(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)如圖,過點(diǎn)P(0,)的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),試問直線y=-上是否存在一點(diǎn)N,使△ABN為正三角形?若存在,求出相應(yīng)的直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
2.(2024·甘肅定西模擬)已知點(diǎn)M到點(diǎn)F(0,)的距離比它到直線y=-2的距離小,記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為E.
(1)求E的方程.
(2)若過點(diǎn)F的直線交E于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則在x軸的正半軸上是否存在點(diǎn)P,使得PA,PB分別交E于另外兩點(diǎn)C,D,且=3?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
3.(2022·新高考Ⅱ,21)設(shè)雙曲線C:=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F(2,0),漸近線方程為y=±x.
(1)求C的方程;
(2)經(jīng)過F的直線與C的漸近線分別交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2)在C上,且x1>x2>0,y1>0.過P且斜率為-的直線與過Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M,從下面三個(gè)條件①②③中選擇兩個(gè)條件,證明另一個(gè)條件成立:
①M(fèi)在AB上;②PQ∥AB;③|AM|=|BM|.
4.(2024·北京通州模擬)已知橢圓C:=1(a>b>0)過點(diǎn)A(2,1),離心率為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為B,直線l與OA平行,且與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn),直線AM,AN分別與y軸交于P,Q兩點(diǎn).求證:四邊形APBQ為菱形.
課時(shí)規(guī)范練71 證明、探究性問題
1.解 (1)由題意知c=4,=1,而a2=b2+c2,解得a2=20,b2=4,故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.
(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+,A(x1,y1),B(x2,y2).
聯(lián)立方程消去y,整理得(1+5k2)x2+10kx+10=0,
Δ=600k2-40(1+5k2)=400k2-40>0,即k>或k0).
由=3,得AB∥CD,且|AB|=3|CD|,得=3,即(x1-x0,y1)=3(x3-x0,y3),所以x3=,y3=,代入拋物線方程x2=6y,得=6y3=2y1=,整理得-2x0x1-2=0,同理可得-2x0x2-2=0,故x1,x2是方程x2-2x0x-2=0的兩根,Δ=12>0,可得x1+x2=2x0,x1x2=-2
由題意,直線AB的斜率一定存在,故設(shè)直線AB的方程為y=kx+,與拋物線方程x2=6y聯(lián)立消去y,可得x2-6kx-9=0,易得Δ>0,可得x1+x2=6k,x1x2=-9.②
由①②可得x0=,k=,
故在x軸的正半軸上存在一點(diǎn)P(,0)滿足條件.
3.解 (1)由題意得=2,解得a=1,b=,因此雙曲線C的方程為x2-=1.
(2)設(shè)PQ的方程為y=kx+b(k≠0),
聯(lián)立曲線C的方程可得(3-k2)x2-2kbx-b2-3=0,3-k2≠0,Δ>0顯然成立,
則x1+x2=,x1x2=-,
x1-x2=
設(shè)點(diǎn)M(xM,yM),
則
-,得y1-y2=2xM-(x1+x2),而y1-y2=(kx1+b)-(kx2+b)=k(x1-x2),
故2xM=k(x1-x2)+(x1+x2),
于是xM=
+,得2yM-(y1+y2)=(x1-x2),而y1+y2=(kx1+b)+(kx2+b)=k(x1+x2)+2b,
故2yM=k(x1+x2)+(x1-x2)+2b,
于是yM=xM.
因此點(diǎn)M的軌跡為直線y=x,其中k為直線PQ的斜率.
若選擇①②:
由條件②,知直線AB的方程為y=k(x-2).設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),
則解得xA=,yA=,同理可得xB=,yB=-,此時(shí)xA+xB=,yA+yB=
而點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足解得xM=,yM=,故M為AB的中點(diǎn),即
若選擇①③:
當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),點(diǎn)M即為點(diǎn)F(2,0),此時(shí)M不在直線y=x上,矛盾;
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=m(x-2),m≠0,設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),
則
解得xA=,yA=
同理可得xB=,yB=-
此時(shí)xM=,yM=
由于點(diǎn)M同時(shí)在直線y=x上,
故,∴k=m.
因此PQ∥AB.
若選擇②③:
由條件②,知直線AB的方程為y=k(x-2).設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),則解得xA=,yA=,同理可得xB=,yB=-設(shè)線段AB的中點(diǎn)為C,C(xC,yC),則xC=,yC=
由于|AM|=|MB|,故M在AB的垂直平分線上,即點(diǎn)M在直線y-yC=-(x-xC)上.
將該方程與y=x聯(lián)立,可得xM==xC,yM==yC,即點(diǎn)M恰為AB的中點(diǎn).
故點(diǎn)M在直線AB上.
4.(1)解 由題意可知解得a=2,b=所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.
(2)證明 點(diǎn)A(2,1)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為B(-2,1).
直線OA的斜率為kOA=
因?yàn)橹本€l與OA平行,設(shè)直線l的方程為y=x+t(t≠0),由消去y,整理得x2+2tx+2t2-4=0.
由Δ=4t2-4(2t2-4)=16-4t2>0,得-2

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