知識(shí)聚焦
考點(diǎn)聚焦
知識(shí)點(diǎn)1 向量的坐標(biāo)表示
1、向量的坐標(biāo)表示：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底.對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使，把有序數(shù)對(duì)叫做向量的坐標(biāo)，記作，其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo).在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都是可以用一對(duì)實(shí)數(shù)唯一表示.
2、始點(diǎn)為原點(diǎn)的向量坐標(biāo)與其終點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系：若是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)，則向量的坐標(biāo)就是終點(diǎn)的坐標(biāo)，即若，則點(diǎn)坐標(biāo)為，反之亦成立.
3、向量坐標(biāo)的求法：
①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)；
②設(shè)、，則
4、特殊向量的坐標(biāo)：．
【注意】
（1）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量OA=a，點(diǎn)A的位置被向量a唯一確定，
此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)與向量a的坐標(biāo)統(tǒng)一為(x，y)．
（2）由向量坐標(biāo)的定義，知兩向量相等的充要條件是它們的橫、縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等，
即a＝b?x1＝x2且y1＝y(tǒng)2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
（3）平面向量的坐標(biāo)與該向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)；
應(yīng)把向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)區(qū)別開來，只有起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量坐標(biāo)才與終點(diǎn)坐標(biāo)相等．
（4）當(dāng)向量確定以后，向量的坐標(biāo)就是唯一確定的，因此向量在平移前后，其坐標(biāo)不變．
知識(shí)點(diǎn)2 向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示
1、向量加減法的坐標(biāo)運(yùn)算：已知，則，．
結(jié)論：兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差．
2、向量數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算：若，則；
結(jié)論：實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。
知識(shí)點(diǎn)3 向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
1、數(shù)量積坐標(biāo)表示：若a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，則a?b=x1y1+x2y2
兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積的和。
2、向量垂直的坐標(biāo)表示：若兩個(gè)向量垂直，則a⊥b?x1y1+x2y2=0
3、用坐標(biāo)表示模長(zhǎng)、距離、夾角
（1）向量的模公式：若a=(x1,y1)，則a=x12+y12
（2）兩點(diǎn)間的距離公式：若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2
（3）向量的交角公式：設(shè)兩個(gè)非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，a與b的夾角為θ，
則csθ=a?bab=x1x2+y1y2x12+y12x22+y22
知識(shí)點(diǎn)4 線段的定比分點(diǎn)與λ
設(shè)、是直線上的兩點(diǎn)，是上不同于、的任一點(diǎn)，則一定存在實(shí)數(shù)，使，叫做點(diǎn)分所成的比.有三種情況：

(內(nèi)分) (外分)() (外分) ()
（1）定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：若點(diǎn)，，為實(shí)數(shù)，且，
則點(diǎn)坐標(biāo)為，我們稱為點(diǎn)分所成的比.
（2）點(diǎn)的位置與的范圍的關(guān)系：
①當(dāng)時(shí)，與同向共線，這時(shí)稱點(diǎn)為的內(nèi)分點(diǎn)；
②當(dāng)()時(shí)，與反向共線，這時(shí)稱點(diǎn)為的外分點(diǎn).
知識(shí)點(diǎn)4 向量平行的坐標(biāo)表示
坐標(biāo)表示：一般地，設(shè)向量，，則
特別的，當(dāng)且時(shí)，有，即兩個(gè)向量的相應(yīng)坐標(biāo)成比例。
【注意事項(xiàng)】
（1）兩個(gè)向量，平行的條件容易寫錯(cuò)，該條件的正確記法為“交叉相乘，差為0”；
（2）當(dāng)兩個(gè)非零的共線向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)同號(hào)或同為零時(shí)，同向；當(dāng)兩個(gè)非零的共線向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)異號(hào)或同為零時(shí)，反向。
考點(diǎn)剖析
考點(diǎn)1 向量的坐標(biāo)表示
【例1】（2023·江西·高一校聯(lián)考期末）若點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所以，故選:B.
【變式1-1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖所示，為單位正交基，則向量，的坐標(biāo)分別是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系，可知，，
∴，，故選：C.
【變式1-2】（2023·新疆烏魯木齊·高一?？计谥校┤簦c(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)，故，而，
故，故，故，故選：A.
