目標(biāo)導(dǎo)航
知識(shí)精講
知識(shí)點(diǎn)01 極差
一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，能反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，我們就把這樣的差叫做極差。
極差＝最大值－最小值.
【微點(diǎn)撥】
（1）極差是最簡單的一種度量數(shù)據(jù)波動(dòng)情況的量，它受極端值的影響較大.
（2）一組數(shù)據(jù)的極差越小，這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)幅度也越小，也就越穩(wěn)定.
【即學(xué)即練1】一組數(shù)據(jù)1，﹣1，2，5，3的極差是（ ）
A．6B．5C．4D．3
知識(shí)點(diǎn)02 方差
在一組數(shù)據(jù)中，各個(gè)數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方分別是
，我們用它們的平均數(shù)來描述這組數(shù)據(jù)的離散程度，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差，記作.
【微點(diǎn)撥】
（1）方差反映的是一組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況.方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小.
（2）一組數(shù)據(jù)的每一個(gè)數(shù)都加上（或減去）同一個(gè)常數(shù)，所得的一組新數(shù)據(jù)的方差不變.
（3）一組數(shù)據(jù)的每一個(gè)數(shù)據(jù)都變?yōu)樵瓉淼谋叮瑒t所得的一組新數(shù)據(jù)的方差變?yōu)樵瓉淼谋?
【即學(xué)即練2】某數(shù)學(xué)興趣小組為了了解本班同學(xué)一周課外閱讀的時(shí)間，隨機(jī)調(diào)查了5名同學(xué)，并將所得數(shù)據(jù)整理如表：
表中有一個(gè)數(shù)字被污染后而模糊不清（該處用□表示），但曾計(jì)算得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6，則這組數(shù)據(jù)的方差和中位數(shù)分別為（ ）
A．1.5，4B．2，4C．2，6D．6，6
能力拓展
考法01 根據(jù)方差判斷穩(wěn)定性
【典例1】開展黨史學(xué)習(xí)教育，是黨中央因時(shí)因勢(shì)作出的重大決策，是大力推進(jìn)紅色基因傳承的重要舉措，是凝聚智慧力量奮進(jìn)新征程的現(xiàn)實(shí)需要．某學(xué)校在黨員教師中開展了學(xué)習(xí)黨史知識(shí)競(jìng)賽，將參賽的甲，乙兩組黨員教師成績（單位：分）整理如下：
整理數(shù)據(jù)：
甲組：6，6，9，7，9，10，9．
乙組：7，6，10，5，9，9，10．
分析數(shù)據(jù)：
(1)表中的___，______，_____；
(2)已知甲組教師成績的方差為，請(qǐng)計(jì)算乙組教師成績的方差，并說明哪組教師的成績更穩(wěn)定？
考法02 運(yùn)用方差做決策
【典例2】省射擊隊(duì)為從甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員中選拔一人參加全國比賽，對(duì)他們進(jìn)行了六次測(cè)試，成績（單位：環(huán)）如下表：
(1)分別計(jì)算甲、乙六次測(cè)試成績的平均數(shù)和方差；
(2)你認(rèn)為推薦誰參加全國比賽更合適？請(qǐng)說明理由．
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．某店專營某品牌運(yùn)動(dòng)鞋，該店老板統(tǒng)計(jì)了一周內(nèi)不同尺碼的運(yùn)動(dòng)鞋的銷售量如圖，如果每雙鞋的利潤相同，你認(rèn)為該店老板最關(guān)注的銷售數(shù)據(jù)是下列統(tǒng)計(jì)量中的（ ）
A．平均數(shù)B．方差C．眾數(shù)D．中位數(shù)
2．在方差的計(jì)算公式中，數(shù)字10和20表示的意義分別是（ ）
A．?dāng)?shù)據(jù)得個(gè)數(shù)和平均數(shù)B．?dāng)?shù)據(jù)的方差和平均數(shù)
C．?dāng)?shù)個(gè)數(shù)和方差D．以上都不對(duì)
3．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)都參加了5次數(shù)學(xué)模擬測(cè)試，每個(gè)人這5次成績的平均數(shù)都是125分，方差分別是，則這5次測(cè)試成績最穩(wěn)定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
4．小華統(tǒng)計(jì)了自己過去五個(gè)學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)成績，分別為87，84，90，89，95，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和方差分別為（ ）
A．90，66B．90，13.2C．89，66D．89，13.2
5．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)在一次投擲實(shí)心球訓(xùn)練中，在相同條件下各投擲10次，他們成績的平均數(shù)與方差s2如下表：
