【寒假作業(yè)】人教A版2019 高中數(shù)學(xué) 高二寒假鞏固訓(xùn)練專題01+空間向量及其應(yīng)用常考題型歸納（十二大考點(diǎn)）-練習(xí)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

思維導(dǎo)圖
核心考點(diǎn)聚焦
考點(diǎn)一、空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算
考點(diǎn)二、空間共線向量與共面定理的應(yīng)用
考點(diǎn)三、空間向量的數(shù)量積、夾角、模長運(yùn)算
考點(diǎn)四、利用空間向量證明平行問題
考點(diǎn)五、利用空間向量證明垂直問題
考點(diǎn)六、求兩異面直線所成角
考點(diǎn)七、求直線與平面所成角
考點(diǎn)八、求平面與平面所成角
考點(diǎn)九、求點(diǎn)到直線距離、異面直線的距離、點(diǎn)面距、線面距、面面距
考點(diǎn)十、立體幾何中的存在問題
考點(diǎn)十一、立體幾何中的折疊問題
考點(diǎn)十二、利用空間向量解決常見壓軸小題
知識點(diǎn)一：空間向量及其加減運(yùn)算
（1）空間向量
在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長度或模．空間向量也可用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的模，若向量的起點(diǎn)是，終點(diǎn)是，則向量也可以記作，其模記為或．
（2）零向量與單位向量
規(guī)定長度為0的向量叫做零向量，記作．當(dāng)有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合時，．
模為1的向量稱為單位向量．
（3）相等向量與相反向量
方向相同且模相等的向量稱為相等向量．在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量．空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面，成為同一平面內(nèi)的兩個向量．
與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為．
（4）空間向量的加法和減法運(yùn)算
①，．如圖所示．
②空間向量的加法運(yùn)算滿足交換律及結(jié)合律
，
知識點(diǎn)二：空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
（1）數(shù)乘運(yùn)算
實數(shù)與空間向量的乘積稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．當(dāng)時，與向量方向相同；當(dāng)時，向量與向量方向相反．的長度是的長度的倍．
（2）空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律
，．
（3）共線向量與平行向量
如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，平行于，記作．
（4）共線向量定理
對空間中任意兩個向量，，的充要條件是存在實數(shù)，使．
（5）直線的方向向量
如圖8-153所示，為經(jīng)過已知點(diǎn)且平行于已知非零向量的直線．對空間任意一點(diǎn)，點(diǎn)在直線上的充要條件是存在實數(shù)，使①，其中向量叫做直線的方向向量，在上取，則式①可化為②
①和②都稱為空間直線的向量表達(dá)式，當(dāng)，即點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時，，此式叫做線段的中點(diǎn)公式．
（6）共面向量
如圖8-154所示，已知平面與向量，作，如果直線平行于平面或在平面內(nèi)，則說明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
（7）共面向量定理
如果兩個向量，不共線，那么向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使．
推論：①空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使；或?qū)臻g任意一點(diǎn)，有，該式稱為空間平面的向量表達(dá)式．
②已知空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，，，滿足向量關(guān)系式（其中）的點(diǎn)與點(diǎn)，，共面；反之也成立．
知識點(diǎn)三：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
（1）兩向量夾角
已知兩個非零向量，，在空間任取一點(diǎn)，作，，則叫做向量，的夾角，記作，通常規(guī)定，如果，那么向量，互相垂直，記作．
（2）數(shù)量積定義
已知兩個非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作，即．零向量與任何向量的數(shù)量積為0，特別地，．
（3）空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律：
，（交換律）；
（分配律）．
知識點(diǎn)四：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用
（1）設(shè)，，則；
；
；
；
；
．
（2）設(shè)，，則．
這就是說，一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減起點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）兩個向量的夾角及兩點(diǎn)間的距離公式．
①已知，，則；
；
；
；
②已知，，則，
或者．其中表示與兩點(diǎn)間的距離，這就是空間兩點(diǎn)的距離公式．
（4）向量在向量上的投影為．
知識點(diǎn)五：法向量的求解與簡單應(yīng)用
（1）平面的法向量：
如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量．
幾點(diǎn)注意：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①法向量一定是非零向量； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②一個平面的所有法向量都互相平行； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內(nèi)，則有．
第一步：寫出平面內(nèi)兩個不平行的向；
第二步：那么平面法向量，滿足．
（2）判定直線、平面間的位置關(guān)系
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①直線與直線的位置關(guān)系：不重合的兩條直線，的方向向量分別為，．
若∥，即，則；
若，即，則．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②直線與平面的位置關(guān)系：直線的方向向量為，平面的法向量為，且．
若∥，即，則；
若，即，則．
（3）平面與平面的位置關(guān)系
平面的法向量為，平面的法向量為．
若∥，即，則；若⊥，即，則⊥．
知識點(diǎn)六：空間角公式．
（1）異面直線所成角公式：設(shè)，分別為異面直線，上的方向向量，為異面直線所成角的大小，則．
（2）線面角公式：設(shè)為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為
與所成角的大小，則．
（3）二面角公式：
設(shè)，分別為平面，的法向量，二面角的大小為，則或（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補(bǔ)），其中．
知識點(diǎn)七：空間中的距離
求解空間中的距離
（1）異面直線間的距離：兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計算．
如圖，設(shè)兩條異面直線的公垂線的方向向量為，這時分別在上任取兩點(diǎn)，則向量在上的正射影長就是兩條異面直線的距離．則即兩異面直線間的距離，等于兩異面直線上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值．
（2）點(diǎn)到平面的距離
為平面外一點(diǎn)（如圖），為平面的法向量，過作平面的斜線及垂線．
用向量法可以證點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、線（或點(diǎn)）共面、兩直線（或線與面、面與面）垂直的問題，也可以求空間角和距離．因此，凡涉及上述類型的問題，都可以考慮利用向量法求解，且其解法一般都比較簡單．
用向量法解題的途徑有兩種：一種是坐標(biāo)法，即通過建立空間直角坐標(biāo)系，確定出一些點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出向量的坐標(biāo)，再進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算；另一種是基底法，即先選擇基向量（除要求不共面外，還要能夠便于表示所求的目標(biāo)向量，并優(yōu)先選擇相互夾角已知的向量作為基底，如常選擇幾何體上共點(diǎn)而不共面的三條棱所在的向量為基底），然后將有關(guān)向量用基底向量表示，并進(jìn)行向量運(yùn)算．
考點(diǎn)剖析
考點(diǎn)一、空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算
例1．（2023·貴州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在四面體中，分別為的中點(diǎn)，為的重心，則（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因為分別為的中點(diǎn)，所以.
因為為的重心，所以，
所以.
故選：B.
例2．（2023·山東青島·高二統(tǒng)考期中）如圖，在三棱錐中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且滿足，若，，，則（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
如圖，連接因點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且滿足
則
即：
故選：C.
例3．（2023·湖北武漢·高二校聯(lián)考期中）如圖，空間四邊形中，，，，點(diǎn)在上，且，，則（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由，，
得
故選：C.
考點(diǎn)二、空間共線向量與共面定理的應(yīng)用
例4．（2023·遼寧·高二本溪高中校聯(lián)考期中）設(shè)向量不共面，已知，，若三點(diǎn)共線，則（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【解析】因為，，
所以，
因為三點(diǎn)共線，所以存在唯一的，使得,
即，
即，解得：.
故選：A.
例5．（2023·山東·高二統(tǒng)考期中）已知空間向量，，，下列命題中正確的（）
A．若向量，共線，則向量，所在的直線平行
B．若向量，所在的直線為異面直線，則向量，一定不共面
C．若存在不全為0的實數(shù)使得，則，，共面
D．對于空間的任意一個向量，總存在實數(shù)使得
【答案】C
【解析】對于A選項：由于與共線，則，所在的直線也可能重合，故A不正確；
對于B選項：根據(jù)自由向量的意義知，空間任意兩向量，都共面，故B不正確；
對于C選項：因為存在不全為0的實數(shù)，使得,不妨設(shè)，
則，由共面向量定理知，，一定共面，故C正確；
對于D選項：只有當(dāng)，，不共面時,空間中任意向量才能表示為.
故D不正確.
故選：C
例6．（2023·湖南岳陽·高二統(tǒng)考期末）向量，，若，則（）
A．，B．，
C．，D．
【答案】B
【解析】由題設(shè)，故.
故選：B
例7．（2023·湖北黃岡·高二校聯(lián)考期中）對空間任意一點(diǎn)和不共線三點(diǎn)，，，能得到，，，四點(diǎn)共面的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】A選項：，故A錯；
B選項：，故B正確；
C選項：，故C錯；
D選項：，故D錯.
故選：B.
例8．（2023·全國·高二專題練習(xí)）八十年代初期，空間向量解決立體幾何問題的思路得到了長足的發(fā)展，已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對空間任意一點(diǎn)O，若，則P，A，B，C四點(diǎn)（）
A．不共面B．不一定共面
C．無法判斷是否共面D．共面
【答案】D
【解析】對于空間任意一點(diǎn)和不共線三點(diǎn)、、，若點(diǎn)滿足：，且，則、、、四點(diǎn)共面.
而，其中，所以四點(diǎn)共面.
故選：D
考點(diǎn)三、空間向量的數(shù)量積、夾角、模長運(yùn)算
例9．（2023·四川南充·高二四川省南充高級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長度都為1，且兩兩夾角為．記，，．

