一、教學(xué)目標(biāo)：
1.靈活應(yīng)用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問(wèn)題.
2.將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成用勾股定理的逆定理解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題.
二、教學(xué)重、難點(diǎn)：
重點(diǎn)：靈活應(yīng)用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問(wèn)題.
難點(diǎn)：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成用勾股定理的逆定理解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題.
三、教學(xué)過(guò)程：
復(fù)習(xí)回顧
勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
∵Rt△ABC，a、b為直角邊，c為斜邊.
∴a2+b2=c2
勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c 滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.
∵△ABC的三邊a、b、c滿足a2+b2=c2
∴△ABC是直角三角形
典例解析
例1.如圖，一塊四邊形花圃ABCD中，已知∠B=90°，AB=4m，BC=3m，CD=12m，AD=13m.
(1)求四邊形花圃ABCD的面積；
(2)求C到AD的距離．
（1）解：連接AC，
∵∠B=90°，AB=4m，BC=3m，
∴AC=AB2+BC2=42+32=5m，
∵CD=12m，AD=13m，
∴AC2+CD2=52+122=132=AD2，
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，
∴四邊形花圃ABCD的面積=S△ABC+S△ACD
=12AB?BC+12AC?CD
=12×4×3+12×5×12
=36
∴四邊形花圃ABCD的面積是36m2；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于E，
∵S△ACD=12AD?CE=12AC?CD，
∴13CE=5×12，
∴CE=6013，
∴C到AD的距離是6013m．
例2.在一條東西走向的河流一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中AB=AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水，決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)D（A、D、B在同一條直線上），并新修一條路CD，測(cè)得CB=13千米，CD=12千米，BD=5千米．求原來(lái)的路線AC的長(zhǎng)．
解：∵CB=13千米，CD=12千米，BD=5千米，即52+122=132，
∴CB2=BD2+CD2，
∴△BCD是直角三角形，且∠CDB=90°，
∴∠CDA=90°，
∴AC2=AD2+CD2，
設(shè)AB=AC=x，
∴AD=AB-BD=x-5，
∴x2=x-52+122，即10x=169，
解得：x=16.9，
答：原來(lái)的路線AC的長(zhǎng)為16.9千米．
【針對(duì)練習(xí)】2020年是第六屆全國(guó)文明城市創(chuàng)建周期的第三年，是“強(qiáng)基固本、全力沖刺”的關(guān)鍵之年．“創(chuàng)城”，既能深入改變一座城市的現(xiàn)代化進(jìn)程，也能深刻影響生活在此間的人們．某小區(qū)在社區(qū)管理人員及社區(qū)居民的共同努力之下，在臨街的拐角建造了一塊綠化地（陰影部分）．如圖，已知AB=9m，BC=12m，CD=17m，AD=8m，技術(shù)人員通過(guò)測(cè)量確定了∠ABC=90°．
(1)問(wèn)這片綠地的面積是多少？
(2)小區(qū)內(nèi)部分居民每天必須從點(diǎn)A經(jīng)過(guò)點(diǎn)B再到點(diǎn)C位置，為了方便居民出入，技術(shù)人員打算在綠地中開辟一條從點(diǎn)A直通點(diǎn)C的小路，請(qǐng)問(wèn)如果方案落實(shí)施工完成，居民從點(diǎn)A到點(diǎn)C將少走多少路程？
（1）解：如圖，連接AC，
∵∠ABC=90°，AB=9m，BC=12m，
∴AC=AB2+BC2=92+122=15m，
∵CD=17m，AD=8m，
∴AD2+AC2=DC2，
∴△ADC是直角三角形，即∠DAC=90°，
∴S△DAC=12AD?AC=12×8×15=60m2，S△ACB=12AB?BC=12×9×12=54m2，
∴S四邊形ABCD=S△DAC+S△ACB=60+54=114m2，
（2）解：AB+BC-AC=9+12-15=6m.
例3.如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上. “遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行,“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行16海里，“海天”號(hào)每小時(shí)航行12海里.它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后分別位于點(diǎn)Q，R處，且相距30海里.如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行,能知道“海天”號(hào)沿哪個(gè)方向航行嗎？
解：根據(jù)題意，
PQ=16×1.5=24，
PR=12×1.5=18，
QR=30.
∵ 242+182=302，即PQ2+PR2=QR2
∴ ∠QPR=90°
由“遠(yuǎn)航”號(hào)沿東北方向航行可知，∠1=45°.因此∠2=45°，即“海天”號(hào)沿西北方向航行.
【點(diǎn)睛】解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：?構(gòu)建幾何模型(從整體到局部)；?標(biāo)注有用信息,明確已知和所求；?應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解.
【針對(duì)練習(xí)】如圖，南北方向PQ以東為我國(guó)領(lǐng)海，以西為公海，晚上10時(shí)28分，我邊防反偷渡巡邏101號(hào)艇在A處發(fā)現(xiàn)其正西方向的C處有一艘可疑船只正向我沿?？拷懔⒓赐ㄖ赑Q上B處巡邏的103號(hào)艇注意其動(dòng)向，經(jīng)檢測(cè)，AC=10海里，BC=8海里，AB=6海里，若該船只的速度為12.8海里/時(shí)，則可疑船只最早何時(shí)進(jìn)入我領(lǐng)海？
分析：根據(jù)勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面積公式可求PD，然后再利用勾股定理便可求CD.
解：∵AC=10，AB=6，BC=8，
∴AC2=AB2+BC2，
即△ABC是直角三角形.
設(shè)PQ與AC相交于點(diǎn)D，根據(jù)三角形面積公式有
12BC·AB=12AC·BD，
即6×8=10BD，解得BD=245.
