2025年新高考數(shù)學(xué)精析考點(diǎn)考點(diǎn)38數(shù)列中的綜合問題(2種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練)學(xué)生版+解析-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

數(shù)列的綜合運(yùn)算問題以及數(shù)列與函數(shù)、不等式等知識(shí)的交匯問題，是歷年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容．一般圍繞等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識(shí)命題，涉及數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等
【核心題型】
題型一等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合運(yùn)算
數(shù)列的綜合問題常將等差、等比數(shù)列結(jié)合，兩者相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化，解答這類問題的方法：尋找通項(xiàng)公式，利用性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化．
【例題1】（2023·湖北荊門·模擬預(yù)測(cè)）血藥濃度檢測(cè)可使給藥方案?jìng)€(gè)體化，從而達(dá)到臨床用藥的安全、有效、合理.某醫(yī)學(xué)研究所研制的某種新藥進(jìn)入了臨床試驗(yàn)階段，經(jīng)檢測(cè)，當(dāng)患者A給藥3小時(shí)的時(shí)候血藥濃度達(dá)到峰值，此后每經(jīng)過2小時(shí)檢測(cè)一次，每次檢測(cè)血藥濃度降低到上一次檢測(cè)血藥濃度的，當(dāng)血藥濃度為峰值的時(shí)，給藥時(shí)間為（）
A．11小時(shí)B．13小時(shí)C．17小時(shí)D．19小時(shí)
【變式1】（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知集合，，將中所有元素按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則m的值等于，的值為 .
【變式2】（2024·四川綿陽(yáng)·三模）已知首項(xiàng)為1的等差數(shù)列滿足：成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【變式3】（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．
(1)求與的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)的前項(xiàng)和為，求證：；
題型二數(shù)列與其他知識(shí)的交匯問題
(1)數(shù)列與不等式的綜合問題及求解策略
①判斷數(shù)列問題的一些不等關(guān)系，可以利用數(shù)列的單調(diào)性比較大小或借助數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性比較大?。?br>②以數(shù)列為載體，考查不等式恒成立的問題，此類問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值．
③考查與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問題，此類問題一般采用放縮法進(jìn)行證明，有時(shí)也可通過構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明．
(2)數(shù)列與函數(shù)交匯問題的主要類型及求解策略
①已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題．
②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要利用數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、求和方法等對(duì)式子化簡(jiǎn)變形
命題點(diǎn)1 數(shù)列與不等式的交匯
【例題2】（2024·重慶·三模）數(shù)列的前項(xiàng)和為，，若對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【變式1】（2024·江蘇蘇州·三模）已知函數(shù).
①當(dāng)時(shí)，，記前項(xiàng)積為，若恒成立，整數(shù)的最小值是 ;
②對(duì)所有n都有成立，則的最小值是 .
【變式2】（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知數(shù)列滿足.
①求數(shù)列的前n項(xiàng)和；
②若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【變式3】（2024·遼寧·二模）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差為d，且.若等差數(shù)列，滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，求n的最大值.
命題點(diǎn)2 數(shù)列與函數(shù)的交匯
【例題3】（2024·福建莆田·三模）已知定義在上的函數(shù)滿足，且，則（）
A．B．C．D．
【變式1】（2024·廣西來賓·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)（n為正整數(shù)）的最小值為．
【變式2】（2024·浙江紹興·三模）已知函數(shù)的所有正零點(diǎn)構(gòu)成遞增數(shù)列．
(1)求函數(shù)的周期和最大值；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和．
【變式3】（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）已知，數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖象上.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，令，求數(shù)列的前2024項(xiàng)和.
【課后強(qiáng)化】
【基礎(chǔ)保分練】
一、單選題
1．（2024·山西陽(yáng)泉·三模）已知等差數(shù)列中，是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)，則的值為（）
A．B．C．D．
2．（2020·遼寧遼陽(yáng)·二模）已知等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列.令，則數(shù)列的前50項(xiàng)和（）
A．B．C．D．
3．（2024·山東·二模）歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如.已知，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，若恒成立，則的最小值為（）
A．B．1C．D．2
4．（2024·福建泉州·二模）在等比數(shù)列中，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，則t的值為（）
A．B．C．4D．5
二、多選題
5．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的函數(shù)滿足：，且，則下列說法中正確的是（）
A．是偶函數(shù)
B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
C．設(shè)數(shù)列滿足，則的前2024項(xiàng)和為0
D．可以是
6．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于正整數(shù)n，是小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目．函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如（與互質(zhì)），則（）
A．若n為質(zhì)數(shù)，則B．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增
C．?dāng)?shù)列的最大值為1D．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列
三、填空題
7．（2021·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知公差不為0的等差數(shù)列的部分項(xiàng)，，，……構(gòu)成等比數(shù)列，且，，，則 .
8．（2023·陜西寶雞·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)、、、成等差數(shù)列，且函數(shù)在時(shí)取到極大值，則 .
9．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，函數(shù)在處取得最大值，若，則
四、解答題
10．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
11．（2024·浙江·二模）歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)且與互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如：，，，數(shù)列滿足.
(1)求，，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，求數(shù)列的前和.
