第五章 相交線與平行線（培優(yōu)卷） 考試時(shí)間:120分鐘 滿分：120分 一、單選題（每小題3分，共18分） 1．已知三角形ABC，過AC的中點(diǎn)D作AB的平行線，根據(jù)語(yǔ)句作圖正確的是（????） A． B． C． D． 2．如圖，直線，被所截得的同旁內(nèi)角為，，要使，只要使（　?。? A． B． C． D．， 3．在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系可能是（ ） A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．相交或垂直或平行 4．（2021·安徽·統(tǒng)考中考真題）設(shè)a，b，c為互不相等的實(shí)數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（????） A． B． C． D． 5．已知直線a、b、c在同一平面內(nèi)，則下列說法錯(cuò)誤的是(　　) A．如果a∥b，b∥c，那么a∥c B．a(chǎn)⊥b，c⊥b，那么a∥c C．如果a與b相交，b與c相交，那么a與c一定相交 D．如果a與b相交，b與c不相交，那么a與c一定相交 6．一副直角三角尺疊放如圖所示，現(xiàn)將30°的三角尺固定不動(dòng)，將45°的三角尺繞頂點(diǎn)B逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)E始終在直線的上方，當(dāng)兩塊三角尺至少有一組邊互相平行時(shí)，則所有符合條件的度數(shù)為（????） A．45°，75°，120°，165° B．45°，60°，105°，135° C．15°，60°，105°，135° D．30°，60°，90°，120° 二、填空題（每小題3分，共18分） 7．“若，則，”_____命題（選填“是”或“不是”）． 8．有一個(gè)密碼箱，密碼由三個(gè)數(shù)字組成，甲、乙、丙三個(gè)人都開過，但都記不清了．甲記得：這三個(gè)數(shù)字分別是7，2，1，但第一個(gè)數(shù)字不是7；乙記得：1和2的位置相鄰；丙記得：中間的數(shù)字不是1．根據(jù)以上信息，可以確定密碼是__． 9．（2022秋·黑龍江佳木斯·七年級(jí)?？计谥校⒅苯翘菪纹揭频锰菪?，若，則圖中陰影部分的面積為_________平方單位． 10．把命題“等角的余角相等”改寫成“如果……那么……”的形式:__________________________. 是______命題(填“真”或“假”) 11．如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝5，現(xiàn)將△ABC沿著CB的方向平移到△A′B′C′的位置．若平移的距離為2，則圖中陰影部分的面積為________． 12．（2022秋·重慶·七年級(jí)重慶市綦江中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，直線MN∥PQ，點(diǎn)A在直線MN與PQ之間，點(diǎn)B在直線MN上，連接AB．∠ABM的平分線BC交PQ于點(diǎn)C，連接AC，過點(diǎn)A作AD⊥PQ交PQ于點(diǎn)D，作AF⊥AB交PQ于點(diǎn)F，AE平分∠DAF交PQ于點(diǎn)E，若∠CAE=45°，∠ACB=∠DAE，則∠ACD的度數(shù)是_____． 三、解答題（每小題6分，共30分） 13．（2022秋·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，． （1）試判斷BF與DE的位置關(guān)系，并說明理由； （2）若，，求的度數(shù)． 14．學(xué)習(xí)了兩條直線平行的判定方法1后，謝老師接著問：“由同位角相等，可以判斷兩條直線平行，那么能否利用內(nèi)錯(cuò)角相等來判定兩條直線平行呢？”如圖，直線AB和CD被直線EF所截，∠2＝∠3，ABCD嗎？說明理由． 現(xiàn)請(qǐng)你補(bǔ)充完下面的說理過程： 答：ABCD 理由如下： ∵∠2＝∠3（已知） 且 （ ） ∴∠1＝∠2 ∴ABCD（ ） 15．如圖，己知點(diǎn)P、Q分別在的邊上，按下列要求畫圖： (1)畫射線； (2)過點(diǎn)P畫垂直于射線的線段，垂足為點(diǎn)C； (3)過點(diǎn)Q畫直線平行于射線． 16．指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論，并判斷它們是真命題還是假命題，如果是假命題，舉出一個(gè)反例． （1）兩個(gè)角的和等于平角時(shí)，這兩個(gè)角互為補(bǔ)角； （2）內(nèi)錯(cuò)角相等； （3）兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等． 17．如圖，AE⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，∠1＝∠2，求證：AB∥CD． 四、解答題（每小題8分，共24分） 18．如圖，點(diǎn)是直線AB上一點(diǎn)，OD平分∠AOC，∠BOE=3∠COE,∠DOE=81°，求∠BOE，∠AOD的度數(shù). 