有參數(shù),可考慮把參數(shù)消去,或轉(zhuǎn)化為以參數(shù)為自變量的函數(shù).
【例4】（2024屆四川省南充高中高三下學(xué)期月考）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性，并求的極值；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)（），證明：.
【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋深}意，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增，無(wú)極值.
當(dāng)時(shí)，令，得
∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在時(shí)取極大值，極大值為無(wú)極小值.
（2）由題意，令，且，則有，
兩式相減可得，，要證.即證，
令，，
設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞減，所以，即有 .
，兩式子相加得，，則要證，
即證，由上式只需證，
即證，
令，，
設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，即有.綜上：.
(四) 獨(dú)立雙變量,各自構(gòu)造一元函數(shù)
此類問(wèn)題一般是給出兩個(gè)獨(dú)立變量,通過(guò)變形,構(gòu)造兩個(gè)函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解.
【例5】（2024屆陜西省寶雞實(shí)驗(yàn)高中高三一模）已知函數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求整數(shù)的值，使得函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)；
(2)若存在使得，試求的取值范圍.
【解析】（1），，
當(dāng)時(shí)，，，故是上的增函數(shù)，
同理是上的減函數(shù)，
，且時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)在內(nèi)，滿足條件．
同理，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)在內(nèi)，滿足條件，綜上．
（2）問(wèn)題當(dāng)時(shí)，，
，
①當(dāng)時(shí)，由，可知；
②當(dāng)時(shí)，由，可知；
③當(dāng)時(shí)，，在上遞減，上遞增，
時(shí)，，
而，設(shè)
（僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），在上單調(diào)遞增，而，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，
即，
構(gòu)造，易知，在遞增，
，即的取值范圍是．
(五) 構(gòu)造一元函數(shù)求解雙變量問(wèn)題
當(dāng)兩個(gè)以上的變?cè)蚴莾蓚€(gè)量的確定關(guān)系在解題過(guò)程中反復(fù)出現(xiàn).通過(guò)變量的四則運(yùn)算后,把整體處理為一個(gè)變量,從而達(dá)到消元的目的.
【例6】（2024屆山東省菏澤市高考沖刺押題卷）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若，證明:．
【解析】（1），
令，所以，
由可得，由可得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以.
又因?yàn)?，所以，即，且至多在一個(gè)點(diǎn)處取到.
所以在上單調(diào)遞減，
故的單調(diào)遞減區(qū)間為，沒(méi)有單調(diào)遞增區(qū)間.
（2）證明，
只需證：，
即證：，
令，所以，
只需證：，即證：，
由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，，即，
所以.
(六) 獨(dú)立雙變量,把其中一個(gè)變量看作常數(shù)
若問(wèn)題中兩個(gè)變量沒(méi)有明確的數(shù)量等式關(guān)系,有時(shí)可以把其中一個(gè)當(dāng)常數(shù),另外一個(gè)當(dāng)自變量
【例7】已知函數(shù)，
(1)若函數(shù)在處的切線也是函數(shù)圖像的一條切線，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)若函數(shù)的圖像恒在直線的下方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)若，且，證明：>
【解析】 (1)，在處切線斜率，，所以切線，
又，設(shè)與相切時(shí)的切點(diǎn)為，則斜率，
則切線的方程又可表示為，
由，解之得．
(2)由題可得對(duì)于恒成立，即對(duì)于恒成立，
令，則，由得，
則當(dāng)時(shí)，，由，得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．
(3)由題知，
由得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
因?yàn)?，所以，即?br>所以，①同理，②
①+②得，
因?yàn)椋傻?，即?br>所以，即，所以．
(七) 雙變量,通過(guò)放縮消元轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題
此類問(wèn)題一般是把其中一個(gè)變量的式子放縮成常數(shù),從而把雙變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題
【例8】（2024屆河北省衡水市高三下學(xué)期聯(lián)合測(cè)評(píng)）過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，切點(diǎn)為.
(1)證明：；
(2)設(shè)線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，證明：.
【解析】（1）證明：設(shè)切點(diǎn)，，所以，
即關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
設(shè)，則，.
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，
所以在處取值得最小值，即.
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
若滿足方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則，
于是，即，得,
設(shè)，，得，
在上，，則單調(diào)遞減，在上，，則單調(diào)遞增，
所以，在處取得最小值，即，所以.
（2）證明：設(shè)，
則，即，
在點(diǎn)處的切線方程都過(guò)，
于是，由，得，
由，得
兩式相減整理得：，
，
不妨設(shè)，所以，則，
，所以在上單調(diào)遞減，于是，
于是，即.
【例1】（2024屆陜西省西安市一中高三考前模擬）已知函數(shù).
