考點1基本不等式的內(nèi)容及辨析
1．（2023·遼寧·二模）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設(shè)，，用該圖形能證明的不等式為（ ）．
A．B．
C．D．
2．（22-23高三上·安徽合肥·期中）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點在半圓上，點在直徑上，且，設(shè)AC=a，，則該圖形可以完成的無字證明為（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·陜西寶雞·二模）設(shè)a，，則“a+b≥2”是“”的（ ）
A．充要條件B．必要不充分條件C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件
4．（2022·黑龍江哈爾濱·三模）已知x，y都是正數(shù)，且，則下列選項不恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
考點2由基本不等式比較大小
5．（2024·山東·模擬預(yù)測）已知，，且，則下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·湖南岳陽·二模）設(shè)，，，則（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高三下·北京·階段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，則（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高三下·全國·階段練習(xí)）已知，則（ ）
A．B．
C．D．
9．【多選】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，則下列式子正確的是（ ）
A．B．C．D．
10．【多選】（2024·貴州貴陽·一模）已知，且，則（ ）
A．B．
C．D．
11．【多選】（2024·貴州貴陽·一模）已知，則實數(shù)滿足（ ）
A．B．C．D．
12．【多選】（23-24高三上·湖南常德·期末）已知，則下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
13．【多選】（23-24高三上·河北保定·階段練習(xí)）已知正數(shù)a，b滿足，，則（ ）
A．B．
C．D．
14．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）已知分別為上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，，，，則大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
15．（2024·山西晉城·一模）定義表示，，中的最小值．已知實數(shù)，，滿足，，則（ ）
A．的最大值是B．的最大值是
C．的最小值是D．的最小值是
16．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）已知某商品近期價格起伏較大，假設(shè)第一周和第二周的該商品的單價分別為m元和n元，甲、乙兩人購買該商品的方式不同，甲每周購買100元的該商品，乙每周購買20件該商品，若甲、乙兩次購買平均單價分別為，則（ ）
A．B．a(chǎn)1a2D．的大小無法確定
考點3由基本不等式證明不等關(guān)系
17．（2023·陜西榆林·模擬預(yù)測）已知，，且滿足.
(1)證明：；
(2)求的最小值.
18．（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測）已知a，b，c均為正實數(shù)，且．
(1)求abc的最大值；
(2)求證：．
19．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，實數(shù)滿足．
(1)解不等式；
(2)證明：對任意實數(shù)，使．
20．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知實數(shù)a，b，c滿足．
(1)若，求證：；
(2)若a，b，，求證：．
21．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知正實數(shù)滿足．求證：
(1)；
(2)．
22．（2024·青海·一模）已知正數(shù)滿足．求證：
(1)；
(2)．
23．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測）已知為正數(shù)，且.證明：
(1)；
(2).
考點4基本不等式求積的最大值
24．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知，，若，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
25．（2024·上海奉賢·三模）若，則有最大值為 ．
26．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）若實數(shù)，滿足，則 .
27．（2024·天津·模擬預(yù)測）若，，且，則的最小值為
28．（2024·重慶·模擬預(yù)測）設(shè)且，則的最大值為
29．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知直線與直線，若，則的最大值為 .
30．【多選】（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）已知正數(shù)，滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．的最大值為B．的最小值為
C．的最大值為D．的最小值為
31．【多選】（2022·廣東佛山·一模）在中，所對的邊為，設(shè)邊上的中點為，的面積為，其中，，下列選項正確的是（ ）
A．若，則B．的最大值為
C．D．角的最小值為
32．（2024·四川·模擬預(yù)測）設(shè)球的直徑為，球面上三個點，，確定的圓的圓心為，，，則面積的最大值為（ ）
A．2B．4C．6D．8
33．（2024·湖南岳陽·三模）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A．有最小值25B．有最大值25C．有最小值50D．有最大值50
考點5基本不等式求和的最小值
34．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·三模）下列函數(shù)最小值為4的是（ ）
A．B．
C．D．
35．（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）已知，，且，則的最小值為（ ）
A．4B．C．6D．
36．（2024·安徽阜陽·模擬預(yù)測）已知，則的最小值為 .