19．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OB平分∠EOD． (1)若∠BOE：∠EOC＝1：4，求∠AOC的度數(shù)； (2)在（1）的條件下，畫OF⊥CD，請(qǐng)直接寫出∠EOF的度數(shù)． 20．如圖，已知直線上的點(diǎn)M，N，E滿足，的平分線交于G，作射線． (1)直線與平行嗎？為什么？ (2)若，求的度數(shù)． 五、解答題（每小題9分，共18分） 21．如圖，，平分，設(shè)為，點(diǎn)E是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)． （1）若時(shí)，且，求的度數(shù)； （2）若點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到上方，且滿足，，求的值； （3）若，求的度數(shù)（用含n和的代數(shù)式表示）． 22．如圖，，在的右側(cè)，平分，平分，所在直線交于點(diǎn)，． （1）若，求的度數(shù)； （2）將線段沿方向平移，使得點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，其他條件不變，若，求的度數(shù)． 六、解答題（本大題共12分） 23．（2022秋·貴州黔西·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：直線EF分別與直線AB，CD相交于點(diǎn)G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°． （1）如圖1，求證：AB∥CD； （2）如圖2，點(diǎn)M在直線AB，CD之間，連接GM，HM，求證：∠M＝∠AGM+∠CHM； （3）如圖3，在（2）的條件下，射線GH是∠BGM的平分線，在MH的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)N，連接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度數(shù)． 第五章 相交線與平行線（培優(yōu)卷） 考試時(shí)間:120分鐘 滿分：120分 一、單選題（每小題3分，共18分） 1．已知三角形ABC，過AC的中點(diǎn)D作AB的平行線，根據(jù)語(yǔ)句作圖正確的是（????） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根據(jù)中點(diǎn)的定義，平行線的定義判斷即可． 【詳解】解：過AC的中點(diǎn)D作AB的平行線， 正確的圖形是選項(xiàng)B， 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題考查作圖——復(fù)雜作圖，平行線的定義，中點(diǎn)的定義等知識(shí)，解題關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題． 2．如圖，直線，被所截得的同旁內(nèi)角為，，要使，只要使（　?。? A． B． C． D．， 【答案】C 【分析】由同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行即可判定出，變形后即可得到正確的選項(xiàng)． 【詳解】解：當(dāng)，即時(shí)，，故C正確． 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解本題的關(guān)鍵． 3．在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系可能是（ ） A．相交或垂直 B．垂直或平行 C．平行或相交 D．相交或垂直或平行 【答案】C 【分析】根據(jù)兩條直線有一個(gè)交點(diǎn)的直線是相交線，沒有交點(diǎn)的直線是平行線，可得答案． 【詳解】在同一平面內(nèi)，兩條直線有一個(gè)交點(diǎn)，兩條直線相交；在同一平面內(nèi)，兩條直線沒有交點(diǎn)，兩條直線平行，故C正確； 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系，注意垂直是相交的一種特殊情況，不能單獨(dú)作為一類． 4．（2021·安徽·統(tǒng)考中考真題）設(shè)a，b，c為互不相等的實(shí)數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（????） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】舉反例可判斷A和B，將式子整理可判斷C和D． 【詳解】解：A．當(dāng)，，時(shí)，，故A錯(cuò)誤； B．當(dāng)，，時(shí)，，故B錯(cuò)誤； C．整理可得，故C錯(cuò)誤； D．整理可得，故D正確； 故選：D． 【點(diǎn)睛】本題考查等式的性質(zhì)，掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 5．已知直線a、b、c在同一平面內(nèi)，則下列說法錯(cuò)誤的是(　　) A．