(1)若，求的極值；
(2)若，不相等的實(shí)數(shù)滿足，求證：.
【解析】（1）依題意，，則，令，解得，
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故函數(shù)的極小值為，無(wú)極大值；
（2）令，則，
令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，又，所以，
所以在上單調(diào)遞增，
，即，
因?yàn)?，所以，要證，即證，只需證，
即，即，
令函數(shù)，
則，令，則，
所以為上的增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以對(duì)任意，都有，從而原命題得證.
【例2】（2024屆河北省衡水市部分示范性高中高三下學(xué)期三模）已知．
(1)求的單調(diào)區(qū)間和最值；
(2)定理：若函數(shù)在上可導(dǎo)，在上連續(xù)，則存在，使得．該定理稱為“拉格朗日中值定理”，請(qǐng)利用該定理解決下面問(wèn)題：
若，求證：．
【解析】（1），令，解得，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．
當(dāng)時(shí)，取得最小值1，無(wú)最大值；
（2）要證，只需證，因?yàn)椋?br>故只需證． 令，顯然在上可導(dǎo)，在上連續(xù)，
故由拉格朗日中值定理知存在，使得，
而在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，故，即?
故只需證即可，因?yàn)?，故只需證．
由（1）知恒成立，因此原命題得證．
【例3】（2024屆天津市部分區(qū)高三二模）已知，函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，若恒成立，求證：存在，使得；
(3)設(shè)，若存在，使得，證明：．
【解析】（1）由函數(shù)，可得其定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，可得，則，
當(dāng)時(shí)，可得，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，可得，單調(diào)遞增，
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）當(dāng)時(shí)，可得，則，
恒成立，即恒成立，令，
若，則，存在，使得，
即，不符合題意，，
取，則，可得，即存在，使得．
（3）由函數(shù)，可得，
設(shè)，由，可得，
則，
又由，可得，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，
，即，，
設(shè)，可得，
當(dāng)時(shí)，，即，，
即，，
代入可得：，
則，．
【例4】（2024屆四川省百師聯(lián)盟高三聯(lián)考三）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)設(shè)函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，.證明：.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，
，，
則切線方程為，化簡(jiǎn)得.
（2）證明：由題，
函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，即在上有兩個(gè)不等實(shí)根，
令，只需故，故.
又，，
所以
.
若證，
即證，即.
令，，
，則在上遞增，且有，
當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減；
當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增；
所以，.
即得證.
【例5】（2024陜西省西安八校高三下學(xué)期聯(lián)考）已知函數(shù)的圖象在處的切線過(guò)原點(diǎn)．
(1)求的值；
(2)設(shè)，若對(duì)總，使成立，求整數(shù)的最大值．
【解析】（1）易知的定義域?yàn)椋?br>又，
的圖象在處的切線方程為，
將代入，得；
（2）．
當(dāng)時(shí)，取得最小值，．由（1）知，．
，得的定義域?yàn)椋?br>則，易知單調(diào)遞增，
又．
即在上有唯一解，故．
于是當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增．
在處取得極小值也是最小值．
則，
對(duì)總，使成立，
只需，得．故整數(shù)的最大值為．
1．（2024屆廣東省汕頭市第二次模擬）設(shè)是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：①方程有實(shí)根；②在定義域區(qū)間上可導(dǎo)，且滿足.
(1)判斷，是否是集合中的元素，并說(shuō)明理由；
(2)設(shè)函數(shù)為集合中的任意一個(gè)元素，證明：對(duì)其定義域區(qū)間中的任意、，都有.
2．（2024屆山東省濱州市高三下學(xué)期二模）定義：函數(shù)滿足對(duì)于任意不同的，都有，則稱為上的“類函數(shù)”．
(1)若，判斷是否為上的“2類函數(shù)”；
(2)若為上的“3類函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)若為上的“2類函數(shù)”，且，證明：，，．
3．（2024屆遼寧省沈陽(yáng)市第一二〇中學(xué)高三最后一卷）設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為．
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若不等式恒成立，求正數(shù)的取值范圍（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
4．（2024屆湖南省高三“一起考”大聯(lián)考下學(xué)期模擬）已知函數(shù)，，函數(shù)，有兩條不同的公切線（與，均相切的直線），.
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)記，在軸上的截距分別為，，證明：.
5．（2024屆天津市民族中學(xué)高三下學(xué)期4月模擬）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，試求函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、；
（?。┣骯的取值范圍；
（ⅱ）不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
6．（2024屆陜西省部分學(xué)校（菁師聯(lián)盟）高三下學(xué)期5月份高考適應(yīng)性考試）已知函數(shù).
(1)求曲線在處的切線方程；
(2)若，且.求證：.
