目標導航
知識精講
知識點01 一元二次方程的概念
一元二次方程的概念：
通過化簡后，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．
【注意】（1）整式方程；（2）含有一個未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是
【即學即練1】關(guān)于方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，則m滿足的條件是（ ）
A．m＝1B．m≠1C．m＞1D．m＜2
【答案】B
【解析】解：根據(jù)題意得：m﹣1≠0
解得m≠1．
故選：B．
知識點02 一元二次方程的一般形式
一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程，都能化成形如，這種形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次項，是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項．
【即學即練2】一元二次方程x2+4x＝3的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項之和為（ ）
A．8B．﹣1C．0D．2
【答案】D
【解析】解：方程可化為：x2+4x﹣3＝0，
二次項系數(shù)為1、一次項系數(shù)為4、常數(shù)項為﹣3．
所以二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項之和為：1+4﹣3＝2，
故選：D．
知識點03 一元二次方程的解
使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
【即學即練3】若a是的一個根，則的值是（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】D
【解析】解：是方程的一個根，
，
即，
．
故選：D．
能力拓展
考法01 一元二次方程的定義
【典例1】若關(guān)于的方程是一元二次方程，則________．
【答案】-1
【解析】解：∵關(guān)于x的方程是一元二次方程，
∴k?1≠0且|k|＋1＝2，
解得：k＝?1，
故答案為：?1．
考法02 一元二次方程的解
【典例2】在一元二次方程中，若，則稱a是該方程的中點值．
（1）方程的中點值是______；
（2）已知的中點值是3，其中一個根是2，則此時mn的值為______．
【答案】 4 48
【解析】解：（1）由，得，
，
該方程的中點値為．
（2）由，得，
該方程的中點值為，
，解得．
的一個根是，
，即，
解得．
符合題意．
．
故答案為：；．
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．一元二次方程的常數(shù)項是（ ）
A．－1B．1C．－6D．6
【答案】A
【解析】解：原方程可化為：
．
是二次項，系數(shù)為2；-6x是一次項，-6是一次項系數(shù)；-1是常數(shù)項．
故選：A．
2．下列方程是關(guān)于的一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】是一元二次方程，故A正確,符合題意；
是分式方程，故B錯誤，不符合題意；
是二元一次方程，故C錯誤，不符合題意；
是一元一次方程，故D錯誤，不符合題意；
故選：A．
3．已知是方程的一個解，則的值為（ ）
A．10B．－10C．2D．－40
【答案】B
【解析】∵a是方程的一個解，
∴有，即，，
∴，
故選：B．
4．已知x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的一個根，則實數(shù)a的值是（ ）
A．﹣1B．1C．0D．2
【答案】B
【解析】解：根據(jù)題意，將x＝1代入x2﹣2x+a＝0，
得：1﹣2+a＝0，
解得：a＝1，
故選：B．
5．已知關(guān)于x的一元二次方程的一個根為1，則m＝________．
【答案】2
【解析】解：把代入方程得：，
去括號得：，
解得：，
故答案為：2
6．將方程（3x－1）（2x＋4）＝2化為一般形式為____________，其中二次項系數(shù)為________，一次項系數(shù)為________．
【答案】 3x2＋5x－3＝0 3 5
【解析】將，開展為一般形式為：；
則可知一次項系數(shù)為5，二次項系數(shù)為3，
故答案為：，3，5．
題組B 能力提升練
1．若是一元二次方程的其中一個解，則的值為（ ）
A．3B．-3C．D．2
【答案】A
【解析】解：將是代入方程
得
m2=9
m=±3
∵m+3≠0
∴m≠-3
∴m=3
故選：A．
2．方程是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是（ ）
A．m≠±1B．m≥-1且m≠1C．m≥-1D．m＞-1且m≠1
【答案】D
【解析】解：∵方程是關(guān)于x的一元二次方程，
∴，
解得，
由有意義得，
解得：，
∴且，
故選：D．