如果a∥b，b∥c，那么a∥c B．a(chǎn)⊥b，c⊥b，那么a∥c C．如果a與b相交，b與c相交，那么a與c一定相交 D．如果a與b相交，b與c不相交，那么a與c一定相交 【答案】C 【分析】根據(jù)如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行，同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行進(jìn)行分析即可． 【詳解】A．如果a∥b，b∥c，那么a∥c，說法正確； B．a(chǎn)⊥b，c⊥b，那么a∥c，說法正確； C．如果a與b相交，b與c相交，那么a與c一定相交，說法錯(cuò)誤； D．如果a與b相交，b與c不相交，那么a與c一定相交，說法正確． 故選C． 【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行公理及推論，關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)定理． 6．一副直角三角尺疊放如圖所示，現(xiàn)將30°的三角尺固定不動(dòng)，將45°的三角尺繞頂點(diǎn)B逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)E始終在直線的上方，當(dāng)兩塊三角尺至少有一組邊互相平行時(shí)，則所有符合條件的度數(shù)為（????） A．45°，75°，120°，165° B．45°，60°，105°，135° C．15°，60°，105°，135° D．30°，60°，90°，120° 【答案】A 【分析】分DE∥AB，DE∥AC，BE∥AC，AC∥BD，分別畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角板的特點(diǎn)求解． 【詳解】解：如圖， ①DE∥AB， ∴∠D+∠ABD=180° ∴∠ABD=90° ∴∠ABE=45°； ②DE∥AC， ∵∠D=∠C=90°， ∴B，C，D共線， ∴∠ABE=∠CBE+∠ABC=180°-45°+30°=165°； ③BE∥AC， ∴∠C=∠CBE=90°， ∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=120°； ④AC∥BD， ∴∠ABD=180°-∠A=120°， ∴∠ABE=∠ABD-∠DBE=75°， 綜上：∠ABE的度數(shù)為：45°或75°或120°或165°． 【點(diǎn)睛】本題考查了三角板中的角度計(jì)算，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是注意分類討論，做到不重不漏． 二、填空題（每小題3分，共18分） 7．“若，則，”_____命題（選填“是”或“不是”）． 【答案】是 【分析】根據(jù)命題的定義判斷即可． 【詳解】若，則，是一個(gè)命題. 故答案為：是． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題的判斷，掌握定義是解題的關(guān)鍵．即是表示判斷一件事情的句子是命題. 8．有一個(gè)密碼箱，密碼由三個(gè)數(shù)字組成，甲、乙、丙三個(gè)人都開過，但都記不清了．甲記得：這三個(gè)數(shù)字分別是7，2，1，但第一個(gè)數(shù)字不是7；乙記得：1和2的位置相鄰；丙記得：中間的數(shù)字不是1．根據(jù)以上信息，可以確定密碼是__． 【答案】127 【分析】先根據(jù)第一個(gè)數(shù)字不是7，得出第一個(gè)數(shù)字是1或2，再根據(jù)1和2相鄰，進(jìn)而得出第三個(gè)是7，即可得出結(jié)論． 【詳解】解：∵三個(gè)數(shù)字分別是7，2，1，但第一個(gè)數(shù)字不是7， ∴第一個(gè)數(shù)為1或2， ∵1和2的位置相鄰， ∴前兩個(gè)數(shù)字是1，2或2，1，第三位是數(shù)字7， ∵中間的數(shù)字不是1， ∴第一個(gè)數(shù)字只能是1，第二個(gè)數(shù)字為2，即密碼為127， 故答案為：127 【點(diǎn)睛】此題主要考查了推理與論證，判斷出第三個(gè)數(shù)是7是解本題的關(guān)鍵． 9．（2022秋·黑龍江佳木斯·七年級(jí)?？计谥校⒅苯翘菪纹揭频锰菪?，若，則圖中陰影部分的面積為_________平方單位． 【答案】36 【分析】根據(jù)圖形可知圖中陰影部分的面積等于梯形ABCD的面積減去梯形EFMD的面積，恰好等于梯形EFGH的面積減去梯形EFMD的面積． 【詳解】根據(jù)平移的性質(zhì)得S梯形ABCD?=S梯形EFGH， DC?=?HG?=?10，MC=?2，MG?=?4， DM?=?DC?-?MC?=?10?-?2?=?8， S陰影=?S梯形ABCD-S梯形EFMD =S梯形EFGH-S梯形EFMD =S梯形HGMD = =×(8+10)×4 =?36． 故答案為：36． 【點(diǎn)睛】主要考查了梯形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)，要注意平移前后圖形的形狀和大小不變，本題的關(guān)鍵是能得到：圖中陰影部分的面積等于梯形ABCD的面積減去梯形EFMD的面積，恰好等于梯形EFGH的面積減去梯形EFMD的面積． 