7．（2024屆廣東省廣州市二模）已知函數(shù)．
(1)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，記為的極大值點(diǎn)，為的零點(diǎn)，證明：．
8．（2024屆重慶市名校聯(lián)盟高三下學(xué)期全真模擬）T性質(zhì)是一類重要的函數(shù)性質(zhì)，具有T性質(zhì)的函數(shù)被稱為T函數(shù)，它可以從不同角度定義與研究.人們探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)膱D像是一條連續(xù)不斷的曲線時(shí)，下列兩個(gè)關(guān)于T函數(shù)的定義是等價(jià)關(guān)系．
定義一：若為區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，且為區(qū)間上的增函數(shù)，則稱為區(qū)間上的T函數(shù)．
定義二：若對(duì)，，都有恒成立，則稱為區(qū)間上的T函數(shù)．請(qǐng)根據(jù)上述材料，解決下列問(wèn)題：
(1)已知函數(shù)．
①判斷是否為上的T函數(shù)，并說(shuō)明理由；
②若且，求的最小值
(2)設(shè)，當(dāng)時(shí)，證明：．
9．（2024屆河南省九師聯(lián)盟高三下學(xué)期5月聯(lián)考）已知函數(shù)．
(1)若對(duì)恒成立，求的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，，且，求的取值范圍，并證明：．
10．（2024屆湖北省宜荊荊隨恩高三5月聯(lián)考）設(shè)函數(shù)，
(1)討論的單調(diào)性．
(2)若函數(shù)存在極值，對(duì)任意的，存在正實(shí)數(shù)，使得
（?。┳C明不等式．
（ⅱ）判斷并證明與的大?。?br>11．（2024屆江西省上饒市六校高三5月第二次聯(lián)合考試）已知函數(shù)．
(1)若，求的極值；
(2)若，求的最大值．
12．（2024屆山西省臨汾市高三下學(xué)期考前適應(yīng)性訓(xùn)練）已知函數(shù)．
(1)求在處的切線方程；
(2)若曲線與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍；
(3)若曲線在處的切線與曲線交于另外一點(diǎn)，求證：．
13．（2024屆江蘇省揚(yáng)州市儀征市四校高三下學(xué)期4月聯(lián)合學(xué)情檢測(cè)）已知函數(shù)．
(1)若恒成立，求的取值范圍；
(2)若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明．
14．（2024屆河北省保定市高三下學(xué)期第二次模擬）已知函數(shù)為其導(dǎo)函數(shù)．
(1)若恒成立，求的取值范圍；
(2)若存在兩個(gè)不同的正數(shù)，使得，證明：．
15．（2024屆云南省高中畢業(yè)生第二次復(fù)習(xí)統(tǒng)一檢測(cè)）已知常數(shù)，函數(shù).
(1)若，求的取值范圍;
(2)若、是的零點(diǎn)，且，證明:.遞增
極大值
遞減
+
0
↗
極大值
↘
專題7 函數(shù)中的雙變量問(wèn)題
函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直是高考中的熱點(diǎn)與難點(diǎn), 近幾年高考試卷及各地模擬試卷中常出現(xiàn)在函數(shù)背景下借組導(dǎo)數(shù)處理含有兩個(gè)變量的等式與不等式問(wèn)題,這類問(wèn)題由于變量多,不少同學(xué)不知如何下手,其實(shí)如能以函數(shù)思想為指導(dǎo),把雙變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)或兩個(gè)一元函數(shù)問(wèn)題,再利用導(dǎo)數(shù)就可有效地加以解決.
(一) 與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的雙變量問(wèn)題
此類問(wèn)題一般是給出含有的不等式,若能通過(guò)變形,把不等式兩邊轉(zhuǎn)化為同源函數(shù),可利用函數(shù)單調(diào)性定義構(gòu)造單調(diào)函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)求解.
常見結(jié)論：
(1)若對(duì)任意,當(dāng)時(shí)恒有,則在D上單調(diào)遞增；
(2)若對(duì)任意,當(dāng)時(shí)恒有,則在D上單調(diào)遞增；
(3)若對(duì)任意,當(dāng)時(shí)恒有,則在D上單調(diào)遞增；
(4)若對(duì)任意,當(dāng)時(shí)恒有,則在D上單調(diào)遞增.
