1.(2024·湖北荊州模擬)已知橢圓C:=1(a>3)的離心率為,則a=( )
A.5B.6
C.7D.8
2.(2024·安徽A10聯(lián)盟模擬)已知橢圓E:=1(a>b>0)的長軸長是短軸長的2倍,則E的離心率為( )
A.B.
C.D.
3.(2024·貴州貴陽模擬)已知橢圓C:=1的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2,P是橢圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn),且∠F1PF2=90°,則橢圓C的長軸長是( )
A.2B.4C.4D.8
4.(2024·遼寧朝陽模擬)一名木匠準(zhǔn)備制作一張橢圓形的餐桌臺面,如圖,他先將一根細(xì)繩(無彈性)的兩端固定在釘子上,然后用筆撐直繩子,轉(zhuǎn)圈畫出的圖形就是一個(gè)橢圓.如果圖中的兩個(gè)釘子之間的距離為0.9 m,細(xì)繩長為1.5 m,將繩子與釘子固定所用的繩長忽略不計(jì),則過該橢圓的中心的弦中,最短弦長為( )
A.0.6 mB.1.2 m
C.0.8 mD.1.6 m
5.(2024·廣東廣州模擬)已知橢圓E:=1(a>b>0),過點(diǎn)A(-a,0)且方向向量為n=(1,-1)的光線l,經(jīng)直線y=-b反射后過E的右焦點(diǎn)F,則E的離心率為( )
A.B.C.D.
6.(2024·山東淄博模擬)已知橢圓C:=1(a>b>0),F為其左焦點(diǎn),直線y=kx(k>0)與橢圓C交于點(diǎn)A,B,且AF⊥AB.若∠ABF=30°,則橢圓C的離心率為( )
A.B.
C.D.
7.(2022·全國甲,文11)已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,A1,A2分別為C的左、右頂點(diǎn),B為C的上頂點(diǎn).若=-1,則C的方程為( )
A.=1B.=1
C.=1D.+y2=1
8.(2024·湖南湘鋼一中模擬)已知F1,F2分別為橢圓C:=1的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓C上的一點(diǎn),則△PF1F2內(nèi)切圓半徑的最大值為( )
A.B.
C.D.
9.(多選題)(2024·湖北武漢模擬)若橢圓=1(m>0)的某兩個(gè)頂點(diǎn)間的距離為4,則m的可能取值有( )
A.B.C.D.2
10.(多選題)(2024·黑龍江哈師大附中模擬)已知曲線C:mx2+(1-m)y2=1為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,則下列說法正確的是( )
A.0)的右焦點(diǎn),點(diǎn)A(2,3)為C內(nèi)一點(diǎn),若在C上存在一點(diǎn)P,使得|PA|+|PF|=10,則a的取值范圍是( )
A.(4,7]B.(5,7]
C.(5,]D.(4,]
15.已知橢圓E:=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,延長BF2交橢圓E于點(diǎn)P.若點(diǎn)A到直線BF2的距離為,△PF1F2的周長為16,則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A.=1B.=1
C.=1D.=1
16.(2024·云南曲靖模擬)油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品,為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝,某單位于春分時(shí)節(jié)開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié).活動(dòng)中將油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上,如圖所示,該傘的傘沿是一個(gè)半徑為的圓,圓心到傘柄底端的距離為,陽光照射油紙傘在地面形成了一個(gè)橢圓形影子(春分時(shí),該地的陽光與地面夾角為60°),若傘柄底端正好位于該橢圓的焦點(diǎn)位置,則該橢圓的離心率為( )
A.2-B.-1
C.-1D.
17.(2023·全國甲,理12)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),F1,F2為橢圓C:=1的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P在C上,cs∠F1PF2=,則|OP|=( )
A.B.
C.D.
18.(2021·全國甲,理15)已知F1,F2為橢圓C:=1的兩個(gè)焦點(diǎn),P,Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn),且|PQ|=|F1F2|,則四邊形PF1QF2的面積為 .
19.(2024·安徽阜陽模擬)設(shè)橢圓C:=1的右焦點(diǎn)為F,過原點(diǎn)O的動(dòng)直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),那么△ABF的周長的取值范圍為 .
20.已知橢圓=1(a>b>0),焦點(diǎn)F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).若過F1的直線和圓+y2=c2相切,與橢圓在第一象限交于點(diǎn)P,且PF2垂直于x軸,則該直線的斜率是 ,橢圓的離心率是 .
創(chuàng)新 應(yīng)用練
21.(2024·江蘇南通模擬改編)如圖,橢圓C:=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F1,點(diǎn)Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6,7)均勻?qū)ΨQ地分布在橢圓的上半部分,即點(diǎn)Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6,7)的橫坐標(biāo)對應(yīng)的點(diǎn)把線段AB平均分為8份.橢圓的半焦距長為c.記ai=|PiF1|(i=1,2,3,4,5,6,7),數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a+64c=4ac,則S7+a7-128取最小值時(shí),橢圓的離心率為 .
課時(shí)規(guī)范練63 橢圓
1.B 解析 因?yàn)闄E圓C:=1(a>3)的離心率為,所以()2=1-,所以a=6.
2.D 解析 由題意得,2a=4b,所以,∴e=
3.C 解析由橢圓C:=1,可得a2=m+3,b2=m-1.
因?yàn)镻是橢圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn),且∠F1PF2=90°,可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即2a2=4c2=4(a2-b2),可得a2=2b2,即m+3=2(m-1),解得m=5,所以a=2,故橢圓C的長軸長是4
4.B 解析 根據(jù)題意,結(jié)合橢圓定義得:橢圓的長軸長為2a=1.5,焦距為2c=0.9,
所以橢圓的短半軸長為b==0.6.
因?yàn)檫^橢圓中心的弦中,最短的弦為橢圓的短軸,長為2b=1.2,所以過該橢圓的中心的弦中,最短弦長為1.2m.
5.A 解析 設(shè)光線l與直線y=-b的交點(diǎn)為B.
因?yàn)橹本€l的方向向量為n=(1,-1),所以直線l的斜率為-1,則∠FAB=45°.
又由反射光的性質(zhì)可得直線BF的斜率為1,故AB⊥BF,所以△ABF為等腰直角三角形,且點(diǎn)B到AF的距離為b.又AF=a+c,故a+c=2b.
即a2+c2+2ac=4b2=4(a2-c2),則(3a-5c)(a+c)=0,故3a=5c,離心率e=
6.A 解析設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F2,連接AF2,BF2,故四邊形AFBF2為平行四邊形.
設(shè)|AF|=m.因?yàn)锳F⊥AB,∠ABF=30°,所以|BF|=2m,|BF2|=|AF|=m,
|BF|+|BF2|=2m+m=2a,m=a.在△BFF2中,(2c)2=(a)2+(a)2-2aa×cs120°,整理得到4c2=,即c=a,故e=
7.B 解析 由題意知,A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),則=(-a,-b)·(a,-b)=-a2+b2=-1,①
由e=,得e2==1-,
即b2=a2.②
聯(lián)立①②,解得a2=9,b2=8.故選B.
8.C 解析 設(shè)△PF1F2內(nèi)切圓的半徑為r,
由題意得a=4,b=2,c==2,故|F1F2|=4.
設(shè)P(x1,y1),因?yàn)镻為橢圓C上的一點(diǎn),所以00,即

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