10．把命題“等角的余角相等”改寫成“如果……那么……”的形式:__________________________. 是______命題(填“真”或“假”) 【答案】???? 如果兩個(gè)角是兩個(gè)相等角的余角，那么這兩個(gè)角相等.???? 真 【分析】根據(jù)命題由題設(shè)和結(jié)論組成,把條件“兩個(gè)角是同角的余角”寫在如果的后面,把結(jié)論“這兩個(gè)角相等"寫在那么的后面即可 【詳解】命題“同角的余角相等”改寫成“如果..,那么."的 形式是“如果兩個(gè)角是同角的余角,那么這兩個(gè)角相等” 如果兩個(gè)角是同角的余角,那么這兩個(gè)角相等是真命題 【點(diǎn)睛】此題考查命題與定理，掌握三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵 11．如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝5，現(xiàn)將△ABC沿著CB的方向平移到△A′B′C′的位置．若平移的距離為2，則圖中陰影部分的面積為________． 【答案】8 【分析】圖中陰影部分的面積等于大三角形的面積減小三角形的面積，根據(jù)面積公式計(jì)算即可． 【詳解】解：∵∠C=90°，AC=BC=5，平移的距離為2， ∴BC′=DC′=3 ∴陰影面積=5×5÷2-3×3÷2=8． 故答案為8． 【點(diǎn)睛】本題考查平移的性質(zhì)，比較簡(jiǎn)單，解答此題的關(guān)鍵是利用平移的性質(zhì)得出小三角形的底和高． 12．（2022秋·重慶·七年級(jí)重慶市綦江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線MN∥PQ，點(diǎn)A在直線MN與PQ之間，點(diǎn)B在直線MN上，連接AB．∠ABM的平分線BC交PQ于點(diǎn)C，連接AC，過點(diǎn)A作AD⊥PQ交PQ于點(diǎn)D，作AF⊥AB交PQ于點(diǎn)F，AE平分∠DAF交PQ于點(diǎn)E，若∠CAE=45°，∠ACB=∠DAE，則∠ACD的度數(shù)是_____． 【答案】##27度 【分析】延長(zhǎng)FA與直線MN交于點(diǎn)K，通過角度的不斷轉(zhuǎn)換解得∠BCA=45°，然后結(jié)合圖形，利用各角之間的關(guān)系求解即可． 【詳解】解：延長(zhǎng)FA與直線MN交于點(diǎn)K， 由圖可知∠ACD=90°-∠CAD=90°-(45°+∠EAD)=45°-∠FAD=45°-(90°-∠AFD)=∠AFD， ∵M(jìn)N∥PQ， ∴∠AFD=∠BKA=90°-∠KBA=90°-(180°-∠ABM)=∠ABM-90°， ∴∠ACD=∠AFD=(∠ABM-90°)=∠BCD-45°， 即∠BCD-∠ACD=∠BCA=45°， ∴∠ACD=90°-(45°+∠EAD)=45°-∠EAD=45°-∠BCA=45°-18°=27°， 故∠ACD的度數(shù)是27°， 故答案為：27°． 【點(diǎn)睛】本題利用平行線、垂直、角平分線綜合考查角度的計(jì)算，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵． 三、解答題（每小題6分，共30分） 13．（2022秋·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，． （1）試判斷BF與DE的位置關(guān)系，并說明理由； （2）若，，求的度數(shù)． 【答案】（1），理由見解析；（2） 【分析】（1）根據(jù)已知條件，先證明 FG//BC ，繼而得 ∠1=∠3 ，根據(jù) ∠1+∠2=180° 等量代換得 ∠3+∠2=180° ，從而得證； （2）由（1）的結(jié)論，求得 ∠1 ，再根據(jù) BF⊥AC ，求得 ∠1 的余角即可． 【詳解】解：， 理由如下： ， ??， ??， ??， ??， ??； ，， ??， ??，， ??， ??． 【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，求一個(gè)角的余角，熟練平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵． 14．學(xué)習(xí)了兩條直線平行的判定方法1后，謝老師接著問：“由同位角相等，可以判斷兩條直線平行，那么能否利用內(nèi)錯(cuò)角相等來判定兩條直線平行呢？”如圖，直線AB和CD被直線EF所截，∠2＝∠3，ABCD嗎？說明理由． 現(xiàn)請(qǐng)你補(bǔ)充完下面的說理過程： 答：ABCD 理由如下： ∵∠2＝∠3（已知） 且 （ ） ∴∠1＝∠2 ∴ABCD（ ） 【答案】∠1＝∠3；對(duì)頂角相等；同位角相等，兩直線平行 【分析】根據(jù)已知條件及對(duì)頂角相等得出∠1＝∠2，由同位角相等，兩直線平行即可證明． 【詳解】解：ABCD 理由如下：∵∠2＝∠3（已知） 且∠1＝∠3（對(duì)頂角相等） ∴∠1＝∠2 ∴ABCD（同位角相等，兩直線平行）， 故答案為：∠1＝∠3；對(duì)頂角相等；同位角相等，兩直線平行． 