【變式1-3】（2023·四川綿陽·高一南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┮阎c(diǎn)，，向量，則向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)，則，
故，解得，所以，
又因?yàn)椋?故選：A
【變式1-4】（2023·四川南充·高一統(tǒng)考期末）已知向量，將向量繞原點(diǎn)O沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到的位置，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所以向量與軸正方向的夾角為，
向量繞原點(diǎn)O沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到的位置，則與軸正方向的夾角為，
此時(shí)點(diǎn)在軸上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，故選：C.
考點(diǎn)2 向量線性運(yùn)算坐標(biāo)表示
【例2】（2023·陜西西安·高一階段練習(xí)）已知向量，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)?，，所?故選：D.
【變式2-1】（2023·西藏林芝·高一?？计谀┮阎蛄?，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】向量，，則.故選:C
【變式2-2】（2023·河南商丘·高一?？茧A段練習(xí)）已知向量，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)?，所?故選：D
【變式2-3】（2023·福建龍巖·高一校聯(lián)考期中）若向量，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)橄蛄浚?，所以，故選：C.
【變式2-4】（2023·四川眉山·高一校考期中）已知向量滿足，，，則（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
【答案】B
【解析】設(shè)，，又，，
所以，且，解得，，即，.
所以，
則，解得，故，故選：B.
考點(diǎn)3 向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
【例3】（2023·河北滄州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示的圖形中，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則（ ）
A． B． C．0 D．4
【答案】D
【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，
故，，
則.故選:D.
【變式3-1】（2023·廣東陽江·高一廣東兩陽中學(xué)?？计谀┮阎?，，若，則x等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【解析】由題意，，，，，解得：.故選：C.
【變式3-2】（2023·江西宜春·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知邊長(zhǎng)為2的菱形中，，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，垂直于軸的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，
則，
因?yàn)椋?br>所以，解得，故，
則.故選：B
【變式3-3】（2023·河北石家莊·高一校考期中）等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，，，，P為腰AD所在直線上任意一點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】等腰梯形ABCD中，作垂直于于點(diǎn)，作垂直于于點(diǎn)，
又，，，
則，，，，
則建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，
則，，，，
又P為腰AD所在直線上任意一點(diǎn)，
則設(shè)，，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
所以，，
又關(guān)于的二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，
則在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)，即點(diǎn)P和點(diǎn)D重合時(shí)，取得最小值．
故的最小值是．故選：C．
考點(diǎn)4 利用坐標(biāo)解決向量垂直問題
【例4】（2023·云南昆明·高一?？计谥校┮阎蛄浚?，且，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?，解得．故選：C.
【變式4-1】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知向量，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】法一：用坐標(biāo)表示向量
由題意可知，，
由得，，
整理得，，所以．則A對(duì)；
法二：因?yàn)橄蛄浚裕?br>又，所以，
所以.故選：A．
【變式4-2】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知，，，若，則 .
【答案】
【解析】由，，得，
又，則，解得.
【變式4-3】（2023·甘肅臨夏·高一統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)及平面向量，，．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)k的值．
【答案】（1）4；（2）
【解析】（1）,
因?yàn)辄c(diǎn)P在x軸上，所以，解得.
（2），，
又因?yàn)椋?br>所以，解得.
考點(diǎn)5 利用坐標(biāo)求向量的模長(zhǎng)
【例5】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知向量，則（ ）
A．10 B．5 C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?，所以，所?故選：C
【變式5-1】（2023·北京順義·高一牛欄山一中校考期中）已知向量，，則向量的模為 .
【答案】5
【解析】因?yàn)?，?br>又，所以，.
【變式5-2】（2023·云南昆明·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)向量，，，則（ ）
A． B． C． D．10
【答案】C
【解析】，故，
又，，
故，解得.故選：C
【變式5-3】（2023·河南周口·高一統(tǒng)考期中）如圖．在直角梯形中，，，，點(diǎn)P是腰上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 ．
【答案】4
【解析】由在直角梯形中．，
則，則以A為原點(diǎn)，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)，設(shè)，則，
故，
所以，故，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得等號(hào)，即的最小值為4.