【例1】（2024屆四川省仁壽第一中學(xué)校高三上學(xué)期調(diào)研）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)存在且，使成立，求的取值范圍．
【解析】（1）由題意得，令得，
時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
綜上，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）由題意存在且，不妨設(shè)，
由（1）知時(shí)，單調(diào)遞減．
等價(jià)于，
即，
即存在且，使成立．
令，則在上存在減區(qū)間．
即在上有解集，即在上有解，
即，；令，，，
時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
時(shí)，，在單調(diào)遞減，
∴，∴．
(二) 與極值點(diǎn)有關(guān)的雙變量問(wèn)題
與極值點(diǎn)有關(guān)的雙變量問(wèn)題,一般是根據(jù)是方程的兩個(gè)根,確定的關(guān)系,再通過(guò)消元轉(zhuǎn)化為只含有或的關(guān)系式,再構(gòu)造函數(shù)解題,有時(shí)也可以把所給條件轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，此外若題中含有參數(shù)也可考慮把所給式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的表達(dá)式.
【例2】（2024屆黑龍江省雙鴨山市高三下學(xué)期第五次模擬）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
(2)若是的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋?br>所以，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2），
由題意可知，是方程的兩根，
則，解得，所以，，
要證
，
即證，
只需證，
需證
令，則需證，
設(shè)，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，因此
由得，，所以，故得證,
【例3】（2023屆云南省曲靖市高三下學(xué)期第二次聯(lián)考）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)椋?br>，
令解得或，且當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
綜上在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減.
（2）由已知，可得，
函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，即在上有兩個(gè)不等實(shí)根，
令，只需，故，又，，
所以
，
要證，即證，只需證，
令，，則，
令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞減，
又，，
由零點(diǎn)存在性定理得，使得，即，
所以時(shí)，，單調(diào)遞增，
時(shí)，，單調(diào)遞減，
則，
又由對(duì)勾函數(shù)知在上單調(diào)遞增，
所以，所以，即得證.
(三) 與零點(diǎn)有關(guān)的雙變量問(wèn)題
與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的雙變量問(wèn)題,一般是根據(jù)是方程的兩個(gè)根,確定的關(guān)系,再通過(guò)消元轉(zhuǎn)化為只含有或的關(guān)系式,再構(gòu)造函數(shù)解題,有時(shí)也可以把所給條件轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù),有時(shí)也可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù),若函數(shù)中含有參數(shù),可考慮把參數(shù)消去,或轉(zhuǎn)化為以參數(shù)為自變量的函數(shù).
【例4】（2024屆四川省南充高中高三下學(xué)期月考）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性，并求的極值；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)（），證明：.
【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，由題意，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增，無(wú)極值.
當(dāng)時(shí)，令，得
∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在時(shí)取極大值，極大值為無(wú)極小值.
（2）由題意，令，且，則有，
兩式相減可得，，要證.即證，
令，，
設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞減，所以，即有 .
，兩式子相加得，，則要證，
即證，由上式只需證，
即證，
令，，
設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞增，所以，即有.綜上：.
(四) 獨(dú)立雙變量,各自構(gòu)造一元函數(shù)
此類問(wèn)題一般是給出兩個(gè)獨(dú)立變量,通過(guò)變形,構(gòu)造兩個(gè)函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解.
【例5】（2024屆陜西省寶雞實(shí)驗(yàn)高中高三一模）已知函數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求整數(shù)的值，使得函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)；
(2)若存在使得，試求的取值范圍.
【解析】（1），，
當(dāng)時(shí)，，，故是上的增函數(shù)，
同理是上的減函數(shù)，
，且時(shí)，，
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)在內(nèi)，滿足條件．
同理，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)在內(nèi)，滿足條件，綜上．
（2）問(wèn)題當(dāng)時(shí)，，
，
①當(dāng)時(shí)，由，可知；
②當(dāng)時(shí)，由，可知；
③當(dāng)時(shí)，，在上遞減，上遞增，
時(shí)，，
而，設(shè)
（僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），在上單調(diào)遞增，而，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，
即，
構(gòu)造，易知，在遞增，
，即的取值范圍是．
(五) 構(gòu)造一元函數(shù)求解雙變量問(wèn)題
當(dāng)兩個(gè)以上的變?cè)蚴莾蓚€(gè)量的確定關(guān)系在解題過(guò)程中反復(fù)出現(xiàn).通過(guò)變量的四則運(yùn)算后,把整體處理為一個(gè)變量,從而達(dá)到消元的目的.
【例6】（2024屆山東省菏澤市高考沖刺押題卷）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若，證明:．
【解析】（1），
令，所以，
由可得，由可得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以.
又因?yàn)?，所以，即，且至多在一個(gè)點(diǎn)處取到.
所以在上單調(diào)遞減，
故的單調(diào)遞減區(qū)間為，沒(méi)有單調(diào)遞增區(qū)間.
（2）證明，
只需證：，
即證：，
令，所以，
只需證：，即證：，
由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，，即，
所以.