【點(diǎn)睛】題目主要考查對(duì)頂角相等及平行線的判定，理解題意，熟練掌握平行線的判定是解題關(guān)鍵． 15．如圖，己知點(diǎn)P、Q分別在的邊上，按下列要求畫圖： (1)畫射線； (2)過點(diǎn)P畫垂直于射線的線段，垂足為點(diǎn)C； (3)過點(diǎn)Q畫直線平行于射線． 【答案】(1)見解析 (2)見解析 (3)見解析 【分析】根據(jù)題意過用直尺作圖，分別P畫垂直于射線OB的射線PC，垂足為點(diǎn)C；過點(diǎn)Q畫直線平行于射線． 【詳解】（1）如圖，射線PQ為所求； （2）如圖，線段PC為所求； （3）如圖，直線QM為所求 【點(diǎn)睛】此題主要考查了基本作圖，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵． 16．指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論，并判斷它們是真命題還是假命題，如果是假命題，舉出一個(gè)反例． （1）兩個(gè)角的和等于平角時(shí)，這兩個(gè)角互為補(bǔ)角； （2）內(nèi)錯(cuò)角相等； （3）兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等． 【答案】（1）題設(shè)：如果兩個(gè)角的和等于平角時(shí)，結(jié)論：那么這兩個(gè)角互為補(bǔ)角；是真命題；（2）題設(shè)：如果兩個(gè)角是內(nèi)錯(cuò)角，那么這兩個(gè)角相等；是假命題，反例見解析；（3）題設(shè)：如果兩條平行線被第三條直線所截，結(jié)論：那么內(nèi)錯(cuò)角相等．是真命題． 【分析】（1）根據(jù)將命題寫成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面寫題設(shè)，“那么”后面寫結(jié)論可得題設(shè)和結(jié)論，根據(jù)平角的定義可得該命題是真命題； （2）根據(jù)將命題寫成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面寫題設(shè)，“那么”后面寫結(jié)論可得題設(shè)和結(jié)論，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得該命題是假命題；利用相交直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角不相等可舉反例； （3）根據(jù)將命題寫成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面寫題設(shè)，“那么”后面寫結(jié)論可得題設(shè)和結(jié)論，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得該命題是真命題；． 【詳解】（1）題設(shè)：如果兩個(gè)角的和等于平角，結(jié)論：那么這兩個(gè)角互為補(bǔ)角；是真命題； （2）題設(shè)：如果兩個(gè)角是內(nèi)錯(cuò)角，那么這兩個(gè)角相等；是假命題，如圖∠1與∠2是內(nèi)錯(cuò)角，∠2＞∠1； （3）題設(shè)：如果兩條平行線被第三條直線所截，結(jié)論：那么內(nèi)錯(cuò)角相等．是真命題． 【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的相關(guān)知識(shí)．將命題寫成“如果…，那么…”的形式，就是要明確命題的題設(shè)和結(jié)論，“如果”后面寫題設(shè)，“那么”后面寫結(jié)論．關(guān)鍵是明確命題與定理的組成部分，會(huì)判斷命題的題設(shè)與結(jié)論． 17．如圖，AE⊥BC，F(xiàn)G⊥BC，∠1＝∠2，求證：AB∥CD． 【答案】見解析 【分析】首先由AE⊥BC，F(xiàn)G⊥BC可得AE∥FG，根據(jù)兩直線平行，同位角相等及等量代換可推出∠A=∠2，利用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得AB∥CD． 【詳解】證明：如圖，設(shè)BC與AE、GF分別交于點(diǎn)M、N. ∵AE⊥BC，F(xiàn)G⊥BC， ∴∠AMB=∠GNB=90°， ∴AE∥FG， ∴∠A=∠1； 又∵∠2=∠1， ∴∠A=∠2， ∴AB∥CD． 【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)及判定，熟記定理是正確解題的關(guān)鍵． 四、解答題（每小題8分，共24分） 18．如圖，點(diǎn)是直線AB上一點(diǎn)，OD平分∠AOC，∠BOE=3∠COE,∠DOE=81°，求∠BOE，∠AOD的度數(shù). 【答案】∠BOE=27°，∠AOD=72°． 【分析】設(shè)∠COE=x，則∠AOD=81°-x，則∠BOE=3x，∠AOC=2 ∠AOD，由∠AOC+∠BOC=180° ，列方程2+4x=180°，解方程求解即可． 