(1)求的長；
(2)求與夾角的余弦值．
【解析】（1）由題意知：，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即的長為，
（2）∵，
∴，
∴，
，
∴，
即與夾角的余弦值為．
例10．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·高二統(tǒng)考期中）如圖，在三棱錐中，，，，，，，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，記，，．
(1)試用基底表示向量，，；
(2)求和的值．
【解析】（1）因為，分別是，的中點(diǎn)，
所以，
，
，
又，所以，
則.
（2）因為，，，，，
所以，
又，
所以
.
例11．（2023·安徽黃山·高二校聯(lián)考期中）如圖，三棱錐中，點(diǎn)D、E分別為和的中點(diǎn)，設(shè)，，．
(1)試用，，表示向量；
(2)若，，求異面直線AE與CD所成角的余弦值．
【解析】（1）
；
（2）由題意可知：，，
故，
，
故，
，
，
則
，
，
由于異面直線和所成角范圍大于小于等于，
∴異面直線和所成角的余弦值為．
例12．（2023·貴州·高二校聯(lián)考期中）如圖，在三棱柱中，分別為和的中點(diǎn)，設(shè)．

(1)用表示向量；
(2)若，，，求．
【解析】（1）由向量的線性運(yùn)算法則，可得：
．
（2）由向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則，可得：
．
考點(diǎn)四、利用空間向量證明平行問題
例13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架的邊長都是1，且它們所在的平面互相垂直．活動彈子M，N分別在正方形對角線和上移動，且和的長度保持相等，記．求證：平面
【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
，，．
顯然平面的一個法向量為，
而，
∵，平面，∴MN//平面BCE．
例14．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，用向量法證明：
(1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；
(2)平面EFGH．
【解析】（1）如圖，連接EG，BG．
因為＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，
由向量共面的充要條件可知，向量，，共面，
又，，過同一點(diǎn)E，從而E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．
（2）因為＝－＝－＝(－)＝，
又E，H，B，D四點(diǎn)不共線，所以EH//BD，
又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，
所以BD//平面EFGH．
例15．（2023·湖南株洲·高二校考期中）如圖，已知在正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)．證明：