在Rt△BCD中，
又∵該船只的速度為12.8海里/時(shí)，
6.4÷12.8=0.5（小時(shí)）=30（分鐘），
∴需要30分鐘進(jìn)入我領(lǐng)海，即最早晚上10時(shí)58分進(jìn)入我領(lǐng)海.
例4.如圖，已知等腰△ABC的底邊BC=210cm，AH平分∠BAC交BC于H，D是腰AC上點(diǎn)，且CD=2cm，BD=6cm，求AH的長(zhǎng)．
解：∵BC=210，BD=6，CD=2，
∴BC2=(210)2=40，BD2+CD2=62+22=40，
∴BC2=BD2+CD2，
∴△BDC為直角三角形，
∴∠BDC=∠ADB=90°，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=AC，
設(shè)AD=x，則AB=AC=x+2，
在Rt△ABD中，勾股定理得x2+62=(x+2)2，
解得x=8，
∴AB=8+2=10，
∵AB=AC，AH⊥BC，BC=210，
∴BH=HC=10，
由勾股定理得AH=AB2-BH2=310 （cm）．
例5.如圖所示，在△ABC中，AB:BC:CA=3:4:5，且△ABC的周長(zhǎng)為36cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向B點(diǎn)以每秒1cm的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC邊向點(diǎn)C以每秒2cm的速度移動(dòng)，如果P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)3秒時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離為多少？
解：設(shè)AB為3xcm，BC為4xcm，AC為5xcm，
∵△ABC的周長(zhǎng)為36cm，
∴AB+BC+AC=36cm，
即3x+4x+5x=36，
解得：x=3，
∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，
∵AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°．
經(jīng)過(guò)3秒時(shí)，BP=9-3×1=6cm，BQ=2×3=6cm，
又∵在Rt△BPQ中，QP2=BP2+BQ2，
∴PQ=62cm，
即經(jīng)過(guò)3秒時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離為62cm．
課堂小結(jié)
1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒(méi)解決的問(wèn)題嗎？
【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生概括的能力。使知識(shí)形成體系，并滲透數(shù)學(xué)思想方法。
達(dá)標(biāo)檢測(cè)
1.在海面上有兩個(gè)疑似漂浮目標(biāo)． 接到消息后，A艦艇以12海里/時(shí)的速度離開港口O，向北偏西50°方向航行． 同時(shí)，B艦艇在同地以16海里/時(shí)的速度向北偏東方向行駛，如圖所示，離開港口1.5小時(shí)后兩船相距30海里，則B艦艇的航行方向是（ ）
A．北偏東60° B．北偏東50° C．北偏東40° D．北偏東30°
2.如圖，在Rt△ABC中，AB=8，AC=6，BC=10，D是AB的中點(diǎn)，P，Q分別是BC，DC上的動(dòng)點(diǎn)，則AQ+QP的最小值是________．
3.已知:如圖，四邊形ABCD中，AB=20，BC=15， CD=7，AD=24，∠B=90°.求證:∠A+∠C=180.
4.如圖,有一塊地，已知∠ADC=90°，AD=4m， CD=3m，AB=13m，BC=12m.求這塊地的面積.
5.如圖，A，B，C，D是四個(gè)小鎮(zhèn)，它們之間除(B，C外)都有筆直的公路相連接，公共汽車行駛于城鎮(zhèn)之間，其票價(jià)與路程成正比.已知各城鎮(zhèn)間的公共汽車票價(jià)如下:A ? B:10元; A ? C:12. 5元; A ? D:8元; B ? D: 6元;C ? D:4.5元.為了B，C之間的交通方便，在B，C之間建成筆直的公路，請(qǐng)按上述標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算出B，C之間的公路的票價(jià)為多少元?
6.某氣象局監(jiān)測(cè)到一個(gè)沙塵暴中心沿東西方向有A向B移動(dòng)，已知點(diǎn)C處為以城鎮(zhèn)，且點(diǎn)C與A、B兩點(diǎn)的距離AC=30km,BC=40km,AB=50km，以沙塵暴中心為圓心，周圍25km以內(nèi)都會(huì)受到沙塵暴影響．
(1)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明城鎮(zhèn)C是否會(huì)受到影響；
(2)若沙塵暴中心的移動(dòng)速度為20km/h，則沙塵暴影響該城鎮(zhèn)持續(xù)的時(shí)間有多長(zhǎng)？
【參考答案】
C
4.8
3.證明:連接AC.
在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，AC2=AB2+BC2=202+152=252
∴AC=25
∵72+242=252
即CD2+AD2=AC2
∴∠D=90°
∴∠DAB+∠BCD=360°-∠B-∠D=180°
4.解:連接AC.
在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理,
AC2=AD2+CD2=42+32=25
∴AC=5m
∵52+122=132
即AC2+BC2=AB2
∴∠ACB=90°
∴S陰=S△ABC-S△ACD=12×5×12-12×3×4=24(m2)
5.解:連接BC.
∵82+62=102,即AD2+BD2=AB2
∴∠ADB=90°，∴∠BDC=90
在Rt△BDC中，根據(jù)勾股定理，BC=BD2+CD2= 62+4.52 =7.5
因此，B，C之間的公路的票價(jià)為7.5元.
6.（1）解：作CD⊥AB于D，
在三角形ABC中，AC2+BC2=302+402=AB2，
∴△ABC是直角三角形，即∠ACB=90°，
12AB?CD=12AC?BC，
12×50?CD=12×30×40，
解得∶CD=24km

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17.2 勾股定理的逆定理

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