(六) 獨(dú)立雙變量,把其中一個(gè)變量看作常數(shù)
若問(wèn)題中兩個(gè)變量沒(méi)有明確的數(shù)量等式關(guān)系,有時(shí)可以把其中一個(gè)當(dāng)常數(shù),另外一個(gè)當(dāng)自變量
【例7】已知函數(shù)，
(1)若函數(shù)在處的切線也是函數(shù)圖像的一條切線，求實(shí)數(shù)a的值；
(2)若函數(shù)的圖像恒在直線的下方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)若，且，證明：>
【解析】 (1)，在處切線斜率，，所以切線，
又，設(shè)與相切時(shí)的切點(diǎn)為，則斜率，
則切線的方程又可表示為，
由，解之得．
(2)由題可得對(duì)于恒成立，即對(duì)于恒成立，
令，則，由得，
則當(dāng)時(shí)，，由，得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．
(3)由題知，
由得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
因?yàn)?，所以，即?br>所以，①同理，②
①+②得，
因?yàn)椋傻?，即?br>所以，即，所以．
(七) 雙變量,通過(guò)放縮消元轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題
此類問(wèn)題一般是把其中一個(gè)變量的式子放縮成常數(shù),從而把雙變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題
【例8】（2024屆河北省衡水市高三下學(xué)期聯(lián)合測(cè)評(píng)）過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，切點(diǎn)為.
(1)證明：；
(2)設(shè)線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，證明：.
【解析】（1）證明：設(shè)切點(diǎn)，，所以，
即關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
設(shè)，則，.
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，
所以在處取值得最小值，即.
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
若滿足方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則，
于是，即，得,
設(shè)，，得，
在上，，則單調(diào)遞減，在上，，則單調(diào)遞增，
所以，在處取得最小值，即，所以.
（2）證明：設(shè)，
則，即，
在點(diǎn)處的切線方程都過(guò)，
于是，由，得，
由，得
兩式相減整理得：，
，
不妨設(shè)，所以，則，
，所以在上單調(diào)遞減，于是，
于是，即.
【例1】（2024屆陜西省西安市一中高三考前模擬）已知函數(shù).
(1)若，求的極值；
(2)若，不相等的實(shí)數(shù)滿足，求證：.
【解析】（1）依題意，，則，令，解得，
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故函數(shù)的極小值為，無(wú)極大值；
（2）令，則，
令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，又，所以，
所以在上單調(diào)遞增，
，即，
因?yàn)?，所以，要證，即證，只需證，
即，即，
令函數(shù)，
則，令，則，
所以為上的增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以對(duì)任意，都有，從而原命題得證.
【例2】（2024屆河北省衡水市部分示范性高中高三下學(xué)期三模）已知．
(1)求的單調(diào)區(qū)間和最值；
(2)定理：若函數(shù)在上可導(dǎo)，在上連續(xù)，則存在，使得．該定理稱為“拉格朗日中值定理”，請(qǐng)利用該定理解決下面問(wèn)題：
若，求證：．
【解析】（1），令，解得，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．
當(dāng)時(shí)，取得最小值1，無(wú)最大值；
（2）要證，只需證，因?yàn)椋?br>故只需證． 令，顯然在上可導(dǎo)，在上連續(xù)，
故由拉格朗日中值定理知存在，使得，
而在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，故，即?
故只需證即可，因?yàn)椋手恍枳C．
由（1）知恒成立，因此原命題得證．
【例3】（2024屆天津市部分區(qū)高三二模）已知，函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，若恒成立，求證：存在，使得；
(3)設(shè)，若存在，使得，證明：．
【解析】（1）由函數(shù)，可得其定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，可得，則，
當(dāng)時(shí)，可得，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，可得，單調(diào)遞增，
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）當(dāng)時(shí)，可得，則，
恒成立，即恒成立，令，
若，則，存在，使得，
即，不符合題意，，
取，則，可得，即存在，使得．
（3）由函數(shù)，可得，
設(shè)，由，可得，
則，
又由，可得，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，
，即，，
設(shè)，可得，
當(dāng)時(shí)，，即，，
即，，
代入可得：，
則，．
【例4】（2024屆四川省百師聯(lián)盟高三聯(lián)考三）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)設(shè)函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，.證明：.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，
，，
則切線方程為，化簡(jiǎn)得.
（2）證明：由題，
函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，即在上有兩個(gè)不等實(shí)根，
令，只需故，故.
又，，
所以
.
若證，
即證，即.
令，，
，則在上遞增，且有，
當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減；
當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增；
所以，.
即得證.
