【基本題型】
[例1] (2021·全國甲)已知數(shù)列{an}的各項為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．
①數(shù)列{an}是等差數(shù)列；②數(shù)列{eq \r(Sn)}是等差數(shù)列；③a2＝3a1．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．
解析 ①③?②．
已知{an}是等差數(shù)列，a2＝3a1．設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，
所以Sn＝na1＋eq \f(n(n－1),2)d＝n2a1．
因為數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，所以eq \r(Sn)＝neq \r(a1)，
所以eq \r(Sn＋1)－eq \r(Sn)＝(n＋1)eq \r(a1)－neq \r(a1)＝eq \r(a1)(常數(shù))，所以數(shù)列{eq \r(Sn)}是等差數(shù)列．
①②?③．
已知{an}是等差數(shù)列，{eq \r(Sn)}是等差數(shù)列．設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，
則Sn＝na1＋eq \f(n(n－1),2)d＝eq \f(1,2)n2d＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n．
因為數(shù)列{eq \r(Sn)}是等差數(shù)列，所以數(shù)列{eq \r(Sn)}的通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，
則a1－eq \f(d,2)＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1．
②③?①．
已知數(shù)列{eq \r(Sn)}是等差數(shù)列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1．
設(shè)數(shù)列{eq \r(Sn)}的公差為d，d＞0，則eq \r(S2)－eq \r(S1)＝eq \r(4a1)－eq \r(a1)＝d，得a1＝d2，
所以eq \r(Sn)＝eq \r(S1)＋(n－1)d＝nd，所以Sn＝n2d2，
所以n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2，對n＝1也適合，
所以an＝2d2n－d2，所以an＋1－an＝2d2(n＋1)－d2－(2d2n－d2)＝2d2(常數(shù))，
所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
[例2] 在等差數(shù)列{an}中，已知a6＝16，a18＝36．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an；
(2)若________，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．
在①bn＝eq \f(4,anan＋1)，②bn＝(－1)n·an，③bn＝2an·an這三個條件中任選一個補(bǔ)充在第(2)問中，并對其求解．
注：若選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
解析 (1)由題意，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋5d＝12，,a1＋17d＝36，))解得d＝2，a1＝2．∴an＝2＋(n－1)×2＝2n．
(2)選條件①：bn＝eq \f(4,2n·2(n＋1))＝eq \f(1,n(n＋1))，
Sn＝eq \f(1,1×2)＋eq \f(1,2×3)＋…＋eq \f(1,n（n＋1）)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1)－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝1－eq \f(1,n＋1)＝eq \f(n,n＋1)．
選條件②：∵an＝2n，bn＝(－1)nan，∴Sn＝－2＋4－6＋8－…＋(－1)n·2n，
當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n－1)＋2n]＝eq \f(n,2)×2＝n；
當(dāng)n為奇數(shù)時，n－1為偶數(shù)，Sn＝(n－1)－2n＝－n－1．
∴Sn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n，n為偶數(shù)，,－n－1，n為奇數(shù).))
選條件③：∵an＝2n，bn＝2an·an，∴bn＝22n·2n＝2n·4n，
∴Sn＝2×41＋4×42＋6×43＋…＋2n×4n，①
4Sn＝2×42＋4×43＋6×44＋…＋2(n－1)×4n＋2n×4n＋1，②
由①－②得，－3Sn＝2×41＋2×42＋2×43＋…＋2×4n－2n×4n＋1
＝eq \f(8（1－4n）,1－4)－2n×4n＋1＝eq \f(8（1－4n）,－3)－2n×4n＋1，
∴Sn＝eq \f(8,9)(1－4n)＋eq \f(2n,3)·4n＋1．
[例3] 給出以下三個條件：
①數(shù)列{an}是首項為2，滿足Sn＋1＝4Sn＋2的數(shù)列；
②數(shù)列{an}是首項為2，滿足3Sn＝22n＋1＋λ(λ∈R)的數(shù)列；
③數(shù)列{an}是首項為2，滿足3Sn＝an＋1－2的數(shù)列．
請從這三個條件中任選一個將下面的題目補(bǔ)充完整，并求解．
