熟悉乘法公式的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解
能在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式
綜合運(yùn)用兩個(gè)公式法因式分解；綜合運(yùn)用提公因式法與公式法因式分解，理解提公因式法的優(yōu)先性
Q1：已知a+b=7，b-a=2，則a2-b2=________。
【分析】a2-b2=(a+b)(a-b)=7×(-2)=-14。
Q2：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)與平方差公式有何關(guān)聯(lián)？(2)a2-b2=(a+b)(a-b)是因式分解嗎？
【分析】(1)a2-b2=(a+b)(a-b)即平方差公式的逆用；
(2)是，符合因式分解的定義：把一個(gè)多項(xiàng)式寫成幾個(gè)整式的積的形式，叫做多項(xiàng)式的因式分解。
【公式法——平方差公式】a2-b2=(a-b)(a+b)
請分析上述公式的結(jié)構(gòu)特征：
【結(jié)構(gòu)特征】公式的左邊是兩個(gè)數(shù)的平方差，右邊是這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積。
【分析】(1)原式=(m+n)(m-n)
將2x、3y分別看作整體
(2)原式=(2x)2-(3y)2
=(2x+3y)(2x-3y)
分解因式：(4)x4-1；
(4)原式=(x2)2-12
=(x2+1)(x+1)(x-1)
=(x2+1)(x2-1)
分解因式：(5)(a+b+c)2-(a+b-c)2；
(5)原式=[a+b+c+(a+b-c) ][a+b+c+(a+b-c)]=(2a+2b)·2c
=2(a+b)·2c=4c(a+b)
分解因式：(6)49(x+y)2-16(x-y)2。
(6)原式=[7(x+y)]2-[4(x-y)]2=[7(x+y)+4(x-y)][7(x+y)-4(x-y)]=(11x+3y)(3x+11y)
【注意點(diǎn)】公式中的a和b可以是具體數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。
議一議：x2-2能否分解因式？
【實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式】實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式是指可以把因式分解到實(shí)數(shù)的范圍（可用無理數(shù)的形式來表示），一些式子在有理數(shù)的范圍內(nèi)無法分解因式，可是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)就可以繼續(xù)分解因式。
PS：如無特別說明，因式分解的結(jié)果必須是每個(gè)因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止。
分解因式（實(shí)數(shù)范圍）：(1)2x2-1； (2)a4-9。
例1、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　?。〢．x2+xy+y2B．4x2+4x-1C．9-3x+x2D．9x2-16y2
【分析】要用平方差公式分解因式，式子的結(jié)構(gòu)應(yīng)是兩個(gè)數(shù)的平方差。
D．9x2-16y2=(3x)2-(4y)2=(3x+4y)(3x-4y)
【分析】(1)原式=52-(4x)2=(5+4x)(5-4x)
例2、分解因式：(1)25-16x2； (2)(4a+b)2-4(a+b)2。
(2)原式=(4a+b)2-(2a+2b)2=[4a+b+(2a+2b)][4a+b-(2a+2b)]=(6a+3b)(2a-b)=3(2a+b)(2a-b)
【分析】原式=(1034-34)(1034+34)=1000×1068=1068000
例3、巧算：10342-342。
例4、若x+y=2，則代數(shù)式x2-y2+4y的值等于_________。
【分析】x2-y2+4y=(x+y)(x-y)+4y=2(x-y)+4y=2x-2y+4y=2x+2y=2(x+y)=2×2=4。
例5、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x2y-19y。
Q1：(1)已知a+b=7，則a2+2ab+b2=________；(2)已知a-b=1，則a2-2ab+b2=________。
【分析】(1)a2+2ab+b2=(a+b)2=72=49；(2)a2-2ab+b2=(a-b)2=12=1。
Q2：(1)a2±2ab+b2=(a±b)2與完全平方公式有何關(guān)聯(lián)？(2)a2±2ab+b2=(a±b)2是因式分解嗎？
【分析】(1)a2±2ab+b2=(a±b)2即完全平方公式的逆用；
【公式法——完全平方公式】a2±2ab+b2=(a±b)2