考點(diǎn)6 利用坐標(biāo)求向量的夾角
【例6】（2023·廣東佛山·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量，則與夾角的余弦值為 ．
【答案】
【解析】由題意可得：，，
所以與夾角的余弦值.
【變式6-1】（2023·河北邢臺(tái)·高一邢臺(tái)市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)，，向量，，則與的夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)，，向量，，
所以，，
所以與的夾角的余弦值.故選：A
【變式6-2】（2023·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末）已知向量，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)椋?br>所以，
又因?yàn)椋?，解得?br>則，所以，
所以.故選：D
【變式6-3】（2023·上?！じ咭恍？计谀┤粝蛄浚?，且與的夾角為銳角，則的取值范圍為
【答案】
【解析】因?yàn)橄蛄?，，且與的夾角為銳角，所以，且與不共線，
由，得，解得，
若與共線，則，得，所以當(dāng)時(shí)，與不共線，
綜上，且，即的取值范圍為.
考點(diǎn)7 利用坐標(biāo)求向量的夾角
【例7】（2023·上?！じ咭豢亟袑W(xué)?？计谀┮阎苯亲鴺?biāo)平面上兩點(diǎn)、，若滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 .
【答案】
【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因?yàn)辄c(diǎn)，，所以，，
因?yàn)?，所以，解得?br>所以點(diǎn)的坐標(biāo)為
【變式7-1】（2023·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)，向量，，點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?，可得?br>又因?yàn)辄c(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，
則或，
所以或，
即點(diǎn)的坐標(biāo)為或.故選：C.
【變式7-2】（2023·貴州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，點(diǎn)分所成的比為，則與的值分別為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，，，∴，，
∵分所成的比為，
∴，即，
∴有，解得.故選：D.
【變式7-3】（2023·山東棗莊·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知點(diǎn)是的重心，點(diǎn)，，，點(diǎn)是上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】點(diǎn)是的重心，點(diǎn)，，，
設(shè)點(diǎn)，，A選項(xiàng)正確；
點(diǎn)是上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則
設(shè)則即,解得，B選項(xiàng)正確;
因?yàn)?，則，
即，C選項(xiàng)錯(cuò)誤;
，D選項(xiàng)錯(cuò)誤;故選:AB.
考點(diǎn)8 由坐標(biāo)判斷向量是否共線
【例8】（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】能作為平面內(nèi)的基底，則兩向量與不平行，
A選項(xiàng)，，∴與不平行；
B選項(xiàng)，，∴與不平行；
C選項(xiàng)，，∴與不平行；
D選項(xiàng)，，∴.故選：ABC.
【變式8-1】（2023·浙江嘉興·高一?？茧A段練習(xí)）（多選）下列向量中與共線的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】因?yàn)?，所以與共線，因此選項(xiàng)A正確；
因?yàn)?，所以與不共線，因此選項(xiàng)B不正確；
因?yàn)?，所以與共線，因此選項(xiàng)C正確；
因?yàn)榱阆蛄颗c任何向量平行，因此選項(xiàng)D正確，故選：ACD
【變式8-2】（2023·貴州畢節(jié)·高一?？计谥校┮阎蛄?，，則與向量共線的向量的坐標(biāo)可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)條件求出向量的坐標(biāo)，再結(jié)合向量共線的坐標(biāo)公式逐項(xiàng)計(jì)算判斷即可.
對(duì)選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以兩向量共線，A正確；
對(duì)選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以兩向量不共線，B錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以兩向量不共線，C錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以兩向量不共線，D錯(cuò)誤；故選：A.
【變式8-4】（2023·北京平谷·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，那么向量可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】向量，，則存在，使得
故只有向量符合，故選：A.
考點(diǎn)9 由向量共線(平行)求參數(shù)
【例9】（2023·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學(xué)?？计谥校┮阎?，若，則實(shí)數(shù)（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】,,
由得，，解得，故選：C.
【變式9-1】（2023·河北邢臺(tái)·高一邢臺(tái)市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）向量，，，，若，則 .
【答案】6或
【解析】因?yàn)?，所以設(shè)，
則，
若不共線，則，則，無實(shí)根，不符合題意；
則共線，因?yàn)橄蛄?，?br>所以，解得或.
