目標(biāo)導(dǎo)航
知識(shí)精講
知識(shí)點(diǎn)01 圓錐的側(cè)面積和全面積
連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓上任意一點(diǎn)的線(xiàn)段叫做圓錐的母線(xiàn).
圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為l，底面半徑為r，側(cè)面展開(kāi)圖中的扇形圓心角為n°，則
圓錐的側(cè)面積?側(cè)=???2360=???，
圓錐的全面積:S全=S側(cè)+S底=πrl+πr2.
【微點(diǎn)撥】
扇形的半徑就是圓錐的母線(xiàn)，扇形的弧長(zhǎng)就是圓錐底面圓的周長(zhǎng).因此，要求圓錐的側(cè)面積就是求展開(kāi)圖扇形面積，全面積是由側(cè)面積和底面圓的面積組成的.
【即學(xué)即練1】若圓錐的底面半徑為3cm，母線(xiàn)長(zhǎng)為4cm，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為（ ）
A．2cm2B．24cm2C．D．
【答案】C
【解析】解：∵圓錐底面半徑為3cm，母線(xiàn)長(zhǎng)為4cm，
∴圓錐的側(cè)面積為．
故選：C．
【即學(xué)即練2】如圖，一個(gè)圓錐形漏斗的底面半徑OA＝5cm，高OC＝12cm．則它的側(cè)面積是（ ）
A．130cm2B．65cm2C．60cm2D．30cm2
【答案】B
【解析】解：Rt△AOC中，AC=，
圓錐側(cè)面積，
故選： B．
能力拓展
考法 圓錐側(cè)面積的有關(guān)計(jì)算
【典例1】如圖，從半徑為9cm的圓形紙片剪去圓周的一個(gè)扇形，將留下的扇形圍成一個(gè)圓錐（接縫處不重疊），那么這個(gè)圓錐的高為多少？
【答案】cm
【解析】解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r cm，
根據(jù)題意得2πr＝，
解得r＝6，
所以這個(gè)圓錐的高＝（cm）．
【典例2】如圖，有一直徑是的圓形鐵皮，現(xiàn)從中剪出一個(gè)圓周角是90°的最大扇形ABC．
(1)求AB的長(zhǎng)；
(2)用該扇形鐵皮圍成一個(gè)圓錐，求所得圓錐的底面圓的半徑．
【答案】(1)1；(2)
【解析】(1)連接BC，如圖
∵，
∴BC為⊙O的直徑，其，
∴；
(2)設(shè)所得圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)題意得，
解得：．
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
1．一個(gè)圓錐的底面半徑是2，母線(xiàn)長(zhǎng)是4，則這個(gè)圓錐的表面積為（ ）
A．4πB．20π
C．8πD．12π
【答案】D
【解析】圓錐的表面積為：，
故選：D．
2．某圓錐母線(xiàn)長(zhǎng)為60，其側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為108°的扇形，則該圓錐的底面圓的半徑為（ ）
A．36B．18C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)圓錐的底面圓半徑為rcm，
根據(jù)題意得，
解得r=18，
即圓錐的底面圓半徑為18cm．
故選 B．
3．底面半徑為3，高為4的圓錐側(cè)面積為（ ）
A．15πB．20πC．25πD．30π
【答案】A
【解析】∵圓錐的底面半徑為3，高為4
∴母線(xiàn)長(zhǎng)為
∴圓錐側(cè)面積．
故本題選A
4．若圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，該半圓的直徑是4cm，則圓錐底面的半徑是（ ）
A．0.5cmB．1cmC．2cmD．4cm
【答案】B
【解析】解：由題意，底面圓的周長(zhǎng)為：，
∴底面圓的半徑為：（cm），
故選：B
5．已知圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為6，側(cè)面展開(kāi)圖的面積是12π，則這個(gè)圓錐底面圓的半徑是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】解：∵母線(xiàn)為6，設(shè)圓錐的底面半徑為x，
∴圓錐的側(cè)面積=π6x=12π．
解得：x=2．
故選：B．
6．為了給同學(xué)慶祝生日，小明自己動(dòng)手用扇形紙片制作了一頂圓錐形生日帽，生日帽的底面圓半徑為，高為，則該扇形紙片的面積為_(kāi)_______．
【答案】
【解析】解：生日帽的底面圓半徑為，高為，
∴圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，
∵底面圓半徑為，
∴底面周長(zhǎng)為，
∴該扇形紙片的面積為：．
故答案為：．
7．第十四屆全運(yùn)會(huì)在陜西西安開(kāi)幕，九年級(jí)（2）班李明同學(xué)利用扇形彩色紙，制作了一個(gè)圓錐形火炬模型，如圖是火炬模型的側(cè)面展開(kāi)圖（接痕忽略不計(jì)），已知扇形彩色紙的半徑為45cm，圓心角為40°，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積_______．（結(jié)果保留）
【答案】225π
【解析】解：∵扇形的面積=()．
∴圓錐的側(cè)面積為225π，
故答案為：225π．
8．若一個(gè)圓錐的底面圓的半徑是2，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角的度數(shù)是，則該圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為_(kāi)_______．