若要選一名成績好且發(fā)揮穩(wěn)定的同學(xué)參加比賽，則應(yīng)該選擇_____（填甲或乙、丙、?。?br>6．甲、乙兩名射擊選手十次射擊成績的方差分別是 ，你認(rèn)為________（填甲或乙）的成績比較穩(wěn)定．
7．為了考察甲、乙兩塊試驗(yàn)田中小麥的長勢(shì)，隨機(jī)從這兩塊試驗(yàn)田中各抽取100株麥苗測(cè)量高度、整理數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)甲、乙兩塊試驗(yàn)田麥苗的平均高度相同，方差，，則這兩塊試驗(yàn)田中小麥長勢(shì)比較整齊的是______試驗(yàn)田．
題組B 能力提升練
1．一組數(shù)據(jù)的方差計(jì)算公式，則該方差計(jì)算公式中的值是（ ）
A．3B．C．D．
2．下表記錄了甲、乙、丙、丁四名射箭選手10次測(cè)試成績的平均數(shù)與方差：
要選擇一名成績好且發(fā)揮穩(wěn)定的選手參加射箭比賽，應(yīng)該選擇（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
3．將數(shù)據(jù)、、、、、的每一個(gè)數(shù)據(jù)都增加，則下列說法中錯(cuò)誤的是( )
A．平均數(shù)增加B．中位數(shù)增加C．有眾數(shù)則增加D．方差增加
4．在對(duì)一組樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析時(shí)，小華列出了方差的計(jì)算公式，由公式提供的信息，則該樣本的中位數(shù)和平均數(shù)分別是（ ）
A．2.5，3B．3，3C．3，2.5D．3，4
5．袁隆平院士工作站暨贛南革命老區(qū)石城紅米科研示范基地已經(jīng)于2021年正式啟動(dòng).首期選擇6塊條件相同的試驗(yàn)田，同時(shí)播種甲、乙兩種紅米并核定畝產(chǎn)，結(jié)果甲、乙兩種紅米水稻的平均產(chǎn)量均為畝，方差分別為，，則產(chǎn)量穩(wěn)定適合推廣的品種為______.
6．某校要從甲、乙兩名同學(xué)中選取一名成績穩(wěn)定的同學(xué)去參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，已知五次模擬測(cè)試中統(tǒng)計(jì)所得的信息為＝115，S甲2＝12，＝115，S乙2＝36，則應(yīng)選擇____參加競(jìng)賽．
7．?dāng)?shù)據(jù)的平均數(shù)是4，方差是3，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是_________，___________．
8．甲、乙兩臺(tái)機(jī)床在相同的條件下，同時(shí)生產(chǎn)一種直徑為10mm的滾珠．現(xiàn)在從中各抽取100個(gè)進(jìn)行檢測(cè)，結(jié)果這兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的滾珠平均直徑均為10mm，但，，則______機(jī)床生產(chǎn)這種滾珠的質(zhì)量更穩(wěn)定．
9．我市農(nóng)科院培育了A，B兩個(gè)新品種的桃樹，在口感相同的情況下，農(nóng)科院希望選育出個(gè)大品相好的品種．科研人員從兩個(gè)品種的桃樹上分別抽取了個(gè)桃子，然后再分別從中隨機(jī)抽取了個(gè)桃子，記錄了它們的質(zhì)量（單位：克）如下：
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，可得個(gè)A品種桃子質(zhì)量的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)都是，求個(gè)B品種桃子質(zhì)量的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)分別是多少？
(2)在（1）的條件下，農(nóng)科院可選育哪個(gè)品種的桃子？說出你的理由．
(3)根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得A，B桃子質(zhì)量的方差分別為，，根據(jù)桃子質(zhì)量的穩(wěn)定性，農(nóng)科院應(yīng)選育哪個(gè)品種的桃子？
10．八（1）班組織了一次食品安全知識(shí)競(jìng)賽，甲，乙兩隊(duì)各5人的成績（10分制）如表所示．
(1)甲隊(duì)成績的中位數(shù)是_________分，乙隊(duì)成績的眾數(shù)是________分；
(2)分別計(jì)算甲隊(duì)、乙隊(duì)的方差，并判斷哪隊(duì)的成績更穩(wěn)定？為什么？
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．甲、乙、丙、丁四名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊測(cè)試，每人10次射擊成績的平均數(shù)（單位：環(huán)）及方差（單位：）如下表所示：
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，要從中選擇一名成績好且發(fā)揮穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)員參加比賽，應(yīng)選擇（ ）
A．丁B．丙C．乙D．甲
2．一組數(shù)據(jù)2，4，5，6，5．對(duì)該組數(shù)據(jù)描述正確的是（ ）
A．平均數(shù)是4.4B．中位數(shù)是4.5
C．眾數(shù)是4D．方差是9.2
3．已知一組數(shù)據(jù)a，b，c的平均數(shù)為10，方差為4，那么數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是（ ）