(1)平面；
(2)平面平面．
【解析】（1）證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)正方體的棱長為2，則，，，，，．
由正方體的性質(zhì)，知平面，
所以為平面的一個法向量．
由于，
則，
所以．
又平面，
所以平面．
（2）證明：因為為平面的一個法向量，
由于，，
則，
即也是平面MNP的一個法向量，
所以平面平面．
例16．（2023·高二課時練習(xí)）在正方體中，若為中點(diǎn)，為中點(diǎn).

求證：
(1)；
(2)平面；
(3)平面平面．
【解析】（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1．
依題意知：，，，，
∴，，
∴，
∴，即.
（2）設(shè)平面ACD1的法向量為，
∵，，，
∴，，
由可得，，即，
令，則，∴，
又，
∴，∴，
又平面，∴平面．
（3）證法一 ∵，
∴，又，
∴，∴，
又平面，平面，
∴平面，
又由（2）知平面，而，
且平面，平面,
∴平面平面.
證法二設(shè)平面的法向量為
則即∴
令，得，∴，
由（2）知平面ACD1的一個法向量，
∴，∴，
∴平面平面.
考點(diǎn)五、利用空間向量證明垂直問題
例17．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，，，是的中點(diǎn).

(1)試建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并寫出點(diǎn)，的坐標(biāo)；
(2)求的長
(3)求證：.
【解析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.
所以，
（2），，，
.
（3），.
，，，所以.
例18．（2023·廣東廣州·高二廣州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)求證：平面
【解析】（1）
如圖所示，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長為2，
則，所以，
有；
（2）由（1）知，設(shè)平面的一個法向量為，
則，
令，即，
又，顯然，
故平面.
例19．（2023·天津·高二校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，E是的中點(diǎn)，已知，．

(1)求證：；
(2)求證：平面平面．
【解析】（1）以A為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，，，，，
所以，，
所以，所以．
（2）連接，，如圖所示，
因為面，面，所以，
又因為四邊形為正方形，所以，
又因為，、面，所以面，
又因為面，所以平面平面．
考點(diǎn)六、求兩異面直線所成角
例20．（2023·湖南衡陽·高二?？计谥校┤鐖D，圓錐的底面直徑，高，D為底面圓周上的一點(diǎn)，，則直線AD與BC所成角的大小為 .
【答案】
【解析】取的中點(diǎn)E，連接OE，以O(shè)為原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
依題意，，則，
設(shè)直線AD與BC所成的角為，
則，解得，
所以直線AD與BC所成的角為.
故答案為：
例21．（2023·安徽合肥·高二校聯(lián)考期中）如圖，三棱柱的所有棱長均相等，，分別為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為 .
【答案】
【解析】設(shè)三棱柱的所有棱長均為1，
記，
由，得，
得，，，
又，
，
所以.，
又，
，
所以，
故異面直線與所成角的余弦值為.
故答案為：.
例22．（2023·上海浦東新·高二上海市實驗學(xué)校?？计谥校┤鐖D，已知四邊形是矩形，平面且，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為 .
【答案】
【解析】根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，
所以.
所以異面直線與所成角的余弦值為.
故答案為：.
例23．（2023·浙江嘉興·高二校聯(lián)考期中）在正方體中，動點(diǎn)在線段上，，分別為，的中點(diǎn)．若異面直線與所成角為，則的取值范圍為．
【答案】
【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，，，，，，
設(shè)，則，
則．
當(dāng)時，取到最大值，此時；
當(dāng)時，取到最小值，此時．
所以的取值范圍為．
故答案為：
考點(diǎn)七、求直線與平面所成角
例24．（2023·遼寧·高二本溪高中校聯(lián)考期中）如圖①，在等腰直角三角形中，分別是上的點(diǎn)，且滿足.將沿折起，得到如圖②所示的四棱錐.
(1)設(shè)平面平面，證明：；
(2)若垂直于點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.
【解析】（1）因為平面平面，
平面
因為平面，平面平面，
（2）由圖①，得，又，
所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
則，
.
設(shè)平面的一個法向量為.
則，
令，得，故
設(shè)與平面所成角為.
.
直線與平面所成角的正弦值為
例25．（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知空間幾何體，底面為菱形，，，，，，平面平面，，.
(1)求證：；
(2)若直線與平面所成角為，求直線與平面所成角的正弦值.
【解析】（1）證明：平面平面，
平面平面，
，平面，平面，
又平面，.
（2）平面，
與平面所成角為，又，
所以為正三角形，故.
，，為等邊三角形，，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為，，軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，
，，，，，
，故可得點(diǎn)坐標(biāo)為
所以，
設(shè)平面得法向量為，又，，
，令，則，可得，
設(shè)直線與平面所成角為，
例26．（2023·廣東廣州·高二廣州四十七中?？计谥校┰谌鐖D所示的試驗裝置中，兩個正方形框架，的邊長都是1，且它們所在平面互相垂直，活動彈子分別在正方形對角線和上移動，且和的長度保持相等，記，活動彈子在上移動.
(1)求證：直線平面；
(2)a為何值時，的長最小?
(3)為上的點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值的最大值.
【解析】（1）
如圖1，在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，
因為，所以.
由已知可得，，，
所以，，，
所以，，
所以，.
又，所以.
因為平面，，平面，
所以，平面.
同理可得，平面.
因為平面，平面，，
所以，平面平面.
因為平面，所以直線平面.
（2）由（1）可知，，，
所以，，
所以，.
同理可得，.
又平面平面，平面平面，，平面，
所以，平面.
因為平面，所以.
因為，，所以.
所以，是直角三角形，
所以，
.
又，所以，即為線段中點(diǎn)時，有最小值，
所以，當(dāng)時，的長度最小，最小值為.
（3）由（2）知，平面.
又，
如圖2，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，設(shè)，，
所以，，，.
設(shè)是平面的一個法向量，
則，取，則是平面的一個法向量.
因為.
設(shè)與平面所成的角為，
則.
當(dāng)時，；
當(dāng)時，
有
.
因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
所以，，，
所以，.
因為，所以.
綜上所述，與平面所成角的正弦值的最大值為.
例27．（2023·四川達(dá)州·高二四川省萬源中學(xué)校考期中）如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn)．