【詳解】解：設(shè)∠COE=x， ∵∠BOE=3∠COE，OD平分∠AOC，∠DOE ∠BOE=3∠COE，則∠BOE=3x，∠AOC=2， ∵O是直線AB上一點(diǎn)， ∴ ∠AOC+∠BOC=180° ， ∴2+4x=180°， 解得 ∠AOD=81°- ∴∠BOE=27°，∠AOD= 72°． 【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的定義，角的和差運(yùn)算，鄰補(bǔ)角的含義，解本題的關(guān)鍵是運(yùn)用方程的思想解決幾何問題． 19．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OB平分∠EOD． (1)若∠BOE：∠EOC＝1：4，求∠AOC的度數(shù)； (2)在（1）的條件下，畫OF⊥CD，請(qǐng)直接寫出∠EOF的度數(shù)． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）設(shè)，則，先根據(jù)角平分線的定義可得，，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出的值，從而可得的度數(shù)，然后根據(jù)對(duì)頂角相等即可得； （2）先求出，再分①點(diǎn)在的上方和②點(diǎn)在的下方兩種情況，根據(jù)角的和差即可得． 【詳解】（1）解：由題意，設(shè)，則， 平分， ，， ， ， 解得， ， 由對(duì)頂角相等得：． （2）解：由（1）可知，， ， ， 由題意，分以下兩種情況： ①如圖，當(dāng)點(diǎn)在的上方時(shí)， 則； ②如圖，當(dāng)點(diǎn)在的下方時(shí)， 則； 綜上，的度數(shù)為或． 【點(diǎn)睛】本題考查了與角平分線有關(guān)的計(jì)算、對(duì)頂角相等、一元一次方程的應(yīng)用，較難的是題（2），正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵． 20．如圖，已知直線上的點(diǎn)M，N，E滿足，的平分線交于G，作射線． (1)直線與平行嗎？為什么？ (2)若，求的度數(shù)． 【答案】(1)平行，理由見解析 (2) 【分析】（1）利用已知條件和三角形內(nèi)角和定理，通過等量代換可得，由同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，可得； （2）利用，求出，再利用角平分線的定義求出，再證，利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可求出． （1） 解：．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2） 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． 【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，垂直的定義等，熟練掌握平行線的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵． 五、解答題（每小題9分，共18分） 21．如圖，，平分，設(shè)為，點(diǎn)E是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)． （1）若時(shí)，且，求的度數(shù)； （2）若點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到上方，且滿足，，求的值； （3）若，求的度數(shù)（用含n和的代數(shù)式表示）． 【答案】（1）60°；（2）50°；（3）或 【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得的度數(shù)，應(yīng)用三角形內(nèi)角和計(jì)算的度數(shù)，由已知條件，可計(jì)算出的度數(shù)； （2）根據(jù)題意畫出圖形，先根據(jù)可計(jì)算出的度數(shù)，由可計(jì)算出的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，計(jì)算出的度數(shù)，即可得出結(jié)論； （3）根據(jù)題意可分兩種情況，①若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到上方，根據(jù)平行線的性質(zhì)由可計(jì)算出的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，計(jì)算出的度數(shù)，再，，列出等量關(guān)系求解即可等處結(jié)論；②若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到下方，根據(jù)平行線的性質(zhì)由可計(jì)算出的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，計(jì)算出的度數(shù)，再，列出等量關(guān)系求解即可等處結(jié)論． 【詳解】解：（1），， ， 平分， ， ， 又， ； （2）根據(jù)題意畫圖，如圖1所示， ，， ， ， ， ， 又平分， ， ； （3）①如圖2所示， ， ， 平分， ， ， 又， ， ， 解得； ②如圖3所示， ， ， 平分， ， ， 又， ， ， 解得． 