A．10，4B．7，4C．3，1D．7，1
4．射擊運(yùn)動(dòng)員小東10次射擊的成績（單位：環(huán)）：7.5，8，7.5，8.5，9，7，7，10，8.5，8．這10次成績的平均數(shù)是8.1，方差是0.79，如果小東再射擊一次，成績?yōu)?0環(huán)，則小東這11次成績的方差______0.79．（填“大于”、“等于”或“小于”）
5．隨著北京冬奧會(huì)的成功舉辦，越來越多的人喜歡上冰雪運(yùn)動(dòng)．為了解當(dāng)?shù)匾患一﹫?chǎng)的經(jīng)營情況，小聰對(duì)該滑雪場(chǎng)自2022年1月31日至2月13日共兩周的日接待游客數(shù)（單位：千人）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并繪制成下面的統(tǒng)計(jì)圖．
根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，有下列三個(gè)結(jié)論：
①按日接待游客數(shù)從高到低排名，2月6日在這14天中排名第4；
②記第一周，第二周日接待游客數(shù)的方差分別為S12，S22，則S12＞S22；
③這14天日接待游客數(shù)的眾數(shù)和中位數(shù)都是2.0千人．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______________．
6．已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的方差是，那么另一組數(shù)據(jù)2x1－2，2x2－2，2x3－2，2x4－2，2x5－2的方差是____________．
7．已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，x5的方差是，那么另一組數(shù)據(jù)2x1－2，2x2－2，2x3－2，2x4－2，2x5－2的方差是____________．
8．2022年5月25、26日國家實(shí)施義務(wù)教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)．監(jiān)測(cè)部門從某校八年級(jí)全體學(xué)生中任意抽取40名學(xué)生，平均分成甲、乙兩個(gè)小組參加藝術(shù)測(cè)試．根據(jù)測(cè)試成績繪制出如下的統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖（成績均為整數(shù)，滿分為10分）．
甲組成績統(tǒng)計(jì)表
請(qǐng)根據(jù)上面的信息，解答下列問題：
(1)____________，甲組成績的眾數(shù)是____________；乙組成績的中位數(shù)是____________．
(2)請(qǐng)你計(jì)算出甲組的平均成績．
(3)已知甲組成績的方差，乙組的平均成績是8.5，請(qǐng)計(jì)算出乙組成績的方差，并判斷哪個(gè)小組的成績更均衡？
9．為增強(qiáng)防疫意識(shí)，某初中在元旦舉行了疫情防控知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，現(xiàn)從本校甲、乙兩班中各隨機(jī)抽取名同學(xué)的測(cè)試成績進(jìn)行整理、描述和分析，如圖所示：
(1)兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如上表所示，請(qǐng)補(bǔ)充完整．
(2)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，請(qǐng)從兩個(gè)不同角度評(píng)價(jià)甲班與乙班掌握防疫知識(shí)的情況．
課程標(biāo)準(zhǔn)
課標(biāo)解讀
1.了解極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的意義和求法，體會(huì)它們刻畫數(shù)據(jù)波動(dòng)的不同特征；
2.學(xué)會(huì)用極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差來處理數(shù)據(jù)．
1. 了解方差的定義和計(jì)算公式。
2.會(huì)用方差計(jì)算公式來比較兩組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小。
學(xué)生編號(hào)
1
2
3
4
5
一周課外閱讀時(shí)間（小時(shí)）
7
5
4
□
8
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
甲組
8
b
c
乙組
a
9
9和10
隊(duì)員
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
甲
9
7
10
10
9
9
乙
10
8
9
8
10
9
甲
乙
丙
丁
平均數(shù)（米）
11.1
11.1
10.9
10.9
方差s2
1.1
1.2
1.3
1.4
甲
乙
丙
丁
平均數(shù)（分）
9.5
9.5
9.2
9.2
方差
3.6
7.4
3.6
7.4
品種桃子
品種桃子
甲
8
10
9
6
9
乙
10
8
9
7
8
甲
乙
丙
丁
9
8
9
9
1.6
0.8
2
0.8
成績
7
8
9
10
人數(shù)
3
9
3
5
班級(jí)
平均數(shù)/分
中位數(shù)/分
眾數(shù)/分
方差
甲班
83.7
82
46.21
乙班
83.7
86
13.21

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