理解公因式的概念，掌握提取公因式的方法
理解因式分解的概念，明確因式分解與整式乘法的聯(lián)系與區(qū)別
會用提公因式法進行因式分解
Q1：巧算：29×7+29×2.1+29×0.9。
【分析】原式=29×(7+2.1+0.9)=29×10=290
Q1：巧算：29×7+29×2.1+29×0.9
Q2：完成下列填空：(1) ma+mb+mc=( )(a+b+c) ；(2) x3+x2=( )(x+1) ；(3) abx-aby=( )(x-y) 。
【分析】(1)~(3)中提取的公因式分別為____，____，____。
m x2 ab
【公因式】多項式各項都含有的因式，稱為這個多項式各項的公因式。
完成下列表格，總結提取公因式的方法。
(x+y)為整體，不要拆開
相同字母（或相同多項式）取最小次數(shù)
【提取公因式的方法】三“定”：①定系數(shù)，確定各項系數(shù)的最大公約數(shù)；②定字母，確定各項的相同字母（或相同多項式）因式；③定指數(shù)，確定各項相同字母（或相同多項式）因式的指數(shù)的最低次冪。
例1、多項式18abc2-12a2c6+8abc4的公因式是__________。
【分析】①定系數(shù)，最大公約數(shù)：2；②定字母，相同字母因式：a、c；③定指數(shù)，相同字母因式的指數(shù)的最低次冪：ac2。
例2、多項式a(x2-2x+1)與多項式(x-1)(x+1)的公因式是__________。
【分析】a(x2-2x+1)=a(x-1)2，
①定系數(shù)，最大公約數(shù)：1；②定字母，相同多項式因式：(x-1)；③定指數(shù)，相同字母因式的指數(shù)的最低次冪：(x-1)。
完成下列填空：(1) ma+mb+mc=( )(a+b+c) ，(2) x3+x2=( )(x+1) ，(3) abx-aby=( )(x-y) ，
(4) m(a+b+c)=____________； (5) x2(x+1)=____________ ； (6) ab(x-y)=____________。
【分析】(4)~(6)為________運算，運算的結果為______式；(1)~(3)的等號左側為______式，右側為______式之積，此運算為________。
【因式分解】把一個多項式寫成幾個整式的積的形式，叫做多項式的因式分解。
你能說出因式分解與整式乘法的聯(lián)系與區(qū)別嗎？
【總結】①聯(lián)系：因式分解與整式乘法是互逆運算，因此因式分解可以用整式乘法來檢驗；
②區(qū)別：因式分解的結果是幾個整式的積的形式，整式乘法的結果是多項式的形式。
ma+mb+mc=(m)(a+b+c) x3+x2=(x2)(x+1) abx-aby=(ab)(x-y)
【提公因式法】把多項式的公因式提到括號外，把多項式寫成公因式與另一個多項式的積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。
因式分解+提公因式=提公因式法
分解因式：(1)-2x+4x2-6x3+8x4；
=-(2x·1-2x·2x+2x·3x2-2x·4x3)=-2x(1-2x+3x2-4x3)
【分析】(1)若多項式第一項是負的，一般要提出“-”號，使括號內的第一項的系數(shù)成為正數(shù)；提“-”號時，多項式的各項要變號，
原式=-(2x-4x2+6x3-8x4)
分解因式： (2)6a(m+2n)-4b(m+2n)；
(2)原式=2(m+2n)·3a-2(m+2n)·2b=2(m+2n)(3a-2b)
(m+2n)為整體，不要拆開
分解因式： (3)9(m+n)2-3(m-n)(m+n)。
(3)原式=3(m+n)·3(m+n)-3(m+n)·(m-n)=3(m+n)[3(m+n)-(m-n)]=3(m+n)(2m+4n)
=3(m+n)(2·m+2×2n)=6(m+n)(m+2n)
【注意點】①若多項式第一項是負的，一般要提出“-”號，使括號內的第一項的系數(shù)成為正數(shù)；提出“-”號時，多項式的各項要變號；②提的公因式有可能是單項式，也有可能是多項式，要有整體思想；③因式分解要徹底?。?！
例1、式子從左到右的變形中，屬于因式分解的是（　?。〢．x2-1=x·x-1 B．x2+2xy+1=x(x+2y)+1C．a2b+ab3=ab(a+b2)D．x(x+y)=x2+xy
【分析】因式分解應是幾個整式的積的形式。
例2、已知多項式2x2+bx+c分解因式為2(x-3)(x+1)，則b、c的值為（　?。〢．b=3，c=-1B．b=-6，c=2C．b=-6，c=-4D．b=-4，c=-6
【分析】因式分解與整式乘法是互逆運算，因此因式分解可以用整式乘法來檢驗；
∵2x2+bx+c=2(x-3)(x+1)=2x2-4x-6，∴b=-4，c=-6。
例3、分解因式：(1)9x3y3-21x3y2+12x2y2； (2)y(2a-b)+x(b-2a)。
【分析】(1)原式=3x2y2·3xy-3x2y2·7x+3x2y2·4)=3x2y2(3xy-7x+4)
(2)原式=y·(2a-b)-x·(2a-b)=(2a-b)(y-x)
例4、分解因式：(1)(2x-y)(x+3y)-(2x+3y)(y-2x)；
【分析】(1)原式=(2x-y)·(x+3y)+(2x-y)·(2x+3y)=(2x-y)[(x+3y)+(2x+3y)]=(2x-y)(3x+6y)
=(2x-y)(3·x+3×2y)=3(2x-y)(x+2y)
例5、計算：(-5)2023+(-5)2024。
【分析】原式=1×(-5)2023+(-5)×(-5)2023=(1-5)×(-5)2023=-4×(-5)2023=4×52023。
例6、如圖，某養(yǎng)雞場老板準備用20米的籬笆圍成一個邊長為a、b的長方形場地，已知a2b+ab2=240，則這個長方形場地的面積為________平方米。
【分析】由題意可得：a+b=20÷2=10（米），這個長方形場地的面積為ab，∵a2b+ab2=240，∴ab(a+b)=240，解得：ab=24，∴這個長方形場地的面積為24平方米。
【公因式】多項式各項都含有的因式，稱為這個多項式各項的公因式?！咎崛」蚴降姆椒ā咳岸ā保孩俣ㄏ禂?shù)，確定各項系數(shù)的最大公約數(shù)；②定字母，確定各項的相同字母（或相同多項式）因式；③定指數(shù)，確定各項相同字母（或相同多項式）因式的指數(shù)的最低次冪。
【因式分解】把一個多項式寫成幾個整式的積的形式，叫做多項式的因式分解?！疽蚴椒纸馀c整式乘法的聯(lián)系與區(qū)別】①聯(lián)系：因式分解與整式乘法是互逆運算，因此因式分解可以用整式乘法來檢驗；②區(qū)別：因式分解的結果是幾個整式的積的形式，整式乘法的結果是多項式的形式。
【提公因式法】把多項式的公因式提到括號外，把多項式寫成公因式與另一個多項式的積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法?！咀⒁恻c】①若多項式第一項是負的，一般要提出“-”號，使括號內的第一項的系數(shù)成為正數(shù)；提出“-”號時，多項式的各項要變號；②提的公因式有可能是單項式，也有可能是多項式，要有整體思想；③因式分解要徹底?。?！

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9.5 多項式的因式分解

版本： 蘇科版

年級： 七年級下冊

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