【答案】4
【解析】解：設(shè)該圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為l，根據(jù)題意得：
，
解得：，
即該圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為4．
故答案為：4
9．若圓錐的底面圓半徑為2cm，母線(xiàn)長(zhǎng)是5cm，則它的側(cè)面展開(kāi)圖的面積為_(kāi)_____．
【答案】10π
【解析】解：這個(gè)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的面積=?2π?2?5=10π．
故答案為：10π．
10．如圖，在△BOC中，∠COB=90°，OC=12，OB=5，將△BOC繞邊OC所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周得到圓錐，則該圓錐的全面積是________．
【答案】90π
【解析】解：由已知得，母線(xiàn)長(zhǎng)l=13，半徑r為5，
∴圓錐的側(cè)面積是s=πrl=5×13×π=65π，
底面積是πr2=52π=25π，
∴全面積為65π+25π=90π，
故答案為：90π．
題組B 能力提升練
1．一個(gè)圓錐的底面直徑是8，母線(xiàn)長(zhǎng)是9，則圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的面積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：根據(jù)題意得：圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)為，
∴圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的面積是．
故選：C
2．如圖，圓錐底面圓半徑為7cm，高為24cm，則它側(cè)面展開(kāi)圖的面積是（ ）
A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2
【答案】C
【解析】解：在中，
cm，
∴它側(cè)面展開(kāi)圖的面積是cm2．
故選：C
3．如圖，斗笠是一種遮擋陽(yáng)光和蔽雨的編結(jié)帽，它可近似看成一個(gè)圓錐，已知該斗笠的側(cè)面積為550πcm2，AB是斗笠的母線(xiàn)，長(zhǎng)為25cm，AO為斗笠的高，BC為斗笠末端各點(diǎn)所在圓的直徑，則OC的值為（ ）
A．22B．23C．24D．25
【答案】A
【解析】解：∵側(cè)面積為550π cm2，母線(xiàn)長(zhǎng)為25cm，
∴×l×25=550π解得l=44π，
∵2πr=44π，
∴OC=r=22，
故選：A．
4．已知圓錐的底面半徑為，高線(xiàn)長(zhǎng)為，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：∵圓錐底面半徑為3cm，高線(xiàn)長(zhǎng)為4cm，
∴圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為：
∴圓錐的側(cè)面積為
故選：C．
5．若一個(gè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為5cm，它的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為120°，則這個(gè)圓錐的底面半徑為_(kāi)_______cm．
【答案】
【解析】解：設(shè)圓錐底面半徑為rcm，
則圓錐底面周長(zhǎng)為：cm，
∴側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)為：cm，
∴，
解得：r=，
故答案為：．
6．已知圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為5，底面半徑為3，則圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的面積為_(kāi)_______．
【答案】
【解析】解：∵圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形，
∴，
∴該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的面積為．
故答案為：．
7．如圖，圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)，底面圓的直徑，則該圓錐的側(cè)面積等于________．（結(jié)果用含的式子表示）
【答案】
【解析】解：根據(jù)題意，
∵圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)，底面圓的直徑，
∴圓錐的側(cè)面積為：
；
故答案為：；
8．某中學(xué)開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生到教具加工廠(chǎng)制作圓錐，他們制作的圓錐，母線(xiàn)長(zhǎng)為30cm，底面圓的半徑為10 cm，這種圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)是_____．
【答案】
【解析】解： 設(shè)這種圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)為n°，
故答案為：．