37．【多選】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知，，且，則（ ）
A．B．
C．D．
38．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）函數(shù)（且）的圖象恒過定點，若且，，則的最小值為 ．
39．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知點在橢圓上，，是該橢圓的兩個焦點，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
40．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知平面向量，，其中，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
41．（2024·北京·三模）在中，分別是角的對邊，且，則角的取值范圍為 ．
42．（2024·寧夏·二模）直線過函數(shù)圖象的對稱中心，則的最小值為（ ）
A．9B．8C．6D．5
43．（2024·寧夏石嘴山·三模）若函數(shù)，且的圖象所過定點恰好在橢圓上，則取最小值時，n=（ ）
A．4B．12C．16D．6
44．（2024·上?！と＃┮阎瘮?shù)，若，，且，則的最小值是
45．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列的前項和為，且，則的最小值為 ．
46．（2024·天津·模擬預(yù)測）已知正的邊長為，中心為，過的動直線與邊，分別相交于點、，，，.
（1）若，則 ；
（2）與的面積之比的最小值為 .
考點6二次與二次（或一次）的商式的最值
47．（2021·浙江嘉興·二模）若正實數(shù)，滿足，則的最大值為 ．
48．（2021·天津河西·模擬預(yù)測）函數(shù)的最小值為 .
49．（2020·江蘇南通·二模）已知，，，則的最大值為 .
50．（2018·江蘇常州·一模）已知，，2x+y=2，則的最大值為 .
51．（23-24高一下·貴州遵義·期中）已知，則的最小值是 ．
52．（23-24高一上·江蘇宿遷·期中）已知，則的最小值為 .
53．（2023高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù) 的最大值為 .
考點7基本不等式“1”的妙用求最值
54．（23-24高一上·廣東河源·階段練習(xí)）若正數(shù)，滿足，則的最小值為 ．
55．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知實數(shù)，且，則的最小值是 ．
56．（2024·遼寧鞍山·模擬預(yù)測）若，，且，則的最小值為 ．
57．（2024·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測）已知，，則的最小值為 .
58．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知向量，，若，則的取值范圍為 ．
59．（2024·河南·三模）在中，角的對邊分別為，若，則的最小值為 ．
60．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，且，則的最小值是 ．
61．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，則的最小值為 ．
62．（2024·陜西渭南·二模）已知直線（，）過函數(shù)（，且）的定點T，則的最小值為 .
63．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）在中，，P是線段AD上的動點（與端點不重合），設(shè)，則的最小值是 .
64．（2024·廣西柳州·三模）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，∠ABC=2π3，的平分線交AC于點D，且，則a+4c的最小值為 ．
65．（23-24高一下·寧夏銀川·期中）在中，為上一點，，為線段上任一點，若，則的最小值是 ．
66．（2024·陜西咸陽·二模）已知總體的各個個體的值由小到大依次為，且總體的平均值為10，則的最小值為 ．
考點8條件等式求最值
67．（2024·山東·模擬預(yù)測）已知兩個不同的正數(shù)滿足，則的取值范圍是 ．
68．（2024·江西宜春·三模）已知，，且滿足，則的最大值為 ．
69．（2024·廣西河池·模擬預(yù)測）若實數(shù)，且，則的最小值為 .
70．（2024·四川成都·三模）若正實數(shù)滿足，則的最大值為 （用表示）．
71．（2024·陜西西安·三模）已知，，則的最小值為 ．
72．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知正實數(shù)m，n滿足，則的最大值為 ．
73．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，b>12，，則的最大值為 ．
74．（2023·山西·模擬預(yù)測）已知，且，則的最小值是 .
考點9基本不等式的恒成立問題
75．（2024·四川成都·三模）設(shè)函數(shù)，正實數(shù)滿足，若，則實數(shù)的最大值為（ ）
A．2+22B．4C．D．
76．（2024·江西·一模）已知正數(shù)x，y滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
77．（23-24高二下·陜西西安·期末）當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
78．（2023·河南·二模）若不等式在時恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
79．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知正數(shù)滿足，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 .
80．（2023·貴州黔東南·三模）正數(shù)滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍 .
