1.(2024·湖北武漢模擬)平面向量a=(-2,k),b=(2,4),若a⊥b,則|a-b|=( )
A.6B.5
C.2D.2
2.(2022·全國乙,理3)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=,|a-2b|=3,則a·b=( )
A.-2B.-1
C.1D.2
3.(2022·新高考Ⅱ,4)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=,則實(shí)數(shù)t=( )
A.-6B.-5
C.5D.6
4.(2024·廣東廣州模擬)設(shè)兩個單位向量a,b的夾角為θ,若a在b上的投影向量為b,則cs θ=( )
A.-B.
C.-D.
5.(2024·福建廈門模擬)平面上的三個力F1,F2,F3作用于同一點(diǎn),且處于平衡狀態(tài).已知F1=(1,0),|F2|=2,=120°,則|F3|=( )
A.B.1C.D.2
6.(2024·河北唐山模擬)正方形ABCD邊長為4,M為CD中點(diǎn),點(diǎn)N在AD上,=20,則||=( )
A.B.2
C.5D.10
7.(多選題)(2024·山東濟(jì)南模擬)已知平面向量a=(1,3),b=(-2,1),則( )
A.|a|=
B.(2a-b)⊥b
C.a與b的夾角為鈍角
D.a在b上的投影向量的模為
8.(2024·山東威海模擬)已知向量a=(2,1),b=(0,1),c=a+tb,若a·c=6,則t= .
9.(2022·全國甲,理13)設(shè)向量a,b的夾角的余弦值為,且|a|=1,|b|=3,則(2a+b)·b= .
10.(2024·浙江寧波模擬)已知|a|=1,|a-b|=2,a⊥b,則a+b與a-b的夾角為 .
綜 合 提升練
11.(2024·安徽淮南模擬)在△ABC中,已知∠ACB=,BC=4,AC=3,D是邊AB的中點(diǎn),點(diǎn)E滿足,則=( )
A.-B.-1C.D.
12.(多選題)(2024·廣東梅州模擬)已知向量a=(2,1),b=(cs θ,sin θ),c=(0,1),則下列命題正確的是( )
A.當(dāng)且僅當(dāng)tan θ=時,a∥b
B.a在c上的投影向量為c
C.存在θ,使得b=a-c
D.存在θ,使得|a+b|=|a-b|
13.已知|a|=,|b|=1,且a與b的夾角為45°,若向量(2a-λb)與(λa-3b)的夾角是銳角,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是 .
創(chuàng) 新 應(yīng)用練
14.(2024·安徽合肥模擬)哥特式建筑是1140年左右產(chǎn)生于法國的歐洲建筑風(fēng)格,它的特點(diǎn)是尖塔高聳、尖形拱門、大窗戶及繪有故事的花窗玻璃,如圖所示的幾何圖形,在哥特式建筑的尖形拱門與大窗戶中較為常見,它是由線段AB和兩個圓弧AC,BC圍成,其中一個圓弧的圓心為A,另一個圓弧的圓心為B,圓O與線段AB及兩個圓弧均相切,若AB=2,則=( )
A.-B.-
C.-D.-
課時規(guī)范練46 平面向量的數(shù)量積
1.B 解析 因為a=(-2,k),b=(2,4),a⊥b,所以a·b=-2×2+4k=0,解得k=1,所以a-b=(-2-2,1-4)=(-4,-3),因此|a-b|==5.
2.C 解析 由已知得|a-2b|2=|a|2+4|b|2-4a·b=1+12-4a·b=9,解得a·b=1.
3.C 解析 由題意得c=(3+t,4),cs=cs,故,解得t=5.故選C.
4.B 解析 因為a在b上的投影向量為b,所以b,
又a,b是兩個單位向量,即|a|=|b|=1,
所以a·b=,
所以csθ=
5.C 解析 由已知,可得F1+F2+F3=0,所以F3=-(F1+F2).因為F1=(1,0),所以|F1|=1,所以F1·F2=|F1|·|F2|cs=1×2×(-)=-1,所以|F3|2=+2F1·F2=1+4-2=3,所以|F3|=
6.C 解析 設(shè)=(λ∈R),因為+因為正方形ABCD邊長為4,=0,所以=()·(+)=16λ+8=20,解得λ=,所以||==5.
7.AD 解析 A選項,|a|=,A正確;B選項,2a-b=(2,6)-(-2,1)=(4,5),故(2a-b)·b=(4,5)·(-2,1)=-8+5=-3≠0,故2a-b與b不垂直,B錯誤;C選項,cs=>0,故a與b的夾角為銳角,C錯誤;D選項,a在b上的投影向量的模為,D正確.故選AD.
8.1 解析 由題意知,c=a+tb=(2,1+t),因為a·c=6,所以a·c=2×2+(1+t)=6,解得t=1.
9.11 解析 設(shè)a與b的夾角為θ,因為a與b的夾角的余弦值為,即csθ=,又|a|=1,|b|=3,所以a·b=|a|·|b|csθ=1×3=1,所以(2a+b)·b=2a·b+b2=2a·b+|b|2=2×1+32=11.
10 解析 由|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=4,又|a|=1,a⊥b,所以a·b=0,則b2=3,而|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=4,則|a+b|=2,又a+b與a-b的夾角θ∈[0,π],則csθ==-,所以θ=
11.C 解析 ∵D為AB的中點(diǎn),),,,即,,如圖所示.
=-)+,)·()==-=-9+16-3×4cs
12.ABD 解析 向量a=(2,1),b=(csθ,sinθ),c=(0,1),對于A,a∥b?2sinθ=csθ?tanθ=,A正確;對于B,因為a·c=1,則a在c上的投影向量為=c,B正確;對于C,a-c=(2,0),假定存在θ,使得b=a-c,則有csθ=2,sinθ=0,而csθ∈[-1,1],即csθ=2不成立,因此不存在θ,使得b=a-c,C錯誤;對于D,|a+b|=|a-b|?(a+b)2=(a-b)2?a·b=0,即2csθ+sinθ=0,解得tanθ=-2,因此存在θ,使得|a+b|=|a-b|,D正確.故選ABD.
13.(1,)∪(,6) 解析 當(dāng)(2a-λb)與(λa-3b)夾角為銳角時,(2a-λb)·(λa-3b)=2λa2-(6+λ2)a·b+3λb2=4λ-(6+λ2)+3λ>0,解得1

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