蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊同步精品講義第03講一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系（學(xué)生版+教師版）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

目標(biāo)導(dǎo)航
知識(shí)精講
知識(shí)點(diǎn)01 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
如果一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，
那么，.
注意它的使用條件為a≠0， Δ≥0.
也就是說，對于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商.
【即學(xué)即練1】若 x1，x2 是一元二次方程 x2﹣3x﹣6＝0 的兩個(gè)根，則 x1+x2 的值是（）
A．3B．﹣3C．﹣6D．6
【即學(xué)即練2】關(guān)于x的一元二次方程有兩根，其中一根為，則這兩根之積為（）
A．B．C．1D．
知識(shí)點(diǎn)02 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用
1.驗(yàn)根．不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以檢驗(yàn)兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根；
2.已知方程的一個(gè)根，求方程的另一根及未知系數(shù)；
3.不解方程，可以利用根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于x1、x2的對稱式的值．此時(shí)，常常涉及代數(shù)式的一些重要變形；如：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨；
⑩．
4.已知方程的兩根，求作一個(gè)一元二次方程；以兩個(gè)數(shù)為根的一元二次方程是
.
5.已知一元二次方程兩根滿足某種關(guān)系，確定方程中字母系數(shù)的值或取值范圍；
6.利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以進(jìn)一步討論根的符號(hào).
設(shè)一元二次方程的兩根為、，則
①當(dāng)△≥0且時(shí)，兩根同號(hào)．
當(dāng)△≥0且，時(shí)，兩根同為正數(shù)；
當(dāng)△≥0且，時(shí)，兩根同為負(fù)數(shù)．
②當(dāng)△＞0且時(shí)，兩根異號(hào)．
當(dāng)△＞0且，時(shí)，兩根異號(hào)且正根的絕對值較大；
當(dāng)△＞0且，時(shí)，兩根異號(hào)且負(fù)根的絕對值較大．
【即學(xué)即練3】已知m、n是一元二次方程的兩個(gè)根，則的值為（）
A．0B．－10C．3D．10
【即學(xué)即練4】設(shè)方程兩個(gè)根為、，則（）
A．B．C．D．
能力拓展
考法一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
【典例1】關(guān)于的方程，，是方程的兩個(gè)根，設(shè)，則當(dāng)?shù)闹禐?時(shí)，______．
【典例2】設(shè)a、b是方程的兩實(shí)數(shù)根，則______．
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．已知，是一元二次方程的兩根，則的值為（）
A．0B．2C．1D．－1
2．設(shè)a，b是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（）
A．2022B．-2022C．2020D．-2020
3．方程的兩根為，則等于（）
A．4B．－4C．3D．－3
4．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣kx﹣3＝0的一個(gè)根是3，則它的另一個(gè)根為（）
A．﹣1B．0C．1D．2
5．一元二次方程的兩根之和為（）
A．－5B．5C．－4D．4
6．若，是一元二次方程的兩個(gè)根，則，的值分別是（）
A．1和6B．5和C．和6D．5和6
題組B 能力提升練
1．關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根分別為和，則_________．
2．設(shè)a，b是方程x2+3x﹣2018＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a+b﹣ab＝_____．
3．若一元二次方程的兩個(gè)根是與，則m的值是______．
4．若，是方程的兩個(gè)根，則的值是______．
5．已知一元二次方程的兩根分別為，則的值等于_______．
6．若實(shí)數(shù)a、b分別滿足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，則的值為 _____．
7．對于實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算“※”：※=．例如，4※2=4×2×（4+2）=48．若是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則※=_____．
8．已知是方程的一個(gè)根，那么此方程的另一個(gè)根為______．
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．若和是關(guān)于x的方程的兩根，且，則b的值是（）
A．－3B．3C．－5D．5
2．下列關(guān)于x的一元二次方程的命題中，真命題有（）
①若，則；
②若方程兩根為1和－2，則；
③若方程有一個(gè)根是，則
A．①②③B．①②C．②③D．①③
3．若是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（）
A．3或B．或9C．3或D．或6
4．方程與的所有根的和為______．
5．已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實(shí)數(shù)根，且＝x12+2x2﹣1，則k的值為 _____．
6．如果關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且滿足數(shù)軸上x1，x2所表示的點(diǎn)到2所表示的點(diǎn)的距離相等，則稱這樣的方程為“關(guān)于2的等距方程”以下“關(guān)于2的等距方程”的說法，正確的有___．（填序號(hào)）
①方程x2﹣4x＝0是關(guān)于2的等距方程；
②當(dāng)5m＝﹣n時(shí)，關(guān)于x的方程（x＋1）（mx＋n）＝0一定是關(guān)于2的等距方程；
③若方程ax2＋bx＋c＝0是關(guān)于2的等距方程，則必有b＝﹣4a（a≠0）；
④當(dāng)兩根滿足x1＝3x2，關(guān)于x的方程px2﹣x0是關(guān)于2的等距方程．
7．如果一元二次方程的兩個(gè)根為，，則______．
8．已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根
(1)求k的取值范圍；
(2)若方程的兩實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，且x12＋x22＝6x1x2＋15，求k的值．
9．已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)證明方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
(2)設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，若，求m的值．
10．如果關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，研究發(fā)現(xiàn)了此類方程的一般性結(jié)論，設(shè)其中一根為t，則另一根為2t，因此ax2＋bx＋c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx＋2t2a，所以有b2ac＝0；我們記“K＝b2ac”，即K＝0時(shí)，方程ax2＋bx＋c＝0為倍根方程：下面我們根據(jù)所獲信息來解決問題：
(1)以下為倍根方程的是；（寫出序號(hào)） ①方程x2﹣x﹣2＝0；②x2﹣6x＋8＝0；
(2)若關(guān)于的x方程mx2＋（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，求4m2＋5mn＋n2的值；
(3)若A（m，n）在一次函數(shù)y＝3x﹣8的圖象上，且關(guān)于x的一元二次方程是倍根方程，求此倍根方程．
11．x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若滿足|x1﹣x2|＝1，則此類方程稱為“差根方程”．根據(jù)“差根方程”的定義，解決下列問題：
(1)通過計(jì)算，判斷下列兩個(gè)方程是“差根方程”是：（填序號(hào)）
①x2﹣4x﹣5＝0；
②2x2﹣2x+1＝0；
(2)已知關(guān)于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；
(3)若關(guān)于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）是“差根方程”，請?zhí)剿鱝與b之間的數(shù)量關(guān)系式．
課程標(biāo)準(zhǔn)
課標(biāo)解讀
知道利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可以解決一些簡單的問題
1.掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及在各類問題中的運(yùn)用.
2.了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，在不解一元二次方程的情況下，會(huì)求直接（或變形后）含有兩根積的代數(shù)式的值，并從中體會(huì)整體代換的數(shù)學(xué)思想。

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