(1)求直線到平面的距離；
(2)求直線與平面所成角的正弦值．
【解析】（1）為正方體，
,
平面,平面,
平面,則到平面的距離即為點(diǎn)B到平面的距離，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、、，，
則，，,
設(shè)平面的法向量為，由,得，
令，則，，則，
則到平面的距離，
則到平面的距離為；
（2）,
,
直線與平面所成角的正弦值為.
考點(diǎn)八、求平面與平面所成角
例28．（2023·河南·高二校聯(lián)考期中）如圖，已知與都是邊長為2的正三角形，平面平面，平面，.

(1)求點(diǎn)到平面的距離；
(2)求平面與平面的夾角的余弦值.
【解析】（1）作中點(diǎn)，
因為與都是正三角形，所以，
又因為平面平面，且平面平面，
所以平面，
所以分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
，
則，
且，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，令，則，
所以，
所以點(diǎn)到平面的距離；
（2）設(shè)平面的法向量為，
因為，
所以，即，令，則，
所以，
由（1）知面的法向量為，
令平面與平面的夾角為，
則，
所以平面與平面的夾角的余弦值為.
例29．（2023·安徽宿州·高二校聯(lián)考期中）如圖所示，四棱錐的底面為直角梯形，，，平面平面為的中點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)到平面的距離；
(2)求平面和平面所成銳二面角大小的余弦值．
【解析】（1）如圖所示，平面平面，即，
又平面平面，平面，
所以平面，
設(shè)軸，軸平面，
又平面，
所以軸，，
分別以方向為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
因為，
所以由題意，
又因為，平面，，
所以，
又因為，
所以，即，
又為的中點(diǎn)，
所以，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，解得，
即取平面的法向量為，
所以點(diǎn)到平面的距離為.
（2）如圖所示：
由（1）可知平面的法向量為，，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，解得，
即取平面的法向量為，
不妨設(shè)平面和平面所成銳二面角大小為，
則，
即平面和平面所成銳二面角大小的余弦值為.
例30．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）如圖所示，在三棱錐中，平面，是的中點(diǎn)，直線與平面所成角的正切值為2，且.

(1)求直線與平面所成的角；
(2)求二面角的正弦值.
【解析】（1）因為平面，所以直線與平面所成角為.
即，，又平面，所以.
即，解得.
因為，所以.
又平面，所以，平面.
所以平面.
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，.
設(shè)直線與平面所成的角為，.
則，
則，即直線與平面所成的角.
（2）設(shè)平面的法向量為.
.
，取，則.
設(shè)平面的法向量為
，取，則.
，
所以二面角的正弦值為
例31．（2023·廣東江門·高二?？计谥校┤鐖D，已知三棱錐的側(cè)棱，，兩兩垂直，且，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)到面的距離；
(2)求二面角的平面角的余弦值．
【解析】（1）建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)到面的距離為，
則，
所以，
設(shè)平面的一個法向量，
所以，所以，
令，所以，
所以，
所以點(diǎn)到面的距離為；
（2）設(shè)平面的一個法向量為，且，
所以，所以，
令，所以，
所以，
由圖可知二面角的平面角為銳角，
所以二面角的平面角的余弦值為.
考點(diǎn)九、求點(diǎn)到直線距離、異面直線的距離、點(diǎn)面距、線面距、面面距
例32．（2023·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）如圖，在直三棱柱中，．