【例5】（2024陜西省西安八校高三下學(xué)期聯(lián)考）已知函數(shù)的圖象在處的切線過(guò)原點(diǎn)．
(1)求的值；
(2)設(shè)，若對(duì)總，使成立，求整數(shù)的最大值．
【解析】（1）易知的定義域?yàn)椋?br>又，
的圖象在處的切線方程為，
將代入，得；
（2）．
當(dāng)時(shí)，取得最小值，．由（1）知，．
，得的定義域?yàn)椋?br>則，易知單調(diào)遞增，
又．
即在上有唯一解，故．
于是當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增．
在處取得極小值也是最小值．
則，
對(duì)總，使成立，
只需，得．故整數(shù)的最大值為．
1．（2024屆廣東省汕頭市第二次模擬）設(shè)是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：①方程有實(shí)根；②在定義域區(qū)間上可導(dǎo)，且滿足.
(1)判斷，是否是集合中的元素，并說(shuō)明理由；
(2)設(shè)函數(shù)為集合中的任意一個(gè)元素，證明：對(duì)其定義域區(qū)間中的任意、，都有.
【解析】（1）
當(dāng)時(shí)，，滿足條件②；
令，
則，
在上存在零點(diǎn)，即方程有實(shí)數(shù)根，滿足條件①，
綜上可知，
（2）不妨設(shè)在D上單調(diào)遞增，
，即①
令 則，在D上單調(diào)遞減，
，即，②
由①②得：
2．（2024屆山東省濱州市高三下學(xué)期二模）定義：函數(shù)滿足對(duì)于任意不同的，都有，則稱為上的“類函數(shù)”．
(1)若，判斷是否為上的“2類函數(shù)”；
(2)若為上的“3類函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)若為上的“2類函數(shù)”，且，證明：，，．
【解析】（1）對(duì)于任意不同的，不妨設(shè)，即，
則，
所以為上的“2類函數(shù)”.
（2）因?yàn)闉樯系摹?類函數(shù)”，對(duì)于任意不同的，不妨設(shè)，
則恒成立，
可得，
即，均恒成立，
構(gòu)建，，則，
由可知在內(nèi)單調(diào)遞增，
可知在內(nèi)恒成立，即在內(nèi)恒成立；
同理可得：內(nèi)恒成立；
即在內(nèi)恒成立，
又因?yàn)?，即?br>整理得，可得，
即在內(nèi)恒成立，令，
因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，則在內(nèi)單調(diào)遞增，
當(dāng)，；當(dāng)，；可知，
可得在內(nèi)恒成立，
構(gòu)建，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，
構(gòu)建，則在內(nèi)恒成立，
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，則；
可得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
（3）（i）當(dāng)，可得，符合題意；
（ⅱ）當(dāng)，因?yàn)闉樯系摹?類函數(shù)”，不妨設(shè)，
①若，則；
②若，則
；
綜上所述：，，.
3．（2024屆遼寧省沈陽(yáng)市第一二〇中學(xué)高三最后一卷）設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為．
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若不等式恒成立，求正數(shù)的取值范圍（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
【解析】（1）由題，定義域?yàn)椋畡t，
由題可得有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，
于是有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
等價(jià)于函數(shù)與圖像在有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
，由，由，
所以在遞增，在遞減，
又有極大值為，當(dāng)時(shí)，，
所以可得函數(shù)的草圖（如圖所示）．
所以，要使函數(shù)與圖像在有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
當(dāng)且僅當(dāng)，即實(shí)數(shù)的取值范圍為
（2）由（1）可知：是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，
則，
即，令，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，且，所以，
于是，當(dāng)時(shí)，有，即，
綜上所述，，即的取值范圍是．
4．（2024屆湖南省高三“一起考”大聯(lián)考下學(xué)期模擬）已知函數(shù)，，函數(shù)，有兩條不同的公切線（與，均相切的直線），.
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)記，在軸上的截距分別為，，證明：.
【解析】（1）設(shè)直線：同時(shí)與，的圖象相切，切點(diǎn)分別為，，
由，知，，，且，，
則可同時(shí)表示為在的切線方程和在的切線方程，
即和，兩條直線相同，故它們具有相同的斜率和截距，
所以①，②，結(jié)合①②有（）.
設(shè)，則由有.
從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，最大值為.
可作出的大致圖象如下，它與有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，解得.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（2）設(shè)，與的切點(diǎn)坐標(biāo)分別為，不妨設(shè)，
則由（1）知，且，
要證明，即證明.
（方法一）因?yàn)?，所以，設(shè)，，
則，所以（），
只需要證明，即.
設(shè)（），則，
所以在上單調(diào)遞增，，則成立，從而.
故成立，證畢.
（方法二）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.
要證明即，注意到，均在區(qū)間，
故由的單調(diào)性，只要證明，
即，整理得.
設(shè)（），則.