9．如圖所示，扇形OAB的面積為4π cm2，∠AOB=90°，用這個(gè)扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面．求這個(gè)圓錐的底面圓的半徑．
【答案】
【解析】解：設(shè)這個(gè)圓錐的底面半徑為，
由題意得，解得，
所以，解得．
所以這個(gè)圓錐的底面半徑為．
10．如圖，圓錐的底面半徑，高，求該圓錐的側(cè)面積．
【答案】
【解析】解：由題意得，
在中，
答：該圓錐的側(cè)面積為．
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．已知圓錐的底面半徑為5，高為12，則它的側(cè)面展開(kāi)圖的面積是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：由題意知，圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的半徑即圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，
∴圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的面積為，
故選B．
2．如圖所示，圓錐形煙囪帽的底面半徑為，側(cè)面展開(kāi)圖為半圓形，則它的母線(xiàn)長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：根據(jù)題意，
圓錐形煙囪帽的底面周長(zhǎng)為：；
∵圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為半圓形，
∴，
∴；
∴它的母線(xiàn)長(zhǎng)為；
故選：D
3．如圖，是的外接圓，，若扇形OBC（圖中陰影部分）正好是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，則該圓錐的高為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：根據(jù)圓的性質(zhì)，
∵，
∵
∴
∴
∴圓錐底面圓的半徑為：
∴圓錐的高
故選：D
4．已知圓錐的底面積為，高為，則圓錐的側(cè)面積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：設(shè)底面半徑為r，
由題意得：，
解得：r=3（負(fù)值舍去），
∴圓錐的底面半徑是3cm，
∴圓錐母線(xiàn)長(zhǎng)為：（cm），
∴圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的面積為：（cm2）．
故選：B
5．若圓錐底面的半徑為3，它的側(cè)面展開(kāi)圖的面積為，則它的母線(xiàn)長(zhǎng)為_(kāi)______．
【答案】
【解析】設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，由題意可知展開(kāi)扇形的弧長(zhǎng)，
，
，
．
故答案為：．
6．已知圓錐的高為8，母線(xiàn)長(zhǎng)為10，則其側(cè)面展開(kāi)圖的面積為_(kāi)______．
【答案】60πcm2
【解析】解：圓錐的高為8cm，母線(xiàn)長(zhǎng)為10cm，由勾股定理得，底面半徑=6cm，底面周長(zhǎng)=12πcm，
側(cè)面展開(kāi)圖的面積=×12π×10=60πcm2．
故答案為：60πcm2．
7．如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為4，以A為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，得，連接AC、AE，用圖中陰影部分作一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面半徑為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】解：∵正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為4，
∴AB=BC=4，
，
∵∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，
∴，
如圖，過(guò)B作BHAC于H，
∴AH=CH=AC，
，
在RtABH中，
，
∴，
同理可求∠EAF=30°，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴r=，
故答案為：．
8．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為8，以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧得到扇形（陰影部分，點(diǎn)在對(duì)角線(xiàn)上）．若扇形正好是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，則該圓錐的底面半徑是_________．
【答案】1
【解析】解：∵正方形的邊長(zhǎng)為8
∴
∵是正方形的對(duì)角線(xiàn)
∴
∴
∴圓錐底面周長(zhǎng)為，解得
∴該圓錐的底面圓的半徑是1
故答案為：1
9．如圖所示，D是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，分別以點(diǎn)B，C為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)A，連結(jié)AB，AC，AD，E為AD上一點(diǎn)，連結(jié)BE，CE．
（1）求證：BE = CE．
（2）以點(diǎn)E為圓心作與BC相切，分別交BE，CE于點(diǎn)F，G．若BC = 4，∠EBD = 30°，求扇形FEG的面積
