目標(biāo)導(dǎo)航
知識(shí)精講
知識(shí)點(diǎn)01 直接開方法解一元二次方程
1．直接開方法解一元二次方程：
（1）直接開方法解一元二次方程：利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法稱為直接開平方法.
（2）能用直接開平方法解一元二次方程的類型：
①形如關(guān)于x的一元二次方程，可直接開平方求解.
若，則；表示為，有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；
若，則x=0；表示為，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
若，則方程無實(shí)數(shù)根．
②形如關(guān)于x的一元二次方程，可直接開平方求解，兩根是
.
【即學(xué)即練1】解方程：
(1)4（2x﹣1）2﹣36＝0
(2)（y＋2）2＝（3y﹣1）2
知識(shí)點(diǎn)02 配方法解一元二次方程
1．配方法解一元二次方程：
（1）配方法解一元二次方程：將一元二次方程配成的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.
（2）用配方法解一元二次方程的一般步驟：
①把原方程化為的形式；
②將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)的系數(shù)，將二次項(xiàng)系數(shù)化為1；
③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；
④再把方程左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；
⑤若方程右邊是非負(fù)數(shù)，則兩邊直接開平方，求出方程的解；若右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解.
【即學(xué)即練2】用配方法解方程
知識(shí)點(diǎn)03 公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式
一元二次方程，當(dāng)時(shí)，.
2.一元二次方程根的判別式
一元二次方程根的判別式：．
①當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
③當(dāng)時(shí)，原方程沒有實(shí)數(shù)根.
3.用公式法解一元二次方程的步驟
用公式法解關(guān)于x的一元二次方程的步驟：
①把一元二次方程化為一般形式；
②確定a、b、c的值（要注意符號(hào)）；
③求出的值；
④若，則利用公式求出原方程的解；
若，則原方程無實(shí)根.
【即學(xué)即練3】解一元二次方程：．
知識(shí)點(diǎn)04 因式分解法解一元二次方程
1.用因式分解法解一元二次方程的步驟
（1）將方程右邊化為0；
（2）將方程左邊分解為兩個(gè)一次式的積；
（3）令這兩個(gè)一次式分別為0，得到兩個(gè)一元一次方程；
（4）解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
【即學(xué)即練4】解方程：
(1)．
(2)．
能力拓展
考法01 一元二次方程的解法
【典例1】解方程：
(1)；
(2)2x2 ? 3x ?1 ? 0 ．
【典例2】教材中這樣寫道：“我們把多項(xiàng)式a2＋2ab＋b2及a2﹣2ab＋b2叫做完全平方式”，如果關(guān)于某一字母的二次多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2＋2x﹣3
原式＝（x2＋2x＋1）﹣4＝（x＋1）2﹣4＝（x＋1＋2）（x＋1﹣2）＝（x＋3）（x﹣1）；
例如：求代數(shù)式x2＋4x＋6的最小值
原式＝x2＋4x＋4＋2＝（x＋2）2＋2，∵（x＋2）2≥0，
∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，x2＋4x＋6有最小值是2
根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：
(1)分解因式：m2﹣4m﹣5＝ ；
(2)求代數(shù)式x2﹣6x＋12的最小值；
(3)若y＝﹣x2＋2x﹣3，當(dāng)x＝ ．時(shí)，y有最 值（填“大”或“小”）， 這個(gè)值是 ；
(4)當(dāng)a，b，c分別為△ABC的三邊時(shí)，且滿足a2＋b2＋c2﹣6a﹣10b﹣8c＋50＝0時(shí)，判斷△ABC的形狀并說明理由．
考法02 一元二次方程根的判別式
【典例3】已知關(guān)于的一元二次方程．
(1)不解方程，判斷此方程根的情況；
(2)若是該方程的一個(gè)根，求代數(shù)式的值．
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．方程x2＝4的根為( )
A．x1＝x2＝2B．x1＝2，x2＝－2
C．x1＝x2＝D．x1＝，x2＝－
2．用配方法解一元二次方程，變形后的結(jié)果正確的是（ ）
A．B．
C．D．
3．一元二次方程的根的情況是（ ）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D．沒有實(shí)數(shù)根
4．一元二次方程kx2-4x+3=0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）
A．k≤2B．k≠0C．且k≠0D．k＜2
5．一元二次方程在用求根公式求解時(shí)，a，b，c的值是（ ）
A．3，―1，―2B．―2，―1，3C．―2，3，1D．―2，3，―1
6．如果二次三項(xiàng)式x2＋px＋q能分解成（x＋3）（x﹣1）的形式，則方程x2＋px＋q＝0的兩個(gè)根為（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝1B．x1＝﹣3；x2＝﹣1C．x1＝3；x2＝﹣1D．x1＝3；x2＝1
題組B 能力提升練
1．關(guān)于x的方程無實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍________．
2．用配方法將方程變?yōu)榈男问?，則________．
3．已知實(shí)數(shù)滿足x2＋3x﹣y﹣3＝0，則x＋y的最小值是______．
4．關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則值為__________．
5．若關(guān)于x的一元一次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m=_________．