【變式9-2】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知，，，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)x，y應(yīng)滿足的關(guān)系式．
【答案】
【解析】由已知可得，.
因?yàn)椋?，所以有，整理可得?
【變式9-3】（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高二?？奸_學(xué)考試）平面給定三個(gè)向量，，
（1）若，求的值；
（2）若向量與向量共線，求實(shí)數(shù)k的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由題知，，所以，
又因?yàn)椋?，解得，所?
（2）由題知，，
又因?yàn)榕c共線，所以，解得：.
考點(diǎn)10 由坐標(biāo)解決三點(diǎn)共線問題
【例10】（2023·貴州安順·高一統(tǒng)考期末）若三點(diǎn)、、共線，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】已知三點(diǎn)、、共線，則，，
由題意可知，所以，，解得.故選：D.
【變式10-1】（2023·江蘇無錫·高一天一中學(xué)校考期末）已知點(diǎn)，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意可知
由于A，B，C三點(diǎn)共線，所以與共線，
所以，所以,故選：D
【變式10-2】（2023·河北邯鄲·高一統(tǒng)考期中）已知向量，，，若B，C，D三點(diǎn)共線，則（ ）
A．－16 B．16 C． D．
【答案】A
【解析】由題意得，，
因?yàn)锽，C，D三點(diǎn)共線，所以，則，得.故選：A.
【變式10-3】（2023·新疆·高一八一中學(xué)?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，向量，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，則，，
即，
則，解得.故選：C
過關(guān)檢測(cè)
一、單選題
1．（2023·重慶·高一?？计谥校┮阎?，則的中點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)的中點(diǎn)坐標(biāo)是，
由三點(diǎn)共線可知，即，解得；
所以中點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：B
2．（2023·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期末）下列各組向量中，可以作為基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】只要兩個(gè)向量不共線，即可作為基底向量
對(duì)于A，因?yàn)?，，所以，則共線，故A不符合；
對(duì)于B，因?yàn)?，，所以，則共線，故B不符合；
對(duì)于C，因?yàn)?，，所以，則共線，故C不符合；
對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以?br>則不共線，故D符合；故選：D.
3．（2023·甘肅武威·高一天祝藏族自治縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)橄蛄浚?，?br>所以，即，則.故選:B.
4．（2023·吉林長(zhǎng)春·高一長(zhǎng)春外國(guó)語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知向量，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】向量，且，
故選：C
5．（2023·貴州安順·高一統(tǒng)考期末）已知向量，則向量在向量上的投影向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)?，?br>所以，，
所以向量在向量上的投影向量為.故選：D
6．（2023·河北保定·高一統(tǒng)考期中）已知、、三點(diǎn)共線，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)?、、，則，，
因?yàn)椤?、三點(diǎn)共線，則，所以，即．故選：C.
7．（2023·江蘇常州·高一校聯(lián)考期末）已知向量，，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因?yàn)?，?br>所以，，，
設(shè)與的夾角為，則，
又，所以.故選：A
8．（2023·四川成都·高一樹德中學(xué)?？计谀┮阎獙?duì)任意平面向量，把繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點(diǎn)繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)．已知平面內(nèi)點(diǎn)，把點(diǎn)繞點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)，則，將點(diǎn)繞點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，
即將點(diǎn)繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，
可得，
化簡(jiǎn)可得，，
又因?yàn)椋?br>所以，解得，所以.故選：D
二、多選題
9．（2023·廣西玉林·高一校聯(lián)考期末）已知是單位向量，且，則（ ）
A．與垂直 B．
C．與的夾角為 D．在上投影向量的坐標(biāo)為
【答案】AD
【解析】，因?yàn)槭菃挝幌蛄浚?br>所以，所以，所以，故A正確；
因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?br>設(shè)與的夾角為，所以，
所以與的夾角為，故錯(cuò)誤；
在上的投影向量坐標(biāo)為，所以D對(duì).故選：AD.