3．已知是一元二次方程的一個根，則代數(shù)式的值為（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【答案】B
【解析】解：把代入一元二次方程得，
，
，
∴，
故選：B．
4．已知x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的解，則－4b+2c=（ ）
A．8B．－8C．4D．－4
【答案】A
【解析】解：∵x=2是一元二次方程x2+bx－c=0的一個根，
∴4+2b-c =0，
∴2b-c =-4．
∴－4b+2c=-2(2b-c)=-2×(-4)=8．
故選：A．
5．若是方程的根，則____________．
【答案】1
【解析】把x=1代入方程，得1?2+a=0，
解得a=1，
故答案為：1．
6．已知關(guān)于的一元二次方程的一個根是2，則的值為____________．
【答案】14
【解析】解：把代入方程中得
，
解得．
故答案為：14．
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．如果關(guān)于x的一元二次方程，有一個解是0，那么m的值是（ ）
A．3B．C．D．0或
【答案】B
【解析】解：把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，得
m2-9=0，
解得m=-3或3，
當m=3時，原方程二次項系數(shù)m-3=0，舍去，
∴m=-3
故選：B．
2．下列方程中，一元二次方程共有（ ）個．
①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2＋y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】解：①x2﹣2x﹣1＝0，符合一元二次方程的定義，是一元二次方程；
②ax2+bx+c＝0，沒有二次項系數(shù)不為0這個條件，不符合一元二次方程的定義，不是一元二次方程；
③不是整式方程，不符合一元二次方程的定義，不是一元二次方程；
④﹣x2＝0，符合一元二次方程的定義，是一元二次方程；
⑤（x﹣1）2+y2＝2，方程含有兩個未知數(shù)，不符合一元二次方程的定義，不是一元二次方程；
⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2，方程整理后，未知數(shù)的最高次數(shù)是1，不符合一元二次方程的定義，不是一元二次方程．
綜上所述，一元二次方程共有2個．故選：B．
3．若關(guān)于x的一元二次方程的一個根是，則一元二次方程必有一根為（ ）．
A．2020B．2021C．2022D．2023
【答案】A
【解析】解：對于一元二次方程即，
設t＝x＋2，則可得，
而關(guān)于x的一元二次方程的一個根是，
所以有一個根為t＝2022，
所以x＋2＝2022，
解得x＝2020，
所以一元二次方程必有一根為x＝2020，
故選：A．
4．若一元二次方程有一個解為，則k為（ ）
A．B．1C．D．0
【答案】C
【解析】把x=0代入方程（k-1）x2+3x+k2-1=0得方程：k2-1=0，
解得k1=1，k2=-1，
而k-1≠0，
所以k=-1．
故選：C．
5．若關(guān)于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0有一個根是0，則m＝_____．
【答案】﹣2
【解析】解：把x＝0代入（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）＝0得m2﹣4＝0，解得m1＝2，m2＝﹣2，
而m﹣2≠0，
所以m＝﹣2．故答案為：﹣2．
6．關(guān)于x的方程是一元二次方程，則________．
【答案】
【解析】解： 關(guān)于x的方程是一元二次方程，

由①得：
由②得：
所以
故答案為：
7．設a為一元二次方程的一個實數(shù)根，則___________．
【答案】
【解析】∵a為一元二次方程2x2+3x-2022=0的一個實數(shù)根，
∴2a2+3a-2022=0，
∴2a2+3a=2022，
∴，故答案為：．
8．已知是關(guān)于x的一元二次方程的解，則的值為________．
【答案】1
【解析】解：∵是關(guān)于x的一元二次方程，
∴，
解得：，
即m=2，
將代入，得：m-2a=1，
即，
∴．
故答案為：1．
9．若是方程的一個根，求代數(shù)式的值．
【答案】2022
【解析】解：根據(jù)題意，得，則，
即，
則
．
10．已知a是方程x2－2x－1＝0的一個根，求代數(shù)式(a－2)2＋(a＋1)(a－1)的值．
【答案】5
【解析】∵是方程的一個根，
∴．
∴．
∴
．
課程標準
課標解讀
1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意義。
2．會把一元二次方程化為一般形式。
1、理解并掌握一元二次方程的定義.
2、正確識別一元二次方程的二次項、一次項、常數(shù)項及各項的系數(shù)

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