(1)求C的方程;
(2)設點P(4,0),A,B是橢圓上關于x軸對稱的兩點,PB交C于另一點E,求△AEF的內(nèi)切圓半徑的取值范圍.
2.(2024·山東濟寧模擬)已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0),實軸長為2.
(1)求雙曲線C的標準方程;
(2)若直線l:y=kx+與雙曲線C的左支交于A,B兩點,求k的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,線段AB的垂直平分線l1與y軸交于M(0,m),求m的取值范圍.
3.(2024·河北張家口模擬)如圖,拋物線M:y2=2px(p>0)與圓x2-10x+y2+9=0交于A,B,C,D四點,直線AC與直線BD交于點E.
(1)請證明E為定點,并求點E的坐標;
(2)當△ABE的面積最大時,求拋物線M的方程.
4.(2024·山東濰坊模擬)已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,且過點D().
(1)求橢圓C的標準方程.
(2)若動直線l:y=-x+m(1≤m0,y1+y2=,y1y2=因為P,B,E三點共線且直線PB的斜率一定存在,所以,所以x1y2+x2y1=4(y1+y2),將x1=my1+t,x2=my2+t代入,可得2my1y2=(4-t)(y1+y2),從而2m(3t2-12)=(4-t)(-6mt),即t=1,滿足Δ=48(3m2+3)>0,所以直線AE過定點Q(1,0),且Q為橢圓右焦點.設所求內(nèi)切圓的半徑為r,因為△AEF的面積是S△AEF=4a·r=4r,所以r=令u=(u>1),則m2=u2-1,所以r=因為u>1,對勾函數(shù)y=3u+在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以3u+>4,則00),由已知條件可知a=,c=2,再由a2+b2=c2,得b2=1,故所求雙曲線的標準方程為-y2=1.
(2)設A(xA,yA),B(xB,yB),由消去y,整理得(1-3k2)x2-6kx-9=0,由1-3k2≠0,得k≠±=36(1-k2)>0,即-1

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