【綜合提升練】
一、單選題
1．（2024·遼寧·二模）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則（）
A．B．若，則，使最大
C．若，則，使最大D．若，則，使最大
2．（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且.設(shè)函數(shù)，記，則數(shù)列的前13項(xiàng)和為（）
A．B．C．7D．13
3．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）定義：滿足為常數(shù)，）的數(shù)列稱為二階等比數(shù)列，為二階公比.已知二階等比數(shù)列的二階公比為，則使得成立的最小正整數(shù)為（）
A．7B．8C．9D．10
4．（2024·江蘇徐州·一模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．若，則正整數(shù)k的最小值為（）
A．11B．12C．13D．14
5．（23-24高三上·山西運(yùn)城·期末）已知等差數(shù)列中，，設(shè)函數(shù)，記，則數(shù)列的前17項(xiàng)和為（）
A．B．C．D．0
6．（2024·安徽池州·二模）對(duì)于數(shù)列，若點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，其中且，則“”是“為遞增數(shù)列”的（）
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
7．（2024·上海奉賢·三模）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，關(guān)于正整數(shù)的方程記為，命題：對(duì)于任意的，存在等差數(shù)列使得有解；命題：對(duì)于任意的，存在等比數(shù)列使得有解；則下列說法中正確的是（）
A．命題為真命題，命題為假命題；B．命題為假命題，命題為真命題；
C．命題為假命題，命題為假命題；D．命題為真命題，命題為真命題；
8．（2024·青?！つM預(yù)測(cè)）已知定義在R上的函數(shù)滿足，，則（）
A．B．C．D．
二、多選題
9．（2024·貴州·三模）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足為的導(dǎo)函數(shù)，且，則（）
A．
B．為奇函數(shù)
C．
D．設(shè)，則
10．（2024·河南·三模）將函數(shù)的零點(diǎn)按照從小到大的順序排列，得到數(shù)列，且，則（）
A．B．在上先增后減
C．D．的前項(xiàng)和為
11．（2022·海南·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于無窮數(shù)列，給出如下三個(gè)性質(zhì)：①；②，；③，，，定義：同時(shí)滿足性質(zhì)①和②的數(shù)列為“s數(shù)列”，同時(shí)滿足性質(zhì)①和③的數(shù)列為“t數(shù)列”，則下列說法正確的是（）
A．若，則為“s數(shù)列”
B．若，則為“t數(shù)列”
C．若為“s數(shù)列”，則為“t數(shù)列”
D．若等比數(shù)列為“t數(shù)列”，則為“s數(shù)列”
三、填空題
12．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則滿足的正整數(shù)的最小值為 .
13．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)滿足．若不等式對(duì)任意的恒成立，則的最小值是．
14．（23-24高三上·河北邢臺(tái)·開學(xué)考試）函數(shù)的最小值是，數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是．
四、解答題
15．（2024·上海虹口·二模）已知等差數(shù)列滿足，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，且，若，求正整數(shù)的最小值.
16．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)數(shù)列的每一項(xiàng)均為正數(shù)，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，求n的最小值．
17．（2024·四川成都·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
18．（23-24高三下·河北衡水·期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求證：．
19．（2024·湖南衡陽(yáng)·三模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng).
(1)若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若函數(shù)，正項(xiàng)數(shù)列滿足：.
（i）證明：；
（ii）證明：.
【拓展沖刺練】
一、單選題
1．（2023·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，數(shù)列，滿足，則（）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·廣東揭陽(yáng)·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列中，，設(shè)函數(shù)，記，則數(shù)列的前13項(xiàng)和為（）
A．7B．13C．20D．26
3．（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則滿足不等式的的值為（）
A．4B．5C．6D．7
4．（23-24高三上·四川·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，若使不等式成立的有且只有三項(xiàng)，則的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
二、多選題
5．（23-24高三下·河北·開學(xué)考試）歐拉函數(shù)是數(shù)論中的一個(gè)基本概念，的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)（只有公因數(shù)1的兩個(gè)正整數(shù)互質(zhì)，且1與所有正整數(shù)（包括1本身）互質(zhì)），例如，因?yàn)?，3，5，7均與8互質(zhì)，則（）
A．B．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增
C．D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和小于
6．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列，對(duì)任意的正整數(shù)m、n都有，則下列結(jié)論可能成立的是（）
A．B．
C．D．
三、填空題
7．（2024·云南楚雄·一模）將函數(shù)（）的所有極小值點(diǎn)按從小到大的順序排列成數(shù)列，則．
8．（23-24高三上·上海楊浦·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，，，.，，試將、、從小到大排列為 .
9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，且，記的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，則當(dāng)不等式成立時(shí)，的最大值為．
四、解答題
10．（23-24高三上·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）點(diǎn)（）在函數(shù)圖象上.數(shù)列{}滿足.
(1)證明：數(shù)列{}為等差數(shù)列.
(2)數(shù)列{}滿足.求為{}前n項(xiàng)和及當(dāng)，求n的最小值.
11．（23-24高三下·湖南·階段練習(xí)）若數(shù)列在某項(xiàng)之后的所有項(xiàng)均為一常數(shù)，則稱是“最終常數(shù)列”.已知對(duì)任意，函數(shù)和數(shù)列滿足.
(1)當(dāng)時(shí)，證明：是“最終常數(shù)列”；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，對(duì)任意正整數(shù).若方程無實(shí)根，證明：不是“最終常數(shù)列”的充要條件是：對(duì)任意正整數(shù)，；
(3)若不是“最終常數(shù)列”，求的取值范圍.

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