(1)求證：；
(2)求點(diǎn)到直線的距離．
【解析】（1）建立直角坐標(biāo)系，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，以邊所在直線為軸，以邊所在直線為軸，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示
依題意得，
因為，
所以．
（2）
例33．（2023·山東青島·高二統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，平面，，．
(1)求異面直線與所成角的大?。?br>(2)求直線到平面的距離．
【解析】（1）以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
因為底面為直角梯形，，，，
所以，
則，，，，
，，
設(shè)異面直線與所成角為，則，
所以異面直線與所成角大小為．
（2），平面，平面，平面，
直線到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離．
設(shè)平面的法向量為，，，
則，取，得．
，點(diǎn)到平面的距離．
例34．（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)正方體的棱長為2，求：
(1)求直線到平面的距離；
(2)求平面與平面間的距離.
【解析】（1）以D為原點(diǎn)，為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則
所以，所以，即，
又平面，平面，所以平面，
所以直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離．
設(shè)平面的一個法向量為，
則，令，則，又，
所以點(diǎn)到平面的距離.
（2）由（1）知平面，同理，平面，
又，平面，
所以平面平面，
即平面與平面間的距離等于點(diǎn)到平面的距離．
由（1）知，點(diǎn)到平面的距離.
所以平面與平面間的距離為.
例35．（2023·廣東佛山·高二佛山市順德區(qū)容山中學(xué)校考期中）如圖，在長方體中，，，求：
(1)點(diǎn)到直線BD的距離；
(2)點(diǎn)到平面的距離；
(3)異面直線之間的距離.
【解析】（1）以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，因為，，則，，，，，
所以，，所以在上的投影向量的大小為，又，所以點(diǎn)到直線BD的距離；
（2）由(1) ，，，
設(shè)平面的法向量，則，所以，
取，可得，，所以是平面的一個法向量，向量在法向量上的投影為，所以點(diǎn)到平面的距離為；
（3）由(1) ，，所以，所以，又平面，平面，所以平面，所以異面直線之間的距離與點(diǎn)到平面的距離相等，設(shè)平面的法向量，因為，則，所以，
取，可得，，所以是平面的一個法向量，向量在法向量上的投影為，所以點(diǎn)到平面的距離為；故異面直線之間的距離為.
考點(diǎn)十、立體幾何中的存在問題
例36．（2023·湖北黃岡·高二校聯(lián)考期中）如圖①，在直角梯形中，，，.將沿折起，使平面平面，連，得如圖②的幾何體.
(1)求證：平面平面；
(2)若，二面角的平面角的正切值為，在棱上是否存在點(diǎn)使二面角的平面角的余弦值為，若存在，請求出的值，若不存在，說明理由.
【解析】（1）∵平面平面，平面平面，，平面，
∴平面，
∵平面，
∴，
∵，，平面，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面.
（2）由（1）知平面，，而平面，故.
∴為二面角的平面角，
又平面，平面，
∴，，
∴，.
在①，∴，
令，則，
解得.即，.
在①中作，垂足.
則可得，.
∵平面平面，平面，平面平面，
∴平面，
過作，以為原點(diǎn)，，，分別為軸軸軸建立如圖直角坐標(biāo)系，則
，，，.
，，
設(shè)，.
設(shè)平面的法向量為，則
，∴，取，，即，
設(shè)平面的法向量為，則
，取，，.即.
.
解得（舍去），或.
∴.
例37．（2023·河南信陽·高二統(tǒng)考期中）正三棱柱中，，M是的中點(diǎn)，M到平面的距離為.
(1)求；
(2)在線段上是否存在點(diǎn)P，使平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）取邊的中點(diǎn)，記為O.
由正三棱柱的性質(zhì)可得：,面.
以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：
設(shè)
因為
所以，，，.
則，，，
設(shè)平面的法向量
則，即
取，得.
所以點(diǎn)M到平面的距離
，解得.
所以.
（2）假設(shè)在上存在點(diǎn)P，使平面與平面夾角的余弦值為，則令.
由（1）知，
則，.
設(shè)平面的法向量
則，即
取，得.
因為
所以，解得或（舍去）.
故在線段上存在點(diǎn)P，當(dāng)時，可使平面與平面夾角的余弦值為.
例38．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）如圖所示，在棱長都為4的正三棱柱中，點(diǎn)為的中點(diǎn).
(1)求點(diǎn)到平面的距離；
(2)線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面，若存在，請指出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）在正三棱柱中
點(diǎn)為的中點(diǎn)，
，又面面，面面，面，
面，
以為原點(diǎn)，分別以直線為軸，軸，過點(diǎn)且與面垂直的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，
所以
設(shè)面的法向量為，
所以，取得，
則點(diǎn)到平面的距離為；
（2）假設(shè)線段上存在一點(diǎn)，使得平面平面，
設(shè)，
又，
設(shè)面的法向量為，
則，取，得，
所以，
解得.
故存在點(diǎn)，且為線段中點(diǎn)時，平面平面.
例39．（2023·福建三明·高二統(tǒng)考期中）如圖，正三角形與菱形所在的平面互相垂直，，，是的中點(diǎn)．
(1)求平面與平面所成的角的余弦值；
(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
【解析】（1）連接，，是的中點(diǎn)，故，
平面平面，平面平面，平面，
故平面，平面，故，
三角形為正三角形，故，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
則，，
設(shè)是平面的一個法向量，則，
令，則，所以，
軸與平面垂直，故是平面的一個法向量，
所以，
故平面與平面所成的角的余弦值為.
（2）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為，
，，設(shè)，，
則，
直線與平面所成的角為，，
則，由，解得，
故在線段上存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為，且.
考點(diǎn)十一、立體幾何中的折疊問題
例40．（2023·湖北省直轄縣級單位·高二?？计谥校ㄈ鐖D（1）平面五邊形是由邊長為2的正方形與上底為1，高為的直角梯形組合而成，將五邊形沿著折疊，得到圖（2）所示的空間幾何體，其中.
(1)證明：平面；
(2)求證：平面；
(3)求二面角的余弦值.
【解析】（1）在折疊的過程中，，
由于平面，
所以平面.
（2），由于，，
所以，由于，所以平面，
由于平面，所以，則，
設(shè)，連接，則，
而，所以是的中點(diǎn)，
所以，由于，平面，
所以平面.
（3）由于，是的中點(diǎn)，所以，
由于，平面，
由此以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
，平面的一個法向量為，
，
，
設(shè)平面的法向量為，
則，故可設(shè)，
設(shè)二面角為，由圖可知為銳角，
所以.
例41．（2023·上海閔行·高二?？计谥校┤鐖D，在邊長為12的正方形中，點(diǎn)在線段上，且，作，分別交于點(diǎn)，作，分別交于點(diǎn)，將該正方形沿折疊，使得與重合，構(gòu)成如圖所示的三棱柱.
(1)求四棱錐的體積；
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【解析】（1）在正方形中，
因為
所以三棱柱的底面三角形的邊，
因為，所以,
所以，
因為正方形，,
所以又
所以面.
在直角梯形中, ,
所以,
即四棱錐的體積為20.
（2）
如圖：以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則,
,
設(shè)平面的法向量為
解得：，
所以
又平面的法向量
設(shè)的夾角為
由圖可知二面角平面與平面所成銳二面角的余弦值為銳角，
所以二面角的余弦值為.
例42．（2023·上海浦東新·高二上海南匯中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在邊長為的正方形中，分別為、的中點(diǎn)，分別為、的中點(diǎn)，現(xiàn)沿、、折疊，使三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為，構(gòu)成一個三棱錐.
(1)請判斷與平面的位置關(guān)系，并給出證明；
(2)求四棱錐的體積.
【解析】（1）證明：因為翻折后三點(diǎn)重合，
所以在翻折后的圖形中，分別為的中點(diǎn)，
即是的一條中位線，
，
∵平面，平面，
∴平面.
（2），，
平面，且，
又，，
，
，
，
.
例43．（2023·江西宜春·高二?？奸_學(xué)考試）如圖①梯形中，，，，且，將梯形沿折疊得到圖②，使平面平面，與相交于，點(diǎn)在上，且，是的中點(diǎn)，過三點(diǎn)的平面交于．