（3）若用扇形FEG圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，求這個(gè)圓錐的底面圓的半徑．
【答案】（1）見(jiàn)解析（2）扇形FEG的面積為．（3）圓錐的底面圓的半徑為．
【解析】（1）證明：由題意可知：，為等邊三角形，
點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，
是等邊的中線(xiàn)，且，
，

，
．
（2）解：如圖所示：
與BC相切，且，
點(diǎn)是切點(diǎn)，并且是該扇形的半徑，
，且，
，
，
在中，，
，
是BC的中點(diǎn)，

在中，由勾股定理可知：，解得，
扇形FEG的面積為．
（3）解：設(shè)圓錐底面圓半徑為，
扇形FEG的弧長(zhǎng)為： ，
扇形FEG的弧長(zhǎng)等于其圍成的圓錐的底面圓的周長(zhǎng)，
，解得 ，
故圓錐的底面圓的半徑為．
10．如圖，在單位長(zhǎng)度為1的正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過(guò)網(wǎng)格點(diǎn)A(1，4)、B(﹣3，4)、C(﹣4，3)，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格圖中進(jìn)行如下操作：
（1）用直尺畫(huà)出該圓弧所在圓的圓心M的位置，則圓心M點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；
（2）若扇形MAC是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，求該圓錐底面半徑r．
【答案】（1）（1，1）；（2）
【解析】解：（1）如圖，圓心M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，1）．
故答案為：（-1，1）；
（2）根據(jù)勾股定理可得，MA=MC=，
AC=，
∴MA2+MC2=AC2，
∴△ACM為等腰直角三角形，∠AMC=90°，
根據(jù)題意得2πr=，解得：r=，
即該圓錐的底面圓的半徑長(zhǎng)r為．
11．如圖，有一四邊形的鐵片，，，，．以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓弧得一扇形．
（1）求陰影部分的面積；
（2）剪下該扇形并用它圍成一圓錐的側(cè)面，求該圓錐的底面圓半徑．
【答案】（1）；（2）圓錐的底面圓半徑為
【解析】解：（1）在中，∵，，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，．
過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD于E，
∴，
∴
∴；
（2）由（1）知的長(zhǎng)為，
設(shè)該圓錐的底面圓半徑為，則，
解得．
故該圓錐的底面圓半徑為．
12．在一次數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)興趣小組計(jì)劃制作一個(gè)圓錐體模型（尺寸大小如下圖①，單位為cm），操作規(guī)則是：在一張正方形的紙片上剪出一個(gè)扇形和一個(gè)圓，使得扇形圍成圓錐的側(cè)面時(shí)，圓恰好是該圓錐的底面．經(jīng)過(guò)初步商量后，興趣小組設(shè)計(jì)了兩種方案（如圖），最后發(fā)現(xiàn)根據(jù)方案一無(wú)法制作出相關(guān)模型．（兩方案的圖中，兩圓圓心、與正方形紙片的頂點(diǎn)C在同一條直線(xiàn)上）
（1）請(qǐng)根據(jù)圓錐體模型的尺寸（如圖①），求出該圓錐體的全面積．（結(jié)果保留）
（2）請(qǐng)說(shuō)明方案一不可行的理由．
（3）興趣小組根據(jù)方案二最終成功制作出圓錐體模型，求方案二中正方形紙片的邊長(zhǎng)．
【答案】（1）；（2）見(jiàn)詳解；（3）正方形的邊長(zhǎng)為
【解析】解：（1）由題意得：圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為16，底面圓的半徑為4，
∴圓錐的全面積為：；
（2）設(shè)圓與正方形相切于點(diǎn)E，連接，如圖所示：
∴，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴，
∴，
設(shè)，
∴，
∴，
解得：，
∴的長(zhǎng)為，圓的周長(zhǎng)為，
∵，
∴方案一不可行；
（3）設(shè)圓與正方形相切于點(diǎn)F，連接，如圖所示：
設(shè)，
∴由圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)可得：，
解得：，
∴，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴，
∴，
∴正方形的邊長(zhǎng)為．
課程標(biāo)準(zhǔn)
課標(biāo)解讀
1.經(jīng)歷探索圓錐側(cè)面積計(jì)算公式的過(guò)程,發(fā)展探究能力,空間想象能力,以及把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的能力.
2.會(huì)運(yùn)用圓錐側(cè)面積計(jì)算公式解決有關(guān)問(wèn)題
掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積計(jì)算公式的推導(dǎo)；并能應(yīng)用所學(xué)公式解決相關(guān)問(wèn)題。

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