從而在時(shí)單調(diào)遞增，所以，從而成立、
故成立，證畢.
5．（2024屆天津市民族中學(xué)高三下學(xué)期4月模擬）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，試求函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線方程；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、；
（?。┣骯的取值范圍；
（ⅱ）不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【解析】（1）時(shí)，，故.
故，又，
故函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即；
（2）（?。?br>函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，需滿足在上有兩個(gè)不等的根，.
由得， 則，故此時(shí)；
（ⅱ），，，則可得，，
由不等式恒成立，則，
，
令，則，
因?yàn)?，，?br>又.所以，即時(shí)，單調(diào)遞減，
所以，即，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
6．（2024屆陜西省部分學(xué)校（菁師聯(lián)盟）高三下學(xué)期5月份高考適應(yīng)性考試）已知函數(shù).
(1)求曲線在處的切線方程；
(2)若，且.求證：.
【解析】（1）因?yàn)椋?
所以切線方程為，即.
（2）證明：由（1）得
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增減；
所以在處有極大值.
又，且當(dāng)時(shí)，.
所以由且，得且，令，
則.當(dāng)時(shí)，，所以，即
因?yàn)?所以①令
當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，
由，得
所以②
又因?yàn)?，由①②得：，?br>7．（2024屆廣東省廣州市二模）已知函數(shù)．
(1)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
(2)若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，記為的極大值點(diǎn)，為的零點(diǎn)，證明：．
【解析】（1）因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，所以不是函數(shù)的零點(diǎn)，
令，
故只需討論與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，
，
因?yàn)椋栽诤蜕蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，且時(shí)，，且時(shí)，，
所以的大致圖象如圖所示：
故當(dāng)與有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，與有2個(gè)交點(diǎn)；
綜上，時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)．
（2）函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，不滿足條件；
當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，令得或；令得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，
因?yàn)椋瑫r(shí)，，所以函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，
所以；
當(dāng)時(shí)，，令得或；令得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，
因?yàn)闀r(shí)，，
，
所以函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，且，
所以，綜上，．
8．（2024屆重慶市名校聯(lián)盟高三下學(xué)期全真模擬）T性質(zhì)是一類重要的函數(shù)性質(zhì)，具有T性質(zhì)的函數(shù)被稱為T函數(shù)，它可以從不同角度定義與研究.人們探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)膱D像是一條連續(xù)不斷的曲線時(shí)，下列兩個(gè)關(guān)于T函數(shù)的定義是等價(jià)關(guān)系．
定義一：若為區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，且為區(qū)間上的增函數(shù)，則稱為區(qū)間上的T函數(shù)．
定義二：若對(duì)，，都有恒成立，則稱為區(qū)間上的T函數(shù)．請(qǐng)根據(jù)上述材料，解決下列問(wèn)題：
(1)已知函數(shù)．
①判斷是否為上的T函數(shù)，并說(shuō)明理由；
②若且，求的最小值
(2)設(shè)，當(dāng)時(shí)，證明：．
【解析】（1）①由于，所以
記，則，
由于，所以，故在單調(diào)遞增，由定義一可知，為上的T函數(shù)，
②由于為上的T函數(shù)，令，
由定義二可知，
所以，故當(dāng)時(shí)可取等號(hào)，
故的最小值為，
（2）設(shè),為單調(diào)遞增函數(shù)，
由定義一可得為上的函數(shù)，
，
由于，則，
由定義二可得，
即，故
所以
9．（2024屆河南省九師聯(lián)盟高三下學(xué)期5月聯(lián)考）已知函數(shù)．
(1)若對(duì)恒成立，求的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，，且，求的取值范圍，并證明：．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，
，
所以不等式在區(qū)間上不恒成立，不合題意；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，且?br>由可得；由可得，
此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．
則，即，即，解得．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．
（2）當(dāng)時(shí)，由，得，
令，則，
由可得或；由可得，
所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，
所以極大值為，極小值為，
若有3個(gè)不同實(shí)根，則，即的取值范圍為.
此時(shí)．令，
則，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，
可得在內(nèi)恒成立，
因?yàn)椋瑒t，
且，在內(nèi)單調(diào)遞減，
則，即，可得．
令，
則，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，
可得在內(nèi)恒成立，
因?yàn)椋瑒t，
且，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即，
由和，兩式相加可得．
10．（2024屆湖北省宜荊荊隨恩高三5月聯(lián)考）設(shè)函數(shù)，
(1)討論的單調(diào)性．
(2)若函數(shù)存在極值，對(duì)任意的，存在正實(shí)數(shù)，使得
（?。┳C明不等式．
（ⅱ）判斷并證明與的大小．
【解析】（1），，
若，則，在上單調(diào)遞增，
若，由得，
當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，，
∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
（2）∵存在極值，由（1）知，
，
由題設(shè)得，
∵，設(shè)，
（?。┮C明即證明，
設(shè)，（），則，
∴在上單調(diào)遞增，，
∴，即得證，
（ⅱ），
，
∴，
∵在上是減函數(shù)，∴.