(1)證明：是的中點(diǎn)；
(2)是上一點(diǎn)，己知二面角為，求的值．
【解析】（1）在圖①中過C作，則，，
圖②中，，
又∵，∴，∴，∴且．
∴，∴，
在中，，，
∴，又平面ACD，平面ACD，
∴平面ACD，平面平面，
∴，∴，
又是的中點(diǎn)，∴是的中點(diǎn)；
（2）如圖，過作交BE于H，過作于點(diǎn)，連結(jié)，
且，因為平面平面，平面平面，
所以平面，平面，所以，
因為平面，所以，
因為，平面，所以平面，
平面，所以，
則為二面角的平面角，∴，
設(shè)，∴，
又，∴，
在中，，,
由得，即，∴，
∴．
考點(diǎn)十二、利用空間向量解決常見壓軸小題
例44．（多選題）（2023·河南開封·高二河南省蘭考縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考期中）已知四面體的所有棱長均為2，則下列結(jié)論正確的是（）
A．
B．點(diǎn)到平面的距離為
C．四面體的外接球體積為
D．動點(diǎn)在平面上，且與所成角為60°，則點(diǎn)的軌跡是橢圓
【答案】AC
【解析】取中點(diǎn)，連接，可得平面，則，故正確；
在四面體中，過點(diǎn)作平面于點(diǎn)，
則為底面正三角形的重心，因為所有棱長均為2，
，即點(diǎn)到平面的距離為，故錯誤；
設(shè)為正四面體的中心則為內(nèi)切球的半徑，為外接球的半徑，
因為，
所以，即，
所以四面體的外接球體積，故正確；
建系如圖：，設(shè)，
則，，
因為，所以，
即，平方化簡可得：，可知點(diǎn)的軌跡不為橢圓，故錯誤.
故選:．
例45．（多選題）（2023·浙江·高二路橋中學(xué)校考期中）如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是底面正方形內(nèi)的動點(diǎn)（包括邊界），則下列選項正確的是（）
A．存在點(diǎn)滿足
B．滿足的點(diǎn)的軌跡長度是
C．滿足平面的點(diǎn)的軌跡長度是1
D．滿足的點(diǎn)的軌跡長度是
【答案】ABD
【解析】
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則有，,，，，，
對于A選項，若，則，且，，故軌跡方程為，當(dāng)時，，點(diǎn)既在軌跡上，也在底面內(nèi)，故存在這樣的點(diǎn)存在，A正確
對于B選項，，的軌跡方程為，
，在底面內(nèi)軌跡的長度是周長的
故長度為，B正確
對于C選項，，，設(shè)面的法向量
故有，解得，故
平面，，的軌跡方程為
，在底面內(nèi)軌跡的長度為，C錯誤
對于D選項，，
，，的軌跡方程為
，在底面內(nèi)軌跡的長度為，D正確
故選：ABD
例46．（多選題）（2023·湖北·高二校聯(lián)考期中）已知正方體的棱長為，點(diǎn)滿足,其中，為棱的中點(diǎn)，則下列說法正確的有（）
A．若平面，則點(diǎn)的軌跡的長度為
B．當(dāng)時，的面積為定值
C．當(dāng)時，三棱錐的體積為定值
D．當(dāng)時，存在點(diǎn)使得平面
【答案】ABC
【解析】
如圖所示，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，中點(diǎn)，
由正方體的特征可得四邊形是平行四邊形，故，
又中點(diǎn)，中點(diǎn)，所以，所以，
同理四邊形也是平行四邊形，可知，
又平面，平面，可得平面，
同理可得平面，
因為，、平面，平面平面，
若平面，則點(diǎn)的軌跡為線段，
已知正方體的棱長為，則點(diǎn)的軌跡的長度為，故A正確；
當(dāng)時，，則點(diǎn)在線段上運(yùn)動，
由題意易得，
故點(diǎn)到的距離是定值，所以的面積為定值，故B正確；
由正方體特征可知是邊長為的等邊三角形，面積為定值，
又中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，
當(dāng)時，
，
故共線，即點(diǎn)在線段上運(yùn)動，
且，平面，平面，所以平面，
可得點(diǎn)到平面的距離是定值，
可得三棱錐的體積為定值，故C正確；
如下圖所示，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
所以，，，，，，
則，
若存在點(diǎn)使得平面，那么，
而，
故當(dāng)時，不存在點(diǎn)使得平面，故D選項錯誤.
故選：ABC
例47．（多選題）（2023·山東臨沂·高二統(tǒng)考期中）如圖，在棱長為2的正方體中，E為邊AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段上的動點(diǎn)，設(shè)，則（）
A．當(dāng)時，三棱錐A-PCE的體積
B．當(dāng)時，EP∥平面
C．當(dāng)，平面CEP時
D．的最小值為
【答案】BD
【解析】對于A，當(dāng)時，則，故點(diǎn)到平面的距離為,所以,故A錯誤，
對于B，在棱長為2的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則,0,，,2,，,2,，,0,，,2,，,0,，
所以，則點(diǎn),,，
，，，而，
顯然，即是平面的一個法向量，
而，因此平行于平面，即直線與平面平行，B正確；
對于C，取的中點(diǎn)，連接，，，如圖，
因為為邊的中點(diǎn)，則，當(dāng)平面時，平面，
連接，連接，連接，顯然平面平面，
因此，，平面，平面，則平面，
即有，而，
所以，C錯誤．
對于D，，
于是，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，D正確；
故選：BD
過關(guān)檢測
一、單選題
1．（2023上·廣東中山·高二統(tǒng)考期末）在直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，，則與所成角的余弦值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】以點(diǎn)為原點(diǎn)，以為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，，，，，
，，所以，，
所以，
故選：A.
2．（2023下·湖北黃岡·高二統(tǒng)考期中）在正三棱柱中，若，，則點(diǎn)A到平面的距離為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在正三棱柱中，若，，
所以，
由勾股定理可得，
在等腰三角形中，底邊上的高長為，
所以等腰三角形的面積為，
設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為，
，
故選：B
3．已知，均為空間單位向量，它們的夾角為60°，那么等于（）
A．B．C．D．4
【答案】C
【解析】由題意可得，
.
故選：C
4．（2023上·浙江杭州·高二統(tǒng)考期末）在平行六面體中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是（）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因為在平行六面體中，，
所以.
故選：A.
5．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（）
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
【答案】A
【解析】在正方體中，
且平面，
又平面，所以，
因為分別為的中點(diǎn)，
所以，所以，
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，故A正確；
選項BCD解法一：
如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則，
，
則，，
設(shè)平面的法向量為，
則有，可取，
同理可得平面的法向量為，
平面的法向量為，
平面的法向量為，
則，
所以平面與平面不垂直，故B錯誤；
因為與不平行，
所以平面與平面不平行，故C錯誤；
因為與不平行，
所以平面與平面不平行，故D錯誤，
故選：A.
選項BCD解法二：
對于選項B，如圖所示，設(shè)，，則為平面與平面的交線，
在內(nèi)，作于點(diǎn)，在內(nèi)，作，交于點(diǎn)，連結(jié)，
則或其補(bǔ)角為平面與平面所成二面角的平面角，
由勾股定理可知：，，
底面正方形中，為中點(diǎn)，則，
由勾股定理可得，
從而有：，
據(jù)此可得，即，
據(jù)此可得平面平面不成立，選項B錯誤；
對于選項C，取的中點(diǎn)，則，
由于與平面相交，故平面平面不成立，選項C錯誤；
對于選項D，取的中點(diǎn)，很明顯四邊形為平行四邊形，則，
由于與平面相交，故平面平面不成立，選項D錯誤；
故選：A.
6．（2023上·貴州遵義·高二統(tǒng)考期末）如圖所示，空間四邊形中，，，，點(diǎn)在上，且，為中點(diǎn)，則等于（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
可得，
又，．
故選：B．
7．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）在棱長為2的正方體中，分別取棱，的中點(diǎn)，，則點(diǎn)到平面的距離為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意可知，，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因為，
所以.
故選：D
二、多選題
8．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，其中，，則（）
A．當(dāng)時，的周長為定值
B．當(dāng)時，三棱錐的體積為定值
C．當(dāng)時，有且僅有一個點(diǎn)，使得
D．當(dāng)時，有且僅有一個點(diǎn)，使得平面
【答案】BD
【解析】
易知，點(diǎn)在矩形內(nèi)部（含邊界）．
對于A，當(dāng)時，，即此時線段，周長不是定值，故A錯誤；
對于B，當(dāng)時，，故此時點(diǎn)軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．
對于C，當(dāng)時，，取，中點(diǎn)分別為，，則，所以點(diǎn)軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯誤；
對于D，當(dāng)時，，取，中點(diǎn)為．，所以點(diǎn)軌跡為線段．設(shè)，因為，所以，，所以，此時與重合，故D正確．
故選：BD．
9．（2023上·廣東廣州·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，若長方體的面是邊長為2的正方形，高為．E是的中點(diǎn)，則（）
A．
B．平面平面
C．直線與平面所成角的余弦值為
D．點(diǎn)C到平面的距離為
【答案】ACD
【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
則，所以，所以，故A正確；
，
設(shè)平面的法向量為，則，令，則，
設(shè)平面的法向量為，則，令，則，
因為與不平行，所以平面與平面不平行，故B不正確；
又
設(shè)面的法向量為，則，令，則，
所以，則直線與平面所成角的正弦值為
故直線與平面所成角的余弦值為，故C正確；
點(diǎn)C到平面的距離為，故D正確.
故選：ACD.
10．（2023上·浙江·高二校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，底面，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，若線段上存在點(diǎn)，使得，則線段的長度可能值為（）
A．3B．4
C．5D．6
【答案】BCD
【解析】
設(shè)，，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
則，
因為，所以，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，
所以，即.
故選：BCD
三、填空題
11．（2023上·海南·高二校聯(lián)考期中）如圖，在長方體中，，分別為，的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，滿足，若，則．
【答案】/.
【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
因為，分別為，的中點(diǎn)，所以，所以，
又因為，所以，所以，
又因為，，
所以，所以，解得，所以，
故答案為：
12．（2023上·四川內(nèi)江·高二四川省資中縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，兩個正方形，的邊長都是8，且二面角為，M為對角線AC靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn)，N為對角線DF的中點(diǎn)，則線段．
【答案】
【解析】由題意可知，，，
所以為的平面角，
所以，.
因為，
所以，
所以，.
因為，所以.
所以，，
所以，
.
因為，所以，
所以，.
故答案為：.
13．（2023·全國·高二假期作業(yè)）已知是軸上的動點(diǎn)，當(dāng)時，點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)取最小值時，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【答案】
【解析】因為點(diǎn)在軸上，設(shè)，由，
則，解得．
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；
又由于．
，
∴當(dāng)時，取最小值，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為．
四、解答題
14．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；
(2)求二面角的大?。?br>【解析】（1）因為平面平面，
所以，同理，
所以為直角三角形，
又因為，，
所以，則為直角三角形，故，
又因為，，
所以平面.
（2）由（1）平面，又平面，則，
以為原點(diǎn)，為軸，過且與平行的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，
所以，
設(shè)平面的法向量為，則，即
令，則，所以，
設(shè)平面的法向量為，則，即，
令，則，所以，
所以，
又因為二面角為銳二面角，
所以二面角的大小為.
15．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.