綜上的度數(shù)為或． 【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．?兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．合理應(yīng)用平行線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵． 22．如圖，，在的右側(cè)，平分，平分，所在直線交于點(diǎn)，． （1）若，求的度數(shù)； （2）將線段沿方向平移，使得點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，其他條件不變，若，求的度數(shù)． 【答案】（1）65°；（2）20°或160° 【分析】1）作，如圖1，利用角平分線的定義得到，，利用平行線的性質(zhì)得到，，從而得到的度數(shù)； （2）作，如圖2，利用角平分線的定義得到，，利用平行線的性質(zhì)得到，，從而得到的度數(shù)；如圖3，利用得到，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)可計(jì)算出． 【詳解】解：（1）作，如圖1， 平分，平分， ，， ， ， ，， ； （2）作，如圖2， 平分，平分， ，， ， ， ，， ． 如圖3，平分，平分， ，， ， ， ， ． 如圖4，平分，平分， ，， ， ， ， 而， ． 綜上所述，的度數(shù)為或． 【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)：解題的關(guān)鍵是把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行（或共線）且相等．也考查了平行線的性質(zhì)． 六、解答題（本大題共12分） 23．（2022秋·貴州黔西·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：直線EF分別與直線AB，CD相交于點(diǎn)G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°． （1）如圖1，求證：AB∥CD； （2）如圖2，點(diǎn)M在直線AB，CD之間，連接GM，HM，求證：∠M＝∠AGM+∠CHM； （3）如圖3，在（2）的條件下，射線GH是∠BGM的平分線，在MH的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)N，連接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度數(shù)． 【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）60° 【分析】（1）根據(jù)已知條件和對(duì)頂角相等即可證明； （2）如圖2，過點(diǎn)M作MR∥AB，可得AB∥CD∥MR．進(jìn)而可以證明； （3）如圖3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，則∠N＝2α，∠M＝2α+β，過點(diǎn)H作HT∥GN，可得∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，進(jìn)而可得結(jié)論． 【詳解】（1）證明：如圖1，∵∠AGE+∠DHE＝180°，∠AGE＝∠BGF． ∴∠BGF+∠DHE＝180°， ∴AB∥CD； （2）證明：如圖2，過點(diǎn)M作MR∥AB， 又∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥MR． ∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM． ∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM． （3）解：如圖3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，則∠N＝2α，∠M＝2α+β， ∵射線GH是∠BGM的平分線， ∴， ∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α， ∵， ∴， ∴∠FGN＝2β， 過點(diǎn)H作HT∥GN， 則∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β， ∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β， ∠CHG＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β， ∵AB∥CD， ∴∠AGH+∠CHG＝180°， ∴90°+α+2α+3β＝180°， ∴α+β＝30°， ∴∠GHM＝2（α+β）＝60°． 【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定與性質(zhì)．

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