81．（2023·遼寧·模擬預(yù)測）若關(guān)于的不等式對任意恒成立，則正實數(shù)的取值集合為 ．
82．（2024·山東濰坊·三模）已知均為正實數(shù)，函數(shù)．
（1）若的圖象過點，則的最小值為 ；
（2）若的圖象過點，且恒成立，則實數(shù)的最小值為 ．
考點10對勾函數(shù)求最值
83．（2024高二·全國·競賽）設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）．
A．在遞增B．在遞減
C．的最小值是D．不存在反函數(shù)
84．（2022高三·全國·專題練習(xí)）給出四個命題：
①的最小值為2；
②的最大值為；
③的最小值為2；
④的最小值為4．
其中真命題的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
85．（22-23高一上·全國·階段練習(xí)）函數(shù)的最小值為（ ）
A．2B．C．3D．
86．【多選】（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列不等式正確的有（ ）
A．若，則函數(shù)y=x2+4+1x2+4的最小值為2
B．函數(shù)最小值為
C．當(dāng)
D．最小值等于4
87．【多選】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知x≥1，則下列函數(shù)的最小值為2的有（ ）
A．B．
C．D．
考點11容積的最值問題
88．（23-24高一上·廣東廣州·期末）如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱.設(shè)箱體的長度為米，高度為米.現(xiàn)有制箱材料60平方米.問當(dāng)，各為多少米時，該沉淀箱的體積最大，并求體積的最大值.
89．（22-23高一·全國·隨堂練習(xí)）某工廠擬造一座平面圖（如圖）為長方形且面積為的三級污水處理池．由于地形限制，該處理池的長、寬都不能超過16 m，且高度一定．如果四周池壁的造價為400元/，中間兩道隔墻的造價為248元/，池底造價為80元/，那么如何設(shè)計該處理池的長和寬，才能使總造價最低？（池壁的厚度忽略不計）

90．（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一間背面靠墻的房屋，地面面積為48 m2，房屋正面每平方米造價為1200元，房屋側(cè)面每平方米的造價為800元，屋頂?shù)脑靸r為5800元．如果墻高為3 m，且不計房屋背面和地面的費用，那么房屋的總造價最低為 元．
91．（2023·山東·模擬預(yù)測）如圖，在中，∠BAC=π2，，為所在平面外一點，的面積為，且平面PAC⊥平面，，則三棱錐體積的最大值為（ ）
A．1B．C．D．
考點12基本（均值）不等式的應(yīng)用
92．（2024·浙江金華·三模）某希望小學(xué)的操場空地的形狀是一個扇形，計劃在空地上挖一個內(nèi)接于扇形的矩形沙坑（如圖所示），有如下兩個方案可供選擇.經(jīng)測量，，.在方案1中，若設(shè)，，則，滿足的關(guān)系式為 ，比較兩種方案，沙坑面積最大值為 .
93．（23-24高一下·上海松江·期末）如圖，某體育公園廣場放置著一塊高為3米的大屏幕滾動播放各項體育賽事，大屏幕下端離地面高度3.5米，若小明同學(xué)的眼睛離地面高度1.5米，則為了獲得最佳視野（最佳視野指看到大屏幕的上下夾角最大），小明應(yīng)在距離大屏幕所在的平面 米處觀看?（精確到0.1米）.
94．（2024·山東濟(jì)南·三模）三棱錐中，平面，．若該三棱錐的最長的棱長為9，最短的棱長為3，則該三棱錐的最大體積為（ ）
A．B．C．18D．36
95．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且
(1)求；
(2)設(shè)為邊的中點，，求線段長度的最大值.
96．（2024·湖南常德·一模）已知的內(nèi)角的對邊分別是，且.
(1)判斷的形狀；
(2)若的外接圓半徑為，求周長的最大值.
97．（23-24高一上·山西朔州·階段練習(xí)）為響應(yīng)國家擴大內(nèi)需的政策，某廠家擬在2023年舉行促銷活動．經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬件與年促銷費用萬元滿足．如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件．已知2023年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入12萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分）．求該廠家2023年的年促銷費用t投入多少萬元時廠家利潤最大?最大利潤是多少?
98．（22-23高一下·江蘇鹽城·開學(xué)考試）某旅游開發(fā)公司計劃2023年開發(fā)新的游玩項目，全年需投入固定成本500萬元，若該項目在2023年有萬游客，則需另投入成本萬元，且，該游玩項目的每張門票售價為50元，政府為鼓勵企業(yè)更好發(fā)展，每年給該旅游開發(fā)公司財政補貼萬元．
(1)求2023年該旅游公司開發(fā)的游玩項目的利潤（萬元）關(guān)于人數(shù)（萬人）的函數(shù)關(guān)系式（利潤=收入-成本）；
(2)當(dāng)2023年的游客為多少時，該游玩項目所獲利潤最大？最大利潤是多少？
99．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習(xí)）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立.
(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為，求的最大值點；
(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.
（i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求；
（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？請說明理由.

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