設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，an與Sn滿足________．
記數(shù)列bn＝lg2a1＋lg2a2＋…＋lg2an，cn＝ eq \f(n2＋n,bnbn＋1)，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．
解析 選①，由已知Sn＋1＝4Sn＋2，(*)，當(dāng)n≥2時，Sn＝4Sn－1＋2，(**)
(*)－(**)，得an＋1＝4(Sn－Sn－1)＝4an，即an＋1＝4an．
當(dāng)n＝1時，S2＝4S1＋2，即2＋a2＝4×2＋2，所以a2＝8，滿足a2＝4a1，
故{an}是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列，所以an＝22n－1．
bn＝lg2a1＋lg2a2＋…＋lg2an＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2，
cn＝ eq \f(n2＋n,bnbn＋1)＝ eq \f(n(n＋1),n2(n＋1)2)＝ eq \f(1,n(n＋1))＝ eq \f(1,n)－ eq \f(1,n＋1)．
所以Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝1－ eq \f(1,n＋1)＝ eq \f(n,n＋1)．
選②，由已知3Sn＝22n＋1＋λ，(*)，當(dāng)n≥2時，3Sn－1＝22n－1＋λ，(**)
(*)－(**)，得3an＝22n＋1－22n－1＝3·22n－1，即an＝22n－1．
當(dāng)n＝1時，a1＝2滿足an＝22n－1，所以an＝22n－1，下同選①．
選③，由已知3Sn＝an＋1－2， (*)，則n≥2時，3Sn－1＝an－2， (**)
(*)－(**)，得3an＝an＋1－an，即an＋1＝4an．
當(dāng)n＝1時，3a1＝a2－2，而a1＝2，得a2＝8，滿足a2＝4a1，
故{an}是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列，所以an＝22n－1，下同選①．
[例4] 在①b1＋b3＝a2，②a4＝b4，③S5＝－25這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中．若問題中的k存在，求出k的值；若k不存在，請說明理由．
設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，{bn}是等比數(shù)列，________，b1＝a5，b2＝3，b5＝－81，是否存在k，使得Sk>Sk＋1且Sk＋111時，an0，當(dāng)n>11時，ann>1，求m的最小值．
7．解析 若選擇①：
(1)當(dāng)n＝1時，由a1＝S1＝1＋p＝1，得p＝0．
當(dāng)n≥2時，由題意得Sn＝n2，Sn－1＝(n－1)2，
所以an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．經(jīng)檢驗，a1＝1符合上式，
所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－1(n∈N*)．
(2)由a1，an，am成等比數(shù)列，得aeq \\al(2,n)＝a1am，即(2n－1)2＝1×(2m－1)，
化簡得m＝2n2－2n＋1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(1,2)))2＋eq \f(1,2)．
因為m，n是大于1的正整數(shù)，且m>n，所以當(dāng)n＝2時，m取得最小值5．
若選擇②：
(1)因為an＝an＋1－3，所以an＋1－an＝3，
所以數(shù)列{an}是公差d＝3的等差數(shù)列，
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝3n－2(n∈N*)．
(2)由a1，an，am成等比數(shù)列，得aeq \\al(2,n)＝a1am，即(3n－2)2＝1×(3m－2)，
化簡得m＝3n2－4n＋2＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(2,3)))2＋eq \f(2,3)．
因為m，n是大于1的正整數(shù)，且m>n，所以當(dāng)n＝2時，m取得最小值6．
若選擇③：
(1)由2an＋1＝an＋an＋2，得an＋1－an＝an＋2－an＋1，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因為a1＝1，a6＝a1＋5d＝11，所以d＝2，
所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1(n∈N*)．
(2)同選擇①．
8．在①b3＝a4，②a3＝3b3，③a2＝4b2這三個條件中任選一個，補(bǔ)充至橫線上，再判斷{cn}是否是遞增數(shù)
列，請說明理由．
已知{an}是公差為1的等差數(shù)列，{bn}是正項等比數(shù)列，a1＝b1＝1，________，cn＝anbn(n∈N*)．判斷{cn}是否是遞增數(shù)列，并說理理由．
(注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分)
8．解析 因為{an}是公差為1，首項為1的等差數(shù)列，所以an＝1＋n－1＝n．設(shè){bn}的公比為q(q>0)．
若選①，由b3＝a4＝4，得b3＝b1q2＝4，而b1＝1，所以q＝2(負(fù)值已舍去)，
所以bn＝2n－1，因此cn＝n·2n－1．
因為eq \f(cn,cn＋1)＝eq \f(n·2n－1,(n＋1)·2n)＝eq \f(n,2(n＋1))

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