圖1 圖2
(1)證明:A1C∥平面DFG;
(2)求平面DFG與平面A1CD夾角的余弦值.
2.(2024·山東煙臺模擬)如圖,圓柱的軸截面ABCD是邊長為6的正方形,下底面圓的一條弦EF交CD于點G,其中DG=2,DE=DF.
(1)證明:平面AEF⊥平面ABCD.
(2)判斷上底面圓周上是否存在點P,使得二面角P-EF-A的余弦值為?若存在,求AP的長;若不存在,請說明理由.
3.(2024·山東青島模擬)如圖1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E為CD的中點,現(xiàn)將△ADE,△BCE分別沿AE,BE向上翻折,使點D,C分別到達點M,N的位置,且平面AME,平面BNE均與平面ABE垂直(如圖2).
圖1
圖2
(1)證明:M,N,A,B四點共面;
(2)求直線AE與平面ABNM所成角的正弦值.
4.(2024·福建泉州模擬)如圖,在三棱臺ABC-A1B1C1中,AB=BC=2B1C1=2,D是AC的中點,E是棱BC上的動點.
(1)試確定點E的位置,使AB1∥平面DEC1;
(2)已知AB⊥BC1,CC1⊥平面ABC,設直線BC1與平面DEC1所成的角為θ,試在(1)的條件下,求cs θ的最小值.
課時規(guī)范練58 翻折問題與探索性問題
1.(1)證明 連接CE,交DF于點H,連接GH.易證△CHF∽△EHD,
所以因為=3,所以,所以,則GH∥A1C.因為GH?平面DFG,A1C?平面DFG,所以A1C∥平面DFG.
(2)解 由題圖1可知A1E⊥EF,DE⊥EF.
因為AD=2BC=2EF=4,E,F分別是AD,BC的中點,所以CF=1,EF=A1E=2,則CE=因為A1C=3,所以CE2+A1E2=A1C2,所以A1E⊥CE.
因為EF,CE?平面CDEF,且EF∩CE=E,所以A1E⊥平面CDEF,
所以A1E⊥ED,
又ED⊥EF,故以E為坐標原點,分別以直線EF,ED,EA1為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.
因為AD=4,所以A1(0,0,2),C(2,1,0),D(0,2,0),F(2,0,0),G(0,0,),則=(2,1,-2),=(-2,1,0),=(2,-2,0),=(0,-2,).設平面DFG的法向量為n=(x1,y1,z1),則令x1=2,則y1=2,z1=3,則n=(2,2,3).設平面A1CD的法向量為m=(x2,y2,z2),
則
令x2=1,則y2=2,z2=2,則m=(1,2,2).
設平面DFG與平面A1CD的夾角為θ,
則csθ=|cs|=
2.(1)證明 由題意可知在下底面圓中,CD為直徑.
因為DE=DF,所以G為弦EF的中點,且EF⊥CD.
因為EF⊥AD,AD∩CD=D,AD,CD?平面ABCD,所以EF⊥平面ABCD.
因為EF?平面AEF,
所以平面AEF⊥平面ABCD.
(2)解 設平面PEF交圓柱上底面于PQ,因為圓柱的上、下底面平行,所以平面PEF與上、下底面的交線平行,即EF∥PQ.設PQ交AB于點H.則二面角P-EF-A的大小就是二面角H-EF-A的大小.
分別以下底面垂直于DC的直線,直線DC,直線DA為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,如圖所示.
因為DG=2,底面圓的半徑為3,所以EG=FG=2
則A(0,0,6),E(2,2,0),F(-2,2,0).
設H(0,m,6)(0

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