(1)證明：平面；
(2)證明：平面平面BEF；
(3)求二面角的正弦值.
【解析】（1）連接，設(shè)，則，，，
則，
解得，則為的中點(diǎn)，由分別為的中點(diǎn)，
于是，即，則四邊形為平行四邊形，
，又平面平面，
所以平面.
（2）法一：由（1）可知，則，得，
因此，則，有，
又，平面，
則有平面，又平面，所以平面平面.
法二：因為，過點(diǎn)作軸平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，
在中，，
在中，，
設(shè)，所以由可得：，
可得：，所以，
則，所以，，
設(shè)平面的法向量為，
則，得，
令，則，所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，得，
令，則，所以，
，
所以平面平面BEF；
（3）法一：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)，
由，得，且，
又由（2）知，，則為二面角的平面角，
因為分別為的中點(diǎn)，因此為的重心，
即有，又，即有，
，解得，同理得，
于是，即有，則，
從而，，
在中，，
于是，，
所以二面角的正弦值為.
法二：平面的法向量為，
平面的法向量為，
所以，
因為，所以，
故二面角的正弦值為.
16．（2023下·湖南長沙·高二?？计谥校┤鐖D，在三棱柱中，，設(shè).
(1)試用向量表示，并求.
(2)在平行四邊形內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）連接，
由題意可知，，且三個向量兩兩夾角均為，
所以.
故，
所以.
（2）假設(shè)存在點(diǎn)使得平面，連接，
不妨設(shè)，則，
而，
所以.
要使平面，只需，
即，
所以，
解得即，
所以存在點(diǎn)，即當(dāng)時，平面.
17．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）三棱臺中，若面，分別是中點(diǎn).