6．已知y＝m+1是一次函數(shù)，則m＝_____．
7．方程的根是__．
8．已知（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝6，則a2+b2＝___．
9．解方程：
(1)
(2)
10．解方程：
(1)；
(2)．
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．已知一元二次方程式的兩根為、，且，求之值為何？（ ）
A．9B．C．D．
2．用配方法解一元二次方程 x2?10x＋11＝0，此方程可化為（ ）
A．（x－5）2＝14B．（x＋5）2＝14C．（x－5）2 ＝36D．（x＋5）2 ＝36
3．對于任意實(shí)數(shù)k，關(guān)于x的方程的根的情況為（ ）
A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．無實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D．無法判定
4．已知兩個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，其中．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．若方程M有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則方程N(yùn)也有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
B．若方程M有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，則方程N(yùn)也有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根
C．若5是方程M的一個(gè)根，則是方程N(yùn)的一個(gè)根
D．若方程M和方程N(yùn)有一個(gè)相同的根，則這個(gè)根一定是
5．關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）
A．B．且C．D．
6．關(guān)于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正確的是（ ）
A．AB．BC．CD．D
7．已知關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，（其中），若y是關(guān)于a的函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
8．已知實(shí)數(shù)x，y滿足且，則的值為（ ）
A．B．C．D．2
9．利用配方法解一元二次方程時(shí)，將方程配方為，則mn=______．
10．已知關(guān)于x的方程．對于以下三個(gè)命題：
①當(dāng)時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解；
②當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解；
③無論m取何值，方程都有一個(gè)負(fù)數(shù)解．
正確的命題是______（填序號(hào)）．
11．已知a是實(shí)數(shù)，且，那么的值為______．
12．方程的解是_______．
13．選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br>(1)-2x=99
(2)+3（2x-1）=0
(3)-5（-x）+6=0．
14．已知關(guān)于x的一元二次方程（m為常數(shù)）．
(1)若它的一個(gè)實(shí)數(shù)根是關(guān)于x的方程的根，求m的值；
(2)若它的一個(gè)實(shí)數(shù)根是關(guān)于x的方程的根，求證：．
15．已知：關(guān)于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x＋3k﹣3＝0
(1)求證：無論k取何值，方程都有實(shí)根；
(2)若x＝﹣1是該方程的一個(gè)根，求k的值；
(3)若方程的兩個(gè)實(shí)根均為正整數(shù)，求k的值（k為整數(shù)）．
16．先閱讀，后解題．
已知，求m和n的值．
解：將左邊分組配方：．即．
∵，，且和為0，
∴且，∴m＝－1，n＝－3．
利用以上解法，解下列問題：
(1)已知：，求x和y的值．
(2)已知a，b，c是的三邊長，滿足且為直角三角形，求c．
17．我們知道，對于任意一個(gè)實(shí)數(shù)a，具有非負(fù)性，即“”．這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)中非常有用．很多情況下我們需要將代數(shù)式配成完全平方式，然后利用“”來解決問題．
例如：
∵
∴
∴
(1)填空： _______；
(2)請用作差法比較與的大小，并寫出解答過程；
(3)填空：的最大值為_______．
課程標(biāo)準(zhǔn)
課標(biāo)解讀
能根據(jù)一元二次方程的特征，選擇配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程
1．了解直接開方法的概念，會(huì)用直接開平方法解一元二次方程；
2．了解配方法的概念，會(huì)用配方法解一元二次方程；掌握運(yùn)用配方法解一元二次方程的基本步驟；
3．通過用配方法將一元二次方程變形的過程，進(jìn)一步體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想方法，并增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力.
4. 理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，了解公式法的概念，能熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程；
5. 正確理解因式分解法的實(shí)質(zhì)，熟練運(yùn)用因式分解法解一元二次方程；
A
B
C
D
兩邊同時(shí)除以（x﹣1）得，x＝3
整理得，x2﹣4x＝﹣3∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3，
b2﹣4ac＝28
∴x＝＝2±
整理得，x2﹣4x＝﹣3配方得，x2﹣4x+2＝﹣1
∴（x﹣2）2＝﹣1
∴x﹣2＝±1
∴x1＝1，x2＝3
移項(xiàng)得，（x﹣3）（x﹣1）＝0∴x﹣3＝0或x﹣1＝0
∴x1＝1，x2＝3

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