理解完全平方公式的幾何背景和推導過程
能借助口訣牢記兩個完全平方公式，并熟練運用于計算
熟悉完全平方公式的拓展公式
Q1：如圖，求由2個小長方形和2個小正方形拼接而成的大正方形的面積。
如看作1個大正方形，則S=(a+b)2
如看作2個小長方形和2個小正方形，則S=a2+2ab+b2
S=(a+b)2=a2+2ab+b2
請運用所學的知識驗證(a+b)2=a2+2ab+b2的合理性~
【分析】(a+b)2=(a+b)(a+b)，由多項式乘法的運算性質(zhì)可得：(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2。
Q2：如圖，大正方形由2個小長方形和2個小正方形拼接而成的，求藍色小正方形的面積。
法一：S藍=(a-b)2
法二：S藍=a2-2ab+b2
S藍=(a-b)2=a2-2ab+b2
請運用所學的知識驗證(a-b)2=a2-2ab+b2的合理性~
【分析】法一：(a-b)2=(a-b)(a-b)，由多項式乘法的運算性質(zhì)可得：(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2。
【分析】法二：將a-b看作a+(-b)，即將(-b)看作整體，則可直接套用公式：(a+b)2=a2+2ab+b2
[a+(-b)]2=a2+2·a·(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2
完全平方公式的幾何背景
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
【完全平方公式】(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2
【口訣】首平方，末平方，積的兩倍在中央（符號隨中央）。
如何快速記憶這兩個公式呢？
我們不妨從公式的結構特征進行分析。
【結構特征總結】①左邊是兩個數(shù)的和（或差）的平方；②右邊是一個三項式，其中首末兩項分別是兩數(shù)的平方，都為正，中間一項是兩數(shù)積的2倍，其符號與左邊的運算符號相同。
計算：(1)(2a+7b)2； (2)(xy-4)2。
【分析】(1)原式=(2a)2+2·(2a)·(7b)+(7b)2=4a2+28ab+49b2
將2a、7b分別看作整體，則可直接套用公式：(a+b)2=a2+2ab+b2
【分析】(2)原式=(xy)2-2·(xy)·4+42=x2y2-8xy+16
將xy看作整體，則可直接套用公式：(a-b)2=a2-2ab+b2
【注意點】①公式中的a、b可是具體數(shù)，也可以是單項式或多項式；②對形如兩數(shù)和（或差）的平方的計算，都可以用這個公式。
【乘法公式】完全平方公式叫做乘法公式，在計算時可以直接使用。
例1、如圖，對一個正方形進行了分割，通過面積恒等，能夠驗證下列哪個等式（　　）A．x2-y2=(x-y)(x+y) B．(x-y)2=x2-2xy+y2C．(x+y)2=x2+2xy+y2 D．(x-y)2+4xy=(x+y)2
例2、計算：(-3x-4y)2。
【分析】∵互為相反數(shù)的兩數(shù)的平方是相等的，∴原式=(3x+4y)2，
∴原式=(3x)2+2×(3x)·(4y)+(4y)2=9x2+24xy+16y2。
例3、已知(3x+a)2=9x2+bx+4，則b的值為（　?。〢．6 B．±6 C．12 D．±12
【分析】∵(3x+a)2=9x2+6ax+a2=9x2+bx+4，∴a2=4，b=6a，∴a=±2，b=±12。
例4、先化簡，再求值：(a+b)2-(a-b)2+5a(a-b)，其中a=3，b=2。
【分析】(a+b)2-(a-b)2+5a(a-b)=a2+2ab+b2-(a2-2ab+b2)+5a2-5ab=4ab+5a2-5ab=5a2-ab，
當a=3，b=2時，原式=5×9-3×2=39。
【總結】(a+b)2-(a-b)2=4ab
例5、計算：(1)10032； (2)99982。
【分析】(1)10032=(1000+3)2=10002+2×1000×3+32=1000000+6000+9=1006009
(2)99982=(10000-2)2=100002-2×10000×2+22=100000000-40000+4=99960004
計算：(a+b+c)2。
大正方形的面積即(a+b+c)2=3個小正方形與6個長方形的面積之和=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca。
【分析】法二：多項式乘法的運算性質(zhì)
原式=(a+b+c)(a+b+c)=a2+ab+ac+ba+b2+bc+ca+cb+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca。
【分析】法三：完全平方公式
原式=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2·(a+b)·c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca。
將(a+b)看作整體，則可直接套用公式：(a+b)2=a2+2ab+b2
【拓展公式】(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
例、計算：(x-y-z)2。
【分析】原式=[x+(-y)+(-z)]2=x2+(-y)2+(-z)2+2x(-y)+2(-y)(-z)+2(-z)x=x2+y2+z2-2xy+2yz-2zx
將-y、-z分別看作整體，則可直接套用公式：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
【完全平方公式】(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2。【口訣】首平方，末平方，積的兩倍在中央（符號隨中央）?！窘Y構特征總結】①左邊是兩個數(shù)的和（或差）的平方；②右邊是一個三項式，其中首末兩項分別是兩數(shù)的平方，都為正，中間一項是兩數(shù)積的2倍，其符號與左邊的運算符號相同。【注意點】①公式中的a、b可是具體數(shù)，也可以是單項式或多項式；②對形如兩數(shù)和（或差）的平方的計算，都可以用這個公式。

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9.4 乘法公式

版本： 蘇科版

年級： 七年級下冊

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