(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
2.(2024·河北唐山模擬)已知函數(shù)f(x)=ex(x+2),g(x)=x2+3x+2.
(1)證明:當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥g(x);
(2)若函數(shù)h(x)=f(x)-4ex-m有兩個(gè)零點(diǎn),求m的取值范圍.
3.(2024·四川成都模擬)已知函數(shù)f(x)=xe-x+asin x,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),若x=0恰為f(x)的極值點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)求f(x)在區(qū)間(-∞,)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
4.(2024·北京陳經(jīng)綸中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)=xex-(x+1)2(m≥0).
(1)當(dāng)m=0時(shí),求函數(shù)f(x)的極小值;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,1)上有且只有一個(gè)零點(diǎn),求m的取值范圍.
課時(shí)規(guī)范練25 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)
1.解 (1)由題意可得f'(x)=(x2-1)ex-a.
因?yàn)榍€y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=-2x+b,
所以解得
(2)由(1)知f(x)=(x-1)2ex-x,所以f(x)=ex[(x-1)2-],令g(x)=(x-1)2-,則f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是g(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
由于g'(x)=(x-1)(2+),所以當(dāng)x0,g(x)單調(diào)遞增.
又g(0)=1>0,g(1)=-0,所以g(0)g(1)0,當(dāng)x0,故當(dāng)x1,所以f'(x)>0,則f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增.
f'(x)=-csx=,令g(x)=1-x-excsx,則g'(x)=-1-ex(csx-sinx),當(dāng)0,可得lnm>-1,令f'(x)>0,可得xlnm,令f'(x)

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