10．（2023·云南大理·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】因?yàn)橄蛄?，?br>則，，
因此，A錯(cuò)誤，B正確；
由，知C錯(cuò)誤；
，D正確，故選：BD
11．（2023·廣東東莞·高一?？茧A段練習(xí)）（多選）已知平面向量，，，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則向量在上的投影向量為 D．若，則向量與的夾角為銳角
【答案】AB
【解析】已知平面向量，，，
對(duì)于選項(xiàng)A，若，則，即，即選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，若，則，即，即選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，若，則，
則向量在上的投影向量為，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)，向量與的夾角為銳角錯(cuò)誤，即選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AB．
12．（2023·廣東中山·高一中山紀(jì)念中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在邊長(zhǎng)為2的正中，滿足相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量為
【答案】AD
【解析】因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，是上的點(diǎn)，且，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖：
則，
又因?yàn)椋礊檫吷系囊粋€(gè)靠近的三等分點(diǎn)，于是，
設(shè)，則，而，
由三點(diǎn)共線得，解得，即，因此是的中點(diǎn)，
因?yàn)?，所以，A正確；
因?yàn)?，，B錯(cuò)誤；
顯然，，
因此，C錯(cuò)誤；
又因?yàn)椋?br>所以在方向上的投影向量，D正確.故選：AD
三、填空題
13．（2023·上海閔行·高一?？茧A段練習(xí)）已知向量，，則向量的單位向量是 .
【答案】
【解析】因?yàn)?，?br>所以，則，
所以向量的單位向量為.
14．（2023·河北石家莊·高一?？计谥校┮阎蛄?，若與共線，則m的值為 ．
【答案】
【解析】向量，則，
，
由向量與共線，得，解得，所以m的值為.
15．（2023·江蘇泰州·高一統(tǒng)考期中）如圖，在4×4的方格紙中，若起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)的向量，，滿足，則 ．
【答案】7
【解析】建立如圖所示直角坐標(biāo)系，設(shè)小方格的邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度1，
可得，同理可得，
，
將方程組中兩式相加,可得.
16．（2023·湖北黃岡·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)向量，，且，則 ．
【答案】
【解析】由，得，
根據(jù)得，解得.
四、解答題
17．（2023·河南省直轄縣級(jí)單位·高一濟(jì)源市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，，
（1）分別求，的坐標(biāo)；
（2）若向量，且與向量平行，求實(shí)數(shù)k的值．
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）依題意，，
.
（2）由（1）知，而，
由與向量平行，得，解得：，
所以實(shí)數(shù)k的值是.
18．（2023·云南怒江·高一校考階段練習(xí)）已知，.
（1）已知，，在所給直角坐標(biāo)系中標(biāo)出A，B兩點(diǎn)的位置；
（2）求；
（3）求.
【答案】（1）答案見解析；（2）；（3）.
【解析】（1）由，，得，
所以，，在直角坐標(biāo)系中A，B兩點(diǎn)的位置如下：
（2），，，，
.
（3），.
19．（2023·天津武清·高一?？茧A段練習(xí)）已知向量，
（1）向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)；
（2）求
（3）若與垂直，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】（1）；（2）8；（3）19
【解析】（1）.
（2）因?yàn)?，所?
（3），
，
因?yàn)榕c垂直，所以，
得，解得，
即當(dāng)時(shí)，與垂直.
20．（2023·廣東佛山·高一?？茧A段練習(xí)）已知，．
（1）若，，且、、三點(diǎn)共線，求的值
（2）當(dāng)為何值時(shí)，有與垂直
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），，
，，
，，三點(diǎn)共線，與共線，
，解得；
（2），，
與垂直，，解得．
21．（2023·四川成都·高一樹德中學(xué)?？计谀┮阎?，，，．
（1）為何值時(shí)，點(diǎn)在軸上？
（2）若與的夾角是鈍角，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由題意知：，，
所以，．
因?yàn)辄c(diǎn)在軸上，所以，解得．
（2）因?yàn)椋耘c不共線．
又與的夾角是鈍角，所以只需，
即，解得．
22．（2023·高一單元測(cè)試）已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)，，．
（1）若，，，可以構(gòu)成平行四邊形，且點(diǎn)在第一象限，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若是線段上一動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）設(shè)（），依題意可得，
又，，，
所以，，
所以，解得，即.
（2）設(shè)，，則，
所以，則，
所以，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)取最小值，
當(dāng)時(shí)取最大值，
所以的取值范圍為.

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