【結(jié)構(gòu)特征】公式的左邊是兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)乘積的2倍，右邊是這兩個(gè)數(shù)和（或差）的平方。
【運(yùn)用公式法】運(yùn)用平方差公式、完全平方公式，把一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法。①a2-b2=(a+b)(a-b)②a2±2ab+b2=(a±b)2
【分析】(1)原式=a2-2·a·2+22=(a-2)2
分解因式：(3)4a2+4a+1； (4)4p2-20pq+25q2；
(3)原式=(2a)2+2×2a·1+12
(4)原式=(2p)2-2×2p·5q+(5q)2
分解因式：(5)4+12(x-y)+9(x-y)2。
(5)原式=22+2×2×3(x-y)+[3(x-y)]2
將3(x-y)看作整體
=[2+3(x-y)]2=(3x-3y+2)2
【分析】要用完全平方公式分解因式，式子的結(jié)構(gòu)應(yīng)是兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)乘積的2倍。
【分析】(1)原式=x2y2-4xy+4=(xy)2-2·(xy)·2+22=(xy-2)2
例2、分解因式：(1)(xy-1)(xy-3)+1； (2)(a+b)2-12(a+b)+36。
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b)·6+62=(a+b-6)2
例3、巧算：-101×190+1012+952。
【分析】原式=1012-2×101×95+952=(101-95)2=62=36。
例4、若4x2-kx+1能用完全平方公式分解因式，則k=（　?。〢．-4 B．4 C．-4或4 D．-8或8
【分析】∵4x2-kx+1能用完全平方公式分解因式，∴4x2-4x+1=(2x-1)2或4x2+4x+1=(2x+1)2，∴k=4或-4。
公式法綜合、提公因式法與公式法綜合
【分析】(1)原式=(x2+4)2-(4x)2 =(x2+4x+4)(x2-4x+4)=(x+2)2(x-2)2
例1、綜合運(yùn)用兩個(gè)公式分解因式：(1)(x2+4)2-16x2；
(2)原式=(a2-1)2-2·(a2-1)·3+32 =(a2-1-3)2 =(a2-4)2 =[(a+2)(a-2)]2=(a+2)2(a-2)2
例1、綜合運(yùn)用兩個(gè)公式分解因式：(2)(a2-1)2+6(1-a2)+9；
(3)原式=(a+b)2-2(a+b)(a-b)+(a-b)2 =[(a+b)-(a-b)]2=(2b)2=4b2
例1、綜合運(yùn)用兩個(gè)公式分解因式：(3)(a+b)2-2(a2-b2)+(a-b)2。
例2、綜合運(yùn)用提公因式法與公式法分解因式：(1)50a2-18b2； (2)a2(x-y)-4(x-y)；
(1)原式=2(25a2-9b2)=2(5a+3b)(5a-3b)
(2)原式=(x-y)(a2-4)=(x-y)(a+2)(a-2)
例2、綜合運(yùn)用提公因式法與公式法分解因式：(3)3ax2+6axy+3ay2； (4)162x4-144x2y2+32y4。
(4)原式=2(81x4-72x2y2+16y4)=2(9x2-4y2)2=2[(3x+2y)(3x-2y)]2=2(3x+2y)2(3x-2y)2
(3)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2
【因式分解的注意點(diǎn)】①通常，把一個(gè)多項(xiàng)式分解因式，應(yīng)先提公因式，再運(yùn)用公式，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)：因式分解的第一步永遠(yuǎn)都是提公因式；②進(jìn)行多項(xiàng)式因式分解時(shí)，必須把每一個(gè)因式都分解到不能再分解為止。
【運(yùn)用公式法】運(yùn)用平方差公式、完全平方公式，把一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法。①a2-b2=(a+b)(a-b)結(jié)構(gòu)特征：公式的左邊是兩個(gè)數(shù)的平方差，右邊是這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積。②a2±2ab+b2=(a±b)2結(jié)構(gòu)特征：公式的左邊是兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)乘積的2倍，右邊是這兩個(gè)數(shù)和（或差）的平方?！咀⒁恻c(diǎn)】公式中的a和b可以是具體數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。

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9.5 多項(xiàng)式的因式分解

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