11．（2024屆江西省上饒市六校高三5月第二次聯(lián)合考試）已知函數(shù)．
(1)若，求的極值；
(2)若，求的最大值．
【解析】（1）時(shí)，，函數(shù)的定義域，
，
時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以時(shí)，取得極小值，極小值為，無(wú)極大值.
（2）函數(shù)的定義域，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
趨向于時(shí)，趨向于，與矛盾.
當(dāng)時(shí)，則時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
則時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
時(shí)，取得最小值，最小值為，
即，則，
令，，
時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
時(shí)，取得最大值，最大值為，
即當(dāng)，，的最大值為.
12．（2024屆山西省臨汾市高三下學(xué)期考前適應(yīng)性訓(xùn)練）已知函數(shù)．
(1)求在處的切線方程；
(2)若曲線與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍；
(3)若曲線在處的切線與曲線交于另外一點(diǎn)，求證：．
【解析】（1）由題可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，所以，又因?yàn)?br>所以函數(shù)在處的切線方程為．
（2）方法一：若曲線與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，即方程
有且只有一個(gè)根，
設(shè)函數(shù)，即函數(shù)有唯一零點(diǎn)．
令，即
因?yàn)椋?br>當(dāng)即時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，且
所以在上有唯一零點(diǎn)，符合題意．
當(dāng)時(shí)，，使得
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
又因?yàn)?，所以；?dāng)時(shí)，，
所以滿足，不合題意.
綜上可得的取值范圍為．
方法二：若曲線與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，即方程
有且只有一個(gè)根，因?yàn)闀r(shí)滿足方程，
所以要使得方程有且只有一個(gè)根，則當(dāng)時(shí)方程無(wú)根，即函數(shù)與函數(shù)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)．
設(shè)則
令則
因?yàn)椋裕?br>所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，
又因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，即單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞增．
當(dāng)時(shí)，，由洛必達(dá)法則得
，
所以的取值范圍為．
（3），所以
曲線在處的切線方程為
．
切線與聯(lián)立得
設(shè)
令則或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，
所以，滿足，所以；
因?yàn)椋?，要證即證，
即．
設(shè)
，
所以在上單調(diào)遞減，又，所以，所以．
當(dāng)時(shí)成立．綜上可得：．
13．（2024屆江蘇省揚(yáng)州市儀征市四校高三下學(xué)期4月聯(lián)合學(xué)情檢測(cè)）已知函數(shù)．
(1)若恒成立，求的取值范圍；
(2)若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明．
【解析】（1）首先由可知的定義域是，從而.
故，從而當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).
故在上遞增，在上遞減，所以具有最大值.
所以命題等價(jià)于，即.所以的取值范圍是.
（2）不妨設(shè)，由于在上遞增，在上遞減，故一定有.
在的范圍內(nèi)定義函數(shù).
則，所以單調(diào)遞增.
這表明時(shí)，即.
又因?yàn)?，且和都大于?br>故由在上的單調(diào)性知，即.
14．（2024屆河北省保定市高三下學(xué)期第二次模擬）已知函數(shù)為其導(dǎo)函數(shù)．
(1)若恒成立，求的取值范圍；
(2)若存在兩個(gè)不同的正數(shù)，使得，證明：．
【解析】（1），當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．所以，
解得，即的取值范圍為．
（2）證明：不妨設(shè)，則，要證，
即證，則證，則證，
所以只需證，即．
令，則，．
當(dāng)時(shí)，，則，
所以在上單調(diào)遞減，則．所以．
由（1）知在上單調(diào)遞增，所以，從而成立．
15．（2024屆云南省高中畢業(yè)生第二次復(fù)習(xí)統(tǒng)一檢測(cè)）已知常數(shù)，函數(shù).
(1)若，求的取值范圍;
(2)若、是的零點(diǎn)，且，證明:.
【解析】（1）由已知得的定義域?yàn)椋?br>且
，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增.
所以在處取得極小值即最小值，
，
，
，即的取值范圍為.
（2）由（1）知，的定義域?yàn)椋?br>在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且是的極小值點(diǎn).
、是的零點(diǎn)，且，
、分別在、上，不妨設(shè)，
設(shè)，
則
當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減.
，，即，
，，
，，
又，在上單調(diào)遞增，，即.
遞增
極大值
遞減
+
0
↗
極大值
↘

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