備戰(zhàn)2025屆新高考數(shù)學一輪總復習課時規(guī)范練50球與幾何體的切接問題（附解析人教A版）-試卷下載-教習網(wǎng)

1.(2020·天津,5)若棱長為2的正方體的頂點都在同一球面上,則該球的表面積為( )
A.12πB.24πC.36πD.144π
2.(2024·貴州凱里一中模擬)已知某封閉的直三棱柱各棱長均為2,若三棱柱內(nèi)有一個球,則該球表面積的最大值為( )
A.B.C.4πD.
3.(2024·浙江余姚模擬)在正四棱錐S-ABCD中,底面是邊長為2的正方形,側(cè)面是腰長為的等腰三角形,則正四棱錐S-ABCD的外接球的體積為( )
A.B.9πC.D.18π
4.(2024·江西南昌模擬)在三棱錐P-ABC中,已知PA=BC=2,AC=PB=,PC=AB=,則三棱錐P-ABC外接球的表面積為( )
A.77πB.64πC.108πD.72π
5.(2021·天津,6)兩個圓錐的底面是一個球的同一截面,頂點均在球面上,若球的體積為,兩個圓錐的高之比為1∶3,則這兩個圓錐的體積之和為( )
A.3πB.4πC.9πD.12π
6.(2024·廣東深圳模擬)已知正三棱錐的外接球半徑R為1,則該正三棱錐的體積的最大值為( )
A.B.C.D.
7.(多選題)(2024·遼寧遼陽模擬)正三棱錐P-ABC的底面邊長為3,高為,則下列結(jié)論正確的是( )
A.AB⊥PC
B.三棱錐P-ABC的表面積為9
C.三棱錐P-ABC的外接球的表面積為27π
D.三棱錐P-ABC的內(nèi)切球的表面積為
8.將一個直角邊長為2的等腰直角三角形繞其直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所得圓錐的內(nèi)切球的表面積為 .
9.(2024·陜西漢中模擬)在如圖所示的直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是直角三角形,AA1=AC=5,AB=3,BC=4,則塹堵ABC-A1B1C1的外接球的體積是 .
10.(2024·貴州貴陽模擬)SF6(六氟化硫)具有良好的絕緣性,在電子工業(yè)上有著廣泛的應用,其分子結(jié)構(gòu)如圖所示,六個氟原子分別位于正方體六個面的中心,硫原子位于正方體中心,若正方體的棱長為a,記以六個氟原子為頂點的正八面體為T,則T的體積為 ,T的內(nèi)切球表面積為 .
綜合提升練
11.(2024·貴州貴陽模擬)已知球O的表面積為9π,若球O與正四面體S-ABC的六條棱均相切,則此四面體的體積為( )
A.9B.3
C.D.
12.(2024·四川射洪中學模擬)已知正三棱柱ABC-A1B1C1所有頂點都在球O上,若球O的體積為,則該正三棱柱體積的最大值為 .
13.(2023·全國甲,文16)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,O為AC1的中點,若該正方體的棱與球O的球面有公共點,則球O的半徑的取值范圍是 .
14.(2024·廣東深圳模擬)已知四邊形ABCD為平行四邊形,AB=4,AD=3,∠BAD=,現(xiàn)將△ABD沿直線BD翻折,得到三棱錐A'-BCD,若A'C=,則三棱錐A'-BCD的內(nèi)切球與外接球表面積的比值為 .
創(chuàng) 新應用練
15.(2024·山東煙臺模擬)如圖所示,在五面體ABCDEF中,底面ABCD為矩形,AB=2AD=2,△ADE和△BCF均為正三角形,EF∥平面ABCD,EF=3,則該五面體的外接球的表面積為( )
A.B.C.D.
課時規(guī)范練50 球與幾何體的切、接問題
1.C 解析這個球是正方體的外接球,其半徑等于正方體的體對角線的一半,即R==3,所以這個球的表面積為S=4πR2=4π×32=36π.
2.A 解析設底面三角形的內(nèi)切圓的半徑為r,則(2+2+2)·r=2×2sin,解得r=,小于高的一半1,所以該球的最大半徑為,所以球的表面積的最大值為4πr2=
3. C 解析如圖所示,不妨設該四棱錐外接球的球心O在線段SE上,球心O在線段SE的延長線的情況可同理討論.設球的半徑為R.三棱錐的底面中心為E,連接SE,BO,BE.因為在正四棱錐S-ABCD中,底面是邊長為2的正方形,側(cè)面是腰長為的等腰三角形,所以BE=,SE==2.在Rt△OBE中,OB2=OE2+BE2,即R2=(2-R)2+()2,解得R=球心O在線段SE的延長線上時,可得R2=(R-2)2+()2,解得R=所以外接球的體積為V=R3=
4.A 解析因為三棱錐的對棱相等,所以可以把它補成一個長方體.設長方體的同一頂點的三條棱長分別為a,b,c,且長方體的面對角線長為2,則=2,此長方體體對角線為長方體外接球直徑,即為該三棱錐外接球的直徑,設此外接球半徑為R,則2R=,R=,所以球的表面積為4πR2=77π.
5.B 解析如圖所示,設兩個圓錐的底面圓圓心為點D,設圓錐AD和圓錐BD的高之比為3∶1,即AD=3BD.
設球的半徑為R,則,可得R=2,所以AB=AD+BD=4BD=4,所以BD=1,AD=3.因為CD⊥AB,AC⊥BC,所以∠CAD+∠ACD=∠BCD+∠ACD=90°,所以∠CAD=∠BCD,又因為∠ADC=∠BDC,所以△ACD∽△CBD,所以,所以CD=因此,這兩個圓錐的體積之和為CD2·(AD+BD)=3×4=4π.
6. C 解析如圖所示,設該正三棱錐的高為h,底面外接圓的圓心是點O1,半徑為r,底面面積為S,球心是點O.當球心O在線段SO1上時,由球的截面圓的性質(zhì),可得OA2=A+O,即R2=r2+(h-R)2,同理,當球心O在線段SO1的延長線上時,可得R2=r2+(R-h)2,解得R==1,即r2=2h-h2>0,解得00,函數(shù)V(t)=(12-3t2)t在(0,)內(nèi)單調(diào)遞增,當AB,所以點O在平面ABCD的射影為點M.連接OM,則OM⊥平面ABCD.取BC的中點G,連接FG,作GH⊥EF,垂足為H,如圖所示.
由題可知HF=,FG=,在Rt△FHG中,HG=,所以OM=HG=因為底面ABCD為矩形,OM⊥平面ABCD,所以外接球球心在直線OM上,且到多邊形各頂點的距離相等.若球心O'在線段MO上,設O'M=x,則O'O=-x,x2+AM2=(-x)2+OE2,即x2+=(-x)2+,解得x=(舍).若球心O'在線段MO的延長線上,設OO'=y,外接球的半徑為R,連接O'E,O'A,顯然O'E=O'A=R,則OE2+y2=R2且AM2+(OM+y)2=R2,即解得y=,R2=所以外接球的表面積S=4πR2=4π