(1)求證：//平面；
(2)求平面與平面所成夾角的余弦值；
(3)求點(diǎn)到平面的距離．
【解析】（1）
連接.由分別是的中點(diǎn)，根據(jù)中位線性質(zhì)，//，且，
由棱臺性質(zhì)，//，于是//，由可知，四邊形是平行四邊形，則//，
又平面，平面，于是//平面.
（2）過作，垂足為，過作，垂足為,連接.
由面，面，故，又，，平面，則平面.
由平面，故，又，，平面，于是平面，
由平面，故.于是平面與平面所成角即.
又，，則，故，在中，，則，
于是
（3）[方法一：幾何法]
過作，垂足為，作，垂足為，連接，過作，垂足為.
由題干數(shù)據(jù)可得，，，根據(jù)勾股定理，，
由平面，平面，則，又，，平面，于是平面.
又平面，則，又，，平面，故平面.
在中，，
又，故點(diǎn)到平面的距離是到平面的距離的兩倍，
即點(diǎn)到平面的距離是.
[方法二：等體積法]
輔助線同方法一.
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為.
，
.
由，即.
18．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；
(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時，求．
【解析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，
，
，
又不在同一條直線上，
.
（2）設(shè)，
則，
設(shè)平面的法向量，
則，
令，得，
，
設(shè)平面的法向量，
則，
令，得，
，
，
化簡可得，，
解得或，
或，
.
19．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．
(1)證明：；
(2)點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．
【解析】（1）連接，因為E為BC中點(diǎn)，，所以①，
因為，，所以與均為等邊三角形，
，從而②，由①②，，平面，
所以，平面，而平面，所以．
（2）不妨設(shè)，，．
，，又，平面平面．
以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
設(shè)，
設(shè)平面與平面的一個法向量分別為，
二面角平面角為,而，
因為，所以，即有，
，取，所以；
，取，所以，
所以，，從而．
所以二面角的正弦值為．

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